Identitas Trigonometri 1h192x

“Om Guru Wendi Ferdintania”

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Seperti yang kita ketahui bahwa nilai dari perbandingan trigonometri suatu sudut saling terkait dengan sudut lainnya oleh karena itu suatu bentuk persamaan identitas trigonometri dapat diubah menjadi bentuk yang lebih sederhana atau diubah menjadi bentuk perbandingan trigonometri lainnya. Pada dasarnya jika pemahaman kita tentang identitas dasar telah kuat, maka soal-soal lanjutan yang tingkat kesulitannya lebih tinggi dapat kita selesaikan dengan mudah. Pada awalnya memang bentuk-bentuk persamaan trigonometri yang diberikan pada soal terkesan rumit dan membuat pusing, tapi percayalah bahwa dengan banyak berlatih dan terus berlatih, semua persoalan akan dapat diselesaikan. Berikut beberapa contoh soal lanjutan tentang identitas trigonometri.

Anggaplah Matematika Sebagai Teman ! | www.wendiferdintania.wordpress.com

1

“Om Guru Wendi Ferdintania”

Soal dan Jawaban Identitas Trigonometri 1. Sederhanakan bentuk trigonometri (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β). Pembahasan Dari pecahan (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β), sederhanakan masing-masing penyebut dan pembilangnya. 1 + cot2 β = cosec2 β ⇒ 1 + cot2 β = 1/sin2 β cot β . sec2 β = (cos β/ sinβ) . sec2 β ⇒ cot β . sec2 β = (cos β/ sin β).(1/cos2 β) ⇒ cot β . sec2 β = cos β / sin β.cos2 β

Setelah digabung kembali diperoleh : (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = (1/sin2 β) / (cos β / sinβ.cos2 β) ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = (1/sin2 β) . (sin β.cos2 β / cos β) ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = sin β.cos2 β / sin2 β.cos β ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cos β / sin β ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cot β Jadi, (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cot β. 2. Tentukan nilai dari (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α. Pembahasan Karena keterbatasan ruang dan pengkodean, jadi soal di atas dikerjakan masingmasing agar tidak terlalu panjang. (sin α - cos α)2 = sin2 α - 2 sin α. cos α + cos2 α ⇒ (sin α - cos α)2 = sin2 α + cos2 α - 2 sin α. cos α ⇒ (sin α - cos α)2 = 1 - 2 sin α. cos α

Anggaplah Matematika Sebagai Teman ! | www.wendiferdintania.wordpress.com

2

“Om Guru Wendi Ferdintania”

Selanjutnya : (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1 - 2 sin α. cos α + 2 sin α cos α ⇒ (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1 Jadi, (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1. 3. Buktikan bahwa sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α. Pembahasan sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α ⇒ sec2 α (sec2 α - 1) = tan2 α (tan2 α + 1) ⇒ sec2 α (tan2 α) = tan2 α (sec2 α) ⇒ sec2 α . tan2 α = sec2 α . tan2 α Jadi, sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α = sec2 α . tan2 α. Terbukti.

4. Nyatakan setiap bentuk berikut ke dalam faktor-faktor yang paling sederhana. a. 1 - cos2 β b. sin2 α - cos2 α c. tan2 α – 1 d. sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α

Pembahasan a. 1 - cos2 β Dari identitas sin2 β + cos2 β = 1, maka diperoleh : ⇒ 1 - cos2 β = sin2 β Jadi, 1 - cos2 β = sin2 β. b. sin2 α - cos2 α Dari identitas sin2 α + cos2 α = 1, maka sin2 α = 1 - cos2 α. ⇒ sin2 α - cos2 α = 1 - cos2 α - cos2 α Anggaplah Matematika Sebagai Teman ! | www.wendiferdintania.wordpress.com

3

“Om Guru Wendi Ferdintania”

⇒ sin2 α - cos2 α = 1 - 2 cos2 α Karena 2 cos2 α - 1 = cos 2α, maka 1 - 2 cos2 α = - cos 2α. ⇒ sin2 α - cos2 α = -cos 2α Jadi, sin2 α - cos2 α = -cos 2α. c. tan2 α - 1 Dari identitas 1 + tan2 α = sec2 α, maka tan2 α = sec2 α – 1 ⇒ tan2 α - 1 = sec2 α - 1 – 1 ⇒ tan2 α - 1 = sec2 α - 2 d. sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = sin2 α + cos2 α - 2 sin α cos α ⇒ sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = 1 - 2 sin α cos α ⇒ sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = 1 - sin 2α Jadi, sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = 1 - sin 2α .

5. Buktikan tiap identitas trigonometri berikut. a. 1/3 sin2 α + 1/3 cos2 α = 1/3 b. 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α c. 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α

Pembahasan a. 1/3 sin2 α + 1/3 cos2 α = 1/3 ⇒ 1/3 (sin2 α + cos2 α) = 1/3 ⇒ 1/3 (1) = 1/3 ⇒ 1/3 = 1/3 Terbukti.

Anggaplah Matematika Sebagai Teman ! | www.wendiferdintania.wordpress.com

4

“Om Guru Wendi Ferdintania”

b. 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α Ingat bahwa sin2 α + cos2 α = 1, maka 3 sin2 α + 3 cos2 α = 3. Dari 3 sin2 α + 3 cos2 α = 3, maka 3 cos2 α = 3 - 3 sin2 α. ⇒ 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α ⇒ 3 - 3 sin2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α ⇒ 1 - 3 sin2 α = 1 - 3 sin2 α. Terbukti. c. 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α Dari 5 sin2 α + 5 cos2 α = 5, maka 5 sin2 α = 5 - 5 cos2 α. ⇒ 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α ⇒ 3 + 5 - 5 cos2 α = 8 - 5 cos2 α ⇒ 8 - 5 cos2 α = 8 - 5 cos2 α. Terbukti.

Anggaplah Matematika Sebagai Teman ! | www.wendiferdintania.wordpress.com

5