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5.
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Libro para el docente
Mi carpeta de
Matemática Libro para el docente
MI CARPETA DE Matemática
5
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.
Libro para el docente MI CARPETA DE 5.°
Matemática Libro para el docente es una obra colectiva, creada,
diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana, bajo la dirección de Graciela Pérez de Lois, por el siguiente equipo: Viviana R. Chiesa Claudia A. David Silvia S. Tabasco Edición: Laura Spivak. Jefa de edición: María Laura Latorre. Gerencia de Gestión Editorial: Mónica Pavicich. Índice Recursos para la planificación, pág. 2 Clave de respuestas, pág. 6 Jefa de arte: Claudia Fano. Diagramación: Darío Dip. Corrección: Paula Smulevich. © 2011, EDICIONES SANTILLANA S.A. Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina. ISBN: 978-950-46-2430-1 Queda hecho el depósito que dispone la ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. Primera edición: septiembre de 2011 Este libro se terminó de imprimir en el mes de septiembre de 2011, en Grafisur S.A., Cortejarena 2943, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, República Argentina.
Chiesa, Viviana R. Mi carpeta de 5.º matemática : libro para el docente / Viviana R. Chiesa ; Claudia A. David ; Silvia S. Tabasco. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2011. 16 p. ; 24x19 cm. ISBN 978-950-46-2430-1 1. Formación Docente. 2. Matemática. I. David, Claudia A. II. Tabasco, Silvia S. CDD 371.1
2
Mayo
Abril
Operaciones con naturales
2
Abril
Marzo
Sistemas de numeración
1
Tiempo estimado
Capítulo
© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
Interpretar diferentes algoritmos para realizar multiplicaciones o divisiones.
Algoritmos de la multiplicación y la división con números naturales.
Multiplicaciones y divisiones con números naturales. Propiedades. Significado de los términos de la división entera y su relación. Propiedades de la multiplicación y la división.
Redondeos a las centenas y a las unidades de mil.
Comprender la ventaja del redondeo para anticipar resultados aproximados y realizar estimaciones.
Sistemas de numeración no posicionales, en particular el egipcio.
Multiplicaciones y divisiones por 10, 100, 1.000, ...
Números de 6, 7 y 8 cifras. El sistema de numeración decimal.
Contenidos
Sumas y restas con números naturales. Propiedades conmutativa y asociativa.
Resolver situaciones con multiplicaciones y divisiones. Interpretar el significado de cada uno de los términos de la división entera y su relación. Conocer y usar las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva para simplificar los cálculos.
Semanas
1
2
3
4
Análisis e interpretación de diferentes algoritmos para realizar cuentas de multiplicar o dividir.
Resolución de situaciones que involucran multiplicaciones y divisiones con números naturales. Resolución de problemas de conteo mediante diagramas de árbol y multiplicaciones. Resolución de situaciones que permiten interpretar el significado de cada uno de los términos de una división y su relación. Uso de la calculadora para interpretar y determinar cocientes y restos. Resolución de situaciones en las que se expliciten las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación. Uso de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Cálculo de divisiones mediante descomposición del divisor. Uso de la calculadora.
Resolución de situaciones que requieren redondear a las centenas o a las unidades de mil para anticipar su resultado aproximado.
Resolución de situaciones en las que se expliciten las propiedades asociativa y conmutativa de la suma. Aplicación en la resolución de cálculos mentales.
Análisis de algunas características del sistema de numeración egipcio. Traducción de un sistema al otro. Comparación de los sistemas de numeración decimal y egipcio.
Uso de la calculadora. Resolución de situaciones que requieren multiplicar o dividir por la unidad seguida de ceros. Elaboración de estrategias para multiplicar o dividir por números que terminan en uno o más ceros.
Lectura y escritura de números de hasta 8 cifras. Análisis del valor posicional de cada cifra y su utilización en la resolución de cálculos mentales. Composición y descomposición de números. Uso de la calculadora con restricciones.
Estrategias didácticas
• Analizar el comportamiento de los números racionales en sus dos formas de expresión para establecer sus características y propiedades. • Profundizar el estudio de las figuras y los cuerpos poliedros construyendo soluciones y argumentando sobre afirmaciones, estrategias y procedimientos. • Profundizar el estudio de la proporcionalidad directa y las unidades de medida.
Comprender y utilizar las propiedades asociativa y conmutativa de la suma para simplificar los cálculos. Elaborar y utilizar estrategias para realizar sumas en forma mental.
Conocer sistemas de numeración no posicionales para comprender la importancia que tiene la posición en el sistema decimal.
Elaborar y utilizar estrategias para multiplicar y dividir por la unidad seguida de ceros. Reconocer la relación entre esto y el hecho de que nuestro sistema de numeración es decimal.
Reconocer y utilizar números de 6, 7 y 8 cifras. Explicitar las relaciones subyacentes en el sistema de numeración decimal.
Expectativas de logro
• Leer, escribir y comparar números naturales avanzando en el análisis del valor posicional de las cifras y el conocimiento de otros sistemas de numeración. • Profundizar el estudio de las operaciones, sus diferentes sentidos, las estrategias de cálculo y las propiedades de los números y de las operaciones. • Profundizar el estudio de los múltiplos y divisores.
Propósitos
Recursos para la planificación
3
Capítulo
Agosto
Julio
Rectas, ángulos y triángulos
5
Junio
Fracciones
4
Mayo
Múltiplos y divisores
3
Tiempo estimado
Triángulos: construcción, clasificación según sus lados y sus ángulos, propiedad de los lados y suma de los ángulos interiores. Circunferencia y círculo.
Identificar la circunferencia como el conjunto de puntos que equidistan de otro. Utilizar el compás con destreza.
Fracción de una cantidad. Multiplicación y división de una fracción por un número natural.
Obtener fracciones de una cantidad. Resolver situaciones que requieren multiplicar una fracción por un número natural o calcular su mitad.
Construir triángulos a partir de ciertos datos y clasificarlos según sus lados y sus ángulos. Comprender y utilizar la propiedad de la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo.
Suma y resta de fracciones con distintos denominadores.
Sumar y restar fracciones con distintos denominadores.
Rectas secantes, perpendiculares y paralelas. Clasificación, medición y trazado de ángulos.
Comparación de fracciones. Ubicación de fracciones en la recta numérica.
Comparar fracciones y ubicarlas en la recta numérica.
Reconocer y trazar rectas según su ubicación relativa en el plano. Clasificar, trazar y medir ángulos convexos.
Sumas y restas con fracciones en forma mental. Número mixto.
Fracciones equivalentes.
Fracciones para partir, repartir y medir.
Múltiplo común menor. Divisor común mayor.
Múltiplos y divisores. Reglas de divisibilidad sencillas.
Contenidos
Resolver cálculos y situaciones que requieren sumar o restar fracciones en forma mental y expresar fracciones como números mixtos.
Identificar expresiones que representan la misma cantidad.
Comprender algunos de los sentidos de las fracciones.
Resolver situaciones que requieren la búsqueda de múltiplos o divisores comunes.
Reconocer y resolver situaciones que requieren la búsqueda de múltiplos o divisores de un número. Descomponer un número en factores para encontrar divisores. Utilizar las reglas de divisibilidad para identificar múltiplos o divisores de un número.
Expectativas de logro
© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
Uso del compás. Copia de figuras. Identificación de la circunferencia como el conjunto de puntos que equidistan de otro dado. Identificación de radios y diámetros. Construcción de triángulos con el compás.
Construcción de triángulos a partir de ciertos datos. Análisis de unicidad. Clasificación de triángulos según sus lados y sus ángulos. Verificación de la propiedad triangular. Resolución de situaciones que involucran la suma de los ángulos interiores de un triángulo.
Reconocimiento y trazado de rectas paralelas, secantes y perpendiculares. Clasificación, medición y trazado de ángulos convexos. Uso de la escuadra para clasificar ángulos, comparándolos con uno recto. Uso del transportador.
Resolución de situaciones que requieren obtener la fracción de una cantidad. Resolución de situaciones cotidianas que requieren obtener el doble de una fracción, el triple… y la mitad. Resolución de problemas que requieren multiplicar o dividir una fracción por un número natural.
Resolución de situaciones que requieren sumar o restar fracciones con denominadores diferentes.
Comparación de fracciones de igual denominador y distinto denominador. Ubicación de fracciones en la recta numérica.
Resolución de situaciones que requieren sumar o restar una fracción a un entero y sumar o restar fracciones de igual denominador. Resolución de situaciones que involucran números mixtos.
Resolución de situaciones que permiten visualizar la equivalencia de fracciones. Identificación y obtención de fracciones equivalentes.
Resolución de situaciones de partición, reparto y medida que apelan a los diferentes significados de una fracción. Reconstrucción del entero a partir de una fracción.
Resolución de situaciones cotidianas que requieren la búsqueda del múltiplo común menor o el divisor común mayor.
Resolución de situaciones que requieren la búsqueda de múltiplos o divisores. Reconocimiento de la descomposición en factores como estrategia para determinar divisores de un número. Aplicación de reglas de divisibilidad por 2, 3, 5, 6, 10 y 100 para determinar múltiplos o divisores de un número.
Estrategias didácticas
4
Octubre
Fracciones y decimales
7
Septiembre
Agosto
Fracciones y decimales
6
Tiempo estimado
Capítulo
Porcentajes.
Multiplicaciones y divisiones con números decimales. Cálculo de promedios.
Calcular porcentajes.
Resolver multiplicaciones y divisiones con números decimales utilizando diversas estrategias. Calcular promedios.
Poliedros. Prismas y pirámides.
Conocer las características de los prismas y las pirámides.
© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
Construcción de cuadriláteros.
Suma de los ángulos interiores.
Construir cuadriláteros a partir de ciertos datos, analizando si la información es suficiente y si la construcción es única.
Calcular la amplitud de un ángulo de un cuadrilátero a partir de sus propiedades y de la suma de los cuatro ángulos.
Cuadriláteros: propiedades, clasificación.
Multiplicación y división de números decimales por 10, 100, 1.000, ...
Elaborar estrategias para multiplicar y dividir números decimales por 10, 100, 1.000, ...
Conocer las características de los cuadriláteros para identificarlos y clasificarlos.
Sumas y restas con números decimales.
Comparación y representación de números decimales en la recta numérica.
Fracciones y números decimales.
Contenidos
Sumar y restar números decimales.
Comparar números decimales y representarlos en la recta numérica.
Explorar la notación decimal a partir de fracciones con denominador 10, 100, 1.000, ... Asociar la notación decimal con la escritura y la lectura de precios.
Expectativas de logro
Recursos para la planificación
1
2
3
4
Determinación de las características de prismas y pirámides. Armado de pirámides a partir de sus desarrollos planos. Relación entre la cantidad de lados de la base y el número de caras, aristas y vértices del poliedro. Identificación del desarrollo plano correspondiente a determinado poliedro.
Construcción de cuadriláteros a partir de ciertos datos y bajo determinadas condiciones. Análisis de la unicidad de la construcción.
Determinación de la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero. Cálculo de la amplitud de un ángulo interior a partir de cierta información, sobre la base del conocimiento de las propiedades de la figura.
Identificación de cuadriláteros a partir de la longitud de sus lados, su paralelismo y su perpendicularidad, o de las características de sus ángulos o diagonales.
Resolución de multiplicaciones y divisiones con números decimales asociándolos con fracciones decimales o por medio de algoritmos. Resolución de situaciones cotidianas utilizando diversas estrategias. Uso de la calculadora. Obtención de promedios.
Cálculo de porcentajes sencillos en forma mental. Resolución de situaciones que involucran cálculos de porcentajes, descuentos y recargos.
Deducción de regularidades al multiplicar y dividir un número decimal por 10, 100, 1.000, ..., y aplicación en situaciones cotidianas.
Resolución de situaciones cotidianas que requieren sumar y restar números decimales. Uso de la calculadora.
Resolución de situaciones que requieren comparar y ordenar números decimales. Representación de números decimales en la recta numérica.
Escritura y lectura de precios con notación decimal. Escritura de una fracción de denominador 10, 100, 1.000, ..., como número decimal. Obtención de una fracción decimal equivalente a otra dada, cuando sea posible, y escritura como número decimal. Interpretación de la suma de fracciones con denominadores 10, 100 y 1.000, y numeradores de una cifra como expresión de un número decimal. Uso de la calculadora.
Estrategias didácticas
Semanas
5
Capítulo
Manejar las equivalencias usuales entre unidades de una misma magnitud.
Resolver situaciones de proporcionalidad directa.
Expectativas de logro
Contenidos
Búsqueda de ejemplos cuyas masa, capacidad o longitud se midan con determinadas unidades. Uso de unidades convencionales y algunos de sus múltiplos y submúltiplos, y sus relaciones de equivalencia en la resolución de situaciones cotidianas.
Resolución de problemas cotidianos de proporcionalidad directa. Identificación, cálculo y uso de constantes de proporcionalidad directa. Determinación de la presencia de proporcionalidad, o no, en una situación dada. Interpretación y armado de tablas.
Estrategias didácticas
• Dictado de figuras y elaboración de pistas para la construcción o el descubrimiento de figuras dadas. • Anticipación de resultados y medidas, y verificación de las estimaciones realizadas con los procedimientos adquiridos. • Uso adecuado de las unidades de medida en la vida cotidiana.
Unidades de longitud, masa y capacidad.
Proporcionalidad directa. Tablas de proporcionalidad directa, propiedades.
• Participación en la búsqueda de estrategias y en la resolución de problemas. • Cumplimiento de consignas estructuradas. • Elaboración de argumentos respecto de los procedimientos más económicos para la resolución de problemas. • Autocorrección en clase de las tareas realizadas.
Evaluación
Noviembre
Proporcionalidad. Medidas
8
Tiempo estimado
© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
Las actividades cuya respuesta no figura quedan a cargo de los alumnos.
1
Sistemas de numeración
1. Sí, porque 999.999 + 3 = 1.000.001. Se lee: un millón uno. 2. El menor: 134.578 (ciento treinta y cuatro mil quinientos setenta y ocho). El mayor: 875.431 (ochocientos setenta y cinco mil cuatrocientos treinta y uno). 3. a) Ale: 9.876.543 Nico: 10.000.000 Facu: 10.234.567 b) Facu.
17. Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio TOTAL
b) 2.480
c) 248 9.000 7.400
2 de mil y 3 de cien. 4 de mil y 2 de cien. 3.000 5 de mil y 1 de cien. 31.000
18. a) 3.200 b) 49 c) 105
d) 12.000 e) 840.000 f) 5.794
19. a) El primero. b) El segundo.
c) El segundo. d) El primero.
20. a) Sí, porque 2.961 × 100 = 296.100. b) 100; 296.
4. a) 20.666.666 b) Veinte millones seiscientos sesenta y seis mil seiscientos sesenta y siete.
21. a) 2.400; 680.000; 50; 30.006.800; 45.800.000. b) Con azul: 2.400; 680.000; 30.006.800; 45.800.000. Con verde: 680.000; 45.800.000.
5. F, porque 9.990.999 no llega a 10 millones y el otro supera los 50 millones. F. Por ejemplo, 90.009.009 > 89.999.990. V
22. a) 330
6. a) 400.800; 500.900; 601.000; 701.100. b) 130.508; 140.509; 150.510; 160.511. 7. Porque fue ubicando cada 3 en la posición correspondiente. Da 3.030.330. 8. El primer 5 de 15.505.952 vale 5.000.000; el segundo, 500.000; el tercero, 5.000, y el cuarto, 50. 9. 932.476 – 30.400 = 902.076 932.476 + 1.003.000 = 1.935.476 932.476 – 901.000 = 31.476 10. a) Con 6 de 1.000.000 de puntos, 4 de 100.000, 2 de 10.000 y 3 de 1.000. b) Como antes, pero derribando 30 de 100 puntos en vez de 3 de 1.000. 11. 3.572.849 12. a) 7 + 20 + 400 + 9.000 + 50.000 + 300.000 + 6.000.000 b) 6 × 10 + 3 × 100 + 5 × 1.000 + 9 × 100.000 + + 8 × 1.000.000 + 4 × 10.000.000 13. 1000000 + 1000000 + 100000 + 1000 + 1000 + 1000 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 = 14. a) 7.046.528 (siete millones cuarenta y seis mil quinientos veintiocho). b) 40.900.380 (cuarenta millones novecientos mil trescientos ochenta). 15. × 10; × 100; × 1.000.
6
16. a) 24.800
b) 2.214
c) 20.500
d) 100.001
23. a) b) No. 24. a) b) c) 25. a) No (el primero es 1.510 y el segundo, 1.010.000). b) 20 símbolos. 26. a) 24 b) Uno solo (el 11.110). c) Porque el sistema de numeración egipcio no es posicional. 27. Es el último, porque es el único que tiene el símbolo de 1.000.000. 28. La primera fila se completa, de izquierda a derecha, con 23.410; 234.100 y 2.341.000. La segunda fila se completa con esos mismos números en el sistema egipcio: 23.410 234.100 2.341.000
© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
Clave de respuestas
para repasar e integrar
¿cÓMO Me FUe?
¿QUÉ apreNdÍ?
En el de arriba: D. En el del medio: C – B. En el de abajo: A.
• A leer, usar y comparar números de hasta ocho cifras. • A descomponer números: agrupo de a diez y considero el valor de cada cifra. • Que hay sistemas de numeración que, a diferencia del nuestro, no son posicionales. Por ejemplo, el sistema egipcio. 2.
Número anterior
3.
Número siguiente 578.099
578.100
4.009.999
4.010.000
4.010.001
9.999.998
9.999.999
10.000.000
89.999.999
90.000.000
90.000.001
15.594.428
Córdoba
3.304.825
Santa Fe
3.200.736
Mendoza
1.741.610
Tucumán
1.448.200
1. Armó ANCLA (120 + 35 + 10 + 1 + 1 = 167) y SAXOFÓN (100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 4 + 1 = 235).
3. a) (175 + 25) + (82 + 8) + 10 = 200 + 90 + 10 = 300 b) (1.600 + 400) + (5.800 + 200) = 2.000 + 6.000 = 8.000 c) (773 + 7) + (290 + 10) = 780 + 300 = 1.080 4. Hay que rodear el 2.º, el 3.º y el 5.º. Maia terminó ganando 3 figuritas.
Habitantes
Buenos Aires
Operaciones con naturales
2. a) 769 + 10 + 100 = 879 b) 769 + 1.000 + 10 = 1.779 c) 769 + 4.100 = 4.869
578.098
Provincia
2
5. Matías, porque 189 son casi 200 y 286 son casi 300; entonces, redondeando, el cálculo es aproximadamente 200 + 500 + 300 = 1.000. 6. Hay que rodear 12.000, 13.000, 7.000 y 1.000. 7. Por ejemplo:
Fuente: www.censo2010.indec.gov.ar
4. 12.345.678 (doce millones trescientos cuarenta y cinco mil seiscientos setenta y ocho). 5. a) 199.001
b) 762.046
c) 12.223.011
© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
6. El último. 7. a) 300.000, 300 y 3. b) 3.000.000 y 3.000.
c) 30.000.000, 30.000 y 30.
8. a) Con 1 de 1.000.000, 2 de 100.000, 3 de 10.000, 9 de 100, 5 de 10 y 1 de 1. b) Con 9 de 100.000, 8 de 10.000, 7 de 100, 6 de 10 y 8 de 1. c) Con 4 de 100.000, 5 de 10.000, 6 de 1.000, 2 de 10 y 9 de 1. d) Con 24 de 1.000.000, 6 de 100.000, 5 de 10.000, 5 de 1.000, 2 de 100 y 9 de 1. 9. a) 66.010 10. a) : 10
11. a) 500.130 b) 1.000.534
c) × 1.000
d) × 100
c) 260.020 d) 1.013.002
12. Pueden ser: a)
Resultado aproximado
Resultado exacto
3.301 + 6.700
10.000
10.001
5.939 + 9.000
15.000
14.939
7.011 – 6.000
1.000
1.011
11.899 – 4.000
8.000
7.899
Paquetes
10
6
8
7
15
5
Cantidad de pastillas
90
54
72
63
135
45
9. Sirven todos, excepto el primero. 10. a) Hay 24 menús posibles.
b) 3 × 4 × 2 = 24
11. Tienen que hacer 2 sándwiches más. 12. 56 hileras.
b) 110.510 b) : 100
8.
Cálculo
13. a) 325
b) 650
14. a) Son 3 × 5 × 2 = 30 conjuntos. b) Por ejemplo: 48 × 10; 24 × 20; 80 × 6. c) 16 cajas. 15. a) La de 288 caramelos.
3.121
b) 24
16. Divisor: 32. Cociente: 38. Dividendo: 569.
b)
110.240
c)
30.310
17. Hay 8 posibilidades:
7
Resto 0 1 2 3 4 5 6 7
18. Cociente: 101, resto: 3. 19. a) 1.500
b) 42.000
c) 7.966 (con calculadora). d) Pueden hacer (264 + 36) + 900 = 300 + 900 = 1.200. 2. Saltos, Tren fantasma y Tazas voladoras. 3. a) =
4. La de camisas y buzos. 5. Son los cálculos a), c), e) y f). Cociente: 102, resto: 1. c) 8
8. 18 gomas, 19 lápices y 16 reglas. 9. En 32 días. 10. 14 estantes.
c) 630 + 35 = 665 d) 630 – 35 = 595
11. 1.762 y 364. 12. El a) y el c).
22. Por ejemplo, 7.020 : 130 : 2 = 27.
13. a) 700.000
23. a) En ambas, 1.512. b) Sí. c) 20 × 63
14. El primero con el tercero, el segundo con el quinto y el tercero con el primero.
24. 80
2 × 40
150
d) Sí, sin el 0. e) 63 × 4 f) 20 × 63 + 4 × 63 30 × 5
1.200
30 × 40
25. a) Porque fue encontrando cocientes mayores que Luli. b) Sumaron los cocientes parciales. c) El 200 está en 100 + 100 y el 30, en 10 + 10 + 10.
b) 300.000
c) 270.000
a) F
3
b) V
c) F
d) F
1. Sí, significa que 72 y 84 son múltiplos de 3.
para repasar e integrar
2. a) Por ejemplo: 102, 108, 114.
• Que cuando sumo o multiplico puedo agrupar y conmutar los números, porque el resultado no cambia, en cambio, cuando resto, no puedo. • Que para multiplicar mentalmente puedo descomponer uno de los factores como una suma o una resta, y distribuir el otro factor. • Que en una división el resto siempre es menor que el divisor. • Que para saber si una división entera está bien hecha puedo hacer esta cuenta: divisor × cociente + resto y ver si es igual al dividendo. 1. a) Por ejemplo, pueden hacer 300 + 50 + 200 + 30 + + 20 + 2.000 = (300 + 200) + (50 + 30 + 20) + 2.000 = 2.600. b) Pueden hacer (197 + 3) + 1.800 + 300 = = 200 + 1.800 + 300 = 2.300.
d) 80.000
¿cÓMO Me FUe?
26. Los alumnos explicarán que tomaron 95, dividieron por 25, anotaron 3 en el cociente, restaron y bajaron el 7, y así siguieron bajando cifras y dividiendo. Podrán ver las equivalencias entre este procedimiento y la cuenta que hizo José.
¿QUÉ apreNdÍ?
8
6. Son 3 × 2 × 2 = 12 disfraces. 7. El b), el d) y el e).
d) 40
20. Por ejemplo: a) 13 × 2 × 2 × 2 = 26 × 2 × 2 = 104 10 × 8 + 3 × 8 = 80 + 24 = 104 b) 19 × 3 × 2 = 57 × 2 = 114 10 × 6 + 9 × 6 = 60 + 54 = 114 21. a) 2 × 630 = 1.260 b) 630 : 2 = 315
b) ≠
Múltiplos y divisores
3. a) Por ejemplo, 256.
b) Sí.
b) Por ejemplo, 276.
4. Con verde: 1, 2, 3, 4, 6, 8 y 12. Con azul: 1, 5 y 13. Con rojo: 1 y 11. 5. a) Hay que señalar la combi y el micro chico. b) 25 combis o 19 micros chicos. 6. 1.ª fila: 66, 72, 78, 84, 90, 96. 2.ª fila: 45, 60, 75, 90, 105 (no se consideran el 30 y el 120, ya que se pide que estén entre ellos). 3.ª fila: 0, 17, 34, 51, 68, 85. 7. Cata: 1.535.
Tomi: 3.273.
Nati: 2.010.
8. 2 × 24, 3 × 16, 4 × 12, 6 × 8. Los divisores de 48 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48. 9. a) 7 × 7 × 7 × 6 = (da 2.058). b) 4 × 5 × 4 × 4 = (da 320).
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Dividendo 56 57 58 59 60 61 62 63
10. a) 105 = 3 × 5 × 7 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 66 = 2 × 3 × 11 294 = 2 × 3 × 7 × 7 b) Por 15: 105 y 120. Por 8: 120. Por 21: 105 y 294. Por 22: 66. c) Pueden mencionar cualquiera de estos: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66. 11. El 1, porque al dividir cualquier número por 1 se obtiene el mismo número como cociente y resto 0. 12. a) Sí, porque 100 es divisible por 4, 5, 25 y 20. b) Facu y Flor, porque 100 : 4 = 25, y también Mateo y Luli, porque 100 : 5 = 20. c) Sí, de 4 integrantes cada uno. d) 2 de 50, 50 de 2, 10 de 10. 13. Pueden entre 4, 3, 6 y 12 cursos, pero no entre 7. 14. a) F
b) V
c) V
d) V
e) F
f) V
15. a) Hay que escribir una C en las casillas con los números 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60 y 63, y una F en las que tienen los números 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56 y 60. b) En las que contienen 24, 36, 48 y 60. c) Hay que completar con 3 y 4. 16. 36 lápices.
6. Por ejemplo, 2, 4, 6 y 12. 7. Porque si es divisible por 6, tiene que ser par, y si es divisible por 100, también lo es por 5, ya que termina en 0. 8. En la 1.ª columna, 269; en la 2.ª, 20.890, y en la 3.ª, 1.005. 9. a) Pueden agregar 1, 4 o 7. b) Puede ser 0 o 5.
c) Hay que agregar 0. d) Puede ser 0 o 6.
10. El 1.º es 20 y el 2.º, 24. 11. 15 grupos de 5 nenas y 3 nenes. 12. No, porque el mínimo común múltiplo de 6, 8 y 5 es 120. Volverá a ocurrir a los 120 días. 13. a) 21 alumnos (es el máximo común divisor de 231 y 105). b) 5 cartas y 11 fichas. ¿cÓMO Me FUe?
1. 48 2. 104 3. 1 4. 600
17. Dentro de 12 días.
5. 40
18. El de 35 pétalos. 19. a) 6 collares. 20. a) 35
b) 2 amarillas y 3 anaranjadas. b) 40
c) 45
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para repasar e integrar • Que para encontrar múltiplos de un número lo multiplico por cualquier número natural. • Que un número es divisor de otro si al dividir el primero por el segundo da resto 0. • Que para saber si un número es múltiplo de otro sin hacer una división, puedo usar reglas de divisibilidad. • A resolver problemas en los que hay que buscar múltiplos o divisores comunes. 1. Por ejemplo: 108, 117, 207, 306, 900. b) múltiplo
3. Por ejemplo: a) 2 b) 13
1. 5/4 de chocolatín, 3/4 de turrón y 1/4 de alfajor. 2. En la 1.ª hay que pintar 5 cuadraditos y en las demás, 3 cuadraditos. Se completa con 7/12, 2/3, 1/2 y 7/10. 3. En los 3 casos, con 4 partes como esa se cubre exactamente el entero. 4. Altura: 3/4 de la tira. Ancho: 5/4 de la tira. 5. La 1.ª medida con la 3.ª tira; la 2.ª con la 1.ª, y la 3.ª con la 2.ª.
c) divisor c) 18
Fracciones
NOTA: las fracciones aparecen escritas en un solo renglón con la barra inclinada, pero es importante que a los alumnos se las presenten en la forma habitual.
¿QUÉ apreNdÍ?
2. a) divisor
4
d) 24
4. Son correctas la b) y la c). 5. a) i) 7 × 5 × 7 × 2 iii) 7 × 3 × 3 × 3 × 5 ii) 3 × 2 × 2 × 3 × 7 iV) 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 5 b) Por 10: el i) y el iV). Por 9: El ii) y el iii).
6. a) En la 1.ª pueden hacer 4 cuadraditos más, iguales al del dibujo. En la 2.ª pueden hacer 5 triangulitos más, iguales a los del dibujo. b) No. 7. a) Ana: 2 bloquecitos
2/4
Renata: 3 bloquecitos
3/6
Matilda: 4 bloquecitos b) 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8
4/8
9
8. 3/9 = 1/3
3/4 = 6/8 c) 4/18
6/9 = 2/3 3/21 = 1/7
d) 12/18
e) 9/11
15/30 = 1/2 6/36 = 1/6
39. Le quedan $ 200.
14. a) 7/7
c) 3/7
d) 1 – 3/7 = 4/7
15. a) 9/9
b) 5/9 + 8/9 = 13/9 3.er dibujo. 1.er dibujo.
c) 6/9 d) 4/3
4.º dibujo. 2.º dibujo.
17. Quedan 3/4 kg, porque en 2 enteros hay 8 cuartos. 18. a) Juli: 3 + 1/2 + 1/2 = 3 + 2/2. Euge: 7/2. Lucho: 1 + 3/2. b) Juli: 4. Euge: 3 1/2. Lucho: 2 1/2. 19. 1 6/8 y 14/8. b) 4 2/3
c) 4 3/4
d) 2 2/7
40. 21/4 kg = 5 1/4 kg 41. a) 24/5 m = 4 4/5 m
b) Con 5 pasos.
42. a) Hay que pintar 6 cuadraditos y rayar 3 de ellos. b) La parte rayada representa 3/8 del total y es la mitad de 3/4, o sea que 3/4 : 2 = 3/8. 43. Mitad 1/4 1/8 2/10 = 1/5 5/12
Doble 1 1/2 4/5 10/6 = 5/3
1/2 1/4 2/5 5/6
44. Sí, es cierto, porque 24 × 3/4 litros = 18 litros, y con 3 bidones de 5 litros se reúnen 15 litros. 45.
21. a) El primo, porque se sirvió 5/8 de la pizza. b) La de mayor numerador.
Gaseosas
Carne
Helado
Pan
30 litros
20 kg
8 kg
7 1/2 kg
22. 4/5 < 1, en cambio, 3/2 > 1; por eso, 4/5 < 3/2.
46. a) 18/15 = 6/5
23. a) Carla, porque 2/3 > 2/5. b) La de menor denominador.
47. La 1.ª de la izquierda con 1/6. La 2.ª de la izquierda con 1/10. La 3.ª de la izquierda con 1/10. La 1.ª de la derecha con 1/6. La 2.ª de la derecha con 6/20. La 3.ª de la derecha con 6/20.
24. a) >
c) =
e) <
g) <
b) <
d) >
f) =
h) >
b) 12/28 = 3/7
c) 7/30
d) 3/20
25. 1/2 va en la 2.ª rayita después del 0; 3/4, en la 3.ª; 7/4, en 48. 3/4 litros. la 7.ª, y 2, en la 8.ª. 26. 4/5, 7/5 y 11/5.
49.
1/8 kg
3
3/8 kg
27. a) Tiene razón Ale, ya que 2/3 = 4/6, por lo tanto, 3/4 kg 1 1/2 L ambas fracciones se ubican en el mismo punto. b) 1/2 va en la 3.ª rayita después del 0 y 10/12, en la 5.ª. 50. 17/20 del total.
18
2 1/4 kg
28. a) Verde: 1/3.
Rojo: 1/12.
b) 5/12
29. 5/4 kg
51. a) F
b) V
c) V
30. 7/30
para repasar e integrar
31. 19/40
¿QUÉ apreNdÍ?
32. Con 7/6: a), b), d) y e) . 33. a) 1/8
b) 1/2
34. La sexta parte.
10
1/4 L
Con 4/3: c) y f). c) 3/10
d) 3/4
d) V
e) V
• Que para comparar fracciones puedo buscar fracciones equivalentes con denominadores iguales y luego comparar los numeradores. También puedo representarlas en la recta numérica; la que está más a la derecha es mayor. • Que para sumar o restar fracciones con distintos denominadores, puedo buscar fracciones equivalentes de modo
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13. 6/24 con 15/60; 2/10 con 8/40; 5/30 con 3/18.
20. a) 2 3/5
37. 240 38. 30 litros.
12. Ramiro.
16. a) 5/8 b) 3/8
b) 7/24 litros.
36. Azul: 12. Amarillo: 27. Verde: 32. Rojo: 1.
9. Por ejemplo: a) 8/10 b) 10/14 11. 5/25 = 1/5 7/28 = 1/4
35. a) Durazno; frutilla.
3/6 = 1/2
que los denominadores sean iguales, y luego sumar o restar los numeradores. 1. 14/10 = 7/5 = 1 2/5
6. De izquierda a derecha: rojo, celeste, verde, celeste, verde.
2. Hay que agregar una figura que ocupe la mitad del rectángulo rojo.
7. La 1.ª con Recto. La 2.ª con Agudo. La 3.ª con Obtuso. La 4.ª con Llano. La 5.ª con De un giro.
3. Por ejemplo: a) 1/2 b) 3/2
8. El de la izquierda mide 70º, es agudo. El otro mide 110º, es obtuso.
c) 7/3
d) 15/2
4. 3/4 está entre 0 y 1; 15/4, entre 3 y 4. 5. a) 2/3 b) 11/9 c) 4/5 6. a) b) c) d)
5/8 1/4 1 1
7. a) 13/3
d) 4/5 e) 9/5 f) 14/5 e) f) g) h)
1/2 7/8 7/8 7/4
b) 29/6
9. a) Marita. b) De 100º. c) Una vez colocado el transportador, hay que mirar la escala que tiene el 0 sobre uno de los lados del ángulo. 10. El de 65º es agudo y el de 130º es obtuso. 11. a) Mide 60º. Es agudo.
b) Mide 150º. Es obtuso.
12. a) Recto.
b) Mide 45º, es agudo.
13. b) Por ejemplo, en el ángulo que forman esos dos lados.
8. 1/2 < 7/5 < 15/7 < 22/7 < 47/10
14. b) El i) es isósceles. El ii) es equilátero. c) Son únicos.
9. En la 5.ª rayita después del 0, ya que 1 = 10/10.
15. b) El i) es isósceles acutángulo. El ii) es escaleno obtusángulo.
10. Sí, porque 1/3 + 1/5 = 8/15; así que le quedaban 7/15 del camino, y 7/15 < 1/2. 11. a) 12 1/2 kg
b) 25/4 kg = 6 1/4 kg
12. 12 años. 13. $ 1.155 14. Arroz: 3 1/2 kg; verduras: 10 1/2 kg; pollo: 12 1/4 kg. 15. A cada uno le toca 1/8 kg menos. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
5. Fede: agudo. Iván: llano. Lola: obtuso. Sofi: llano. Manu: recto.
¿cÓMO Me FUe?
• I) II) III) IV) • I)
5
3/7 Por ejemplo: 6/18 y 1/3. Es mayor que 2 enteros, pero no llega a 3 enteros. 1 1/5 6/8 II) 24/8
16. Es escaleno. 17. a) Escaleno acutángulo. Hay más de uno. b) Escaleno acutángulo. Es el único posible. c) Isósceles (o equilátero, si el tercer lado mide 5 cm). La clasificación depende de la construcción hecha. Hay más de uno. d) Equilátero acutángulo. Es el único posible. 18. a) No.
b) i) 14 cm, 12 cm y 5 cm. ii) 14 cm, 12 cm y 6 cm.
19. El único posible es el tercero. 20. a) El 1.º no. El 2.º sí, es escaleno. El 3.º no. El 4.º sí, es isósceles. b) 8 cm 21. Los tres casos son imposibles. 22. Sí, es cierto.
rectas, ángulos y triángulos
1. a) Hay que avanzar por Nicanor y doblar en Lope hacia la derecha, hasta el teatro. b) Perpendiculares. d) Conde. c) Nicanor. e) Secantes. 2. a) Perpendiculares. b) Puedo trazar una recta auxiliar perpendicular a R y luego una perpendicular a la recta auxiliar. Esta última es paralela a R.
23. a) 80º
b) 90º y 50º.
24. 20º Obtusángulo. 90º Rectángulo. 130º Obtusángulo. 25. Hay que completar con: “centro”, “radio” y “radio de la otra circunferencia”. 26. a) Hay que pintar la corona circular que queda determinada.
4. De izquierda a derecha: obtuso, agudo, recto, llano, agu- 27. do, obtuso.
a) 14 cm
b) 4 cm
11
29. a) Dos lados miden 15 mm por ser radios de la circunferencia menor y el otro, 20 mm por ser radio de la otra circunferencia. b) 40 mm de alto y 50 mm de ancho. 30. Se traza una circunferencia de 2 cm de radio con centro en el centro del sol y otra de 3 cm de radio con centro en el centro de la estrella. El punto donde se cortan dentro del babero es el que se busca. 31. a) Se traza una circunferencia de 2 cm de radio con centro en el punto rojo y otra de 4 cm de radio con centro en el punto azul. El tercer vértice está en uno de los puntos donde se cortan. b) Es imposible. 32. b) No, es el único posible. 33. Uno debe tener 2 lados de 5 cm y el tercero de 4 cm; el otro, 2 lados de 4 cm y el tercero de 5 cm. 36. Hay que pintar los carteles que dicen: Triángulo equilátero de 7 cm de lado. Lados de 5 cm, 6 cm y 8 cm.
para repasar e integrar
10. No, en ninguno de los dos casos. ¿cÓMO Me FUe?
a) F
b) V
6 1.
c) V
d) F
Fracciones y decimales Patitas. Palitos de colores.
2. a) 0,50
Orejas. Palitos blancos.
b) 0,05
Hueso chico. Hueso mediano.
c) 0,25
d) 0,10
3. a) b) c) d)
3,90 0,15 0,09 2,45
4. a) b) c) d)
3/10 = 0,3 Tres décimos. 29/100 = 0,29 Veintinueve centésimos. 14/10 = 1,4 Un entero, cuatro décimos. 165/100 = 1,65 Un entero, sesenta y cinco centésimos.
e) f) g) h)
10,10 5,05 0,01 1 o 1,00.
• Que dos rectas son paralelas cuando no se cortan en ningún punto; si se cortan en un punto son se- 6. 3.475 milésimos; 3,475. cantes, y si al cortarse forman cuatro ángulos igua7. a) 5,168 b) 7,06 c) 2,009 les, son perpendiculares. • Que un ángulo recto mide 90º; uno llano mide 180º; 8. 597/10, 59 + 7/10 y 5.970/100. los que miden menos de 90º son agudos, y si mi9. a) 0,5 d) 0,125 den entre 90° y 180º son obtusos. b) 0,25 e) 0,2 • Que los triángulos se clasifi can en escalenos, isóscec) 0,75 f) 0,004 les y equiláteros según sus lados, y según sus ángulos, en acutángulos, rectángulos y obtusángulos. 10. a) 8.5 b) 8.5 c) 8.5 • Que en cualquier triángulo cada lado es menor que d) Se pueden agregar o quitar los ceros que están al la suma de los otros dos. final de la parte decimal; el número no cambia. • Que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º. 1. b) Las dalias. c) Las dalias (y también Lapacho, cosa que se evidencia al prolongar las calles). 3. b) Isósceles obtusángulo.
c) La medida de un lado.
4. a) El de arriba, agudo y el otro, obtuso. b) 55º y 115º. 5. 90º y 30º. 6. Regla y compás. 7. Hay 5 rombos a más de 3 cm del punto rojo y 8 a menos de 2 cm de él. 8. Por ejemplo, 5 cm, 7 cm y 10 cm. 9. a) 35º
12
c) Obtusángulo isósceles.
11. a) < b) < c) =
d) < e) = f) >
g) < h) = i) <
12. 0,5 < 0,8 < 3,89 < 3,9 < 4,2 < 4,25 13. 0,7 va en la 7.ª rayita después del 0; 1,2, en la 2.ª rayita después del 1. 14. 1,5; 2,25; 3,75. 15. a) Por ejemplo, 0,021; 0,022; 0,023. b) 0,201; 0,202; 0,203; 0,204; 0,205; 0,206; 0,207; 0,208; 0,209. 16. a) A 1,8 m.
b) 1,75 m
17. a) Un sacapuntas de $ 2,75.
c) 0,45 m b) $ 27,55
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5. 237 centésimos; 2,37. 2 enteros + 3 décimos + 7 centésimos.
¿QUÉ apreNdÍ?
18. Cuando suma los centésimos y obtiene 120, debe con- 36. a) 421,6 : 10 = 42,16 c) (421,6 : 100) × 10 = 42,16 b) 421,6 : 10 = 42,16 d) (421,6 : 1.000) × 10 = 4,216 siderar que 100 centésimos es 1 entero; entonces, debe sumar 1 a los 13 enteros y dejar solo 20 centésimos 37. 973 × 0,1 = 97,3 = 973 : 10 como parte decimal. La cuenta da 14,20. Multiplicar por 1 décimo es dividir por 10. 973 × 0,01 = 9,73 = 973 : 100 19. 1,735 kg Multiplicar por 1 centésimo es dividir por 100. . – 6 5 20. a) 973 × 0,001 = 0,973 = 973 : 1.000 Multiplicar por 1 milésimo es dividir por 1.000. . – 6 b) c)
–
.
0
5
d)
+
.
0
1
e)
+
.
0
0
38. $ 30,90 39. a) 0,14 b) 0,008 c) 0,02 d) 0,34 e) 1 f) 0,005 3
21. a) María. b) 46,250 kg c) 47,700 kg d) A Juana, 6,300 kg y a María, 6,350 kg.
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22. a) 4,73 y 47,3. b) 47,3; 473 y 470. c) 473 y 4.730.
… hacia la derecha. … 2 lugares hacia la derecha. …3 lugares hacia la derecha.
23. 49,65 167 526,32 9,8
496,5 1.670 5.263,2 98
4.965 16.700 52.632 980
24. a) 4,73 b) 8,462 c) 0,0125
…un lugar hacia la izquierda. …2 lugares hacia la izquierda. …3 lugares hacia la izquierda.
25. a) × 10 b) × 100 c) × 1.000
d) : 100 e) : 10 f) : 1.000
26. 10 gorritos: $ 25. 10 globos: $ 12.
10 cornetas: $ 28. 10 caramelos para cada uno: $ 25.
27. De arriba hacia abajo hay que completar con 32,50; 1,20; 2,85; 80 y 2,75. 28.
50/100 1/4 3/4
La mitad. 25%
75/100
75%
10/100
10%
La décima parte.
1/5
20/100
La quinta parte.
8/8 = 1
100/100
El total.
29. a) El 50%. Son 30 chicos.
b) 45 chicos.
30. a) $ 72
c) $ 132
b) Sí.
31. El 57%. 32. 75, 12, 18, 90, 3.500, 1.520. 33. $ 229,50 34. Germán, 4,20 m y su hermano, 8,40 m. 35. 9,4 m.
40. Gastó $ 8 en las papas, $ 8 en las cebollas y $ 8,75 en las zanahorias. En total, $ 24,75. 41. $ 19,95 42. El kilo de café, $ 68,90 y cada paquete de galletitas, $ 4,90. 43. $ 6,20 44. Los estantes, 1,25 m y los listoncitos, 0,45 m. 45. $ 64,20 46. 6,75 47. 21,5 ºC 48. 39 km 49. 10
5,4
0,054
0,162
162
40,5
× 10
para repasar e integrar ¿QUÉ apreNdÍ?
• Que las fracciones con denominador 10, 100 o 1.000 se llaman fracciones decimales y se pueden escribir como números decimales. • Que en los números decimales, el primer lugar después de la coma lo ocupan los décimos; el segundo lugar, los centésimos, y el tercero, los milésimos. • Que cuando sumo o resto números decimales, sumo o resto los décimos con los décimos, los centésimos con los centésimos, etcétera. • Que para calcular el 50% de un número, lo divido por 2; para hallar el 25%, lo divido por 4; para averiguar el 10%, lo divido por 10. • Que para calcular, por ejemplo, el 45% de 80, hago (45/100) × 80 = 36. 1. a) 50,1 12/100 0,053 12,37 734/100 1.006/1.000 b) Cincuenta enteros, un décimo. Doce enteros, treinta y siete centésimos. Doce centésimos. Siete enteros, treinta y cuatro centésimos. Cincuenta y tres milésimos. Un entero, 6 milésimos.
13
2. i) 1,045 II) 1,12 III) 0,45 IV) 1,27 Para 1,007 puede ser, por ejemplo: está entre 1 y 2, y su parte decimal tiene solo 7 milésimos. b) Hay 60 milésimos.
4. a) Por ejemplo: 0,5; 1,2; 1,62. b) Por ejemplo: 99,01; 99,25; 99,785. 5. Por ejemplo, se le podría decir que 3,91 > 3,785 porque la cifra de los décimos es mayor, o porque 3,91 = 3,910. 6. a) 1,50 m > 1,45 m > 1,3 m > 0,9 m 7. $ 3.621,37 8. 1,74 m 9. El error es no haber colocado las comas una debajo de la otra. Las cuentas correctas son: 256,0
8,45
+
– 7,3 263,3
7,20 1,25
10. a) × 100 b) × 1.000 c) : 100
4. c) Sí; cambiaría la amplitud de los ángulos interiores y tal vez la medida de los lados que no tienen 5 cm. 5. 1.ª columna: Romboide. 2.ª columna: Paralelogramo común. Rombo. Rectángulo. Cuadrado. 3.ª columna: Trapecio isósceles. 4.ª columna: Trapecio rectángulo. 5.ª columna: Rectángulo. Cuadrado. 6. a) Iván: trapecio rectángulo. Mora: rombo. b) Por ejemplo: cuadrilátero que tiene un solo par de lados paralelos y los 4 ángulos distintos. c) Cuadrilátero con 4 ángulos diferentes que no tiene lados paralelos. 7. 1.ª columna: Trapecio isósceles. Rectángulo. Cuadrado. 2.ª columna: Romboide. Rombo. Cuadrado. 3.ª columna: Paralelogramo común. Rombo. Rectángulo. Cuadrado. 8. a) Los del 3.º. b) Diagonales de color verde: romboide. Diagonales de color azul: trapecio isósceles.
d) × 1.000 e) : 10 f) : 1.000
9. c) Un rombo.
11. $ 15,80 por la remera y $ 34,35 por las botas.
10. c) Rectos.
12. a) El 25% de los alumnos es la cuarta parte. Si 1/4 son 136 alumnos, el total es 136 × 4 = 544 alumnos. b) El 75%; son 408 chicos.
11. b) Seguramente varía el ángulo que forma la diagonal con uno de los lados.
13. $ 14,25; $ 35,85.
15. Hay que pintar el primero y el que dice: “Tiene 2 diagonales perpendiculares de 4 cm y 2 cm que se cortan por la mitad.”.
14. $ 18,50
d) Cuadrado.
16. a) 140º b) 90º, 90º y 35º.
15. De 1,20 m.
17. a) SÍ
¿cÓMO Me FUe?
c) 70º y 110º. d) 75º y 105º.
b) NO
c) NO
d) NO
18. Los otros ángulos miden 45º, 135º y 135º. • 7,6, porque es el que tiene la cifra mayor en el lugar de los décimos. Los otros dos son iguales. • a) El 35%. b) Azul: 20. Verde: 32. Anaranjado: 28.
7
cuadriláteros y poliedros
1. b) Se parecen en que ambas tienen 4 lados, 4 vértices, 4 ángulos interiores y 2 pares de lados paralelos. Se diferencian en la amplitud de sus ángulos interiores. 2.
21. a) Uno solo.
b) 120º cada uno.
22. a) I) B C E II) A D III) A D IV) B C b) B c) Por ejemplo: poliedro con 6 caras cuadradas y 12 aristas iguales. 23.
Rectangular
Hexagonal
Prisma rectangular
Prisma hexagonal
1.ª
2.ª
3.ª
4.ª
5.ª
4
6
A C D
A B C D
A D
A B D
A
12
18
8
12
3. a) Un paralelogramo común y un rectángulo. Tienen 2 pares de lados paralelos.
14
19. Mide 125º.
24. a) Prisma octogonal.
b) 16
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3. a) Hay 10 centésimos.
b) Un romboide; no tiene lados paralelos. c) Un cuadrado; un rombo; no.
25. Sí, porque la cantidad total de vértices siempre es el número de vértices de una de las bases × 2. 26. b)
Verde
Anaranjado
Sí
No
Sí
No
Rectangular
Triangular
6
5
27. b)
a)
b)
7
5
7
6
12
9
10. a) Pentagonal.
b) 8
c) 6
¿cÓMO Me FUe?
CUERPO I
CUERPO II
Pirámide triangular
Prisma hexagonal
3
6
6
18
4
12
28. a) El 1.º con la 5.ª, el 2.º con la 4.ª, el 3.º con la 1.ª y el 4.º con la 2.ª. b) Una pirámide pentagonal. 29. Con la verde y con la anaranjada. 30. a) Sí.
9.
¿Qué es un cuadrilátero? ¿Qué son los poliedros? ¿Qué es un prisma? ¿Cuánto suman los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero? e) Por ejemplo: ¿qué pirámide tiene 5 vértices? f) Por ejemplo: ¿qué cuadrilátero tiene un solo par de lados paralelos y las diagonales iguales?
a) b) c) d)
8
proporcionalidad. Medidas
b) Por 2. 1. La 1.ª fila se completa con 120 y 240; la 2.ª, con 1 y 3.
para repasar e integrar
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b) 1/2; 1/4; 1/8; 1.
3. Ana: 12 rifas. Pablo: $ 1; Fermín: $ 33; Pilar: $ 132.
¿QUÉ apreNdÍ?
• Que los cuadriláteros que no tienen lados paralelos se llaman trapezoides, los que tienen un par de lados paralelos, trapecios, y los que tienen dos pares de lados paralelos, paralelogramos. • Que si un cuadrilátero tiene todos los lados iguales puede ser un rombo o un cuadrado. • Que si un cuadrilátero tiene todos los ángulos iguales puede ser un rectángulo o un cuadrado. • Que los romboides y los rombos tienen las diagonales perpendiculares. • Que los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero siempre suman 360º. • Que los prismas tienen dos bases iguales y paralelas, y todas sus caras laterales son paralelogramos. • Que las pirámides tienen una sola base. Sus caras laterales son triángulos. 1. b) Romboide.
2. a) 8,50; 17; 34; 4,25.
c) Sí.
3. Es un rombo. 4. b) Es un cuadrado, ya que los 4 ángulos son rectos. 5. a) Sí, miden 42º, 138º y 138º. 6. Un romboide, un paralelogramo común o un rectángulo. 7. No, porque no sumarían 360º. 8. a) Una pirámide hexagonal.
b) Un prisma triangular.
4. a) 20, 28, 32, 48. b) Cuesta la mitad de 2 entradas, o sea, $ 4. 5. a) La primera fila se completa con 16 y 20; la segunda, con 125, 225 y 525. b) Por ejemplo: Para 5 porciones: (100 g : 4) × 5. Para 9 porciones: 100 g + 125 g. Para 400 g: 4 porciones × 4. Para 500 g: 4 porciones × 5. Para 21 porciones: 125 g + 400 g. c) Se puede calcular como el cociente entre dos cantidades correspondientes de la tabla; por ejemplo: 100 g : 4 = 25 g. 6. a) Hay que escribir NO ES junto a la primera y marcar la segunda. b) Por ejemplo, haciendo (96 : 4) × 7 = 168. c) 96 : 4 = 24. Representa la cantidad de galletitas que trae un paquete. 7. 1.ª fila: 25, 1, 125, 1/4. 2.ª fila: 50, 2, 250, 1/2. 3.ª fila: 75, 3, 375, 3/4. 4.ª fila: 100, 4, 500, 1. 8. I) Hay que marcarlo. Respuesta: 4,5 litros. II) No es de proporcionalidad directa. III) Hay que marcarlo. Respuesta: 144 melones. IV) No es de proporcionalidad directa.
15
b) 210 g
c) 9 litros.
b)
Kilogramos
Gramos
0,159
159
10. a) 4 fotocopias: $ 0,80; 19 fotocopias: $ 3,80; Fede sacó 10 fotocopias. Una constante de proporcionalidad es $ 0,20, que representa el precio de una fotocopia. b) Porque, por ejemplo, cuando tenga el doble de edad, no calzará el doble. El número de calzado no aumenta en forma proporcional con la edad.
4,5
4.500
¿QUÉ apreNdÍ?
13. a) No le alcanza.
b) Le faltan 60 cm.
14. Martín: 1,58 m.
Ale: 1,05 m.
15. 108 km 16. a) La 1.ª fila se completa con 18 y 10,5. La 2.ª, con 24.000 y 15.500. b) A 680 cuadras. 17. a) 43,2 km
b) 17,8 km
c) 14,4 cm
d) 1,31 m
18. a) 8 kg
b) 1/2 t
c) 200 g
d) 500 mg
19. a) 500 b) 250
c) 750 d) 1.500
e) 3.500 f) 1,5
• i) Es de proporcionalidad directa, porque si el tren da la mitad de vueltas, recorre la mitad de metros; si da el doble de vueltas, recorre el doble de metros, etcétera. ii) Si sumo lo que recorre en 2 y en 8 vueltas, obtengo lo que recorre en 10 vueltas. iii) Si divido los metros que recorre por el número de vueltas que dio en cada caso, obtengo siempre 2,5 m. Esa cantidad se llama constante de proporcionalidad directa y representa los metros que hace el tren al dar una vuelta. • Que 1 m = 100 cm; 1 m = 1.000 mm; 1 km = 1.000 m; 1 cm = 10 mm; 1 kg = 1.000 g; 1 g = 1.000 mg; 1 t = 1.000 kg; 1 L = 1.000 ml; 1 kl = 1.000 L. 1. a) 60, 45 y 75, respectivamente. b) $ 84; $ 14; 3 kg. c) 540 km; con 55 L. 2. Porque, por ejemplo, al doble de edad no le corresponde necesariamente el doble de kilogramos.
20. La 1.ª fila se completa con 2,25; 1,5 y 3,75. La 2.ª, con 4. 21. Le faltan 300 g. 22. a) Elefante: 7,5 t. Hipopótamo: 2,5 t. Rinoceronte: 3 t. b) 4.500 kg más. c) 500 kg más. b) $ 82
3. a) 1,25 kg
b) 7,5 L; 3/4 L.
4. Padre: 1,78 m. Maite: 0,95 m. Hermano: 1.860 mm. Madre: 163 cm. 5. 125 cm 6. 125 g; 14 paquetes.
24. Cremiqueso; $ 42. b) L
1.200
para repasar e integrar
12. a) La 1.ª fila se completa con 1/4 y 3/4. La 2.ª fila, con 50 y 75. La 3.ª, con 1.000, 500 y 250. b) 150; 250; 100; 5.
25. a) ml
340
1,2
c) Le faltarán 12,5 m. Tiene que dar 3.200 pasos.
11. Espesor de un clavo: 2 mm. Altura de un cerro: 580 m. Distancia entre dos pueblos: 48 km. Ancho de una ventana: 2 m. Largo de un sacapuntas: 3 cm.
23. a) 12,30; 16,40; 28,70; 41.
0,34
7. En 2 1/2 cajas. c) kl
d) L
e) ml
f) L
26. 1/2 L con 0,5 L; 1,5 L con 1.500 ml; 1/4 L con 250 ml. 27. a) 2 kl
b) 1/4 de hora = 15 minutos.
28. a) 80 vasos.
b) 21 botellas y sobra 1/4 L.
29. Con la primera se llenarán 6 envases de 400 ml y sobrarán 100 ml; con la segunda se llenarán 10 frascos de 1/4 L y no sobrará nada. 30. a) La tabla se completa con 9; 18 3/4 y 22 1/2. b) 0,75 L
8. El tren pesa 264.100 kg más. 9. 18 vasitos. 10. 8 botellas; 200 ml. 11. a) 400
b) 40
¿cÓMO Me FUe?
La 1.ª fila se completa con 65, 47 y 64. La 2.ª, con 200 g, 5 kg, 8 kg y 20 kg. 31. a) La 1.ª con 3 L, la 2.ª con 5.000 mm y la 3.ª con 0,25 kg. No, porque el triple de kilos no cuesta el triple. 1.000.000 en ambos casos.
16
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9. a) $ 122,50
5.
o
o Matemática . 5 de a et rp ca Mi
Libro para el docente
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Matemática Libro para el docente
o
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MI CARPETA DE Matemática
5
o
.
Libro para el docente MI CARPETA DE 5.°
Matemática Libro para el docente es una obra colectiva, creada,
diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana, bajo la dirección de Graciela Pérez de Lois, por el siguiente equipo: Viviana R. Chiesa Claudia A. David Silvia S. Tabasco Edición: Laura Spivak. Jefa de edición: María Laura Latorre. Gerencia de Gestión Editorial: Mónica Pavicich. Índice Recursos para la planificación, pág. 2 Clave de respuestas, pág. 6 Jefa de arte: Claudia Fano. Diagramación: Darío Dip. Corrección: Paula Smulevich. © 2011, EDICIONES SANTILLANA S.A. Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina. ISBN: 978-950-46-2430-1 Queda hecho el depósito que dispone la ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. Primera edición: septiembre de 2011 Este libro se terminó de imprimir en el mes de septiembre de 2011, en Grafisur S.A., Cortejarena 2943, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, República Argentina.
Chiesa, Viviana R. Mi carpeta de 5.º matemática : libro para el docente / Viviana R. Chiesa ; Claudia A. David ; Silvia S. Tabasco. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2011. 16 p. ; 24x19 cm. ISBN 978-950-46-2430-1 1. Formación Docente. 2. Matemática. I. David, Claudia A. II. Tabasco, Silvia S. CDD 371.1
2
Mayo
Abril
Operaciones con naturales
2
Abril
Marzo
Sistemas de numeración
1
Tiempo estimado
Capítulo
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Interpretar diferentes algoritmos para realizar multiplicaciones o divisiones.
Algoritmos de la multiplicación y la división con números naturales.
Multiplicaciones y divisiones con números naturales. Propiedades. Significado de los términos de la división entera y su relación. Propiedades de la multiplicación y la división.
Redondeos a las centenas y a las unidades de mil.
Comprender la ventaja del redondeo para anticipar resultados aproximados y realizar estimaciones.
Sistemas de numeración no posicionales, en particular el egipcio.
Multiplicaciones y divisiones por 10, 100, 1.000, ...
Números de 6, 7 y 8 cifras. El sistema de numeración decimal.
Contenidos
Sumas y restas con números naturales. Propiedades conmutativa y asociativa.
Resolver situaciones con multiplicaciones y divisiones. Interpretar el significado de cada uno de los términos de la división entera y su relación. Conocer y usar las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva para simplificar los cálculos.
Semanas
1
2
3
4
Análisis e interpretación de diferentes algoritmos para realizar cuentas de multiplicar o dividir.
Resolución de situaciones que involucran multiplicaciones y divisiones con números naturales. Resolución de problemas de conteo mediante diagramas de árbol y multiplicaciones. Resolución de situaciones que permiten interpretar el significado de cada uno de los términos de una división y su relación. Uso de la calculadora para interpretar y determinar cocientes y restos. Resolución de situaciones en las que se expliciten las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación. Uso de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Cálculo de divisiones mediante descomposición del divisor. Uso de la calculadora.
Resolución de situaciones que requieren redondear a las centenas o a las unidades de mil para anticipar su resultado aproximado.
Resolución de situaciones en las que se expliciten las propiedades asociativa y conmutativa de la suma. Aplicación en la resolución de cálculos mentales.
Análisis de algunas características del sistema de numeración egipcio. Traducción de un sistema al otro. Comparación de los sistemas de numeración decimal y egipcio.
Uso de la calculadora. Resolución de situaciones que requieren multiplicar o dividir por la unidad seguida de ceros. Elaboración de estrategias para multiplicar o dividir por números que terminan en uno o más ceros.
Lectura y escritura de números de hasta 8 cifras. Análisis del valor posicional de cada cifra y su utilización en la resolución de cálculos mentales. Composición y descomposición de números. Uso de la calculadora con restricciones.
Estrategias didácticas
• Analizar el comportamiento de los números racionales en sus dos formas de expresión para establecer sus características y propiedades. • Profundizar el estudio de las figuras y los cuerpos poliedros construyendo soluciones y argumentando sobre afirmaciones, estrategias y procedimientos. • Profundizar el estudio de la proporcionalidad directa y las unidades de medida.
Comprender y utilizar las propiedades asociativa y conmutativa de la suma para simplificar los cálculos. Elaborar y utilizar estrategias para realizar sumas en forma mental.
Conocer sistemas de numeración no posicionales para comprender la importancia que tiene la posición en el sistema decimal.
Elaborar y utilizar estrategias para multiplicar y dividir por la unidad seguida de ceros. Reconocer la relación entre esto y el hecho de que nuestro sistema de numeración es decimal.
Reconocer y utilizar números de 6, 7 y 8 cifras. Explicitar las relaciones subyacentes en el sistema de numeración decimal.
Expectativas de logro
• Leer, escribir y comparar números naturales avanzando en el análisis del valor posicional de las cifras y el conocimiento de otros sistemas de numeración. • Profundizar el estudio de las operaciones, sus diferentes sentidos, las estrategias de cálculo y las propiedades de los números y de las operaciones. • Profundizar el estudio de los múltiplos y divisores.
Propósitos
Recursos para la planificación
3
Capítulo
Agosto
Julio
Rectas, ángulos y triángulos
5
Junio
Fracciones
4
Mayo
Múltiplos y divisores
3
Tiempo estimado
Triángulos: construcción, clasificación según sus lados y sus ángulos, propiedad de los lados y suma de los ángulos interiores. Circunferencia y círculo.
Identificar la circunferencia como el conjunto de puntos que equidistan de otro. Utilizar el compás con destreza.
Fracción de una cantidad. Multiplicación y división de una fracción por un número natural.
Obtener fracciones de una cantidad. Resolver situaciones que requieren multiplicar una fracción por un número natural o calcular su mitad.
Construir triángulos a partir de ciertos datos y clasificarlos según sus lados y sus ángulos. Comprender y utilizar la propiedad de la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo.
Suma y resta de fracciones con distintos denominadores.
Sumar y restar fracciones con distintos denominadores.
Rectas secantes, perpendiculares y paralelas. Clasificación, medición y trazado de ángulos.
Comparación de fracciones. Ubicación de fracciones en la recta numérica.
Comparar fracciones y ubicarlas en la recta numérica.
Reconocer y trazar rectas según su ubicación relativa en el plano. Clasificar, trazar y medir ángulos convexos.
Sumas y restas con fracciones en forma mental. Número mixto.
Fracciones equivalentes.
Fracciones para partir, repartir y medir.
Múltiplo común menor. Divisor común mayor.
Múltiplos y divisores. Reglas de divisibilidad sencillas.
Contenidos
Resolver cálculos y situaciones que requieren sumar o restar fracciones en forma mental y expresar fracciones como números mixtos.
Identificar expresiones que representan la misma cantidad.
Comprender algunos de los sentidos de las fracciones.
Resolver situaciones que requieren la búsqueda de múltiplos o divisores comunes.
Reconocer y resolver situaciones que requieren la búsqueda de múltiplos o divisores de un número. Descomponer un número en factores para encontrar divisores. Utilizar las reglas de divisibilidad para identificar múltiplos o divisores de un número.
Expectativas de logro
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Uso del compás. Copia de figuras. Identificación de la circunferencia como el conjunto de puntos que equidistan de otro dado. Identificación de radios y diámetros. Construcción de triángulos con el compás.
Construcción de triángulos a partir de ciertos datos. Análisis de unicidad. Clasificación de triángulos según sus lados y sus ángulos. Verificación de la propiedad triangular. Resolución de situaciones que involucran la suma de los ángulos interiores de un triángulo.
Reconocimiento y trazado de rectas paralelas, secantes y perpendiculares. Clasificación, medición y trazado de ángulos convexos. Uso de la escuadra para clasificar ángulos, comparándolos con uno recto. Uso del transportador.
Resolución de situaciones que requieren obtener la fracción de una cantidad. Resolución de situaciones cotidianas que requieren obtener el doble de una fracción, el triple… y la mitad. Resolución de problemas que requieren multiplicar o dividir una fracción por un número natural.
Resolución de situaciones que requieren sumar o restar fracciones con denominadores diferentes.
Comparación de fracciones de igual denominador y distinto denominador. Ubicación de fracciones en la recta numérica.
Resolución de situaciones que requieren sumar o restar una fracción a un entero y sumar o restar fracciones de igual denominador. Resolución de situaciones que involucran números mixtos.
Resolución de situaciones que permiten visualizar la equivalencia de fracciones. Identificación y obtención de fracciones equivalentes.
Resolución de situaciones de partición, reparto y medida que apelan a los diferentes significados de una fracción. Reconstrucción del entero a partir de una fracción.
Resolución de situaciones cotidianas que requieren la búsqueda del múltiplo común menor o el divisor común mayor.
Resolución de situaciones que requieren la búsqueda de múltiplos o divisores. Reconocimiento de la descomposición en factores como estrategia para determinar divisores de un número. Aplicación de reglas de divisibilidad por 2, 3, 5, 6, 10 y 100 para determinar múltiplos o divisores de un número.
Estrategias didácticas
4
Octubre
Fracciones y decimales
7
Septiembre
Agosto
Fracciones y decimales
6
Tiempo estimado
Capítulo
Porcentajes.
Multiplicaciones y divisiones con números decimales. Cálculo de promedios.
Calcular porcentajes.
Resolver multiplicaciones y divisiones con números decimales utilizando diversas estrategias. Calcular promedios.
Poliedros. Prismas y pirámides.
Conocer las características de los prismas y las pirámides.
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Construcción de cuadriláteros.
Suma de los ángulos interiores.
Construir cuadriláteros a partir de ciertos datos, analizando si la información es suficiente y si la construcción es única.
Calcular la amplitud de un ángulo de un cuadrilátero a partir de sus propiedades y de la suma de los cuatro ángulos.
Cuadriláteros: propiedades, clasificación.
Multiplicación y división de números decimales por 10, 100, 1.000, ...
Elaborar estrategias para multiplicar y dividir números decimales por 10, 100, 1.000, ...
Conocer las características de los cuadriláteros para identificarlos y clasificarlos.
Sumas y restas con números decimales.
Comparación y representación de números decimales en la recta numérica.
Fracciones y números decimales.
Contenidos
Sumar y restar números decimales.
Comparar números decimales y representarlos en la recta numérica.
Explorar la notación decimal a partir de fracciones con denominador 10, 100, 1.000, ... Asociar la notación decimal con la escritura y la lectura de precios.
Expectativas de logro
Recursos para la planificación
1
2
3
4
Determinación de las características de prismas y pirámides. Armado de pirámides a partir de sus desarrollos planos. Relación entre la cantidad de lados de la base y el número de caras, aristas y vértices del poliedro. Identificación del desarrollo plano correspondiente a determinado poliedro.
Construcción de cuadriláteros a partir de ciertos datos y bajo determinadas condiciones. Análisis de la unicidad de la construcción.
Determinación de la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero. Cálculo de la amplitud de un ángulo interior a partir de cierta información, sobre la base del conocimiento de las propiedades de la figura.
Identificación de cuadriláteros a partir de la longitud de sus lados, su paralelismo y su perpendicularidad, o de las características de sus ángulos o diagonales.
Resolución de multiplicaciones y divisiones con números decimales asociándolos con fracciones decimales o por medio de algoritmos. Resolución de situaciones cotidianas utilizando diversas estrategias. Uso de la calculadora. Obtención de promedios.
Cálculo de porcentajes sencillos en forma mental. Resolución de situaciones que involucran cálculos de porcentajes, descuentos y recargos.
Deducción de regularidades al multiplicar y dividir un número decimal por 10, 100, 1.000, ..., y aplicación en situaciones cotidianas.
Resolución de situaciones cotidianas que requieren sumar y restar números decimales. Uso de la calculadora.
Resolución de situaciones que requieren comparar y ordenar números decimales. Representación de números decimales en la recta numérica.
Escritura y lectura de precios con notación decimal. Escritura de una fracción de denominador 10, 100, 1.000, ..., como número decimal. Obtención de una fracción decimal equivalente a otra dada, cuando sea posible, y escritura como número decimal. Interpretación de la suma de fracciones con denominadores 10, 100 y 1.000, y numeradores de una cifra como expresión de un número decimal. Uso de la calculadora.
Estrategias didácticas
Semanas
5
Capítulo
Manejar las equivalencias usuales entre unidades de una misma magnitud.
Resolver situaciones de proporcionalidad directa.
Expectativas de logro
Contenidos
Búsqueda de ejemplos cuyas masa, capacidad o longitud se midan con determinadas unidades. Uso de unidades convencionales y algunos de sus múltiplos y submúltiplos, y sus relaciones de equivalencia en la resolución de situaciones cotidianas.
Resolución de problemas cotidianos de proporcionalidad directa. Identificación, cálculo y uso de constantes de proporcionalidad directa. Determinación de la presencia de proporcionalidad, o no, en una situación dada. Interpretación y armado de tablas.
Estrategias didácticas
• Dictado de figuras y elaboración de pistas para la construcción o el descubrimiento de figuras dadas. • Anticipación de resultados y medidas, y verificación de las estimaciones realizadas con los procedimientos adquiridos. • Uso adecuado de las unidades de medida en la vida cotidiana.
Unidades de longitud, masa y capacidad.
Proporcionalidad directa. Tablas de proporcionalidad directa, propiedades.
• Participación en la búsqueda de estrategias y en la resolución de problemas. • Cumplimiento de consignas estructuradas. • Elaboración de argumentos respecto de los procedimientos más económicos para la resolución de problemas. • Autocorrección en clase de las tareas realizadas.
Evaluación
Noviembre
Proporcionalidad. Medidas
8
Tiempo estimado
© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
Las actividades cuya respuesta no figura quedan a cargo de los alumnos.
1
Sistemas de numeración
1. Sí, porque 999.999 + 3 = 1.000.001. Se lee: un millón uno. 2. El menor: 134.578 (ciento treinta y cuatro mil quinientos setenta y ocho). El mayor: 875.431 (ochocientos setenta y cinco mil cuatrocientos treinta y uno). 3. a) Ale: 9.876.543 Nico: 10.000.000 Facu: 10.234.567 b) Facu.
17. Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio TOTAL
b) 2.480
c) 248 9.000 7.400
2 de mil y 3 de cien. 4 de mil y 2 de cien. 3.000 5 de mil y 1 de cien. 31.000
18. a) 3.200 b) 49 c) 105
d) 12.000 e) 840.000 f) 5.794
19. a) El primero. b) El segundo.
c) El segundo. d) El primero.
20. a) Sí, porque 2.961 × 100 = 296.100. b) 100; 296.
4. a) 20.666.666 b) Veinte millones seiscientos sesenta y seis mil seiscientos sesenta y siete.
21. a) 2.400; 680.000; 50; 30.006.800; 45.800.000. b) Con azul: 2.400; 680.000; 30.006.800; 45.800.000. Con verde: 680.000; 45.800.000.
5. F, porque 9.990.999 no llega a 10 millones y el otro supera los 50 millones. F. Por ejemplo, 90.009.009 > 89.999.990. V
22. a) 330
6. a) 400.800; 500.900; 601.000; 701.100. b) 130.508; 140.509; 150.510; 160.511. 7. Porque fue ubicando cada 3 en la posición correspondiente. Da 3.030.330. 8. El primer 5 de 15.505.952 vale 5.000.000; el segundo, 500.000; el tercero, 5.000, y el cuarto, 50. 9. 932.476 – 30.400 = 902.076 932.476 + 1.003.000 = 1.935.476 932.476 – 901.000 = 31.476 10. a) Con 6 de 1.000.000 de puntos, 4 de 100.000, 2 de 10.000 y 3 de 1.000. b) Como antes, pero derribando 30 de 100 puntos en vez de 3 de 1.000. 11. 3.572.849 12. a) 7 + 20 + 400 + 9.000 + 50.000 + 300.000 + 6.000.000 b) 6 × 10 + 3 × 100 + 5 × 1.000 + 9 × 100.000 + + 8 × 1.000.000 + 4 × 10.000.000 13. 1000000 + 1000000 + 100000 + 1000 + 1000 + 1000 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 = 14. a) 7.046.528 (siete millones cuarenta y seis mil quinientos veintiocho). b) 40.900.380 (cuarenta millones novecientos mil trescientos ochenta). 15. × 10; × 100; × 1.000.
6
16. a) 24.800
b) 2.214
c) 20.500
d) 100.001
23. a) b) No. 24. a) b) c) 25. a) No (el primero es 1.510 y el segundo, 1.010.000). b) 20 símbolos. 26. a) 24 b) Uno solo (el 11.110). c) Porque el sistema de numeración egipcio no es posicional. 27. Es el último, porque es el único que tiene el símbolo de 1.000.000. 28. La primera fila se completa, de izquierda a derecha, con 23.410; 234.100 y 2.341.000. La segunda fila se completa con esos mismos números en el sistema egipcio: 23.410 234.100 2.341.000
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Clave de respuestas
para repasar e integrar
¿cÓMO Me FUe?
¿QUÉ apreNdÍ?
En el de arriba: D. En el del medio: C – B. En el de abajo: A.
• A leer, usar y comparar números de hasta ocho cifras. • A descomponer números: agrupo de a diez y considero el valor de cada cifra. • Que hay sistemas de numeración que, a diferencia del nuestro, no son posicionales. Por ejemplo, el sistema egipcio. 2.
Número anterior
3.
Número siguiente 578.099
578.100
4.009.999
4.010.000
4.010.001
9.999.998
9.999.999
10.000.000
89.999.999
90.000.000
90.000.001
15.594.428
Córdoba
3.304.825
Santa Fe
3.200.736
Mendoza
1.741.610
Tucumán
1.448.200
1. Armó ANCLA (120 + 35 + 10 + 1 + 1 = 167) y SAXOFÓN (100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 4 + 1 = 235).
3. a) (175 + 25) + (82 + 8) + 10 = 200 + 90 + 10 = 300 b) (1.600 + 400) + (5.800 + 200) = 2.000 + 6.000 = 8.000 c) (773 + 7) + (290 + 10) = 780 + 300 = 1.080 4. Hay que rodear el 2.º, el 3.º y el 5.º. Maia terminó ganando 3 figuritas.
Habitantes
Buenos Aires
Operaciones con naturales
2. a) 769 + 10 + 100 = 879 b) 769 + 1.000 + 10 = 1.779 c) 769 + 4.100 = 4.869
578.098
Provincia
2
5. Matías, porque 189 son casi 200 y 286 son casi 300; entonces, redondeando, el cálculo es aproximadamente 200 + 500 + 300 = 1.000. 6. Hay que rodear 12.000, 13.000, 7.000 y 1.000. 7. Por ejemplo:
Fuente: www.censo2010.indec.gov.ar
4. 12.345.678 (doce millones trescientos cuarenta y cinco mil seiscientos setenta y ocho). 5. a) 199.001
b) 762.046
c) 12.223.011
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6. El último. 7. a) 300.000, 300 y 3. b) 3.000.000 y 3.000.
c) 30.000.000, 30.000 y 30.
8. a) Con 1 de 1.000.000, 2 de 100.000, 3 de 10.000, 9 de 100, 5 de 10 y 1 de 1. b) Con 9 de 100.000, 8 de 10.000, 7 de 100, 6 de 10 y 8 de 1. c) Con 4 de 100.000, 5 de 10.000, 6 de 1.000, 2 de 10 y 9 de 1. d) Con 24 de 1.000.000, 6 de 100.000, 5 de 10.000, 5 de 1.000, 2 de 100 y 9 de 1. 9. a) 66.010 10. a) : 10
11. a) 500.130 b) 1.000.534
c) × 1.000
d) × 100
c) 260.020 d) 1.013.002
12. Pueden ser: a)
Resultado aproximado
Resultado exacto
3.301 + 6.700
10.000
10.001
5.939 + 9.000
15.000
14.939
7.011 – 6.000
1.000
1.011
11.899 – 4.000
8.000
7.899
Paquetes
10
6
8
7
15
5
Cantidad de pastillas
90
54
72
63
135
45
9. Sirven todos, excepto el primero. 10. a) Hay 24 menús posibles.
b) 3 × 4 × 2 = 24
11. Tienen que hacer 2 sándwiches más. 12. 56 hileras.
b) 110.510 b) : 100
8.
Cálculo
13. a) 325
b) 650
14. a) Son 3 × 5 × 2 = 30 conjuntos. b) Por ejemplo: 48 × 10; 24 × 20; 80 × 6. c) 16 cajas. 15. a) La de 288 caramelos.
3.121
b) 24
16. Divisor: 32. Cociente: 38. Dividendo: 569.
b)
110.240
c)
30.310
17. Hay 8 posibilidades:
7
Resto 0 1 2 3 4 5 6 7
18. Cociente: 101, resto: 3. 19. a) 1.500
b) 42.000
c) 7.966 (con calculadora). d) Pueden hacer (264 + 36) + 900 = 300 + 900 = 1.200. 2. Saltos, Tren fantasma y Tazas voladoras. 3. a) =
4. La de camisas y buzos. 5. Son los cálculos a), c), e) y f). Cociente: 102, resto: 1. c) 8
8. 18 gomas, 19 lápices y 16 reglas. 9. En 32 días. 10. 14 estantes.
c) 630 + 35 = 665 d) 630 – 35 = 595
11. 1.762 y 364. 12. El a) y el c).
22. Por ejemplo, 7.020 : 130 : 2 = 27.
13. a) 700.000
23. a) En ambas, 1.512. b) Sí. c) 20 × 63
14. El primero con el tercero, el segundo con el quinto y el tercero con el primero.
24. 80
2 × 40
150
d) Sí, sin el 0. e) 63 × 4 f) 20 × 63 + 4 × 63 30 × 5
1.200
30 × 40
25. a) Porque fue encontrando cocientes mayores que Luli. b) Sumaron los cocientes parciales. c) El 200 está en 100 + 100 y el 30, en 10 + 10 + 10.
b) 300.000
c) 270.000
a) F
3
b) V
c) F
d) F
1. Sí, significa que 72 y 84 son múltiplos de 3.
para repasar e integrar
2. a) Por ejemplo: 102, 108, 114.
• Que cuando sumo o multiplico puedo agrupar y conmutar los números, porque el resultado no cambia, en cambio, cuando resto, no puedo. • Que para multiplicar mentalmente puedo descomponer uno de los factores como una suma o una resta, y distribuir el otro factor. • Que en una división el resto siempre es menor que el divisor. • Que para saber si una división entera está bien hecha puedo hacer esta cuenta: divisor × cociente + resto y ver si es igual al dividendo. 1. a) Por ejemplo, pueden hacer 300 + 50 + 200 + 30 + + 20 + 2.000 = (300 + 200) + (50 + 30 + 20) + 2.000 = 2.600. b) Pueden hacer (197 + 3) + 1.800 + 300 = = 200 + 1.800 + 300 = 2.300.
d) 80.000
¿cÓMO Me FUe?
26. Los alumnos explicarán que tomaron 95, dividieron por 25, anotaron 3 en el cociente, restaron y bajaron el 7, y así siguieron bajando cifras y dividiendo. Podrán ver las equivalencias entre este procedimiento y la cuenta que hizo José.
¿QUÉ apreNdÍ?
8
6. Son 3 × 2 × 2 = 12 disfraces. 7. El b), el d) y el e).
d) 40
20. Por ejemplo: a) 13 × 2 × 2 × 2 = 26 × 2 × 2 = 104 10 × 8 + 3 × 8 = 80 + 24 = 104 b) 19 × 3 × 2 = 57 × 2 = 114 10 × 6 + 9 × 6 = 60 + 54 = 114 21. a) 2 × 630 = 1.260 b) 630 : 2 = 315
b) ≠
Múltiplos y divisores
3. a) Por ejemplo, 256.
b) Sí.
b) Por ejemplo, 276.
4. Con verde: 1, 2, 3, 4, 6, 8 y 12. Con azul: 1, 5 y 13. Con rojo: 1 y 11. 5. a) Hay que señalar la combi y el micro chico. b) 25 combis o 19 micros chicos. 6. 1.ª fila: 66, 72, 78, 84, 90, 96. 2.ª fila: 45, 60, 75, 90, 105 (no se consideran el 30 y el 120, ya que se pide que estén entre ellos). 3.ª fila: 0, 17, 34, 51, 68, 85. 7. Cata: 1.535.
Tomi: 3.273.
Nati: 2.010.
8. 2 × 24, 3 × 16, 4 × 12, 6 × 8. Los divisores de 48 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48. 9. a) 7 × 7 × 7 × 6 = (da 2.058). b) 4 × 5 × 4 × 4 = (da 320).
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Dividendo 56 57 58 59 60 61 62 63
10. a) 105 = 3 × 5 × 7 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 66 = 2 × 3 × 11 294 = 2 × 3 × 7 × 7 b) Por 15: 105 y 120. Por 8: 120. Por 21: 105 y 294. Por 22: 66. c) Pueden mencionar cualquiera de estos: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66. 11. El 1, porque al dividir cualquier número por 1 se obtiene el mismo número como cociente y resto 0. 12. a) Sí, porque 100 es divisible por 4, 5, 25 y 20. b) Facu y Flor, porque 100 : 4 = 25, y también Mateo y Luli, porque 100 : 5 = 20. c) Sí, de 4 integrantes cada uno. d) 2 de 50, 50 de 2, 10 de 10. 13. Pueden entre 4, 3, 6 y 12 cursos, pero no entre 7. 14. a) F
b) V
c) V
d) V
e) F
f) V
15. a) Hay que escribir una C en las casillas con los números 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60 y 63, y una F en las que tienen los números 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56 y 60. b) En las que contienen 24, 36, 48 y 60. c) Hay que completar con 3 y 4. 16. 36 lápices.
6. Por ejemplo, 2, 4, 6 y 12. 7. Porque si es divisible por 6, tiene que ser par, y si es divisible por 100, también lo es por 5, ya que termina en 0. 8. En la 1.ª columna, 269; en la 2.ª, 20.890, y en la 3.ª, 1.005. 9. a) Pueden agregar 1, 4 o 7. b) Puede ser 0 o 5.
c) Hay que agregar 0. d) Puede ser 0 o 6.
10. El 1.º es 20 y el 2.º, 24. 11. 15 grupos de 5 nenas y 3 nenes. 12. No, porque el mínimo común múltiplo de 6, 8 y 5 es 120. Volverá a ocurrir a los 120 días. 13. a) 21 alumnos (es el máximo común divisor de 231 y 105). b) 5 cartas y 11 fichas. ¿cÓMO Me FUe?
1. 48 2. 104 3. 1 4. 600
17. Dentro de 12 días.
5. 40
18. El de 35 pétalos. 19. a) 6 collares. 20. a) 35
b) 2 amarillas y 3 anaranjadas. b) 40
c) 45
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para repasar e integrar • Que para encontrar múltiplos de un número lo multiplico por cualquier número natural. • Que un número es divisor de otro si al dividir el primero por el segundo da resto 0. • Que para saber si un número es múltiplo de otro sin hacer una división, puedo usar reglas de divisibilidad. • A resolver problemas en los que hay que buscar múltiplos o divisores comunes. 1. Por ejemplo: 108, 117, 207, 306, 900. b) múltiplo
3. Por ejemplo: a) 2 b) 13
1. 5/4 de chocolatín, 3/4 de turrón y 1/4 de alfajor. 2. En la 1.ª hay que pintar 5 cuadraditos y en las demás, 3 cuadraditos. Se completa con 7/12, 2/3, 1/2 y 7/10. 3. En los 3 casos, con 4 partes como esa se cubre exactamente el entero. 4. Altura: 3/4 de la tira. Ancho: 5/4 de la tira. 5. La 1.ª medida con la 3.ª tira; la 2.ª con la 1.ª, y la 3.ª con la 2.ª.
c) divisor c) 18
Fracciones
NOTA: las fracciones aparecen escritas en un solo renglón con la barra inclinada, pero es importante que a los alumnos se las presenten en la forma habitual.
¿QUÉ apreNdÍ?
2. a) divisor
4
d) 24
4. Son correctas la b) y la c). 5. a) i) 7 × 5 × 7 × 2 iii) 7 × 3 × 3 × 3 × 5 ii) 3 × 2 × 2 × 3 × 7 iV) 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 5 b) Por 10: el i) y el iV). Por 9: El ii) y el iii).
6. a) En la 1.ª pueden hacer 4 cuadraditos más, iguales al del dibujo. En la 2.ª pueden hacer 5 triangulitos más, iguales a los del dibujo. b) No. 7. a) Ana: 2 bloquecitos
2/4
Renata: 3 bloquecitos
3/6
Matilda: 4 bloquecitos b) 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8
4/8
9
8. 3/9 = 1/3
3/4 = 6/8 c) 4/18
6/9 = 2/3 3/21 = 1/7
d) 12/18
e) 9/11
15/30 = 1/2 6/36 = 1/6
39. Le quedan $ 200.
14. a) 7/7
c) 3/7
d) 1 – 3/7 = 4/7
15. a) 9/9
b) 5/9 + 8/9 = 13/9 3.er dibujo. 1.er dibujo.
c) 6/9 d) 4/3
4.º dibujo. 2.º dibujo.
17. Quedan 3/4 kg, porque en 2 enteros hay 8 cuartos. 18. a) Juli: 3 + 1/2 + 1/2 = 3 + 2/2. Euge: 7/2. Lucho: 1 + 3/2. b) Juli: 4. Euge: 3 1/2. Lucho: 2 1/2. 19. 1 6/8 y 14/8. b) 4 2/3
c) 4 3/4
d) 2 2/7
40. 21/4 kg = 5 1/4 kg 41. a) 24/5 m = 4 4/5 m
b) Con 5 pasos.
42. a) Hay que pintar 6 cuadraditos y rayar 3 de ellos. b) La parte rayada representa 3/8 del total y es la mitad de 3/4, o sea que 3/4 : 2 = 3/8. 43. Mitad 1/4 1/8 2/10 = 1/5 5/12
Doble 1 1/2 4/5 10/6 = 5/3
1/2 1/4 2/5 5/6
44. Sí, es cierto, porque 24 × 3/4 litros = 18 litros, y con 3 bidones de 5 litros se reúnen 15 litros. 45.
21. a) El primo, porque se sirvió 5/8 de la pizza. b) La de mayor numerador.
Gaseosas
Carne
Helado
Pan
30 litros
20 kg
8 kg
7 1/2 kg
22. 4/5 < 1, en cambio, 3/2 > 1; por eso, 4/5 < 3/2.
46. a) 18/15 = 6/5
23. a) Carla, porque 2/3 > 2/5. b) La de menor denominador.
47. La 1.ª de la izquierda con 1/6. La 2.ª de la izquierda con 1/10. La 3.ª de la izquierda con 1/10. La 1.ª de la derecha con 1/6. La 2.ª de la derecha con 6/20. La 3.ª de la derecha con 6/20.
24. a) >
c) =
e) <
g) <
b) <
d) >
f) =
h) >
b) 12/28 = 3/7
c) 7/30
d) 3/20
25. 1/2 va en la 2.ª rayita después del 0; 3/4, en la 3.ª; 7/4, en 48. 3/4 litros. la 7.ª, y 2, en la 8.ª. 26. 4/5, 7/5 y 11/5.
49.
1/8 kg
3
3/8 kg
27. a) Tiene razón Ale, ya que 2/3 = 4/6, por lo tanto, 3/4 kg 1 1/2 L ambas fracciones se ubican en el mismo punto. b) 1/2 va en la 3.ª rayita después del 0 y 10/12, en la 5.ª. 50. 17/20 del total.
18
2 1/4 kg
28. a) Verde: 1/3.
Rojo: 1/12.
b) 5/12
29. 5/4 kg
51. a) F
b) V
c) V
30. 7/30
para repasar e integrar
31. 19/40
¿QUÉ apreNdÍ?
32. Con 7/6: a), b), d) y e) . 33. a) 1/8
b) 1/2
34. La sexta parte.
10
1/4 L
Con 4/3: c) y f). c) 3/10
d) 3/4
d) V
e) V
• Que para comparar fracciones puedo buscar fracciones equivalentes con denominadores iguales y luego comparar los numeradores. También puedo representarlas en la recta numérica; la que está más a la derecha es mayor. • Que para sumar o restar fracciones con distintos denominadores, puedo buscar fracciones equivalentes de modo
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13. 6/24 con 15/60; 2/10 con 8/40; 5/30 con 3/18.
20. a) 2 3/5
37. 240 38. 30 litros.
12. Ramiro.
16. a) 5/8 b) 3/8
b) 7/24 litros.
36. Azul: 12. Amarillo: 27. Verde: 32. Rojo: 1.
9. Por ejemplo: a) 8/10 b) 10/14 11. 5/25 = 1/5 7/28 = 1/4
35. a) Durazno; frutilla.
3/6 = 1/2
que los denominadores sean iguales, y luego sumar o restar los numeradores. 1. 14/10 = 7/5 = 1 2/5
6. De izquierda a derecha: rojo, celeste, verde, celeste, verde.
2. Hay que agregar una figura que ocupe la mitad del rectángulo rojo.
7. La 1.ª con Recto. La 2.ª con Agudo. La 3.ª con Obtuso. La 4.ª con Llano. La 5.ª con De un giro.
3. Por ejemplo: a) 1/2 b) 3/2
8. El de la izquierda mide 70º, es agudo. El otro mide 110º, es obtuso.
c) 7/3
d) 15/2
4. 3/4 está entre 0 y 1; 15/4, entre 3 y 4. 5. a) 2/3 b) 11/9 c) 4/5 6. a) b) c) d)
5/8 1/4 1 1
7. a) 13/3
d) 4/5 e) 9/5 f) 14/5 e) f) g) h)
1/2 7/8 7/8 7/4
b) 29/6
9. a) Marita. b) De 100º. c) Una vez colocado el transportador, hay que mirar la escala que tiene el 0 sobre uno de los lados del ángulo. 10. El de 65º es agudo y el de 130º es obtuso. 11. a) Mide 60º. Es agudo.
b) Mide 150º. Es obtuso.
12. a) Recto.
b) Mide 45º, es agudo.
13. b) Por ejemplo, en el ángulo que forman esos dos lados.
8. 1/2 < 7/5 < 15/7 < 22/7 < 47/10
14. b) El i) es isósceles. El ii) es equilátero. c) Son únicos.
9. En la 5.ª rayita después del 0, ya que 1 = 10/10.
15. b) El i) es isósceles acutángulo. El ii) es escaleno obtusángulo.
10. Sí, porque 1/3 + 1/5 = 8/15; así que le quedaban 7/15 del camino, y 7/15 < 1/2. 11. a) 12 1/2 kg
b) 25/4 kg = 6 1/4 kg
12. 12 años. 13. $ 1.155 14. Arroz: 3 1/2 kg; verduras: 10 1/2 kg; pollo: 12 1/4 kg. 15. A cada uno le toca 1/8 kg menos. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
5. Fede: agudo. Iván: llano. Lola: obtuso. Sofi: llano. Manu: recto.
¿cÓMO Me FUe?
• I) II) III) IV) • I)
5
3/7 Por ejemplo: 6/18 y 1/3. Es mayor que 2 enteros, pero no llega a 3 enteros. 1 1/5 6/8 II) 24/8
16. Es escaleno. 17. a) Escaleno acutángulo. Hay más de uno. b) Escaleno acutángulo. Es el único posible. c) Isósceles (o equilátero, si el tercer lado mide 5 cm). La clasificación depende de la construcción hecha. Hay más de uno. d) Equilátero acutángulo. Es el único posible. 18. a) No.
b) i) 14 cm, 12 cm y 5 cm. ii) 14 cm, 12 cm y 6 cm.
19. El único posible es el tercero. 20. a) El 1.º no. El 2.º sí, es escaleno. El 3.º no. El 4.º sí, es isósceles. b) 8 cm 21. Los tres casos son imposibles. 22. Sí, es cierto.
rectas, ángulos y triángulos
1. a) Hay que avanzar por Nicanor y doblar en Lope hacia la derecha, hasta el teatro. b) Perpendiculares. d) Conde. c) Nicanor. e) Secantes. 2. a) Perpendiculares. b) Puedo trazar una recta auxiliar perpendicular a R y luego una perpendicular a la recta auxiliar. Esta última es paralela a R.
23. a) 80º
b) 90º y 50º.
24. 20º Obtusángulo. 90º Rectángulo. 130º Obtusángulo. 25. Hay que completar con: “centro”, “radio” y “radio de la otra circunferencia”. 26. a) Hay que pintar la corona circular que queda determinada.
4. De izquierda a derecha: obtuso, agudo, recto, llano, agu- 27. do, obtuso.
a) 14 cm
b) 4 cm
11
29. a) Dos lados miden 15 mm por ser radios de la circunferencia menor y el otro, 20 mm por ser radio de la otra circunferencia. b) 40 mm de alto y 50 mm de ancho. 30. Se traza una circunferencia de 2 cm de radio con centro en el centro del sol y otra de 3 cm de radio con centro en el centro de la estrella. El punto donde se cortan dentro del babero es el que se busca. 31. a) Se traza una circunferencia de 2 cm de radio con centro en el punto rojo y otra de 4 cm de radio con centro en el punto azul. El tercer vértice está en uno de los puntos donde se cortan. b) Es imposible. 32. b) No, es el único posible. 33. Uno debe tener 2 lados de 5 cm y el tercero de 4 cm; el otro, 2 lados de 4 cm y el tercero de 5 cm. 36. Hay que pintar los carteles que dicen: Triángulo equilátero de 7 cm de lado. Lados de 5 cm, 6 cm y 8 cm.
para repasar e integrar
10. No, en ninguno de los dos casos. ¿cÓMO Me FUe?
a) F
b) V
6 1.
c) V
d) F
Fracciones y decimales Patitas. Palitos de colores.
2. a) 0,50
Orejas. Palitos blancos.
b) 0,05
Hueso chico. Hueso mediano.
c) 0,25
d) 0,10
3. a) b) c) d)
3,90 0,15 0,09 2,45
4. a) b) c) d)
3/10 = 0,3 Tres décimos. 29/100 = 0,29 Veintinueve centésimos. 14/10 = 1,4 Un entero, cuatro décimos. 165/100 = 1,65 Un entero, sesenta y cinco centésimos.
e) f) g) h)
10,10 5,05 0,01 1 o 1,00.
• Que dos rectas son paralelas cuando no se cortan en ningún punto; si se cortan en un punto son se- 6. 3.475 milésimos; 3,475. cantes, y si al cortarse forman cuatro ángulos igua7. a) 5,168 b) 7,06 c) 2,009 les, son perpendiculares. • Que un ángulo recto mide 90º; uno llano mide 180º; 8. 597/10, 59 + 7/10 y 5.970/100. los que miden menos de 90º son agudos, y si mi9. a) 0,5 d) 0,125 den entre 90° y 180º son obtusos. b) 0,25 e) 0,2 • Que los triángulos se clasifi can en escalenos, isóscec) 0,75 f) 0,004 les y equiláteros según sus lados, y según sus ángulos, en acutángulos, rectángulos y obtusángulos. 10. a) 8.5 b) 8.5 c) 8.5 • Que en cualquier triángulo cada lado es menor que d) Se pueden agregar o quitar los ceros que están al la suma de los otros dos. final de la parte decimal; el número no cambia. • Que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º. 1. b) Las dalias. c) Las dalias (y también Lapacho, cosa que se evidencia al prolongar las calles). 3. b) Isósceles obtusángulo.
c) La medida de un lado.
4. a) El de arriba, agudo y el otro, obtuso. b) 55º y 115º. 5. 90º y 30º. 6. Regla y compás. 7. Hay 5 rombos a más de 3 cm del punto rojo y 8 a menos de 2 cm de él. 8. Por ejemplo, 5 cm, 7 cm y 10 cm. 9. a) 35º
12
c) Obtusángulo isósceles.
11. a) < b) < c) =
d) < e) = f) >
g) < h) = i) <
12. 0,5 < 0,8 < 3,89 < 3,9 < 4,2 < 4,25 13. 0,7 va en la 7.ª rayita después del 0; 1,2, en la 2.ª rayita después del 1. 14. 1,5; 2,25; 3,75. 15. a) Por ejemplo, 0,021; 0,022; 0,023. b) 0,201; 0,202; 0,203; 0,204; 0,205; 0,206; 0,207; 0,208; 0,209. 16. a) A 1,8 m.
b) 1,75 m
17. a) Un sacapuntas de $ 2,75.
c) 0,45 m b) $ 27,55
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5. 237 centésimos; 2,37. 2 enteros + 3 décimos + 7 centésimos.
¿QUÉ apreNdÍ?
18. Cuando suma los centésimos y obtiene 120, debe con- 36. a) 421,6 : 10 = 42,16 c) (421,6 : 100) × 10 = 42,16 b) 421,6 : 10 = 42,16 d) (421,6 : 1.000) × 10 = 4,216 siderar que 100 centésimos es 1 entero; entonces, debe sumar 1 a los 13 enteros y dejar solo 20 centésimos 37. 973 × 0,1 = 97,3 = 973 : 10 como parte decimal. La cuenta da 14,20. Multiplicar por 1 décimo es dividir por 10. 973 × 0,01 = 9,73 = 973 : 100 19. 1,735 kg Multiplicar por 1 centésimo es dividir por 100. . – 6 5 20. a) 973 × 0,001 = 0,973 = 973 : 1.000 Multiplicar por 1 milésimo es dividir por 1.000. . – 6 b) c)
–
.
0
5
d)
+
.
0
1
e)
+
.
0
0
38. $ 30,90 39. a) 0,14 b) 0,008 c) 0,02 d) 0,34 e) 1 f) 0,005 3
21. a) María. b) 46,250 kg c) 47,700 kg d) A Juana, 6,300 kg y a María, 6,350 kg.
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22. a) 4,73 y 47,3. b) 47,3; 473 y 470. c) 473 y 4.730.
… hacia la derecha. … 2 lugares hacia la derecha. …3 lugares hacia la derecha.
23. 49,65 167 526,32 9,8
496,5 1.670 5.263,2 98
4.965 16.700 52.632 980
24. a) 4,73 b) 8,462 c) 0,0125
…un lugar hacia la izquierda. …2 lugares hacia la izquierda. …3 lugares hacia la izquierda.
25. a) × 10 b) × 100 c) × 1.000
d) : 100 e) : 10 f) : 1.000
26. 10 gorritos: $ 25. 10 globos: $ 12.
10 cornetas: $ 28. 10 caramelos para cada uno: $ 25.
27. De arriba hacia abajo hay que completar con 32,50; 1,20; 2,85; 80 y 2,75. 28.
50/100 1/4 3/4
La mitad. 25%
75/100
75%
10/100
10%
La décima parte.
1/5
20/100
La quinta parte.
8/8 = 1
100/100
El total.
29. a) El 50%. Son 30 chicos.
b) 45 chicos.
30. a) $ 72
c) $ 132
b) Sí.
31. El 57%. 32. 75, 12, 18, 90, 3.500, 1.520. 33. $ 229,50 34. Germán, 4,20 m y su hermano, 8,40 m. 35. 9,4 m.
40. Gastó $ 8 en las papas, $ 8 en las cebollas y $ 8,75 en las zanahorias. En total, $ 24,75. 41. $ 19,95 42. El kilo de café, $ 68,90 y cada paquete de galletitas, $ 4,90. 43. $ 6,20 44. Los estantes, 1,25 m y los listoncitos, 0,45 m. 45. $ 64,20 46. 6,75 47. 21,5 ºC 48. 39 km 49. 10
5,4
0,054
0,162
162
40,5
× 10
para repasar e integrar ¿QUÉ apreNdÍ?
• Que las fracciones con denominador 10, 100 o 1.000 se llaman fracciones decimales y se pueden escribir como números decimales. • Que en los números decimales, el primer lugar después de la coma lo ocupan los décimos; el segundo lugar, los centésimos, y el tercero, los milésimos. • Que cuando sumo o resto números decimales, sumo o resto los décimos con los décimos, los centésimos con los centésimos, etcétera. • Que para calcular el 50% de un número, lo divido por 2; para hallar el 25%, lo divido por 4; para averiguar el 10%, lo divido por 10. • Que para calcular, por ejemplo, el 45% de 80, hago (45/100) × 80 = 36. 1. a) 50,1 12/100 0,053 12,37 734/100 1.006/1.000 b) Cincuenta enteros, un décimo. Doce enteros, treinta y siete centésimos. Doce centésimos. Siete enteros, treinta y cuatro centésimos. Cincuenta y tres milésimos. Un entero, 6 milésimos.
13
2. i) 1,045 II) 1,12 III) 0,45 IV) 1,27 Para 1,007 puede ser, por ejemplo: está entre 1 y 2, y su parte decimal tiene solo 7 milésimos. b) Hay 60 milésimos.
4. a) Por ejemplo: 0,5; 1,2; 1,62. b) Por ejemplo: 99,01; 99,25; 99,785. 5. Por ejemplo, se le podría decir que 3,91 > 3,785 porque la cifra de los décimos es mayor, o porque 3,91 = 3,910. 6. a) 1,50 m > 1,45 m > 1,3 m > 0,9 m 7. $ 3.621,37 8. 1,74 m 9. El error es no haber colocado las comas una debajo de la otra. Las cuentas correctas son: 256,0
8,45
+
– 7,3 263,3
7,20 1,25
10. a) × 100 b) × 1.000 c) : 100
4. c) Sí; cambiaría la amplitud de los ángulos interiores y tal vez la medida de los lados que no tienen 5 cm. 5. 1.ª columna: Romboide. 2.ª columna: Paralelogramo común. Rombo. Rectángulo. Cuadrado. 3.ª columna: Trapecio isósceles. 4.ª columna: Trapecio rectángulo. 5.ª columna: Rectángulo. Cuadrado. 6. a) Iván: trapecio rectángulo. Mora: rombo. b) Por ejemplo: cuadrilátero que tiene un solo par de lados paralelos y los 4 ángulos distintos. c) Cuadrilátero con 4 ángulos diferentes que no tiene lados paralelos. 7. 1.ª columna: Trapecio isósceles. Rectángulo. Cuadrado. 2.ª columna: Romboide. Rombo. Cuadrado. 3.ª columna: Paralelogramo común. Rombo. Rectángulo. Cuadrado. 8. a) Los del 3.º. b) Diagonales de color verde: romboide. Diagonales de color azul: trapecio isósceles.
d) × 1.000 e) : 10 f) : 1.000
9. c) Un rombo.
11. $ 15,80 por la remera y $ 34,35 por las botas.
10. c) Rectos.
12. a) El 25% de los alumnos es la cuarta parte. Si 1/4 son 136 alumnos, el total es 136 × 4 = 544 alumnos. b) El 75%; son 408 chicos.
11. b) Seguramente varía el ángulo que forma la diagonal con uno de los lados.
13. $ 14,25; $ 35,85.
15. Hay que pintar el primero y el que dice: “Tiene 2 diagonales perpendiculares de 4 cm y 2 cm que se cortan por la mitad.”.
14. $ 18,50
d) Cuadrado.
16. a) 140º b) 90º, 90º y 35º.
15. De 1,20 m.
17. a) SÍ
¿cÓMO Me FUe?
c) 70º y 110º. d) 75º y 105º.
b) NO
c) NO
d) NO
18. Los otros ángulos miden 45º, 135º y 135º. • 7,6, porque es el que tiene la cifra mayor en el lugar de los décimos. Los otros dos son iguales. • a) El 35%. b) Azul: 20. Verde: 32. Anaranjado: 28.
7
cuadriláteros y poliedros
1. b) Se parecen en que ambas tienen 4 lados, 4 vértices, 4 ángulos interiores y 2 pares de lados paralelos. Se diferencian en la amplitud de sus ángulos interiores. 2.
21. a) Uno solo.
b) 120º cada uno.
22. a) I) B C E II) A D III) A D IV) B C b) B c) Por ejemplo: poliedro con 6 caras cuadradas y 12 aristas iguales. 23.
Rectangular
Hexagonal
Prisma rectangular
Prisma hexagonal
1.ª
2.ª
3.ª
4.ª
5.ª
4
6
A C D
A B C D
A D
A B D
A
12
18
8
12
3. a) Un paralelogramo común y un rectángulo. Tienen 2 pares de lados paralelos.
14
19. Mide 125º.
24. a) Prisma octogonal.
b) 16
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3. a) Hay 10 centésimos.
b) Un romboide; no tiene lados paralelos. c) Un cuadrado; un rombo; no.
25. Sí, porque la cantidad total de vértices siempre es el número de vértices de una de las bases × 2. 26. b)
Verde
Anaranjado
Sí
No
Sí
No
Rectangular
Triangular
6
5
27. b)
a)
b)
7
5
7
6
12
9
10. a) Pentagonal.
b) 8
c) 6
¿cÓMO Me FUe?
CUERPO I
CUERPO II
Pirámide triangular
Prisma hexagonal
3
6
6
18
4
12
28. a) El 1.º con la 5.ª, el 2.º con la 4.ª, el 3.º con la 1.ª y el 4.º con la 2.ª. b) Una pirámide pentagonal. 29. Con la verde y con la anaranjada. 30. a) Sí.
9.
¿Qué es un cuadrilátero? ¿Qué son los poliedros? ¿Qué es un prisma? ¿Cuánto suman los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero? e) Por ejemplo: ¿qué pirámide tiene 5 vértices? f) Por ejemplo: ¿qué cuadrilátero tiene un solo par de lados paralelos y las diagonales iguales?
a) b) c) d)
8
proporcionalidad. Medidas
b) Por 2. 1. La 1.ª fila se completa con 120 y 240; la 2.ª, con 1 y 3.
para repasar e integrar
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b) 1/2; 1/4; 1/8; 1.
3. Ana: 12 rifas. Pablo: $ 1; Fermín: $ 33; Pilar: $ 132.
¿QUÉ apreNdÍ?
• Que los cuadriláteros que no tienen lados paralelos se llaman trapezoides, los que tienen un par de lados paralelos, trapecios, y los que tienen dos pares de lados paralelos, paralelogramos. • Que si un cuadrilátero tiene todos los lados iguales puede ser un rombo o un cuadrado. • Que si un cuadrilátero tiene todos los ángulos iguales puede ser un rectángulo o un cuadrado. • Que los romboides y los rombos tienen las diagonales perpendiculares. • Que los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero siempre suman 360º. • Que los prismas tienen dos bases iguales y paralelas, y todas sus caras laterales son paralelogramos. • Que las pirámides tienen una sola base. Sus caras laterales son triángulos. 1. b) Romboide.
2. a) 8,50; 17; 34; 4,25.
c) Sí.
3. Es un rombo. 4. b) Es un cuadrado, ya que los 4 ángulos son rectos. 5. a) Sí, miden 42º, 138º y 138º. 6. Un romboide, un paralelogramo común o un rectángulo. 7. No, porque no sumarían 360º. 8. a) Una pirámide hexagonal.
b) Un prisma triangular.
4. a) 20, 28, 32, 48. b) Cuesta la mitad de 2 entradas, o sea, $ 4. 5. a) La primera fila se completa con 16 y 20; la segunda, con 125, 225 y 525. b) Por ejemplo: Para 5 porciones: (100 g : 4) × 5. Para 9 porciones: 100 g + 125 g. Para 400 g: 4 porciones × 4. Para 500 g: 4 porciones × 5. Para 21 porciones: 125 g + 400 g. c) Se puede calcular como el cociente entre dos cantidades correspondientes de la tabla; por ejemplo: 100 g : 4 = 25 g. 6. a) Hay que escribir NO ES junto a la primera y marcar la segunda. b) Por ejemplo, haciendo (96 : 4) × 7 = 168. c) 96 : 4 = 24. Representa la cantidad de galletitas que trae un paquete. 7. 1.ª fila: 25, 1, 125, 1/4. 2.ª fila: 50, 2, 250, 1/2. 3.ª fila: 75, 3, 375, 3/4. 4.ª fila: 100, 4, 500, 1. 8. I) Hay que marcarlo. Respuesta: 4,5 litros. II) No es de proporcionalidad directa. III) Hay que marcarlo. Respuesta: 144 melones. IV) No es de proporcionalidad directa.
15
b) 210 g
c) 9 litros.
b)
Kilogramos
Gramos
0,159
159
10. a) 4 fotocopias: $ 0,80; 19 fotocopias: $ 3,80; Fede sacó 10 fotocopias. Una constante de proporcionalidad es $ 0,20, que representa el precio de una fotocopia. b) Porque, por ejemplo, cuando tenga el doble de edad, no calzará el doble. El número de calzado no aumenta en forma proporcional con la edad.
4,5
4.500
¿QUÉ apreNdÍ?
13. a) No le alcanza.
b) Le faltan 60 cm.
14. Martín: 1,58 m.
Ale: 1,05 m.
15. 108 km 16. a) La 1.ª fila se completa con 18 y 10,5. La 2.ª, con 24.000 y 15.500. b) A 680 cuadras. 17. a) 43,2 km
b) 17,8 km
c) 14,4 cm
d) 1,31 m
18. a) 8 kg
b) 1/2 t
c) 200 g
d) 500 mg
19. a) 500 b) 250
c) 750 d) 1.500
e) 3.500 f) 1,5
• i) Es de proporcionalidad directa, porque si el tren da la mitad de vueltas, recorre la mitad de metros; si da el doble de vueltas, recorre el doble de metros, etcétera. ii) Si sumo lo que recorre en 2 y en 8 vueltas, obtengo lo que recorre en 10 vueltas. iii) Si divido los metros que recorre por el número de vueltas que dio en cada caso, obtengo siempre 2,5 m. Esa cantidad se llama constante de proporcionalidad directa y representa los metros que hace el tren al dar una vuelta. • Que 1 m = 100 cm; 1 m = 1.000 mm; 1 km = 1.000 m; 1 cm = 10 mm; 1 kg = 1.000 g; 1 g = 1.000 mg; 1 t = 1.000 kg; 1 L = 1.000 ml; 1 kl = 1.000 L. 1. a) 60, 45 y 75, respectivamente. b) $ 84; $ 14; 3 kg. c) 540 km; con 55 L. 2. Porque, por ejemplo, al doble de edad no le corresponde necesariamente el doble de kilogramos.
20. La 1.ª fila se completa con 2,25; 1,5 y 3,75. La 2.ª, con 4. 21. Le faltan 300 g. 22. a) Elefante: 7,5 t. Hipopótamo: 2,5 t. Rinoceronte: 3 t. b) 4.500 kg más. c) 500 kg más. b) $ 82
3. a) 1,25 kg
b) 7,5 L; 3/4 L.
4. Padre: 1,78 m. Maite: 0,95 m. Hermano: 1.860 mm. Madre: 163 cm. 5. 125 cm 6. 125 g; 14 paquetes.
24. Cremiqueso; $ 42. b) L
1.200
para repasar e integrar
12. a) La 1.ª fila se completa con 1/4 y 3/4. La 2.ª fila, con 50 y 75. La 3.ª, con 1.000, 500 y 250. b) 150; 250; 100; 5.
25. a) ml
340
1,2
c) Le faltarán 12,5 m. Tiene que dar 3.200 pasos.
11. Espesor de un clavo: 2 mm. Altura de un cerro: 580 m. Distancia entre dos pueblos: 48 km. Ancho de una ventana: 2 m. Largo de un sacapuntas: 3 cm.
23. a) 12,30; 16,40; 28,70; 41.
0,34
7. En 2 1/2 cajas. c) kl
d) L
e) ml
f) L
26. 1/2 L con 0,5 L; 1,5 L con 1.500 ml; 1/4 L con 250 ml. 27. a) 2 kl
b) 1/4 de hora = 15 minutos.
28. a) 80 vasos.
b) 21 botellas y sobra 1/4 L.
29. Con la primera se llenarán 6 envases de 400 ml y sobrarán 100 ml; con la segunda se llenarán 10 frascos de 1/4 L y no sobrará nada. 30. a) La tabla se completa con 9; 18 3/4 y 22 1/2. b) 0,75 L
8. El tren pesa 264.100 kg más. 9. 18 vasitos. 10. 8 botellas; 200 ml. 11. a) 400
b) 40
¿cÓMO Me FUe?
La 1.ª fila se completa con 65, 47 y 64. La 2.ª, con 200 g, 5 kg, 8 kg y 20 kg. 31. a) La 1.ª con 3 L, la 2.ª con 5.000 mm y la 3.ª con 0,25 kg. No, porque el triple de kilos no cuesta el triple. 1.000.000 en ambos casos.
16
© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
9. a) $ 122,50
5.
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