Congruencia De Triángulos.pdf 4zt4a

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Si dos triángulos son congruentes tienen todos sus elementos respectivamente congruentes. Se denota este hecho escribiendo ∆ ABC ≈ ∆ DEF. Para todo par de triángulos congruentes, la relación entre sus elementos congruentes es una correspondencia biunívoca. Entonces, en dos triángulos congruentes, a cada lado (o ángulo) del uno corresponde un lado (o ángulo) congruente en el otro, llamados correspondientes congruentes. Se demuestra que dos triángulos son congruentes para concluir que todos los demás elementos correspondientes son congruentes.

POSTULADOS DE CONGRUENCIA TRIÁNGULOS ESCALENOS 1. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo comprendido.

2. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes un lado y dos ángulos.

3. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus tres lados.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 1. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen los catetos respectivamente congruentes.

2. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen la hipotenusa y un ángulo agudo respectivamente congruentes.

3. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen un cateto y un ángulo respectivamente congruentes.

4. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen la hipotenusa y un cateto respectivamente congruentes.

PROPIEDADES DE PARALELAS TEOREMA #1 Los segmentos de rectas paralelas y limitados por otro par de rectas paralelas son congruentes.

COROLARIO Dos rectas paralelas son equidistantes en toda su extensión.

TEOREMA #2 La recta que biseca a un lado de un triángulo y es paralela a otro lado, biseca también al tercer lado.

COROLARIO El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado u igual a su mitad.

TRIÁNGULOS ISÓSCELES Y EQUILÁTERO TEOREMA #1 Si dos lados de un mismo triángulo son congruentes entre sí, los ángulos opuestos a dichos lados también son congruentes.

COROLARIOS 1. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son también congruentes.

2. La bisectriz del ángulo desigual de un triángulo isósceles, es también mediana, altura y mediatriz de dicho triángulo; y recíprocamente, un triángulo en el cual una línea fundamental es también otra línea fundamental, el triángulo es isósceles. 3. En un triángulo isósceles todos sus puntos fundamentales permanecen a la mediatriz de su lado desigual. 4. Todo triángulo equilátero es equiángulo; y recíprocamente, todo triángulo equiángulo es también equilátero. 5. En un triángulo equilátero las bisectrices, medianas, alturas y mediatrices de los tres vértices son congruentes. El incentro, baricentro ortocentro y circuncentro son el mismo punto

TRIÁNGULO RECTÁNGULO TEOREMA #1 El punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices del triángulo rectángulo.

COROLARIO Si una mediana de un triángulo es igual a los dos segmentos que forma en el lado del triángulo, el triángulo es rectángulo.

TEOREMA #2 El ángulo formado por la altura y la mediana relativas a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la diferencia de los ángulos agudos

DESIGUALDADES TEOREMA #1 Si dos lados de un triángulo no son congruentes, los ángulos opuestos a ellos tampoco lo son y el ángulo de mayor medida se opone al lado mayor; y recíprocamente.

TEOREMA #2 En cualquier triángulo la suma de las longitudes de sus lados cualesquiera es mayor que la longitud del tercer lado.

EJERCICIOS 1.

  

AD = DC ∆ ABD ∆ CBD

2.

        

∆ ABC Rectángulo ∆ BDA Rectángulo isósceles <2 = 45°
<2 = 180° - <1 + <2 +<X = 180° <X = 180° - <1 - <2 <X = 180° – 60° - 45° <X = 75°

SEMEJANZAS DE TRIÁNGULOS TEOREMA #1 Si tres o más rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una transversal, determinan segmentos congruentes en cualquier otra transversal.

COROLARIO Si se divide un lado de un triángulo en partes congruentes y por los puntos de división se trazan paralelas a otro lado, el tercer lado queda dividido en igual número de partes congruentes.

TEOREMA #2 Teorema Básico De Semejanzas De Triángulos Los segmentos de dos transversales interceptan entre paralelas son proporcionales.

1. Dividimos AB en q segmentos de igual longitud (f) y BC en p segmentos de igual longitud (f) 2. Por los puntos de división trazamos paralelas a L. 3. Se obtienen q segmentos de longitud (m) en A´B´ y p segmentos de longitud m en B´C´. 4. 5.

(que igualando)

La definición de semejanza exige dos condiciones: Los ángulos correspondientes deben ser congruentes, y 2. Los lados correspondientes deben ser proporcionales. 1.

Si los ángulos correspondientes con congruentes:

Y los lados correspondientes son proporcionales:

, entonces decimos que la

correspondencia es una semejanza, y se escribe ∆ ABC ≈ ∆ A´B´C´. La razón de dos lados correspondientes cualesquiera (1/2) es la relación de semejanzas. Desde luego esta correspondencia no es una congruencia porque la longitud de cada lado del segundo triángulo es dos veces la del lado correspondiente del primero, por lo tanto, dos triángulos serán congruentes cuando su razón de semejanza sea igual a la unidad.

POSTULADO DE SEMEJANZAS TRIÁNGULOS ESCALENOS 1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos homólogos congruentes.

2. Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo, da origen a otro triangulo semejante con el primero. 3. Dos triángulos son semejantes si tiene lados respectivamente paralelos o perpendiculares. 4. Si los lados correspondientes de dos triángulos son respectivamente proporcionales, los dos triángulos son semejantes.

5. Si en dos triángulos, dos lados homólogos son proporcionales y los ángulos comprendidos son congruentes, los triángulos son semejantes.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 1. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo correspondiente congruente.

TEOREMA #1 Los perímetros de dos triángulos semejantes, están en la misma relación que los lados homólogos.

ANTIPARALELAS

TEOREMA # 1 El segmento que une los pies de dos alturas de un triángulo es antiparalela de un lado.

PROPIEDAS DEL BARICENTRO El Baricentro divide a cada una de las medianas en dos segmentos, tales que el uno es el doble del otro.

TEOREMA # 1 La longitud del segmento perpendicular trazado desde el Baricentro de un triángulo a uno de sus lados, es igual a la tercera parte de la altura relativa al mismo lado.

EJERCICIOS 1.

(∆ APS ≈ ∆ SQC)

(∆ APD ≈ ∆ CQD) →

2.

(∆MQC ≈ ∆ AQN) (∆ PAN ≈ ∆ PBM) → →

→ →

→