Examen Microeconomia 2 Resuelto x4132

Microeconom´ıa I: Grupo u ´ nico. Doble Grado EcoMatEst. Examen 2, 13 de Mayo, 2016

Instrucciones N´ umero de ejercicios: 5, M´axima puntuaci´on: 10, Tiempo: 90’. La puntuaci´on indicada en cada ejercicio es orientativa, responda algo en TODOS los ejercicios, aunque la respuesta sea incompleta en algunos. Responda debajo de cada pregunta. No desgrape las hojas ni use papel adicional. Las soluciones se publicar´an en el Campus Virtual. Entregar este examen NO IMPLICA presentarse a la pr´oxima convocatoria.

Apellidos, Nombre: DNI (opcional, pero recomendado): 1. [2 puntos] Considere una econom´ıa de intercambio puro con bienes, x1 y x2 , y dos consumidores, A y B, cuyas preferencias vienen dadas por las funciones de utilidad ui (x1 , x2 ) = x1 + αi ln(x2 + 1), siendo αA = 31 y αB = 32 para A y B, respectivamente. En la econom´ıa existe una unidad de cada bien. En el reparto inicial el consumidor A posee todo el bien x1 y el consumidor B posee todo el bien x2 . Se pide: (a) Obtenga la funci´on de exceso de demanda agregada de bien x2 , denominada durante el curso z2 . (b) Obtenga, si existe, el ratio de precios de equilibrio competitivo y las cantidades consumidas en equilibrio.

Solution: Las soluciones que se presentan tienen finalidad pedag´ ogica. En ocasiones puede omitirse una parte de la respuesta y/o contener informaci´ on no solicitada en la pregunta. (a) Ambos consumidores tienen preferencias convexas y no saciadas localmente (cuasilienales). Por tanto, en ambos casos las funciones de demanda se obtienen de: RM Sxx12 =

p1 p2

p 1 x1 + p 2 x2 = m

Obtengamos RM Sxx12 . Partimos de x1 + αi ln(x2 + 1) = k 1

Despejando x2 tenemos x2 = e αi

(k−x1 )

− 1. Luego

RM Sxx12 = |x02 | =

1 1 (k−x1 ) 1 eα = (x2 + 1) αi αi

donde en la u ´ltima igualdad (despu´es de derivar) hemos sustituido k por su valor. De donde p1 p1 RM Sxx12 = → x∗2,i = αi − 1 p2 p2 Y por tanto z2 = x∗2,A + x∗2,B − 1 = (αA + αB )

p1 p1 −3= −3 p2 p2

(b) Claramente z2 = 0 ⇐⇒ pp12 = 3. Dado que se cumple la Ley de Walras (hay no saciaci´on local), el anterior ratio de precios tambi´en garantiza z1 = 0 y por tanto es un ratio de precios de equilibrio. Las cantidades consumidas de bien x2 en equilibrio se obtienen de sustituir en la demanda. Teniendo en cuenta los valores de αA y αB , tenemos x∗2,A = αA

p1 − 1 = 0; p2

x∗2,B = αB

p1 −1=1 p2

Adem´as, tenemos p1 x∗1,i

+

p2 x∗2,i

mi p1 ∗ 1 x1,i = − x∗2,i ⇐⇒ x∗1,i = = mi ⇐⇒ p2 p2 3



mi − x∗2,i p2



donde hemos usado que p1 /p2 = 3. Tenemos adem´as que mA /p2 = p1 /p2 = 3 y mB /p2 = 1. Sustituyendo en la expresi´on anterior queda x∗1,A = 1 y x∗1,B = 0. Por tanto, las dotaciones iniciales constituyen una asignaci´on de equilibrio competitivo.

2. [2 puntos] Para la econom´ıa descrita en el ejercicio 1 se pide: (a) Escriba las ecuaciones algebraicas que caracterizan la curva de contrato de la econom´ıa. (b) Resuelva las ecuaciones obtenidas en el apartado anterior. Relacione su soluci´on con el equilibrio (si existe) obtenido en el ejercicio 1.

Solution: (a) Dado que las preferencias son estrictamente convexas, la curva de contrato se caracteriza por RM Sxx12 |A = RM Sxx12 |B

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Sustituyendo las expresiones obtenidas en el ejercicio anterior, la anterior igualdad queda 1 1 (x2,A + 1) = (x2,B + 1) αA αB La anterior igualdad solamente determina el reparto de x2 entre ambos consumidores. Dado que la cantidad total de x2 es 1, en dicho reparto debe ocurrir x2,A + x2,B = 1 Las dos igualdades anteriores determinan la curva de contrato a pesar de que no especifican repartos de x1 . Dicho de otro modo, cualquier reparto de x2 que satisfaga estas igualdades junto con un reparto arbitrario de bien x1 es Optimo de Pareto. Esta es una propiedad general de las preferencias cuasi-lineales: si la utilidad de todos los consumidores es lineal en la misma variable, la curva de contrato solamente impone condiciones sobre el reparto de la variable en la que la utilidad no es lineal (tambi´en generaliza a I variables). (b) Usando αB /αA = 2, el u ´nico reparto de x2 que satisface las ecuaciones anteriores es x2,A = 0, x2,B = 1, es decir, que el consumidor B consuma todo el bien x2 . El equilibrio competitivo genera ese reparto en x2 , algo que podr´ıamos haber deducido a partir del primer teorema del bienestar: si las preferencias son no saciadas localmente, el equilibrio competitivo (si existe) es Optimo de Pareto.

3. [1 punto] Considere una econom´ıa de intercambio puro con dos consumidores, A y B, y dos bienes (o un bien, lo que sigue aplica para cualquier n´ umero de bienes). Denotamos una asignaci´on por un par (xA , xB ). Denotamos las funciones de utilidad UA y UB , para A y B, respectivamente, de modo que la asignaci´on (xA , xB ) genera las utilidades UA (xA ) y UB (xB ). Indique (y justifique) si la siguiente definici´on es cierta o falsa. Afirmaci´ on: Una asignaci´on factible (xA , xB ) es Optimo de Pareto cuando, para cualquier otra asignaci´on factible (x0A , x0B ), se verifica UA (xA ) ≥ UA (x0A ) y UB (xB ) ≥ UB (x0B ) con la desigualdad estricta para al menos un i ∈ {A, B}

Solution: La afirmaci´on es falsa. Una asignaci´on Optimo de Pareto no necesariamente domina en sentido de Pareto a cualquier otra asignaci´on factible. La frase cierta es que una asignaci´on Optimo de Pareto no est´a dominada por ninguna otra asignaci´on factible. En t´erminos de la notaci´on usada, la frase correcta es la siguiente. Afirmaci´ on: Una asignaci´on factible (xA , xB ) es Optimo de Pareto cuando, para cualquier otra asignaci´on factible (x0A , x0B ), no se verifica UA (x0A ) ≥ UA (xA ) y UB (x0B ) ≥ UB (xB ) con la desigualdad estricta para al menos un i ∈ {A, B}

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4. [3 puntos] Suponga una funci´on de producci´on del bien Y a corto plazo, con L como u ´nico factor, √ 1 definida Y = 2 L. El precio del trabajo es w = 2 y el coste fijo es CF = 2. Se pide: (a) Calcule la funci´on de costes y el precio de beneficio 0. (b) Calcule la curva de oferta de producto. ¿A qu´e precio entra esta empresa en el mercado? (c) Suponga que ´esta es la u ´nica empresa en el mercado y que la demanda agregada es Y = 1 (2 − P ). ¿Qu´ e excedente obtiene la empresa en el equilibrio del mercado? 16 Solution: (a) La funci´on de costes es C(Y ) = CF + wf −1 (Y ), siendo f la funci´on de producci´on. Con los datos del ejercicio es C(Y ) = 2 + 8Y 2 Dado que la funci´on de costes es convexa, el precio de beneficio cero puede caracterizarse como el m´ınimo de los costes medios o la ordenada en la que el coste medio iguala al marginal. Tenemos CM e(Y ) = Y2 + 8Y , de donde minY ≥0 {CM e(Y )} → − El precio de beneficio cero es pbe = CM e

1 2



2 1 +8=0→Y = 2 Y 2

= 8.

(b) La funci´on de costes variables es CV (Y ) = 8Y 2 , de donde tenemos que la funci´on de costes medios variables es CM eV (Y ) = 8Y . Esta u ´ltima alcanza su m´ınimo en 0, por lo que la empresa entra en el mercado para cualquier precio positivo, y para cualquier precio positivo su curva de oferta viene dada por P = CM g(Y ), es decir P = 16Y o bien 1 P. Y = 16 (c) De igualar oferta y demanda tenemos 1 1 (2 − P ) = P ⇐⇒ P = 1 16 16 Por lo que el excedente de la empresa es Z Ep = 0

1

1 1 1 2 1 P dP = P = 16 32 32 0

Donde los limites inferior y superior de integraci´on son el precio de cierre y el de equilibrio, respectivamente.

5. [2 puntos] Suponga un mercado de bien Y en el que la oferta agregada es Y = P − 1. Hay dos consumidores, A y B, cuyas demandas son YA = 3 − 2P e YB = 1 − P , respectivamente. Se pide: (a) Obtenga la demanda agregada del mercado. Indique a qu´e precio entra cada consumidor en el mercado.

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(b) ¿Cu´al el excedente de cada consumidor en equilibrio? Basta con que escriba la correspondiente integral definida, no es necesario que la calcule.

Solution: (a) Los consumidores A y B entran a los precios 3/2 y 1, respectivamente. La demanda agregada es   si P ≥ 32  0 Y da = 3 − 2P si P ∈ 1, 23   4 − 3P si P ≤ 1 (b) Notemos que la empresa entra a precio 1 ofreciendo 0, luego en el equilibrio el consumidor B no entra en el mercado (y por tanto obtiene excedente cero). Por tanto, el precio de equilibrio debe satisfacer 3 − 2P = P − 1 lo que da lugar a P = 34 , que est´a en 1, 23 , como requiere la definici´on de Y da . El excedente del consumidor A es Z 3 2 3/2 1 (3 − 2P )dP = 3P − P 2 4/3 = Ep = 4 36 3 Donde los limites inferior y superior de integraci´on son el precio de equilibrio y el precio de entrada en el mercado, respectivamente.

[contin´ ue su respuesta en esta p´agina]

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Puede continuar aqu´ı sus respuestas. Indique claramente el n´ umero de ejercicio.

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