Metode Secant Dan Metode Newton Raphson Uts 3c6j4a

METODE SECANT DAN METODE NEWTON RAPHSON MAKALAH MATEMATIKA TEKNIK KIMIA

Oleh : SINARTO

(1331010094)

KURNIA ARIFIANI KUSUMA (1431010060)

Laboratorium Pemrograman Komputer Dan Matematika Teknik Program Studi Teknik Kimia Fakultas Teknologi Industri Universitas Pembangunan Nasional “Veteran” Jawa Timur 1

Surabaya 2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami ucapkan kepada Tuhan yang Maha Esa karna dengan rahmat dan karunia-Nya, penyusunan makalah ini dapat kami selesaikan. Makalah ini berjudul “ Metode Secant dan Newton Raphson ”. Penyusunan dari makalah ini merupakan salah satu dari tugas kami sebagai mahasiswa untuk menyelesaikan tugas praktikum matematika teknik kimia. Kami ingin mengucapkan permohonan maaf apabila terdapat kesalahan dalam penulisan kata dan adanya pernyataan-pernyataan yang kami tulis didalam makalah ini tidak berkenan dihati saudara. Kami mengharapkan kritik dan saran dari pembaca kepada kami mengenai makalah yang kami buat sehingga untuk kedepannya kami dapat memperbaiki kesalahan kami dan kedepannya menjadi lebih baik dari sebelumnya.

Surabaya, 27 Oktober 2015

2

Penulis

DAFTAR ISI

3

DAFTAR TABEL

4

DAFTAR GAMBAR

5

BAB I PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang Dalam bab ini, kita akan membahas tentang beberapa metode numerik yang dapat digunakan untuk menemukan akar-akar persamaan non-linier. Masalah yang akan kita bahas tersebut secara matematis dapat diterangkan sebagai pencarian hargaharga x sedemikian hingga memenuhi persamaan non-liner f(x) = 0 . Manakala kita mengatakan bahwa f(x) adalah fungsi non-linier dalam x, ini berarti bahwa f (x) tidak dinyatakan dalam bentuk ax + b , dimana a dan b merupakan konstanta dan manakala kita mengatakan bahwa f(x) adalah fungsi aljabar,

ini

berarti

bahwa

fungsi

tersebut

tidak

melibatkan

bentuk

diferensial dny/dxn . I.2 Rumusan Masalah Rumusan masalah yang akan dibahas adalah : 1. Jenis persamaan apa yang digunakan ? 2. Bagaimana metode penyelesaiannya ? 3. Bagaimana metode secant itu ? 4. Bagaimana metode newton raphson itu? 5. Bagaimana cara penyelesaian matematisnya ? 6. Bagaimana implemetasi dalam program matlab ? 7. Bagaiamana flowchart dari metode secant dan newton raphson ? I.3 Tujuan Tujuan dari makalah ini adalah sebagai berikut : 1. Memahami pengertian dari persamaan linier dan non linier. 2. Mengetahui macam-macam metode penyelesaian untuk mencari akar-akar suatu persamaan. 6

3. Memahami implementasi metode penyelesaian ke dalam suatu program. 4. Mengetahui algoritma dari metode secant dan newton rapshon. I.4 Manfaat Manfaat dari makalah ini adalah sebagai berikut : 1.

7

BAB II PEMBAHASAN

2.1 SISTEM-SITEM PERSAMAAN 2.1.1 Persamaan Linier Penyelesaian suatu sistem persamaan linier adalah suatu himpunan nilai yang memenuhi secara serentak (simultan) semua persamaan-persamaan dari sistem tersebut. Atau secara sederhana penyelesaian sistem persamaan linier adalah menentukan titik potong dari dua persamaan linier. Persamaan linear adalah suatu kalimat matematika terbuka yang variabel berderajat (berpangkat) satu. Bentuk umum dari sebuah persamaan linear adalah: ax = c

(1 variabel)

ax + by = c

(2 variabel)

ax + by + cz = d

(3 variabel)

dimana a, b, c dan d konstanta. (Meitasari, 2012) 2.1.2 Persamaan Non-Linier 2.2 MACAM-MACAM METODE PENYELESAIAN 2.2.1 Metode Setangah Interval (Bisection) Metode Bisection adalah algoritma pencarian akar pada sebuah interval. Interval tersebut membagi dua bagian, lalu menghitung fungsi pada interval yang sama dari x sampai pada perubahan tanda, ulang hingga diperoleh akar persamaan atau mendekati akar persamaan. Metode ini berlaku ketika ingin memecahkan persamaan f(x) = 0 dengan f merupakan fungsi kontinyu. (Fairuzel,2013) 2.2.2 Metode Interpolasi Linier Metode posisi palsu mirip dengan metode bagi dua. Kemiripannya terletak dalam hal diperlukan dua harga taksiran awal pada awal 8

pengurungan

akar persamaan. Sedangkan, perbedaannya terletak pada

proses pencarian pendekatan akar persamaan selanjutnya setelah pendekatan akar saat ini ditemukan.Metode Interpolasi linier didasarkan pada interpolasi antara dua nilai dari fungsi yang mempunyai tanda berlawanan. . (Fairuzel,2013) 2.2.3 Metode Newton Raphson Metode

newton

raphson

adalah

metode

pendekatan

yang

menggunakan satu titik awal . Dengan prinsip utama ,metode ini melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis singgung (gradien) pada suatu titik nilai awal. Nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antara garis singgung (gradien) kurva dengan sumbu x. Titik pendekatan ke n+1 dituliskan fungsi ƒ(xn) dan turunannya ƒ '(xn). (Setiawan,2015) 2.2.4 Metode Secant Pada

dasarnya

metode

ini

sama

dengan

metode

Newton-

Raphson, perbedaannya hanya terletak pada pendekatan untuk turunan pertama dari f saja. Kadang-kadang sulit untuk mencari turunan dari persamaan yang diselesaikan. Metode Secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan Newton Raphson, dimana kemiringan dua titik dinyatakan secara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik. Dalam metode ini pendekatan memerlukan dua nilai awal dari x, yang digunakan untuk memperbaiki kemiringan. (Setiawan,2015) 2.2.5 Metode Iterasi Metode iterasi ini digunakan suatu persamaan untuk memperkirakan nilai akar persamaan. Persamaan tersebut dikembangkan dari fungsi f(x)=0 sehingga parameter x berada di sisi kiri dari persamaan yaitu x = g(x) . transformasi ini dapat dilakukan dengan manipulasi aljabar atau dengan menambahkan parameter x pada kedua sisi dari persamaan aslinya. (Triatmodjo,2014) 2.2.6 Metode Gauss-Seidel 9

Metode

Gauss-Seidel digunakan

untuk

menyelesaikan

sistem

persamaan linear (SPL) berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar, seperti sistem-sistem yang banyak ditemukan dalam sistem persamaan diferensial. Metode iterasi Gauss-Seidel dikembangkan dari gagasan metode iterasi pada solusi persamaan tak linier. Dengan metode iterasi GaussSeidel sesatan pembulatan dapat diperkecil karena dapat meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas perkiraan yang diperbolehkan. 2.2.7 Metode Gauss-Jordan Metode ini selain untuk menyelesaikan persamaan linier, juga dapat digunakan untuk menghitung matriks inversi. Dalam metode gauss-jordan bilangan tak diketahui dieleminasi dari semua persamaan, yang dalam metode Gauss bilangan tersebut dieliminasi dari persamaan berikutnya. Dengan demikian

langkah-langkag

eliminasi

menghasilkan

matriks

identitas.

(Triatmodjo,2014) 2.3 METODE SECANT 2.3.1 Definisi Metode secant merupakan salah satu metoda yang digunakan untuk mencari nilai akar dari persamaan y=f(x). Metoda ini dapat dipahami dengan menggunakan bantuan model segitiga dalam penyelesainnya seperti berikut, dengan x0 dan x1 merupakan batas yang dijadikan acuan awal untuk mencari nilai x yang sebenarnya :

10

Gambar 2.1 Metode Secant Misalkan dengan menggunakan gambar ilustrasi di atas kita dapat mengambil persamaan dari sifat segitiga sebangun sebagai berikut : BD CD = BA CE Dimana : BD = f(x1)

CD = f(x1)

BA = x1 -x0

CE = x1 - x2

Dan jika dirubah, rumusnya akan menjadi : f ( x 1) −f ( x 0 ) f ( x 1 )−0 = x 1−x 0 x 1−x 2

Jadi,

x 2=x 1−f ( x 1 )

x 1−x 0 f ( x1 ) −f ( x 0 )

Dari rumus di atas bisa kita lihat bahwa yang dicari adalah x n+1 , (xn+1) ini merupakan nilai x yang dicari sebagai pendekatan terhadap nilai x yang

11

sebenarnya seperti untuk nilai x2 kemudian x3 , semakin lama nilai xn+1 akan mendekati titik x yang sebenarnya. Secara umum rumus Metode Secant ini ditulis : x x x f (¿¿ n)−f (¿¿ n−1) ¿ f (¿¿ n)( x n−x n−1) ¿ x n +1=x n−¿ Jika perhitungan di atas terus dilakukan maka pada akhirnya akan di dapat nilai x yang paling mendekati dengan jumlah eror dan iterasi yang bisa kita tentukan 2.3.2 Algoritma Metode Secant 1 2 3

Definisikan fungsi f(x) Definisikan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) Masukkan dua nilai pendekatan awal yang diantaranya terdapat akar yaitu xo dan x1, sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin

titik

pendekatannya

adalah

titik

pendekatan

5

konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan. Hitung f(xo) dan f(x1) sebagai yo dan y1 Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xi)| ≥ e x −x x i+1=x i− y i i i−1 y i− y i−1

6

Hitung

7

Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.

4

y i+1

=

yang

F( x i +1)

2.3.3 Penyelesaian Metode Secant Secara Matematis Contoh soal : 3 2 Tentukan salah satu akar dari 4 x −15 x +17 x−6=0 sampai iterasi ke-4

12

Penyelesaian : f ( x )=4 x 3−15 x2 +17 x−6=0 Iterasi 1 Ambil

x 1=−1

dan

x 2=3 3

2

x 1=−1 → f (−1 )=4 (−1 ) −15 (−1 ) +17 (−1 )−6=−42 3

2

x 2=3 → f (3 )=4 ( 3 ) −15 ( 3 ) +17 ( 3 )−6=18

x 3=x 2−

f ( x 2 )( x 2−x 1 ) f ( x 2) −f ( x 1 )

¿ ¿ 18 ¿ x 3=3−¿ → f ( 1,8 )=4 ( 1,8 )3−15 ( 1,8 )2 +17 ( 1,8 )−6=−0,67 2 Iterasi 2 x 1=3 → f (3 )=18 x 2=1,8 → f ( 1,8 )=−0,672

x 3=1,8−

(−0,672)[ 1,8−3] =1,84319 −0,672−18

→ f ( 1,84319 )=4 ( 1,84319 )3−15 ( 1,84319 )2+17 ( 1,84319 ) −6=−0,57817 Iterasi 3 x 1=1,8→ f ( 1,8 )=−0,672

13

x 2=1,84319

→ f ( 1,84319 )=−0,57817

x 3=1,84319−

(−0,57817 ) [ 1,84319−1,8 ] =2,10932 −0,57817−(−0,672 )

→ f ( 2,10932 )=4 ( 2,10932 )3 −15 (2,10932 )2 +17 ( 2,10932 )−6=0,65939 Iterasi 4 x 1=1,84319→ f ( 1,84319 ) =−0,57817 x 2=2,10932 → f ( 2,10932 )=0,65939

x 3=2,10932−

( 0,65939 ) [ 2,10932−1,84319 ] =1,96752 0,65939−(−5,7817 )

→ f ( 1,96752 )=4 (1,96752 )3−15 ( 1,96752 )2 +17 ( 1,96752 )−6=−0,15303 Tabel 2.1 Hasil Perhitungan Metode Secant Iterasi ke1 2 3 4

X1 -1 3 1,8 1,84319

X2 3 1,8 1,84319 2,10932

X3 1,8 1,84319 2,10932 1,96752

F(x1) -42 18 -0,672 -0,57817

F(x2) 18 -0,672 -0,57817 0,65939

F(x3) -0,672 -0,57817 0,65939 -0,15303

2.4 METODE NEWTON RAPHSON 2.4.1 Definisi Metode Newton Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut. Dengan prinsip utama sebagai berikut : a Metode ini melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis singgung (gradien) pada suatu titik nilai awal. 14

b

Nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antara garis singgung (gradien) kurva dengan sumbu x.

Titik pendekatan ke n+1 dituliskan sebagai berikut : Diketahui fungsi ƒ(xn) dan turunannya ƒ '(xn), kita memulai dengan tebakan pertama, xn x n+1=x n−

f ( x n) f ' (x n )

Kita memulai proses dengan nilai awal sembarang xn . Metode ini biasanya akan mengerucut pada akar, dengan syarat tebakan awal cukup dekat pada akar tersebut, dan bahwa ƒ'(xn) ≠ 0. 2.4.2 Algoritma penyelesaian Metode Newton Raphson 1 2 3 4 5

Definisikan fungsi ƒ(xn) dan ƒ '(xn) Tentukan toleransi error (e) dan Iterasi maksimum (n) Tentukan nilai pendekatan awal xn Hitung ƒ(xn) dan ƒ '(xn) Untuk Iterasi i = 1 s/d n atau | ƒ(xn) | > e f (x ) x n+1=x n− ' n f (x n )

6 Hitung ƒ(xn+1) dan ƒ '(xn+1) 7 Akar persamaan adalah nilai xn+1 yang terakhir diperoleh. 2.4.3 Penyelesaian Secara Matematis Contoh soal : 2.4 IMPLEMENTASI DALAM PROGRAM 2.4.1 Program Metode Secant clear all; clc; syms x; 15

disp('================================================'); disp('

PROGRAM METODE SECANT

');

disp('================================================'); f=input('Masukan Persamaan

= ');

a=input('Masukan batas atas

= ');

b=input('Masukan batas bawah

= ');

t=input('Masukan batas toleransi = '); fa=subs(f,x,a); fb=subs(f,x,b); c=b-(fb*(b-a)/(fb-fa)); fc=subs(f,x,c); disp('-----------------------------------------------------------------'); disp('

x1

x2

x3

f(x1)

f(x2)

f(x3) ');

disp('-----------------------------------------------------------------'); disp([ a' b' c' fa' fb'

fc']);

while abs (fc)> t a=b; fa=subs(f,x,a); fb=subs(f,x,b); b=c; fb=subs(f,x,b); fc=subs(f,x,c); c=b-(fb*(b-a)/(fb-fa)); fc=subs(f,x,c); disp([ a' b' c' fa' fb'

fc']);

disp('-----------------------------------------------------------------'); end

16

2.4.1.1 Hasil Program Metode Secant

Gambar 2.2 Hasil Program Metode Secant

17

2.4.1.2 Flowchart Program Metode Secant

18

19

2.4.2 Program Metode Newton Rapshon 2.4.2.1 Hasil Program Metode Newton Raphson 2.4.2.2 Flowchart Program Metode Newton Raphson

20

BAB III PENUTUP

21

DAFTAR PUSTAKA Setiawan . 2015 . “ Metode Secant dan Raphson” (http:// firmansetiawan26. Blogspot.co.id/). Diakses tanggal 03 Oktober 2015 pukul 19.30 WIB. http://rerimeitasari.blogspot.co.id/2012/03/sistem-persamaan-linear.html

22