Experimentos Deterministas r1p3g

Experimentos deterministas Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Ejemplo Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la pelota bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará. Experimentos aleatorios S o n a q u e l l o s e n l o s q u e n o s e p u e d e p r e d e c i r e l r e s u l t a d o , ya q u e é s t e d e p e n d e d e l a z a r . Ejemplos Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz. Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener. Teoría de probabilidades La t e o r í a d e p r o b a b i l i d a d e s s e o c u p a d e a s i g n a r u n c i e r t o n ú m e r o a c a d a p o s i b l e resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones: Suceso Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Al lanzar una moneda salga cara. Al lanzar un DADO se obtenga 4. Espacio muestral Es

el

conjunto

de

todos

los

posibles

resultados

representaremos por E (o bien por la letra griega Ω). Espacio muestral de una moneda:

de

una

experiencia

aleatoria,

lo

E = {C, X}. Espacio muestral de un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Suceso aleatorio Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5. Ejemplo Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular: 1. El espacio muestral. E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)} 2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}. B = {(b,b,b); (n, n,n)} 3. El suceso A = {extraer al menos una bola blanca}. B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)} 4. El suceso A = {extraer una sola bola negra}. A = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)} Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos aleatorios.

Suceso elemental Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5. Suceso compuesto Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3. Suceso seguro Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral). Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7. Suceso imposible

Suceso imposible,

, es el que no tiene ningún elemento.

Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7. Sucesos compatibles Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común. Sucesos incompatibles Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

Sucesos independientes Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve a f e c t a d a p o r q u e h a ya s u c e d i d o o n o B . Al lazar dos dados los resultados son independientes. Sucesos dependientes Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve a f e c t a d a p o r q u e h a ya s u c e d i d o o n o B . Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes. Suceso contrario El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota por . Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

Si tiramos una moneda el espacio se sucesos está formado por:

S= {

, {C}, {X}, {C,X}}.

Observamos que el primer elemento es el suceso imposible y el último el suceso seguro. Si E tiene un número finito de elementos, n, de elementos el número de sucesos de E es 2n Una moneda E= {C, X}. Número de sucesos = 22 =4 Dos monedas E= {(C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}. Número de sucesos = 24 =16 Un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Número de sucesos = 26 = 64

UNITAT 10 DE 1R Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral OMEGA un número real. S e u t i l i z a n l e t r a s m a yú s c u l a s X , Y , . . . p a r a d e s i g n a r v a r i a b l e s a l e a t o r i a s , y l a s r e s p e c t i v a s m i n ú s c u l a s ( x , y, . . . ) p a r a d e s i g n a r v a l o r e s c o n c r e t o s d e l a s m i s m a s . Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros. Ejemplos El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado. Variable aleatoria continua Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. Ejemplos La a l t u r a d e l o s a l u m n o s d e u n a c l a s e , l a s h o r a s d e d u r a c i ó n d e u n a p i l a .

Función de probabilidad Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicación que asocia a cada valor de xi de la variable su probabilidad pi. 0 ≤ pi ≤ 1 p1 + p2 + p3 + · · · + pn = Σ pi = 1 Ejemplo Calcular la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.

x

P

i

1

2

3

4

5

6

1 Representación La r e p r e s e n t a c i ó n d e u n a d i s t r i b u c i ó n d i s c r e t a d e p r o b a b i l i d a d e s u n d i a g r a m a d e

barras.

S e a X u n a v a r i a b l e a l e a t o r i a d i s c r e t a c u yo s v a l o r e s s u p o n e m o s o r d e n a d o s d e m e n o r a m a yo r . Ll a m a r e m o s f u n c i ó n d e d i s t r i b u c i ó n d e l a v a r i a b l e X , y e s c r i b i r e m o s F ( x ) a l a función F(x) = p(X ≤ x) La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor. Ejemplo Calcular la función de distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.

X x <1

p 0

1≤ x < 2 2≤ x < 3 3≤ x < 4 4≤ x < 5 5≤ x < 6 6≤ x

1

i

R e p r e s e n t a c i ó n La r e p r e s e n t a c i ó n d e u n f u n c i ó n d e d i s t r i b u c i ó n d e p r o b a b i l i d a d e s u n a

gráfica escalonada.

Esperanza matemática o media

Varianza

Desviación típica

Ejemplo Calcular la esperanza matemática, la varianza, y la desviación típica , de la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.

x 1 2

p

i

x· p

i

x

2

·pi

3 4 5 6

1

6

Un experimento sigue el modelo de la distribución binomial o de Bernoulli si: 1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario

.

2 . La p r o b a b i l i d a d d e l s u c e s o A e s c o n s t a n t e , e s d e c i r , q u e n o v a r í a d e u n a p r u e b a a o t r a . Se representa por p. 3.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

Variable aleatoria binomial La v a r i a b l e a l e a t o r i a b i n o m i a l , X , e x p r e s a e l n ú m e r o d e é x i t o s o b t e n i d o s e n c a d a p r u e b a del experimento. La v a r i a b l e b i n o m i a l e s u n a v a r i a b l e a l e a t o r i a d i s c r e t a , s ó l o p u e d e t o m a r l o s v a l o r e s 0 , 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Ejemplo k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras. Distribución binomial La d i s t r i b u c i ó n b i n o m i a l s e s u e l e r e p r e s e n t a r p o r B ( n , p ) . n es el número de pruebas de que consta el experimento. p es la probabilidad de éxito.

La p r o b a b i l i d a d d e

es 1− p, y la representamos por q.

La f u n c i ó n d e p r o b a b i l i d a d d e l a d i s t r i b u c i ó n b i n o m i a l , t a m b i é n d e n o m i n a d a f u n c i ó n d e la distribución de Bernoulli, es:

n es el número de pruebas. k es el número de éxitos. p es la probabilidad de éxito. q es la probabilidad de fracaso.

El número combinatorio Ejemplo La ú l t i m a n o v e l a d e u n a u t o r h a t e n i d o u n g r a n é x i t o , h a s t a e l p u n t o d e q u e e l 8 0 % d e l o s l e c t o r e s ya l a h a n l e i d o . U n g r u p o d e 4 a m i g o s s o n a f i c i o n a d o s a l a l e c t u r a : 1 . ¿ C u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e e l g r u p o h a ya n l e i d o l a n o v e l a 2 p e r s o n a s ? n = 4 p = 0.8 q = 0.2 B(4, 0.2)

2.¿Y al menos 2?

Media

Varianza

Desviación típica

Ejemplo La p r o b a b i l i d a d d e q u e u n a r t í c u l o p r o d u c i d o p o r u n a f a b r i c a s e a d e f e c t u o s o e s p 0 . 0 0 2 . S e envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.