Numeros Adimensionales k416n

NÚMEROS ADIMENSIONALES E INTERPRETACIÓN DE LA ECUACIONES DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO I.

INTRODUCCIÓN

La teoría de modelos establece lo siguiente: 1. El modelo ha de ser geométricamente semejante al prototipo. Si esto no se cumpla, no es que sea difícil comparar los resultados entre el modelo y el prototipo, sino que es imposible. 2. El modelo ha de ser dinámicamente semejante al prototipo. Para que exista semejanza entre el modelo y el prototipo, es necesario que los flujos (líneas de corriente), han de ser semejantes. Esto quiere decir que es fundamental que las velocidades, aceleraciones, fuerzas, etc., se hallen también en relaciones bien determinadas. Estas relaciones como se verá, se deducen de la igualdad de los números de Euler, Froude, Reynolds, etc., según sean los casos. II. CUERPO A. NUMEROS ADIMENSIONALES 

NÚMERO DE EULER: SEMEJANZA DINÁMICA Y GRADIENTE DE PRESIONES

Razón ente las fuerzas de inercia y las provocadas por la presión. Este número aparece si el comportamiento de la presión es independiente de la dinámica propia del flujo, de manera que no está determinado exclusivamente por las variaciones de la velocidad. Si, como es habitual, la velocidad y la presión están relacionadas, de manera que no son independientes, al seleccionar la velocidad como una variable de interés no se debe incluir la presión. Esta última se puede obtener después mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli. Flujos en los que la caída de presión es significativa: la mayoría de situaciones de flujo. Eu=

∆p ρV 2

Supóngase que se desea determinar experimentalmente las fuerzas que estará sometido el pilar de un puente cuya sección transversal tendrá la forma de la figura de abajo.

Se hará el estudio investigando un modelo reducido a escala 1/40 por ejemplo. En primera aproximación: 

La corriente tendrá lugar en planos horizontales (corriente bidimensional). Las partículas de fluido no se acelerarán verticalmente. La fuerza de la gravedad no



tendrá influjo alguno sobre este tipo de corriente. Tanto las fuerzas debidas a la viscosidad como las restantes fuerzas, se estima



serán de escasa importancia y podrán despreciarse. Las únicas fuerzas que actuarán sobre el pilar serán, pues, la debida al gradiente



de presiones. En el infinito la corriente en uniforme, y además en todos los puntos del infinito (o puntos suficientemente alejados del pilar) la velocidad es la misma e igual a



to. La ecuación de Bernoulli se cumplirá no solo entre dos puntos situados en la misma línea de corriente, sino entre dos puntos cualesquiera del fluido, porque supondremos que todas las partículas del fluido transportan la misma energía (movimiento irrotacional).

Si en la fig. de arriba, el plano de dibujo es horizontal, escribiendo la ecuación de Bernoulli entre dos puntos de este plano: un punto O situado suficientemente alejado del pilar y otro punto genérico cualquiera, aunque no esté en la misma línea de corriente, se tendrá: p− p0 =

ρ 2 2 ( v −v ) … … … ..( ) 2 0

Por ser z = z0. Llamando

p− p0 =∆ p :

∆p v 2 =1− … … … … .() v0 ρ v 02 /2

( )

Matemáticamente, se puede demostrar que en el fluido ideal e irrotacional que estamos considerando esta configuración de corriente no depende más que de la geometría del

contorno (el pilar en este caso), pero no del tamaño (escala). Es decir, que las configuraciones de corriente del modelo y del prototipo serán también geométricamente semejantes (semejanza dinámica). Por tanto, según la ecuación () en puntos homólogos, el segundo miembro es igual en el modelo que en prototipo, luego también el primer miembro será igual en puntos homólogos en el modelo y en el prototipo. Ahora bien, si: ∆p =C ρ v 02 /2 Siendo

√ 1/constante=constante , se tendrá que en puntos homólogos ∆p =C ρ v 02 /2

El primer miembro de () es el número de Euler: Eu=

v √2 ∆ p/ ρ

Donde v------ velocidad característica (en este caso v =v 0 ).



NÚMERO

DE

REYNOLDS:

SEMEJANZA

DINÁMICA

CON

PREDOMINIO DE LA VISCOSIDAD. Según Mataix, 1982., en los ensayos aerodinámicos realizados en los túneles de viento y en otra multitud de problemas la fuerza predominante, además de la debida al gradiente de presiones, es la fuerza debida a la viscosidad. De la ecuación de Newton, se deduce que la fuerza de la viscosidad es proporcional a nvL . Por lo cual la relación de la fuerza de inercia a la fuerza de la viscosidad será:

fuerza de inercia ρ L2 v2 ρLv = fuerza de la viscosidad nvL n Esta relación adimensional se conoce con el nombre de número de Reynolds. ℜ=

ρ Lv n

Para que en este caso los ensayos del modelo y del prototipo sean dinámicamente semejantes es menester que el número de Reynolds sea idéntico en ambos. El número de Reynolds mide la importancia relativa de cada una de las variables que intervienen

en un fenómeno en que la fuerza predominante es la viscosidad es decir la

ρ,n,v ,L .

Cuanto mayor es el número de Reynolds menos importancia tiene la fuerza de viscosidad en el fenómeno, y viceversa. No es la viscosidad dinámica

decisivo, sino

ℜ=

n el parámetro

ρLv n .

Si en el ensayo con el modelo de la fuerza de viscosidad ha de tener la misma importancia que tendrá en el prototipo, los números de Reynolds en el modelo y en prototipo habrán de ser iguales: ℜm =ℜp El número de Reynolds es el parámetro adimensional de semejanza en los problemas con predominio de la viscosidad. Cuanto mayor es el número de Reynolds menor es la importancia de la viscosidad, y viceversa., En los problemas con predominio de la viscosidad se verifica aproximadamente: Eu=f (ℜ) Y por tanto sólo y cuando los números de Reynolds sean iguales los números y Euler también serán. Supongamos que se utiliza el mismo fluido en el modelo y en prototipo es decir, m=¿ v p . La relación de velocidades según la ley de Froude será: v¿ vp =√ λ … … .(4) vm Como la densidad del aire es mucho menor que la densidad del agua en los ensayos con aire las fuerzas de inercia serán más débiles, con lo que las de la viscosidad serán relativamente más importantes. Así el aire se comportará como un líquido relativamente más viscoso que el agua. En los túneles de viento, los ensayos se hacen según la ley de Reynolds, en cambio en los ensayo de máquinas hidráulicas suele despreciarse la viscosidad porque la ley expresada en la ecuación (4) daría por el modelo una velocidad irrealizable o una altura de salto excesiva y se prescinde de la semejanza dinámica, es

decir, se supone que si hay semejanza geométrica, hay también semejanza dinámica. (Mataix, 1982).



SEMEJANZA DINÁMICA CON PREDOMINIO DE LA ELASTICIDAD: NÚMERO DE MACH

El número de Mach no es una unidad de velocidad, sino la relación entre la velocidad de un objeto y la del sonido en el espacio. La velocidad del sonido es variable: es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura, que varía según el lugar y la altura. (Jouette, 2008) El número de mach, q se designa por velocidad

u

N ma , se define como la relación entre la a

del fluido y la velocidad

del sonido en el fluido, para las

condiciones de flujo. (Smith, 2003) N ma=

u a

El número de Mach recibió ese nombre en honor a Ernst Mach (1838 -1916), quien condujo los primeros experimentos significativos relacionados con el vuelo supersónico en la universidad de Praga, Alemania. -

REGÍMENES DE FLUJO SEGÚN MACH:

Teniendo como base el número de Mach se definen generalmente cinco regímenes de flujo, en la siguiente forma: Régimen incompresible: El número de Mach es pequeño en comparación con la unidad (aproximadamente 0.2 en un gas perfecto). En esta clasificación, los efectos de compresibilidad se consideran, generalmente insignificantes. Régimen subsónico: El número de Mach es inferior a la unidad, pero tiene una magnitud suficiente para quedar fuera de la clasificación del régimen de un flujo incompresible. Régimen transónico: El número de Mach es muy cercano a uno, es decir varía de valores ligeramente menores a la unidad y escasamente superiores a ella. Régimen supersónico: Es donde el número de Mach es superior a la unidad. Régimen hipersónico: Es cuando el número de Mach es muy superior a la unidad.

Sin embargo, un avión que viaja con una velocidad de entre Mach 0.75 y Mach 1.20 tiene áreas en su superficie que experimentan ambos tipos de flujo: subsónico y supersónico; los ingenieros aerodinámicos se refieren a este régimen de vuelo (o escala de velocidades) con el nombre de régimen transónico. Los cálculos del flujo del aire en esta área deben hacerse muy cuidadosamente. -

COMO SE MIDE MACH:

Sea un objeto diminuto se desplaza en el aire a una velocidad V < c; el movimiento del objeto crea perturbaciones de presión, las cuales se propagan esféricamente hacia el exterior a partir del objeto, con una velocidad del sonido c. Si el objeto no estuviera en movimiento, los frentes de onda se extenderían esféricamente, y tendría las posiciones que se ilustran a continuación, en intervalos sucesivos de tiempo.

Los frentes de onda emergen para formar un frente plano y el fluido que está delante de este frente no recibe ningún efecto del movimiento de la partícula. Si por algún motivo la velocidad local es mayor que la velocidad del sonido, las pulsaciones individuales se combinan para formar un patrón cónico, como se ilustra a continuación:

A este patrón se le conoce con el nombre de cono de Mach. El fluido que está por delante del cono, no tiene ninguna perturbación, pero repentinamente sufre cambios de presión, temperatura y densidad, conforme atraviesa el cono de Mach. Cuando un flujo atraviesa cambios repentinos a atravesar una onda, a esta última se le denomina onda de choque. Se ha logrado hacer visibles los gradientes de densidad en un flujo, utilizando un sistema óptico fotográfico, conocido con el nombre de aparato de Schlieren. Para esto el modelo se debe montar en un túnel de viento o aerodinámico, para que las ondas de choque sean claramente visibles. Donde el número de Mach se calcula como

-

N ma=

u a

PARA QUE SE UTILIZA EL NÚMERO DE MACH

Los números Mach 1, Mach 2, Mach 3, etc. se utilizan para indicar la velocidad de un avión u objeto en comparación con la velocidad del sonido. Mach 2, por ejemplo, significa que el avión vuela a dos veces la velocidad del sonido. Recuerda, la velocidad del sonido puede cambiar según las condiciones de la atmósfera. Un avión que vuela a baja altura a una velocidad de Mach 0.8 tendrá el mismo comportamiento del flujo del aire sobre las alas que el mismo avión volando a grandes alturas a Mach 0.8. La velocidad del sonido disminuye conforme la altura aumenta; por lo tanto, para que el avión que vuela a una altura más alta viaje a Mach 0.8, su velocidad deberá ser menor que la del avión que vuela a una altura más baja. El comportamiento del flujo del aire alrededor de las alas o áreas superficiales, sin embargo, será igual en ambos aviones. El flujo del aire sobre un ala cambia drásticamente cuando la velocidad del avión se aproxima a Mach 1.0. Hay diversos procedimientos matemáticos que se utilizan para calcular el comportamiento del flujo del aire. Es interesante ver qué le sucede al flujo del aire a medida que un aeroplano se acerca a Mach 1.0. A velocidades subsónicas, las ondas de presión cambiante que se originan alrededor del avión se propagan en todas direcciones a la velocidad del sonido correspondiente a la altitud a la que viaja el avión. Conforme el avión vuela más rápidamente y se acerca al régimen transónico (aún por debajo de Mach 1.0), la

velocidad de las ondas que se propagan delante del avión no es mucho mayor que la velocidad del propio avión. Cuando se alcanza la barrera del sonido, Mach = 1.0, el frente de las ondas acústicas y el avión viajan a la misma velocidad.

Un F-18 rompiendo la barrera del sonido. Cortesía de la US Navy. Conforme la velocidad del avión aumenta y rebasa la velocidad del sonido (un número de Mach superior a 1.0), las ondas se comprimen formando una especie de envoltura cónica alrededor del avión. Las condiciones de la corriente de aire delante del avión no cambian hasta que el avión pasa ahí. Solamente la región que se encuentra dentro del cono es afectada por el avión. 

SEMEJANZA DINÁMICA CON PREDOMINO DE LA GRAVEDAD: NÚMERO DE FROUDE

El número de Froude cuya abreviatura es Fr, es un número adimensional, el cual relaciona el efecto de las fuerzas de inercia con las fuerzas de gravedad las cuales actúan sobre un fluido. Este tipo de número recibe este nombre, en honor al ingeniero inglés William Froude. El número de Froude interviene cuando se forma vórtice y solamente para números de Reynolds superiores a 300. En tanques con placas deflectoras con agitadores de hélice introducidos lateralmente, o para números de Reynolds inferiores a 300 no se forman vórtice y el número de Froude deja de ser una variable. (Smith, 2003)

El número de Froude se utiliza para comparar la resistencia por formación de olas entre los cuerpos de varios tamaños y formas. En el flujo de superficie libre, la naturaleza del flujo depende de si el número de Froude es mayor o menor que la unidad. (Centro de Artigos, 2012) La fórmula para hallar el número de Froude es la siguiente:

Cuando el número de Froude se encuentra en canales abiertos informa sobre el estado del flujo hidráulico, mientras que cuando el número de Froude se encuentra en un canal se conoce como:

Dónde: v: velocidad media de la sección del canal [m/s] Dh: Profundidad hidráulica (A/T) [m]. A es el área de la sección transversal del flujo y

T el ancho de la lámina libre.

g: es la aceleración de la gravedad [m/s²]

-

APLICACIONES USUALES DEL NÚMERO DE FROUDE

El número de Froude tiene gran aplicación en la ingeniería civil, como loes en los canales abiertos, ya que nos informa el estado del flujo hidráulico, teniendo claro que el flujo con el que se va a trabajar va a ser únicamente agua. Algunas de las aplicaciones reales en las que utilizamos el número de Froude son las siguientes:  Gran aplicación en regímenes permanentes, uniformes y variados en cales, Ya que esto es muy importante para la evaluación de remansos y la clasificación de resaltos hidráulicos.

 Amplia aplicación en lo que es la modelación hidráulica física, es decir en los Laboratorios de Hidráulica, ya que la gran mayoría de modelos se basan en la igualdad del número de Froude para Modelo y Prototipo.  Aplicación en la Hidráulica Fluvial.  Aplicación en la medición de caudales de ríos, ya que así podemos saber el estado del flujo.

 Aplicación en la Teoría y Selección de Máquinas Hidráulicas como los son las Bombas y las Turbinas.



SEMEJANZA

DINÁMICA

CON

PREDOMINOI

DE

LA

TENSIÓN

SUPERFICIAL: NUMERO DE WEBER Según Diego Samano y Mihir Sen (2009), el número de weber puede interpretarse como la razón de la energía superficial de una muestra de fluido con dimensión L a su energía 2 3 2 cinética (ρ V L / σ s L ).

Numero de weber =

Fuerzas de inercia

=

Fuerzas de tensión superficial

2 ρV L σs

En donde ρ es la densidad del fluido, V es la velocidad característica, L longitud característica, σs tensión superficial.

Este número requiere la presencia de una

superficie libre, pero si están involucrados objetos grandes, como botes en un fluido como por ejemplo el agua, este efecto es muy pequeño. Debe su nombre a Moritz Weber (1871-1951), del Instituto Politécnico de Berlín, que desarrollo las leyes de semejanza en su forma actual. Fue Weber quien puso nombre a los números de Reynods y Fraude. El número de Weber juega un papel importante solo si el orden es la unidad o menor, lo que ocurre normalmente cuando la curvatura de la superficie es comparable en tamaño a la profundidad del líquido. Por ejemplo, en gotas, flujos capilares, ondas de pequeñas longitud y modelos hidráulicos en pequeñas dimensiones. El número de Weber es un parámetro importante en atomización de un líquido. El número de Weber da la razón característica entre las fuerzas aerodinámicas que ejercen el gas sobre una película delgada y las fuerzas de tensión que actúan en la superficie del líquido. La tensión superficial del líquido en la superficie de una gota es lo que mantiene la forma de la misma. Si una gotita es sometida a la acción de un chorro de aire, y existe una velocidad relativa entre el gas y la gotita, fuerzas inerciales debido a dicha fuerza hacen que la gotita se deforme. Si el numero Weber es demasiado grande, las fuerzas inerciales superan a las fuerzas de tensión superficiales, hasta el punto en que la gotita se

desintegra en gotas aún más pequeñas. A números de Weber pequeños el líquido experimenta separación suscritica, en la cual la tensión superficial jala la delgada capa liquida hacia una sola columna que después se separa para formar gotas relativamente grandes. A valores supercríticos de Weber, la película liquida se separa de forma aerodinámica en finos tamaños de gotas del orden del grosor de la película L. Por lo tanto, el criterio del número de Weber puede ser útil al pronosticar el tamaño esperado de la gotita en la atomización de un líquido, es parámetro significativo en la combustión de una turbina de gas y en los cohetes. El número de Weber uno interviene si no hay superficie libre excepto si hay cavitación de líquido a valores muy bajos de numero de Euler. Por la tanto, en fluidos viscosos a bajas velocidades sin superficie libre el único parámetro adimensional importante es el número de Reynolds. B. TEOREMA “П” DE BUCKINGHAM. El teorema “П” de BUCKINGHAM establece que en un problema físico en que se tengan ““n“” variables que incluyan ““m“” dimensiones distintas; las variables se pueden agrupar en ““n-m“” grupos adimensionales independientes. Siendo V1, V2, ..., Vn las variables que intervienen en el problema, se debe tener una función que las relacione: f(V1, V2, ..., Vn) = 0; si G1,G2,...,Gn-m, representan los grupos adimensionales que representan a las variables V1, V2, ..., Vn; el teorema de BUCKINGHAM también

establece

que existe

una función

de la forma:

g(G1,G2,...,Gn-m) = 0. El método para determinar, los grupos adimensionales (Gi, i=1,...,n-m); consiste en la selección de ““m“” de las ““n“” variables,

con diferentes

dimensiones,

de manera que

contengan entre todas las ““m“” dimensiones, y emplearlas como variables repetitivas, formando cada uno de los “n-m“” grupos adimensionales a partir de la siguiente expresión genérica (Julián Martinez,2004):

A los grupos adimensionales, se les suele denominar parámetros adimensionales 3 de BUCKINGHAM, al ser su expresión un productorio adimensional (símbolo de productorio =П) Los exponentes “”aij” se determinan por la condición de que cada grupo resulte adimensional; se sustituyen las dimensiones de las variables por ellas mismas y los exponentes de

M,L,T,… se igualan a cero (adimensionalidad del parámetro).

Consideremos como ejemplo, la fuerza de arrastre en flujo externo, de un fluido sobre un determinado objeto. Se tiene que la fuerza de arrastre (FD) depende de: la viscosidad absoluta del fluido (P), la densidad del fluido (U), la velocidad relativa entre fluido y objeto (v) y de una longitud característica del objeto (L). Las cinco variables: FD, P, U,v, y L, aportan 3 dimensiones distintas: M,L y T; con lo que por el teorema de BUCKINGAM se tendrán 5-3=2 grupos adimensionales: G1 = FD La vb Uc G2 = P Ld ve Uf Los exponentes de cada grupo se determinan a partir de sus ecuaciones dimensiónales: [G1] = [FD] [La] [Vb] [Uc]

M0 L0 T0 = (MLT-2 )(L)a(LT-1)b(ML-3)c = M1+c

L1+a+b-3c T-2-b ...

0=1+c; 0=1+a+b-3c; 0=-2-b

..... a=-2; b=-2; c=-1

Con lo que el grupo adimensional G1 es:

Que da lugar al denominado coeficiente de arrastre C; en donde se introduce el factor (1/2) para obtener la expresión dinámica que es de la siguiente forma:

(2.) De forma análoga se obtiene el segundo parámetro adimensional: G2=PL-1v-1U-1; que da lugar al número de REYNOLDS Re:

(3) B.

INTERPRETACIÓN

DE

LA ECUACIÓN

DE

CANTIDAD

DE

MOVIMIENTO Ecuación de movimiento Según… Muchos fluidos manifiestan una relación linean entre las componentes de esfuerzo y los gradientes de velocidad, estos fluidos son los Newtonianos e incluyen fluidos comunes como el agua, aceite y aire. Si además de la linealidad, el fluido es isotrópico, las componentes de esfuerzo y gradientes de velocidad están relacionadas mediante dos propiedades de fluido: la viscosidad µ y el coeficiente de viscosidad λ. Realizando una deducción laboriosa que comprende el uso de derivadas parciales se obtienen las siguientes ecuaciones:

Estas son las ecuaciones de Navier-Stokes que se aplican para la cantidad de movimiento de los fluidos Newtonianos, llamadas así en honor de Louis M.H. Navier (1785-1836) y George Stokes (1819-1903); con estas tres ecuaciones diferenciales y la ecuación diferencial de continuidad se tiene cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas, u, v, w, y p; la viscosidad y densidad son propiedades del fluido que supuestamente se deben conocer. Las ecuaciones Navier-Stokes se expresan en forma vectorial multiplicando las ecuaciones por

^ ^j y k^ , respectivamente y sumándolas. Se obtiene: i,

Donde se utilizó el Laplaciano

Si se combina la anterior, la ecuación resultante es:

Debido a que la ecuación de momentum lineal es primordialmente una relación entre fuerzas y velocidades, debe escogerse un volumen de control que incluya las fuerzas y las velocidades que contribuyan a la solución del problema en una forma conveniente. Por lo general, se busca conocer la fuerza causada por el flujo interno sobre el conducto o canal transportador para la solución de los problemas se considerará específicamente la reacción a la fuerza que se busca. Esto significa que si se desea la fuerza causada por el agua sobre una tubería o un aspa, al utilizar la mecánica de fluidos en principio se obtendrá la fuerza causada por la tubería o el aspa sobre el agua. Finalmente, debe recordarse que la ecuación de momentum lineal se dedujo a partir de F = m*a, y por tanto tiene la limitación de que el volumen de control, con respecto al cual se miden las velocidades, debe estar fijo en un espacio inercia1 (en la sección siguiente se considerará el caso general de volúmenes de control no inerciales) (Shames, 1995).

III. CONCLUSIONES  Se verificó la importancia de la aplicación de los números adimensionales en los procesos de fluidos de ingeniería.  Se logró interpretar la ecuación del momento lineal en la aplicación de la ecuación de Bernoulli, para diversos tipos de fluidos clasificados según sus propiedades reológicas.  Se determinó la aplicación en la selección de Máquinas Hidráulicas como los son las Bombas y las Turbinas, a través del uso de prototipos con números adimensionales, el teorema de Buckingham y la ecuación del momento lineal.

IV. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1.

Centro

de

Artigos.

(2012).

Obtenido

de

http://centrodeartigos.com/articulos-

enciclopedicos/article_81025.html 2. Jouette, A. (2008). El Secreto de Los Numeros. España: SWING. 3. Smith, M. C. (2003). Operaciones Basicas de Ingenieria Quimica. España: Reverte, S. A. 4.http://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/conceptosbasicosmfluidos/nmach/nmach.ht ml 5. http://numerode.com/para/nmero-de-froude.php 6. Irving H. Shames. 1995. Mecánica de fluidos. 3ra Edic.

Editorial McGRAW-HILL

INTERAMERICANA S. A. Santa de Bogota. Colombia. 144 p.

7.http://ftpmirror.your.org/pub/wikimedia/images/wikipedia/commons/5/5e/NUMERO_DE_ WEBER.pdf

8.http://sgpwe.izt.uam.mx/files/s/uami/hja/file/Mec_Fluid_CBS/tema_3_analisis_dimensio nal_0405.pdf

9. http://www3.nd.edu/~msen/MecFl.pdf 10. Claudio Mataix (1982). MECÁNICA DE FLUIDOS Y MÁQUINAS HIDRÁULICAS. Segunda edición. Edit. Oxford University Press. México, DF.