Lks Trigonometri 5t6134

Matematika SMA Kelas X Semester 2

Bab 5 : Trigonometri

Materi Pokok

TRIGONOMETRI Kompetensi Dasar 1 : Menggunakan sifat dan aturan tentang fungsi trigonometri ,rumus sinus dan cosinus dalam pemecahan masalah

•

Indikator : Menjelaskan arti derajad dan radian Mengubah ukuran sudut dari derajad ke radian dan sebaliknya Menentukan sinus ,kosinus dan tangen suatu sudut dengan perbandingan trigonometri segitiga siku-siku Menentukan sinus ,kosinus dan tangen dari sudut khusus Menentukan sinus ,kosinus dan tangen dari sudut disemua kuadran Menentukan besarnya suatu sudut yang nilai sinus, kosinus dan tangennya diketahui Menggunakan kalkulator untuk menentukan nilai pendekatan fungsi trigonometri dan besar sudutnya Menggunakan rumus sinus, kosinus dalam penyelesaian soal Mengkonstruksi grafik fungsi sinus dan kosinus Menggambar grafik fungsi tangen

• • • • • • • • • •

A.

PENGERTIAN DERAJAD DAN RADIAN

A.1.

PENGERTIAN DERAJAD

Apabila kita menggerakkan sebuah benda yang melintasi sebuah lingkaran dari posisi awal pada titik A kembali lagi ke titik A maka dikatakan benda tersebut menyapu sudut sebesar 360o atau dengan kata lain :

1 putaran = 360 o

atau

1o =

1 putaran 360

360 dilambangkan ( ‘ )dan detik Ukuran sudut yang lebih kecil lagi dari derajad adalah menit dilambangkan ( “ ) dimana :

• •

1 o 60 1 1’ = 60 “ atau 1” = ’ 60

1o = 60 ‘ atau 1 ‘ =

1



Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Nyatakan sudut 47,12o dalam bentuk derajad,menit dan detik Penyelesaian : diuraikan dalam bentuk penjumlahan 47,12o = 47 o + 0,12 o o = 47 + (0,12 x 60)’ 0,12 o diubah dalam menit = 47 o + 7,2’ perkalian = 47 o + .....’ + 0,2’ arti desimal = 47 o + .....’ + (0,2 x ....)” 0,2’ diubah dalam detik = 47 o + .....’ + 12” perkalian jadi 47,12o = 47 o.....’12” Contoh 2 : Nyatakan sudut

1 ( 47,12o ) dalam bentuk derajad,menit dan detik 3

Penyelesaian :

1 ( 47,12o ) 3

1 ( 47 o + 0,12 o ) 3 1 1 = x ...... o + x ...... o 3 3 1 1 = (45 o +2 o ) + x 0,12 o 3 3 1 1 1 = x ...... o + x 2 o + x 0,12 o 3 3 3 1 1 = 15 o + x 2 x 60 ‘ + x 0,12x 60’ 3 3 =

= ..... o + ............... ‘ + 2,4’ = ..... o + 40 ‘ + 2’ + 0,4’ = ......o + .... ‘ + 2’ + 0,4 x 60” = 15 o + 40 ‘ + 2’ + ............” = 15 o + ....... ‘ + 24” = 15 o ..... ‘ 24” Jadi

diuraikan dalam bentuk penjumlahan sifat distributif penguraian 47 o sifat distributif pengubahan derajad ke menit perkalian arti desimal pengubahan menit ke detik perkalian penjumlahan arti penjumlahan

1 ( 47,12o ) = 15 o ...... ‘ 24” 3

1

LATIHAN SOAL

PENGERTIAN DERAJAD

1. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam bentuk derajad,menit dan detik a. 35,5o d. 103,45o o b. 56,3 e. 204,23o o c. 79,14 f. 306,51o 2. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam bentuk derajad,menit dan detik a.

1 ( 46o 26’ ) 2

d.

1 ( 103,45o ) 5

2


1 ( 64 o 12’ ) 3 1 c. ( 95o 35’ ) 4 b.


1 ( 79,14o ) 6 1 f. ( 306,51o ) 3

e.

3. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam bentuk desimal

1 ( 36o 24’ ) 2 1 b. ( 57 o 14’ ) 3 1 c. ( 35o 45’ ) 4 a.

A.2.

1 ( 134,40o ) 5 1 e. ( 189,15o ) 6 1 f. ( 323,54o ) 3 d.

PENGERTIAN RADIAN

Untuk memahami ukuran sudut dalam radian perhatikan gambar berikut A Perbandingan antara panjang busur AB dengan jar-jari B lingkaran OA dinamakan ukuran sudut dalam radian.

O

panjang (busur ) AB . Jika panjang busur jari − jari panjang (busur ) AB AB = jari-jari lingkaran , maka =1 jari − jari

Dapat ditulis :

Dalam hal seperti itu dikatakan bahwa sudut AOB = 1 radian. Dengan demikian dapat didefinsikan bahwa :

Besar sudut 1 radian adalah sudut yang disapu oleh busur yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkarannya

A.3.

MENGUBAH UKURAN SUDUT DARI DERAJAD KE RADIAN DAN SEBALIKNYA

Untuk mengubah ukuran sudut derajad ke radian , perhatikan gambar berikut : A

●O

B

panjang (busur ) AB π .r = = π radian ........ persamaan (1) jari − jari r

Sudut AOB = 180o ......... persamaan (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan :

180o = π radian atau 1 1o = π radian 180 atau 1 1 radian = .180o

π

3



Bila kita menggunakan nilai pendekatan π = 3,14159, maka :

1 . 3,14159radian = 0,...... radian 180 atau 1 .180o = 57,......o 1 radian = 3,14159

1o =

Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Nyatakan ukuran sudut berikut dalam bentuk radian : a. 135o b. 35o 24’ 45” Penyelesaian : a. 135o

= 135 x =

1 π radian 180

pengubahan derajad ke radian

3 π radian ......

perkalian

b. 35o 24’ 45” = 35o + .....’ + 45” = 35o + ..... x 60” + 45”

 24 x60 + 45    3600 

diuraikan ke penjumlahan pengubahan menit ke detik o

= 35o + 

pengubahan detik ke derajad

= 35o + 0,........o = 35,........o = 35,4125o x 0,017 radian = 0,....... radian

perkalian & pembagian penjumlahan pengubahan derajad ke radian perkalian

Contoh 2 : Nyatakan ukuran sudut berikut dalam bentuk derajad : a.

1 π radian 3

b.

1 radian 6

Penyelesaian : a.

1 1 π radian = x 180o 3 3

1 b. radian 6

pengubahan radian ke derajad

= ........o

perkalian

1 = x 57,296o 6

pengubahan radian ke derajad

= .........o

perkalian

LATIHAN SOAL

2

1. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam bentuk radian : a. 90o d. 24,45o b. 120o e. 126,23o o c. 300 f. 345,25o

PENGERTIAN RADIAN

g. 55o 22’ 40” h. 143o 56’ 21” i. 235o 34’ 25”

4



2. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam bentuk derajad :

1 π radian 4 1 b. π radian 6 3 π radian c. 4

1 π radian 3 1 e. 2 π radian 6 3 f. 3 π radian 4

a.

B.

7 radian 12 5 h. radian 4 7 i. 1 radian 6

d. 1

g.

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

B.1.

MENENTUKAN SINUS ,KOSINUS DAN TANGEN SUATU SUDUT DENGAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SEGITIGA SIKU-SIKU

C b

a

A

Gambar disamping adalah segitiga sikusiku ABC . a adalah panjang sisi di depan sudut A b adalah panjang sisi di depan sudut B c adalah panjang sisi di depan sudut C

B c Jika dilihat dari sudut A, maka : Jika dilihat dari sudut C, maka : Sisi a disebut sisi di depan sudut A Sisi c disebut sisi di depan sudut C Sisi c disebut sisi di dekat sudut A Sisi a disebut sisi di dekat sudut A Sisi b disebut sisi miring ( hipotenusa ) Sisi b disebut sisi miring(hipotenusa) Dari pengertian tersebut, maka perbandingan trigonometri untuk sudut A adalah :

•

sin A

•

cos A

•

tan A

sisi di depan sudut A a = sisi miring b sisi di dekat sudut A c = = sisi miring b sisi di depan sudut A a = = sisi di dekat sudut A c

=

•

cosec A

•

sec A

•

cotan A

1 b = sin A a 1 b = = cos A c 1 c = = tan A a =

Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : B 3 C

Gambar disamping adalah segitiga siku-siku ABC dengan A = 3 , b = 4 dan c = 5. Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut A

5 4

A

5



Penyelesaian :

sisi di depan sudut A 3 = sisi miring ..... sisi di dekat sudut A ..... cos A = = sisi miring 5 sisi di depan sudut A ..... tan A = = sisi di dekat sudut A ..... sin A

=

Contoh 2 : A B 4 2

1 ..... = sin A 3 1 ..... sec A = = cos A ..... 1 ..... cotan A= = tan A .....

cosec A =

Gambar disamping adalah segitiga ABC siku-siku di B dengan a = 2 dan b = 4. Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut A. Penyelesaian : Panjang sisi c harus kita hitung terlebih dahulu dengan menggunakan Teorema Phytagoras :

C c =

b2 − a2

4 2 − ....2 = ..... − ..... = ..... = 2 .....

substitusi nilai a dan b

=

perpangkatan pengurangan

disederhanakan Dengan demikian perbandingan trigonometri untuk sudut A adalah : sin A

=

cos A =

sisi di depan sudut A 2 1 = = sisi miring ..... .....

disederhanakan

sisi di dekat sudut A 2 3 1 = = .... sisi miring ..... 2

disederhanakan

sisi di depan sudut A ....... 2 = = x sisi di dekat sudut A 2 .... 2 3 2 .... = .... 1 = ..... 3 1 ..... cosec A = = = .... sin A 1 1 ..... ..... sec A = = = cos A 2 3 3 tan A

=

=

2

x

....

3 .... 2 ..... = ...... 1 2 .... cotan A= = = ...... tan A .....

.... ....

penyebut dirasionalkan perkalian disederhanakan pembagian pembagian penyebut dirasionalkan perkalian pembagian

6


7


3

LATIHAN SOAL

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

1. Hitunglah nilai perbandingan trigonometri sudut A dan B pada gambar berikut : a. c. A A B 4

5

5

3

12

B

3 b.

8

A

d.

A 3

10 6

2 B

B

2. Hitunglah nilai perbandingan trigonometri sudut A pada segitiga siku-siku ABC berikut : a. a = 8, b = 15 c. a = 2 5 , c = 2 e. b = 12, c = 13 b. a = 12, b = 15 d. a = 7 , c = 24 f. b = 15, c = 17 3. Hitunglah nilai perbandingan trigonometri yang lain dari sudut B ( sudut B lancip) jika diketahui :

7 25 3 b. cos B = 2 a. sin B =

C.

4 3

c.

tan B =

d.

cosec B =

10 6

5 4

e.

sec B =

f.

cotan B =

12 9

MENENTUKAN SINUS ,KOSINUS DAN TANGEN DARI SUDUT KHUSUS

Nilai perbandingan trigonometri sudut khusus yaitu 0o, 30o, 45o, 60o dan 90o . PERBANDINGAN TRIGONOMETRI Sin

0o 0

30o

Cos

1

Tan

0

1 3 2 1 3 3

1 2

SUDUT ISTIMEWA 45o 60o

1 2 2 1 2 2 1

1 3 2 1 2 3

90o 1 0 tak terdefinisi


8


Cosec

tak terdefinisi

2

2

2 3 3

1

Sec

1

2

2

tak terdefinisi

Cotan

tak terdefinisi

2 3 3 3

1 3 3

0

1

Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Tentukan nilai dari sin 60o + sec 30o Penyelesaian : sin 60o + sec 30o

1 2 .... + .... 2 3 1 2 = ( + ) .... 2 3 7 = .... 6 =

sudut istimewa sifat distributif penjumlahan

Contoh 2 : Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan sudut A = 30o dan panjang sisi b = 30 cm , hitunglah : a. Besar sudut C b. panjang sisi a c. panjang sisi c Penyelesaian : C a b= 30

30o

B c A a. Besar sudut C = 180o – ( .... + 30 )o = ....o

a b a sin 30o = ....

b. Sin A

=

a = .... x sin 30o a = .... x

1 ....

a = .... jadi panjang sisi a = ....cm

c b c cos 30o = ....

c. cos A

=

c = .... x cos 30o

ingat jumlah sudut ∆ = 180o arti sinus substitusi nilai A dan b kedua ruas dikalikan 30 substitusi nilai sin 30o perkalian arti kosinus substitusi nilai A dan b kedua ruas dikalikan 30



1 .... 2 c = 15 ....

substitusi nilai cos 30o

c = .... x

perkalian

jadi panjang sisi c = 15 .... cm

LATIHAN SOAL 1. Hitunglah nilai dari : a. sin 30o + cos 30o b. cos 45o – tan 45o c. tan 60o + cosec 60o d. sec 30o – cotan 45o e. sin 45o + cos 30o – tan 60o 2. Hitunglah nilai dari : a. Sin2 60o + cos2 30o b. ( cos 45o – tan 45o )2. sin 30o c.

2 − 3 cos 2 30 o sec 2 30 o 4 sin 2 30 o 1 − cos ec 2 60 o

d. ( 1 + cos2 60o )( 1 – tan2 30o ) 3. Hitunglah nilai dari :

1 π + cos 2 2 b. cos π – tan 3 1 c. sin π + cos 2 a. sin

4.

A c B a. b. c. d.

D.

b

MENENTUKAN SINUS ,KOSINUS DAN TANGEN DARI SUDUT KHUSUS

4

3 π 2 1 π 4 1 3 π – tan π 4 2

f. cos 60o.sin 30o – tan 45o g. Tan 45o. Sec 30o + cos 60o h. Cosec 30o. Tan 60o – sin 30o i. Sin 45o. Cos 30o. Tan 60o j. 1 – cotan 30o.cosec 60o e. f. g. h.

cos 2 60o.sin2 30o – tan 45o

sin 30 o 1 − tan 60 o cos 2 45 o 1 − tan 30 o + sin 30 o sec 2 60 o

( 1 – sin2 30o )2

1 3 1 π.sin – tan π 2 2 4 1 1 2 e. tan π. Sec π + cos π 2 4 3 2 1 f. 1 – cotan π.cosec π 3 2

d.

cos

Hitunglah unsur yang belum diketahui pada gambar segitiga disamping, jika diketahui :

a C a sisi b = 13, sisi c = 12 sisi b = 10 , sisi c = 4 sisi b = 8 , sudut C = 20o sisi a = 15 , sudut C = 63o

e. sisi a = 8 , sisi c = 4 f. sisi a = 4 , sisi c = 3 g. sisi a = 10 , sudut A = 70o h. sisi b = 8,2 , sudut A = 50o15’

MENENTUKAN TANDA SINUS ,KOSINUS DAN TANGEN DARI SUDUT DI SEMUA KUADRAN

9



y II

I

III

IV

x

Pada gambar diatas adalah sebuah sumbu koordinat Cartesius yang membagi daerah menjadi empat bagian. Untuk selanjutnya ke empat daerah tersebut dinamakan kuadran . - kuadran I : yaitu daerah yang dibatasi oleh sunbu x positif dan sumbu y positif - kuadran II : yaitu daerah yang dibatasi oleh sunbu x negatif dan sumbu y positif - kuadran III : yaitu daerah yang dibatasi oleh sunbu x negatif dan sumbu y negatif - kuadran IV : yaitu daerah yang dibatasi oleh sunbu x positif dan sumbu y negatif ► Pengertian posisi sudut di kuadran adalah sebagai berikut : - sudut α di kuadran I : yaitu sudut yang besarnya 0o < α < 90o - sudut α di kuadran II : yaitu sudut yang besarnya 90o < α < 180o - sudut α di kuadran III : yaitu sudut yang besarnya 180o < α < 270o - sudut α di kuadran IV : yaitu sudut yang besarnya 270o < α < 360o Dari uraian diatas dapat dirangkum dalam tabel : Perbandingan Tanda di Kuadran Trigonometri I II III IV sin + + cos + + tan + + cosec + + sec + + cotan + + Atau dapat juga dibuat :

II + sin/cosec + tan/cotan III

I + semua + cos/sec IV

Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Terletak di kuadran manakah sudut berikut : a. 34o b. 267o Penyelesaian : a. karena 0o < 34o < 90o maka sudut 34o terletak dikuadran ..... b. karena 180o < 267o < 270o maka sudut 34o terletak dikuadran ...... Contoh 2 : Tentukan tanda dari perbandingan trigonometri berikut : a. sin 123o b. tan 342o Penyelesaian : a. karena sudut 123o terletak di kuadran II dan sinus di kuadran II positif maka sin 123o bertanda ....... b. karena sudut 342o terletak di kuadran IV dan tangen di kuadran IV negatif maka tan 342o bertanda ..........

10


MENENTUKAN TANDA SINUS ,KOSINUS DAN TANGEN DIBERBAGAI KUADRAN

5

LATIHAN SOAL

11


1. Perbandingan trigonometri berikut ini manakah yang bertanda positif dan mana yang negatif. a. sin 23o e. cotan 67o o b. cos 134 f. sin 226o o g. cos 290o c. tan 225 o d. cosec 335 h. sec 351o. 2. Terletak dikuadran manakah sudut berikut : a. 78o e. 346o o f. – 45o b. 123 o c. 224 g. – 134o o d. 298 h. 678o 3. Jika diketahui sin A = a. b. c. d.

tan A cosec A cos A sin A – sec A

4. Diketahui cos A = − a. b. c. d.

3 dan cos A positif. Tentukan : 5 d. sec A e. cotan A f. (cos A + tan A)2 g. (1 – sec2 A)2

2 1 , sin B = − , jika tan A negatif dan tan B positif, tentukan : 3 2

sin A cos B tan A cosec B

E.

Sudut Berelasi (90- α)o (90+α)o (180-α)o (180+α)o (270-α)o (270+α)o (360-α)o (- α)o (n.360+ α)o

e. sec A f. cotan B g. sin A + cos B – tan A h. (cosec B – sec A)2

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI

sin Cos α Cos α Sin α - Cos α - sin α - Cos α - sin α - sin α Sin α

cos Sin α - sin α - cos α - sin α - cos α sin α Cos α Cos α Cos α

Perbandingan Trigonometri tan Cosec Cotan α Sin α - cotan α Sin α - tan α Cosec α cotan α - Sin α Tan α - cosec α - cotan α - Sin α - tan α - cosec α - tan α - cosec α Tan α Cosec α

sec Cos α - cos α - sec α - cos α - sec α cos α Sec α Sec α Sec α

cotan Tan α - tan α - Cotan α tan α Cotan α - tan α - cotan α - cotan α Cotan α



Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Nyatakan perbandingan trigonometri sin 220o dalam sudut lancip Penyelesaian : = sin ( 270 – 50 )o sin 220o = - sin 50o Contoh 2 : Nyatakan perbandingan trigonometri sin ( - 220o ) dalam sudut positif lancip Penyelesaian : = - sin 220o sin ( - 220o ) = - sin ( 270 – 50 )o = - (- sin 50o ) = sin 50o

LATIHAN SOAL

6

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI

1. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut dalam sudut lancip a. sin 112o d. cosec 35o g. sin 412o o o b. cos 254 e. sec 246 h. cos 567o o o c. tan 289 f. cotan 312 i. Tan 645o 2. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut dalam sudut positif lancip a. sin (-34)o d. cosec (-55)o g. sin (-387)o o o e. sec (-296) h. cos (-432)o b. cos (-124) o o c. tan (-239) f. cotan (-323) i. Tan (-896)o 3. Lengkapilah tabel berikut : Perbandingan Sudut Trigonometri 120o 150o 210o 240o 300o 330o Sin Cos Tan Cosec Sec Cotan 4. Lengkapilah tabel berikut : Perbandingan Sudut o o Trigonometri (-30)o (-60) (-90) (-120)o (-150)o (-180)o Sin Cos Tan Cosec Sec Cotan 5. Lengkapilah tabel berikut : Perbandingan Sudut Trigonometri 135o 225o 315o 405o 450o 495o Sin Cos

12


Tan Cosec Sec Cotan 6. Lengkapilah tabel berikut : Perbandingan Trigonometri (-150)o Sin Cos Tan Cosec Sec Cotan

F.

13


(-330)o

(-675)o

Sudut (-810)o

(-1350)o

(-1440)o

IDENTITAS TRIGONOMETRI

E.1

IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR

► IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR HUBUNGAN KEBALIKAN

• • • •

1 cos ecα 1 Cos α = sec α 1 Tan α = cot anα Sin α =

● ● ●

1 sin α 1 Sec α = cos α 1 Cotan α = tan α

Ini adalah identitas trigonometri dasar yang merupakan hubungan kebalikan

Cosec α =

► IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR HUBUNGAN PERBANDINGAN y

r

P(x,y)

α 0

A x

sin α .... cos α Cotan α = ....

Tan α =


14


Pada segitiga OAP berlaku : sin α

y = ....

cos α

=

.... r

tan α

=

y ....

y sin α ..... = .... = = tan α cos α .... ..... r x cos α ..... = .... = = cot anα sin α .... ..... r

Ini adalah identitas trigonometri dasar yang merupakan hubungan perbandingan

► IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR HUBUNGAN PHYTAGORAS y

r

P(x,y)

α 0

Pada segitiga OAP berlaku : sin α

y  y = r. sin α .... .... =  .... = r. cos α r

=

cos α

A x

Pada segitiga OAP juga berlaku teorema Phytagoras : (AO)2 + (AP)2 = (OP)2 x 2 + .......2 = .........2

Kedua ruas dibagi dengan r

(r. cos α) 2 + (............)2 = .....2 (cos α) 2 + (............)2 = .....2 cos2 α + ............ = .....

Jika persamaan itu dibagi 2 dengan cos α, maka

Jika persamaan itu 2 dibagi dengan sin α,

diperoleh persamaan : 2 1 + ............. = sec α

maka diperoleh persamaan : 2

1 + ............. = cosec α

Ini adalah identitas trigonometri dasar yang merupakan hubungan Phytagoras

Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 :

• • •

cos2 α + ............ = ..... 1 + ............. = sec2 α 2 1 + ............. = cosec α


Diketahui cos α = a. sin α b. tan α c. cosec α


4 dan 0o < α < 90 o . Hitunglah nilai dari : 5 d. Sec α e. cotan α

Penyelesaian : a. dapat anda gunakan identitas trigonometri dasar hubungan Phytagoras , yaitu : ...... cos 2 α + sin 2 α = 1 sin α = ± ....... 4 2 ( ) + sin 2 α = 1 Hasil ini harus kita Untuk memilih itu kita 5 pilih salah satu yang ( dapat berpedoman ...... 2 + ) atau ( – ) + sin α = 1 dengan cara melihat o ...... interval, yaitu 0 < α < ...... 90 o. Interval ini 2 sin α = 1 – menunjukkan bahwa Karena α terletak pada ...... sudut α terletak pada kuadran I, maka harga ...... kuadran I = sin α kita pilih yang ...... positif ...... ..... sin α = ± Jadi sin α = ..... ....... b. dapat anda gunakan identitas trigonometri dasar hubungan perbandingan , yaitu : sin α tan α = cos α .... = .... 4 5 ...... = ....... c. dapat anda gunakan identitas trigonometri dasar hubungan kebalikan , yaitu : 1 cosecα = sin α 1 = ..... ..... ...... = ....... d. dapat anda gunakan identitas trigonometri dasar hubungan kebalikan , yaitu : 1 secα = cos α 1 = ..... ..... ...... = ....... e. dapat anda gunakan identitas trigonometri dasar hubungan kebalikan , yaitu : 1 cotanα = tan α

15



1 ..... ..... ...... = .......

=

7

LATIHAN SOAL

1. Diketahui cos α =

1 dan 0o < α < 90 o . Hitunglah nilai dari : 2

a. sin α b. tan α c. cosec α 2. Diketahui cos α =

d. Sec α e. cotan α

1 5 dan 0o < α < 90 o . Hitunglah nilai dari : 3

a. sin α b. tan α c. cosec α

d. Sec α e. cotan α

3. Diketahui sin α = − a. cos α b. tan α c. cosec α 4. Diketahui sin α =

4 dan 90o < α < 180 o . Hitunglah nilai dari : 5 d. Sec α e. cotan α


a. sec α b. cos α c. sin α 6. Diketahui tan α = − a. sec α b. cos α c. sin α 7. Diketahui cotan α = a. cosec α

b. sin α c. cos α

1 3 dan 180o < α < 270 o . Hitunglah nilai dari : 2 d. Sec α e. cotan α

a. cos α b. tan α c. cosec α 5. Diketahui tan α =

IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR

d. cosec α e. cotan α

5 dan 90o < α < 180 o . Hitunglah nilai dari : 12 d. cosec α e. cotan α

5 dan 0o < α < 90 o . Hitunglah nilai dari : 12 d. sec α e. tan α

8. Diketahui cotan α = − 3 dan 180o < α < 270 o . Hitunglah nilai dari : a. cosec α d. sec α

16


b. sin α c. cos α

e.

9. Diketahui tan α = − a. sec α


tan α


b. cos α

d. cosec α e. cotan α

c. sin α

f.

sin α + cos α − tan α sec α + cos ecα − tan α 5 3 10. Diketahui sin α = , cos β = dan 0o < α < 90 o , 270o < β < 360 o . Hitunglah nilai dari : 13 4 a. cos α h. sin α cos β + cos α sin β b. tan α i. 2sin α cos α c. sin β j. cos 2 α + sin 2 α d. tan β k. 2sin β cos β e. sin α cos β – cos α sin β l. cos 2 α – sin 2 α tan α + tan β m. f. cos α cos β + sin α sin β 1 − tan α tan β tan α − tan β g. cos α cos β – sin α sin β n. 1 + tan α tan β

E.2

IDENTITAS TRIGONOMETRI LANJUTAN

TRIK Menyelesaikan identitas trigonometri lanjutan : Cara 1 : Sederhanakan salah satu bentuk ruas yang rumit sehingga diperoleh bentuk yang sama dengan ruas lain Cara 2 : Sederhanakan masing-masing bentuk ruas sehingga diperoleh bentuk yang sama antara ruas kiri dengan ruas kanan

Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Ruas kiri lebih rumit, maka yang diuraikan adalah ruas kiri, sehingga menghasilkan seperti ruas kanan

Contoh 1 : Buktikan bahwa : ( sin A + cos A )2 – 2 sin A . cos A = 1 Bukti : Kita harus membuktikan ruas kiri sehingga hasilnya sama dengan ruas kanan Ruas kanan =( sin A + cos A )2 – 2 sin A . cos A = (sin A + cos A)(....... + cos A) – 2 sin A . cos A = sin A (sin A + cos A)+cos A(....... + ........) – ........................ = sin2 A + ......... cos A + ......... sin A + cos2 A– 2 sin A . cos A = sin2 A + cos2 A + sin A cos A + cos A sin A – ........................... = (sin2 A + cos2 A) + (sin A cos A + sin A cos A) – ..................... = 1 +( 2 sin A cos A – ..........................) =1+0 = ......

17


18


= ruas kanan Karena ruas kiri telah dibuktikan hasilnya sama dengan ruas kanan maka identitas trigonometri tersebut benar IDENTITAS TRIGONOMETRI LANJUTAN

8

LATIHAN SOAL

1. Buktikan identitas trigonometri berikut : a. 3sin2A + 3cos2A = 3 b. ( sin A + cos A ) ( sin A – cos A ) = 2 sin2A – 1 c. cos2A .tan A = sin A . cos A d. ( 1 – cos2A)(tan2A – 1 ) = tan2A e. (1 – tan4A) cos4A = 1- 2 sin2A

tan A + 1 = sec A cos A + sin A 1 − sin A cos A g. = cos A 1 + sin A

f.

h. cos2A ( 1 + tan2A ) = 1

(sin A + 1)(1 − sin A) =1 cos 2 A cos A sin A ) sin A. cos A = 1 ( + sin A cos A

i. j.

F.

GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

GRAFIK FUNGSI y = sin xo ( 0o ≤ x ≤ 360o )

F.1.

Untuk membuat grafik fungsi y = sin xo dapat dibuat tabulasi sudut berelasi yang ada hubungannya dengan sudut istimewa seperti tabel berikut : x

0

30

60

90

120

150

180

y= sin xo

0

1 2

1 3 2

1

1 3 2

1 2

0

210 -

1 2

-

240

270

1 3 2

-1

300 -

1 3 2

330

360

1 2

0

-

Nilai maksimum = 1

y 1

1 3 2

1 2

240o 0

o

-1 2 1 − 3 2 -1

30

o

60

o

90

o

o

120 150

o

o

180 210

o

300o 270

o

360o 330

x

o

Nilai minimum = - 1


19


GRAFIK FUNGSI y = cos xo ( 0o ≤ x ≤ 360o )

F.2.

Untuk membuat grafik fungsi y = cos xo dapat dibuat tabulasi sudut berelasi yang ada hubungannya dengan sudut istimewa seperti tabel berikut : x

0

30

60

90

120

y= cos xo

...

1 3 2

....

0

.......

-

150

180

1 3 2

.....

-

210

240

270

300

330

360

1 3 2

.....

0

.....

1 3 2

.....

y

1 1 3 2

Nilai maksimum = 1

1 2

0

− −

60

30

120 150 180 210

90

240

270

300

330

360

x

1 2

1 3 2 -1

Nilai minimum = - 1

GRAFIK FUNGSI y = tan xo ( 0o ≤ x ≤ 360o )

F.3.

Untuk membuat grafik fungsi y = tan xo dapat dibuat tabulasi sudut berelasi yang ada hubungannya dengan sudut istimewa seperti tabel berikut : x y= tan xo

0 0

45 .....

90 ~

135 .....

180 0

225 .......

270 ~

315 .........

360 0

y Nilai maksimum = + ~

1 0 -1

360 45

90

135

180

225

270

315

x

Nilai minimum = - ~


20


GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

9

LATIHAN SOAL

1. Buatlah grafik fungsi trigonometri berikut dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o ), kemudian tentukan pula nilai maksimum dan minimumnya : a. y = 2 sin x

e.

y=

b. y = 3 cos x

f.

y=

1 sin x 2 1 cos x

3 c. y = – 2 sin x

g.

y= –

d. y = – 3 cos x

h.

y= –

1 sin x 2 1

cos x

3

2. Buatlah grafik fungsi trigonometri berikut dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o ), kemudian tentukan pula nilai maksimum dan minimumnya :

1 sin x – 3 2 1

a. y = sin x + 3

e.

y=

b. y = cos x + 1

f.

y=3–

c. y = 1 + 2 sin x

3 1 g. y = 2 – sin x 2 1

d. y = 2 – 3 cos x

h.

y=–

cos x

cos x + 4

3 3. Lengkapilah tabel berikut ini , kemudian guatlah grafik fungsi trigonometri berikut dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o ), serta tentukan pula nilai maksimum dan minimumnya : a. x y= cossec xo

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

360

...

.....

....

....

.......

.......

.....

.......

.....

.....

.....

......

.....

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

360

...

.....

....

....

.......

.......

.....

.......

.....

.....

.....

......

.....

b. x y= sec xo

c. x y= cotan xo

0 .....

45 .....

90 .....

135 .....

180 .....

225 .......

270 .....

315 .........

360 .....

4. Buatlah grafik fungsi trigonometri berikut dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o ), kemudian tentukan pula nilai maksimum dan minimumnya :

1 sin ( x – 60 ) 2 1

a.

y = sin ( x + 30 )

e.

y=

b.

y = cos ( x – 30 )

f.

y=3–

c. y = 1 + 2 sin ( x + 45 ) d. y = 2 – 3 cos ( x – 45 )

cos ( x + 60 )

3 1 g. y = 2 – sin ( x – 90 ) 2 1 h.

y=–

cos ( x + 90 )

3


G.

G.1.

21


PERSAMAAN TRIGONOMETRI

PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK sin xo = sin α o

penyelesaian persamaan trigonometri bentuk sin x o = sin α o (0o ≤ x ≤ 360o

penyelesaian persamaan trigonometri bentuk sin x = sin a (0 ≤ x ≤ 2π )adalah

)adalah : 1. x = α + n.360 atau 2. x = ( 180 – α ) + n. 360 n ,B

: 1. x = a + n. 2π atau 2. x = ( π – a ) + n. 2π

n ,B

Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin xo = sin 20o dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o) Penyelesaian : sin xo = sin 20o α = 20 x = 20 + n.360 jika n = 0  x = 20 + 0.360 Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung = ...... sudah melebihi batas interval, oleh atau karena itu harga x nya tidak x = ( 180 – ..... ) + n.360 merupakan penyelesaian jika n = 0  x = 160+ 0.360 = ...... Jadi HP : { ...... , ....... } Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin ( x – interval (0 ≤ x ≤ 2π) Penyelesaian :

1 1 a = 1π π ) = sin π 3 2 3 1 1 (x– π ) = π + n.2 π 2 3 1 1 x = π + π + n.2 π 2 3 .... x = π + n.2 π .... sin( x –

1 1 π ) = sin π dalam 2 3


jika n = 0  x

22


.... π + 0.2 π .... .... π = ....

=

Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian

atau x

= (π –

x

=

.... π ) + n.2 π ....

.... π + n.2 π ....

jika n = 0  x

= ....... π + 0.2 π = ...... π

Jadi HP : { ...... , ....... }

PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK cos xo = cos α o

G.2.

penyelesaian persamaan trigonometri bentuk cos x o = cos α o (0o ≤ x ≤ 360o

penyelesaian persamaan trigonometri bentuk cos x = cos a (0 ≤ x ≤ 2π

)adalah : 1. x = α + n.360 atau 2. x = ( – α ) + n. 360

)adalah : 1. x = a + n. 2π atau 2. x = ( – a ) + n. 2π

n ,B

n ,B

Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos xo = cos 20o dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o) Penyelesaian : cos xo = cos 20o Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung α = 20 sudah melebihi batas interval, oleh x = 20 + n.360 karena itu harga x nya tidak jika n = 0  x = 20 + 0.360 merupakan penyelesaian = ...... atau x = ( – ..... ) + n.360 Untuk n = 0 ini harga x nya tidak merupakan jika n = 0  x = .......+ 0.360 HP karena diluar batas interval = ...... n = 1  x = .......+ 1.360 = ...... Untuk n = 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas Jadi HP : { ...... , ....... }

interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian

Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos ( x – interval (0 ≤ x ≤ 2π) Penyelesaian : Cos ( x –

1 1 π ) = cos π 2 3

a = 1π 3

1 1 π ) = cos π dalam 2 3


(x–

1 π) 2

x

= =

x

=

jika n = 0  x

= =

1 π + n.2 π 3 1 1 π + π + n.2 π 2 3 .... π + n.2 π .... .... π + 0.2 π .... .... π atau ....


.... π ) + n.2 π .... .... jika n = 0  x = – π + 0.2 π .... .... =– π .... .... n=1x =– π + 1.2 π .... .... =– π ....

x

=(–

G.3.

23


Untuk n = 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian

Jadi HP : { ...... , ...... , ...... }

PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK tan xo = tan α o

penyelesaian persamaan trigonometri bentuk tan x o = tan α o (0o ≤ x ≤ 360o

penyelesaian persamaan trigonometri bentuk tan x = tan a (0 ≤ x ≤ 2π )adalah

)adalah : 1. x = α + n.360 atau 2. x = (180 + α) + n. 360

: n ,B

1. x = a + n. 2π atau 2. x = (π + a ) + n. 2π

n ,B

Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan 2xo = tan 20o dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o) Penyelesaian : tan 2xo = tan 20o Untuk n = 2, 3, dst. Jika dihitung α = 20 2x = 20 + n.360 sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak x = .....+ n. 180 merupakan penyelesaian jika n = 0  x = .... + 0.180 = ...... n = 1 x = .... + 1.180 = ...... atau


= ( 180 + ..... ) + n.360 = .................... + n.360 x = .....................+ n.180 jika n = 0  x = ...... .+ 0.180 = ...... n = 1  x = .......+ 1.180 = ......


2x


Jadi HP : { ...... , ....... , ......, ....... } Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan ( x –

1 1 π ) = tan π dalam 2 3

interval (0 ≤ x ≤ 2π) Penyelesaian :

1 1 a = 1π π ) = tan π 3 2 3 1 1 (x– π ) = π + n.2 π 2 3 1 1 x = π + π + n.2 π 2 3 .... x = π + n.2 π .... .... jika n = 0  x = π + 0.2 π .... .... = π Atau .... .... x = (π + π ) + n.2 π .... .... = π + n.2 π .... .... jika n = 0  x = π + 0.2 π .... .... = π .... tan ( x –



Jadi HP : { ...... , ...... , ...... }

10

LATIHAN SOAL

PERSAMAAN TRIGONOMETRI DASAR 1

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o) g. tan x o = tan 95 o m. cos x o = cos 75 o o o o o a. sin x = sin 65 h. tan 4x = tan 40 n. cos 3x o = cos 60 o o o o o b. sin 2x = sin 80 i. tan ( x – 30 ) = tan 50 o. cos ( x – 30 ) o = cos 20 o o o o o c. sin ( x – 30 ) = sin 40 j. tan (2x – 50) = tan 20 p. cos (2x – 50) o = cos 50 o o o d. sin ( 2x – 50 ) = sin 10 1 1 k. tan x o = tan 80 o q. cos x o = cos 40 o 1 o 2 2 e. sin x = sin 50 o

2

l.

tan (

1 1 x – 30 ) o = tan 60 o r. cos ( x – 30 ) o = cos 10 o 2 2

24


f.

sin (

25


1 x – 30 ) o = sin 70 o 2

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut dalam interval (0 ≤ x ≤2π)

1 π 2 1 sin 2x = sin π 3 1 1 sin ( x – π ) = sin π 2 4 1 2 sin ( 2x – π ) = sin π 3 3 1 3 sin x = sin π 2 2 1 1 3 sin ( x – π ) o = sin π 2 4 4

a. sin x = sin b. c. d. e. f.

G.4.

1 π 2 3 h. cos 3x = cos π 2 1 1 i. cos ( x – π ) = cos π 2 4 3 1 j. cos (2x – π) = cos π 2 2 1 5 k. cos x = cos π 2 6 1 1 1 l. cos ( x – π ) = cos π 2 6 2 g. cos x = cos

1 π 2 1 tan 4x = tan π 3 1 2 tan ( x – π ) = tan π 2 3 1 1 tan ( 2x – π ) = tan π 4 6 1 3 tan x = tan π 2 2 1 1 3 tan ( x – π ) = tan π 2 3 4

m. tan x = tan n. o. p. q. r.

PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK sin xo = a

Penyelesaian persamaan trigonometri bentuk sin x o = sin Trik Menyelesaikan : 1. ubah dahulu sin xo = a menjadi bentuk sin xo = sin α o 2. selesaikan bentuk sin xo = sin α o dengan cara yang sudah dipelajari diatas

αo Untuk interval (0o ≤ x ≤ 360o ) : 1. x = α + n.360 atau 2. x = ( 180 – α ) + n. 360 sin x = sin a untuk interval (0 ≤ x ≤ 2π )adalah : 1. x = a + n. 2π atau 2. x = ( π – a ) + n. 2π

Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin xo = ≤ 360o) Penyelesaian : sin xo =

1 2

sin xo = sin 30o x = 30 + n.360 jika n = 0  x = ...... + 0.360 = ...... atau x = ( 180 – ..... ) + n.360 jika n = 0  x = ...... + 0.360

1 dalam interval (0o ≤ x 2

Ingat nilai sudut istimewa sin 30o =

1 2




= ...... Jadi HP : { ...... , ....... } Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin ( x – interval (0 ≤ x ≤ 2π) Penyelesaian :

1 1 π )= 3 2 2 1 1 sin( x – π ) = sin π 2 3 1 1 (x– π ) = π + n.2 π 2 3 1 1 x = π + π + n.2 π 2 3 .... x = π + n.2 π .... .... jika n = 0  x = π + 0.2 π .... .... = π .... sin ( x –

1 1 π)= 3 dalam 2 2

Ingat nilai sudut istimewa sin

1 1 π = 3 3 2


atau x

= (π –

x

=

.... π ) + n.2 π ....

.... π + n.2 π ....

jika n = 0  x

G.5.

= ....... π + 0.2 π = ...... π

PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK cos xo = a

Trik Menyelesaikan : 1. ubah dahulu cos xo = a menjadi bentuk cos xo = cos α o 2. selesaikan bentuk cos xo = cos α o dengan cara yang sudah dipelajari diatas

Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 :

Jadi HP : { ...... , ....... }

Penyelesaian persamaan trigonometri bentuk cos xo = cosα o Untuk interval (0o ≤ x ≤ 360o ) : 1. x = α + n.360 atau 2. x = ( – α ) + n. 360 cos x = cos a untuk interval (0 ≤ x ≤ 2π )adalah : 1. x = a + n. 2π atau 2. x = ( – a ) + n. 2π

26


Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos xo = ≤ 360o) Penyelesaian :

1 cos x = 2 o

27


1 dalam interval (0o ≤ x 2

Ingat nilai sudut o

istimewa cos 60 =

cos xo = cos 60o x = 60 + n.360 jika n = 0  x = ..... + 0.360 = ...... atau x = ( – ..... ) + n.360 jika n = 0  x = .......+ 0.360 = ...... n = 1  x = .......+ 1.360 = ...... Jadi HP : { ...... , ....... }

1 2


Untuk n = 0 ini harga x nya tidak merupakan HP karena diluar batas interval


Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos ( x –

1 1 π) = 2 2

interval (0 ≤ x ≤ 2π) Penyelesaian :

1 1 Ingat nilai sudut istimewa π )= 1 1 2 2 cos π = 3 2 1 1 Cos ( x – π ) = cos π 2 3 1 1 (x– π ) = π + n.2 π 2 3 1 1 x = π + π + n.2 π 2 3 Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh .... x = π + n.2 π karena itu harga x nya tidak .... merupakan penyelesaian .... jika n = 0  x = π + 0.2 π .... .... π = .... cos ( x –

atau

.... π ) + n.2 π .... .... jika n = 0  x = – π + 0.2 π .... .... =– π .... .... n=1x =– π + 1.2 π ....

x

=(–


Jadi HP : { ...... , ...... , ...... }

dalam


=–

28


.... π ....

PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK tan xo = a

G.6.

Penyelesaian persamaan trigonometri bentuk tan xo = tan α o

Trik Menyelesaikan : 1. ubah dahulu tan xo = a menjadi bentuk tan xo = tan α o 2. selesaikan bentuk tan xo = tan α o dengan cara yang sudah dipelajari diatas

Untuk interval (0o ≤ x ≤ 360o ) : 1. x = α + n.360 atau 2. x = ( 180 – α ) + n. 360 tan x = tan a untuk interval (0 ≤ x ≤ 2π )adalah : 1. x = a + n. 2π atau 2. x = (π – a ) + n. 2π

Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan 2xo =

1 3 dalam interval (0o 3

≤ x ≤ 360o) Penyelesaian : tan 2xo =

1 3 3

Ingat

nilai

dari

sudut

1

istimewa tan 30 o = 3 tan 2xo = tan 30o 3 Untuk n = 2, 3, dst. Jika dihitung 2x = 30 + n.360 sudah melebihi batas interval, oleh x = .....+ n. 180 karena itu harga x nya tidak jika n = 0  x = .... + 0.180 merupakan penyelesaian = ...... n = 1 x = .... + 1.180 = ...... atau 2x = ( 180 + ..... ) + n.360 = .................... + n.360 x = .....................+ n.180 Untuk n = 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas jika n = 0  x = ...... .+ 0.180 interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan = ...... penyelesaian n = 1  x = .......+ 1.180 = ...... Jadi HP : { ...... , ....... , ......, ....... } Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan ( x – interval (0 ≤ x ≤ 2π) Penyelesaian :

1 π)= 2

3

dalam



1 π )= 3 2 1 1 tan ( x – π ) = tan π 2 3 1 1 (x– π ) = π + n.2 π 2 3 1 1 x = π + π + n.2 π 2 3 .... π + n.2 π x = .... .... jika n = 0  x = π + 0.2 π .... .... = π .... tan ( x –

Ingat nilai dari sudut istimewa tan

1 π = 3

3


atau x

= (π +

.... π ) + n.2 π ....


.... π + n.2 π .... .... jika n = 0  x = π + 0.2 π .... .... = π .... =

LATIHAN SOAL

Jadi HP : { ...... , ...... , ...... }

11

PERSAMAAN TRIGONOMETRI DASAR 2

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o) 4. a. sin x o = b. sin 2x o =

1 2 2

1 3 2

1 2 2 1 d. sin ( 2x – 50 ) o = 2 1 o 1 e. sin x = − 2 2 1 1 f. sin ( x – 30 ) o = 2 2 2 c. sin ( x – 30 ) o = −

1 2 2 1 h. cos 3x o = − 3 2 g. cos x o =

1 2 1 j. cos (2x – 50) o = − 2 2 1 1 k. cos x o = 2 2 2 1 l. cos ( x – 30 ) o = 1 2 i. cos ( x – 30 ) o = −

m. tan x o = 1 n. tan 4x o = - 1

1 3 3 1 p. tan (2x – 50) o = − 3 3 1 q. tan x o = 3 2 1 r. tan ( x – 30 ) o = − 3 2 o. tan ( x – 30 ) o =

29



30

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut dalam interval (0 ≤ x ≤2π) a. a. sin x =

1 2

1 2 2 1 1 c. sin ( x – π ) = − 2 2 1 1 d. sin ( 2x – π ) = 3 2 1 1 e. sin x = − 2 2 2 1 1 f. sin ( x – π ) o = 1 2 4

b. b. sin 2x = c. d. e. f.

H.

1 2 2 1 2 h. cos 3x = − 2 1 1 i.3 cos ( x – π ) = 2 2 3j. cos (2x – 3 π) = 1 2 2 2 1 k. cos x = - 1 2 1 1 1 l. cos ( x – π ) = 3 2 6 2 g. cos x =

m. tan x =

1 3 3

n. tan 4x = - 1

1 π) = − 3 2 1 1 3 p. tan ( 2x – π ) = − 4 3 1 q. tan x = 3 2 1 1 1 r. tan ( x – π ) = − 3 2 3 3 o. tan ( x –

ATURAN SINUS DAN KOSINUS

Pada pembahasan yang lalu tentang perbandingan trigonometri telah dibahas bagaimana menghitung unsur-unsur dalam suatu segitiga siku-siku . Bagaimana kalau segitiganya bukan segitiga siku-siku ( sebarang ) ? Untuk itulah diperlukan sebuah aturan yang dapat menjawab pertanyaan tersebut, yaitu dengan aturan sinus dan kosinus

H.1.

ATURAN SINUS

C Q R b

A

a

P

c

B

Perhatikan segitiga sembarang ABC disamping, bahwa : a. Panjang sisi AB = c b. Panjang sisi AC = b c. Panjang sisi BC = a d. Garis merupakan garis tinggi pada sisi AB e. Garis AQ merupakan garis tinggi pada sisi BC f. Garis BR merupakan garis tinggi pada sisi AC

Perhatikan segitiga ABC gambar diatas, dimana : ► segitiga APC siku-siku dititik P maka berlaku : Sin A =

 = ...... sin A AC

► segitiga BPC siku-siku dititik P maka berlaku : Sin B =

 = ...... sin B BC

► segitiga BAQ siku-siku dititik Q maka berlaku :

Dari dua persamaan ini diperolah : .......sin A = ......sin B atau

..... ..... = sin A sin B


Sin B =

31


AQ  AQ = ...... sin B AB

Dari dua persamaan ini diperolah : .......sin B = ......sin C atau

► segitiga CAQ siku-siku dititik Q maka berlaku :

..... ..... = sin B sin C

AQ Sin C =  AQ = ...... sin C AC Bentuk terakhir itulah yang selanjutnya dinamakan aturan sinus

Dari dua persamaan diatas ditulis secara singkat :

..... ..... ..... = = sin A sin B sin C

Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN

C

Contoh 1 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AC = 8 cm, sudut A = 50o dan sudut B = 70o . Hitunglah panjang BC dan AB

8 50o

A

Penyelesaian : ► kita hitung panjang sisi BC :

► kita hitung panjang sisi AB :

AC BC = sin B sin A ..... BC = sin ..... sin .....

AC AB = sin B sin C ...... AB = sin ..... sin .....

BC sin 70o = ...... sin ...... BC =

..... sin ..... sin 70 o

Jadi panjang sisi BC = ...... cm

70o

B

Sudut C dapat anda hitung = 180 – ( 50 + 70 ) = ........

AB sin 70o = ...... sin ...... AB =

..... sin ..... sin 70 o

Jadi panjang sisi AB = ...... cm C

Contoh 2 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AC = 6 cm, AB = 8 cm dan sudut C = 54o . Hitunglah sudut B dan sudut A Penyelesaian : ► kita hitung sudut B :

AC AB = sin B sin C ..... ..... = sin B sin .....

54

6

A

o

8

► kita hitung sudut A : Sudut A dapat anda hitung = 180 – ( sdt.C + sdt.B ) = 180 – ( ........ + ........ ) = 180 – ......... = ........

6.sin B = ...... sin ...... sin B

..... sin ..... 6 .....x........ = 6

=

= 0, .......... sudut B = ..........

Untuk menghitung besar sudut B ini dapat digunakan tabel logaritma atau kalkulator. Dengan kalkulator ditekan tombol secara urut sbb : 0 . 6 0 6 8 INV sin

B


LATIHAN SOAL


12

1. Tulislah aturan sinus yang berlaku pada segitiga berikut ini : A P

ATURAN SINUS

K

M B C Q R o N 2. Pada segitiga ABC berikut ini hitunglah panjang sisi yang ditanyakan : a. besar sudut A = 29o , besar sudut B = 70o , panjang sisi AC = 7 cm. Hitunglah sisi BC b. besar sudut A = 37o , besar sudut B = 122o , panjang sisi BC = 9 cm. Hitunglah sisi AC c. besar sudut A = 38o , besar sudut C = 72o , panjang sisi BC = 6 cm. Hitunglah sisi AB d. besar sudut A = 46o , besar sudut C = 105o , panjang sisi AB = 12 cm. Hitunglah sisi BC dan AC e. besar sudut B = 64o , besar sudut C = 73o , panjang sisi AC = 8 cm. Hitunglah sisi BC dan AB f. besar sudut B = 124o , besar sudut C = 18o , panjang sisi AB = 5 cm. Hitunglah sisi BC dan AC 3. Pada segitiga PQR berikut ini hitunglah panjang sisi yang ditanyakan : a. besar sudut P = 49o , besar sudut Q = 70o , panjang sisi PQ = 6 cm. Hitunglah sisi QR dan PQ b. besar sudut P = 97o , besar sudut Q = 50o , panjang sisi PQ = 9 cm. Hitunglah sisi QR dan PR c. besar sudut P = 70o , besar sudut R = 42o , panjang sisi PR = 7 cm. Hitunglah sisi QR dan PQ d. besar sudut P = 105o , besar sudut R = 31o , panjang sisi PR = 4 cm. Hitunglah sisi QR dan PQ e. besar sudut Q = 77o , besar sudut R = 41o , panjang sisi QR = 8 cm. Hitunglah sisi PR dan PQ f. besar sudut Q = 40o , besar sudut R = 125o , panjang sisi QR = 9 cm. Hitunglah sisi PR dan PQ 4. Pada segitiga KLM berikut ini hitunglah besar sudut yang ditanyakan : a. Panjang sisi LM = 5 cm , sisi KM = 6 cm dan besar sudut L = 57o . Hitunglah sudut K b. Panjang sisi LM = 12 cm , sisi KM = 4 cm dan besar sudut K = 41o . Hitunglah sudut L c. Panjang sisi LM = 10 cm , sisi KL = 5 cm dan besar sudut K = 64o . Hitunglah sudut M d. Panjang sisi LM = 5 cm , sisi KL = 6 cm dan besar sudut M = 55o . Hitunglah sudut K dan L e. Panjang sisi KM = 5 cm , sisi KL = 7 cm dan besar sudut M = 128o . Hitunglah sudut K dan L f. Panjang sisi KM = 9 cm , sisi KL = 6 cm dan besar sudut L = 50o . Hitunglah sudut K dan M

H.2.

ATURAN KOSINUS

Perhatikan segitiga sembarang ABC disamping, bahwa : h. Panjang sisi AB = c i. Panjang sisi AC = b j. Panjang sisi BC = a k. Garis adalah garis tinggi pada sisi AB

C

b

A

a

P

c

B

32



Dengan menggunakan teorema Phytagoras dapat dihitung : Perhatikan segitiga B yang siku-siku di P, diperoleh : (BC) 2 = () 2 + (BP) 2 = () 2 + (BP) 2  persamaan (1) a2 Perhatikan segitiga A yang siku-siku di P, diperoleh :

......

Sin A =

 persamaan (2)

= ...... sin A

AP ......

Cos A = AP BP

= ...... cos A = AB – AP = c – ...... cos A  persamaan (3) Jika kalian substitusikan persamaan (2) dan persamaan (3) ke persamaan (1), maka diperoleh : a2 = () 2 + (BP) 2 = ( ....... sin A ) 2 + ( c – ......cos A ) 2 = .... 2 .sin2 A + c2 – 2......cos A + ..... 2 cos2 A = b2.( sin2 A + cos2 A ) + c2 – 2......cos A = b2. ...... + c2 – 2......cos A  persamaan (4a) = ........... + c2 – 2......cos A A

c

Perhatikan segitiga sembarang ABC disamping, bahwa : m. Panjang sisi AB = c n. Panjang sisi AC = b o. Panjang sisi BC = a p. Garis AP adalah garis tinggi pada sisi BC

b

B

P

a

C

Dengan menggunakan teorema Phytagoras dapat dihitung : Perhatikan segitiga CAP yang siku-siku di P, diperoleh : (AC) 2 = (AP) 2 + () 2 b2 = (AP) 2 + () 2  persamaan (1) Perhatikan segitiga ABP yang siku-siku di P, diperoleh :

AP  AP ...... BP Cos B =  BP ...... Sin B

=

= ...... sin B

 persamaan (2)

= ...... cos B

= BC – BP = a – ...... cos B  persamaan (3) Jika kalian substitusikan persamaan (2) dan persamaan (3) ke persamaan (1), maka diperoleh : b2 = (AP) 2 + () 2 = ( ....... sin B ) 2 + ( a – ......cos B ) 2 = .... 2 .sin2 B + a2 – 2......cos B + ..... 2 cos2 B = c2.( sin2 B + cos2 B ) + a2 – 2......cos B = c2. ...... + a2 – 2......cos B = ........... + a2 – 2......cos B  persamaan (4b) Perhatikan segitiga sembarang ABC disamping, bahwa : B r. Panjang sisi AB = c s. Panjang sisi AC = b t. Panjang sisi BC = a a c u. Garis BP adalah garis tinggi pada sisi AC C

P

b

A

33


34


Dengan menggunakan teorema Phytagoras dapat dihitung : Perhatikan segitiga BAP yang siku-siku di P, diperoleh : (AB) 2 = (BP) 2 + (AP) 2 = (BP) 2 + (AP) 2  persamaan (1) c2 Perhatikan segitiga CBP yang siku-siku di P, diperoleh :

BP ......

Sin C

=

BP

= ...... sin C

Cos C =

 persamaan (2)

......

AP

= ...... cos C = AC – = b – ...... cos C  persamaan (3) Jika kalian substitusikan persamaan (2) dan persamaan (3) ke persamaan (1), maka diperoleh : c2 = (BP) 2 + (AP) 2 = ( ....... sin C ) 2 + ( b – ......cos C ) 2 Rumus inilah yang selanjutnya = .... 2 .sin2 C + b2 – 2......cos B + ..... 2 cos2 B 2 2 2 2 dinamakan aturan kosinus = c .( sin B + cos B ) + b – 2......cos B 2 2 = c . ...... + b – 2......cos B  persamaan (4c) = ........... + b2 – 2......cos B

Persamaan (4a), (4b) dan (4c) jika kita simpulkan adalah : Pada segitiga ABC berlaku rumus : a2 = ........... + c2 – 2......cos A b2 = ........... + a2 – 2......cos B c2 = ........... + b2 – 2......cos C


C

Contoh 1 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AC = 6 cm, AB = 5 cm dan sudut A = 50o . Hitunglah panjang BC Penyelesaian :

6 50o

A

5

B

► kita hitung panjang sisi BC : (BC) 2 = (AB) 2 + (AC) 2 – 2 . (AB)(AC) cos A = ...... 2 + ....... 2 – 2 . (......)(......) cos ..... = 25 + ....... – .......... cos ...... = 25 + ....... – 60. ........ = ................. = ......... = .......... Contoh 2 : Pada segitiga PQR disamping diketahui panjang sisi p = 7 cm, q = 8 cm dan r = 9 cm . Hitunglah besar sudut P, Q dan R BC

R

8 P

7 5 9

Q


35


Penyelesaian :

► kita hitung besar sudut P : (p) 2 = (q) 2 + (r) 2 – 2 . (q)(r) cos P (......) 2 = ...... 2 + ....... 2 – 2 . (......)(......) cos P

► kita hitung besar sudut Q : (q) 2 = (p) 2 + (r) 2 – 2 . (p)(r) cos Q (......) 2 = ...... 2 + ....... 2 – 2 . (......)(......) cos Q

........ ........ ........

........ ........ ........

= 64 + ....... – .......... cos P = 64 + ....... – ......... cos P = ......... – ......... cos P

.......cos P

= ........ – ......... = ........

= 49 + ....... – .......... cos Q = 49 + ....... – ......... cos Q = ......... – ......... cos Q

.......cos Q

..... ..... = 0,...... sudut P= ........

= ........ – ......... = ........

..... ..... = 0,...... sudut Q= ........

cos P =

cos Q =

Sudut P ini dapat dicari dengan kalkulator , dengan cara menekan tombol sebagai berikut :

Sudut Q ini dapat dicari dengan kalkulator , dengan cara menekan tombol sebagai berikut :

0

0

.

6

6

6

6

INV

cos

.

5

2

3

8

INV

cos

► kita hitung besar sudut R : sudut R dapat kita hitung dengan menggunakan hubungan : sudut R = 180 – ( sudut P + sudut Q ) = 180 – ( ............ + ............. ) = 180 – .............. = ....... 13

LATIHAN SOAL

ATURAN KOSINUS

Tulislah aturan kosinus yang berlaku pada segitiga berikut ini : A P

K M

B

C

Q

R

N

Pada segitiga PQR berikut ini hitunglah panjang sisi yang ditanyakan : Panjang sisi QR = 7 cm , PQ = 4 cm dan PR = 8 . Hitunglah sudut P, Q dan R Panjang sisi QR = 3 cm , PQ = 7 cm dan PR = 6 . Hitunglah sudut P, Q dan R Panjang sisi QR = 10 cm , PQ = 8 cm dan PR = 14 . Hitunglah sudut P, Q dan R Panjang sisi QR = 6 cm , PQ = 9 cm dan PR = 11 . Hitunglah sudut P, Q dan R Panjang sisi QR = 12 cm , PQ = 10 cm dan PR = 18 . Hitunglah sudut P, Q dan R Pada segitiga ABC yang mempunyai titik sudut berikut ini hitunglah besar sudut A, B dan C A ( 4, 2 ) , B ( 7, 2 ) dan C ( 1 , - 2 ) A ( 1, 3 ) , B ( 8, 3 ) dan C ( 5 , 6 ) A ( 6, - 2 ) , B ( 10, - 2 ) dan C ( 8 , 3 ) Jajarangenjang ABCD mempunyai panjang AB = 11 cm, BC = 5 cm dan panjang diagonal AC = 13 cm. Hitunglah : besar sudut CAB besar sudut BAD panjang diagonal AD.


I.

LUAS SEGITIGA

Pada waktu di SMP kalian pernah mempelajari tentang luas segitiga ABC, yaitu : Luas =

Kalaedoskup

1 alas x tinggi 2

I.1.

LUAS SEGITIGA DIMANA DUA SISI DAN SATU SUDUT DIKETAHUI

Perhatikan segitiga sembarang ABC disamping, bahwa : w. Panjang sisi AB = c x. Panjang sisi AC = b y. Panjang sisi BC = a z. Garis merupakan garis tinggi pada sisi AB

C

b

A

36


a

P

c

B

Ayo…. Kita lengkapi ► Perhatikan segitiga BPC yang siku-siku di P :

 = ...... sin B ..... 1 Luas segitiga ABC = alas x tinggi 2 1 = c x 2 1 = c x .......... pers.(1) 2 sin B =

► Perhatikan segitiga CAP yang siku-siku di P :

 = ...... sin A ..... 1 Luas segitiga ABC = alas x tinggi 2 1 = c x 2 1 = c x .......... pers.(2) 2 sin A =

► Perhatikan aturan sinus

a b = sin A sin B

dapat ditulis : a.sin B = b.sin A sin B

=

.... sin A ....

substitusikan nilai sin B ini ke persamaan (1), diperoleh :

1 .... c x ..........x sin A 2 .... 1 = .................. pers.(3) 2

Luas segitiga ABC =


37


Persamaan (1), (2) dan (3) jika kita simpulkan adalah : Pada segitiga ABC berlaku rumus Luas :

1 bc sin ..... 2 1 L = ac sin ..... 2 1 L = ab sin ..... 2

L=


C

Contoh 1 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AC = 6 cm, AB = 5 cm dan sudut A = 50o . Hitunglah luas segitiga ABC

6 50o

A

Penyelesaian :

5

B

1 bc sin A 2 1 = ..... x ...... sin..... 2 1 = x....... x 0, ........ 2

Luas segitiga ABC

=

= ................ Jadi luas segitiga ABC adalah ...... cm2 Contoh 2 : Pada jajarangenjang PQRS disamping diketahui panjang sisi PQ = 8 cm, PS = 6 cm dan sudut P = 65 o . Hitunglah luas jajarangenjang tersebut Penyelesaian :

1 PQ x PS x sin P 2 1 = ..... x ...... sin..... 2 1 = x....... x 0, ........ 2

Luas segitiga PQR

S

P

R

Q

=

Segitiga PQR kongruen dengan segitiga QRS

= ................

Luas segitiga QRS

= luas setiga PQR = ........ Luas jajarangenjang PQRS = luas segitiga PQR + luas segitiga QRS = .............. + .............. = ........ Jadi luas jajarangenjang PQRS adalah ...... cm2

14

LATIHAN SOAL

LUAS SEGITIGA YANG DIKETAHUI DUA SISI DAN SATU SUDUT

1. Tulislah rumus luas segitiga yang berlaku pada segitiga berikut ini : K A P M B

C

Q

R

N


2. Pada segitiga PQR berikut ini hitunglah luasnya : a. Panjang sisi PQ = 6 cm , PR = 4 cm dan sudut P = 55o b. Panjang sisi PQ = 8 cm , QR = 12 cm dan sudut Q = 70o c. Panjang sisi PR = 10 cm , QR = 15 cm dan sudut R = 120o 3. Pada jajarangenjang ABCD disamping diketahui panjang sisi AB = 10 cm, BC = 8 cm dan sudut A = 75 o . Hitunglah luas jajarangenjang tersebut 4. R S

P

D

C

A

B

Gambar disebelah kiri ini adalah segiempat PQRS dengan panjang PQ = 12 cm, PS = 5 cm, RS = 10 cm dan sudut RSQ = 62o. Hitunglah : a. a. panjang diagonal QS b. b. luas segitiga QPS c. c. luas segitiga QRS d. d. luas segiempat PQRS

Q

5. Gambar disebelah kanan ini adalah segilima beraturan ABCDEF yang dilukis pada lingkaran dengan jari-jari 6 cm. Hitunglah : a. besar sudut AOB b. luas segitiga OAB c. luas segilima ABCDE 6. E

38


D

D

E

C O

A

B

Gambar disebelah kiri ini adalah segienam beraturan ABCDEF yang dilukis pada lingkaran yang berjarF C jari 6 cm. Hitunglah : a. besar sudut AOB b. luas segitiga AOB A B c. luas segienam ABCDEF 7. Dengan cara yang sama seperti no.5 dan 6 jika lingkarannya berjar-jari r , Hitung dan nyatakan hasilnya dalam r untuk luas segi-n beraturan berikt ini : a. luas segitiga beraturan b. luas segiempat beraturan c. luas segilima beraturan d. luas segienam beraturan e. luas segidelapan beraturan f. luas segiduabelas beraturan O

I.2.

LUAS SEGITIGA DIMANA DUA SUDUT DAN SATU SISI DIKETAHUI

Pada pembahasan yang lalu telah diketahui bahwa : Luas segitiga ABC : 2. Aturan Sinus segitiga ABC: 1 a b c L = bc sin A = = 2 sin A sin B sin C 1 L = ac sin B 2 1 L = ab sin C 2


39


Dengan cara substitusi antara luas segitiga dengan aturan sinus dapat kita tentukan rumus luas segitiga yang diketahui dua sudut dan satu sisinya sebagai berikut : ►

a b =  sin A sin B

Hasil ini kita substitusikan ke

L=

b. sin A = a. sin B b=

►

a sin .... sin ...

a b =  sin A sin B

Hasil ini kita substitusikan ke

1 ab sin C 2

L=

maka diperoleh persamaan :

a. sin B = b. sin A a=

b sin .... sin ...

1 ab sin C 2


1 a sin .... ) sin C L = a( 2 sin ... a 2 sin .... sin ..... = persamaan (1) 2. sin ... b c ► =  b. sin C = c. sin B sin B sin C c b= sin .... Hasil ini kita sin ...

1 b b( sin .... ) sin C 2 sin ... b 2 sin .... sin ..... = persamaan (2) 2. sin ...

L

=

Dari persamaan (1) , (2) dan (3) dapat ditulis :

substitusikan ke

L=

1 bc sin A 2

Pada segitiga ABC berlaku rumus Luas :

L

a 2 sin .... sin ..... 2. sin ... 2 b sin .... sin ..... L= 2. sin ... 2 c sin .... sin ..... L= 2. sin ... L=


1 c c( sin .... ) sin C 2 sin ... c 2 sin .... sin ..... = persamaan (3) 2. sin ... =


C

Contoh 1 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AB = 6 cm, sudut A = 37o dan sudut B = 62o . Hitunglah luas segitiga ABC Penyelesaian : Besar sudut C = 180 – ( sudut A + sudut B ) = 180 – ( ............ + ............ ) = .......

Luas segitiga ABC

37o

A

b 2 sin A sin C 2. sin B (.....) 2 sin ..... sin ..... = 2. sin ..... 36 x0,......x0,...... = 2 x0,...... =

= .........

Jadi luas segitiga ABC adalah ........ cm2

62o

6

B


40


15

LATIHAN SOAL

LUAS SEGITIGA YANG DIKETAHUI DUA SUDUT DAN SATU SISI

1. Tulislah rumus luas segitiga yang berlaku pada segitiga berikut ini : K A P M B

C

Q

R

N

2. Pada segitiga PQR berikut ini hitunglah luasnya, jika diketahui : a. sudut P = 400 , sudut Q = 600 dan panjang QR = 5 cm b. sudut P = 560 , sudut Q = 420 dan panjang PQ = 6 cm c. sudut P = 760 , sudut Q = 380 dan panjang PR = 8 cm d. sudut Q = 700 , sudut R = 420 dan panjang PR = 7 cm e. sudut Q = 1010 , sudut R = 350 dan panjang PQ = 12 cm f. sudut Q = 490 , sudut R = 500 dan panjang QR = 10 cm g. sudut R = 360 , sudut P = 950 dan panjang PQ = 14 cm h. sudut R = 870 , sudut P = 320 dan panjang PR = 9 cm i. sudut R = 1300 , sudut P = 400 dan panjang QR = 10 cm

I.3.

LUAS SEGITIGA DIMANA DUA SISI DAN SATU SUDUT DIHADAPAN SISI DIKETAHUI LangkahLangkah-langkah : Hitung besar sudut – sudut yang belum diketahui  gunakan aturan sinus Hitung luas segitiganya  gunakan rumus luas : L=

1 1 1 bc sin A atau L = ac sin B atau L = ab sin C 2 2 2


C

Contoh 1 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AB = 6 cm, AC = 4 cm dan sudut B = 40o . Hitunglah luas segitiga ABC Penyelesaian : Kita hitung besar sudut C dengan menggunakan aturan sinus :

b c = sin B sin C 4 6 = 0 sin 40 sin C 4.sin C =....... sin ..... sin C

=

.... sin .... .....

4 40o

A

Sudut C ini dapat dicari dengan kalkulator , dengan cara menekan tombol sebagai berikut : 0

.

9

= 0,.......... sudut C = .......... Besar sudut A = 180 – ( sudut C + sudut B ) = 180 – ( ............ + ............ )

6

4

2

INV

sin

6

B


41


= .......

Luas segitiga ABC

1 bc sin A 2 1 = .....x ........ sin ...... 2 =

= 12 x 0,........ = ........... Jadi luas segitiga ABC adalah ........ cm2

16

LATIHAN SOAL

LUAS SEGITIGA DIMANA DUA SISI DAN SATU SUDUT DIHADAPAN SISI DIKETAHUI

1. Pada segitiga PQR berikut ini hitunglah luasnya, jika diketahui : a. sudut P = 400 , panjang PR = 6 cm dan panjang QR = 5 cm b. sudut Q = 620 , panjang PR = 10 cm dan panjang QR = 8 cm c. sudut P = 560 , panjang PQ = 4 cm dan panjang QR = 6 cm d. sudut R = 720 , panjang PQ = 8 cm dan panjang QR = 5 cm e. sudut Q = 340 , panjang PR = 6 cm dan panjang PR = 8 cm f. sudut R = 1060 , panjang PR = 10 cm dan panjang PR = 8 cm

I.4.

LUAS SEGITIGA DIMANA KETIGA SISINYA DIKETAHUI Pada pembahasan yang lalu telah dipelajari tentang : identitas trigonometri dasar, yaitu sin2A + cos2A = 1 aturan cosinus, yaitu a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A

sin2A + cos2A = 1



sin2A

= 1 – cos2A = ( 1 + cos A ) ( 1 – ......... )

b +c −a 2....... 2

a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A



co A

=

2

persamaan (1)

2

persamaan (2)

Jika persamaan (1) dan (2) kita substitusikan , maka akan kita peroleh persamaan : sin2A = ( 1 + cos A ) ( 1 – cos A )

b2 + c2 − a2 b2 + c2 − a2 )(1– ) 2....... 2.......  2..... + b 2 + c 2 − a 2   2..... − b 2 + c 2 − a 2     =  2..... 2.....    =(1+

 (b + c) 2 − a 2   a 2 − (b − c) 2     2 ..... 2 .....   

= 

sin A

Jadikan bentuk kuadrat sempurna

 (b + c + a )(b + c − .....)(a + b − c)(a − b + .....)   (2.....) 2   1 = (b + c + a )(b + c − .....)(a + b − c)(a − b + .....) 2bc

= 

Samakan penyebutnya

Pembilang difaktorkan, penyebut dikalikan

Kedua ruas diakarkan


42


Jika setengah keliling segitiga kita simbolkan dengan S, maka S

=

1 (a+b+c) 2

A

2S =(a+b+c) (b+c–a) = ( a + b + c ) – 2 a = 2S – 2a = 2(S – a ) (a+b–c) = ( a + b + c ) – 2 ..... = 2S – 2.... = 2(S – ...) ( a –persamaan-persamaan b+c) = ( a + b +tersebut c ) – 2 ..... = 2S – 2.... = 2(Ske – ...) Jika kita substitusikan

sin A

=

c

b

B

1 (b + c + a )(b + c − .....)(a + b − c)(a − b + .....) 2bc

C a Keliling segitiga ABC = a + b + c

maka akan diperoleh persamaan sebagai berikut : sin A

= = = = =

1 2bc 1 2bc 1 2bc 4 2bc .... bc

(b + c + a )(b + c − .....)(a + b − c)(a − b + .....) 2 S .2( S − a ).2( S − .....).2( S − .....) 16 S .( S − a).( S − .....).( S − .....) S .( S − a ).( S − .....).( S − .....)

Ingat rumus luas segitiga ABC : L=

S .( S − a ).( S − .....).( S − .....)

jika persamaan terakhir ini kita subsitusikan ke rumus luas segitiga L =

1 bc sin A 2 1 bc sin A, maka akan 2

diperoleh persamaan : L

1 bc sin A 2 1 .... = bc . S .( S − a ).( S − .....).( S − .....) 2 bc = S .( S − a ).( S − .....).( S − .....) =

Pada segitiga ABC yang diketahui panjang ketiga sisinya ( a, b dan c) berlaku rumus Luas : L = S .(S − a ).(S − .....).(S − .....) Dimana S =

1 (a+b+c) 2

Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AB = 6 cm, BC = 5 cm dan AC = 7 cm . Hitunglah luas segitiga ABC Penyelesaian :

1 1 S = ( a + b + c ) = ( 5 + .... + .... ) = ...... 2 2 L

=

S .(S − a ).(S − .....).(S − .....)

=

9.(9 − 5).(9 − .....).(..... − .....)

=

9.(4).(.....).(.....)

=

....... = 6 ....... jadi luas segitiga ABC adalah ......... cm2

C 7

A

5

6

B


17

LATIHAN SOAL

43


LUAS SEGITIGA DIMANA KETIGA SISINYA DIKETAHUI

1. Pada segitiga PQR berikut ini hitunglah luasnya, jika diketahui : a. panjang RQ = 7 cm , panjang PR = 5 cm dan panjang PQ = 4 cm b. panjang RQ = 7 cm , panjang PR = 6 cm dan panjang PQ = 3 cm c. panjang RQ = 8 cm , panjang PR = 7 cm dan panjang PQ = 5 cm d. panjang RQ = 6 cm , panjang PR = 5 cm dan panjang PQ = 4 cm e. panjang RQ = 16 cm , panjang PR = 13 cm dan panjang PQ = 11 cm 2. S R Hitunglah luas jajarangenjang disamping 12 15 P

Q 13

J.

MODEL MATEMATIKA YANG BERHUBUNGAN DENGAN TRIGONOMETRI

LangkahLangkah-langkah Menyelesaikan soal model matematika yang berkaitan dengan trigonometri : Tentukan besaran yang ada dalam soal Rumuskan model matematikanya dari masalah dalam soal Tentukan penyelesaiannya dari model matematikanya Berilah tafsiran dari masalah yang ada pada soal

Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Gambar disebelah kanan adalah sebuah pohon yang dilihat dengan sudut elevasi sebesar 600. Jika jarak orang yang melihat dengan pohon adalah 20 m , hitunglah tinggi pohon terseut. Penyelesaian : ► Langkah 1 Menentukan besaran yang ada dalam soal : Kita memisalkan bahwa tinggi pohon yang akan dihitung adalah AC =h ► Langkah 2 Merumuskan model matematika yang ada dalam soal : Perhatikan segitiga ABC

C

600 A

20 m

B



AC AB h Tan ..... = .......

Tan B =

► Langkah 3 Menyelesaikan model matematika : Tan ..... =

h dapat diubah menjadi : .......

h

= 20. tan ...... = 20 x 0,........ = ........ ► Langkah 4 Memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh : Jadi tinggi pohon yang dilihat adalah ....... cm.

LATIHAN SOAL

18

MODEL MATEMATIKA YANG BERHUBUNGAN DENGAN TRIGONOMETRI

1. Farid , Fila dan Fiqih bermain dengan membentuk sebuah segitiga. Jarak Farid dari Fila adalah 16 m, jarak Fila dari Fiqih adalah 13 m sedangkan jarak Fila dari Fiqih adalah 11 m . Berapakah besar sudut yang dibentuk oleh Farid , Fila dan Fiqih ? 2. Pada sebuah gedung bertingkat yang tingginya 30 m didirikan tiang bendera. Dari suatu tempat yang ditanah yang jaraknya 20 m , titik ujung bendera dilihat oleh Robert dengan sudut elevasi sebesar 600 dan titik pangkal bendera terlihat dengan sudut elevasi 500 . Berapakah tinggi tiang bendera tersebut ? 3. Dari sebuah gedung bertingkat yang tingginya 40 m Jacksen melihat sebuah mobil yang sedang diparkir dengan sudut depresi sebesar 350 . Berapakah jarak mobil tersebut dengan gedung brtingkat tempat Jacksen melihat ? 4. Dari sebuah pelabuhan dalam waktu yang bersamaan dua buah kapal A dan B meninggalkan pelabuhan. Kapal A berlayar dengan arah 0700 dengan kecepatan 30 km / jam, sedangkan kapal B berlayar dengan arah 1600 dengan kecepatan 25 km / jam. Hitunglah jarak kapal A dan B setelah berlayar selama 3 jam.

44

Lks Trigonometri 5t6134

Overview 4q3b3c

More details 26j3b

Related Documents 171j1w

Lks Trigonometri 5t6134

Lks Grafik Fungsi Trigonometri 682q3t

Trigonometri 3q604o

Trigonometri 3q604o

Trigonometri 3q604o

Trigonometri 3q604o