Geometría - Milton Donaire 2ek18

´ FILOSOF´IA Y NUMEROS

Cuadernillo N◦ 5

´ FORMA GEOMETRICA DEL ´ ´ AREA DE UNA REGION CUADRANGULAR

Milton F. Donaire Serie: N´ umeros y Ciencia

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Milton Favio Donaire Pe˜ na

´Indice general 1. HISTORIA

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´ 2. FOMULAS

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3. EL TEOREMA 23 ´ 3.1. CUADRILATEROS COMPLEMENTARIOS . . . . 23 4. APLICACIONES 4.1. LADOS CONGRUENTES 4.2. LADOS CONGRUENTES 4.3. CIRCULO INSCRITO . . ´ DE DISTANCIAS 4.4. RAZON ´ . . . . . . . 4.5. BISECCION ´ 4.6. LEON PIERRE ANNE . 4.7. SUMA DE PRODUCTOS 3

43 43 45 47 48 50 51 55

´ 4.8. AREA . . . . . . . . . . 4.9. SHARIGUIN . . . . . . . ´ 4.10. AREA . . . . . . . . . . 5. PROBLEMAS 5.1. Problema 1 . 5.2. Problema 2 . 5.3. Problema 3 . 5.4. Problema 4 . 5.5. Problema 5 . 5.6. Problema 6 .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

56 58 60 65 65 66 67 68 69 70

Presentaci´ on En estos tiempos nos ha tocado ver c´omo las tecnolog´ıas avanzan cada vez m´as y que son muchas las personas que hacen uso de ella obteniendo buenos resultados. Es nuestro prop´osito, en ese sentido, aprovechar estos medios para poner a su alcance de manera gratuita un conjunto de cuadernillos electr´onicos de los m´as variados temas que van desde los n´umeros, la ciencia, hasta las humanidades, con el u´nico fin de poder contribuir a la cultura de nuestra gente, pues estamos convencidos que un pa´ıs que estudia, es un pa´ıs que despierta, un pa´ıs que se culturiza es un pais que progresa, un pa´ıs que lee, es un pa´ıs que no se somete. 5

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Milton Favio Donaire Pe˜ na

Introducci´ on Este trabajo tiene como prop´osito dar a conocer un teorema nuevo sobre a´reas de regiones cuadrangulares que promete tener bastante utilidad. El teorema en cuesti´on que se presenta en este cuadernillo permite calcular el a´rea de cualquier regi´on cuadrangular sin tener que recurrir al cl´asico teorema trigonom´etrico que involucra al producto de las diagonales con el seno del a´ngulo que forman, lo cual equivale a decir que representa una forma puramente geom´etrica de obtener tal a´rea, y es precisamente en ello, y en su simplicidad, que radica su importancia. 7

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Milton Favio Donaire Pe˜ na

El punto de partida fue el estudio del a´rea de una regi´on trapecial como el producto de la longitud de uno de sus lados laterales con la distancia a ´el, desde el punto medio del otro lado lateral, la pregunta era si ese resultado podr´ıa generalizarse. Al encontrarse que dicha generalizaci´on era posible, el siguiente paso fue buscarle una demostraci´on sencilla, de tal manera que dicho resultado pueda ser incluido en los textos de nivel medio escolar. Posteriormente se vio que el teorema era v´alido en todos los cuadril´ateros inclusive en los cruzados y que para un cuadril´atero convexo, cuando se usaban las diagonales y sus puntos medios, pod´ıa ser resuelto como un caso particular del teorema de Le´on Anne cuyo resultado se presenta tambi´en en este cuadernillo. Por u´ltimo, se han agregado resultados especiales que se obtienen con el teorema de manera directa, pero que tambi´en se pueden obtener por otros m´etodos cl´asicos, lo cual da la posibilidad al estudian-

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te y al profesor de resolverlos usando los teoremas conocidos. As´ı tambi´en se han agregado en la parte final una serie de problemas aplicativos que est´an propuestos para el lector. El Autor

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Milton Favio Donaire Pe˜ na

Dedicado al Ing. Manuel Arevalo V. por el gran trabajo que realiza en la divulgaci´on e investigaci´on de la matem´atica y por sus valiosos aportes a la bella geometr´ıa.

Cap´ıtulo 1 HISTORIA En los trabajos de Euclides, el cuadril´atero se encuentra en la tercera parte de la definici´on 19 de su libro I “Figuras cuadril´ ateras son aquellas que se encuentran debajo de cuatro l´ıneas rectas”mientras que para hablar de la medida de su superficie, en el mismo libro escribe en la segunda parte de la proposici´on 34 que “...la diagonal divide al paralelogramo en dos partes iguales”, en las proposiciones 35 y 36 nos habla de paralelogramos dibujados entre dos rectas paralelas que tienen la misma base y aquellos que tienen bases de igual lon11

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gitud, sucedido esto los paralelogramos tendr´an igual ´area, realiza unos resultados an´alogos para la superficie triangular en las proposiciones 37 y 38, para finalmente deducir en la proposici´on 41 que “Si un paralelogramo comparte su base con un tri´angulo y est´a contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del tri´angulo”. La proposici´on 42 del libro I de los elementos de Euclides es clave para poder deducir que en todo trapecio las regiones determinadas por las diagonales con los lados no paralelos son equivalentes, ya que este resultado puede servir para la demostraci´on de tal proposici´on que Euclides presenta a modo de problema: “Construir sobre los lados de un ´angulo dado, un paralelogramo igual a un tri´ angulo dado”. En 1841 en el libro Elementos de Geometr´ıa de S. F. Lacroix, en el apartado 159 de la p´agina XXV de su und´eci-

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ma edici´on nos dice que “Dos figuras de diferentes formas, bien de una extensi´ on igual o que contienen ´areas iguales, se llaman equivalentes”, en ese mismo libro en el apartado 160 nos dice que “En los tri´angulos y en los paralelogramos se toma arbitrariamente por base uno de sus lados, y se da el nombre de altura a la perpendicular bajada desde el ´ angulo opuesto a dicho lado del tri´ angulo o a cualquier punto del lado opuesto en el paralelogramo”, Lacroix usa tales definiciones tan igual como actualmente lo usamos para luego enunciar expl´ıcitamente la formula del ´area de un tri´angulo. En este mismo texto Lacroix se˜nala que el a´rea de cualquier pol´ıgono incluyendo al de un cuadril´atero se calcula como la suma de los tri´angulos en que ´este se puede dividir, pero Lacroix s´ı enuncia expl´ıcitamente las formulas para las a´reas de un trapecio y de cualquier paralelogramo tal y como las trabajamos actualmente.

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Milton Favio Donaire Pe˜ na

A˜nos antes en 1807 A. M. Legendre hab´ıa publicado el libro Elementos de La Geometr´ıa - con Notas, en dicho texto ya se usan los mismo t´erminos que cita Lacroix, as´ı Legendre en su segundo Libro define las figuras equivalentes, tambi´en da enunciados expl´ıcitos para las ´areas de las regiones paralelogr´amicas y triangulares como base por altura sobre dos y tambi´en para el trapecio como semi suma de bases por altura, no hace menci´on del a´rea de un pol´ıgono cualquiera pero s´ı de un pol´ıgono regular. En 1467 Regiomontanus publica su Tratado sobre el Tri´angulo, en el cual se formulan expl´ıcitamente tambi´en las formas de calcular el a´rea de un tri´angulo como base por altura sobre dos; y haciendo uso del seno de un a´ngulo por medio del c´alculo del a´rea deduce que el ´area de un tri´angulo se puede calcular como la mitad del producto de dos lados lados de un tri´angulo con el seno del a´ngulo que subtienden, esto lo enuncia en su teorema 25 del libro II. De lo anterior podemos de-

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ducir que la formula trigonom´etrica para calcular el a´rea de una regi´on triangular se conoc´ıa por aquella ´epoca, seg´un Carl Boyer, es probable que Regiomontanus, conociera el trabajo de Nassir-al-Din-alTusi un astr´onomo iran´ı que sus estudios de la astronom´ıa lo hab´ıan llevado casi a formalizar la trigonometr´ıa como una disciplina independiente, es decir comparable al trabajo que realiza Euclides con los Elementos. Es conocido adem´as que Nassir escribi´o un trabajo estudiando a los cuadril´ateros, en el cual trabaja ampliamente la trigonometr´ıa. Cop´ernico ayuda mucho en cuanto a la divulgaci´on de los teoremas trigonom´etricos de Regiomontanus, sin embargo es su alumno J. Rheticus quien en su Opus Palatinum de Triangulis da una mayor madurez a la teor´ıa formal de la trigonometr´ıa.

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Cap´ıtulo 2 ´ FOMULAS En Geometr´ıa se dispone del teorema de Brahamagupta para calcular el a´rea de una regi´on cuadrangular inscrita en una circunferencia, tal f´ormula resulta ser una generalizaci´on del teorema de Her´on para el a´rea de una regi´on triangular. En ese sentido si p es la mitad de la suma de las longitudes de los lados DA = a, AB = b, BC = c y CD = d de un cuadril´atero ABCD entonces: [ABCD] =

p (p − a)(p − b)(p − c)(p − d)

Si el cuadril´atero no se encuentra inscrito en una circunferencia, entonces usa17

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mos una medida angular α que es igual a la semi-suma de las medidas de dos a´ngulos opuestos cualesquiera del cuadril´atero, en tal caso la formula general queda como sigue: [ABCD]2 = p(p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd cos2 α

Bretschneider hab´ıa llegado al resultado para el ´area de cualquier regi´on cuadrangular usando las diagonales x y y: [ABCD]2 = p(p − a)(p − b)(p − c)(p − d)− 1 (ac + bd + xy)(ac + bd − xy) 4

y la f´ormula m´as simple pero que hace uso de la trigonometr´ıa, nos indica que el a´rea de una regi´on cuadrangular es igual a la mitad del producto de las longitudes de sus diagonales con el seno del a´ngulo formado por ellas. [ABCD] =

xy sin θ 2

Al ser esta u´ltima, sumamente simple, se ha difundido ampliamente entre los estudiantes de la educaci´on media regular

19

as´ı como en el medio Pre universitario. Es por ello que esta f´ormula trigonom´etrica aparece en casi todos los textos del a´mbito indicado. Algunos textos de Geometr´ıa, que evitan la f´ormula trigonom´etrica, indican que el ´area de una regi´on cuadrangular se podr´ıa calcular haciendo uso de la disecci´on, es decir de hacer c´alculos sobre algunas partes de ella, para luego proceder a sumarlas. B

B

C

C

h h

A

b

D

A

b

D

Figura 2.1: [ABCD] = b · h

Pero dos son las f´ormulas que nos han dado la idea de calcular el ´area de una regi´on cuadrangular en base al producto de uno de sus lados y una perpendicular relativa a dicho lado, la f´ormula del a´rea para los paralelogramos y la f´ormula del

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a´rea para los trapecios: La pregunta que debimos responder es ¿qu´e ten´ıan en com´un estas f´ormulas en su aspecto gr´afico?, lo interesante de esto es que no tard´o en aparecer la respuesta. Se trataba de las diagonales y la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales, la conocida recta de Newton, u´nica en el caso del trapecio pero no determinada en el caso del paralelogramo: B

B

C

l

l C

h h

A

b

D

A

b

D

Figura 2.2: l: recta que pasa por los puntos medios de las diagonales

En base a estos resultados anteriores, es que surgi´o de manera natural, la pregunta de si esta f´ormula era v´alida para todos los cuadril´ateros, ya que lo era en el caso del paralelogramo y en el caso del

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trapecio. Es en esa direcci´on que se trat´o de buscar una demostraci´on a un posible resultado general, usando inicialmente la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales, lo cual se consigui´o despu´es de algunos intentos, posteriormente se puso al descubierto que se pod´ıa llegar al mismo teorema sin tener que usar la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales.

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Cap´ıtulo 3 EL TEOREMA 3.1.

´ CUADRILATEROS COMPLEMENTARIOS

Ser´a necesario para nuestro estudio introducir la idea del complemento de una regi´on. Definici´ on 1. Dos cuadril´ateros ser´ an denominados complementarios si siendo uno, el contorno de una regi´on convexa y el otro de una regi´on no convexa, se pueden unir compartiendo dos lados, a modo de rompecabezas, para darnos un paralelogramo (por medio de 23

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la adici´on de las figuras o por medio de la sustracci´on). Cualquiera de ellas ser´ a denominada el complemento de la otra.

Figura 3.1: Cuadril´ateros Complementarios

Notemos que siempre dos cuadril´ateros complementarios tienen sus 4 lados paralelos y de igual longitud, adem´as tambi´en poseen una de sus diagonales de igual longitud, un ´angulo de igual medida y uno suplementario de otro.

25

Ahora estamos en condiciones de poder dar a conocer nuestro Teorema: Teorema 1. El ´area de Cualquier regi´ on cuadrangular es igual al producto de las longitudes de uno de sus lados (b) con la perpendicular (h) trazada hacia dicho lado, desde el punto de intersecci´on del lado opuesto a ´el, con la recta que pasa por el centro del paralelogramo que forma con su cuadril´ atero complementario, y que es paralela a la diagonal no com´ un con este u ´ltimo cuadril´ atero. B

P

B

A

L O

O

h

L C

b

C

h A

b

D

P

D

Figura 3.2: O: centro del paralelogramo, y la recta L es paralela a la diagonal no com´ un , entonces: [ABCD] = bh

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Prueba

Paso 1 : Por ser paralelogramo B

P

BL X

C

Y

Z

A A

D

A + B= X + Y + Z Paso 2 : Trazamos DL // L

m

m

B M

P

L

Y

B X

Z

C

A A

D

4BCL : BM : mediana, B = Y Del paso 1 y 2 se sigue: A = X + Z

27

Paso 3 M

B

P

L

Z

X

O

A

h

C

D

A

b

[ABCD] = X + A + Z [ABCD] = 2A pero A = bh De all´ı[ABCD] = bh



Definici´ on 2. Denominamos mediana de un cuadril´atero al segmento que une uno de sus v´ertices, con el baricentro de la regi´on triangular determinada por los otros tres v´ertices del cuadril´atero. Teorema. En todo cuadril´atero sus medianas son concurrentes, en un punto que las divide a cada una de ellas en la raz´ on de 3 a 1.

28

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D

B

3k C

G

GABC k

k

G 3k

GABC C

A

B

A

D

Figura 3.3: G: Baricentro de ABCD

Definici´ on 3. En todo cuadril´atero al punto de concurrencia de sus medianas le denominaremos baricentro del cuadril´ atero. Teorema. En todo cuadril´atero los segmentos que unen los puntos medios de sus lados opuestos, se intersecan en el baricentro del cuadril´atero. Definici´ on 4. En todo cuadril´atero al segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos se le denomina Bimediana.

29 B

B

C G G

C

A

D

A

D

Figura 3.4: G: Baricentro del cuadril´atero

Teorema 2. Si construimos un paralelogramo que tenga por lados, dos lados de un cuadril´atero dado. Y si por el baricentro del cuadril´atero dado, trazamos una recta L paralela a la recta que une el v´ertice del paralelogramo no contenido en el cuadril´atero, con el v´ertice del cuadril´atero no contenido en el paralelogramo, entonces: El ´area de cualquier regi´on cuadrangular es igual al producto de las longitudes de uno de sus lados (b) con la perpendicular (h) trazada hacia dicho lado desde el punto de intersecci´on del lado opuesto a ´el, con la recta que pasa por el ba-

30

Milton Favio Donaire Pe˜ na

ricentro del cuadril´atero y que es paralela a la recta L. B

B

L

L

P C G

G

C

h

P

h

D

A

A

D b

b

Figura 3.5: G: baricentro, entonces [ABCD] = b · h B

P C E

A

G

h

D

F

b Figura 3.6: G: baricentro, entonces [ABCD] = b · h

31

Prueba B

P L

M

O S C G

N A

D

Figura 3.7: G: baricentro

Para su demostraci´on basta ver que la recta L que pasa por G y es paralela a la recta , tambi´en pasa por el centro del paralelogramo, lo que reduce la prueba de este teorema a la del teorema 1 Teorema 3. El ´area de Cualquier regi´ on cuadrangular es igual al producto de las longitudes de uno de sus lados (b) con la perpendicular (h) trazada hacia dicho lado, desde el punto de intersecci´on del lado opuesto a ´el, con

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Milton Favio Donaire Pe˜ na

la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales del cuadril´atero. B

P C M h N

A

D b

Figura 3.8: [ABCD] = b · h

´ Prueba METODO 1 B

S

P M

C

h

N

D

A b

33

Construimos el paralelogramo ABSD usando su cuadril´atero complementario de ABCD, como M es punto medio de la diagonal BD, entonces M ser´a el centro del paralelogramo ABSD. En el tri´angulo ACS se obtiene que la recta N M ser´a paralela a la recta SC; es decir, al final la prueba de este teorema se reduce al teorema 1 ya demostrado. ´ Prueba METODO 2 (Caso 1) B

B

P

P

C

C

M

M

h

h N

N

A

D

A

b

Usando regiones equivalentes [ABCD] = 2[BCDN ] [ABCD] = 2[AP D] = bh.

D b



34

Milton Favio Donaire Pe˜ na

Prueba (Caso 2) B C P

M

h

N

A

D

b

[ABCD]/2 = [BCDN ] = [BN P ] + [N P D] − [ D] = [BN P ] + [N ] + [N P D] − [ D] − [N ] = [N P D] + [N ] + [N P D] − [ D] − [N ] = [N D] + [N P D] − [ D] − [N ] = [N CD] + [ D] + [N P D] − [ D] − [N ] = [AN D] + [N P D] − [N ] = [AN D] + [N P D] − [AN P ] = [AP D] = bh/2 Finalmente [ABCD] = bh

35

Cuando la regi´on a trabajar es una regi´on no convexa, el teorema sigue siendo igual de v´alido, la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales sigue intersecando a sus 4 lados, entonces se genera un tercer caso de la f´ormula; igual que en los casos anteriores, se puede tomar cualquier lado del cuadril´atero como base b para aplicar la f´ormula, y desde el punto de corte de la recta de Newton con el lado opuesto1 se trazar´ıa la perpendicular h a usar. B

M

P C N

h

A

D b

Figura 3.9: [ABCD] = b · h 1

Lados opuestos: aquellos que no comparten un mismo v´ertice

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Milton Favio Donaire Pe˜ na

Prueba (Caso 3) B

B

N

N

P

P

C

C M

M

A

D

h

A

D b

[ABCD] = 2[MBCD] = 2[APD] = bh

A continuaci´on podemos realizar una modificaci´on significativa en el c´alculo del a´rea de la regi´on cuadrangular en su forma no trigonom´etrica, ´esta ser´a como sigue: Teorema 4. El ´area de Cualquier regi´ on cuadrangular es igual al producto de las longitudes de uno de sus lados (b) con la perpendicular (h) trazada hacia dicho lado, desde el punto de intersecci´on del lado opuesto a ´el, con la recta que pasa por el punto medio

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de una de sus diagonales y el baricentro del cuadril´atero. B

B

P M

C G

G

P

h

M

C h

D A

A b

D b

Figura 3.10: [ABCD] = b · h

Definici´ on 5. Denominamos puntos de superficie de un cuadril´atero, a los puntos de intersecci´on de su recta de Newton, con cada uno de los lados del cuadril´ atero. Definici´ on 6. Denominamos perpendicular de superficie de un cuadril´ atero, a las perpendiculares trazadas desde los puntos de superficie hacia los lados opuestos a ellos.

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Milton Favio Donaire Pe˜ na

Esta forma de calcular el a´rea de una regi´on cuadrangular nos a permitido seguir buscando una mayor generalizaci´on, que de por s´ı ya est´a expresada en el enunciado del teorema 2, con ello se puede demostrar los resultados siguientes (G: Baricentro): B

B

m b

b

m

L G

E A

D

E

D

A

n

n C

C

h

h P

P

Figura 3.11: [ABE] − [ECD] = b · h

De lo anterior observamos que la f´ormula que estamos presentando en este cuadernillo se puede aplicar para una regi´on

39

cuadrangular cruzada2 pero en ese caso la formula nos arroja la diferencia de las a´reas de las regiones triangulares determinadas por el cuadril´atero cruzado, mas no la suma de las ´areas de dichas regiones. En la figura que sigue se muestra otro resultado de a´reas de regiones equivalentes: B

W Z

D

A C

Y

X

Figura 3.12: [ABY ] = [CDX] = [BCZ] = [ADW ] 2

Se denomina as´ı cuando el cuadril´ atero tiene lados que se intersecan

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Milton Favio Donaire Pe˜ na

Cada una de esas regiones triangulares tiene por a´rea la diferencia de las a´reas de las regiones triangulares determinadas por el cuadril´atero cruzado ABCD. Teorema 5. El ´area de cualquier regi´ on cuadrangular es igual al producto de las longitudes de uno de sus lados con la de la perpendicular hacia dicho lado, trazada desde el punto de corte del la recta que contiene al lado consecutivo a ´el con la recta que pasa por el punto medio de una diagonal y que es paralela a la otra diagonal. B

B C

C h h A

b

D

A

Figura 3.13: [ABCD] = b · h

b

D

41

En el siguiente gr´afico se aprecian las regiones triangulares determinadas que se relacionan con el teorema anterior, cada una de ellas de a´rea igual a la mitad del a´rea de la regi´on cuadrangular. B A A C C

D A C

Figura 3.14: [ABA00 ] = [BCC 00 ] = [DAA0 ] = [DCC 0 ]

Las perpendiculares de superficie determinadas por la recta de Newton tienen la misma longitud que las perpendiculares que se determinaron el teorema anterior, escogidas convenientemente.

42

Milton Favio Donaire Pe˜ na

h1 h2

h2

Figura 3.15: h1 = h2

NOTA La prueba del teorema 5, es bastante simple, si por B trazamos una recta paralela a la diagonal AC y que interseca a la recta DC en P , entonces se prueba r´apidamente que [ABCD] = [AP D], de all´ı la prueba se termina haciendo uso de la base media del tri´angulo de hipotenusa P D.

Cap´ıtulo 4 APLICACIONES En este cap´ıtulo presentamos algunos resultados que se pueden demostrar aplicando el teorema dado, pero que tambi´en se pueden obtener usando otros m´etodos. 4.1.

LADOS CONGRUENTES

Si en un cuadril´atero ABCD, M y N son puntos de superficie de los lados BC y AD respectivamente y BC = AD, entonces la recta de Newton determina ´angulos de igual medida con dichos lados. 43

44

Milton Favio Donaire Pe˜ na

B a M θ C

α A

D N

a

Figura 4.1: α = θ

Prueba

[BN C] = BC ·M N ·sin θ = [ABCD]/2 [AM D] = AD·M N ·sin α = [ABCD]/2 De all´ı se sigue que: (BC · M N ) sin θ = (AD · M N ) sin α como BC = AD, Entonces θ=α

45

NOTA En general, si las longitudes de los lados AD y BC fueran diferentes, se tendr´ıa el siguiente resultado: (BC · M N ) sin θ = (AD · M N ) sin α Si BC 6= AD entonces: sin θ AD = sin α BC 4.2.

LADOS CONGRUENTES

Si en un cuadril´atero ABCD, AB = BC = CD, y M es el punto de intersecci´ on de la recta de Newton del cuadri´ altero con el lado AD. Si M est´ a en la prolongaci´on del segmento DA entonces la perpendicular trazada por M hacia el lado BC es igual a la diferencia de las distancias desde dicho punto hacia los otros lados del cuadril´atero.

46

Milton Favio Donaire Pe˜ na M A

b D

x a

B

C

Figura 4.2: x = a − b

Prueba

El ´area de la regi´on cuadrangular ABCD se puede expresar como la diferencia entre las a´reas de las regiones M BCD y M BA [ABCD] = [BM C] + [CM D] − [BM A] x · BC a · CD b · AB x · BC = + − 2 2 2 Como AB = BC = CD Entonces: x=a−b

47

4.3.

CIRCULO INSCRITO D P C ha

r

A

Figura 4.3:

a

B

1 1 1 1 2 + + + = ha hb hc hd r

C´ alculo del inradio de un cuadril´ atero circunscrito, en funci´on de las perpendiculares de superficie1. Prueba

[ABCD] = a · ha = b · hb = c · hc = d · hd = ((a + b + c + d) · r)/2 1

Llamaremos as´ı a las perpendiculares trazadas desde el punto de intersecci´ on de la recta de Newton con los lados del cuadril´atero, hacia sus respectivos lados opuestos

48

Milton Favio Donaire Pe˜ na

1/ha = a/[ABCD] 1/hb = b/[ABCD] 1/hc = c/[ABCD] 1/hd = d/[ABCD] Sumando 1 1 1 a+b+c+d + + = ha hb hc [ABCD] y como [ABCD] = ((a+b+c+d)·r)/2 1 1 1 1 2 + + + = ha hb hc hd r 4.4.



´ DE DISTANCIAS RAZON

M y N son puntos medios de las diagonales AC y BD de un cuadril´ atero ABCD, P y Q son puntos medios de CM y BN Las rectas M N y AD

49

son secantes en G y las rectas P Q y M N se intersecan en S, entonces las distancias de G y S al lado BC est´ an en la relaci´on de 1:4

C B

P

a

b

Q

M S

A

N

D

G

Prueba

Sabemos que [ABCD] = 4[M N CB] b · BC = 4(a · BC) luego: b=4·a

50

Milton Favio Donaire Pe˜ na

´ BISECCION

4.5.

B

P C M

N

E A

F b

D b

Si CE // PD entonces: [ABPF] = [FD]

Si M y N son puntos medios de las diagonales de un cuadril´atero ABCD, y la recta M N interseca al lado BC en P , siendo la recta CE paralela a la recta P D, con E en la recta AD; si F es un punto en AD de modo que AF = DE, entonces [ABP F ] = [P F CD].

51

Prueba

[BP A] + [P CD] = [AP D] = [AP F ] + [F P D] = [DP E] + [F P D] = [DP C] + [F P D] = [F P CD]



Buscando en los archivos hist´oricos de geometr´ıa, se puede encontrar una publicaci´on del matem´atico s: Anne, Pierre L´eon (1806 - 1850), en esta publicaci´on ´el presenta un teorema que hace que el caso 1 de nuestro teorema del c´alculo del a´rea de un cuadril´atero sea un corolario de su teorema. 4.6.

´ LEON PIERRE ANNE

Dado un cuadril´atero, el lugar geom´etrico de todos los puntos tal que la suma de las ´areas de los tri´angulos determinados con dicho punto y dos lados opuestos es igual a la suma de las a´reas de los otros dos tri´angulos deter-

52

Milton Favio Donaire Pe˜ na

minados con los otros dos lados; es la l´ınea recta que pasa por los puntos medios de las diagonales 2. C B

M O

N

A

D

Prueba (Original)

Reproducimos la prueba original de L´eon Anne: Sea MN la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales; las perpendiculares bajadas desde los v´ertices del cuadril´atero sobre dicha recta son iguales dos a dos, se sigue que los tri´angulos 2

Puede leerse sobre este teorema en el F. G. M. (1912) Teorema 555 Problema 1613 (p´ ag 767), adem´ as se encuentra una generalizaci´ on para cualquier pol´ıgono en el libro Inducci´ on en la Geometr´ıa de Golovina y Yaglom (p´ ag 70) de la editorial MIR

53

con bases iguales sobre el segmento M N y con v´ertices en A y en C son equivalentes, lo mismo para los tri´angulos con v´ertices en B y en D. Entonces: [AOB] = [AM B] + [AOM ] + [BOM ] [DOC] = [DM C] - [COM ] - [DOM ] adem´as [AOM ] = [COM ] y [DOM ] = [BOM ] luego: [AOB] + [DOC] = [AM B] + [DM C] De la misma rorma: [AOD] = [AM D] + [DOM ] - [AOM ] [COB] = [CM B] - [BOM ] + [COM ] sumando: [AOD] + [COB] = [AM D] + [CM B] de los resultados obtenidos, queda demostrado que: [AOB] + [COD] = [AOD] + [COB] Prueba (Alternativa)

Se˜nalemos que el teorema de L´eon Anne, se puede demostrar tambi´en si parti-

54

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mos usando el teorema dado al inicio del art´ıculo. C

C B

B

S

S O

A

O

G

D

A

G

D

Siendo O un punto del segmento SG, entonces podremos encontrar regiones equivalentes que permiten la demostraci´on del teorema [AOB] + [DOC] = [AOB] +[COG] + [OGD] [AOB] + [DOC] = [AOB] +[AOG] + [OGB] [AOB] + [DOC] = [ABCD]/2 de all´ı se sigue que: [BOC] + [AOD] = [ABCD]/2 de donde se concluye que: [AOB] + [COD] = [AOD] + [COB]

55

4.7.

SUMA DE PRODUCTOS

Para todo punto S ubicado en la regi´ on interior de un cuadril´atero convexo y en la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales, se verifica que la suma de los productos de dos lados opuestos con sus respectivas distancias a ellos desde S, se mantiene constante: b

C

B

m

y

x a

M

c S N

n A

d

D

Figura 4.4: x · a + y · c = m · b + n · d

56

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Prueba

Del teorema de L´eon Anne, se sabe que para los tri´angulos con v´ertice en S, se cumple: [ASB] + [DSC] = [BSC] + [ASD] De all´ı se sigue que: x·a+y·c=m·b+n·d

4.8.



´ AREA

Si M y N son puntos medios de las diagonales de un cuadril´atero ABCD, P y Q puntos medios de las diagonales del cuadril´atero BM N C, y S el punto de superficie del lado M N del cuadril´ atero BM N C, entonces el ´area de la regi´ on ASD es igual a 3/2 del ´ area de la regi´on cuadrangular BM N C.

57

C B

P Q

M N

S

D

A Figura 4.5: [ASD] = 3 · [BM N C]/2

Prueba

m

C

B

P

a

4a

Q

M N

S

h A

b

D

G

58

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Sabemos que [BM N C] = 2[BSC] = a · m 2[BSC] + 2[ASD] = [ABCD] a · m + h · b = 4a · m entonces: h · b = 3a · m (h · b)/2 = 3(a · m)/2 [ASD] = 3 · [BM N C]/2 4.9.



SHARIGUIN

La recta que pasa por los puntos medios de las diagonales AC y BC del cuadril´ atero ABCD corta a los lados AB y DC respectivamente en los puntos M y N. Demostrar que [DCM ] = [ABN ].

59

C B

M

L

N K

D

A Figura 4.6: [DCM ] = [ABN ]

Prueba (Original)

Soluci´on original del libro de Shariguin (Problema II-37 p´ag. 72) Supongamos que K es el punto medio de DB y L es punto medio de AC [AN M ] = [CN M ] ya que AL = LC precisamente de esta manera: [BN M ] = [DN M ] de donde se deduce la afirmaci´on

60

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Prueba (Alternativa)

Tenemos un segundo m´etodo si aplicamos el teorema dado en este art´ıculo. [BN A] = [ABCD]/2 [DN C] = [ABCD]/2 de donde: [DCM ] = [ABN ]. 4.10.



´ AREA

La recta que pasa por los puntos medios de las diagonales AC y BD del cuadril´ atero ABCD interseca a los lados AB y DC respectivamente en los puntos M y N. Si L es punto medio del segmento M N entonces el ´area de la regi´ on ABL es igual a la cuarta parte del ´ area de la regi´on cuadrangular ABCD.

61

Prueba

La prueba es inmediata ya que el a´rea de la regi´on ABN es la mitad del ´area de la regi´on ABCD, y como el a´rea de la regi´on ABL es la mitad del ´area de ABN , entonces se sigue la demostraci´on de inmediato.

B C N

L M

D A Figura 4.7: [ABL] = [ABCD]/4

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Comentarios 1. Parte del teorema expuesto en este cuadernillo (para el caso del cuadril´atero convexo y cuando el punto de superficie3 est´a en un lado del cuadril´atero y no en sus prolongaciones), puede ser interpretado como un caso particular del teorema de L. Anne, es decir como un Corolario que se desprende del teorema de Anne, ello cuando se usa la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales. 2. Usando el teorema expuesto en este art´ıculo es posible r´apidamente demostrar el teorema de L´eon Anne. 3. El teorema presentado para el a´rea del cuadril´atero es general, de modo que una perpendicular de superficie puede o no estar en la regi´on cuadrangular. 3

Denominamos as´ı, en este art´ıculo, al punto de intersecci´on de la recta de Newton de un cuadril´ atero con alguna de las rectas que contienen a sus lados

63

4. El resultado mostrado en este art´ıculo es especialmente importante por su sencillez, por la forma en que se puede demostrar, y porque involucra al baricentro del cuadril´atero.

64

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Cap´ıtulo 5 PROBLEMAS 5.1.

Problema 1

Dado un cuadrado M BLD, A es un punto en la prolongaci´on de DM , Q es un punto de M L y C un punto en la prolongaci´on de AQ de modo que AQ = QC, la recta M L interseca al segmento BC en P . Si m∠LBC = θ y AD · BP = K. Calcule el a´rea de la regi´on ABCD. 65

66

Milton Favio Donaire Pe˜ na C P B

L

θ

Q

A

5.2.

M

D

Problema 2

P es un punto en la prolongaci´on del di´ametro BC de una semicircunferencia y Q un punto en dicha semicircunferencia, de modo que la medida del arco CQ es 37◦, se prolonga el segmento BQ, hasta el punto D, y se ubica el punto A, al mismo lado que D respecto de la recta BP , tal que m∠ABP = 90◦, y AB = BC = CD = 2 . Si [AP D] = S, calcule el ´area de la regi´on ABP D (considere la aproximaci´on tan 26, 5◦ = 1/2).

67 A D

Q

B

5.3.

C

P

Problema 3

C es un punto en la prolongaci´on del di´ametro AB de una semicircunferencia y N un punto en dicha semicircunferencia, se traza N H perpendicular a AB (H en AB) de modo que resulta AH = HC, luego se contruye el cuadrado HCDQ que pasa por N , S es otro punto de la semicircunferencia tal que los arcos SN y N B miden igual, adem´as las rectas N B y AS se intersecan en M y las rectas M Q y DC se intersecan en P . Conociendo que el a´rea de la regi´on AM P H es S. Calcule el a´rea de la regi´on trapecial HQDB.

68

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M Q

S

D

N P

A

5.4.

O

H

B

C

Problema 4

Dado un rect´angulo ABCD, y un cuadril´atero ADN M donde M est´a en AB, de modo que el segmento M N interseca en P al lado BC, y el segmento N D interseca en Q al lado BC. Si adem´as se sabe que la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales del cuadril´atero ADN M pasa tambi´en por P . Demuestre que: [M BP ] + [DCQ] = [QN P ].

69

N

B

P

Q

C

M

D

A

5.5.

Problema 5

Dado un cuadril´atero convexo ABCD donde la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales del cuadril´atero, interseca en M a DC, si el sim´etrico de D respecto de AM es el punto P ubicado en el segmento AB. Demuestre que [M P B] = [M CB].

70

Milton Favio Donaire Pe˜ na

B

P

C

M

A

5.6.

D

Problema 6

Dado un rect´angulo ABCD, Q es un punto de BC y P un punto de AD, de modo que AP = QC. N es un puntop de P Q y F un punto en la prolongaci´on de BN , si P Q ∩ AF = {M } y AM = M F siendo adem´as BM ∩ AN = {E}. Calcule la raz´on de las a´reas de las regiones [ABE] y [EN DM ].

71 Q

B

C

N E M A

P

F D

72

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Bibliograf´ıa [1] Eves, Howard, Estudio de Todas Las Geometr´ıas. Hispano. Americana: Mexico, 1969 ´re, Gabriel Marie, Exerci[2] Fre ses de Geom´etrie J. Gigord. Par´ıs: 1920 [3] L. I. Golovina, I. M. Yaglom, Inducci´on en la Geometr´ıa Ed. MIR. Mosc´u: 1976 [4] Donaire, M., Formas y N´ umeros - La geometr´ıa en las Olimp´ıadas de Matem´atica. Universidad de Ciencias y Humanidades. Per´u: 2010 [5] Jose Araujo, Guillermo Keilhauer, Norma Pietrocola, 73

74

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Valeri Vavilov, Area y Volumen en la Geometria Elemental. Ed. Red Ol´ımpica. Buenos Aires: 2000 ´ ngulos Cabri (2008 [6] Tria 2018), Problema 867. Espa˜na: 2018 http://personal.us.es/rbarroso/trian guloscabri/ [7] Coolidge, J. L., A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral. Amer. Math. Monthly 46, 345-347, 1939. [8] Regiomontanus, J. M., De Triangulis Omnimodis. 1464. [9] Carl B. Boyer, Historia de la Matem´atica. John Wiley - Sons, Traducci´on Ed. Alianza Editorial 1986. [10] Weisstein, Eric W., Bretschneider’s Formula. From MathWorld A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Bret schneidersFormula.html

[11] Titu Andreescu, Luis Gonzales, Cosmin Phoata, Newton y los puntos medios de las diagonales de un cuadril´ atero circunscrito. Web Resource. https://www.awesomemath.org/wppdf-files/math-reflections/mr-201401/newton and midpoints.pdf [12] Weisstein, Eric W., L´eon Anne’s Theorem. From MathWorld A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ LeonAnnesTheorem.html [13] I. Shariguin, Problemas de Geometr´ıa - Planimetr´ıa. Editorial Mir: URSS, 1989

Este cuadernillo se culmin´o, en su versi´on 18.8 el 30 de Julio del 2018 Lima - Per´u