Propriedades De Triângulos E Quadriláteros 4m293e

Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Fundamental, 8º Ano

Propriedades de triângulos e quadriláteros

MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Triângulos e quadriláteros

TRIÂNGULOS Os triângulos são figuras geométricas que merecem um estudo aprofundado devido a suas propriedades. A forma triangular é bastante utilizada em situações do cotidiano. Vejam algumas delas:

Imagem: Patrick – Patrick / GNU Free Documentation License.

Imagem: Dornicke / GNU Free Documentation License.


Uma característica muito importante dos triângulos Experiência: 1. Com varetas de madeira (ou canudinhos de refrigerante) e barbante, construa polígonos com quatro, cinco e seis lados, como nas figuras abaixo.

2. Mexam dois dos lados de cada polígono. Percebam que todos esses polígonos podem mudar seus ângulos, sem alterar seus lados. De um modo geral, os polígonos são figuras deformáveis, isto é, podem mudar seus ângulos conservando seus lados.


Agora, com novas varetas, formem triângulos a partir de seus vértices.

Tente fazer o mesmo, mexendo dois dos seus lados. Verifiquem que não mudam mais de forma! Isto acontece porque os triângulos têm estrutura rígida. Não são deformáveis.


Daí, sua grande utilização nas construções que necessitam de estabilidade como: estrutura de pontes, amarrações de telhados, portões, torres, etc.

Imagem: Gelpgim22 (Sergio Panei Pitrau) / GNU Free Documentation License.

Imagem: Helena Chiarello / Creative Commons Attribution 2.0 Generic.


Definição: Dados três pontos A, E e O não colineares, chama-se triângulo AEO a região limitada pelos segmentos AE, EO e AO. A Âʹ e o

Elementos principais de um triângulo

Êʹ E

Vértices: A, E e O. Lados: AE ou o; EO ou a; AO ou e. Ângulos internos: AÊO ou Ê; EÔA ou Ô; OÂE ou Â. Ângulos externos: Âʹ, Êʹ, Ôʹ.

Perímetro É a soma de todos os lados

2p = a + e + o .

a

Ôʹ

O


Classificação de triângulos 1. De acordo com os valores de seus lados, um triângulo pode ser: Equilátero – os três lados são congruentes. Isósceles – dois de seus lados são congruentes. Escaleno – os três lados são diferentes. R A Y

B

C

Z X K P AB ≡ BC ≡ AC PR ≡ RK Triângulo equilátero Triângulo isósceles Triângulo escaleno PK é a base (lado diferente). R é chamado ângulo do vértice.


2. De acordo com os valores dos ângulos, um triângulo pode ser: Acutângulo – os três ângulos são agudos. Obtusângulo – possui um ângulo obtuso. Retângulo – possui um ângulo reto. S A U C B O Triângulo obtusângulo T A E Triângulo acutângulo Â é obtuso. Triângulo retângulo Â, Ê e Û são agudos. Ô é reto. Pense e responda: a) Um triângulo pode b) Um triângulo pode c) Um triângulo pode d) Um triângulo pode e) Um triângulo pode

ser ser ser ser ser

equilátero e retângulo? isósceles e obtusângulo? isósceles e retângulo? escaleno e acutângulo? escaleno e obtusângulo?


Condição de existência Dados três segmentos, só é possível construir um triângulo se a medida do lado maior for menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Usando barbante e varetas de madeira, tente construir triângulos medindo: a) 20cm, 10cm e 8 cm; b) 20cm, 10cm e 10cm; c) 20cm, 10cm e 15cm. Comprove o enunciado acima. Veja: no 1º triângulo 20cm > 10cm + 8cm, impossível! no 2º triângulo 20cm = 10cm + 10cm, impossível! no 3º triângulo 20cm < 10cm + 15cm, possível!

Propriedades que relacionam os ângulos de um triângulo 1ª propriedade Experiência: 1. Desenhe um triângulo qualquer. 2. Destaque cada um de seus ângulos em cores diferentes e recorte-os. 3. Junte os ângulos recortados sem sobrepor nenhuma parte. O que vocês observam?


A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º. 2º propriedade

B

b Na figura, podemos estabelecer as igualdades: x + c = 180º a x=a+b c x C A a + b + c = 180º Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele. Vamos encontrar o valor de x nos triângulos:

48º 2x x + 20º

x

2x + x + 20º + x = 180º 4x = 180º - 20º x = 40°

110º

2x + 20º

2x + 20º + 48° = 110º 2x + 68º = 110º 2x = 42º x = 21º


Segmentos e pontos notáveis de um triângulo 1. Mediana e Baricentro A mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. As três medianas de um triângulo se encontram em um único ponto denominado baricentro. O baricentro é o ponto de equilíbrio do triângulo. Vejam as medianas e o baricentro, sendo M, M’ e M’’ pontos médios dos lados dos triângulos. acutângulo obtusângulo retângulo C B A M M M’ M’’ G M’’ M’ G G B B C C A A M M’’ M’ Em todos os triângulos, AM é mediana relativa ao lado BC, BM’ é mediana relativa ao lado AC e CM’’ é mediana relativa ao lado AB. O ponto G é o baricentro do triângulo ABC.


2. Bissetriz e Incentro A bissetriz de um triângulo é o segmento que une um vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo interno desse vértice em dois ângulos congruentes (de mesma medida). As três bissetrizes de um triângulo encontram-se num único ponto chamado incentro. O incentro é o ponto central da circunferência inscrita no triângulo. Vejam as bissetrizes e o incentro no triângulo: acutângulo obtusângulo retângulo A A A S’ S’ S’’’ S’’’ I I I O E E O O S E S S AS é bissetriz relativa ao ângulo Â, ES’ é bissetriz relativa ao ângulo Ê e OS’’ é bissetriz relativa ao ângulo O. O ponto I é o incentro dos triângulos AEO.


3. Altura e Ortocentro A altura de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao lado oposto e é perpendicular a esse lado. As três alturas de um triângulo encontram-se num ponto chamado ortocentro. Vejam as alturas e o ortocentro nos triângulos: acutângulo obtusângulo retângulo A A B H’ H’ H H’’ O A C H B C B H AH altura relativa a BC BH’ altura relativa a AC CH’’ altura relativa a AB O é o ortocentro.

H’’ O

C

AH altura relativa a BC AB altura relativa a AC AC altura relativa a AB A é o ortocentro.

MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Triângulos e quadriláteros Experiência 1: 1. Em uma folha de papel, desenhe um triângulo acutângulo qualquer e recorte-o. 2. Faça um dobra que e por um dos vértices, de modo que as duas partes do lado oposto a esse vértice se sobreponham. Você determinou a altura relativa a um dos lados. 4. Repita o mesmo procedimento em relação a outro vértice. O ponto de encontro das duas dobras (alturas) é o ortocentro do triângulo. Experiência 2: 1. Em uma folha de cartolina, recorte um triângulo qualquer. 2. Juntando os vértices dois a dois, você encontra os pontos médios de cada lado. Marque-os. 3. Dobre o triângulo, de modo tal que a dobra coincida com a linha que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. 4. Repita esse procedimento em relação ao outro vértice. O ponto de encontro das duas medianas é o baricentro. 5. Faça ar um barbante pelo baricentro e dê um nó na ponta dele. 6. Segure o barbante na outra extremidade e perceba que o triângulo ficará em posição de equilíbrio.

MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Triângulos e quadriláteros Experiência 3: 1. Em uma folha, desenhe um triângulo qualquer e recorte-o. 2. Dobre-o a partir de um vértice, de modo que os lados que contêm esse vértice se sobreponham. 3. Repita esse procedimento em relação ao outro vértice. O ponto de encontro dessas dobras (bissetrizes) é o incentro do triângulo. 4. Com o como, comprove que o incentro é o ponto central da circunferência inscrita no triângulo. Atividade: Na figura, AH e AS são, respectivamente, altura e bissetriz do triângulo AEU. Determine o valor do ângulo x, sabendo-se que: A m(Ê) = 75º e m(Û) = 27º.

x

Resolver no quadro discutindo com o aluno. Resposta: x = 24º.

E

U H S


Propriedades dos triângulos isósceles Experiência: 1. Desenhe um triangulo isósceles numa folha de papel ou jornal. 2. Destaque os três ângulos internos e recorte-os. 3. Sobreponha um ângulo da base sobre o ângulo do vértice. 4. Sobreponha os dois ângulos da base. Dessa experiência podemos concluir que : A Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. No triângulo AEU, traçamos a altura AH. Observe que: EH ≡ HU; logo AH também é mediana. EÂH ≡ HÂU; logo AH também é bissetriz. E U H Em todo triângulo isósceles, a mediana, a altura relativa à base e a bissetriz do ângulo do vértice coincidem.


Propriedades do triângulo equilátero Experiência: 1. Desenhe um triângulo equilátero numa folha de papel ou jornal. 2. Recorte seus ângulos internos. 3. Sobreponha os 3 ângulos de modo que os 3 vértices coincidam. Dessa experiência podemos concluir que: Em todo triângulo equilátero, os três ângulos internos são A congruentes, medindo 60º cada um. 60º

AB ≡ BC ≡ AC B 60º

60º C

Como todo triângulo equilátero é também isósceles, todas as propriedades do isósceles valem para o equilátero. Portanto: Em todo triângulo equilátero, a mediana e a altura relativas a qualquer lado coincidem entre si e com a bissetriz relativa ao ângulo oposto a esse lado.

MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Triângulos e quadriláteros Atividades:

B

1.O triângulo ABC é isósceles. Sendo AS a bissetriz relativa a Â, determine a medida do ângulo x.

56º x

Responder no quadro discutindo com o aluno. Resposta: x = 87º.

S C

A

2. Na figura, o triângulo ADE é equilátero. Determine as medidas a, b e c dos ângulos internos do triângulo isósceles ABC.

A

17º

Resolver no quadro discutindo com o aluno. Resposta: a = 26º, b =77º e c = 77º.

a

b

D

B

c C

E


QUADRILÁTEROS A presença da forma dos quadriláteros é muito frequente em situações do dia a dia, como em caixas, malas, casas, etc. Vejamos!

Imagem: Sandhu / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.

Imagem: JozeSIb / Domínio Público.


Elementos de um quadrilátero Observando o quadrilátero AEOU da figura, podemos destacar:

Vértices: A, E, O, U. Ângulos internos: Â, Ê, Ô e Û. Lados: AE, EO, OU, UA. Diagonais: AO e EU.

Perímetro É a soma de todos os lados

A

U

E

O

2p = AE + EO + OU + UA.

É importante destacar os vértices, os lados e os ângulos internos que são opostos. Nesse quadrilátero, temos: Vértices opostos: A e O ; E e U. Lados opostos: AE e OU ; AU e EO. Ângulos internos opostos: Â e Ô ; Ê e Û.


Ângulos de um quadrilátero Experiência: Desenhe um quadrilátero ABCD e trace a diagonal BD. O que vocês observam? Vocês poderiam dizer qual é a soma dos ângulos internos desse quadrilátero, só observando o que fizeram? Como obtemos dois triângulos, podemos dizer que:

Em todo quadrilátero a soma dos ângulos internos é igual a 360º. Atividade: 1. Em um quadrilátero, as medidas dos ângulos internos são expressas por x + 15º, x, x + 20º e x + 35º. Quanto mede a medida do ângulo x? Resolver discutindo com o aluno. Resposta: 72º30’. 2. Deseja-se fazer um na forma de um quadrilátero e contorná-lo, de modo que os lados opostos sejam iguais e os lados consecutivos sejam um o dobro do outro. Quanto medirá cada lado se o contorno terá 4,8 metros? Deixar os alunos resolverem sozinhos! Resposta: 0,80m, 1,60m, 0,80m e 1,60m.


Paralelogramos Um quadrilátero que possui dois pares de lados paralelos é chamado de paralelogramo. Observe os seguintes quadriláteros:

E

M A

B

AB // CD AD // BC

S

U

T

Q

N D

R

F

C P MQ // NP e MN // PQ

RS // TU RU // ST

H

G

EF // GH EH // FG

Eles são paralelogramos! O paralelogramo ABCD possui os ângulos retos, por isso isso é chamado retângulo. O paralelogramo MNPQ possui os lados congruentes, por isso é chamado losango. O paralelogramo RSTU possui os lados e os ângulos congruentes, por isso é chamado quadrado. Ele é retângulo e losango! O paralelogramo EFGH não possui lados congruentes nem ângulos retos, por isso não recebe nome especial.


Propriedades dos paralelogramos 1ª Propriedade: Em um paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes. A

U

u

e

a

o

O

E

Como a e u são medidas de ângulos colaterais internos, temos: a + u = 180º u = 180º - a (1). Como a e e são medidas de ângulos colaterais internos, temos: a + e = 180º e = 180º - a (2). Comparando (1) e (2), temos: u=e m(Ê) = m(Û).


2ª propriedade: Em qualquer paralelogramo, os lados opostos são congruentes.

A

Traçando a diagonal AC, temos: a = c ( ângulos alternos internos); B b = d ( ângulos alternos internos); AC lado comum aos dois triângulos.

ab

Então, temos D

d

ABC congruente ao

c C

Como consequência: m(AB) = m(CD); m(BC) = m(AD).

ACD.


3ª propriedade: Em qualquer paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.

D

C

c

d M

A

a

b

Traçando as diagonais AC e BD, temos: a = c (ângulos alternos internos); b = d (ângulos alternos internos); m(AB) = m(CD) (lados opostos). Então, temos: AMB congruente ao

B Como consequência: m(AM) = m(MC); m(BM) = m(MD).

CMD.


Paralelogramos especiais Experiência 1: 1. Numa folha de papel “ofício” trace duas diagonais. 2. Com uma régua meça essas diagonais. O que você concluiu? Experiência 2: 1. Dobre uma folha de papel “ofício” sobrepondo os dois lados menores. 2. Em seguida, dobre a folha no sentido contrário, obtendo assim quatro retângulos congruentes. 3. Continuando com o papel dobrado, corte a diagonal dos retângulos, de modo a obter um losango. 4. Meça com um transferidor os ângulos formados pelas diagonais e pelas diagonais com os lados desse losango. 5. Converse com seus colegas e tirem conclusões.


Conclusões: Em todo paralelogramo: os lados opostos são congruentes; os ângulos opostos são congruentes; as diagonais cortam-se ao meio; os ângulos consecutivos são suplementares. No retângulo (além das propriedades acima): as diagonais são congruentes. No losango (além das propriedades acima): as diagonais são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos. No quadrado (além das propriedades acima): as diagonais são congruentes, perpendiculares entres si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos.


Trapézios Trapézios são quadriláteros que possuem apenas um par de lados paralelos. Observe os seguintes quadriláteros: M Q L J R S

U

T

RS // TU RS é a base menor; TU é a base maior.

N

M

JL // NM JL é a base menor; MN é a base maior. JN ┴ MN

N

P

H

NP // MQ QH é a altura.

Eles são trapézios! No trapézio JLMN, existem dois ângulos retos, por isso ele é chamado trapézio retângulo. No trapézio MNPQ, os lados não paralelos são congruentes, por isso ele é chamado de trapézio isósceles.


Trapézio isósceles No trapézio isósceles podemos observar duas propriedades: 1ª propriedade: Num trapézio isósceles, os ângulos das bases são congruentes. D C c d a

b B

A

2ª propriedade: Num trapézio isósceles, as diagonais são congruentes. D

C

A

B

MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Triângulos e quadriláteros Atividades: 1. No quadrilátero da figura, AE e OE são as bissetrizes dos ângulos Â e Ô, respectivamente. Qual é o valor da medida x?

A

O x 100 º

120 º

E C

B

Resolução: Sendo a = m(BÂO) e o = m(AÔC), temos: a + o + 100º + 120º = 360º a + o = 140º (1) No triângulo AEO, temos: o + a + x = 180º 2 2 o + a + 2x = 360º (2) Substituindo (1) em (2) , vem: 140º + 2x = 360º 2x = 360º - 140º 2x = 220º x = 110º

MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Triângulos e quadriláteros 2. No quadrilátero da figura, AE é a bissetriz de BÂD. Determine o valor dos ângulos x e y:

D

72º A

Resolver no quadro, em havendo discussão. Resposta: x = 65º e y = 137º.

x y E

68º B

C

3. A figura ao lado é um retângulo. A medida x indicada é: a) 38º. b) 42º. c) 46º. d) 48º. e) 52º. 76º Resposta 38º.

x


4. No losango ABCD, determine:

D A

y x

x+37° C

B a) as medidas x e y indicadas; b) as medidas dos quatro ângulos do losango.

Logo, as medidas dos ângulos do losango são: 106º, 106º, 74º e 74º.

Sabendo-se que as diagonais do losango são perpendiculares, então: x + 37º = 90º x = 53º. Sendo as diagonais bissetrizes dos ângulos, temos: ângulo B = 2x; ângulo B = 106º. Sabendo-se que A + B + C + D = 360º e os ângulos opostos são congruentes, temos: 106º + 106º + 2y + 2y = 360º 4y = 360º -212º 4y = 148º y = 37º


Bibliografia Giovanni, José Ruy, 1937 Matemática pensar e descobrir: novo / Giovanni & Giovanni Jr. São Paulo: FTD, 2000. Bonjorno José Roberto Matemática: fazendo a diferença / José Roberto Bonjorno, Regina Azenha Bonjorno , Ayrton Olivares. – 1 ed- São Paulo:FTD, 2006. Iezzi, Gelson, 1939 Matemática e realidade: 7ª série / Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, Antonio Machado - 4 ed reform.- São Paulo: Atual, 2000

Tabela de Imagens n° do slide 2a

direito da imagem como está ao lado da foto

Patrick – Patrick / GNU Free Documentation License. 2b Dornicke / GNU Free Documentation License. 5a Gelpgim22 (Sergio Panei Pitrau) / GNU Free Documentation License. 5b Helena Chiarello / Creative Commons Attribution 2.0 Generic. 19a Sandhu / Creative Commons AttributionShare Alike 3.0 Unported license. 19b JozeSIb / Domínio Público.

link do site onde se consegiu a informação

Data do o

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:JangadaTibau.jpg http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cemit%C3 %A9rio_S%C3%A3o_Paulo_-_Port%C3%A3o_4.JPG http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tri%C3%A1 ngulo_-_Tecn%C3%B3polis.JPG http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pontes_1.j pg http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cafenea,_ Mal%C3%A2%C8%99,_B%C4%83l%C8%9Bi_(1).JPG http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Caixas_de_ Chocapic_2.jpg

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