IDENTITAS TRIGONOMETRI 1. Rumus – rumus yang perlu dipahami: a. Rumus Dasar yang merupakan Kebalikan 1 sin α 1 •sec α = cos α 1 •cot α = tan α •cos ec α =
b. Rumus Dasar yang merupakan hubungan perbandingan sin α cos α cos α ∗ cot α = sin α ∗ tan α =
c. Rumus Dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras ⊗Cos 2α + Sin 2α = 1 ⊗1 + tan 2 α = sec 2 α ⊗1 + Cot 2α = Co sec 2 α
Contoh 1 Buktikan identitas berikut: a. Sin α . Cos α . Tan α = (1 – Cos α) (1 + Cos α) Jawab: Ruas kiri = Sin α . Cos α . Tan α Sin α = Sin α . Cos α . Cos α = Sin2 α = 1 – Cos2 α = (1 – Cos α) (1 + Cos α) = Ruas Kanan Terbukti! b. Sin β . Tan β + Cos β = Sec β Jawab: Ruas Kiri = Sin β . Tan β + Cos β Sin β = Sin β . Cos β + Cos β Sin 2 β Cos 2 β + Cos β Cos β 1 = Cos β =Sec β = Ruas Kanan Terbukti
=
2. Persamaan Trigonometri a. Persamaan Trigonometri Sederhana
•
Jika Sin x = Sin α X1 = α + k . 360o X2 = (180o – α) + k . 360o • Jika Cos x = Cos α X1 = α + k . 360o X2 = - α + k . 360o • Jika Tan x = Tan α X = α + k . 180o K Є bilangan bulat Contoh 2 Tentukan himpunan Penyelesaian dari Persamaan Sin x =
1 , 0o ≤ x ≤ 360o 2
Jawab: Sin x =
1 2
Sin x = Sin 30o x = 30o + k . 360o untuk k= 1 ↔x = 30o untuk k = 2 ↔ x = (180o – 30o) + k . 360o = 150o o o HP:{30 , 150 } b. Persamaan Trigonometri dalam bentuk a cos x + b sin x = c Cara penyelesaian persamaan tersebut di atas sebagai berikut: k Cos x (x - α) = c dengan k = a2 +b2 α = arc tan
b a
dan syarat supaya penylesaian ada yaitu c2 ≤ a2 + b2 Contoh 3 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan: Cos y – Sin y = 1, jika 0o ≤ y ≤ 360o Jawab: Cos y – Sin y = 1 ↔ a = 1; b = - 1 ; c = 1 2 Sehingga diperoleh k = a + b 2 = 12 + ( −1) 2 = 2 Tan α =
a 1 = = - 1 ↔ α dikuadran IV b −1
α = 315o jadi Cos y – Sin y = 1 ↔ 2 Cos (x – 315o) = 1
↔
Cos (x – 315o) =
1 2
2
Cos (x – 315o) = Cos 45o (x – 315o) = 45o + k . 360o x = 360o + k . 360o x = 360o o (x – 315 ) = - 45o + 360o x = 270o + k . 360o x = 270o o o HP:{270 , 360 } ↔ ↔ ↔ ↔ Atau