Flujo Traflujo-transitorio-entre-placas-paralelas-infinitasnsitorio Entre Placas Paralelas Infinitas Aldo Henry y4y6s

TEMA: FLUJO TRANSITORIO ENTRE PLACAS PARALELAS. Profesor: Dr. José Manuel Riesco Ávila Alumnos: Ing. Henry Luis López Rodríguez Ing. Aldo José Navarro Guerrero

Soluciones exactas a las ecuaciones de Navier-Stokes.

Flujo transitorio entre placas paralelas. Considere un fluido incompresible entre dos placas paralelas infinitas separadas una distancia h. Inicialmente (t < 0) ambas placas están en reposo. Determine el perfil de velocidad en el fluido para los siguientes casos: a) Para t ≥ 0, la placa superior se ponen en movimiento con una velocidad constante U0. b) Para t ≥ 0, ambas placas se ponen en movimiento con una velocidad constante U0. c) Para t ≥ 0, se aplica un gradiente de presión constante y uniforme al fluido. Muestre el perfil de velocidad para varios valores de t. U0

y

h

x

Consideraciones 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Flujo unidireccional en el eje de las x. Flujo incompresible. Placas paralelas infinitas. Flujo transitorio. Propiedades constantes en el tiempo. Inicialmente las placas y el fluido están en reposo Condiciones de no deslizamiento las fronteras entre las placas y el fluido.

Para a) Definimos las ecuaciones de Navier-Stokes. La ecuación de continuidad se puede reducir al saber que es un flujo incompresible, no hay cambio en la velocidad en la dirección y , y no hay cambio en la velocidad en la dirección z por lo que ecuación queda:

𝝏𝝆 𝝏𝒖 𝝏𝒗 𝝏𝒘 + + + = 𝟎 𝝏𝒕 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝒖 𝝏𝒙

= 𝟎

1

𝝏𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝑷 𝝏𝟐 𝒖 𝝏𝟐 𝒖 𝝏𝟐 𝒖 𝝆( + 𝒖 +𝒗 +𝒘 = − + 𝝆𝒈𝒙 + 𝝁 ( 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 ) 𝝏𝒕 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝒕 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛

𝝏𝒖 𝝏𝒕

𝝏𝟐 𝒖

𝝁 𝝆

= 𝝊 (𝝏𝒚𝟐 )

𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆 𝝊 = ( )

El fluido es incompresible por lo que no hay cambio de densidad con respecto al tiempo, la placa únicamente se mueve en la dirección de x a velocidad constantes por lo que no hay cambios en la velocidad 𝒗, 𝒘 en los ejes y y z respectivamente, tampoco hay gradientes de presión ni fuerzas de cuerpo en el eje x.

Definir condiciones iniciales y de frontera según el problema.

𝑢𝑥 = 𝑢0 ; 𝑢𝑥 = 0; 𝑢𝑥 = 0;

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = ℎ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 0

y

𝑡>0

y

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 0 ≤ 𝑦 ≤ ℎ

𝑡≥0 y

𝑡=0

De la ecuación diferencial parcial, se observa que se resuelve por separación de variables, las condiciones que se plantean no son homogéneas, ya que no tenemos una velocidad en el instante t = 0. Para resolver este problema planteamos que la velocidad en x depende de su velocidad en estado estacionario menos su velocidad en el estado transitorio (Principio de superposición) Tal que:

𝑢𝑥 = 𝑢𝑒 − 𝑢𝑡 (𝐼)

La velocidad en estado estacionario ya es muy conocida, y para el caso en el que la placa superior se mueve tenemos;

𝑦

𝑢𝑒 = 𝑢𝑜 (ℎ)

Sustituyendo 𝑢𝑒 en la ecuación (I) 𝑦 𝑢𝑥 = 𝑢𝑜 ( ) − 𝑢𝑡 ℎ 2

Ahora las condiciones iniciales y de frontera. Tenemos las nuevas condiciones frontera.

𝜕𝑢𝑡 𝜕 2 𝑢𝑡 =𝜐 2 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝑢𝑡 = 0;

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = ℎ

𝑢𝑡 = 0; 𝑦 𝑢𝑡 = 𝑢𝑜 ( ); ℎ

y

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 0

𝑡>0

y

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 0 ≤ 𝑦 ≤ ℎ

𝑡≥0 y

𝑡=0

Resolvemos por medio de separación de variable la ecuación deferencial. Se propone la solución 𝑢 como un producto de una función 𝑇 solo del tiempo y una función 𝑌solo de una posición. 𝜕𝑢 𝜕2𝑢 =𝜗 2 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝑢(𝑦, 𝑡) = 𝑇(𝑡). 𝑌(𝑦) Derivamos la solución con respecto a 𝑦 y 𝑡 𝜕2𝑢 𝑑2 𝑌 = 𝑇 𝜕𝑦 2 𝑑𝑦 2 𝜕𝑢 𝑑𝑢 =𝑌 𝜕𝑡 𝑑𝑡 Sustituyendo las dos ecuaciones anteriores en la ecuación diferencial: 1 𝑑𝑇 1 𝑑2 𝑌 =𝜗 𝑇 𝑑𝑡 𝑌 𝑑𝑦 2 Podemos igualar las dos ecuaciones a una constante porque tanto del lado derecho como izquierdo solo dependen de una variable 𝑌̈ 1 𝑇̇ = = −𝜆2 𝑌 𝜗𝑇 Para la variable Y la ecuación diferencial es 𝑌̈ + 𝜆2 𝑌 = 0 La solución para Y 𝑌(𝑦) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜆𝑦) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑦) Aplicamos las condiciones de frontera para Y para encontrar las constantes A y B

3

𝑢(0, 𝑡) = 0 𝑌(𝑦 = 0) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜆0) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜆0) = 0 𝐵=0 𝑢(ℎ, 𝑡) = 0 𝑌(𝑦 = 𝑙) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜆𝑙) = 0 En esta condición A no puede dar un valor cero solución trivial por lo que el único que podemos darle valores para sea cero para 𝑠𝑖𝑛(𝜆ℎ) = 0 𝑠𝑖𝑛(𝜆ℎ) = 0 Para que valores de 𝜆ℎ = 𝑛𝜋, 𝑛 = 1,2,3 entonces 𝜆 =

𝑛𝜋 ℎ

𝑛𝜋 𝑌(𝑦) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 ( 𝑦) ℎ Para la variable T la ecuación diferencial es 𝑇̇ + 𝜗𝜆2 𝑇 = 0 La solución que se ajustamos a un comportamiento para el tiempo es 𝑇(𝑡) = 𝐶𝑒 −𝜗𝜆

2𝑡

Tenemos la solución que 𝑛𝜋 2 𝑛𝜋 −𝜗( ) 𝑡 ℎ 𝑢𝑡 = 𝐵𝑛 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑦) ∗ 𝐶𝑒 ℎ

Las constantes las podemos convertir en una sola en donde hay una sumatoria de todas soluciones para valores de n ∞

𝑛𝜋 2 𝑛𝜋 −𝜗( ) 𝑡 ℎ 𝑢𝑛𝑜𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 = ∑ 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑦) ∗ 𝑒 ℎ 𝑛=0

Para encontrar la constante de Fourier 𝐴𝑛 hacemos uso de la condición inicial 𝑢(𝑦, 0) =

𝑈𝑜 𝑦 ℎ

∞

𝑛𝜋 𝑈𝑜 ∑ 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑦) (1) = 𝑦 ℎ ℎ

𝑛=0

ℎ

𝑚𝜋 𝑦) 𝑑𝑦 ℎ

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el siguiente operador ∫0 𝑠𝑖𝑛 (

4

∞

∞

ℎ ℎ 𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝑈𝑜 𝑚𝜋 ∑ ∑ 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑦) ∫ 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑦) 𝑑𝑦 (1) = 𝑦 ∫ 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑦) 𝑑𝑦 ℎ ℎ ℎ ℎ 0 0

𝑚=0 𝑛=0

Para cumplir con la condición de ortogonalidad 𝑚 = 𝑛 ℎ ℎ 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝐴𝑛 ∫ sin2 ( 𝑦) = ∫ 𝑈0 sin ( 𝑦) ℎ ℎ 0 0 𝑦

Para ajustar límites 𝜉 = ℎ

∞

1

1

∫ 𝑢𝑜 (𝜉)𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝜉 𝑑𝜉 = ∑ 𝐴𝑛 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝜉 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝜉 𝑑𝜉 𝑜

𝑛=1

0

Aplicando (P.1) del lado derecho 1

𝑢𝑜 ∫ (𝜉)𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝜉 𝑑𝜉 = 𝑜

𝐴𝑛 2

Resolviendo la integral

1

∫ (𝜉)𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝜉 𝑑𝜉 = [− 𝑜

1 𝜉 cos 𝑛𝜋𝜉 1 + 2 2 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝜉 ] | 𝑛𝜋 𝑛 𝜋 0

Nótese, que al evaluar los límites la parte correspondiente a Sen 𝑘𝜋𝜉 siempre es 0 mientras que la parte cos 𝑘𝜋𝜉 oscila entre -1 y 1 por lo cual se multiplica por (−1)𝑛+1 para mantener el signo positivo. Por cual 𝐴𝑛 = (−1)𝑛+1

2𝑢𝑜 𝑛𝜋

La solución sería regresando a la variables original ∞

(−1)𝑛+1 −(𝑛𝜋)2 𝜐𝑡 𝑦 2𝑢𝑜 𝑛𝜋 𝑢𝑥 = 𝑢𝑜 ( ) − ∑ 𝑒 ℎ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ℎ 𝜋 𝑛 ℎ

(27)

𝑛=1

Para adimensionalizar. 𝑦

𝑦∗ = ℎ

𝑢

𝑢∗ = 𝑢𝑜𝑥

𝜐𝑡

𝑡 ∗ = ℎ2

5

∞

(−1)𝑛+1 −(𝑛𝜋)2 𝑡 ∗ 2 𝑢 =𝑦 − ∑ 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝑦 ∗ 𝜋 𝑛 ∗

∗

𝑛=1

6

Para b) Se necesita encontrar el movimiento en ambas placas, eso implica aplicar la metodología anterior para el caso cuando la placa superior está fija y la placa inferior está en movimiento. 𝝏𝒖 𝝏𝟐 𝒖 = 𝝊 ( 𝟐) 𝝏𝒕 𝝏𝒚

Definimos condiciones de frontera e iniciales para cuando la placa inferior se mueve

𝑢𝑥 = 0;

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = ℎ

y

𝑡>0

𝑢𝑥 = 𝑢𝑜;

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 0

y

𝑡≥0

𝑢𝑥 = 0;

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 0 ≤ 𝑦 ≤ ℎ

y

𝑡=0

Del mismo modo aplicamos el principio de superposición 𝑢𝑥 = 𝑢𝑒 − 𝑢𝑡 𝑦

Sin embargo nuestra velocidad en estado estacionario ya no es 𝑢𝑒 = 𝑢𝑜 (ℎ) que es cuando la placa superior se mueve, en éste caso tenemos 𝑦 𝑢𝑒 = 𝑢𝑜 (1 − ) ℎ Entonces 𝑦 𝑢𝑥 = 𝑢𝑜 (1 − ) − 𝑢𝑡 ℎ Y las nuevas condiciones de frontera serían 𝜕𝑢𝑡 𝜕 2 𝑢𝑡 =𝜐 2 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝑢𝑡 = 0;

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = ℎ

y

𝑡>0

𝑢𝑡 = 0;

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 0

y

𝑡≥0

𝑦 𝑢𝑡 = 𝑢𝑜 (1 − ); ℎ

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 0 ≤ 𝑦 ≤ ℎ

y

𝑡=0

Con estas condiciones ya podemos usar variables separables nuevamente. 𝑢𝑡 = 𝑌(𝑦) ∗ 𝑇(𝑡)

7

1 𝑇̇ 𝑌̈ = = −𝜆2 𝜐𝑇 𝑌 2 𝜐𝑡

𝑇(𝑡) = 𝐴 𝑒 −𝜆

𝑌(𝑦) = 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜆𝑦 + 𝐶 cos 𝜆𝑦 2 𝜐𝑡

𝑢𝑡 = 𝐴 𝑒 −𝜆

∗ [𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜆𝑦 + 𝐶 cos 𝜆𝑦]

Aplicando condiciones iniciales y de frontera de la misma forma que en el caso de placa superior en movimiento ∞

𝑛𝜋 2 𝜐𝑡

𝑢𝑡 = ∑ 𝛼𝑛 𝑒 −( ℎ )

∗ 𝑠𝑒𝑛

𝑛=1

𝑛𝜋 𝑦 ℎ

Para encontrar 𝛼𝑛 ∞

ℎ

ℎ 𝑦 𝑛𝜋𝑦 𝑛𝜋 𝑛𝜋𝑦 ∫ 𝑢𝑜 (1 − ) 𝑠𝑒𝑛 𝑑𝑦 = ∑ 𝛼𝑛 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑑𝑦 ℎ ℎ ℎ ℎ 𝑜 0 𝑛=1

𝑦

Para ajustar límites 𝜉 =

ℎ ∞

1

1

∫ 𝑢𝑜 (1 − 𝜉)𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝜉 𝑑𝜉 = ∑ 𝛼𝑛 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝜉 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝜉 𝑑𝜉 𝑜

𝑛=1

0

Aplicando (P.1) del lado derecho 1

𝑢𝑜 ∫ (1 − 𝜉)𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝜉 𝑑𝜉 = 𝑜

𝛼𝑛 2

Resolviendo la integral 1

∫ (1 − 𝜉)𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝜉 𝑑𝜉 = [− 𝑜

1 1 − 𝜉 cos 𝑛𝜋𝜉 1 + 2 2 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝜉 ] | 𝑛𝜋 𝑛 𝜋 0

Aquí los límites no llevan a una solución única. 𝛼𝑛 =

2𝑢𝑜 𝑛𝜋 8

Entonces ∞

𝑛𝜋 2 𝑦 2𝑢𝑜 1 𝑛𝜋 𝑢𝑥 = 𝑢𝑜 (1 − ) − ∑ 𝑒 −( ℎ ) 𝜐𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ℎ 𝜋 𝑛 ℎ 𝑛=1

Para adimensionalizar. 𝑦

𝑦∗ = ℎ

𝑢

𝜐𝑡

𝑢∗ = 𝑢𝑜𝑥

𝑡 ∗ = ℎ2 ∞

2 1 2 ∗ 𝑢 = 1 − 𝑦 − ∑ 𝑒 −(𝑛𝜋) 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝑦 ∗ 𝜋 𝑛 ∗

∗

𝑛=1

9

El resultado buscado es la suma de los soluciones. ∞

∞

(−1)𝑛+1 −(𝑛𝜋)2 𝜐𝑡 𝑦 2𝑢𝑜 1 −(𝑛𝜋)2 𝜐𝑡 𝑛𝜋 𝑦 2𝑢𝑜 𝑛𝜋 ℎ 𝑢𝑥 = 𝑢𝑜 (1 − ) − ∑ 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑢𝑜 ( ) − ∑ 𝑒 ℎ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ℎ 𝜋 𝑛 ℎ ℎ 𝜋 𝑛 ℎ 𝑛=1

𝑛=1

∞

4𝑢𝑜 1 + (−1)𝑛+1 −(𝑛𝜋)2 𝜐𝑡 𝑛𝜋 𝑢𝑥 = 𝑢𝑜 − ∑ 𝑒 ℎ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝜋 𝑛 ℎ 𝑛=1

Adimensionalizado ∞

4 1 + (−1)𝑛+1 −(𝑛𝜋)2 𝑡 ∗ 𝑢 =1 − ∑ 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝑦 ∗ 𝜋 𝑛 ∗

∗

𝑛=1

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Para c) Tenemos la configuración de la placa superior en movimiento y la presencia de un gradiente de presión constante e uniforme Reduciendo términos la ecuación de Navier-Stokes nos queda de la siguiente manera (

𝜕𝑢 1 𝜕𝑃 𝜕2𝑢 )=− ( )+𝜗 2 𝜕𝑡 𝜌 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Usando el principio de superposición podemos separar los problemas en dos soluciones separadas como se observa a continuación 𝑈0

Fija +

𝑙 Fija

𝜕𝑃 𝜕𝑥

𝑙

Fija

Tenemos que la solución es una solución no estacionaria con placa superior moviéndose y una solución no transitoria con placas fijas con la presencia de un gradiente de presión constante e uniforme. La configuración que solucionaremos aquí es la de las placas fijas con gradiente de presión la otra ya fue resuelta anteriormente. 𝑦 𝜕𝑃 𝜕𝑥

Fija 𝑥

ℎ Fija

Aplicando la ecuación de cantidad de movimiento y reduciendo términos tenemos la siguiente ecuación diferencial.

𝜕𝑃 𝜕𝑥

=𝑏 𝜕𝑢 𝑏 𝜕2𝑢 =− +𝜗 2 𝜕𝑡 𝜌 𝜕𝑦

Para la solución de la ecuación diferencial se propone una solución particular y homogénea 𝑢(𝑦, 𝑡) = 𝜑(𝑦, 𝑡) + ∅(𝑦)

Hacemos un cambio de variable 𝜕2𝜑 𝜕2∅ 𝑏 1 𝜕𝜑 + 2− = 2 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜌𝜗 𝜗 𝜕𝑡

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Separamos las variables de la siguiente manera y tenemos dos soluciones

𝜕 2 𝜑 1 𝜕𝜑 = 𝜕𝑦 2 𝜗 𝜕𝑡 y 𝜕2∅ 𝑏 − 𝜕𝑦 2 𝜌𝜗 Debemos hacer un arreglo para las condiciones de frontera y inicial 𝑢(0, 𝑡) = 0 = 𝜑(0, 𝑡) + ∅(0) = 0 𝑢(ℎ, 𝑡) = 0 = 𝜑(ℎ, 𝑡) + ∅(ℎ) = 0 𝑢(𝑦, 0) = 0 = 𝜑(𝑦, 0) + ∅(𝑦) = 0 Solucionamos esta ecuación de manera directa 𝑑2 ∅ 𝑏 − 𝑑𝑦 2 𝜌𝜗 ∅(𝑦) =

𝑏 2 𝑦 + 𝐶1 ∗ 𝑦 + 𝐶2 2𝜌𝜗

Con las condiciones de frontera encontramos las constantes ∅(0) = 0 ∅(0) =

𝑏 2 0 + 𝐶1 ∗ 0 + 𝐶2 2𝜌𝜗

𝐶2 = 0 ∅(ℎ) = 0 ∅(0) =

𝑏 2 ℎ + 𝐶1 ∗ ℎ 2𝜌𝜗

𝐶1 = −

𝑏 𝑙 2𝜌𝜗

Reemplazamos las constantes ∅(𝑦) =

𝑏 (𝑦 2 − ℎ𝑦) 2𝜌𝜗 12

La segunda ecuación diferencial 𝜕 2 𝜑 1 𝜕𝜑 = 𝜕𝑦 2 𝜗 𝜕𝑡 Resolvemos por medio de separación de variable la ecuación deferencial. Se propone la solución 𝑢 como un producto de una función 𝑇 solo del tiempo y una función 𝑌solo de una posición. 𝜕𝜑 𝜕2𝜑 =𝜗 2 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜑(𝑦, 𝑡) = 𝑇(𝑡). 𝑌(𝑦) Derivamos la solución con respecto a 𝑦 y 𝑡 𝜕2𝜑 𝑑2 𝜑 = 𝑇 𝜕𝑦 2 𝑑𝑦 2 𝜕𝜑 𝑑𝜑 =𝑌 𝜕𝑡 𝑑𝑡 Sustituyendo las dos ecuaciones anteriores en la ecuación diferencial: 1 𝑑𝑇 1 𝑑2 𝑌 =𝜗 𝑇 𝑑𝑡 𝑌 𝑑𝑦 2 Podemos igualar las dos ecuaciones a una constante porque tanto del lado derecho como izquierdo solo dependen de una variable 𝑌̈ 1 𝑇̇ = = −𝜆2 𝑌 𝜗𝑇 Para la variable Y la ecuación diferencial es 𝑌̈ + 𝜆2 𝑌 = 0 La solución para Y 𝑌(𝑦) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜆𝑦) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑦) Aplicamos las condiciones de frontera para Y para encontrar las constantes A y B 𝜑(0, 𝑡) = 0 𝑌(𝑦 = 0) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜆0) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜆0) = 0 𝐵=0

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𝜑(ℎ, 𝑡) = 0 𝑌(𝑦 = ℎ) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜆ℎ) = 0 En esta condición A no puede dar un valor cero solución trivial por lo que el único que podemos darle valores para sea cero para 𝑠𝑖𝑛(𝜆ℎ) = 0 𝑠𝑖𝑛(𝜆ℎ) = 0 Para que valores de 𝜆ℎ = 𝑛𝜋, 𝑛 = 1,2,3 entonces 𝜆 =

𝑛𝜋 ℎ

𝑛𝜋 𝑌(𝑦) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 ( 𝑦) ℎ Para la variable T la ecuación diferencial es 𝑇̇ + 𝜗𝜆2 𝑇 = 0 La solución que se ajustamos a un comportamiento para el tiempo es 𝑇(𝑡) = 𝐶𝑒 −𝜗𝜆

2𝑡

Tenemos la solución que 𝑛𝜋 2 𝑛𝜋 −𝜗( ) 𝑡 ℎ 𝜑 = 𝐵𝑛 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑦) ∗ 𝐶𝑒 ℎ

Las constantes las podemos convertir en una sola en donde hay una sumatoria de todas soluciones para valores de n ∞

𝑛𝜋 2 𝑛𝜋 −𝜗( ) 𝑡 ℎ 𝜑 = ∑ 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑦) ∗ 𝑒 ℎ 𝑛=0

Para encontrar la constante de Fourier 𝐴𝑛 hacemos uso de la condición inicial 𝜑(𝑦, 0) = −∅(𝑦) = −

𝑏 (𝑦 2 − ℎ𝑦) 2𝜌𝜗

∞

𝑛𝜋 𝑏 ∑ 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑦) (1) = (𝑦 2 − ℎ𝑦) ℎ 2𝜌𝜗

𝑛=0

ℎ

𝑚𝜋 𝑦) 𝑑𝑦 ℎ

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el siguiente operador ∫0 𝑠𝑖𝑛 ( ∞

∞

ℎ ℎ 𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝑏 𝑚𝜋 ∑ ∑ 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑦) ∫ 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑦) 𝑑𝑦 (1) = − (𝑦 2 − ℎ𝑦) ∫ 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑦) 𝑑𝑦 ℎ ℎ 2𝜌𝜗 ℎ 0 0

𝑚=0 𝑛=0

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Para cumplir con la condición de ortogonalidad 𝑚 = 𝑛

ℎ ℎ 𝑛𝜋 𝑏 𝑛𝜋 𝐴𝑛 ∫ sin2 ( 𝑦) 𝑑𝑦 = − ∫ (𝑦 2 − ℎ𝑦)sin ( 𝑦) 𝑑𝑦 ℎ ℎ 0 0 2𝜌𝜗

𝐴𝑛 =

2 ℎ3 (−2 + 2 cos(𝑛 𝜋) + 𝑛 𝜋 sin(𝑛 𝜋)) ∗ −( ) ℎ 𝑛3 𝜋 3

∞

𝑛𝜋 2 2 ℎ3 (−2 + 2 cos(𝑛 𝜋) + 𝑛 𝜋 sin(𝑛 𝜋)) 𝑛𝜋 −𝜗( ) 𝑡 ℎ 𝜑(𝑦, 𝑡) = ∗ ∑ [− ( 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑦) 𝑒 )] 3 3 ℎ 𝑛 𝜋 ℎ 𝑛=1

La solución para la configuración es 𝑢(𝑦, 𝑡) = 𝜑(𝑦, 𝑡) + ∅(𝑦)

∞

𝑛𝜋 2 2 ℎ3 (−2 + 2 cos(𝑛 𝜋) + 𝑛 𝜋 sin(𝑛 𝜋)) 𝑛𝜋 𝑏 −𝜗( ) 𝑡 ℎ 𝑢(𝑦, 𝑡) = ∗ ∑ [− ( 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑦) 𝑒 + (𝑦 2 − ℎ𝑦) )] ℎ 𝑛3 𝜋 3 ℎ 2𝜌𝜗 𝑛=1

La solución general paras las dos condiciones tenemos que

𝑢(𝑦, 𝑡) = 𝑢(𝑦, 𝑡)𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑚𝑜𝑣 + 𝑢(𝑦, 𝑡)𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎𝑠 𝑓𝑖𝑗𝑎𝑠−𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛

∞

(−1)𝑛+1 −(𝑛𝜋)2 𝜐𝑡 𝑦 2𝑢𝑜 𝑛𝜋 𝑢(𝑦, 𝑡) = 𝑢𝑜 ( ) − ∑ 𝑒 ℎ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ℎ 𝜋 𝑛 ℎ 𝑛=1

∞

𝑛𝜋 2 2 ℎ3 (−2 + 2 cos(𝑛 𝜋) + 𝑛 𝜋 sin(𝑛 𝜋)) 𝑛𝜋 𝑏 −𝜗( ) 𝑡 ℎ + ∗ ∑ [− ( 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑦) 𝑒 + (𝑦 2 − ℎ𝑦) )] 3 3 ℎ 𝑛 𝜋 ℎ 2𝜌𝜗 𝑛=1

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Grafica

Fuente. Artículo. Analytical solution for transient onedimensional couette flow considering constant and time-dependent pressure gradients .

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS



Panton, R.L. (1984). Incompressible Flow . Austin, Texas, U.S.A.: Jon Wiley & Sons, Inc.



White F.M. (1991). Viscous Fluid Flow. (2da Ed.) Rhode Island: McGraw-Hill



Papanastasious T.C. Georgiu G.C. Alexandrous A.N. (2000) Viscous Fluid Flow. Recuperado el 27 de Octubre de 2015 de http://iate.oac.uncor.edu/~manuel/libros/Fluid%20Mechanics/Viscous%20Fluid%20Flow%20%20Papanastasiou,Georgiou.pdf



Mendiburu A.A. Carrocci L.R. Carlvaho J.A. (2009) Analytical solution for transient onedimensional couette flow considering constant and time-dependent pressure gradients [Engenharia Térmica (Thermal Engineering), Vol. 8 • No 02] Guaratinguetá, SP, Brazi. Recuperado el 27 de Octubre de 2015 http://demec.ufpr.br/reterm/ed_ant/16/artigo/ciencia/13_190.pdf

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