Círculo De Mohr - Wikipedia 96i27
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Círculo de Mohr - Wikipedia
Círculo de mohr El círculo de Mohr , que lleva el nombre de Christian Otto Mohr , es una representación gráfica bidimensional de la ley de transformación del tensor de tensión de Cauchy . Después de realizar un análisis de tensión en un cuerpo de material asumido como un continuo , los componentes del tensor de tensión de Cauchy en un punto de material particular son conocidos con respecto a un sistema de coordenadas . El círculo de Mohr se usa luego para determinar gráficamente los componentes de tensión que actúan sobre un sistema de coordenadas rotado, es decir, que actúan sobre un plano orientado de manera diferente que pasa por ese punto. La abscisa ,
, y ordenada ,
, de cada punto en el círculo, son las
magnitudes de los componentes de tensión normal y tensión de corte, respectivamente, que actúan sobre el sistema de coordenadas
Figura 1. Círculos de Mohr para un estado tridimensional de estrés.
girado. En otras palabras, el círculo es el lugar de los puntos que representan el estado de tensión en planos individuales en todas sus orientaciones, donde los ejes representan los ejes principales del elemento de tensión. Karl Culmann fue el primero en concebir una representación gráfica de las tensiones al considerar las tensiones longitudinales y verticales en las vigas horizontales durante la flexión . La contribución de Mohr extendió el uso de esta representación para esfuerzos tanto bidimensionales como tridimensionales y desarrolló un criterio de falla basado en el círculo de estrés. [1] Métodos gráficos alternativos para la representación del estado de tensión en un punto incluyen el elipsoide estrés de Lamé y cuádrica estrés de Cauchy . El círculo de Mohr se puede aplicar a cualquier matriz tensorial 2x2 simétrica , incluida la tensión y el momento de tensión de inercia .
Contenido Motivación para el Círculo de Mohr Círculo deMohr para el estado de estrés bidimensional.
Ecuación del círculo de Mohr Convenciones de signos Convención de signos del espacio físico. Convención de signos del espacio del círculo de Mohr Dibujando el círculo de Mohr Encontrando principales tensiones normales. Encontrar tensiones máximas y mínimas de corte. Encontrar componentes de estrés en un plano arbitrario ángulo doble Poste u origen de los planos. Encontrando la orientación de los planos principales. Ejemplo Círculo de Mohr para un estado general de estrés tridimensional. ver también
https://en.wikipedia.org/wiki/Mohr%27s_circle
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referencias bibliografía enlaces externos
Motivación para el círculo de Mohr Las fuerzas internas se producen entre las partículas de un objeto deformable, asumidas como un continuo , como una reacción a las fuerzas externas aplicadas, es decir, fuerzas superficiales o fuerzas del cuerpo . Esta reacción se deriva de las leyes de movimiento de Euler para un continuo, que son equivalentes a las leyes de movimiento de Newton para una partícula. Una medida de la intensidad de estas fuerzas internas se llama estrés . Debido a que el objeto se asume como un continuo, estas fuerzas internas se distribuyen continuamente dentro del volumen del objeto. En ingeniería, por ejemplo, estructural , mecánica o
Figura 2. Tensión en un cuerpo de material deformable cargado asumido como un continuo.
geotécnica , la distribución de la tensión dentro de un objeto, por ejemplo, la tensión en una masa rocosa alrededor de un túnel, alas de avión o columnas de edificios, se determina a través de un análisis de tensión . El cálculo de la distribución de tensiones implica la determinación de tensiones en cada punto (partícula de material) en el objeto. Según Cauchy , la tensión en cualquier punto de un objeto (Figura 2), asumida como un continuo, está completamente definida por los nueve componentes de la tensión
de un tensor de segundo orden del tipo (2,0) conocido como el tensor de tensión
Cauchy , :
Después de que la distribución de tensión dentro del objeto se haya determinado con respecto a un sistema de coordenadas
, puede ser necesario
calcular los componentes del tensor de tensión en un punto de material particular
con respecto a un
sistema de coordenadas rotado
, es decir, las
tensiones que actúan en un plano con una orientación diferente que pasa por ese punto de interés, formando un ángulo con el sistema de coordenadas
(Figura 3). Por ejemplo, es de
interés encontrar la tensión normal máxima y la tensión de cizallamiento máxima, así como la
Figura 3. Transformación de tensión en un punto en un continuo en condiciones de tensión plana.
orientación de los planos sobre los que actúan. Para lograr
esto,
es
necesario
realizar
una
transformación del tensor bajo una rotación del sistema de coordenadas. De la definición de tensor , el tensor de tensión Cauchy obedece a la ley de transformación del tensor . Una representación gráfica de esta ley de transformación para el tensor de tensión de Cauchy es el círculo de Mohr para la tensión.
Círculo de Mohr para el estado de estrés bidimensional https://en.wikipedia.org/wiki/Mohr%27s_circle
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En dos dimensiones, el tensor de tensión en un punto material dado
con respecto a
cualquiera de las dos direcciones perpendiculares está completamente definida por solo tres componentes de tensión. Para el sistema de coordenadas particular. Estos componentes del estrés son: el estrés normal.
y
, y el esfuerzo cortante
.
A partir del equilibrio del momento angular, se puede demostrar la simetría del tensor de tensión Cauchy. Esta simetría implica que
. Por lo tanto, el tensor de
tensión Cauchy se puede escribir como:
El objetivo es usar el círculo de Mohr para encontrar los componentes del estrés. en un sistema de coordenadas rotado manera diferente que pasa por de coordenadas rotado. original
y
, es decir, en un plano orientado de
Figura 4. Componentes de tensión en un plano que pasa a través de un punto en un continuo en condiciones de tensión plana.
y perpendicular a la - Plano (Figura 4). El sistema hace un angulo
con el sistema de coordenadas
.
Ecuación del círculo de Mohr
Para derivar la ecuación del círculo de Mohr para los casos bidimensionales de tensión plana y tensión plana , primero considere un elemento de material infinitesimal bidimensional alrededor de un punto material
(Figura 4), con un área de
unidad en la dirección paralela a la - Plano, es decir, perpendicular a la página o pantalla. Desde el equilibrio de fuerzas sobre el elemento infinitesimal, las magnitudes de la tensión normal
y el esfuerzo cortante
estan dados por
Derivación de las ecuaciones paramétricas del círculo de Mohr - Equilibrio de fuerzas
From equilibrium of forces in the direction of acts is , we have:
( -axis) (Figure 4), and knowing that the area of the plane where
However, knowing that
we obtain
Now, from equilibrium of forces in the direction of
( -axis) (Figure 4), and knowing that the area of the plane where
acts is
,
we have:
https://en.wikipedia.org/wiki/Mohr%27s_circle
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However, knowing that
we obtain
Ambas ecuaciones también se pueden obtener aplicando la ley de transformación del tensor en el tensor de tensión Cauchy conocido, que es equivalente a realizar el equilibrio estático de fuerzas en la dirección de
y
.
Derivación de las ecuaciones paramétricas del círculo de Mohr - Transformación del tensor
The stress tensor transformation law can be stated as
Expanding the right hand side, and knowing that
and
, we have:
However, knowing that
we obtain
However, knowing that
we obtain
It is not necessary at this moment to calculate the stress component action of
acting on the plane perpendicular to the plane of
as it is not required for deriving the equation for the Mohr circle.
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Estas dos ecuaciones son las ecuaciones paramétricas del círculo de Mohr. En estas ecuaciones, son las coordenadas Esto significa que al elegir un sistema de coordenadas con abscisas parámetro.
es el parametro, y
y ordenada
y
, dando valores al
Colocará los puntos obtenidos tendidos sobre un círculo.
Eliminando el parametro
a partir de estas ecuaciones paramétricas se obtendrá la ecuación no paramétrica del círculo de
Mohr. Esto se puede lograr reorganizando las ecuaciones para
y
, primero transponiendo el primer término en la primera
ecuación y cuadrando ambos lados de cada una de las ecuaciones y luego sumándolas. Asi tenemos
dónde
Esta es la ecuación de un círculo (el círculo de Mohr) de la forma
con radio
Centrado en un punto con coordenadas
en el
sistema coordinado.
Firmar convenciones
Hay dos conjuntos separados de convenciones de signos que deben considerarse al usar el Círculo de Mohr: una convención de signos para los componentes de estrés en el "espacio físico" y otra para los componentes de estrés en el "espacio de círculo de Mohr". Además, dentro de cada uno de los dos conjuntos de convenciones de signo, los mecánicos de la ingeniería ( ingeniería estructural y de ingeniería mecánica ) literatura sigue una convención de signo diferente de la geomecánica literatura. No existe una convención de signos estándar, y la elección de una convención de signos en particular está influenciada por la conveniencia para el cálculo y la interpretación del problema particular en cuestión. Una explicación más detallada de estas convenciones de signos se presenta a continuación. La derivación anterior para la ecuación del Círculo de Mohr usando la Figura 4 sigue la convención de signos de ingeniería mecánica. La convención de señalización de mecánicos de ingeniería se utilizará para este artículo .
-Espacio físico Convención de signos
A partir de la convención del tensor de tensión de Cauchy (Figura 3 y Figura 4), el primer subíndice en los componentes de tensión denota la cara en la que actúa el componente de tensión, y el segundo subíndice indica la dirección de la componente de tensión. Así
Es el esfuerzo cortante que actúa sobre la cara con el vector normal en la dirección positiva de la cara. -
axis, y en la dirección positiva de la -eje. En la convención de signos del espacio físico, las tensiones normales positivas son externas al plano de acción (tensión), y las tensiones normales negativas son internas al plano de acción (compresión) (Figura 5). En la convención de signos del espacio físico, las tensiones de cizallamiento positivas actúan sobre las caras positivas del elemento material en la dirección positiva de un eje. Además, las tensiones de cizallamiento positivas actúan sobre las caras negativas del elemento material en la dirección negativa de un eje. Una cara positiva tiene su vector normal en la dirección positiva de un eje, y una cara negativa tiene su vector normal en la dirección negativa de un eje. Por ejemplo, el esfuerzo cortante.
y
son positivos porque actúan en caras positivas, y actúan también en la dirección positiva de la -axis y el -
axis, respectivamente (figura 3). Del mismo modo, las respectivas tensiones de corte opuestas.
y
actuar en las caras
negativas tiene un signo positivo porque actúan en la dirección negativa de la -axis y -axis, respectivamente.
Convención de signos del círculo de Mohr
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En la convención de signos del espacio-círculo de Mohr, las tensiones normales tienen el mismo signo que las tensiones normales en la convención de signos del espacio físico: las tensiones normales positivas actúan hacia el plano de acción, y las tensiones normales negativas actúan hacia el plano de acción. Las tensiones de corte, sin embargo, tienen una convención diferente en el espacio del círculo de Mohr en comparación con la convención en el espacio físico. En la convención de signos de espacio circular de Mohr, las tensiones de corte positivas Figura 5. Mecánica de ingeniería firma convención para dibujar el círculo de Mohr. Este artículo sigue la convención de signos # 3, como se muestra.
giran el elemento material en sentido contrario a las agujas del reloj y las tensiones de corte negativas hacen girar el material en el sentido de las agujas
del reloj. De esta manera, el componente de esfuerzo cortante. componente de esfuerzo cortante
es positivo en el espacio del círculo de Mohr, y el
Es negativo en el espacio del círculo de Mohr.
Existen dos opciones para dibujar el espacio del círculo de Mohr, que produce un círculo de Mohr matemáticamente correcto: 1. Las tensiones de corte positivas se trazan hacia arriba (Figura 5, convención de signos n.º 1) 2. Las tensiones de corte positivas se trazan hacia abajo, es decir,
El eje está invertido (Figura 5, convención de signos nº 2).
El trazado de tensiones de cizallamiento positivo hacia arriba hace que el ángulo
en el círculo de Mohr tiene una rotación
positiva en el sentido de las agujas del reloj, que es opuesta a la convención del espacio físico. Es por eso que algunos autores [2]
prefieren trazar tensiones de corte positivas hacia abajo, lo que hace que el ángulo
en el círculo de Mohr tiene una
rotación positiva en sentido contrario a las agujas del reloj, similar a la convención del espacio físico para esfuerzos de corte. Para superar el "problema" de tener el eje de la tensión de corte hacia abajo en el espacio del círculo de Mohr, existe una convención de signo alternativo donde se supone que las tensiones de corte positivas giran el elemento de material en la dirección de las agujas del reloj y se supone que las tensiones de corte negativas giran la Elemento de material en sentido antihorario (Figura 5, opción 3). De esta manera, las tensiones de corte positivas se trazan hacia arriba en el espacio del círculo de Mohr y el ángulo
tiene una rotación positiva en sentido antihorario en el espacio del círculo de Mohr. Esta
convención de signos alternativa produce un círculo que es idéntico a la convención de signos # 2 en la Figura 5 debido a una tensión de corte positiva cortante negativo.
También es un esfuerzo cortante a la izquierda, y ambos se trazan hacia abajo. Además, un esfuerzo
es un esfuerzo cortante en el sentido de las agujas del reloj, y ambos se trazan hacia arriba.
Este artículo sigue la convención de signos de mecánica de ingeniería para el espacio físico y la convención de signos alternativos para el espacio de círculo de Mohr (convención de signos # 3 en la Figura 5)
Dibujo círculo de Mohr
Suponiendo que conocemos los componentes del estrés.
,
y
en un punto
En el objeto en estudio, como se muestra
en la Figura 4, los siguientes son los pasos para construir el círculo de Mohr para el estado de estrés en 1. 2.
con una horizontal
Dibuja el sistema de coordenadas cartesiano. Trazar dos puntos
planos perpendiculares.
y
-axis y una vertical
:
-eje.
y en el Espacio correspondiente a los componentes de tensión conocidos en ambos , respectivamente (Figura 4 y 6), siguiendo la convención de signos elegida.
3. Dibuja el diámetro del círculo uniendo puntos 4. Dibuja el círculo de Mohr . El centro línea con la eje.
y
con una linea recta
.
del círculo es el punto medio de la línea de diámetro
, que corresponde a la intersección de esta
Encontrar las principales tensiones normales
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La magnitud de las principales tensiones son las abscisas de los puntos.
y
(Figura 6) donde el
círculo se interseca con el
-eje. La magnitud del
principal estrés principal.
Siempre es el mayor
valor absoluto de la abscisa de cualquiera de estos dos puntos. Asimismo, la magnitud del estrés principal menor.
Siempre es el valor absoluto más
bajo de la abscisa de estos dos puntos. Como se esperaba, las ordenadas de estos dos puntos son cero, lo que corresponde a la magnitud de los componentes de la tensión de corte en los planos principales. Alternativamente, los valores de las tensiones principales se pueden encontrar por
donde la magnitud del estrés normal promedio es la abscisa del centro
y la longitud del radio
, dada por
del círculo (basado en la
ecuación de un círculo que pasa por dos puntos), está dado por
Figura 6. Círculo de Mohr para condiciones de tensión plana y tensión de plano (aproximación de doble ángulo) . Después de un análisis de estrés, los componentes del estrés , y en un punto material son conocidos. Estos componentes del estrés actúan sobre dos planos perpendiculares. y que pasa a través . Las coordenadas del punto y En el círculo de Mohr están los componentes del estrés que actúan en los planos. y del elemento material, respectivamente. El círculo de Mohr se usa entonces para encontrar los componentes del estrés. y , es decir, coordenadas de cualquier punto de estrés. En el círculo, actuando en cualquier otro plano. que pasa a través . El angulo entre las lineas angulo entre los vectores normales de planos y
y es el doble del que pasa a través .
Encontrar tensiones máximas y mínimas de cizallamiento
Las tensiones de corte máximas y mínimas corresponden a las ordenadas de los puntos más altos y más bajos del círculo, respectivamente. Estos puntos están ubicados en la intersección del círculo con la línea vertical que pasa por el centro del círculo, . Por lo tanto, la magnitud de las tensiones de corte máximas y mínimas es igual al valor del radio del círculo
Encontrar componentes de la tensión en un plano arbitrario
Como se mencionó anteriormente, una vez realizado el análisis de tensión bidimensional, conocemos los componentes de la tensión.
,
pasa a través
y
en un punto material
. Estos componentes del estrés actúan en dos planos perpendiculares.
y
que
como se muestra en la Figura 5 y 6. El círculo de Mohr se usa para encontrar los componentes de tensión
, es decir, coordenadas de cualquier punto. haciendo un ángulo
con el avion
En el círculo, actuando en cualquier otro plano.
y
que pasa a través
. Para esto, se pueden utilizar dos enfoques: el doble ángulo y el polo u origen de los
planos.
Doble angulo
Como se muestra en la Figura 6, para determinar los componentes del estrés. en sentido contrario al de las agujas del reloj
en la que
agujas del reloj alrededor del círculo desde el punto de tensión conocido entre lineas
y
actuando en un plano
Actúa, viajamos en ángulo.
en un angulo
en el mismo sentido contrario a las
apuntar
, es decir, un angulo
en el círculo de mohr.
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El enfoque de doble ángulo se basa en el hecho de que el ángulo físicos que pasan a través correspondientes
entre los vectores normales a cualquiera de los dos planos
(Figura 4) es la mitad del ángulo entre dos líneas que unen sus puntos de tensión
en el círculo de Mohr y el centro del círculo.
Esta relación de doble ángulo proviene del hecho de que las ecuaciones paramétricas para el círculo de Mohr son una función de
. También se puede ver que los planos
ángulo
y
en el elemento material alrededor
, que en el círculo de Mohr está representado por una
de la figura 5 están separados por un
ángulo (doble el ángulo).
Polo o el origen de los aviones
El segundo enfoque implica la determinación de un punto en el círculo de Mohr llamado el polo o el origen de los planos . Cualquier línea recta dibujada desde el polo entrecruzará el círculo de Mohr en un punto que representa el estado de tensión en un plano inclinado en la misma orientación (paralelo) en el espacio que esa línea. Por lo tanto, conociendo los componentes del estrés. y
en cualquier plano
particular, uno puede dibujar una línea paralela a ese plano a través de las coordenadas particulares y
en el círculo de Mohr y encuentre el polo
como la intersección de dicha línea con el círculo de Mohr. Como ejemplo, supongamos que tenemos un estado de estrés con componentes de estrés
,
y
, como se muestra en la Figura 7. Primero, podemos dibujar una línea desde el punto paralelo al plano de accion de
O, si elegimos lo
contrario, una línea desde el punto. plano de accion de
paralelo al
. La intersección de cualquiera
de estas dos líneas con el círculo de Mohr es el polo.
Figura 7. Círculo de Mohr para condiciones de tensión plana y tensión de plano (enfoque por polos). Cualquier línea recta dibujada desde el polo entrecruzará el círculo de Mohr en un punto que representa el estado de tensión en un plano inclinado en la misma orientación (paralelo) en el espacio que esa línea.
Una vez que se ha determinado el polo, para encontrar el estado de tensión en un plano que forma un ángulo con la vertical, o en otras palabras, un plano que tiene su vector normal formando un ángulo Con el plano horizontal, entonces podemos dibujar una línea desde el polo paralelo a ese plano (Ver Figura 7). Las tensiones normales y cortantes en ese plano son las coordenadas del punto de intersección entre la línea y el círculo de Mohr.
Encontrando la orientación de los planos principales
La orientación de los planos donde actúan las tensiones principales máximas y mínimas, también conocidas como planos principales , puede determinarse midiendo en el círculo de Mohr los ángulos ∠BOC y ∠BOE, respectivamente, y tomando la mitad de cada uno de esos ángulos. Por lo tanto, el ángulo ∠BOC entre avión principal hace con plano Anglos
y
y
es el doble del angulo
que el principal
.
También se puede encontrar en la siguiente ecuación
Esta ecuación define dos valores para
cuales son
aparte (figura). Esta ecuación se puede derivar directamente de la
geometría del círculo, o haciendo la ecuación paramétrica del círculo para
igual a cero (el esfuerzo cortante en los planos
principales es siempre cero).
Ejemplo
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Suponga un elemento material bajo un estado de tensión como se muestra en la Figura 8 y la Figura 9, con el plano de uno de sus lados orientado 10 ° con respecto al plano horizontal. Usando el círculo de Mohr, encuentra: La orientación de sus planos de acción. El máximo esfuerzo cortante y la orientación de sus planos de acción. Los componentes de tensión en un plano horizontal. Verifique las respuestas utilizando las fórmulas de transformación de estrés o la ley de transformación de Figura 8
estrés. Solución:
Siguiendo
la
convención de signos mecánicos de ingeniería para el espacio físico (Figura 5), los componentes de tensión para el elemento material en este ejemplo son:
. Siguiendo los pasos para dibujar el círculo de Mohr para este estado particular dibujamos
de un
estrés,
primero
sistema
de
coordenadas cartesiano con el
-axis hacia arriba.
Figura 9
Luego, trazamos dos puntos A (50,40) y B (-10, -40), que representan el estado de tensión en el plano A y B como se muestra en la Figura 8 y la Figura 9. Estos puntos siguen la convención de signos de ingeniería mecánica para el espacio del círculo de Mohr (Figura 5), que asume tensiones normales normales hacia afuera del elemento material, y tensiones de corte positivas en cada plano que gira el elemento material en sentido horario. De esta manera, el esfuerzo cortante que actúa sobre el plano B es negativo y el esfuerzo cortante que actúa sobre el plano A es positivo. El diámetro del círculo es la línea que une los puntos A y B. El centro del círculo es la intersección de esta línea con la
-eje. Al conocer tanto la ubicación del centro como la longitud del diámetro,
podemos trazar el círculo de Mohr para este estado particular de estrés. Las abscisas de ambos puntos E y C (Figura 8 y Figura 9) intersectan la
-los ejes son las magnitudes de las tensiones
normales mínimas y máximas, respectivamente; las ordenadas de los puntos E y C son las magnitudes de las tensiones de corte que actúan en los planos principal menor y mayor, respectivamente, que es cero para los planos principales. Aunque la idea de usar el círculo de Mohr es encontrar gráficamente diferentes componentes de tensión midiendo realmente las coordenadas de diferentes puntos en el círculo, es más conveniente confirmar los resultados analíticamente. Así, el radio y la abscisa del centro del círculo son https://en.wikipedia.org/wiki/Mohr%27s_circle
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y las principales tensiones son
Las coordenadas para ambos puntos H y G (Figura 8 y Figura 9) son las magnitudes de las tensiones de corte mínimas y máximas, respectivamente; Las abscisas para ambos puntos H y G son las magnitudes para las tensiones normales que actúan en los mismos planos donde actúan las tensiones de cizallamiento mínimas y máximas, respectivamente. Las magnitudes de las tensiones de corte mínimas y máximas se pueden encontrar analíticamente por
y las tensiones normales que actúan en los mismos planos donde actúan las tensiones de corte mínimas y máximas son iguales a Podemos optar por utilizar el enfoque de doble ángulo (Figura 8) o el enfoque de Polo (Figura 9) para encontrar la orientación de las principales tensiones normales y las principales tensiones de corte. Usando el enfoque de doble ángulo, medimos los ángulos ∠BOC y ∠BOE en el Círculo de Mohr (Figura 8) para encontrar el doble del ángulo que representa el mayor esfuerzo principal y el menor esfuerzo principal con el plano B en el espacio físico. Para obtener un valor más preciso para estos ángulos, en lugar de medirlos manualmente, podemos usar la expresión analítica
Una solución es:
. De la inspección de la Figura 8, este valor corresponde al ángulo ∠BOE. Así, el ángulo
principal menor es
Entonces, el ángulo principal principal es
Recuerda que en este ejemplo particular
y
y no ángulos con respecto al plano de acción de
Son ángulos con respecto al plano de acción de
(orientado en el
-axis)
(orientado en el -eje).
Usando el enfoque de Polo, primero localizamos el Polo u origen de los planos. Para ello, dibujamos a través del punto A en el círculo de Mohr una línea inclinada 10 ° con la horizontal, o, en otras palabras, una línea paralela al plano A donde
hechos.
El polo es donde esta línea cruza el círculo de Mohr (Figura 9). Para confirmar la ubicación del Polo, podríamos dibujar una
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línea a través del punto B en el círculo de Mohr paralelo al plano B donde
hechos. Esta línea también intersectaría el círculo
de Mohr en el Polo (Figura 9). Desde el Polo, trazamos líneas a diferentes puntos en el círculo de Mohr. Las coordenadas de los puntos donde estas líneas se intersecan con el círculo de Mohr indican los componentes de tensión que actúan sobre un plano en el espacio físico que tiene la misma inclinación que la línea. Por ejemplo, la línea desde el Polo hasta el punto C en el círculo tiene la misma inclinación que el plano en el espacio físico donde
hechos. Este plano forma un ángulo de 63.435 ° con el plano B, tanto en el espacio
del círculo de Mohr como en el espacio físico. De la misma manera, las líneas se trazan desde el Polo hasta los puntos E, D, F, G y H para encontrar los componentes de tensión en los planos con la misma orientación.
Círculo de Mohr para un estado tridimensional general de tensiones Para construir el círculo de Mohr para un caso tridimensional general de tensiones en un punto, los valores de las tensiones principales
y
sus direcciones principales
primero
debe ser evaluado Considerando los ejes principales como el sistema de coordenadas, en lugar del general. sistema
de
coordenadas,
y
,
,
suponiendo
que
, luego los componentes normales y de corte del vector de tensión dado con vector unitario
, para un plano
, satisfacer las siguientes
ecuaciones
Figura 10. Círculo de Mohr para un estado tridimensional de estrés. Sabiendo que resolver por
Ya que
, podemos ,
,
, utilizando el método de eliminación de Gauss que produce
y
es no negativo, los numeradores de estas ecuaciones satisfacen
como el denominador como el denominador como el denominador
y y y
Estas expresiones pueden reescribirse como
https://en.wikipedia.org/wiki/Mohr%27s_circle
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¿Cuáles son las ecuaciones de los tres círculos de Mohr para el estrés? y
,
y
, y sus centros con coordenadas.
, con radios ,
, ,
,
respectivamente. Estas ecuaciones para los círculos de Mohr muestran que todos los puntos de estrés isibles círculos o dentro del área sombreada que encierran (vea la Figura 10). Puntos de estrés el círculo
mentira en o circulo exterior
o dentro del circulo circulo exterior
. Puntos de estrés
. Y por último, los puntos de estrés.
recuéstese sobre estos satisfaciendo la ecuación para
satisfaciendo la ecuación para el círculo satisfaciendo la ecuación para el círculo
mentir en mentira en o
.
Véase también Análisis de plano crítico
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Enlaces externos Círculo de Mohr y más círculos
por Rebecca Brannon (http://www.mech.utah.edu/~brannon/public/Mohrs_Circle.pdf)
Paquete de enseñanza y aprendizaje DoITPoMS: "Análisis del estrés y el círculo de Mohr" (http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/metal-forming -1/index.php)
https://en.wikipedia.org/wiki/Mohr%27s_circle
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Círculo de mohr El círculo de Mohr , que lleva el nombre de Christian Otto Mohr , es una representación gráfica bidimensional de la ley de transformación del tensor de tensión de Cauchy . Después de realizar un análisis de tensión en un cuerpo de material asumido como un continuo , los componentes del tensor de tensión de Cauchy en un punto de material particular son conocidos con respecto a un sistema de coordenadas . El círculo de Mohr se usa luego para determinar gráficamente los componentes de tensión que actúan sobre un sistema de coordenadas rotado, es decir, que actúan sobre un plano orientado de manera diferente que pasa por ese punto. La abscisa ,
, y ordenada ,
, de cada punto en el círculo, son las
magnitudes de los componentes de tensión normal y tensión de corte, respectivamente, que actúan sobre el sistema de coordenadas
Figura 1. Círculos de Mohr para un estado tridimensional de estrés.
girado. En otras palabras, el círculo es el lugar de los puntos que representan el estado de tensión en planos individuales en todas sus orientaciones, donde los ejes representan los ejes principales del elemento de tensión. Karl Culmann fue el primero en concebir una representación gráfica de las tensiones al considerar las tensiones longitudinales y verticales en las vigas horizontales durante la flexión . La contribución de Mohr extendió el uso de esta representación para esfuerzos tanto bidimensionales como tridimensionales y desarrolló un criterio de falla basado en el círculo de estrés. [1] Métodos gráficos alternativos para la representación del estado de tensión en un punto incluyen el elipsoide estrés de Lamé y cuádrica estrés de Cauchy . El círculo de Mohr se puede aplicar a cualquier matriz tensorial 2x2 simétrica , incluida la tensión y el momento de tensión de inercia .
Contenido Motivación para el Círculo de Mohr Círculo deMohr para el estado de estrés bidimensional.
Ecuación del círculo de Mohr Convenciones de signos Convención de signos del espacio físico. Convención de signos del espacio del círculo de Mohr Dibujando el círculo de Mohr Encontrando principales tensiones normales. Encontrar tensiones máximas y mínimas de corte. Encontrar componentes de estrés en un plano arbitrario ángulo doble Poste u origen de los planos. Encontrando la orientación de los planos principales. Ejemplo Círculo de Mohr para un estado general de estrés tridimensional. ver también
https://en.wikipedia.org/wiki/Mohr%27s_circle
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referencias bibliografía enlaces externos
Motivación para el círculo de Mohr Las fuerzas internas se producen entre las partículas de un objeto deformable, asumidas como un continuo , como una reacción a las fuerzas externas aplicadas, es decir, fuerzas superficiales o fuerzas del cuerpo . Esta reacción se deriva de las leyes de movimiento de Euler para un continuo, que son equivalentes a las leyes de movimiento de Newton para una partícula. Una medida de la intensidad de estas fuerzas internas se llama estrés . Debido a que el objeto se asume como un continuo, estas fuerzas internas se distribuyen continuamente dentro del volumen del objeto. En ingeniería, por ejemplo, estructural , mecánica o
Figura 2. Tensión en un cuerpo de material deformable cargado asumido como un continuo.
geotécnica , la distribución de la tensión dentro de un objeto, por ejemplo, la tensión en una masa rocosa alrededor de un túnel, alas de avión o columnas de edificios, se determina a través de un análisis de tensión . El cálculo de la distribución de tensiones implica la determinación de tensiones en cada punto (partícula de material) en el objeto. Según Cauchy , la tensión en cualquier punto de un objeto (Figura 2), asumida como un continuo, está completamente definida por los nueve componentes de la tensión
de un tensor de segundo orden del tipo (2,0) conocido como el tensor de tensión
Cauchy , :
Después de que la distribución de tensión dentro del objeto se haya determinado con respecto a un sistema de coordenadas
, puede ser necesario
calcular los componentes del tensor de tensión en un punto de material particular
con respecto a un
sistema de coordenadas rotado
, es decir, las
tensiones que actúan en un plano con una orientación diferente que pasa por ese punto de interés, formando un ángulo con el sistema de coordenadas
(Figura 3). Por ejemplo, es de
interés encontrar la tensión normal máxima y la tensión de cizallamiento máxima, así como la
Figura 3. Transformación de tensión en un punto en un continuo en condiciones de tensión plana.
orientación de los planos sobre los que actúan. Para lograr
esto,
es
necesario
realizar
una
transformación del tensor bajo una rotación del sistema de coordenadas. De la definición de tensor , el tensor de tensión Cauchy obedece a la ley de transformación del tensor . Una representación gráfica de esta ley de transformación para el tensor de tensión de Cauchy es el círculo de Mohr para la tensión.
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En dos dimensiones, el tensor de tensión en un punto material dado
con respecto a
cualquiera de las dos direcciones perpendiculares está completamente definida por solo tres componentes de tensión. Para el sistema de coordenadas particular. Estos componentes del estrés son: el estrés normal.
y
, y el esfuerzo cortante
.
A partir del equilibrio del momento angular, se puede demostrar la simetría del tensor de tensión Cauchy. Esta simetría implica que
. Por lo tanto, el tensor de
tensión Cauchy se puede escribir como:
El objetivo es usar el círculo de Mohr para encontrar los componentes del estrés. en un sistema de coordenadas rotado manera diferente que pasa por de coordenadas rotado. original
y
, es decir, en un plano orientado de
Figura 4. Componentes de tensión en un plano que pasa a través de un punto en un continuo en condiciones de tensión plana.
y perpendicular a la - Plano (Figura 4). El sistema hace un angulo
con el sistema de coordenadas
.
Ecuación del círculo de Mohr
Para derivar la ecuación del círculo de Mohr para los casos bidimensionales de tensión plana y tensión plana , primero considere un elemento de material infinitesimal bidimensional alrededor de un punto material
(Figura 4), con un área de
unidad en la dirección paralela a la - Plano, es decir, perpendicular a la página o pantalla. Desde el equilibrio de fuerzas sobre el elemento infinitesimal, las magnitudes de la tensión normal
y el esfuerzo cortante
estan dados por
Derivación de las ecuaciones paramétricas del círculo de Mohr - Equilibrio de fuerzas
From equilibrium of forces in the direction of acts is , we have:
( -axis) (Figure 4), and knowing that the area of the plane where
However, knowing that
we obtain
Now, from equilibrium of forces in the direction of
( -axis) (Figure 4), and knowing that the area of the plane where
acts is
,
we have:
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However, knowing that
we obtain
Ambas ecuaciones también se pueden obtener aplicando la ley de transformación del tensor en el tensor de tensión Cauchy conocido, que es equivalente a realizar el equilibrio estático de fuerzas en la dirección de
y
.
Derivación de las ecuaciones paramétricas del círculo de Mohr - Transformación del tensor
The stress tensor transformation law can be stated as
Expanding the right hand side, and knowing that
and
, we have:
However, knowing that
we obtain
However, knowing that
we obtain
It is not necessary at this moment to calculate the stress component action of
acting on the plane perpendicular to the plane of
as it is not required for deriving the equation for the Mohr circle.
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Estas dos ecuaciones son las ecuaciones paramétricas del círculo de Mohr. En estas ecuaciones, son las coordenadas Esto significa que al elegir un sistema de coordenadas con abscisas parámetro.
es el parametro, y
y ordenada
y
, dando valores al
Colocará los puntos obtenidos tendidos sobre un círculo.
Eliminando el parametro
a partir de estas ecuaciones paramétricas se obtendrá la ecuación no paramétrica del círculo de
Mohr. Esto se puede lograr reorganizando las ecuaciones para
y
, primero transponiendo el primer término en la primera
ecuación y cuadrando ambos lados de cada una de las ecuaciones y luego sumándolas. Asi tenemos
dónde
Esta es la ecuación de un círculo (el círculo de Mohr) de la forma
con radio
Centrado en un punto con coordenadas
en el
sistema coordinado.
Firmar convenciones
Hay dos conjuntos separados de convenciones de signos que deben considerarse al usar el Círculo de Mohr: una convención de signos para los componentes de estrés en el "espacio físico" y otra para los componentes de estrés en el "espacio de círculo de Mohr". Además, dentro de cada uno de los dos conjuntos de convenciones de signo, los mecánicos de la ingeniería ( ingeniería estructural y de ingeniería mecánica ) literatura sigue una convención de signo diferente de la geomecánica literatura. No existe una convención de signos estándar, y la elección de una convención de signos en particular está influenciada por la conveniencia para el cálculo y la interpretación del problema particular en cuestión. Una explicación más detallada de estas convenciones de signos se presenta a continuación. La derivación anterior para la ecuación del Círculo de Mohr usando la Figura 4 sigue la convención de signos de ingeniería mecánica. La convención de señalización de mecánicos de ingeniería se utilizará para este artículo .
-Espacio físico Convención de signos
A partir de la convención del tensor de tensión de Cauchy (Figura 3 y Figura 4), el primer subíndice en los componentes de tensión denota la cara en la que actúa el componente de tensión, y el segundo subíndice indica la dirección de la componente de tensión. Así
Es el esfuerzo cortante que actúa sobre la cara con el vector normal en la dirección positiva de la cara. -
axis, y en la dirección positiva de la -eje. En la convención de signos del espacio físico, las tensiones normales positivas son externas al plano de acción (tensión), y las tensiones normales negativas son internas al plano de acción (compresión) (Figura 5). En la convención de signos del espacio físico, las tensiones de cizallamiento positivas actúan sobre las caras positivas del elemento material en la dirección positiva de un eje. Además, las tensiones de cizallamiento positivas actúan sobre las caras negativas del elemento material en la dirección negativa de un eje. Una cara positiva tiene su vector normal en la dirección positiva de un eje, y una cara negativa tiene su vector normal en la dirección negativa de un eje. Por ejemplo, el esfuerzo cortante.
y
son positivos porque actúan en caras positivas, y actúan también en la dirección positiva de la -axis y el -
axis, respectivamente (figura 3). Del mismo modo, las respectivas tensiones de corte opuestas.
y
actuar en las caras
negativas tiene un signo positivo porque actúan en la dirección negativa de la -axis y -axis, respectivamente.
Convención de signos del círculo de Mohr
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En la convención de signos del espacio-círculo de Mohr, las tensiones normales tienen el mismo signo que las tensiones normales en la convención de signos del espacio físico: las tensiones normales positivas actúan hacia el plano de acción, y las tensiones normales negativas actúan hacia el plano de acción. Las tensiones de corte, sin embargo, tienen una convención diferente en el espacio del círculo de Mohr en comparación con la convención en el espacio físico. En la convención de signos de espacio circular de Mohr, las tensiones de corte positivas Figura 5. Mecánica de ingeniería firma convención para dibujar el círculo de Mohr. Este artículo sigue la convención de signos # 3, como se muestra.
giran el elemento material en sentido contrario a las agujas del reloj y las tensiones de corte negativas hacen girar el material en el sentido de las agujas
del reloj. De esta manera, el componente de esfuerzo cortante. componente de esfuerzo cortante
es positivo en el espacio del círculo de Mohr, y el
Es negativo en el espacio del círculo de Mohr.
Existen dos opciones para dibujar el espacio del círculo de Mohr, que produce un círculo de Mohr matemáticamente correcto: 1. Las tensiones de corte positivas se trazan hacia arriba (Figura 5, convención de signos n.º 1) 2. Las tensiones de corte positivas se trazan hacia abajo, es decir,
El eje está invertido (Figura 5, convención de signos nº 2).
El trazado de tensiones de cizallamiento positivo hacia arriba hace que el ángulo
en el círculo de Mohr tiene una rotación
positiva en el sentido de las agujas del reloj, que es opuesta a la convención del espacio físico. Es por eso que algunos autores [2]
prefieren trazar tensiones de corte positivas hacia abajo, lo que hace que el ángulo
en el círculo de Mohr tiene una
rotación positiva en sentido contrario a las agujas del reloj, similar a la convención del espacio físico para esfuerzos de corte. Para superar el "problema" de tener el eje de la tensión de corte hacia abajo en el espacio del círculo de Mohr, existe una convención de signo alternativo donde se supone que las tensiones de corte positivas giran el elemento de material en la dirección de las agujas del reloj y se supone que las tensiones de corte negativas giran la Elemento de material en sentido antihorario (Figura 5, opción 3). De esta manera, las tensiones de corte positivas se trazan hacia arriba en el espacio del círculo de Mohr y el ángulo
tiene una rotación positiva en sentido antihorario en el espacio del círculo de Mohr. Esta
convención de signos alternativa produce un círculo que es idéntico a la convención de signos # 2 en la Figura 5 debido a una tensión de corte positiva cortante negativo.
También es un esfuerzo cortante a la izquierda, y ambos se trazan hacia abajo. Además, un esfuerzo
es un esfuerzo cortante en el sentido de las agujas del reloj, y ambos se trazan hacia arriba.
Este artículo sigue la convención de signos de mecánica de ingeniería para el espacio físico y la convención de signos alternativos para el espacio de círculo de Mohr (convención de signos # 3 en la Figura 5)
Dibujo círculo de Mohr
Suponiendo que conocemos los componentes del estrés.
,
y
en un punto
En el objeto en estudio, como se muestra
en la Figura 4, los siguientes son los pasos para construir el círculo de Mohr para el estado de estrés en 1. 2.
con una horizontal
Dibuja el sistema de coordenadas cartesiano. Trazar dos puntos
planos perpendiculares.
y
-axis y una vertical
:
-eje.
y en el Espacio correspondiente a los componentes de tensión conocidos en ambos , respectivamente (Figura 4 y 6), siguiendo la convención de signos elegida.
3. Dibuja el diámetro del círculo uniendo puntos 4. Dibuja el círculo de Mohr . El centro línea con la eje.
y
con una linea recta
.
del círculo es el punto medio de la línea de diámetro
, que corresponde a la intersección de esta
Encontrar las principales tensiones normales
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La magnitud de las principales tensiones son las abscisas de los puntos.
y
(Figura 6) donde el
círculo se interseca con el
-eje. La magnitud del
principal estrés principal.
Siempre es el mayor
valor absoluto de la abscisa de cualquiera de estos dos puntos. Asimismo, la magnitud del estrés principal menor.
Siempre es el valor absoluto más
bajo de la abscisa de estos dos puntos. Como se esperaba, las ordenadas de estos dos puntos son cero, lo que corresponde a la magnitud de los componentes de la tensión de corte en los planos principales. Alternativamente, los valores de las tensiones principales se pueden encontrar por
donde la magnitud del estrés normal promedio es la abscisa del centro
y la longitud del radio
, dada por
del círculo (basado en la
ecuación de un círculo que pasa por dos puntos), está dado por
Figura 6. Círculo de Mohr para condiciones de tensión plana y tensión de plano (aproximación de doble ángulo) . Después de un análisis de estrés, los componentes del estrés , y en un punto material son conocidos. Estos componentes del estrés actúan sobre dos planos perpendiculares. y que pasa a través . Las coordenadas del punto y En el círculo de Mohr están los componentes del estrés que actúan en los planos. y del elemento material, respectivamente. El círculo de Mohr se usa entonces para encontrar los componentes del estrés. y , es decir, coordenadas de cualquier punto de estrés. En el círculo, actuando en cualquier otro plano. que pasa a través . El angulo entre las lineas angulo entre los vectores normales de planos y
y es el doble del que pasa a través .
Encontrar tensiones máximas y mínimas de cizallamiento
Las tensiones de corte máximas y mínimas corresponden a las ordenadas de los puntos más altos y más bajos del círculo, respectivamente. Estos puntos están ubicados en la intersección del círculo con la línea vertical que pasa por el centro del círculo, . Por lo tanto, la magnitud de las tensiones de corte máximas y mínimas es igual al valor del radio del círculo
Encontrar componentes de la tensión en un plano arbitrario
Como se mencionó anteriormente, una vez realizado el análisis de tensión bidimensional, conocemos los componentes de la tensión.
,
pasa a través
y
en un punto material
. Estos componentes del estrés actúan en dos planos perpendiculares.
y
que
como se muestra en la Figura 5 y 6. El círculo de Mohr se usa para encontrar los componentes de tensión
, es decir, coordenadas de cualquier punto. haciendo un ángulo
con el avion
En el círculo, actuando en cualquier otro plano.
y
que pasa a través
. Para esto, se pueden utilizar dos enfoques: el doble ángulo y el polo u origen de los
planos.
Doble angulo
Como se muestra en la Figura 6, para determinar los componentes del estrés. en sentido contrario al de las agujas del reloj
en la que
agujas del reloj alrededor del círculo desde el punto de tensión conocido entre lineas
y
actuando en un plano
Actúa, viajamos en ángulo.
en un angulo
en el mismo sentido contrario a las
apuntar
, es decir, un angulo
en el círculo de mohr.
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El enfoque de doble ángulo se basa en el hecho de que el ángulo físicos que pasan a través correspondientes
entre los vectores normales a cualquiera de los dos planos
(Figura 4) es la mitad del ángulo entre dos líneas que unen sus puntos de tensión
en el círculo de Mohr y el centro del círculo.
Esta relación de doble ángulo proviene del hecho de que las ecuaciones paramétricas para el círculo de Mohr son una función de
. También se puede ver que los planos
ángulo
y
en el elemento material alrededor
, que en el círculo de Mohr está representado por una
de la figura 5 están separados por un
ángulo (doble el ángulo).
Polo o el origen de los aviones
El segundo enfoque implica la determinación de un punto en el círculo de Mohr llamado el polo o el origen de los planos . Cualquier línea recta dibujada desde el polo entrecruzará el círculo de Mohr en un punto que representa el estado de tensión en un plano inclinado en la misma orientación (paralelo) en el espacio que esa línea. Por lo tanto, conociendo los componentes del estrés. y
en cualquier plano
particular, uno puede dibujar una línea paralela a ese plano a través de las coordenadas particulares y
en el círculo de Mohr y encuentre el polo
como la intersección de dicha línea con el círculo de Mohr. Como ejemplo, supongamos que tenemos un estado de estrés con componentes de estrés
,
y
, como se muestra en la Figura 7. Primero, podemos dibujar una línea desde el punto paralelo al plano de accion de
O, si elegimos lo
contrario, una línea desde el punto. plano de accion de
paralelo al
. La intersección de cualquiera
de estas dos líneas con el círculo de Mohr es el polo.
Figura 7. Círculo de Mohr para condiciones de tensión plana y tensión de plano (enfoque por polos). Cualquier línea recta dibujada desde el polo entrecruzará el círculo de Mohr en un punto que representa el estado de tensión en un plano inclinado en la misma orientación (paralelo) en el espacio que esa línea.
Una vez que se ha determinado el polo, para encontrar el estado de tensión en un plano que forma un ángulo con la vertical, o en otras palabras, un plano que tiene su vector normal formando un ángulo Con el plano horizontal, entonces podemos dibujar una línea desde el polo paralelo a ese plano (Ver Figura 7). Las tensiones normales y cortantes en ese plano son las coordenadas del punto de intersección entre la línea y el círculo de Mohr.
Encontrando la orientación de los planos principales
La orientación de los planos donde actúan las tensiones principales máximas y mínimas, también conocidas como planos principales , puede determinarse midiendo en el círculo de Mohr los ángulos ∠BOC y ∠BOE, respectivamente, y tomando la mitad de cada uno de esos ángulos. Por lo tanto, el ángulo ∠BOC entre avión principal hace con plano Anglos
y
y
es el doble del angulo
que el principal
.
También se puede encontrar en la siguiente ecuación
Esta ecuación define dos valores para
cuales son
aparte (figura). Esta ecuación se puede derivar directamente de la
geometría del círculo, o haciendo la ecuación paramétrica del círculo para
igual a cero (el esfuerzo cortante en los planos
principales es siempre cero).
Ejemplo
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Suponga un elemento material bajo un estado de tensión como se muestra en la Figura 8 y la Figura 9, con el plano de uno de sus lados orientado 10 ° con respecto al plano horizontal. Usando el círculo de Mohr, encuentra: La orientación de sus planos de acción. El máximo esfuerzo cortante y la orientación de sus planos de acción. Los componentes de tensión en un plano horizontal. Verifique las respuestas utilizando las fórmulas de transformación de estrés o la ley de transformación de Figura 8
estrés. Solución:
Siguiendo
la
convención de signos mecánicos de ingeniería para el espacio físico (Figura 5), los componentes de tensión para el elemento material en este ejemplo son:
. Siguiendo los pasos para dibujar el círculo de Mohr para este estado particular dibujamos
de un
estrés,
primero
sistema
de
coordenadas cartesiano con el
-axis hacia arriba.
Figura 9
Luego, trazamos dos puntos A (50,40) y B (-10, -40), que representan el estado de tensión en el plano A y B como se muestra en la Figura 8 y la Figura 9. Estos puntos siguen la convención de signos de ingeniería mecánica para el espacio del círculo de Mohr (Figura 5), que asume tensiones normales normales hacia afuera del elemento material, y tensiones de corte positivas en cada plano que gira el elemento material en sentido horario. De esta manera, el esfuerzo cortante que actúa sobre el plano B es negativo y el esfuerzo cortante que actúa sobre el plano A es positivo. El diámetro del círculo es la línea que une los puntos A y B. El centro del círculo es la intersección de esta línea con la
-eje. Al conocer tanto la ubicación del centro como la longitud del diámetro,
podemos trazar el círculo de Mohr para este estado particular de estrés. Las abscisas de ambos puntos E y C (Figura 8 y Figura 9) intersectan la
-los ejes son las magnitudes de las tensiones
normales mínimas y máximas, respectivamente; las ordenadas de los puntos E y C son las magnitudes de las tensiones de corte que actúan en los planos principal menor y mayor, respectivamente, que es cero para los planos principales. Aunque la idea de usar el círculo de Mohr es encontrar gráficamente diferentes componentes de tensión midiendo realmente las coordenadas de diferentes puntos en el círculo, es más conveniente confirmar los resultados analíticamente. Así, el radio y la abscisa del centro del círculo son https://en.wikipedia.org/wiki/Mohr%27s_circle
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y las principales tensiones son
Las coordenadas para ambos puntos H y G (Figura 8 y Figura 9) son las magnitudes de las tensiones de corte mínimas y máximas, respectivamente; Las abscisas para ambos puntos H y G son las magnitudes para las tensiones normales que actúan en los mismos planos donde actúan las tensiones de cizallamiento mínimas y máximas, respectivamente. Las magnitudes de las tensiones de corte mínimas y máximas se pueden encontrar analíticamente por
y las tensiones normales que actúan en los mismos planos donde actúan las tensiones de corte mínimas y máximas son iguales a Podemos optar por utilizar el enfoque de doble ángulo (Figura 8) o el enfoque de Polo (Figura 9) para encontrar la orientación de las principales tensiones normales y las principales tensiones de corte. Usando el enfoque de doble ángulo, medimos los ángulos ∠BOC y ∠BOE en el Círculo de Mohr (Figura 8) para encontrar el doble del ángulo que representa el mayor esfuerzo principal y el menor esfuerzo principal con el plano B en el espacio físico. Para obtener un valor más preciso para estos ángulos, en lugar de medirlos manualmente, podemos usar la expresión analítica
Una solución es:
. De la inspección de la Figura 8, este valor corresponde al ángulo ∠BOE. Así, el ángulo
principal menor es
Entonces, el ángulo principal principal es
Recuerda que en este ejemplo particular
y
y no ángulos con respecto al plano de acción de
Son ángulos con respecto al plano de acción de
(orientado en el
-axis)
(orientado en el -eje).
Usando el enfoque de Polo, primero localizamos el Polo u origen de los planos. Para ello, dibujamos a través del punto A en el círculo de Mohr una línea inclinada 10 ° con la horizontal, o, en otras palabras, una línea paralela al plano A donde
hechos.
El polo es donde esta línea cruza el círculo de Mohr (Figura 9). Para confirmar la ubicación del Polo, podríamos dibujar una
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línea a través del punto B en el círculo de Mohr paralelo al plano B donde
hechos. Esta línea también intersectaría el círculo
de Mohr en el Polo (Figura 9). Desde el Polo, trazamos líneas a diferentes puntos en el círculo de Mohr. Las coordenadas de los puntos donde estas líneas se intersecan con el círculo de Mohr indican los componentes de tensión que actúan sobre un plano en el espacio físico que tiene la misma inclinación que la línea. Por ejemplo, la línea desde el Polo hasta el punto C en el círculo tiene la misma inclinación que el plano en el espacio físico donde
hechos. Este plano forma un ángulo de 63.435 ° con el plano B, tanto en el espacio
del círculo de Mohr como en el espacio físico. De la misma manera, las líneas se trazan desde el Polo hasta los puntos E, D, F, G y H para encontrar los componentes de tensión en los planos con la misma orientación.
Círculo de Mohr para un estado tridimensional general de tensiones Para construir el círculo de Mohr para un caso tridimensional general de tensiones en un punto, los valores de las tensiones principales
y
sus direcciones principales
primero
debe ser evaluado Considerando los ejes principales como el sistema de coordenadas, en lugar del general. sistema
de
coordenadas,
y
,
,
suponiendo
que
, luego los componentes normales y de corte del vector de tensión dado con vector unitario
, para un plano
, satisfacer las siguientes
ecuaciones
Figura 10. Círculo de Mohr para un estado tridimensional de estrés. Sabiendo que resolver por
Ya que
, podemos ,
,
, utilizando el método de eliminación de Gauss que produce
y
es no negativo, los numeradores de estas ecuaciones satisfacen
como el denominador como el denominador como el denominador
y y y
Estas expresiones pueden reescribirse como
https://en.wikipedia.org/wiki/Mohr%27s_circle
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Círculo de Mohr - Wikipedia
¿Cuáles son las ecuaciones de los tres círculos de Mohr para el estrés? y
,
y
, y sus centros con coordenadas.
, con radios ,
, ,
,
respectivamente. Estas ecuaciones para los círculos de Mohr muestran que todos los puntos de estrés isibles círculos o dentro del área sombreada que encierran (vea la Figura 10). Puntos de estrés el círculo
mentira en o circulo exterior
o dentro del circulo circulo exterior
. Puntos de estrés
. Y por último, los puntos de estrés.
recuéstese sobre estos satisfaciendo la ecuación para
satisfaciendo la ecuación para el círculo satisfaciendo la ecuación para el círculo
mentir en mentira en o
.
Véase también Análisis de plano crítico
Referencias 1. Parry, Richard Hawley Gray (2004). Círculos de Mohr, rutas de estrés y geotecnia (https://books.google.ca/books?id=u_rec9uQnLcC&lpg= PP1&dq=mohr%20circles%2C%20sterss%20paths%20and%20geotechnics&pg=PA1#v=onepage&q=&f=false) (2 ed.). Taylor y francis pp. 1– 30. ISBN 0-415-27297-1 . 2. Gere, James M. (2013). Mecánica de materiales . Goodno, Barry J. (8ª ed.). Stamford, CT: Cengage Learning. ISBN 9781111577735 .
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Enlaces externos Círculo de Mohr y más círculos
por Rebecca Brannon (http://www.mech.utah.edu/~brannon/public/Mohrs_Circle.pdf)
Paquete de enseñanza y aprendizaje DoITPoMS: "Análisis del estrés y el círculo de Mohr" (http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/metal-forming -1/index.php)
https://en.wikipedia.org/wiki/Mohr%27s_circle
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