Entropia 5g3j5

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCSICO DE MIRANDA ÁREA DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE ENERGÉTICA APRENDIZAJE DIALÓGICO INTERACTIVO UNIDAD CURRICULAR TERMODINÁMICA

Elaborado por: Prof. Mayra Leal Prof. Ender Carrasquero

Entropía ADI - UNEMF

2011

Tema 6 Contenido 

Hasta ahora hemos estudiado la primera ley de

la

termodinámica,

que

se

refiere

a

la

conservación de la energía y, la segunda ley de

la

termodinámica

que

conduce

a

la

6.1 Entropía 6.2 Desigualdad de Clausius 6.3 Cambio de entropía de una sustancia pura

definición de una nueva propiedad llamada

6.4 Procesos isoentrópicos

entropía;

6.5 El principio de incremento

que

es

comprensión

y

microscópico

del

una que

propiedad requiere

sistema.

En

de

difícil

el

estudio

esta

unidad

comenzaremos analizando la desigualdad de Clausius y luego el principio de incremento de la entropía, para luego analizar los cambios de entropía que ocurren durante procesos con

de Entropía 6.6 Balance de entropía 6.6.1 Balance de entropía para sistemas cerrados 6.6.2 Balance de entropía para sistemas abiertos 6.7 Relaciones

sustancias puras y gases ideales.

termodinámicas TdS 6.8 El cambio de entropía para sólidos y líquidos

Objetivos Didácticos: 





6.9 El cambio de entropía para

Discutir las expresiones matemáticas de la Desigualdad de Clausius y el Principio de Incremento de Entropía Determinar si un proceso viola o no la Segunda Ley de la Termodinámica utilizando la Desigualdad de Clausius y el Principio de Incremento de Entropía. Evaluar la eficiencia de dispositivos que operan en flujo permanente.

2

gases ideales 6.10 Ejercicios resueltos 6.11 Ejercicios propuestos 6.12 Referencias bibliográficas

6.1 ENTROPÍA La Entropía es una medida cuantitativa del desorden, se denota como S, 

s para entropía por unidad de masa y s para entropía por unidad de tiempo). Es una función de estado y en consecuencia depende únicamente del estado y no de la trayectoria o del proceso seguido por el sistema para alcanzar dicho estado.

Se define el cambio infinitesimal de entropía dS durante un proceso reversible como:

dS 

dQ rev . T

Para calcular la variación de entropía en procesos irreversibles basta encontrar un camino reversible que conecte los estados inicial y final del sistema.

Para una sustancia pura:

s  sf  xsfg

6.2 DESIGUALDAD DE CLAUSIUS El concepto de entropía fue introducido por primera vez por R. J. Clausius a mediados del siglo XIX. Clausius, ingeniero francés, también formuló un principio para la Segunda ley: “No es posible proceso alguno cuyo único resultado sea la transferencia de calor desde un cuerpo frío a otro más caliente”. En base a este principio, Clausius introdujo el concepto de entropía, la cual es una medición de la cantidad de restricciones que existen para que un proceso se lleve a cabo y nos determina también la dirección de dicho proceso. El primer paso para considerar la entropía es establecer la Desigualdad de Clausius la cual es Q  0, válida para todos los ciclos, reversibles o irreversibles; T incluyendo los ciclos de refrigeración. El símbolo  (integral cíclica) indica que la integración se va a efectuar sobre el ciclo completo.

3

A

Considere tres procesos reversibles:

B C

Si se consideran dos ciclos reversibles (A-B) y (B-C); de acuerdo a la Desigualdad de Clausius: * 1er Ciclo A-B 1

* 2do Ciclo B-C 1

1

 Q   Q  2  T  A  2  T B  0

1

 Q   Q  2  T B  2  T  C  0

1

2

Restando las ecuaciones 1 y 2, se tiene: 1

1

 Q   Q  2  T  A  2  T  C  0

1

Lo que indica que la relación   2

Q   T 

es la misma para todas las trayectorias

reversibles comprendidas entre los estados 1 y 2, es decir, que esta cantidad depende de los estados iniciales y finales por lo que es una propiedad. Así  Q  0 T 

mismo, para un proceso reversible,   

lo que indica que esta integral

cíclica representa el cambio de una propiedad y esta es la Entropía. Por lo 1 tanto se concluye que para un proceso reversible: dS   Q  2  T 

Si se tiene el siguiente proceso:

A

Donde A y B son reversibles y C es irreversible B

C

4

De acuerdo a la Desigualdad de Clausius:

1

Para el ciclo A-B:

1

 Q   Q  2  T  A  2  T B  0 1

por ser reversible

1

1

 Q   Q  Para el ciclo A-C:        0 T  A 2  T C 2

Restando las ecuaciones 1 y 2, se tiene:

por ser irreversible

2

1

1

1

1

 Q   Q  2  T B  2  T  C

Como la entropía es una propiedad: 1

1

1

 Q   Q         dS  dS  dS    B C C 2  T B 2 2 2 2  T  C Por lo tanto:

dS 

Q T

De esta manera, la igualdad aplica para procesos reversibles y la desigualdad para procesos irreversibles; es decir, el cambio de entropía es un proceso irreversibles es mayor que la integral de la cantidad, Q / T mientras que, para un proceso reversible ambas cantidades son iguales.

6.3 CAMBIO DE ENTROPÍA EN UNA SUSTANCIA PURA

La entropía es una propiedad, y por lo tanto su valor en un sistema se fija una vez que el estado del sistema se fija. Los valores de entropía para una sustancia pura se determinan a partir de las tablas de propiedades termodinámicas, al igual que

5

las otras propiedades (h, u y v), y se dan respecto de un estado de referencia arbitrario (figura 6.1).

Figura 6.1. La entropía de una sustancia pura se determina a partir de tablas, del mismo modo que con cualquier otra propiedad

El valor de entropía en un estado específico se determina del mismo modo que cualquier propiedad. En las regiones de líquido comprimido y de vapor sobrecalentado, los valores se obtienen directamente de las tablas en el estado especificado. En la región de mezcla saturada, se determina a partir de la relación:

s  s f  x  s fg donde x es la calidad y sf y sfg se encuentran en las tablas de saturación. Cuando se carece de datos para líquido comprimido se calcula por medio de la entropía del líquido saturado a la temperatura dada:

El cambio de entropía de una sustancia pura durante un proceso es simplemente la diferencia entre los valores de entropía en los estados final e inicial, y aplica tanto para sistemas cerrados como a una masa unitaria que pasa por un volumen de control: ∆s = s2 – s1 6

Al estudiar los aspectos de la segunda ley en los procesos, la entropía comúnmente se utiliza como coordenada en diagramas tales como el diagrama T-s y el diagrama h-s.

Las características generales del diagrama T-s para

sustancias puras se muestra en la figura 6.2 utilizando datos para el agua. En este diagrama las líneas de volumen constante son más precipitadas que las líneas de presión constante y éstas a su vez son paralelas a las líneas de temperatura constante en la región de mezcla saturada de líquido – vapor. También, las líneas de presión constante casi coinciden con la línea de líquido saturado en la región de líquido comprimido.

Figura 6.2. Diagrama T – s para el agua

6.4 PROCESOS ISOENTRÓPICOS Como ya se mencionó la entropía de una masa fija puede cambiar ya sea por la transferencia de calor o por las irreversibilidades. Por lo tanto, en un proceso internamente reversible y adiabático la entropía no cambiará. Un proceso durante el que la entropía permanece constante se denomina Proceso Isoentrópico y se caracteriza por: ΔS = 0

o

7

S2 = S 1

Es decir, una sustancia tendrá el mismo valor de entropía al final del proceso que tenía al principio si el proceso se lleva a cabo de manera isoentrópica.

Debe tenerse claro que un proceso adiabático reversible es por necesidad isoentrópico (s2 = s1), aunque un proceso isoentrópico no necesariamente es adiabático reversible.

Sin embargo, el término proceso isoentrópico suele

emplearse en termodinámica para implicar un proceso adiabático internamente reversible.

6.5 EL PRINCIPIO DE INCREMENTO DE ENTROPÍA El cambio de entropía para un proceso irreversible siempre es mayor que la transferencia de entropía. Es decir, se genera o se crea cierta entropía durante un proceso

irreversible,

irreversibilidades.

y

esta

generación

se

debe

por

completo

a

las

La entropía generada durante un proceso se denomina

generación de entropía, y se denota como sgen. Entonces: 1

Q  S gen T 2

S  S 2  S1  

Sgen siempre es positiva o cero. Su valor depende del proceso y por lo tanto no es propiedad del sistema

“Para un sistema aislado (o un sistema cerrado adiabático) la transferencia de calor es cero” Saislado  0 . Esta ecuación expresa que la entropía de un sistema aislado durante un proceso siempre aumenta o, en el caso límite, de un proceso reversible, permanece constante; pero nunca disminuye.

8

Un sistema y sus alrededores pueden ser dos subsistemas de un sistema aislado (figura 6.3), y el cambio de entropía de un sistema aislado durante un proceso es igual a la suma de los cambios de entropía del sistema y su entorno, lo cual recibe el nombre de cambio de entropía total o generación de entropía,

Sgen.

El principio de incremento de la entropía para cualquier proceso se expresa como:

S gen  Stotal  S sist  Salr  0

Figura 6.3. Un sistema y sus alrededores

forman

sistema aislado

donde, la igualdad se cumple para procesos irreversibles y la desigualdad para los procesos reversibles. Recuerde que ΔSalr se refiere al cambio de entropía de los alrededores

como

resultado

de

los

acontecimientos

del

proceso

bajo

consideración.

Esta es la forma general del principio de incremento de la entropía y es aplicable tanto sistemas abiertos como a sistemas cerrados.

Este principio

establece que el cambio de entropía total asociado con un proceso debe ser positivo para los procesos irreversible y cero para los reversibles, es decir, la igualdad se cumple para procesos reversibles y la desigualdad para procesos irreversibles.

9

un

A mayores irreversibilidades de un proceso, mayor será la cantidad de entropía generada durante ese proceso. Este principio no implica que la entropía de un sistema o de los alrededores no disminuya, lo que establece es que la variación total debe aumentar. El cambio de entropía puede ser negativo durante un proceso (figura 6.4) pero la generación de entropía no. El principio de incremento de Sgen = ΔStotal = ΔSsist + ΔSalr = 1kJ/K

entropía se resume de la siguiente manera:

Figura 6.4. El cambio de entropía de un sistema puede ser negativo; pero la generación de entropía no

6.6 BALANCE DE ENTROPÍA La entropía es una propiedad que mide el desorden o aleatoriedad molecular de un sistema, y la segunda ley de la termodinámica afirma que la entropía puede ser creada pero no destruida. En consecuencia, el cambio de entropía de un sistema durante un proceso es mayor que la transferencia de entropía por una cantidad igual a la entropía generada durante el proceso dentro del sistema. El principio de incremento de entropía para cualquier sistema se expresa como:

(

)

(

)

(

)

(

)

O Sentra – Ssale + Sgen = ΔSsistema Esta relación es lo que se conoce como balance de entropía y es aplicable a cualquier sistema que pasa por cualquier proceso. La relación de balance de 10

entropía puede enunciarse como: el cambio de entropía de un sistema durante un proceso es igual a la transferencia neta de entropía a través de la frontera del sistema y a la entropía generada dentro del sistema.

6.6.1 Cambios de Entropía para Sistemas Cerrados Un sistema cerrado no implica flujo de masa por sus fronteras, y su cambio de entropía es simplemente la diferencia entre las entropías final e inicial del sistema. Este cambio se debe a la transferencia de entropía que acompaña a la transferencia de calor y a la generación de entropía dentro de las fronteras del sistema por efecto de las irreversibilidades.

S total  S 2  S1  

Q T

 S gen

Cambio de Entropía

Generación de Entropía dentro del sistema

Transferencia de Entropía con calor

Para resolver la integral es necesario conocer como varía la temperatura de la frontera y la transferencia de calor en el proceso.

Si se considera que una

cantidad de calor Qk se transfiere a través de las fronteras a temperatura constante Tk,

Qk  S gen Tk

S 2  S1  

En función del tiempo: 

Qk  S 2  S1    S gen Tk

11

Para un proceso adiabático (Q = 0), el término de transferencia de entropía en las relaciones anteriores se elimina y el cambio de entropía del sistema cerrado se vuelve igual a la generación de entropía dentro de las fronteras del sistema. Es decir: ΔSsist adiab = Sgen

Para determinar la magnitud de la generación de entropía es necesario considerar el principio de incremento de la entropía, para el cual:

S gen  S total  S sist  S alr

Donde: ΔSsist = m(s2 – s1); ΔSalr = Σ(Qk/Tk)

Cuando el sistema intercambia calor sólo con sus alrededores a temperatura Talr en una cantidad de calor Qalr, el cambio de entropía viene a ser: ΔSalr = Qalr/Talr

En general para sistemas cerrados:

Stotal  m( ss  se ) 

Qalr 0 Talr

6.6.2 Cambios de Entropía para Sistemas Abiertos Los sistemas abiertos también conocidos como volumen de control (VC), consideran los flujos de masa a través de sus fronteras. El cambio de entropía para volúmenes de control se obtiene modificando el balance de entropía para sistemas cerrados, para permitir el trasporte de entropía con la masa, así se obtiene:

S 2  S1   Cambio de Entropía en el VC

Qk   m e  s e   m s  s s S gen ,VC Tk

Transferencia de Entropía con calor

Transferencia de Entropía con la masa que entra y sale del VC

12

Entropía generada dentro del VC

En función del tiempo: 

   Qk S 2  S1     m e  s e   m s  s s  S gen ,VC Tk

La ecuación anterior de balance de entropía puede enunciarse como: la tasa de cambio de entropía dentro del volumen de control durante un proceso es igual a la suma de la tasa de transferencia de entropía a través de la frontera del volumen de control por transferencia de calor, de la tasa neta de transferencia de entropía hacia el volumen de control por flujo másico y de la tasa de generación de entropía dentro de la frontera del volumen de control como resultado de irreversibilidades.

La solución de estas ecuaciones requiere conocer la magnitud de la generación de entropía, la transferencia de calor y la variación de la temperatura en la frontera.

Por simplificación se plantea la variación de entropía total o la generación de entropía para un proceso, aplicando el principio de incremento de la entropía para sistemas abiertos, considerando lo siguiente:  El VC intercambia calor con varios depósitos térmicos a temperatura T R a relaciones de QR, asumiendo que la temperatura de la frontera del VC donde se produce la transferencia de calor es igual a la del depósito térmico.

De esa

manera, las irreversibilidades asociadas con la temperatura quedan contenidas dentro de la frontera del VC. Como no hay generación de entropía fuera de la frontera del volumen de control, Sgen, VC, se sustitutye por la relación de generación de entropía total para el proceso, Sgen

13

 La transferencia de entropía que acompaña a la transferencia de calor es igual en magnitud (pero opuesta de signo) al cambio de entropía de los alrededores.



Q dS  R dT TR

donde los signos de QR se determinan en relación con los depósitos, de otra manera: 

S gen



Q R dS VC   m s  s s  m e  s e    TR dT 



Cuando el sistema intercambia calor sólo con los alrededores a temperatura T alr a una relación Qalr, dSalr = Qalr/Talr Para un proceso de flujo y estado estable; 







S gen   m s  ss  me  se  

QR TR

Ya que el contenido de entropía de un sistema de flujo y estado estable no cambia con el tiempo, dSVC/dt = 0 Para un proceso de flujo y estado no estable, caso uniforme:

S gen   ms  ss   me  se  s2  s1 VC   Para un proceso de flujo estable, adiabático: ̇

̇(

14

)

QR TR

6.7 RELACIONES TERMODINÁMICAS T dS Recordemos que el trabajo y el calor son funciones de trayectoria por lo que el trabajo realizado y la transferencia de calor durante el proceso dependen de la trayectoria. La forma diferencial para la ecuación de conservación de la energía en un sistema estacionario cerrado que contiene una sustancia compresible simple puede expresarse para un proceso internamente reversible como:

Qrev  Wrev  dU Sabiendo que:

Qrev  T  ds Entonces:

y

Wrev  P  dV

T  ds  du  P  dv

La segunda relación T ds se obtiene al eliminar du de la ecuación anterior y emplear la definición de entalpía:

h  u  Pv

sabiendo que: dh  du  P  dv  v  dP

se tiene:

y

T ds  dh  v  dP

T  ds  dh  v  dP

Las relaciones Tds anteriormente definidas se desarrollan para procesos internamente reversibles ya que el cambio de entropía para dos estados se evalúa a lo largo de una trayectoria reversible. Los resultados obtenidos son válidos tanto para procesos reversibles como irreversibles, debido a que la entropía es una 15

propiedad y el cambio de una propiedad entre dos estados es independiente del tipo de proceso que experimenta el sistema. Estas ecuaciones son relaciones entre las propiedades de una masa unitaria de un sistema compresible simple cuando éste experimenta un cambio de estado, y son aplicables tanto si el cambio ocurre en un sistema cerrado como en uno abierto.

6.8 EL CAMBIO DE ENTROPÍA PARA SÓLIDOS Y LÍQUIDOS

Recuerde que los sólidos y los líquidos pueden idealizarse como sustancias incompresibles debido a que sus volúmenes permanecen esencialmente constantes durante un proceso. De este modo, su cambio de entropía se puede expresar en términos del calor específico de la siguiente manera:

Puesto que = Cv = C y du = C dT para sustancias incompresibles. Para un proceso el cambio de entropía se determina mediante integración:

∫

( )

Donde ro es el calor específico promedio de la sustancia a lo largo de un intervalo dado de temperatura.

Para procesos isoentrópicos de sólidos y líquidos se iguala a cero la relación del cambio de entropía, y queda:t

16

La temperatura de una sustancia realmente incompresible permanece constante durante un proceso isoentrópico; lo que quiere decir, que el proceso también es isotérmico.

6.9 EL CAMBIO DE ENTROPÍA PARA GASES IDEALES Para los gases ideales se puede obtener una expresión para el cambio de entropía relacionando las ecuaciones T ds con las propiedades de los gases ideales. 

Para la relación T  dS  du  P  dV

Sabiendo que:

du  C v  dT

y

P

RT V

obtenemos:

S  S 2  S1  Cv



Para la relación

Sabiendo que:

prom

T  v   Ln 2   R  Ln 2   T1   v1 

T  dS  dh  V  dP

dh   dT

y

V

RT P

nos queda:

T  P  S  S2  S1   Ln 2   R  Ln 2   T1   P1  prom

 La variación de los calores específicos con la temperatura debe considerarse mediante el uso de relaciones exactas para los calores específicos como función de la temperatura. Así, el cambio de entropía durante un proceso se determina sustituyendo Cv(T) o (T) en las ecuaciones anteriores.

17

∫

( )

( )

∫

Notese que, s°(T=0)=0. s° solo depende de la temperatura y sus valores están tabulados en términos de la función:



Procesos Isentrópicos para gases ideales

Suponiendo que los calores específicos son constantes, se tienen las siguientes relaciones: ( )

(

)

(

)⁄

( )

( )

( )

( )

( )

Las ecuaciones anteriores pueden expresarse de forma compacta como: Tvk-1 = constante TP(1-k)/k = constante Pvk = constante

La razón de los calores específicos, k, en general, varía con la temperatura, por lo que en las relaciones isentrópicas anteriores debe utilizarse un valor de k promedio para el intervalo de temperaturas dado. 18

AUTOEVALUACIÓN Una vez desarrollado este tema, debes estar en capacidad de resolver las siguientes interrogantes, basado en el análisis y comprensión de la lectura. Anímate a responder y verifica tu aprendizaje…

1. Un sistema se somete a un proceso entre dos estados fijos, primero de manera reversible y después de modo irreversible. ¿En cuál caso el cambio de la entropía es mayor? ¿Por qué? 2. ¿Es posible crear entropía? ¿Es posible destruirla? Explique 3. ¿Tiene que ser isoentrópico un proceso que es internamente reversible y adiabático? Explique 4. ¿Puede cambiar la entropía de un gas ideal durante un proceso isoentrópico? Explique

6.10 EJERCICIOS RESUELTOS

Problema N° 1 Para el ciclo de potencia que se muestra y para las condiciones indicadas: a) Calcule la eficiencia máxima o límite del ciclo. b) Calcule la eficiencia real del ciclo.

DEPÓSITO DE CALOR A TH = 327.81 °F

QH 1

Caldera

2

W Turbina

Bomba

4

Condensador

3

QL DEPÓSITO DE CALOR A TL = 126.08 °F 19

Punto # 1 100 psia 327.81 °F

h = 298.40 Btu/lbm

Liq. Saturado

Punto # 2 200 psia 327.81 °F h = 1186.84 Btu/Lbm Vapor saturado Punto # 3

2 psia

X = 0.90

h = 1013.70 Btu/Lbm

Mezcla

Punto # 4

2 psia

X = 10 %

h = 196.21 Btu/Lbm

Mezcla

Solución: Parte a: La desigualdad de Clausius indica que tenemos que evaluar la integral:

 Q     T  sistema

En nuestro caso esta integral se transforma en la sumatoria de los términos “Q/T”, del ciclo:

Q Q  Q   cald  cond    T  sistema Tcald Tcond

o por unidad de masa:

q q  q   cald  cond    T  sistema Tcald Tcond

Los calores se obtendrán aplicando la ecuación de la primera ley en estado estable, en la caldera y en el condensador V 2 gZent V 2 gZsal  (hent  ent   (hsal  sal  Q  m )m )  W 2g c gc 2g c gc

20

Consideraciones: 1) Despreciaremos los términos de energía cinética y potencial. 2) Adicionalmente el trabajo en estos 2 equipos es nulo. Así que:

 (h2  h1 ) Q cald  m

 (h4  h3 ) Q cond  m Como la masa que circula por la máquina es desconocida, podemos trabajar los calores por unidad de masa, sin que se afecte la evaluación final:

Q cald  h2  h1  qcald  888.44 Btu/lbm m

Q cond  h2  h1  qcond  817.49 Btu/lbm m Entonces sustituyendo:

888.44 Btu/lbm  817.49 Btu/lbm  q     0.267 Btu/lbmR    T  sistema (327.81  460) R (126.08  460) R

Este ciclo no viola la Segunda Ley, ya que el criterio de cumplimiento de esta ley con respecto a la desigualdad de Clausius, nos dice que esta debe ser menor o igual a cero:

 Q  0    T  sistema El resultado negativo significa que el proceso es irreversible internamente.

Parte b: Aplicando la ecuación del Principio de Incremento de Entropía del Universo:

ΔS univ  [m fin s fin - mini sini ]VC  [m s ss  me se  21

Q ]alrr T

Si se considera como sistema toda la planta de potencia (el ciclo), estaremos en presencia de un sistema cerrado, en donde el estado final es igual al estado inicial, por tanto la ecuación se transforma en lo siguiente:

Q ΔS univ  [ ]alrr T Como este sistema transfiere calor con dos “alrededores o ambientes” a temperaturas distintas cabe escribir esta última expresión como una sumatoria:

Q ΔS univ    [ ]alrr T

ΔS univ  [

qcald qcond  ] TH TL

Sustituyendo valores:

ΔS univ  [

888.44 Btu/lbm (-817.49 Btu/lbm )  ]  0.267 Btu/lbm R (Resp.) 787.81 R 586.08 R

Como este valor es mayor que cero, el ciclo no viola la Segunda Ley, ya que el criterio indica que para un proceso cualquiera cumpla con la segunda ley de la termodinámica es que:

ΔS univ  0 Comentario final: Una vez resueltas los apartes a y b, se evidencia que las temperaturas a las que se transfiere calor del sistema (Tcond y Tcald) y las temperaturas de los alrededores (TL y TH) son las mismas, lo cual equivale a decir que la transferencia de calor es reversible; pero a pesar de lo cual: ∆Suniv ≠ 0 y (∫cicl δQ / T) sistema ≠ 0, lo que significa que existen irreversibilidades (internas) no especificadas, que convierten el proceso en Globalmente IRREVERSIBLE.

22

Problema N° 2 En el condensador de una central eléctrica de vapor debe condensarse vapor saturado a una temperatura de 60 °C con agua para enfriamiento tomada de un lago cercano. El líquido entra en los tubos del condensador a 18 °C a una tasa de 75 kg/s y sale a 27 °C. El condensador es adiabático. a) Determine el intercambio de calor en MW. b) Calcule el flujo másico de condensación del vapor. c) Determine la tasa de generación de entropía total y verifique si viola o no la segunda ley de la termodinámica. Solución: Representación: Por simplicidad el estado de salida del agua condensada es líquido saturado a la temperatura de condensación.

Vapor

1

Saturado, 60 °C

3

H2O, 18 °C 75 kg/s

4

27 °C

Condensado, 60 °C

2

Líquido Saturado

Parte a: Debemos aplicar la Primera Ley a un sistema que involucre al calor intercambiado y cuya ecuación relacione la menor cantidad de incógnitas. En este caso el sistema es el agua de enfriamiento. 2

2

V gZ V gZ  m   ent (h ent  ent  ent )  m  sal (h sal  sal  sal )  W Q 2g c gc 2g c gc 23

Consideraciones: 1) Se desprecian los cambios de energía cinética y potencial, 2) el sistema no involucra trabajo, 3) es de flujo estable, 4) el calor específico del agua líquida varía con la temperatura y d) el sistema tiene una entrada y una salida. Por lo tanto:

  Q H 2 O  m H 2 O (h 4  h 3 ) Las entalpías del agua de enfriamiento, por mantenerse ésta como un líquido puro (líquido comprimido) se obtiene por:

h 3  h f @18C  75.54 kJ/kg

h 4  h f @ 27C  113.19 kJ/kg Entonces sustituyendo:

kg kJ  Q (113.19  75.54)  2823.7 kW  2.8MW (Resp.) H 2 O  75 s kg

Es evidente que la transferencia de calor intercambiada es hacia el agua de enfriamiento por lo que es positivo. El cambio de entalpía del agua de enfriamiento puede calcularse a partir de h2 – h1 = C(T2 – T1) con un error menor del 1 %, donde C es el calor especifico promedio del H2O líquida entre esas temperaturas.

Parte b: Debemos aplicar la Ecuación de Primera Ley a un sistema que involucre el flujo másico del agua condensada. En este caso el sistema es el vapor. Considerando que se desprecian los cambios de energía cinética y potencial, el sistema no involucra trabajo, es de flujo estable y tiene una entrada y una salida, nos queda:

  Q vapor  m vapor (h 2  h 1 ) Según el sistema escogido, la transferencia de calor del vapor es:

  Q vapor  Q H 2 O 24

Sustituyendo y despejando:

 vapor  m

 Q H 2O h 2  h1

El vapor se condensa de vapor saturado a líquido saturado, por lo tanto:

h 2  h1  h fg @ 60C  2358.5 kJ/kg Entonces sustituyendo:

 vapor  m

 (2823.7 kW)  1.2 kg/s (Resp.)  2358.5 kJ/kg

Parte c: Aplicando la ecuación del Principio de Incremento de Entropía del Universo:

ΔS univ  [m fin s fin - mini sini ]VC  [ms ss  me se 

Q ]alred T

Si se considera como sistema todo el condensador, estaremos en presencia de un volumen de control adiabático, de dos entradas y dos salidas, en flujo estable, en donde el estado final es igual al estado inicial, por tanto la ecuación se transforma en lo siguiente:

 s ss  m  e se ]alred ΔSuniv  [m Como este sistema intercambia masa con los alrededores cabe escribir esta última expresión como una sumatoria:

 s ss   m  e se ]alrr ΔSuniv  [ m

 2 s2  m  4 s4  (m  1 s1  m  3 s3 ) ΔSuniv  m  H2O (s2  s1 )  m  vap (s4  s3 ) ΔSuniv  m

25

Las entropías del agua de enfriamiento se obtienen por:

s 3  s f @18C  0.2677 kJ/kgK s 4  s f @ 27C  0.395 kJ/kgK El cambio de entropía del vapor es:

s 2  s1  s fg @ 60C  7.0784 kJ/kgK

Entonces sustituyendo:

ΔSuniv  75

kg kJ kg kJ (0.395 - 0.2677)  1.2 (-7.0784)  1.05 kW/K (Resp.) s kgK s kgK

Este proceso es posible, dado que el cambio de entropía del universo para las condiciones dadas es positivo. Las irreversibilidades asociadas es producto del intercambio de calor debido a diferencias de temperaturas finitas entre las corrientes.

Problema N° 3 El equipo mostrado en la figura se usa para llenar recipientes de freón-12 para embarque. Los recipientes están vacíos inicialmente. Una vez llenos, cada recipiente contiene 100 lbm de freón en ese momento el líquido ocupa 85 % del volumen total mientras que el vapor ocupa el 15 % restante. Se transmite calor durante el proceso de llenado de tal manera que la temperatura del freón al terminar el proceso es de 80 °F. La compresión es adiabática. a) Calcule el volumen del recipiente portátil para embarcar. b) Calcule el trabajo de compresión para llenar un recipiente. c) Determine la transmisión de calor en el condensador. d) Determine la transmisión de calor en el recipiente portátil.

26

e) Si toda la transmisión de calor del condensador y del recipiente, es al medio circundante a la temperatura de 80 °F, determine el incremento neto de entropía del sistema y el medo circundante para llenar un recipiente, f) Pruebe que el proceso de compresión indicado no viola la Segunda Ley de la Termodinámica. Representación Gráfica: Estado Inicial Freón-12 150 psia, T = const = 80 °F

Compresor

Tanque

Condensador 180 °F

de Reserva

Liquido saturado 150 psia.

Recipiente

V A C I O

Portátil

Estado Final

150 psia, 80 °F – 60 psia

Compresor

Condensador 180 °F

Tanque de Reserva Liquido saturado ( Tr ) 150 psia.

T = 80 °F

Recipiente Portátil

27

V a p or lí q ui d

Vvap = 0.15Vtotal

a) Volumen del recipiente portátil: Masa final en el recipiente portátil = masa liq (mlíq) + masa vapor (mvap)

mlíq 

0.85Vrp

mvap 

0.15Vrp

100 lbm 

vf

vg

0.85Vrp vf



0.15Vrp vg

Leyendo los volúmenes específicos de líquido y vapor en tabla de saturación a 80°F y despejando el volumen de recipiente, se obtiene:

Vrp  1.437 pie 3 b) Trabajo del compresor Tomando como volumen de control el compresor:

Qcomp  me h e  Wcomp  ms h s  (m 2 u 2  m1u1 ) VControl Wcomp  m(h e  h s ) Cálculo de “he” y “hs”:

h e @ 80 F, 60 psia  87.33 Btu/Lbm h s @180F,150psia  100.675 Btu/Lbm 28

Sustituyendo:

Wcomp  100 Lbm(87.33  100.675)Btu / Lbm  1334.5 Btu

c) Transmisión de calor en el condensador para llenar el recipiente Tomando como volumen de control el serpentín del condensador por donde pasa el freón-12 y aplicando la ecuación de la Primera Ley

Qcond  m(h s  h e ) Cálculo de “he” y “hs”:

h e @180F,150psia  100.675 Btu/Lbm h s @150psia, Líq.sat  33.390 Btu/Lbm Sustituyendo:

Qcond  100Lbm(33.390  100.675)Btu / Lbm  6728.5 Btu/Lbm

d) Transmisión de calor en el recipiente portátil Tomando como volumen de control el recipiente portátil junto con la válvula y aplicando la Primera Ley, se obtiene:

Q Rp  m(h e  u final ) Cálculo de la energía interna final en el recipiente portátil: Tomando en cuenta que el estado es una mezcla líquido-vapor, se tiene que calcular previamente la calidad:

X final 

v final  v f v fg 29

v final

X final

1.436 pie3   0.01436 pie3 / Lbm 100 Lbm

(0.01436  0.01277)pie3 / Lbm   0.0052 0.39907 pie3 / Lbm

Como en la tabla usada no aparece tabulada directamente la energía interna (u), hay que calcular primero la entalpía:

h final  h f  X final h fg h final  26.365  0.0052(58.917)  26.67 Btu/Lbm Recordando la relación entre energía interna y entalpía: u = h – Pv, se tiene que la energía interna final en el recipiente portátil es:

u final  26.67  98.87(0.01436)(0.185)  26.41 Btu/Lbm Y el calor en el recipiente portátil será:

Q Rp  100Lbm(26.41  33.39)Btu / Lbm  698 Btu e) Incremento neto de entropía del universo Tomando todo el conjunto como volumen de control (sistema cerrado) y aplicando la ecuación general de incremento neto de entropía se tiene: Volumen de Control

30

SUniv  SVC  SAlred

 Q  SUniv  (m fin s fin  m i s i ) VC  m sals sal  m e s e  sist  TAlred   Consideraciones: -

Como el sistema es cerrado: me = msal = 0. La masa final está distribuida en el recipiente portátil y en el tanque de reserva. La masa inicial está contenida únicamente en el tanque de reserva, por lo tanto:

miTr  m finRp  m finTr

Tomando todo esto en cuenta:

Q  SUniv  (m finRps finRp  m finTr s finTr  m iTr s iTr ) VC   sist   TAlred 

Por otra parte el término “Qsist / TAlred” = [Qcond / TAlred + QRp / TAlred]. La ecuación se convierte en:

Q Rp  Q SUniv  (m finRps finRp  m finTr s finTr  m iTr s iTr ) VC   cond    TAlred TAlred 

Y recordando que: miTr  m finRp  m finTr

Q Rp  Q SUniv  m finRp (s finRp  s iTr ) VC   cond    TAlred TAlred  Calculo de las entropías: -

La entropía final en el recipiente portátil por estar en estado de mezcla se calcula por:

s finRp  s f  xh fg  [0.05475  0.052(0.10917)]Btu / LbmR  0.05532 Btu/LbmR

31

-

La entropía final en el recipiente portátil es igual a la inicial, ya que las condiciones son constantes 80 °F / 60 psia:

s iTr  s finTr  0.17497 Btu/LbmR Sustituyendo en la ecuación de incremento de entropía:

SUniv  1.7868 Btu/R  0 Como el resultado es mayor que cero se puede decir que el proceso es globalmente irreversible y no viola la Segunda Ley de la Termodinámica.

f) Evaluación del proceso de compresión: Tomando como volumen de control el compresor y usando el criterio de incremento neto de entropía del universo:

 Q  SUniv  (m fin s fin  m i s i ) VC  m sals sal  m e s e  sist  TAlred   Consideraciones: -

El proceso de compresión es un proceso de estado estable y flujo estable por lo tanto:

me  msal

-

y (mfin s fin  mi s i ) VC  0

El proceso es adiabático: Q = 0

Entonces:

SUniv  msals sal  mes e   m[s sal  s e ] SUniv  m[s sal  s e ]  100Lbm[0.18415  0.17497]Btu / LbmR 

ΔSUniv  0.918 Btu/R  0

32

Como el resultado es mayor que cero, significa que el proceso de compresión es irreversible globalmente (posible) y por lo tanto no se viola la Segunda ley de la termodinámica.

Problema N° 4 Vapor a 6000 kPa y 500 °C entra en una turbina de flujo estable y se expande en este dispositivo mientras realiza trabajo hasta que la presión es de 1000 kPa. Cuando esta se alcanza, 10 % del vapor es extraído de la turbina para otros usos mientras 90 % restante continua expandiéndose a través de la turbina mientras trabaja para salir a 10 kPa. El proceso completo de expansión del vapor a través de la turbina es reversible y adiabático. a) Grafique el proceso en un diagrama T-s con respecto a las líneas de saturación. Asegúrese de tabular los datos establecidos y las líneas de presión constantes. b) Si la turbina tiene una eficiencia isentrópica de 85 %, ¿cuál es el trabajo por unidad de masa realizado por el vapor cuando fluye a través de la turbina? Representación Gráfica:

6000 kPa

1

500 °C

3

2 1000 kPa 0.1m1

10 kPa 0.9m1

La turbina es adiabática y reversible (isoentrópica). Solución: Parte a: Los datos para todo el proceso se muestra en la tabla. Punto P (kPa) T (°C) 1

6000

2

1000

3

10 33

500

El estado de entrada (1) está especificado porque tiene dos propiedades intensivas (coordenadas) que permiten graficarlo. Por lo tanto hay que conseguir las propiedades faltantes en los estados de salida para su ubicación en el plano T-s. Para todos los dispositivos que producen y consumen trabajo y a su vez son adiabáticos y reversibles, se cumple que

s ent  s sal  s para

todos los estados

Por lo tanto para esta turbina adiabática y reversible:

s1  s 2  s 3 Procedimiento para graficar: Primero se ubica el estado de entrada (1) dibujando el punto de intersección de la línea de 6000 kPa con la de 500 °C. Luego ubicamos y dibujamos las líneas de presión de salida de 1000 kPa y de 10 kPa. Desde el punto (1) se traza una línea recta vertical hasta que interseque a la línea de presión de 1000 kPa siendo este punto el estado (2) y más abajo a la línea de presión de 10 kPa (estado (3)). Esta línea vertical que une los puntos 1-2-3 representa el proceso isentrópico de la turbina en el diagrama T-s.

1 500 °C 6000 kPa

2

1000 kPa 3

10 kPa

En la gráfica se observa que en el estado de salida (2) es donde se divide el flujo de la entrada (1) a la presión P2 en un 10 % y el resto sigue hacia el estado de

34

salida (3) a P3. Además se puede observar la expansión completa del vapor desde 6000 kPa hasta 10 kPa a medida que realiza trabajo de forma isentrópica.

1

500

T (°C)

6000 kPa

2

1000 kPa 10 kPa

3

6.8826 s (kJ/K)

Se puede dibujar el proceso a mano alzada si no se tiene disponible el diagrama T-s, solo conociendo las direcciones de las líneas de propiedades constantes y las líneas de saturación.

Parte b: Tomando como volumen de control a la turbina y aplicando la ecuación de la eficiencia isoentrópica:

 is 

w turb Trabajo que realiza la turbina  Trabajo máximo que puede realizar w turb, max

Por lo tanto:

w turb  is w turb, max Aplicamos la Primera Ley a la turbina como sistema para encontrar el trabajo máximo. Consideraciones: -

Se ignoran los efectos cinéticos y potenciales. La turbina es de flujo estable. Es adiabática. Tiene una entrada y dos salidas.

Por lo tanto

 m  1h 1  m  2h 2  m  3h 3  0 W turb 35

Como la masa que circula por la turbina es desconocida, podemos trabajar los términos por unidad de masa, sin que se afecte la evaluación final:



Se sabe que:

   W m m turb  h1  2 h 2  3 h 3  0 1 1 1 m m m

2 m  0.1 1 m

3 m  0.9 1 m Entonces sustituyendo y despejando:

w turb  h1  0.1h 2  0.9h 3

Para que este trabajo sea el máximo las entalpías de salida deben calcularse para un proceso isentrópico (sistema adiabático reversible). Dicho esto se calcula a partir del estado (1) conocido. Asignando el subíndice “s” a las entalpías para el proceso isentrópico:

w turb, max  h1  0.1h 2s  0.9h 3s  0 Cálculo de las entalpías para el proceso isentrópico: Puede ser gráficamente, con las tablas o con ambas, se utilizarán las tablas para más exactitud: En el estado (1):

h1  h @ 6000 kPa, 500 C  3423.1 kJ/kg s1  s @ 6000 kPa, 500 C  6.8826 kJ/kg 36

En el estado (2):

h 2s  h @1000 kPa, 6.8826 kJ / kgK  2921.3 kJ/kg

En el estado (3):

h 3s  h @10 kPa, 6.8826 kJ / kgK  Mezcla

X 3s 

s 3  s f (6.8826  0.6492)kJ / kg   0.831 s fg 7.4996kJ / kg

h 3s  h f  X 3s h fg  191.81kJ / kg  (0.831)(2392.1)kJ / kg  2179.6kJ / kg

Entonces el trabajo máximo que puede realizar la turbina es:

w turb, max  3423.1kJ / kg  0.1(2821.3kJ / kg)  0.9(2179.6kJ / kg)  1169.3 kJ/kg Sustituyendo valores, el trabajo realizado por la turbina es:

w turb  is w turb, max  (0.85)(1169.3kJ / kg)  993.9 kJ/kg

6.11 EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En un ciclo de potencia dado el fluido de trabajo recibe 3150 kJ/kg de calor a una temperatura promedio de 440 °C y descarga 1550 kJ/kg de calor al agua de enfriamiento a 20 °C. Si no hay otras interacciones de calor ¿Satisface este ciclo la desigualdad de Clausius? 2. Un recipiente rígido contiene 7.5 kg de mezcla de agua saturada a 400 kPa. Se abre una válvula al fondo del recipiente y se retira el líquido. El calor se transfiere al vapor de manera que la presión dentro del recipiente permanece constante. La válvula está cerrada cuando no sale líquido del recipiente. Si se estima que un total de 5 kJ de calor se transfieren al recipiente, determine a) la calidad del vapor en el recipiente en el estado inicial, b) la cantidad de masa 37

que ha escapado y c) la generación de entropía durante este proceso si el calor se proporciona al recipiente de una fuente que está a 500 °C. 3. En un dispositivo de flujo estable se expande isotérmicamente y reversiblemente vapor de agua desde 1000 psia y 1200 °F hasta 200 psia. Se proporciona calor al vapor de un depósito térmico de 1400 °F. Determínese: a) El calor que se transfiere y el trabajo en Btu/ lbm. b) La variación de entropía del universo ¿Es el proceso reversible, irreversible o imposible? c) Hágase un bosquejo en un diagrama T-s. 4. El CICLO REGENERATIVO, es un ciclo de potencia que utiliza el precalentamiento del agua que finalmente se alimentara a la caldera. para tal fin, se extrae cierta cantidad del vapor que circula a través de la turbina. Con todo esto se logra incrementar el rendimiento o la eficiencia del ciclo. El precalentamiento del agua líquida se puede hacer en dos tipos de precalentadores: A) PRECALENTADOR ABIERTO O DE O DIRECTO, denominado así porque el agua líquida proveniente del condensador se mezcla directamente con el vapor. B) PRECALENTADOR CERRADO O DE SUPERFICIE, en el cual el agua líquida y el vapor nunca llegan a mezclarse. A su vez, este segundo tipo de precalentador, se instala de acuerdo a dos tipos de configuraciones posibles (Con bomba y Con trampa de vapor), las cuales se muestran a continuación con los estados típicos de operación y la representación de los mismos en un diagrama Temperatura-Entropía (T-s). Sea el caso de la Configuración con la bomba: Punto

Ubicación

1

Entrada de precalentador

vapor

al

2

Salida del calentador y entrada a la bomba

3

Entrada de agua líquida al precalentador

4

Salida de agua líquida del precalentador

5

Salida del agua de la bomba

6

Punto donde se mezclan las corrientes 4 y 5

Condiciones

Entalpia (h)

Estado

P=4MPa, T=375.52, m=17.3 kg/s, s=?

3154.3 kJ/kg

Vapor Sobrecalentado

P=? S=? T=? P=15 MPa m=? T=155.51 °C P=? s=? T=250.41 kJ/kg P=? S=? T=253.20 P=? T=250.89 °C

?

?

656.08 kJ/kg

?

1087.31 kJ/kg

?

1101.08 kJ/kg

?

108.7 kJ/kg

?

38

39 Mezcla a P5

(3)

(P2=P1, T2

Liq. Sat. a P2, T2

(2)

Trampa de vapor

de Presión más baja Purgador o

A Calentador

(P5 < P2, h5=h2=h4)

(P3 > P1, T3 < T1)

(P4=P3, T4 > T3) (4)

Líq. Comp. a P3, T3

(1)

(Extraída de la Turbina)

Vapor Sobrec. a P1, T1

Liq. Comp. a P4, T4

CALENTADOR CERRADO CON TRAMPA DE VAPOR

40

T

3

4

h=c

2

Equilibrio LíquidoMezcla

5

Punto Crítico

1

s

CALENTADOR CERRADO CON TRAMPA DE VAOR

41

T4

(P4=P5=P6,

a P6, T6

(P5>P2, T5>T2)

Líq. Comp. a P5, T5

Bomba

(P2=P1, T2

Liq. Sat. a T2, P2

(P3 > P1, T3 < T1)

(P4=P3, T4 < T5)

Liq. Comp.

Líq. Comp. a P3, T3

Liq. Comp. a P4, T4

Vapor Sobrec. a P1, T1

CALENTADOR CERRADO CON BOMBA

T

42

3

4

6

5

2

Equilibrio LíquidoMezcla

Punto Crítico

1

s

CALENTADOR CERRADO CON BOMBA

6.12 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 

Van Wylen, Gordon J. & Sonntag, Richard E. Fundamentos de Termodinámica. Editorial Limusa. México. 1990. 735 págs.



López Arango, Diego. Termodinámica. Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería. Segunda Edición. Colombia. 1999. 425 págs.



Çengel, Yunus A. & Boles, Michael A. Termodinámica. Editorial McGrawHill. Cuarta Edición. México. 2003. 829 págs.



Wark, Kenneth & Richards, Donald E. Termodinámica. Editorial McGrawHill. Sexta Edición. México. 2004. 1048 págs.

43