Mapas Karnaugh De 5 Y 6 Variables ef45

MAPAS DE KARNAUGH DE 5 Y 6 VARIABLES Diego Gabriel Chano Tomarima [email protected].

Cristian David Chimbo Tamami [email protected]

Ingeniería Mecatrónica. 6 nivel, Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE-Extensión Latacunga, Márquez de Maenza S/N Latacunga. Ecuador Jueves, 11 de diciembre de 2014 RESUMEN: En el siguiente escrito se presenta sobre la utilización del mapa de Karnaugh ya que esto que permitirá simplificar una expresión booleana, también nos enfocaremos a cómo generar y simplificar un mapa de Karnaugh de 5 y 6 variables para ello se realizara ejemplos para una mejor comprensión del mismo. PALABRAS CLAVE: Mapa de Karnaugh: similar a una tabla de verdad su propósito es simplificar una expresión booleana. Simplificar: reducir una expresión o cantidad a su forma menos compleja o más breve. Expresión booleana: sucesión que incluye el 0, 1, algunas variables y operaciones booleanas.

entrada A para uno de los mapas y su complemento A’, para realizar el otro mapa.

2.1 OBTENCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN. Un mapa de Karnaugh de cinco variables (ABCDE) se puede crear utilizando dos mapas de 4 variables para lo cual ya estamos familiarizados. Cada uno de estos mapas contienen 16 celdas con todas las posibles combinaciones de la variables B, C, D y E. Un mapa es de A=0 y el otro es para A=1. Cabe recalcar que ahora una casilla además de ser adyacente en forma vertical u horizontal es adyacente a la casilla que ocupa la misma posición en el cuadrado cercano

1. INTRODUCCIÓN. “Un mapa de Karnaugh es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los valores posibles de las variables de entrada y la salida resultante para cada valor.” (Floyd, 2006) Los mapas de Karnaugh son utilizados para expresiones de dos tres, cuatro, cinco y seis variables pero nos ocuparemos de los casos de cinco y seis variables. “El mapa de Karnaugh es un método grafico que se utiliza para simplificar una ecuación lógica para convertir una tabla de verdad a su circuito lógico correspondiente en un proceso simple y ordenado.” (Tocci, 1996) Un mapa de Karnaugh permite demostrar la relación entre las entradas lógicas y la salida que se busca.

2. MAPA DE VARIABLES.

KARNAUGH

DE

5

El mapa de Karnaugh de 5 variables se obtiene de dos mapas con 4 variables lo que permite a este mapa tener 32 celdas con 5 entradas, cabe recalcar que se cuenta con una

Figura 1: Mapa de Karnaugh de 5 variables

Para su respectiva simplificación y agrupación de una función de cinco variables de entrada mostrada en la Figura 2 podemos notar que en la agrupación de grupo II los términos escogido de cada tabla son adyacentes ya que ocupan las mismas posiciones en la respectiva tabla.

Figura 2: Simplificación de un mapa de Karnaugh de 5 variables.

Para realizar la simplificación del mapa de Karnaugh de 5 variables se bebe realizar de la misma manera que se la resuelve con un mapa de Karnaugh de 2, 3 y 4 variables. Y así obtenemos la simplificación del mapa de Karnaugh de 5 variables de la Figura 2 la cual queda expresada de la siguiente manera:

´C ´ D ´ E+BDE ´ ´ C´ D E+ ´ AC D(1) ´ f =A +B

2.2 EJEMPLO DE MAPA DE KARNAUGH DE 5 VARIABLES APLICANDO CONDICIONES NO IMPORTA. El sistema nervioso humano, incluyendo al cerebro, está hecho de billones de células especializadas llamadas neuronas. Cada neurona posee sinapsis (nodos, puntos de conexión con otras neuronas) que pueden ser de dos tipos: (1) excitatorias e (2) inhibitorias. Cada neurona tiene una sola terminal de salida, (la cual se denomina axón), y transmite por ella una señal [1] cuando el número de sinapsis excitatorias con entradas [1], excede al número de sinapsis inhibitorias con entrada [1] por al menos el número N (umbral de la neurona). Determine la función de la salida F(A, B, C, D, E) en el axón de la neurona, dadas las siguientes condiciones:  

N=1. No se presenta nunca el caso en el cual el número de “unos” en las sinapsis de excitación es igual al número de “unos” en la sinapsis de inhibición.

Minimizar F mediante mapas de Karnaugh haciendo uso de las condiciones irrelevantes o No Importa.

Figura 3: Detalle de la neurona con las variables

A, B, C Sinapsis de excitación. A, D, E Sinapsis de inhibición.

Resolución:

Lo primero que vamos hacer es realizar una tabla de verdad en donde se considera todas las condiciones mencionadas.

Tabla 1: Tabla de verdad con las 5 variables

Ahora la Tabla 1 pasamos a un mapa de Karnaugh de 5 variables.

misma posición en el cuadrado cercano horizontal y en el cuadrado cercano vertical.

Figura 4: Mapa de Karnaugh de 5 variables

Como podemos observar el mapa anterior de la Figura 4 difiere usando hasta ahora, esto es con el fin de mostrar que existen muchas formas de expresar el mapa de Karnaugh, para la que solo podemos recomendar se use la que más nos facilite. La función reducida obtenida del mapa de Karnaugh de la Figura 4 queda expresada de la siguiente manera:

´ ´ F REDUCIDA =A E´ +BC + B D+C D(2)

3 MAPA DE VARIABLES

KARNAUGH

DE

Figura 5: Mapa de Karnaugh de 6 variables.

Para la respectiva simplificación y agrupación de una función de 6 variables de entrada mostrada en la Figura 6 se debe tener en cuenta que cualquier casilla del primer cuadro es adyacente a las casillas que están a su alrededor y también a las casillas que están ocupando la misma posición en el cuadro de lado derecho y del cuadro inferior.

6

El mapa de Karnaugh de 6 variables se obtiene de cuatro mapas de 4 variables lo que permite que este mapa tenga 64 celdas, para ello los términos de adyacencia usual se aplican a cada subsección de cuatro variables, además en el mapa existe términos adyacentes verticales y horizontales entre las celdas correspondientes de la subsección.

3.1 OBTENCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN. Si tenemos una función de 6 variables es decir

f =( A , B , C , D , E F ) de

Karnaugh

para realizar el mapa

tenemos

26=64

combinaciones. Cabe recalcar que ahora una casilla es adyacente en forma horizontal o vertical y también es adyacente a la casilla que ocupa la

Figura 6: Simplificación de un mapa de Karnaugh de 6 variables.

Y así obtenemos la simplificación del mapa de Karnaugh de 6 variables de la Figura 6 la cual queda expresada de la siguiente manera:

´ B+ ´ C ´ DE ´ F´ +C E´ D+ E C´ DB (3) f =CDEF A

5

3.2 EJEMPLO DE MAPA DE KARNAUGH DE 6 VARIABLES APLICANDO CONDICIONES NO IMPORTA Simplifique la siguiente ecuación que está dada como una suma de min.

2 =32 26=64. 

¿ 0,1,4,5,11,16,17,20,21,24,28, m¿ f ( ABCDEF ) =∑ ¿ 32,33,35,36,37,39,42,49,51,56,58,60,62 ¿ Agrupamos por 1





La función simplificada del mapa de Karnaugh de 6 variables de la Figura 7 queda expresada de la siguiente manera:

La minimización de funciones con el mapa de Karnaugh es aprovechado del hecho de que las casillas del mapa están arregladas de manera que entre una casilla y otra en forma horizontal o vertical exista adyacencia lógica.

6. RECOMENDACIONES



Figura 7: Mapa de Karnaugh de 6 variables

y para 6 variables es



Para mejor entendimiento de los temas a tratar se recomienda realizar una investigación a fondo exhaustiva, y luego sacar sus propias ideas con la intensión de desarrollar un trabajo único de su propia autoría. Se recomienda reforzar los conocimientos referidos al tema realizando ejercicios con la intención de obtener un mejor dominio y uso de los mapas Karnaugh. Realizar una comparación entre los temas que se trata con el fin de poder identificar cuáles son las discrepancias de los mismos, al igual que sus correspondientes ventajas con respecto a la resolución de problemas utilizando estos métodos. Es recomendable utilizar fuentes bibliográficas confiables, con el propósito de obtener información verídica de los temas que se trate.

´ B´ CE + C´ E´ B+ ´ C´ F B+C ´ ´ E F+C ´ ´ B +C ´ D ´ FA + C ´ E ´ A´ f =A D F 7. REFERENCIAS [1] Floyd, T. L. (2006). Mapas de Karnaugh. Madrid: Impreso en España.

5. CONCLUSIONES  Los mapas de Karnaugh son muy



similares a las tablas de verdad con el propósito de simplificar una expresión booleana y funciones con cualquier número de entradas. En un mapa de Karnaugh el número de celdas es igual al número total de posibles combinaciones de las variables de entrada, al igual que el número de filas de una tabla de verdad es decir para 5 variables el número de celdas es

[2] Tocci, R. (1996). Mapas de Karnaugh. México: Prentice-Hall. [3] Algebra de Boole. Técnicas digitales. Recuperado el 9 de diciembre de 2014 de: http://clrueda.docentes.upbbga.edu.co/web_digit ales/Tema_2/ejerciciost2_I.html [4] Guía y problemario de circuitos lógicos. Mapas de Karnaugh. Recuperado el 9 de diciembre de 2014 de: https://coscomantauni.files.wordpress.com/2014 /02/problemas-de-circuitos-digitales.pdf