Modelos De Gestion Inventarios 1b382b

MODELOS DE GESTIÓN DE INVENTARIOS (Stocks)

Stock n

tiempo t

T

STOCKS

1

Contenidos • Introducción

– Tipos de stocks

• Modelos deterministas – Modelos sin ruptura – Modelos con ruptura

• Modelos aleatorios – – – –

Stock de seguridad Políticas de gestión Modelos de demanda conocida Modelos de un único pedido

Referencia: Angel Sarabia, “La Investigación Operativa”. 1996 STOCKS

2

1

Introducción Ä

El inventario de un almacén incluye bienes y materiales usados en la logística de servicios de una empresa

Ä

Se necesita para reducir la falta de suministro de productos a clientes

Ä

Se establece un equilibrio entre la calidad en el suministro de productos e inversión necesaria

Ä

Gastos e inversiones derivadas de un inventario:

F F F

Gastos del capital invertido (intereses, impuestos, seguros,...) Espacio, mano de obra y medios de transporte Deterioro por obsolescencia, por robo o por ser material perecedero

STOCKS

3

Introducción (Cont. I) PARÁMETROS BÁSICOS

Ä

Costes asociados

F

El coste de pedido

F

El coste de almacenamiento

() incluye :

w Aspectos istrativos w En caso de fábricas, el coste de montaje w Expresado en unidades monetarias/pedido

(Cs) incluye :

w Costes de capital, seguros, impuestos, robos y deterioros w Obsolescencia w Amortización de almacenes y personal w Expresado como una tasa porcentual de almacenamiento anual

F

El coste de ruptura o penuria

STOCKS

k

(Cr) incluye:

w Costes indirectos de falta de suministro de demanda a clientes w Expresado en unidades monetarias/tiempo/producto 4

2

Introducción (Cont. II) Ä

La demanda Se pueden aplicar distintos modelos:

F valor discreto o continuo F valor determinista o aleatorio F valor independiente, dependiente o mixto Ä

Plazo de entrega Es el tiempo entre la emisión del pedido y la recepción:

F Ä

valor determinista o aleatorio

Otros factores

F comportamiento proveedores (tamaño de pedido limitado, periodicidad,…) F requerimientos de los pedidos (calidad de suministro,…) F ciclo de vida del producto (productos perecederos) STOCKS

5

Introducción (Cont. III) Ä

Objetivo Establecer un equilibrio entre la calidad del servicio y el coste económico de la gestión de stocks La clasificación de las políticas de gestión de stocks se basan en las respuestas a las preguntas : ¿Cuánto pedir? ¿Cuándo pedir?

STOCKS

6

3

Tipos de Stocks FStock EN CURSO (SC): Aquél que ha sido pedido pero no ha llegado aún FStock ASIGNADO (SA): Aquél que está en el almacén y ha sido comprado FStock FÍSICO (SF): Aquél que está en el almacén FStock LOGÍSTICO (SL): Suma del stock físico y del stock en curso FStock DISPONIBLE (SD): Aquél que está en el almacén y no ha sido asignado

SL=SC+SD= SC+SF-SA Proveedores

Almacén

Demanda

SC STOCKS

SF

7

Modelos deterministas u Sus parámetros básicos permanecen constantes a lo largo del tiempo T u Hipótesis de partida:

F Demanda conocida y continua en el tiempo F El plazo de entrega es constante o nulo F

Costes de pedido constantes expresados en unidades monetarias/pedido

F

Costes de almacenamiento Cs constantes expresados en unidades monetarias/tiempo

STOCKS

8

4

Modelos deterministas (Cont I) MODELOS SIN RUPTURA

Stock

Plazo de entrega nulo

Stock máximo

n

tiempo t

T ¿Cuál es el tamaño de cada pedido que minimiza el coste de gestión? n: tamaño de un lote N: número de unidades demandas durante el horizonte T g(n): coste de gestión de un lote de tamaño n G(n): coste global de gestión k: número de pedidos para el horizonte T

g ( n ) = c p + cs t

n 2

k=

N T = n t

G ( n) = k g ( n) =

n N c p + cs T n 2

STOCKS

9

Modelos deterministas (Cont II) G ( n) = k g ( n) =

n N c p + cs T n 2

G1(n): Costes de pedido

G2(n): Costes de almacenamiento

G(n)

G2(n) Para obtener el mínimo de G(n) se anula su derivada respecto a n G1(n)

no STOCKS

n

d G (n) =0 dn

10

5

Modelos deterministas (Cont III) FÓRMULAS DE WILSON :

no = 2

to = 2

N T cs T N cs

G(n)

G2(n)

no : Lote económico de pedido G1(n)

no

G (no ) = 2 N T c p cs

REDONDEO DE ën0û :

F n0 es muy probable que resulte no entero F Su redondeo es aceptable si el tamaño de los pedidos es elevado F Una curvatura reducida de G(n) en el óptimo disminuye errores de redondeo STOCKS

11

Modelos deterministas (Cont IV) CÁLCULO MEDIANTE ANÁLISIS MARGINAL:

G ( n) < G ( n + 1)

G ( n) < G ( n - 1)

Þ n (n + 1) >

Þ n ( n - 1) <

cs T

n-1

n+1

cs T

n (n -1) <

2 N cs T

< n (n +1)

n elevados se puede establecer que :

n2 = STOCKS

n

2 N

El valor del tamaño del pedido n será tal que: Nota: Para valores de

G(n)

2 N

2 N cs T

(la fórmula de Wilson)

12

6

Modelos deterministas (Cont V) Ejemplo: Una fábrica de flanes recibe de un proveedor los envases de papel de aluminio en los que se deposita el contenido del flan. • La producción anual de flanes asciende a MEDIO MILLÓN de unidades • El coste de pedido () es de 300 euros por pedido (incluye transporte y descarga) • El coste de almacenamiento anual es de un 30% del valor de adquisición • El valor de adquisición de cada envase es de 9 centieuros • El tiempo hasta la llegada del pedido es un día

no =

2

N = T cs

to =

2

T = 0.2 10 8 a ñ os ; 2 mese s y m edio N cs

2

500000 envases 300 euros / pedido = 105409 envases 1 año (30% × 0, 09 euros / envase añ o )

G ( no ) = 2 N T c p cs = 2846 euros / año STOCKS

13

Modelos deterministas (Cont VI) Stock S

t

MODELOS CON RUPTURA Stock máximo

n tiempo t1

t2

T

En cada subperíodo t:

F F F

Existe un tiempo t2 en el que el stock es nulo (tiempo de ruptura) Se penaliza la ruptura con Cr por unidad y tiempo Al recibir el pedido se satisface en primer lugar la demanda pendiente

RELACIONES:

STOCKS

t1 S = t n

t2 n - S = t n

14

7

Modelos deterministas (Cont VII) Coste total G(n, S) :

G (n, S ) =

1 S 2T 1 (n - S ) 2 T N S n-S N (c p + cs t1 + cr t 2 ) = + cs + cr 2 2 2 n 2 n n n Coste de pedido Coste de almacenamiento

Coste de ruptura

Valores asociados al coste mínimo de gestión:

¶G =0 ¶S ¶G =0 ¶n

N c p cr cr = n0 T c s cs + cr cs + cr

n0 = 2

N c p cs + cr T c s cr

S0 = 2

t0 = 2

T c p c s + cr N cs cr

G (n 0 , S 0 ) =

2 N T c p cs

cr cr + cs

t0= t0,1+ t0,2 STOCKS

15

Modelos deterministas (Cont VIII) Tasa de ruptura :

F Las expresiones son análogas a las fórmulas de Wilson F La diferencia se debe a la tasa de ruptura ( r ): r=

cr S = 0 cs + cr n0

S 0 = n0 × r

0 £ r £1

F Si r » 1 Þ cr >> cs (No se permiten rupturas) F La tasa de ruptura es un índice relacionado con la calidad del servicio

STOCKS

16

8

Modelos deterministas (Cont IX) Ejemplo (continuación ejemplo flanes): La fábrica de flanes quiere reducir los costes de inventario de los envases de aluminio. Para ello estudia la alternativa de demorar procesos de pasteurización cuando se carece de envases. Esta demora implica un coste adicional de 20 centieuros/envase y año Las características de la nueva política de inventario de envases es:

G = 2 × 500000envases ×1año × 300

euros euros 0.20 euros × 0.027 = 2671.43 pedido envase año 0.227 año

Frente a 2846 euros/año sin demora en pasteurización N c p cs + cr = 112299 envases T cs cr

n0 = 2

t0 = 2

T N cs

S0 = n0

cr = 98942 envases cs + cr

cs + cr = 0.2246 años » 2meses y 3 semanas t0= t0,1+ t0,2 = 72 días+10 días cr

STOCKS

17

Modelos con aleatoriedad Ä

Principalmente la aleatoriedad en los inventarios viene dada por:

F F

LA DEMANDA ( ¿cuánto pide y cuándo? ) EL RETRASO EN LA ENTREGA

STOCK

pedido

STOCKS

pedido

pedido

PUNTO DE PEDIDO

18

9

Stock de Seguridad Ä

Su objetivo es ofrecer al cliente una calidad en el suministro del producto

Ä El S.S. satisface con una cierta probabilidad la demanda que excede el valor medio durante el tiempo de retraso del pedido que excede el valor medio Stock inicial Pedido nuevo Punto de pedido

Demanda media Stock de seguridad

Tiempo Retraso medio

Ruptura Stock

Retraso real

STOCKS

19

Stock de Seguridad (Cont. I) El cálculo del stock de seguridad se realiza observando la diferencia entre la demanda real y la demanda media durante el tiempo de retraso

Media muestral: 30

# Demanda Diferencia 1 26 -4 2 30 0 3 33 3 4 27 -3 5 27 -3 6 40 10 7 26 -4 8 33 3 9 31 1 10 26 -4 11 29 -1 12 27 -3 13 28 -2 14 31 1 15 28 -2 16 32 2 17 32 2 18 29 -1 19 36 6 20 29 -1 21 33 3 22 22 -8 23 30 0 24 23 -7 25 36 6 26 31 1 27 32 2 25 -5 STOCKS28 29 35 5 30 24 -6

Histograma Frecuencia

Frecuencia

Ä

% acumulado

12

100.00%

10

80.00%

8

60.00%

6 40.00%

4

20.00%

2 0

.00% -8

-5

-1

3

6

y mayor...

Unidades Diferencia -8 -5 -1 3 6 y mayor...

Frecuencia 1 2 10 11 5 1

% acumulado 3,33% 10,00% 43,33% 80,00% 96,67% 100,00%

Nota: Un stock de seguridad de 6 unidades satisface la demanda en un 96.67 % de las ocasiones 20

10

Políticas de gestión Ä

Existen TRES políticas básicas de gestión que responden a las preguntas ¿Cuánto pedir? y ¿Cuándo pedir?

Œ Política de cantidad fija-período variable ( o de los dos almacenes ) F Se pide un lote de tamaño fijo cada vez que el stock desciende por debajo de un determinado nivel (PUNTO DE PEDIDO)

 Política de cantidad variable-período constante F Se pide periódicamente un lote de tamaño variable Ž Política de nivel máximo y mínimo de stock ( o de s y S ) F Se pide cuando se alcanza el nivel mínimo hasta completar el nivel máximo de stock

STOCKS

21

Políticas de gestión (Cont. I) Œ

POLÍTICA DE CANTIDAD FIJA-PERÍODO VARIABLE

u Cada vez que el nivel de stock desciende hasta un valor denominado punto de pedido (PP) o nivel de reposición se lanza un pedido nuevo u El tamaño económico del pedido es constante y se calcula mediante la fórmula de Wilson u El valor del punto de pedido (PP) es suma de la demanda prevista durante el tiempo medio de retraso del pedido R más el stock de seguridad (SS)

PP = R × d + SS Siendo,

d

: la demanda media por unidad de tiempo

R : el retraso medio del pedido STOCKS

22

11

Políticas de gestión (Cont. II) Œ POLÍTICA DE CANTIDAD FIJA-PERÍODO VARIABLE Stock logístico

STOCK n0

n0

n0

Punto de pedido

n0

n0

R=8

R ×d

Primer almacén

n0 Stock disponible

n0

n0

n0

Segundo almacén

n0

SS 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20

Tiempo

STOCKS

23

Políticas de gestión (Cont. III) Comentarios a la política de

Œ CANTIDAD FIJA-PERÍODO VARIABLE

u Se denomina de dos almacenes debido a que para cada producto el almacén se divide en dos. Hay un almacén para el stock logístico y otro para el stock disponible. Cuando se agota el primer almacén se hace un pedido y se usa el segundo hasta la llegada del pedido u Los cálculos del lote económico revisados periódicamente

n0 y del punto de pedido PP han de ser

uEl valor del stock logístico se revisa tras cada movimiento de entrada o salida para determinar cuando realizar un pedido nuevo

STOCKS

24

12

Políticas de gestión (Cont. IV) 

POLÍTICA DE CANTIDAD VARIABLE-PERÍODO FIJO

u El pedido se realiza periódicamente transcurrido un período de revisión, que se puede establecer mediante las fórmulas de Wilson

t,

u El valor del stock a alcanzar en cada pedido se denomina stock requerido o máximo (SR) : SR es la cantidad necesaria para satisfacer la demanda durante el período de revisión de duración t más el retraso medio R y considerando un stock de seguridad SS para todo ese tiempo

S R = (t + R ) × d + S S Nota 1: Por lo tanto, en cada período el gestor del stock hará un pedido por la diferencia entre el stock requerido y el stock logístico existente Nota 2: Se puede prescindir de hacer un pedido si en el período anterior no hubiera habido una demanda significativa STOCKS

25

Políticas de gestión (Cont. V) 

GRÁFICO DE POLÍTICA DE CANTIDAD VARIABLE-PERÍODO FIJO Retraso medio (R): 12

Período de revisión ( t ): 8 Stock SR

T

R Stock logístico

n1(pedido)

(R + t ) × d

n3(pedido)

n2(pedido)

n0(en curso)

Stock disponible

n0

n2

(entrega)

(entrega)

n1

(entrega)

SS 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

STOCKS Pedido

26 Pedido

Pedido

13

Políticas de gestión (Cont. VI) Ž

POLÍTICA DE STOCK MÁXIMO Y MÍNIMO (de s y S)

Ä Por limitaciones del proveedor sólo se pueden hacer pedidos periódicamente Ä Se realiza un pedido cada vez que se alcanzan niveles inferiores al stock mínimo (s) y se solicita un pedido de tamaño S-SL Ä Combina aspectos de las dos políticas anteriores Ä El valor de s se calcula como en la política de pedido variable y período constante, es decir, es el STOCK REQUERIDO de dicha política (SR)

Ä El valor de S-s se calcula por la expresión de Wilson

STOCKS

27

Políticas de gestión (Cont. VII) GRÁFICA DE

Ž

POLÍTICA DE STOCK MÁXIMO Y MÍNIMO (de s y S)

S no s

(R + t ) × d + SS

Retraso

t NO PIDO

STOCKS

PIDO

NO PIDO

PIDO!!

PIDO

28

14

Políticas de gestión (Cont. VIII) COMPARACIÓN DE POLÍTICAS

Œ

Cantidad fija-período variable



Cantidad variable-período fijo

Ž

Niveles máximo y mínimo de Stock

J Ventaja: reducción de los costes de ruptura L Inconveniente: requiere mayores gestiones istrativas J Ventaja: simplifica las gestiones istrativas L Inconveniente: Necesita un mayor nivel en el stock de seguridad J Ventaja: reducción de los costes de ruptura y de pedido L Inconveniente: Aumenta los costes de almacenamiento STOCKS

29

Ejemplo políticas de gestión Ejemplo:

La empresa eléctrica DISTRELEC realiza labores de mantenimiento de subestaciones de distribución en Madrid. Se quieren comparar las tres políticas de gestión del stock de transformadores de distribución. El El El El

valor de adquisición es de 18.000 euros/transformador coste de almacenamiento es del 20% del valor de adquisición coste de pedido es de 600 euros/pedido (incluye transporte y montaje) retraso medio en el pedido es de 2 días

El reglamento de distribución obliga a las empresas de mantenimiento a tener una calidad de servicio del 95% Los reemplazos de transformadores cada dos días en Madrid es una variable aleatoria de media seis y se rige por una distribución de Poisson cuya distribución acumulada de probabilidad es:

STOCKS

Transf. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Probabilidad 0,0149 0,0446 0,0892 0,1339 0,1606 0,1606 0,1377 0,1033 0,0688 0,0413

Probabilidad acumulada 0,0149 0,0595 0,1487 0,2826 0,4432 0,6038 0,7415 0,8448 0,9136 0,9549

30

. . .

15

Ejemplo políticas de gestión (Cont. I) Ejemplo (continuación):

Œ Política de cantidad fija-período variable Stock de seguridad (SS) = 4 trafos

Punto de pedido (PP) = R × d + SS = 2 días × 3

no =

N 2 = T cs

365 2

trafos + 4 trafos = 10 trafos día

euros días trafos 600 ×3 pedido año día = 19 trafos euros 1 año 3600 unidad año

Política: Cuando el stock llega a 10 trafos se realiza un nuevo pedido de 19 trafos Nota: El stock físico máximo que se puede alcanzar es de 29 trafos STOCKS

31

Ejemplo políticas de gestión (Cont. II) Ejemplo (continuación):

 Política de cantidad variable-período fijo

Tiempo entre pedidos consecutivos (Wilson):

to = 2

T = 0.0174474 años Þ 6 días N cs

Stock de seguridad (SS) = 8 trafos

SR = (t0 + R ) × d + SS = 32 trafos Política: Cada 6 días se realiza un pedido hasta completar 32 trafos

STOCKS

Probabilidades para 8 días Transf. 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Probabilidad 0,0007 0,0014 0,0029 0,0053 0,0091 0,0146 0,0219 0,0309 0,0412 0,0520 0,0624 0,0713 0,0778 0,0812 0,0812 0,0779 0,0719 0,0639 0,0548 0,0453 0,0363 0,0281 0,0211

Nota: El stock físico máximo es de 32 trafos

Probabilidad acumulada 0,0011 0,0025 0,0054 0,0107 0,0198 0,0344 0,0563 0,0871 0,1283 0,1803 0,2426 0,3139 0,3917 0,4728 0,5540 0,6319 0,7038 0,7677 0,8225 0,8679 0,9042 0,9322 0,9533

32

16

Ejemplo políticas de gestión (Cont. II) Ejemplo (continuación):

Ž Política de nivel mínimo y máximo

Tiempo entre pedidos consecutivos (fijado por el proveedor): 6 días

no =

2

N = 19 trafos T cs

s = (t 0 + R ) × d + SS = 32 trafos Stock de seguridad (SS) = 8 trafos

S = s + no = 51 trafos Política: Cada 6 días se realiza un pedido si se tiene menos de 32 y se pide hasta completar 51 trafos STOCKS

33

Método ABC Ä Es una técnica que permite graduar el control de gestión de los artículos Ä Clasifica los artículos en tres categorías A, B y C, según dos aspectos: F El número de unidades de cada artículo F El valor del stock medio de cada artículo Ä Por experiencia se constata que las tres categorías se caracterizan por: A. En torno al 75 % del valor del almacén está en el 10 a 15 % del número de artículos B. En torno al 20 % del valor del stock está en el 25 % del número de artículos C. En torno al 5 % del valor del stock está en el 65 % del número de artículos

STOCKS

34

17

Método ABC (Cont. I) Porcentaje acumulado valor stock 100 % 95 % 75 %

C

B

A

Porcentaje acumulado del número de artículos 10 %

35 %

100 %

STOCKS

35

Método ABC (Cont. II) Ä Grupo A F Requiere de un monitorización pormenorizada de su inventario F Dicha monitorización no será costosa ya que el número de artículos es limitado F La gestión de los artículos se hará mediante cantidades fijas y períodos variables o bien mediante niveles mínimo y máximo (con repartos periódicos)

Ä Grupo B F Requiere de un monitorización menor de su inventario F La gestión de los artículos se hará mediante cantidades variables y períodos fijos Ä Grupo C F Requiere de un monitorización baja de su inventario (una vez por año) F La gestión de los artículos se hará mediante cantidades fijas y períodos fijos STOCKS

36

18

Simulación de inventarios

Ä Los inventarios tienen peculiaridades propias de las empresas ð Capacidad de almacenamiento ð Dinámica del transporte interno/externo del almacén ð Descuentos por tamaño del pedido ð Fluctuaciones de la producción de la empresa ð Priorización cambiante de los productos

Ä

Estas peculiaridades se estudian mediante técnicas de SIMULACIÓN

STOCKS

37

Modelos de demanda conocida Ä Se establecen para situaciones en las cuales se conoce el valor de la demanda para los próximos

n meses

Ä

Notación:

Ä

Existen dos modelos establecidos por Silver y Meal

ti: tiempo acumulado al final del período i di: demanda acumulada hasta el período i (en unidades/período) : coste de pedido ca: coste de adquisición de una unidad k: tasa de coste de almacenamiento

Œ La orden de pedido puede ser emitida en cualquier momento  Los pedidos han de cubrir un número exacto de períodos

STOCKS

38

19

Modelos de demanda conocida (Cont.I) ALGORITMOS:

MODELO

ΠLa orden de pedido es emitida en cualquier momento

 Se calcula

F

w=

2 k ca

‚

Establecer el valor menor de

ƒ

Calcular

T=

2

i tal que,

t2i di ³ w

k ca d i T

ti-1 < T < ti , la cantidad óptima del lote es S * = å d i

Si

i =1

F

En caso contrario, redondear T al valor más próximo de ti-1 o ti y hacer T

S * = å di i =1

Nota: el cálculo del siguiente T requiere que el origen de tiempos se desplace STOCKS

39

Modelos de demanda conocida (Cont.II) ALGORITMOS:

MODELO

 Los pedidos cubren un número exacto de períodos

 Se comienza con el período 1, t=1 ‚

Determinar el valor mínimo de t que cumple:

t 2 d t +1 >

ƒ



t

+ å ( j - 1) d j

k ca

j =1

El lote económico resulta: t

S * = å di i =1

Nota: El tamaño óptimo del pedido hace que el coste medio de pedido para el conjunto de períodos englobados sea menor que el coste de almacenamiento para un período adicional STOCKS

40

20

Modelos de demanda conocida (Cont.III) EJEMPLO: (PROBLEMA RESUELTO R7.17) = 7500

Ca = 3000

k = 0.6 % semanal

Semana

1

2

3

4

5

6

7

8

Demanda

20

15

30

25

15

25

30

5

Semana

t 2 dt +1

1 2 3 4 5 6 7 8

15 120 225 240 625 1080 245

STOCKS

k ca

+

t

å (j - 1) d j =1

j

Coste Coste de pedido almacenamiento

416.67 431.67 491.67 566.67 626.67 751.67 931.67

7500 7500 7500 7500 7500 7500 7500

Coste total

0 270 1350 2700 3780 6030 9780 10410

Coste por semana

7500 7770 8850 10200 11280 13530 17280 17910

7500 3885 2950 2550 2256 2255 2468 2238

POLÍTICA PEDIDOS: Pedir al comienzo del período para la demanda 41 de las seis primeras semanas MINIMOS LOCALES

Modelos con un único pedido MODELOS CON DEMANDA ALEATORIA

DISCRETA

P(d)

ÄLa demanda durante T sigue una función de probabilidad P(d) ÄEl plazo de entrega es nulo Ä¿Cuál es el stock inicial que debe existir?

d

Dos casos estudio:

Œ Con Penalizaciones y sin costes de almacenamiento (Cs)  Con costes de almacenamiento (Cs) y de ruptura (Cr) Estados posibles después del período T: S

Stock

S

Stock

d S-d T STOCKS

d Tiempo

Tiempo T

d-S 42

21

Modelos con un único pedido (Cont. I)

Œ

Modelos aleatorios con penalizaciones sin Cs

ÄSe aplica a situaciones coyunturales y no repetitivas Ä DOS situaciones posibles: EXCEDENTES (penalizados c1 por unidad) ¥ Si la demanda d < stock S RUPTURA (penalizados c2 por unidad) ¥ Si la demanda d > stock S Ä Objetivo: Determinar el stock óptimo

Ä

So que minimiza la penalización media

La penalización media por período:

G ( S ) = c1

S

å ( S - d ) P ( d ) + c2 d =0

¥

å (d - S ) P(d )

d = S +1

Excedentes medios

Sobreprecio medio por ruptura

STOCKS

43

Modelos con un único pedido (Cont. II) Ä Stock óptimo S0, mediante ANÁLISIS MARGINAL: G(S)

G(S0-1) > G(S0) < G(S0+1) G(S0-1)

Siendo, S 0 -1

G ( S 0 - 1) = c1 å ( S 0 - 1 - d ) P(d ) + c2 d =0

¥

å (d - S

0

G(S0)

G(S0+1)

+ 1) P(d )

d = S0

Entonces,

G ( S 0 - 1) - G ( S 0 ) > 0

- ( c1 + c 2 )

G ( S 0 + 1) - G ( S 0 ) > 0

( c1 + c 2 )

STOCKS

S 0 -1

å

P (d ) + c2 > 0

d =0

S 0 +1

å

P (d ) + c2 > 0

d =0

44

22

Modelos con un único pedido (Cont. III)

 Modelos aleatorios con Cs y con Cr Ä DOS Situaciones posibles: ¥ Si la demanda d < stock S0 ¥ Si la demanda d > stock S0

EXCEDENTES (penalizados por cs por unidad ) RUPTURA (penalizados cr por unidad)

Stock

S0

S0

Stock

d

Œ

S0-d



d Tiempo

T

t2

Tiempo d-S0

t1 T

Supuesto: La variación del stock es aproximadamente lineal (trazado discontinuo) STOCKS

45

Modelos con un único pedido (Cont. IV) Ä

Costes asociados a las dos situaciones posibles:

¥ Si la demanda d < stock S0 F No hay costes de ruptura F El coste de almacenamiento es: æç S 0 - d ö÷ cs è

2ø

¥ Si la demanda d > stock S0 F Existen costes de ruptura F La suma del coste de almacenamiento y ruptura resulta: 1 S 02 1 (d - S 0 ) 2 cs + cr d 2 d 2

(*) comparar modelo determinista

Nota: En estas expresiones se considera que T = 1 y que se cumplen las relaciones:

STOCKS

t1 S 0 = T d

t2 d - S 0 = T d

46

23

Modelos con un único pedido (Cont. V) Ä

El coste total medio agrupando ambas situaciones resulta:

G ( S ) = cs

Ä

¥ ¥ 1 (d - S ) 2 1 d S2 ( ) P(d ) + + ( ) ( ) P d c S P d c å s å r å 2 d = S +1 d 2 d = S +1 d 2 d =0 S

Aplicando ANÁLISIS MARGINAL se obtiene un stock óptimo S0 :

H ( S 0 - 1) < r < H ( S 0 + 1) Siendo, r : Tasa de ruptura

H (S ) = P (d £ S ) + (S +

1 ¥ P (d ) ) å 2 d = S +1 d

STOCKS

47

Modelos con un único pedido (Cont. VI) Ä En caso de que la demanda fuese CONTINUA los costes medios de los dos casos estudio resultan:

ΠCon penalizaciones y sin Cs S

¥

0

S

G ( S ) = c1 ò ( S - x) f ( x) dx + c2 ò ( x - S ) f ( x) dx

 Con Cr y

Cs

S

x 1 G(S ) = cs ò (S - ) f ( x) dx + cs 2 2 0

ò

¥

S

2 ¥ (x - S) S2 1 f ( x) dx + cr ò f ( x) dx S x 2 x

Nota: Suponiendo T=1 STOCKS

48

24

Modelos con un único pedido (Cont. VII) Ä

¶ G (S )

CÁLCULO DEL STOCK ÓPTIMO S0

¶S

=0

“Utilizando la función acumulada de la demanda F(d)”

 Con penalizaciones y sin Cs :

‚ Con Cr y con Cs :

F (S0 ) =

F (S0 ) + S0 ò

¥

S0

c2 c1 + c2

f ( x) cr dx = =r x c s + cr

STOCKS

49

Modelos con un único pedido (Cont. VIII) Año 2092

Ejemplo:

La empresa REXPO quiere determinar cuántas camisetas fabricar para cubrir la demanda prevista para la exposición universal ubicada en Teruel

F El coste de adquisición de cada camiseta es de 25 euros y el precio de venta es de 75 euros.

F Las camisetas que no se vendan durante la exposición se enviarán a las ONGs

peruanas para los niños de la calle. En el caso de que la demanda exceda la cantidad fabricada es posible adquirir camisetas de otro fabricante a un precio de 65 euros.

F

La demanda de camisetas durante la exposición es una variable aleatoria que se distribuye según una distribución uniforme entre 200 mil y 400 mil camisetas.

Es un modelo de demanda aleatoria con penalizaciones: • C1 (penalización por exceso) = 25 euros/camiseta • C2 (penalización por defecto) = 40 euros/camiseta STOCKS

F ( S0 ) =

S 0 - 200 C2 = 200 C1 + C2

S0=323 mil camisetas

50

25