Regresión Lineal Simple 5w3w22

2015

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

-

Curso : ESTADÍSTICA DECISIONES

PARA

-

Profesor : VICENTE ARMAS, EDGAR

LA

TOMA



Integrante



ZORRILLA CANCHANYA, JHONY JULIÁN

-

Ciclo

: IV

-

Aula

: 304

-

Turno

DE

:

: MAÑANA

Ciudad Universitaria, Septiembre

DEDICATORIA: Dedicado a mis padres que siempre me orientan a tomar decisiones acertadas

INTRODUCCIÓN

La finalidad de este trabajo es presentar un modelo estadístico básico. Este es el modelo de regresión lineal, que se usa para expresar la relación lineal que pueda existir entre los valores de una variable y los valores de un conjunto de una o más variables. Por ejemplo, un modelo de este tipo puede ser utilizado para explicar la variabilidad de las ventas de una empresa en términos de la inversión que se realiza en publicidad. El modelo que trata de explicar la variable dependiente (ventas) mediante una relación lineal y usando solo una variable independiente (inversión en publicidad) se llama modelo de regresión lineal simple. Algunos modelos de regresión incorporan más de una variable independiente, y su forma puede ser de lo más complicada posible. Los modelos de regresión que incorporan más de una variable independiente se llaman modelos de regresión múltiple. Los modelos de regresión fueron introducidos por Laplace y Gauss. Posteriormente fueron usados por Galton en trabajos que trataban de explicar la relación de las estaturas de los padres con las de sus hijos, encontrando lo que él llamó regresión a la media, expresión usada para indicar “que los hijos de los padres altos, en promedio, no eran tan altos como los padres, y que los hijos de los padres bajos, en promedio, eran más altos que los padres”. Había una regresión hacia el promedio. Se aplican en casi todos los campos de la ciencia, como el de la ingeniería, de las ciencias físicas, de las ciencias económicas, de las ciencias sociales, etc., y en muchos casos se utilizan para: predecir rendimientos futuros de un proceso y analizar la influencia de ciertos factores en los valores de una variable y de esta manera conocer, controlar y mejorar un proceso productivo.

MARCO TEÓRICO  ANÁLISIS DE CORRELACIÓN.- Grupo de técnicas para medir la asociación entre dos variables. La idea básica del análisis de correlación es reportar la asociación entre dos variables. El primer paso habitual es trazar los datos en un diagrama de dispersión.  COEFICIENTE DE CORRELACIÓN.- Medida de la fuerza de la relación lineal entre dos variables. Su signo indica la dirección de la relación entre dos variables, directa o inversa.

 COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN.- Proporción de la variación total en la variable dependiente Y que se explica, o contabiliza, por la variación en la variable dependiente X. Se expresa como sigue:

 DIAGRAMA DE DISPERSIÓN.- Gráfica de puntos en una cuadrícula; las coordenadas X y Y de cada punto corresponden a las dos

mediciones hechas sobre un elemento particular de la muestra; el patrón de puntos ilustra la relación entre las dos variables. Ejemplo:

 

ECUACIÓN

DE

ESTIMACIÓN.-

Fórmula

matemática

que

relaciona la variable desconocida con las variables conocidas en el análisis de regresión.  ERROR ESTÁNDAR DE LA ESTIMACIÓN.- Medida de la dispersión de los valores observados respecto de la recta de regresión, esto es, de qué manera los valores observados varían de sus valores pronosticados sobre la recta de regresión.

 ERROR ESTÁNDAR DEL COEFICIENTE DE REGRESIÓN.- Medida de la variabilidad del coeficiente de regresión de la muestra alrededor del coeficiente de regresión verdadero de la población. Fórmula:

 MÉTODO

DE

MÍNIMOS

CUADRADOS.- Determina una ecuación de regresión al minimizar la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los valores reales de Y y los valores pronosticados de Y. Ejemplo:

 ORDENADA Y.- Constante para cualquier línea recta dada cuyo valor representa el valor de la variable Y cuando el valor de la variable X es 0. Se expresa por la letra a:

 PENDIENTE.cualquier

línea

Constante

para

recta dada cuyo valor

representa cuánto cambia la variable dependiente con un cambio de una unidad de la variable independiente. Se expresa por la letra b:  RECTA

DE

línea ajustada a

REGRESIÓN.-

Una

un conjunto de datos

para estimar la relación entre dos variables.

 REGRESIÓN LINEAL.- También conocida como método de mínimos cuadrados. Proceso general para predecir una variable a partir de otra

mediante medios estadísticos utilizando datos históricos, es decir, consiste en encontrar la ecuación de una recta que mejor se ajuste a un conjunto de puntos (datos).  RELACIÓN CURVILÍNEA.- Asociación entre dos variables que se describe por una línea curva.

RELACIÓN



DIRECTA.Relación

entre

dos

variables

en

al

aumentar el

valor de

la

donde, variable

independiente, aumenta el valor de la variable dependiente.

 RELACIÓN INVERSA.- Relación entre dos variables en donde, al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye.



RELACIÓN LINEAL.- Tipo particular de asociación entre dos variables que puede describirse matemáticamente mediante una línea recta.

 VARIABLE DEPENDIENTE.- Variable que se predice o estima. Se muestra en el eje Y.  VARIABLE INDEPENDIENTE.- Variable que proporciona la base para la estimación. Es la variable de pronóstico. Se muestra en el eje X.

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS 12-16 Las ventas de línea blanca varían según el estado del mercado de casas nuevas: cuando las ventas de casas nuevas son buenas, también lo son las de lavaplatos, lavadoras de ropa, secadoras y refrigeradores. Una asociación de comercio compiló los siguientes datos históricos (en miles de unidades) de las ventas de línea blanca y la construcción de casas.

a) Desarrolle una ecuación para la relación entre las ventas de línea blanca (en miles) y la construcción de casas (en miles). -

Diagrama de dispersión

b) Calcular los Coeficientes “a” y “b”.

a=

∑ y . ∑ x 2−∑ x . ∑ x . y =¿ 2 n ∑ x 2− ( ∑ x )

(75.5∗147.18)−(37.2∗289.2) =¿ (10∗37.2)−37.22

1.168145

x

∑ ¿2

¿ ¿ x 2−¿ n∑ ¿ n . ∑ x . y −∑ x . ∑ y b= ¿ ^y =a+bx ^y =1.168145+1.715553 X

1.715553

b) Interprete la pendiente de la recta de regresión. Por cada mil casas construidas, las ventas de líneas blancas se incrementarán en 1756 unidades. c) Calcule e interprete el error estándar de la estimación. S yx=

√

∑ Y 2−a ∑ Y −b ∑ XY n−k

√

147.18−1.168145 ( 75.5 )−1.715553( 289.2) =0.3737 8 Interpretación: Los valores observados en la muestra están dispersos con respecto a la recta de regresión en 0.3737 mil unidades de ventas de líneas blancas. S yx =

d) La construcción de casas durante el año próximo puede ser mayor que el intervalo registrado; se han pronosticado estimaciones hasta de 8.0 millones de unidades. Calcule un intervalo de predicción de 90% de confianza para las ventas de línea blanca, con base en los datos anteriores y el nuevo pronóstico de construcción de casas.

Nos piden: ¿ Y^ −t c S yx ; Y^ −t c S yx >¿ 1° PASO: Hallar ^y para X = 8000 ^y =1.168145+1.715553(8000) = 13725.59215 2° PASO: n = 10 , ∝=0.1 , utilizamos la t ( n−k ) g. l .=t ( 8) g .l .

3° PASO: ERROR ESTÁNDAR DE ESTIMACIÓN S yx=

√

∑ Y 2−a ∑ Y −b ∑ XY n−k

= 0.3737

4° PASO: ¿ 13725.59215−1.86(0.3737); 2.721559−1.86 (0.3737)>¿ ¿ 13724.89707; 13726.28723> ¿ Estamos 90% seguros que las ventas de líneas blancas estarán entre 13 724 897 y 13 726 287 unidades, cuando la construcción de nuevas casas sea de 8 millones. 12-17 Durante partidos recientes de tenis, Diane ha observado que sus lanzamientos no han sido eficaces, pues sus oponentes le han regresado algunos de ellos. Algunas de las personas con las que juega son bastante altas, así que se pregunta si la estatura de su contrincante podría explicar el número de lanzamientos no regresados durante un partido. Los siguientes datos se sacaron de cinco partidos recientes.

a) ¿Cuál es la variable dependiente? El número de lanzamientos no regresados durante un partido b) ¿Cuál es la ecuación de estimación de mínimos cuadrados para estos datos? - Graficar el diagrama de dispersión

-

Calcular los Coeficientes “a” y “b”.

a=

∑ y . ∑ x 2−∑ x . ∑ x . y =¿ 2 n ∑ x 2− ( ∑ x )

(25∗158.5)−(28∗131) =¿ (5∗158.5)−282

34.647059

x

∑ ¿2

¿ ¿ x 2−¿ n∑ ¿ n . ∑ x . y −∑ x . ∑ y b= ¿

-5.294118

^y =a+bx ^y =34.647059−5.294118 X

Interpretación: Por cada incremento de un pie en la estatura de los contrincantes, el número de lanzamientos no regresados disminuirá en 5 aproximadamente. c) ¿Cuál es su mejor estimación del número de lanzamientos no regresados en su partido de mañana con un oponente de 5.9 pies de estatura? ^y =34.647059−5.294118(5.9) = 3.41

Es decir, el número de lanzamientos no regresados en su partido de mañana con un oponente de 5.9 pies de estatura será de 3 aproximadamente. 12-18 Un estudio elaborado por el Departamento de Transporte de Atlanta, Georgia, acerca del efecto de los precios de boletos de autobús sobre el número de pasajeros produjo los siguientes resultados. Precio de boleto (X) Pasajeros por 100 millas

25 30 35 40 45 50 55 60 800 80 780 660 640 600 620 620

a) Grafique los datos

Y ∗∑ X 2−∑ X∗∑ XY 5500∗15500−340∗227200 ∑ a= = =952.619048 2 8∗15500−3402 n ∑ x2 −( ∑ x ) n ∑ XY −∑ X∗∑ Y 8∗227200−340∗5500 b= = =−6.238095 2 2 2 8∗15500−340 n ∑ x −( ∑ x )

b) Desarrolle la ecuación de estimación que mejor describa estos datos.

Y^ =952.619048−6.238095 x c) Pronostique el número de pasajeros/100millas si el precio del boleto fuera de 50 centavos. Utilice un intervalo de predicción del 95% de aproximación.

¿ Y^ −t i S xy , Y^ + t i S xy >¿

#1 Paso Y^ =952.619048−6.238095∗50=640.7143

Y^ =641

Pasajeros por cada 100 millas

#2 Paso n = 8,

α =5

utilizamos la t(n-k) g.l.= t (6) g.l.

#3 Paso S yx =

√

∑ y 2−a ∑ y−b ∑ xy = n−k

√

3830800−952.619048∗5500−(−6.238095)∗227200 =38.05802 6

38 pasajeros por 100 millas.

¿ Y^ −t i S xy , Y^ + t i S xy >¿ ¿ 641−2.477∗38 , 641+ 2.477∗38> ≅< 547,735>¿

Estamos 95% seguros que el número de pasajeros/100 millas estarán entre 548 y 735 pasajeros, cuando el precio del boleto sea de 50 centavos. 12-19 William C. Andrews, consultor de comportamiento organizacional de Victory Motorcycles, ha diseñado una prueba para mostrar a los supervisores de la compañía los peligros de sobre vigilar a sus trabajadores. Un trabajador de la línea de ensamble tiene a su cargo una serie de tareas complicadas. Durante el desempeño del trabajador, un inspector lo interrumpe constantemente para ayudarlo a terminar las tareas. El trabajador, después de terminar su trabajo, recibe una prueba psicológica diseñada para medir la hostilidad del trabajador hacia la autoridad. A ochos trabajadores se les asignaron las tareas y luego se les interrumpió para darles instrucciones útiles un número no variable de veces (línea X). Sus calificaciones en la prueba de hostilidad están en el reglón Y. X Y

5 58

10 41

10 45

15 27

15 26

20 12

20 16

25 3

Y ∗∑ X 2−∑ X∗∑ XY 228∗2100−120∗2580 ∑ a= = =70.5 2 8∗2100−1202 n ∑ x2 −( ∑ x ) n ∑ XY −∑ X∗∑ Y 8∗2580−120∗228 b= = =−2.8 2 2 8∗2100−120 n ∑ x 2−( ∑ x ) a) Graficar

b) Ecuación de proyección

Y^ =70.5−2.8 x

c) Interrumpido 18 veces

^ =70.5−2.8 ( 18 )=20.1 Y La calificación esperada de la prueba si el trabajador es interrumpido 18 veces es de 20.1 12-20 El editor en jefe de un importante periódico metropolitano ha intentado convencer al dueño para que mejore las condiciones de trabajo en la imprenta. Está convencido de que, cuando trabajan las prensas, el grado de ruido crea niveles no saludables de tensión t ansiedad. Recientemente hizo que un sicólogo realizara una prueba durante la cual situaron a los prensistas en cuadros con niveles variables de ruido y luego les hicieron otra prueba para medir niveles de humor y ansiedad. a) Grafique estos datos

DIAGRAMA DE DISPERSIÒN 50 f(x) = 4.57x + 16.52 R² = 0.72

40

DIAGRAMA DE DISPERSIÒN

30

Linear (DIAGRAMA DE DISPERSIÒN)

20 10 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

b) Desarrolle una ecuación de estimación que describa los datos.

y . ∑ x 2−∑ x . ∑ x . y (260∗128)−(28∗1047) ∑ a= = =¿ 2 (8∗128)−282 n ∑ x 2− ( ∑ x )

16.516667

x

∑ ¿2

¿ ¿ 2 x −¿ n∑ ¿ n . ∑ x . y −∑ x . ∑ y b= ¿

4.566667

Ecuación de la recta de mejor ajuste a estos datos y representarla sobre la gráfica.

^y =a+bx ^y =16.516667+ 4.566667 x c) Pronostique el grado de ansiedad que podríamos esperar cuando el nivel de ruido sea 5.

^y =16.516667+ 4.566667(5)

^y =39.350002 Interpretación= El grado de ansiedad que podríamos esperar cuando el nivel de ruido es 5 es de 39.350002. 12-21 Una compañía istra a sus vendedores en capacitación una prueba de ventas antes de salir a trabajar. La istración de la compañía está interesada en determinar la relación entre las calificaciones de la prueba y las ventas logradas por esos vendedores al final de un año de trabajo. Se recolectaron los siguientes datos de 10 agentes de ventas que han estado en el campo un año.

a) Encuentre la recta de regresión de mínimos cuadrados que podría usarse para predecir las ventas a partir de las calificaciones en la prueba de capacitación.

y . ∑ x 2−∑ x . ∑ x . y (260∗128)−(28∗1047) ∑ a= = =¿ 2 (8∗128)−282 n ∑ x 2− ( ∑ x )

16.516667

x

∑ ¿2

¿ ¿ 2 x −¿ n∑ ¿ n . ∑ x . y −∑ x . ∑ y b= ¿

4.566667

Ecuación de la recta de mejor ajuste a estos datos y representarla sobre la gráfica.

^y =a+bx ^y =16.516667+ 4.566667 x b) ¿En cuánto se incrementa el número esperado de unidades vendidas por cada incremento de 1 punto en una calificación de la prueba? Por cada punto adiciona, el número de unidades vendidas aumentará en 41.680912 c) Utilice la recta de regresión de mínimos cuadrados para predecir el número de unidades que vendería un capacitado que obtuvo una calificación promedio en la prueba. Número de unidades que vendería un capacitado que obtuvo una calificación promedio en la prueba.

Calif.

promedio

n. ∑ x . y −∑ x . ∑ y 2.6+3.7+2.4 +4.5+2.6 +5.0+2.8+3.0+ 4.0+3.4 ¿ =3.4 10 ^y =16.516667+ 4.566667(3.4)

^y =137.100001 Interpretación: El número de unidades que vendería un capacitado que obtuvo una calificación promedio en la prueba es de 137.100001

12-22 El consejo municipal de la ciudad de Bowie, Maryland, ha recabado datos del número de accidentes menores de tráfico y el número de partidos de fútbol de jóvenes que tienen lugar en la ciudad el fin de semana.

a) Grafique estos datos.

b) Desarrolle la ecuación de estimación que mejor describa estos datos. - Calcular los Coeficientes “a” y “b”.

a=

∑ y . ∑ x 2−∑ x . ∑ x . y =¿ 2 n ∑ x 2− ( ∑ x )

(48∗3550)−(146∗1101) =¿ (7∗3550)−1462

2.731749

x

∑ ¿2

¿ ¿ x 2−¿ n∑ ¿ n . ∑ x . y −∑ x . ∑ y b= ¿

0.197793

^y =a+bx ^y =2.73174 +0.197793 X

Interpretación: Por cada incremento de un partido de fútbol, el número de accidentes menores aumenta en 0.19 aproximadamente. c) Pronostique el número de accidentes menores de tráfico que ocurrirán en un fin de semana durante el cual tendrán lugar 33 partidos de fútbol en Bowie. ^y =2.73174 +0.197793(33) = 2.9295 Por los tanto, el número de accidentes menores de tráfico que ocurrirán en un fin de semana durante el cual tendrán lugar 33 partidos de fútbol en Bowie será de 3 aproximadamente. d) Calcule el error estándar de la estimación. S yx=

√

∑ Y 2−a ∑ Y −b ∑ XY n−k

√

352−2.73174 ( 48 )−0.197793 (1101) =0.7881 5 Interpretación: Los valores observados en la muestra están dispersos con respecto a la recta de regresión en 0.78 accidente de tráfico menor. 12-23 En economía, la función de demanda de un producto a menudo se estima mediante una regresión de la cantidad vendida (Q) sobre el precio (P). La compañía Bamsy está tratando de estimar la función de demanda para su nueva muñeca “Ma´ am” y ha recabado los siguientes datos: S yx =

Cantida d vendida (Q) Y 125 156 183 190 212 238

Precio (P) X 20 17.5 16 14 12.05 10

X.Y 2500 2730 2928 2660 2554.6 2380

X2 400 306.25 256 196 145.2025 100

Y2 15625 24336 33489 36100 44944 56644

250 276

8 6.5

2000 1794

Y =¿ ∑¿

X =¿ ∑¿

X . Y =¿ ∑¿

1630

´x ´y

104.05

x = ∑8 =

104.05 8 1630 8

y = ∑8 =

19546.6

64 42.25

62500 76176

2

2

X =¿ 150 ∑¿

Y =¿ 3 ∑¿

9.7025

49814

= 13.00625 = 203.75

a. Grafique los datos:

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN 300 250 DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

200 150 100 50 0 4

6

8

10 12 14 16 18 20 22

b. Calcule la recta de regresión de mínimos cuadrados:

∑ y . ∑ x 2−∑ x . ∑ x . y =¿ a= n ∑ x 2−∑ x2 341.262886

104.05 (8∗1509.70)−(¿¿ 2)=¿ (1630∗1509.70)−(104.05∗19546.6) ¿

x

∑ ¿2

¿ ¿ ¿ 104.05 x 2−¿ n∑ ¿ n . ∑ x . y −∑ x . ∑ y b= ¿

-10.572831

Ecuación de regresión: ^y =341.26−10.57 x c. Trace la recta de regresión ajustada en la gráfica:

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN 300 f(x) = - 10.57x + 341.26 R² = 0.99

250 200

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

150

Linear (DIAGRAMA DE DISPERSIÓN )

100 50 0 4

6

8 10 12 14 16 18 20 22

12-24 Una compañía fabricante de llantas está interesada en eliminar contaminantes de los tubos de emisión de su fábrica y el costo es una preocupación. La compañía ha recolectado datos de otras compañías respecto al monto gastado en medidas ambientales y la cantidad de contaminantes eliminada que resultó (como porcentaje de la emisión total). A. Compañía 1: Dinero Porcentaje gastado de (miles de contamina dólares) X dos Y 8.4

35.9

10.2

31.8

16.5

24.7

21.7

25.2

9.4

36.8

8.3

35.8

11.5

33.4

x=¿ 8 ∑¿ 6

Y =¿ ∑¿

223.6

(y-y*) 2 X.Y

X

2

Y´

X = ∑7 =

x = ∑7 =

Y

Y*

301.56

70.56

1288.81

35.543515

324.36

104.04

1011.24

33.875563

407.55

272.25

610.09

28.037731

546.84

470.89

635.04

23.219203

345.92

88.36

1354.24

34.616875

297.14

68.89

1281.64

35.636179

132.25

1115.56

32.670931

384.1

x . y=¿ 260 ∑¿ 7.47

2

x =¿ 1207 ∑¿

a. Calcule la ecuación de regresión: X´

2

86 7 = 12.285714 223.6 = 31.942857 7

.24

2

y =¿ 729 ∑¿ 6.62

∑ Y ∗¿

22 3.599997

0.1270815 6 4.3079617 7 11.140448 2 3.9235567 6 4.7660347 7 0.0268373 2 0.5315416 1

∑¿

24.82 3462

b=

∑ x . y−n . ´x . ´y ∑ x 2−n . ´x2

=¿

12.285714 1207.24−7 (¿¿ 2)=¿ 2607.47−(7)(12.285714)(31.942857) ¿

-0.926640

31.942857+ 0.926640 (12.285714) = 43.327291

a= ´y −b ´x =¿

Ecuación de regresión: ^y =43.327291−0.926640 x

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN 40 35

f(x) = - 0.93x + 43.33 R² = 0.84

30 25

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN Linear (DIAGRAMA DE DISPERSIÓN)

20 15 10 5 0 6

8

10 12 14 16 18 20 22 24

b. Pronostique el porcentaje de contaminantes eliminados si se gastan 20,000 en medidas de control: y=43.327291−0.926640 x

y=43.327291−0.926640(20)

Y = 24.79 24.79 es el porcentaje de contaminantes eliminados si se gastan 20,000 en medidas de control. c. Calcule el error estándar de estimación: S yx =

√

∑ (Y −Y ¿ )2

n−k 24.82 S yx= 7−2 S yx =2.228

√

B. Compañía 2: Dinero gastado Porcentaje de (miles de contaminados dólares) Y X

(y-y*) 2 X.Y

Y2

X2

Y*

25.4 31.4 27.4 15.8 31.5 28.9

467.36 524.38 528.82 448.72 148.05 355.47

645.16 985.96 750.76 249.64 992.25 835.21

338.56 278.89 372.49 806.56 22.09 151.29

y=¿ 160. ∑¿

x . y=¿ 24 ∑¿

y 2=¿ 4458 ∑¿

x 2=¿ 1969. ∑¿

18.4 16.7 19.3 28.4 4.7 12.3

x=¿ ∑¿

99.8

4

72.8

.98

88

24.9394282 26.5696041 24.0763939 15.3501582 38.0767281 30.7888829

∑ y∗¿

159 .801195

0.21212638 23.3327246 11.0463575 0.20235765 43.2533525 3.56787861

∑¿

a. Calcule la ecuación de regresión: ´x ´y

x = ∑6 =

y = ∑6 =

99.8 6 160.4 6

∑ x . y−n . ´x . ´y =¿ b= ∑ x 2−n . ´x2 a= ´y −b ´x =¿

= 16.633333 = 26.7333333 16.633333 1969.88−6(¿¿ 2)=¿ 2472.5−( 6)(16.633333)(27.733333) ¿

-0.952927

26.733333+ 0.952927 (16.633333) = 42.583685

Ecuación de regresión: ^y =42.583685−0.958927 x

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN 35 30 DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

25 20

Linear (DIAGRAMA DE DISPERSIÓN )

15 10 5 0 0

5

10

15

20

25

30

b. Pronostique el porcentaje de contaminantes eliminados si se gastan 20,000 en medidas de control: y=42.583685−0.958927 x

y=42.583685−0.958927 (20)

Y= 23.41

81.61 47972

23.41 es el porcentaje de contaminantes eliminados si se gastan 20,000 en medidas de control. c. Calcule el error estándar de estimación: S yx =

√

∑ (Y −Y ¿ )2

n−k 81.61 S yx= 6−2 S yx =4.52

√

12-34 Neds Beds está considerando contratar a una compañía de publicidad para estimular el negocio. Fred, el hermano de Ned, investigo el campo de la publicidad de camas y recolecto los siguientes datos de la cantidad de ganancias (Y) Que logra una compañía de camas y la cantidad gastada en publicidad (X).Si Fred calcula la ecuación de regresión, la pendiente de la recta indicaría el incremento en la ganancia por dólar gastado en publicidad. Ned hará la publicidad solo si la gaancina de cada $1 invertido excede $ 1.50. Calcule la pendiente de la ecuación y pruebe si es mayor que 1.50. Para un nivel de significancia de 0.05.

∑ Y ∗∑ X 2−∑ X∗∑ XY = 306.95∗1633.41−128.7∗3786.029 =4.646752 2 2 12∗1633.41−128.7 n ∑ x2 −( ∑ x ) n ∑ XY −∑ X∗∑ Y 12∗3786.029−128.7∗306.95 b= = =1.951740 2 2 2 12∗1633.41−128.7 n ∑ x −( ∑ x ) a=

1° PASO: Formulación de hipótesis H 0 : β ≤1.5 H 1 : β >1.5 2° PASO: n = 12 , ∝=0.05 , utilizamos la

t ( n−k ) g. l .=t (10 ) g .l .

3° PASO: Regla de decisión Rechazar H 0 ↔ t 0> 1.812 4° PASO: Hallar el t 0 S yx=

√

∑ Y 2−a ∑ Y −b ∑ XY

n−k 8838.592−4.646756∗306.95−1.951740∗3786.029 S yx = =9.659993 10

√

S b=

S yx

√∑ X −n X´ 2 2

=

9.659993 =0.607196 √1633.41−12(10.725)2

b−β 1.951740−1.5 = =0.743977 Sb 0.607196 5° PASO: Conclusiones y recomendaciones Rechazar H 0 y aceptar H 1 , por lo tanto Ned no hará la publicidad. t 0=

12-35 Un corredor de una empresa de inversión local ha estudiado la relación entre el incremento en el precio del oro(X) y las peticiones de sus clientes de liquidar las acciones (Y). Del conjunto de datos basado en 15 observaciones, se encontró que la pendiente de la muestra era 2.9. Si el error estándar del coeficiente de la pendiente de regresión es 0.18, ¿existe una razón para pensar (a 0.05 de nivel de significancia) que la pendiente cambio de su valor anterior de 3.2) 25

0.0

Y^ =a+2.9 x

S b=0.18

n= 15 β =3.2

b = 2.9

PRUEBA DE HIPOTESIS 1º PASO: FORMULACION DE HIPOTESIS H0: β =3.2 H1: β  3.2 2º PASO n= 15 y se conoce α = 5%, utilizamos t 13 g. l

0.025 3º PASO: REGLA DE DECISION Rechazar H0 si y solo si t 0<−2.160 ó t 0 >2.160 4º PASO: CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO

b−β 2.9−3.2 = Sb 0.18 t 0=¿ 1.67 t 0=

5º PASO:CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Aprobamos H0 y rechazamos H1 por lo tanto la pendiente de la recta de regresión de la población sigue siendo 3.2 con un nivel de significación de 0.05. Por ello decimos que cada unidad adicional al incremento del precio del oro aumenta las peticiones de los clientes 3.2 aprox.

^y =a+50 x 1°paso: Formulación de hipótesis H0: β = 1.50 H1: β ≠ 1.50 2°paso: n = 25,

α =5

; utilizamos la t(n-k) g.l.= t (23) g.l.

-tc= -2.069 3°paso: Regla de decisión

t0

Rechazar H0 ↔

tc=2.069

¿ -2.069 o t0 ¿ 2.069

4°paso: Calculo del estadístico (t0)

S b=

t0

¿

S yx

√∑ ( x − ´x )

b−β =¿ Sb

2

=0.11

1681818

5° Conclusiones y recomendaciones: - Aceptar H0 y rechazar H1, por lo tanto compruebo la veracidad de B= 0.150 y no ha cambiaodo al nivel de significación 5%

y . ∑ x 2− ∑ x . ∑ x . y ∑ a= =¿ 2 n ∑ x 2− ( ∑ x )

15.970818

x

∑ ¿2

¿ ¿ 2 x −¿ n∑ ¿ n . ∑ x . y −∑ x . ∑ y b= ¿

55.957580

Recta de regresión: ^y =a+bx ^y =15.970818+55.957580 x Error estándar de estimación: S yx= B)

√

∑ Y 2−a ∑ Y −b ∑ XY n−k

= 3.447674

^y =a+50 x

1°paso: Formulación de hipótesis H0: β = 0 H1: β ≠ 0 2°paso: n = 6,

α =1

; utilizamos la t(n-k) g.l.= t (4) g.l.

-tc= -1.833 3°paso: Regla de decisión Rechazar H0 ↔

t0

tc=1.833

¿ -1.833 o t0 ¿ 1.833

4°paso: Calculo del estadístico (t0)

S b=

t0

¿

S yx

√∑ ( x − ´x )2

b−β =¿ Sb

=4.424115

11.301605

5° Conclusiones y recomendaciones: - Aceptar H1 y rechazar H0, por lo tanto existe una relación negativa entre el área y el valor.

¿ b−tc Sb , b+tc Sb>¿ Sb = 0.147 2°paso: n = 18 ,

-tc= -1.746

α =1

; utilizamos la t(n-k) g.l.= t (16) g.l.

tc=1.746

3°paso: Regla de decisión

t0

Rechazar H0 ↔

¿ -1.746o t0 ¿ 1.746

4°paso: Calculo del estadístico (t0)

S b=

t0

¿

S yx

√∑ ( x − ´x )

2

b−β =¿ Sb

=5.424115

13.4721

Por lo tanto :

¿ 0.147−13.4(5.42), 0.147+ 13.4(5.42)> ¿ Desarrollamos el intervalo de confianza:

¿−72.81+394.4405 ¿>¿ 12-39 La compañía local de teléfonos siempre ha supuesto que el número promedio de las llamadas diarias aumenta en un1.5 por cada persona adicional en una casa. Se ha sugerido que la gente es más platicadora que lo que esto refleja. Se tomó una muestra de 64 personas y se calculó que la pendiente de regresión de Y (numero promedio de las llamadas diarias) sobre X (tamaño de la casa) era 1.8 con un error estándar del coeficiente de la pendiente de regresión de 0.2. Pruebe si se hacen significativamente más llamadas por persona adicional de lo que la compañía de teléfonos supone: α= 0.05. Establezca las hipótesis y las conclusiones explicitas. DATOS: β = 1.5 b =1.8

Sb

n= 64

=0.2

Prueba de hipótesis de la existencia de la regresión ( β ) Nivel de significación = 5% 1°PASO: FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS H0: β = 1.5 H1: β ≠ 1.5 2°PASO: n = 64,

-

α =5

-

; utilizamos la zα/2

2.22 zα/2 =1.96 8

zα/22.22 =-1.96

3°PASO: REGLA DE DECISIÓN Rechazar H0 ↔

t0

¿ -1.96

o

t0

¿

1.96

4°PASO: CALCULO DEL ESTADÍSTICO (t0) S b=¿ 0.2

z0

¿

b−β =¿ Sb

1.8−1.5 0.2

= 1.5

5° CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES: - Aceptar H0 y rechazar H1, por lo tanto existe una relación entre las horas y las unidades producidas. 12- 40. Los funcionarios universitarios responsables de la isión constantemente buscan variables con las cuales predecir los promedios de las calificaciones de los aspirantes. Una variable de uso común es el promedio de calificaciones del bachillerato. Para la universidad, los datos anteriores indicaban que la pendiente era 0.85. Un pequeño estudio reciente de 20 estudiantes encontró que la pendiente de la muestra era 0.70 y que el error

´2 X 2−n X ∑ ¿ era igual que 0.25. al ¿

estándar de la estimación era 0.60. La cantidad

nivel de la significancia de 0.01. ¿Debería concluir la universidad que la pendiente ha cambiado?

Y^ =a+0.70 x

n = 20 b = 0.70

∑ ( X 2 )−n X´ 2=0.25

S YX =0.60

β = 0.85

5 PRUEBA DE HIPOTESIS 0.00

1º PASO: FORMULACION DE HIPOTESIS H0: β =0.85 H1: β  0.85

2º PASO n= 20 y se conoce α = 1%, utilizamos

t 18 g .l

0.005 3º PASO: REGLA DE DECISION Rechazar H0 si y solo si t 0<−2.878 ó t 0 >2.878 4º PASO: CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO

b−β 0.70−0.85 = Sb 1.2 t 0=¿ 1.29 t 0=

S b=

SYX

√∑ ( X )−n X´ 2

2

=

0.60 =1.2 √0.25

5º PASO:CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Aprobamos H0 y rechazamos H1 por lo tanto la pendiente de la recta de regresión de la población sigue siendo 0.85 con un nivel de significación de 0.01. Por ello decimos

que cada unidad adicional al número de los aspirantes aumenta el número de calificaciones de los aspirantes promedio de 0.85 aprox.

EJERCICIOS DE LA DIAPOSITIVAS PRIMER EJERCICIO DE LA DIAPOSITIVA 1. Construir la Tabla Bidimensional, con la muestra de 20 familias donde estamos interesados en conocer número de hijos y el ingreso familiar mensual en miles de dólares siendo los datos los siguientes: (X: Hijos; Y:Ingreso familiar) (3;21), (5;45), (4;50),(2;35), (1;20), (2;53), (1;32), (2;44), (2;22), (1;32), (3;54), (3;28), (3;40), (2;34), (4;28), (1;33), (4;60), (2;25), (3;25), (3;53) Calcular frecuencia absoluta, relativa, porcentual, conjunta y marginal., frecuencias condicionales, existencia de independencia, COVARIANZA. FRECUENCIA ABSOLUTA BIDIMENSIONAL FRECUENCIA MARGINAL MARGINAL FRECUENCIA MARGINAL

FRECUENCIA CONJUNTA

FRECUENCIA RELATIVA BIDIMENSIONAL FRECUENCIA MARGINAL FRECUENCIA MARGINAL

FRECUENCIA CONJUNTA

FRECUENCIA PORCENTUAL BIDIMENSIONAL

Media de x: 1∗4 +2∗6+3∗6+4∗3+5∗1 ´x = =2.55 20 Media de y: 24∗5+32∗7+40∗1+48∗3+56∗4 ´y = =37.6 20 Covarianza:

1° fila hasta la 5° columna: C11 = (1-2.55)*(24-37.6)*(1) = 21.08 C12= (1-2.55)*(32-37.6)*(3) = 26.04 C13= (1-2.55)*(40-37.6)*(0) = 0 C14 = (1-2.55)*(48-37.6)*(0) = 0 C15= (1-2.55)*(56-37.6)*(0) = 0 2° fila hasta la 5° columna: C21 = (2-2.55)*(24-37.6)*(2) = 14.96 C22= (2-2.55)*(32-37.6)*(2) = 6.16 C23= (2-2.55)*(40-37.6)*(0) = 0 C24 = (2-2.55)*(48-37.6)*(1) = -5.72 C25= (2-2.55)*(56-37.6)*(1) = -10.12 3° fila hasta la 5° columna: C31 = (3-2.55)*(24-37.6)*(2) = -12.24 C32= (3-2.55)*(32-37.6)*(1) = -2.52 C33= (3-2.55)*(40-37.6)*(1) = 1.08 C34 = (3-2.55)*(48-37.6)*(0) = 0 C35= (3-2.55)*(56-37.6)*(2) = 16.56 4° fila hasta la 5° columna: C41 = (4-2.55)*(24-37.6)*(0) = 0 C42= (4-2.55)*(32-37.6)*(1) = -8.12 C43= (4-2.55)*(40-37.6)*(0) = 0 C44 = (4-2.55)*(48-37.6)*(1) = 15.08 C45= (4-2.55)*(56-37.6)*(1) = 26.68

5° fila hasta la 5° columna: C51 = (5-2.55)*(24-37.6)*(0) = 0 C52= (5-2.55)*(32-37.6)*(0) = 0 C53= (5-2.55)*(40-37.6)*(0) = 0 C54 = (5-2.55)*(48-37.6)*(1) = 25.48 C55= (5-2.55)*(56-37.6)*(0) = 0 Xi ∑ (¿ ¿− X´ )(Y i− ´y )∗nij COV (X, Y) = = S xy N ∑¿ ¿ 21.08+ 26.04+14.96+6.16−5.72−10.12−12.24−2.52+ 1.08+ 16.56−8.12+15.08+ 26.68+ 25.48 S xy = 20 114.4 20 S xy =5.72 S xy =

- La covarianza es 5.72, es decir, es mayor a 0, por lo tanto evidencia una relación positiva. EJERCICIO DE LA DIAPOSITIVA: Construir la tabla bidimensional, conla muestra de 20 familias donde estamos interesados en conocer número de hijos y el ingreso familiar mensual en miles de dólares siendo los datos los siguientes: (X:hijos; Y:ingreso familiar) (3;21), (4; 45), (4; 50), (2; 35), (1; 20), (2; 53), (1; 32), (2; 44), (2; 22), (1; 32), (3;54), (3; 28), (3; 40), (2; 34), (4;28), (1;33), (4; 60), (2; 25), (3; 25), (3;53). Calcular frecuencia absoluta relativa, porcentual, conjunta y marginal, existencia de independencia, covarianza. FRECUENCIAS ABSOLUTAS CONJUNTAS Y MARGINALES

H IJ

%=

N IJ N

* 100%

FRECUENCIAS RELATIVAS CONJUNTAS Y MARGINALES

FRECUENCIAS PORCENTUALES CONJUNTAS Y MARGINALES COVARIANZA:

5

´x =∑ I=1

xi∗¿ . = n 5

´y =

1∗4 +2∗6 +3∗6+4∗3+ 5∗1 20

.j = ∑ yi∗n n j=1

= 2.55

24∗5+ 32∗7+ 40∗1+ 48∗3+56∗4 20

Syx= Cov (x; y)= C11 = (1-2.55) (24 - 37.6) (1) = 21.08 C12 = (1-2.55) (32 - 37.6) (3) = 26.04 C21 = (2-2.55) (24 – 37.6) (2) = 14.96 C22 = (2-2.55) (32 – 37.6) (2) = 6.16 C24 = (2-2.55) (48 – 37.6) (1) = -5.72 C25 = (2-2.55) (56 – 37.6) (1) = -10.12 C31 = (3-2.55) (24 – 37.6) (2) = -12.24 C32 = (3-2.55) (32 – 37.6) (1) = -2.52 C33 = (3-2.55) (40 – 37.6) (1) = 1.08 C35 = (3-2.55) (56 – 37.6) (2) = 16.56 C42 = (4-2.55) (32 – 37.6) (1) = -8.12 C44 = (4-2.55) (48 – 37.6) (1) = 15.08 C45 = (4-2.55) (56 – 37.6) (1) = 26.68 C54 = (5-2.55) (48 – 37.6) (1) = 25.48 Cov (x, y) = Sxy = 114.4/20 = 5.72 Evidencia de una relación positiva EXISTENCIA DE INDEPENDENCIA:

= 37.6

¿. ∗n . j N n ij = N N n 2. ∗n .3 N n 23 = N N 0.30 * 0.05 ≠ 0 Por lo tanto, no hay existencia de independencia

SEGUNDO EJERCICIO DE LA PIZARRA

RECTA DE LA REGRESION DE MEJOR AJUSTE :

∑ Y ∗∑ X 2−∑ X∗∑ XY =60.033531 2 n ∑ x2 −( ∑ x ) n ∑ XY −∑ X∗∑ Y 12∗3786.029−128.7∗306.95 b= = =−0.04071 2 2 2 12∗1633.41−128.7 n ∑ x −( ∑ x ) a=

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN 50 40 DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

30 20 10 0 400

500

600

700

800

900

1000

Cuadro ANOVA

SUMA CUADRADO DE ERRORES DE SCT ,SCR,SCE

DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA REGRESIÓN

S yx =

√

∑ (Y −Y ¿ )2

n−k S yx =5.138 Coeficiente de determinación ( r 2 ¿ :

r 2=

SCR =0.66 SCT

Coeficiente de correlación( r ¿ :

r=+ √ r 2 r=−0.81 .

Prueba de hipótesis de la existencia de la regresión ( β ) Nivel de significación = 5%

1°paso: Formulación de hipótesis H0: β = 0 H1: β ≠ 0 2°paso: n = 10,

α =5

; utilizamos la t(n-k) g.l.= t (8) g.l.

3°paso: Regla de decisión

t0

Rechazar H0 ↔

¿ -2.306 o t0 ¿ 2.306

4°paso: Calculo del estadístico (t0)

S b=

t0

¿

S yx

√∑ ( x−´x )

b−β =¿ Sb

2

=−0.000001

40710

5° paso: conclusiones y recomendaciones: - Rechazar H0 y aceptar H1, por lo tanto existe una relación negativa entre en número de embarcaciones y puertos de embarque - Recomendamos hacer la prueba de la linealidad del modelo. Prueba de hipótesis de la linealidad del modelo Nivel de significación = 5% 1°paso: Formulación de hipótesis H0: ρ = 0 H1: ρ ≠ 0 2°paso: n = 10,

; utilizamos la t(n-k) g.l.= t (8) g.l.

α=5

3°paso: Regla de decisión Rechazar H0 ↔

t0

¿ -2.306 o t0 ¿ 2.306

4°paso: Cálculo del estadístico (t0)

Sr =

t0

¿

√

1−r 2 =0.206155 n−k

r −ρ =¿ Sr

−3.93

5° paso: Conclusiones y recomendaciones - Rechazamos H0 y aceptamos H1, por lo tanto existe linealidad negativa entre el numero de embarcaciones y captura por embarque

- Recomendamos hacer la prueba de hipótesis de la confiabilidad del modelo para hacer el pronóstico. Prueba de hipótesis de la confiabilidad del modelo Nivel de significación = 5% 1°paso: Formulación de hipótesis H0: el modelo no es confiable . H1: el modelo es confiable . F(1, 8) 2°paso: n = 10, α=5 ; utilizamos la tabla F (V 1 ,V 2 ) g.l. ¿

3°paso: Regla de decisión Rechazar H0 ↔

Fc

¿ 5.32

4°paso: Calculo del estadístico (t0)

SCR k −1 F0 = SCE n−k

= 15.52

5° paso: Conclusiones y recomendaciones - Rechazamos H0 y aceptamos H1, por lo tanto existe confiabilidad del modelo. - Recomendamos utilizar el modelo dado para hacer los pronósticos.

TERCER EJERCICIO DE LA PIZARRA X: Horas

Y: Unidades

X*Y

X2

Y2

80

300

24000

6400

90000

79

302

23858

6241

91204

83

315

26145

6889

99225

84

330

27720

7056

108900

78

300

23400

6084

90000

60

250

15000

3600

62500

82

300

24600

6724

90000

85

340

28900

7225

115600

79

315

24885

6241

99225

84

330

27720

7056

108900

80

310

24800

6400

96100

62

240

14880

3844

57600

936

3632

285908

73760

1109254

x = ∑ = 12

´x

936 12 3632 12

y = ∑12 =

´y

= 302.666667 78 73760−12(¿¿ 2)=¿ 285908−(12)(78)(302.666667) ¿

∑ x . y−n . ´x . ´y =¿ b= ∑ x 2−n . ´x2 a= ´y −b ´x =¿

= 78

3.473404

302.666667 – 3.473404 (78) = 31.741155

Ecuación de regresión:

^y =31.741155+ 3.473404 x

DIAGRAMA DE DISPERSION 400 350 300

f(x) = 3.47x + 31.74 R² = 0.91

250

DIAGRAMA DE DISPERSION Linear (DIAGRAMA DE DISPERSION)

200 150 100 50 0 55

60

65

CUADRO ANOVA Concepto

70

75

80

85

90

suma cuadrado

g.l.

cuadrado medio

SCR

9072.457397

1

9072.457397

SCE

896.206848

10

73.8356737

SCT

9968.664245

11

98.70744282

Desviación estándar de la regresión (error estándar de estimación)

S yx =

√

∑ (Y −Y ¿ )2

n−k 896.206848 S yx = 10 S yx =9.466820

√

Coeficiente de determinación ( r 2 ¿ :

r 2=

SCR =0.91 SCT

El 91% de la variación de y es explicado por la variación de x. Coeficiente de determinación ( r ¿ :

r=+ √ r 2 r=+ √ 0.91 r=+ 0.95 Hay un alto grado de asociación entre las las horas y unidades producidas Prueba de hipótesis de la existencia de la regresión ( β ) Nivel de significación = 5% 1°PASO: FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS H0: β = 0 H1: β ≠ 0 2°PASO: n = 12,

α =5

; utilizamos la t(n-k) g.l.= t (10) g.l.

2.22 3°PASO: REGLA DE DECISIÓN Rechazar H0 ↔

t0

2.22 8

¿ -2.228 o t0 ¿ 2.228

4°PASO: CALCULO DEL ESTADÍSTICO (t0)

S b=

t0

¿

S yx

=

9.466824

√∑ ( x − ´x ) √73760−12( 78 )

b−β =¿ Sb

2

3.473404−0 0.345219

2

= 0.345219

= 10.061451

5° CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES: - Rechazar H0 y aceptar H1, por lo tanto no existe una relación negativa entre las horas y las unidades producidas.

- Recomendamos hacer la prueba de hipótesis de la linealidad del modelo. Prueba de hipótesis de la linealidad del modelo ( β ) Nivel de significación = 5% 1°PASO: FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS H0: ρ = 0 H1: ρ ≠ 0

α =5

2°PASO: n = 12,

; utilizamos la t(n-k) g.l.= t (10) g.l.

2.22 3°PASO: REGLA DE DECISIÓN Rechazar H0 ↔

t0

2.22 8

¿ 2.228 o t0 ¿ 2.228

4°PASO: CALCULO DEL ESTADÍSTICO (t0)

Sr =

t0

¿

√

1−r 2 1−0.91 = n−k 10

r −ρ =¿ Sr

√

=

0.91−0 0.094817

0.094817

= 10.019300

5° CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES: - Rechazamos H0 y aceptamos H1, por lo tanto existe linealidad negativa entre las horas de producción y las unidades producidas. - Recomendamos hacer la prueba de hipótesis de la confiabilidad del modelo para hacer el pronóstico. Prueba de hipótesis de la confiabilidad del modelo ( β ) Nivel de significación = 5% 1°PASO: FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS H0: el modelo no es confiable. H1: el modelo es confiable . 2°PASO: n = 12,

α =5

; utilizamos la tabla F

(V 1 ,V 2 )

g.l.

¿

F(1, 10)

4.96 3°PASO: REGLA DE DECISIÓN Rechazar H0 ↔

Fc

¿ 4.96

4°PASO: CALCULO DEL ESTADÍSTICO (t0)

SCR k −1 F0 = SCE n−k

=

9072.457397/1 =101.231735 596.206848 /10

5° CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES: - Rechazamos H0 y aceptamos H1, por lo tanto existe confiabilidad del modelo. - Recomendamos utilizar el modelo dado para hacer los pronósticos.

CONCLUSIONES

 En el análisis de regresión, la selección cuidadosa y el uso consistente de la mejor base de datos lleva a la ecuación de estimación más valiosa.  Regresión y correlación lineal son dos herramientas para investigar la asociación de una variable dependiente en función de una variable independiente. Por eso, es de suma importancia para la producción, ya que es aquí en donde se presentan variables de respuesta e independientes las cuales se relacionan para generar las características de un proceso en particular, predecir valores de la variable dependiente y examinar el grado de fuerza con que se relacionan dichas variables.  La regresión lineal simple analiza la relación de dos variables continuas bivariantes. La finalidad de una ecuación de regresión es la de estimar los valores de una variable con base en los valores conocidos de la otra. Es decir, se puede intuir una relación de causa y efecto entre dos o más variables, aunque en muchos casos no existe una relación de esta forma.  Por otro lado, Al ajustar un modelo de regresión simple o múltiple a una nube de observaciones es importante disponer de alguna medida que permita medir la bondad del ajuste. Esto se consigue con los coeficientes de determinación. Si el modelo que se ajusta es un modelo de regresión lineal, a

r2

se le denomina coeficiente de correlación,

que representa el porcentaje de variabilidad de la Y que es explicado por la variación de la X.

 Estas técnicas estadísticas constituyen una herramienta útil para el análisis de las variables de un proceso ya que a través de la aplicación de estas, es factible conocer el modelo que siguen.

RECOMENDACIONES

 Antes de dedicar tiempo al cálculo de una recta de regresión para un conjunto de datos, es conveniente realizar un diagrama de dispersión para esos valores. Esto permitirá averiguar los puntos distantes, ya que quizá algunos datos no representen el problema que se desea resolver.  El método de la regresión lineal simple servirá de herramienta para orientar a los gerentes en la toma de decisiones.  Utilizar las pruebas de hipótesis de la existencia de la regresión, de la linealidad del modelo y de la confiabilidad del modelo, para recién tener la certeza de poder usar la ecuación de los mínimos cuadrados o recta de mejor ajuste en los pronósticos.  Combinar el uso de la regresión lineal simple con otros métodos estadísticos para obtener un mejor modelo que permita realizar pronósticos de mayor confiabilidad.

BIBLIOGRAFÍA

 Estadística descriptiva e inferencial. Córdova Zamora, Manuel. Editorial Moshera S.R.L. 5° Edición, Perú – 2003.  Estadística para istración y economía. Levin, Richard – Runbin, David. Editorial Pearson Educación 7° Edición, México – 2010.  Estadística aplicada a los negocios y a la economía XIII edición – Lind/ Marchal/ Wathem, México 2008. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S. A. de C. V.  Estadística para istración y economía. Mason, Lind, Marchal. Editorial Alfaomega 10° Edición, Colombia – 2002.