Las Permutaciones Circulares Son Un Caso Particular De Las.docx 2s452

Las permu taci on es ci rcu l ares son u n caso parti cu l ar de l as pe r mu t ac io n es .

Se u ti l i z an cu an do l o s el e m en t o s s e h an d e o r d en a r " en cí rc u l o", (po r ej em pl o, l o s c o men s al e s en u n a m e sa) , d e m od o qu e el p ri me r el e m en t o qu e " s e si tú e " en l a mu e st ra det e r mi n a el p ri n ci pi o y el fi n al de mu e st r a.

Ejemplos

1. Cal cu l ar l as pe r m ut ac i on e s c i rc u l ar es d e 7 el em e n t os . PC 7 = ( 7 − 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 72 0

2. ¿D e cu án t as f o rm as di sti n ta s pu ed en s en ta r s e och o p e r s o n as al re d ed o r d e u n a m e sa r ed on d a?

Las Permutaciones Circulares son formas de agrupar elementos de un conjunto en las que: 

se toman todos los n elementos de un conjunto



no se repiten los elementos



el orden importa ({A, B, C, D} y {A, C, B, D} se consideran grupos diferentes)



los elementos forman un cículo (por lo tanto {A, B, C, D} sería lo mismo que {D, A, B, C}, que {C, D, A, B} y que {B, C, D, A}

Ejemplo: sea el conjunto {A, B, C, D}, ¿cuántos grupos circulares se pueden formar con estas 4 letras sin que ninguna se repita? Si buscamos los diferente grupos, obtenemos: {A, B, C, D}, {A, B, D, C}, {A, C, B, D}, {A, C, D, B}, {A, D, B, C}, {A, D, C, B} → obtenemos 6 permutaciones

Fórmula: Para calcular el número de permutaciones circulares podemos emplear la siguiente fórmula:

donde n es el número de elementos del conjunto. En el ejemplo anterior n = 4, por lo tanto: PC4 = (4 - 1)! = 3! = 3 · 2 · 1 = 6 → obtenemos el mismo resultado

Ejemplos de Permutaciones Circulares: Para entender mejor el concepto de las permutación circular, vamos a resolver varios ejercicios de cálculo de permutaciones con repetición: Ejercicio 1: tenemos siete comensales, ¿cuántas formas diferentes tienen de sentarse a comer en una mesa circular de siete asientos? Solución:  Primero verificamos que estamos ante una Permutación Circular: Se toman todos los elementos del grupo → correcto

o o

No se repiten elementos (no puede haber la misma persona en diferentes sitios) → correcto o

El orden importa → correcto

o

Los elementos forman un círculo → correcto 

Después de comprobar que efectivamente se trata de una permutación circular, calculamos la cantidad de grupos diferentes que podrían formarse: n = 7 comensales PC7 = (7 - 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 permutaciones

Ejemplos: Si Calculamos las permutaciones circulares de 7 elementos tendremos lo siguiente:

¿De cuántos modos diferentes puede sentarse al rededor de una mesa circular una madre y sus 5 hijos?

¿De cuántos modos distintos podemos ubicar las cifras del 1 al 7 en la figura siguiente?

Podemos solucionar este problema como la conjunción de dos sucesos: En primer lugar ubicamos una cifra en el centro (7 posibilidades) y en segundo lugar las otras 6 cifras, las cuales por ordenarse en una circunferencia podrán permutarse de (6 –1)! maneras, por lo cual: # maneras = 7 x 5! = 7 x 120 = 840

P ERM UT AC IO N E S C O N R EP E T IC IO N

2. Con l as ci f ra s 2, 2, 2 , 3, 3 , 3, 3 , 4 , 4; ¿ cu án t o s n ú m e r o s d e n u e v e ci f ra s s e pu e den fo r ma r ? m = 9

a = 3

b = 4

c = 2

a + b + c = 9

Sí en tran todos l os el emen tos. Sí i mp o rta el or d en . Sí s e r e pi ten l o s el e men t os .

3. En el pal o d e se ñ al es d e u n ba r c o s e pu e d en i z a r t r es b a n de r as r oj a s , do s az u l es y cu at r o v e r d es . ¿ Cu á n tas s eñ al e s di sti n t as pu e d en i n di ca r s e c o n l a c ol oc a ci ón d e l a s n u ev e ban d e ra s ? Sí en t r an t o do s l o s el e m en t os . Sí i mp o rta el or d en . Sí s e r e pi ten l o s el e men t os .