Ejercicios Resueltos 1 4i1g5t

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE: 1. 2. 3. 4. 5.

FORMULACIÓN DE PROBLEMAS SOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO SOLUCIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD ANÁLISIS DUAL

PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Dado el siguiente modelo matemático de programación lineal: Min y1+2y2 St y1+4y2<=21 2y1+y2>=7 3y1+1.5y2<=21 -2y1+6y2>=0 y1,y2>=0 a) Obtenga la solución óptima por el método gráfico. Muestre el gráfico respectivo. b) Muestre el modelo matemático Dual respectivo. 2. Dado el siguiente modelo matemático de programación lineal: MIN Z = 2X1 + 3X2 ST X1+ X2<=8 X1-3X2<=2 2X1+ X2>=11 X1,X2>=0 Se pide: (De sus respuestas con sólo 2 decimales) a)

La solución óptima por el método gráfico. Muestre el gráfico respectivo.

b) El Precio dual de los RHS agotados. c)

El Análisis de sensibilidad de los RHS1 y RHS2.

d) El Análisis de sensibilidad de los coeficientes de la función objetivo. e)

¿Cómo afectaría a la función objetivo el aumento de 3 unidades de RHS2?.

f)

La solución por el método simplex generalizado. Muestre solamente la tabla inicial y la primera iteración.

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3.- La empresa XXX produce 2 artículos: cubiertas de carro y tolderas. Para la próxima semana dispone de los siguientes suministros: 400 horas-hombre 1200 mts2 de lino 2700 mts2 de lona 600 horas-máquina La utilidad de las cubiertas de carro es de 150 soles y de las tolderas 500 soles. Para producir una cubierta de carro se requiere 1 hora-hombre, 6 mts 2 de lino y 1 hora-máquina, y para producir una toldera se requiere 2 horas-hombre, 18 mts 2 de lona y 1.5 horas-máquina. Existe una demanda mínima de 140 tolderas. Para obtener sus respuestas trabaje con todos los datos redondeados a 3 decimales. 1) Defina las variables de decisión del problema. Xi: Nro de unidades a producir del producto i i=1(tolderas),2(cubiertas) 2) Formular la función objetivo del problema. Max 500x1+150x2 3) Formular las restricciones estructurales del sistema. 2x1+x2<=400 hrs. Hombre2 6x2<=1200 mts2 de lino 18x1<=2700 mts2 de lona 1.5x1+x2<=600 hrs. máquina X1>=140 Xi>=0, i=1,2 4) Obtenga la solución por el método gráfico.

5) Determine el plan de producción que haga máxima la utilidad de la empresa. ¿Cuál es la utilidad máxima? Plan de producción: X1=150 tolderas X2= 100 cubiertas Ingreso máximo: S/. 90 000 Para responder las siguientes preguntas puede Ud. Utilizar la salida de la figura 1 del Software Lindo o la salida de la figura 2 del software WinQsb mostradas abajo.

2

6) Determine la cantidad total de mts2 de lino utilizados. 6*100=600 mts2 de lino 7) ¿Existe horas-máquina ociosas? ¿Cuántas? Si, 275 hrs. máquina 8) ¿Cuántas horas-hombre se utilizaron en la producción de las tolderas? 2*150=300 hrs. hombre 9) Cuántas horas-máquina se utilizaron en la producción de las cubiertas de carro? 1*100=100 hrs. máquina 10) ¿Cuánto estaría Ud. dispuesto a pagar como máximo por 1 mt 2 de lona adicional? S/. 11.111 11) ¿Cuánto pagaría Ud. Como máximo por una hora-máquina extra? S/. 0 12) ¿Dentro de qué rango de variabilidad es válido el precio dual de una hora-hombre? [300, 500] 13) Determine el rango de variabilidad de la utilidad unitaria de una toldera, dentro del cual el Plan de producción actual no varía. [300, infinito] 14) Obtenga la solución del modelo matemático anterior utilizando el algoritmo SIMPLEX y compare las respuestas de las preguntas 5), 10) y 11). TABLA FINAL DEL SIMPLEX

Las respuestas son las mismas. 15) Construya el modelo matemático dual respectivo. Min 400y1+1200y2+2700y3+600y4-140y5 St 2y1+18y2+1.5y4-y5>=500 y1+6y3+y4>=150 Yi>=0, i=1,2,3,4,5 16) Defina las variables del problema dual. Yi: Precio por cada unidad del recurso RHSi i=1:hrs. hombre, 2: mts2 de lino, 3: mts2 de lona, 4: hrs. máquina, 5: demanda de x1 17) Muestre la solución óptima respectiva del modelo dual (valor de la función objetivo y de las variables de decisión). Z= S/. 90 000

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y1=S/. 150 y3=S/. 11.111 Ingreso del modelo al Lindo:

Figura 1: Salida del Software LINDO

Ingreso del modelo al WinQsb:

Figura 2: Salida del Software WinQsb

4

4.- Con los siguientes datos: Recurso R1 R2 R3 Contribución/unidad

Producto A B 10 10 8 4 3 0 $5 $5

Recurso disponible 200 64 72

Encuéntrese la solución óptima mediante el método simplex. Muestre las iteraciones. 5.- La empresa ABC S.A. tiene un presupuesto para gastar de hasta $1500 en publicidad local la próxima semana. El objeto global de la empresa es alcanzar la máxima audiencia de potenciales clientes. Así mismo quiere llegar hasta 9000 niños y 1000 abuelos por lo menos. Se dispone de 3 medios de publicidad; sus costos y la audiencia que tienen se dan en la tabla siguiente: - Costo por anuncio ($) - Audiencia Total (personas/anuncio) - Niños/anuncio - Abuelos/anuncio

Periódico 200 31000 1000 200

Radio 100 15000 1000 100

T.V. 500 50000 3000 500

Sea: X1, X2 y X3: número de anuncios en Periódico, Radio y TV por semana, respectivamente. a) Formule el modelo matemático de programación lineal. (plantee las restricciones en el siguiente orden: presupuesto de gasto, restricción de niños y restricción de abuelos) Utilizando la salida del Software WinQSB para su solución, responda las siguientes inquietudes: b) Cuál es la mezcla óptima de publicidad? Y a cuánta audiencia se llegaría?. c) A cuantos abuelos se llegaría con el periódico. d) En cuanto aumentaría la audiencia con 1 dólar adicional en el presupuesto? e) En cuánto tendría que aumentar la audiencia total de la Televisión para que se haga rentable su consideración en la mezcla óptima de publicidad?. f)

Muestre el modelo matemático Dual respectivo.

g) Muestre la solución óptima del modelo dual (valor de las variables de decisión y el valor de la función objetivo) h) Interprete las variables y1 del problema dual.

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a) Modelo Matemático: Max 31000X1+15000X2+50000X3 St 200X1+100X2+500X3<=1500 presupuesto 1000X1+1000X2+3000X3>=9000 niños 200X1+100X2+500X3>=1000 abuelos Salida del Software WinQsb:

b) Cuál es la mezcla óptima de publicidad? Y a cuánta audiencia se llegaría?. 6 anuncios en periódico y 3 en radio. Audiencia total= 231000 audientes. c) A cuantos abuelos se llegaría con el periódico. 200(6) = 1200 abuelos d) En cuanto aumentaría la audiencia con 1 dólar adicional en el presupuesto? En 160 audientes. e) En cuánto tendría que aumentar la audiencia total de la Televisión para que se haga rentable su consideración en la mezcla óptima de publicidad?. En 27000 audientes. f) Muestre el modelo matemático Dual respectivo. Min 1500Y1-9000Y2-1000Y3 St 200Y1-1000Y2-200Y3>=31000 100Y1-1000Y2-100Y3>=15000 500Y1-3000Y2-500Y3>=50000 g) Muestre la solución óptima del modelo dual (valor de las variables de decisión y el valor de la función objetivo) Y1= 160 Y2= 1 Y3= 0 W=231000 h) Interprete las variables y1 del problema dual. Y1= valor en número de audientes por dólar de presupuesto. 6.- Para el modelo matemático siguiente, el cual representa un problema de minimización de costos:

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MIN 4X1+5X2 St 5X1+2X2>=120 -X1+3X2<=230 X1<=30 X2>=30 X1,X2>=0 Sepide: a) La solución óptima aplicando el método gráfico. b) El estado de los RHS c) El Precio Dual de los RHS agotados. SOLUCIÓN a) Gráfico respectivo.

Punto Po P1 P2 P3

X1 12 0 0 30

X2 30 60 76.7 86.7

Z 198 300 383.5 553.5

P4

30

30

270

Min

Solución óptima: X1=12 X2=30 Z=198 b) Estado de los RHS RHS 1 2 3 4

Disponible 120 230 30 30

Utilizado 120 78 12 30

Holgura o Excedente 0 152 18 0

7

agotado holgura holgura agotado

c) Precio Dual de los RHS agotados: PD de RHS1: 5X1+2X2=121 X2=30 Resolviendo: X1= 12.2 X2=30 Z’= 198.8 PD(RHS1)=198 – 198.8 = -0.8 PD de RHS4: 5X1+2X2=120 X2=31 Resolviendo: X1= 11.6 X2=31 Z’= 201.4 PD(RHS4)=98 -201.4 = -3.4 Salida del WinQsb:

d) Análisis de Sensibilidad Análisis de Sensibilidad de RHS1: Max P4(30,30): 5(30)+2(30)=210 Min P7(0,30): 5(0)+2(30)=60 60<=RHS1=120<=210 Análisis de Sensibilidad de RHS2: Max M Min P0(12,30): -(12)+3(30)=78 78<=RHS2=230<=M Análisis de Sensibilidad de RHS3: Max M Min P0(12,30): 12 12<=RHS3=30<=M

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Análisis de Sensibilidad de RHS4: Max P1(0,60): 60 Min P5(24,0): 0 0<=RHS4=30<=60 Análisis de Sensibilidad de C1, entonces C2=5 P(z)=4/5=0.8 P(R1)=5/2=2.5 P(R4)=0/1=0 P(R4)<=P(z)<=P(R1) 0<=C1/5<=2.5 0<=C1<=12.5 Análisis de Sensibilidad de C2: entonces C1=4 0<=4/C2<=2.5 1.6<=C1<=M 7.- Una Empresa produce tres tipos de productos: A, B y C. Las horas hombre requeridas son H1 y H2 en los departamentos 1 y 2 respectivamente para el producto A. Una unidad de B requiere de H3 y H1 horas en los departamentos 2 y 3 respectivamente y un producto C requiere de H3, H2 y H1 horas en los departamentos 1, 2 y 3 respectivamente. El jornal por horas es “J” en cualquier departamento. Se desea fabricar hasta un máximo de FT unidades para los tres productos; un máximo de F1 unidades entre los productos A y B y un mínimo de F2 unidades de C. Si los productos A, B y C se vende a V1, V2 y V3 cada unidad respectivamente y la disponibilidad de horas son HA, HB y HC para los departamentos 1, 2 y 3 respectivamente. Formule un Modelo de Programación Lineal para este problema. SOLUCIÓN: Requerimiento de horas A B C DPTO 1 H1 H3 DPTO 2 H2 H3 H2 DPTO 3 H1 H1

Disponibilidad HA HB HC

Variables: Xi: Número de unidades a producir del producto i i=A, B, C Max V1XA+V2XB+V3XC-J(H1XA+H3XC+H2XA+H3XB+H2XC+H1XB+H1XC) St XA+XB+XC<=FT producción máxima de los tres productos XA+XB<=F1 producción máxima entre los productos A y B XC>=F2 producción mínima del producto C H1XA+H3XC<=HA Horas disponibles en el DPTO 1 H2XA+H3XB+H2XC<=HB Horas disponibles en el DPTO 2 H1XB+H1XC<=HC Horas disponibles en el DPTO 3 Xi>=0

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8.- Una Empresa manufacturera produce semanalmente tres modelos (Verde, Azul y Rosado) de un cierto producto. Para ello usa dos tipos de materiales (Onix y Plaqué) de los cuales hay disponibles 4000 y 6000 unidades, respectivamente. Los requerimientos de materiales por unidad de los 3 modelos son dados a continuación: Materiales Onix Plaqué

Requerimiento por unidad del modelo Verde Azul Rosado 2 3 5 4 2 7

El tiempo de fuerza laboral que exige cada unidad del modelo Verde es una hora-hombre que es el doble de lo que exige cada unidad del modelo Azul y 10/3 veces lo que exige el modelo Rosado. La fuerza laboral de la factoría dispone de 700 horas-hombre. El estudio de mercado indica que la demanda mínima de los tres modelos es de 200, 200 y 150 unidades, respectivamente. Las utilidades por unidad de los modelos Verde, Azul y Rosado son 30, 20 y 50 soles. Salida del software WinQsb:

Utilizando la salida del software WinQsb, resuelva las siguientes inquietudes: a) Defina las variables de decisión del problema. b) Muestre el modelo matemático de programación Lineal respectivo. (considere el siguiente orden para las restricciones: Onix, Plaqué, Horas-Hombre, demanda de verde, demanda de azul y demanda de rosado). c) Determine la utilidad máxima de la empresa. ¿Qué cantidad se produce de cada modelo? d) ¿Cuánto de Onix se utiliza en la producción del modelo Azul?, e) ¿Qué cantidad de Plaqué se emplea en la producción del modelo Rosado?. f)

¿Cuánto debe pagar como máximo para aumentar las existencias de Onix en 1 unidad?

g) ¿Cuánto debe de invertir como máximo para contratar 200 horas extras de trabajo? h) Muestre el modelo matemático Dual respectivo. i)

Muestre la solución óptima del modelo dual (valor de las variables de decisión y el valor de la función objetivo)

j)

Interprete la variable Y1,Y2 y Y3 del problema dual.

SOLUCIÓN: a) Defina las variables de decisión del problema.

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Xi: Nro de unidades a producir semanalmente del producto i i=1,2,3 b) Muestre el modelo matemático de programación Lineal respectivo. (considere el siguiente oreden para las restricciones: Onix, Plaqué, Horas-Hombre, demanda de verde, demanda de azul y demanda de rosado). Max 30X1+20X2+50X3 ST 2X1+3X2+5X3≤4000 4X1+2X2+7X3≤6000 X1+0.5X2+0.3X3≤700 X1≥200 X2≥200 X3≥150 Xi≥0 c) Determine la utilidad máxima de la empresa. ¿Qué cantidad se produce de cada modelo? Utilidad Máxima: S/. 42500 Producción: X1= 450 unidades del modelo Verde X2=200 unidades del modelo Azul X3=500 unidades del modelo Rosado d) ¿Cuánto de Onix se utiliza en la producción del modelo Azul?, 3*200= 600 unidades e) ¿Qué cantidad de Plaqué se emplea en la producción del modelo Rosado?. 7*500=3500 unidades f)

¿Cuánto debe pagar como máximo para aumentar las existencias de Onix en 1 unidad? 9.3182 soles

g) ¿Cuánto debe de invertir como máximo para contratar 200 horas extras de trabajo? 11.3636*200=2272.72 soles h) Muestre el modelo matemático Dual respectivo. Min 4000Y1+6000Y2+700Y3-200Y4-200Y5-150Y3 ST 2Y1+4Y2+Y3-Y4≥30 3Y1+2Y2+0.5Y3-Y5≥20 5Y1+7Y2+0.3Y3-Y6≥50 Yi≥0 i=1,2,3,4,5,6 i)

Muestre la solución óptima del modelo dual (valor de las variables de decisión y el valor de la función objetivo) Y1=9.3182 Y2=0 Y3=11.3636 Y4=0 Y5=13.6364 Y6=0 W=42500

j)

Interprete la variable Y1,Y2 y Y3 del problema dual. Y1: precio por unidad de Onix

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Y1: precio por unidad de Plaqué Y1: precio por hora-hombre 9.- Un mueblero dispone de dos diferentes tipos de madera; tiene 1500 pies tabla del tipo A y 1000 del tipo B, también dispone de 800 horas-hombre para efectuar el trabajo. La demanda que ha estimado es la siguiente: cuando menos 40 mesas, 130 sillas, 30 escritorios y no más de 10 libreros. Las cantidades de madera Ay B, y las horas-hombre que requiere la elaboración de cada unidad de artículo, están indicadas en el siguiente cuadro:

Artículo Mesa Silla Escritorio Librero Disponibilidad semanal

Madera A B 5 2 1 3 9 4 12 1 1500 1000

Horas Demanda Utilidades Hombre Estimada por unidad 3 no menos de 40 $ 12 2 no menos de 130 5 5 no menos de 30 15 10 no más de 10 10 800

Formule un Modelo Matemático de Programación Lineal para saber qué cantidad debe fabricar el mueblero de cada artículo, de manera que las utilidades sean las máximas? Solución Variables de decisión: X1: Número de mesas a producir semanalmente X2: Número de Sillas a producir semanalmente X3: Número de Escritorios a producir semanalmente X4: Número de Libreros a producir semanalmente Modelo matemático: Max 12X1+5X2+15X3+10X4 ST 5X1+X2+9X3+12X4<=1500 pies tabla de Madera A 2X1+3X2+4X3+X4<=1000 pies tabla de Madera B 3X1+2X2+5X3+10X4<=800 horas hombre X1>=40 X2>=130 X3>=30 X4<=10 X1, X2, X3, X4>=0 10.- Dado el siguiente modelo matemático de programación lineal: MIN Z = 2X1 + 3X2 ST X1-3X2<=2 2X1+ X2>=11 X1+ X2<=8 X1,X2>=0 a) Muestre la gráfica respectiva y la tabla de evaluación de los puntos intersección de la región factible. Gráfica respectiva

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Tabla: Punto P1 P2 P3

x1 3 6,5 5

x2 Z 5 21 1,5 17,5 1 13 Min

b) Indique el valor de las variables de decisión y el valor de la función objetivo. X1=5 X2=1 Z=13 c) Determine el Precio Dual del RHS2 Punto óptimo P3 (R1∩R2) R1: X1-3x2=2 R2: 2x1+x2=11+1 2*R1-R2: -7x2=-8  X2=1.14 En R1: X1-3(1.14)=2  X1= 5.42 Z’ = 2(5.42)+3(1.14) = 14.26  PD(RHS2)= 13-14.26= -1.26 11.- Una Empresa industrial produce 5 modelos de Teclados cada uno de los cuales es tratado en los departamentos de ensamblado y acabado. El número de horas hombre de mano de obra necesaria, por teclado en cada departamento es: Ensamblado Acabado

Modelo1 Modelo2 Modelo3 Modelo4 Modelo5 2 5 7 9 7 3 4 1 6 5

Se dispone de 10000 horas hombre en el departamento de ensamblado y de 5000 en el de acabado la próxima semana. Las utilidades en dólares para cada modelo de teclado son: 6, 3, 5, 4 y 5 respectivamente para los teclados 1, 2, 3, 4 y 5. Existen restricciones de producir por lo menos 100 unidades del modelo 3, a lo más 150 unidades del modelo 4 y a lo más 250 unidades del modelo 5. La producción de los modelos 1 y 2 es irrestricta. a) Defina las variables de decisión del problema. Xi: Nro de unidades a producir semanalmente del modelo i i=1,2,3,4,5 b) Muestre el modelo matemático respectivo. Max 6X1+3X2+5X3+4X4+5X5 ST 2X1+5X2+7X3+9X4+7X5<=10000

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3X1+4X2+1X3+6X4+5X5<=5000 X3>=100 X4<=150 X5<=250 Xi>=0 c) Muestre el modelo Dual. Modelo Primal: Max 6X1+3X2+5X3+4X4+5X5 ST 2X1+5X2+7X3+9X4+7X5<=10000 3X1+4X2+1X3+6X4+5X5<=5000 -X3 <=-100 X4 <=150 X5<=250 Xi>=0 Modelo Dual: Min 10000Y1+5000Y2-100Y3+150Y4+250Y5 ST 2Y1 +3Y2 >=6 5Y1 +4Y2 >=3 7Y1 +1Y2 -Y3 >=5 9Y1 +6Y2 +Y4 >=4 7Y1 +5Y2 +Y5 >=5 Yi>=0 d) Defina las variables del modelo Dual. Y1: Precio por hora de ensamblado Y2: Precio por hora de Acabado Y3: Precio por unidad de demanda del modelo 3 Y4: Precio por unidad de demanda del modelo 4 Y5: Precio por unidad de demanda del modelo 5 12.- Para el modelo matemático siguiente, el cual representa un problema de producción: MAX Z= 3X1+2X2 utilidad en soles ST X1+X2<=80 horas-hombre 2X1+X2<=100 horas-máquina X1 >=40 demanda del producto 1 X1,X2>=0 Se pide: a) La solución óptima mediante el método gráfico. Muestre el gráfico respectivo, el valor de las variables de decisión y valor de la función objetivo. b) La solución óptima mediante el método simplex. Muestre la iteración en indique en ella el valor de las variables de decisión y el valor de la función objetivo. SOLUCIÓN: a) Solución Gráfica:

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a) La solución óptima es: X1=40 unidades X2=20 unidades Z= S/. 160

13.- Una compañía está considerando siete grandes inversiones de capital. Cada inversión se puede hacer sólo una vez. Estas inversiones difieren en la ganancia estimada a largo plazo (valor presente neto) que generarán, así como la cantidad de capital requerido, como se muestra en la siguiente tabla (en millones de dólares):

Ganancia estimada Capital requerido

1 17 43

Oportunidad de inversión 2 3 4 5 6 10 15 19 7 13 28 34 48 17 32

7 9 23

Se dispone de $100 millones de dólares como capital total para estas inversiones. Las oportunidades de inversión 1 y 2 son mutuamente excluyentes, lo mismo que 3 y 4. Más aún, la oportunidad 3 no se podrá aprovechar a menos que se invierta en una de las dos primeras oportunidades. El objetivo es elegir la combinación de inversiones de capital que maximice la ganancia estimada a largo plazo (valor presente neto). Formule un modelo de programación binara para este problema. Solución Xi=1 si el proyecto i es aceptado, =0 en caso contrario i=1,2,3,4,5,6,7 Max 17x1+10x2+15x3+19x4+7x5+13x6+9x7 St 43x1+28x2+34x3+48x4+17x5+32x6+23x7<=100 x1+x2<=1 x3+x4<=1 x3-x1<=0 x3-x2<=0 end Xi{0,1} 14.- Para el modelo matemático siguiente, el cual representa un problema de minimización de costos: MIN Z = 4X1 + 3X2 ST X1+3X2>=15 2X1+ X2>=10 X1+ X2>=8 X1,X2>=0 Se pide:

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a) El gráfico respectivo y la solución óptima (valor de las variables de decisión y valor de la función objetivo)

Z=26 X1=2 X2=6 b) El precio dual de los RHS. PD1=0 PD2=-1 PD3=-2 15.- Una fábrica produce 4 productos: A, B, C y D. Cada unidad del producto A requiere de dos horas de maquinado, una hora de montaje y vale $10 en el inventario en proceso. Cada unidad del producto B requiere de una hora de maquinado, tres horas de montaje y vale $5 en el inventario en proceso. Cada unidad de C necesita de 2 ½ horas de maquinado, 2 ½ horas de montaje y vale $2 en el inventario en proceso. Finalmente, cada unidad del producto D requiere de cinco horas de maquinado, no necesita tiempo de montaje y vale $12 en el inventario en proceso. La fábrica dispone de 1200 horas de maquinado y 1600 horas de montaje. Además, no puede disponer de más de $10000 en el inventario en proceso. Cada unidad del producto A tiene una utilidad de $40; cada unidad de B, de $10; cada unidad de C, de $36, y cada unidad de D, de $23. No pueden venderse más de 200 unidades de A; no más de 160 de C, y pueden venderse cualquier cantidad de los productos B y D. Sin embargo, para cumplir con un contrato, deben producirse y venderse por lo menos 100 unidades del producto D. El objetivo de la fábrica es maximizar la utilidad resultante de la venta de los cuatro productos. Responder las siguientes preguntas utilizando la salida del Software LINDO (Ver fig. 1) Fig. 1

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a)

Muestre el modelo matemático respectivo y defina sus respectivas variables de decisión. MAX 40XA+10XB+36XC+23XD ST 2XA+XB+2.5XC+5XD<=1200 XA+3XB+2.5XC<=1600 10XA+5XB+2XC+12XD<=10000 XA<=200 XC<=160 XD>=100 Xi>=0 Variable de decisión: Xi: Nro de unidades a producir del producto i i=A,B,C,D

b) ¿Cuál es el plan de producción óptimo? Plan de Producción: 200 unidades del producto A 120 unidades del producto C 100 unidades del producto D c)

¿Cuál es la utilidad obtenida por la producción del producto tipo A? 200*40=$ 8000

d) ¿Cuántas horas de montaje consume la producción del producto tipo D? Ninguna e)

¿Cuánto estaría Ud. Dispuesto a pagar por una hora extra de maquinado? Hasta 14.4 dólares

f)

Hasta cuántas horas extras aumentaría Ud. Hasta en 1100 horas.

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g) ¿En cuánto debe mejorar la utilidad unitaria del producto B para que justifique su producción? En una cantidad mayor a 4.4 dólares h) ¿Qué sucedería con el plan de producción óptimo si la utilidad unitaria del producto C disminuye en $15? El plan de producción cambia i)

Indique cuál es el capital ocioso de la empresa. El capital ocioso es $ 6560

j)

Un nuevo producto, el producto E, está en consideración. Requiere de 5 horas de maquinado y 3 horas de montaje. La utilidad por unidad es de $30 ¿Debe producirse alguna unidad del producto E?. Costo de oportunidad= 14.4*5 + 0*3 = $70>$30, por lo tanto no debe producirse

k) Obtenga el modelo dual, defina sus variables de decisión y muestre su solución óptima Modelo matemático: MIN 1200Y1+1600Y2+10000Y3+200Y4+160Y5-100Y6 ST 2Y1+Y2+10Y4+Y5>=40 Y1+3Y2+5Y3>=10 2.5Y1+2.5Y2+2Y3+Y5>=36 5Y1+12Y3-Y6>=23 Yi>=0 i=1,2,3,4,5,6 Variables de decisión: Y1: Precio por hora de maquinado Y2: Precio por hora de montaje Y3: Precio por una unidad de inventario en proceso Y4: Precio por unidad de demanda del producto A Y5: Precio por unidad de demanda del producto C Y6: Precio por unidad de demanda del producto D Solución óptima: Y1=14.4 Y2=0 Y3=0 Y4=11.2 Y5=0 Y6=49 W=$ 14620 16.- Para el modelo matemático siguiente, el cual representa un problema de producción: MAX Z= 3X1+2X2+5X3 ganancia en soles ST X1+X2+X3<=430 horas-hombre 3X1+2X3<=460 horas-máquina X1+4X2<=420 Kg. de Materia Prima X1,X2,X3>=0 Aplicando el método Simplex, obtenga su solución y responda las siguientes inquietudes (sus respuestas alcanzarlas con 2 decimales): a) El plan de producción óptimo. La ganancia máxima.

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Plan de producción óptimo: 0 unidades de X1 105 unidades de X2 230 unidades de X3 Ganancia máxima = 1360 soles b) Los precios duales de cada RHS PD(RHS1)=0 PD(RHS2)=2.5 PD(RHS3)=0.5 c) La holgura o excedente de cada RHS Holgura de RHS1=95 horas hombre Holgura de RHS2=0 horas máquina Holgura de RHS3=0 Kg. De materia prima d) ¿Cuánto estaría Ud. dispuesto a pagar como máximo por una hora-hombre extra?, ¿Por una hora-máquina extra?, ¿Por un Kg. adicional de Materia Prima? Por una hora hombre extra = 0 soles Por una hora máquina extra = 2.5 soles Por un kg. adicional de materia prima = 0.5 soles 17.- Una empresa produce 4 productos (1,2,3,4) en dos departamentos (A,B). El producto 1 pasa por A,B a razón de 1/3, 1/2 unidad/hora respectivamente, el 2 pasa por A,B,A a razón de 1,1,1/2 unidad/hora respectivamente, el 3 pasa por B a razón de 1/2 unidad/hora y el 4 pasa por A a razón de 1/3 unidad/hora. Si las utilidades de los productos son de $30, $20, $45 y $15 y las disponibilidades de horas en los departamentos son de 300 y 200 horas respectivamente, determinar: a) La solución óptima b) Los valores marginales y costos reducidos c) Si tuviera que producir 5 unidades de un producto que no produce, ¿cuál eligiría y cuál sería su nueva utilidad? d) La solución óptima del dual 18.- Un fabricante de televisores fabrica cuatro modelos: A, B, C, y D, A y B son modelos blanco y negro y C y D son modelos a colores. Cada televisor requiere un cinescopio, así mismo requiere tiempo para montaje y pruebas. En la tabla 1 se indican los requisitos de montaje y pruebas para cada modelo, así como la cantidad de tiempo disponible para cada operación. Además, por causa de una huelga, hay una escasez de cinescopios y el proveedor indica que no podrá proporcionar más de 180 cinescopios el próximo mes y, de éstos, como máximo 100 podrán ser de color. La demanda máxima del modelo B es de 120 unidades y se requiere como mínimo 10 unidades del modelo A. Tabla 1 A Tiempo de montaje (horas) Tiempo de pruebas (horas)

Modelo Total B C D disponible 8 10 12 15 2000 2 2 4 5 1000

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Beneficio marginal (dólares) 40

60 70 100

Utilizando la salida del software POMQM mostrada anteriormente, responda las siguientes inquietudes en su hoja de respuestas: a) Cuál es el programa de producción óptimo para el fabricante de televisores? ¿Cuál es el beneficio máximo? b) ¿Cuánto pagaría como máximo por una hora adicional de tiempo de montaje?. ¿En qué intervalo es válido este valor?. c) Suponga que se pueden obtener 100 horas adicionales de tiempo de montaje a un costo de cuatro dólares por hora? ¿Debe hacerse? ¿Cuál sería el incremento neto en los beneficios?. d) Suponga que se instituye un cambio de precio que modifica el beneficio marginal del modelo C, de 70 a 80 dólares. ¿Cambiaría esto el plan óptimo de la producción?. e) ¿En cuánto incrementaría el beneficio marginal óptimo si se adiciona 5 horas de pruebas? f)

Suponga que el precio del modelo C cambia de 70 a 90 dólares. En este caso. ¿Variaría el plan de producción?.

g) ¿Cuántas horas de pruebas se utiliza en la producción del modelo B? h) ¿Qué pasaría con el beneficio marginal óptimo si se exige producir al menor 11 unidades del modelo A?. i)

¿Cuántas horas de montaje se utiliza en la producción del modelo A?

j)

¿Si tendría que elegir entre incrementar las horas de montaje o cinescopios a color, qué decidiría? ¿Por qué?

k) ¿En cuánto incrementaría la función objetivo si se adiciona 20 horas de montaje? l)

¿Cuánto tendría que cambiar el beneficio marginal del modelo C para que justifique su producción?.

m) En la pregunta anterior, ¿Cuál sería el nuevo beneficio óptimo del problema? n) Obtenga el modelo dual (escríbalo en su hoja de respuesta). o) ¿Cuál sería la solución óptima del modelo dual? (indique sólo el valor de las variables y el valor de Z). p) ¿Qué representa cada variable del modelo dual?. q) En el Modelo primal, suponga que se exige producir al menos 5 unidades del modelo C, ¿Cuál sería el nuevo beneficio marginal óptimo? r)

Sin tomar en cuenta la pregunta anterior, la gerencia quiere introducir un nuevo modelo a color (modelo E). El modelo E sólo requeriría 10 horas de montaje y 3 horas de pruebas. El beneficio marginal del modelo sería de 70 dólares. ¿Débe producirse el nuevo modelo?, ¿Por qué?

s) ¿Cuál sería el nuevo plan de producción si se considera producir el modelo E? t)

Tomando en cuenta el modelo primal inicial, qué pasaría con el beneficio marginal óptimo si el modelo A sólo requiere de 4 horas de montaje?

19.- “JC” S.A. quiere gastar $ 1500 en publicidad local. El objeto global es alcanzar la máxima audiencia posible al mismo tiempo que llegar hasta 9000 niños y 1000 abuelos por lo menos. Se dispone de 3 medios; sus costos y la audiencia que tienen se dan en la tabla siguiente: COSTO POR ANUNCIO ($) AUDIENCIATOTAL NIÑOS ABUELOS

PERIODICO 200 31000 1000 200

Max 31000P+15000R+50000T

20

RADIO 100 15000 1000 100

T.V. 500 50000 3000 500

St 200P+100R+500T<=1500 1000P+1000R+3000T>=9000 200P+100R+500T>=1000 Salida del PomQm:

Utilizando la salida del software POMQM mostrada anteriormente, responda las siguientes inquietudes en su hoja de respuestas: a) Cuál es la mezcla óptima de publicidad? Y a cuánta audiencia se llegaría?. b) En cuanto aumentaría la audiencia total con 1 dólar adicional en el presupuesto? Por que? Cuál es el rango para que este valor marginal sea válido? c) “JC” está preocupado, ya que la audiencia total de la Radio sólo es aproximada. Sobre qué rango de audiencia total permanecerá la Radio en la solución? d) ¿En cuánto incrementaría la audiencia total si se adiciona 500 dólares de capital para publicidad? e) Si la audiencia total del Periódico bajara en 1000, cuál sería la nueva solución óptima para “JC”?. Por que? f)

Suponga que la audiencia a la que llega la radio aumenta en 700. ¿Cambiaría esto la solución óptima?.

g) ¿A qué audiencia total se llega con la radio? h) ¿Qué pasaría con la audiencia total si se exige llegar a por lo menos a 9001 niños?. Por qué. i)

¿A cuántos abuelos en total se llega?.

j)

¿A cuántos abuelos se llega solamente con el periódico?.

k) ¿En cuánto incrementaría la audiencia total si se adiciona 2000 dólares de capital para publicidad? l)

En cuánto tendría que aumentar la audiencia total de la Televisión para que se haga rentable su consideración en la mezcla óptima de publicidad?. Por que?

m) En la pregunta anterior, ¿Cuál sería la nueva audiencia total a la que se llegaría? n) Obtenga el modelo dual (escríbalo en su hoja de respuesta). o) ¿Cuál sería la solución óptima del modelo dual? (indique sólo el valor de las variables y el valor de Z). p) ¿Qué representa cada variable del modelo dual?. q) En el Modelo primal, suponga que se exige producir al menos 5 unidades del modelo C, ¿Cuál sería el nuevo beneficio marginal óptimo? r)

Sin tomar en cuenta la pregunta anterior, Un cuarto medio, está en consideración. Requiere 350 dólares de presupuesto, llega a 2000 niños y a 400 abuelos. La audiencia total es de 40000. Debe considerarse?. Por que?

s) ¿Cuál sería el nuevo valor de z si se considera incluir el cuarto medio?

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t)

Tomando en cuenta el modelo primal inicial, qué pasaría con la audiencia total óptima si el costo por anuncio en TV es de $ 300 en vez de $ 500?

20.- Una Empresa manufacturera produce semanalmente tres modelos (Verde, Azul y Rosado) de un cierto producto. Para ello usa dos tipos de materiales (Onix y Plaqué) de los cuales hay disponibles 4000 y 6000 unidades, respectivamente. Los requerimientos de materiales por unidad de los 3 modelos son dados a continuación: Materiales Onix Plaqué

Requerimiento por unidad del modelo Verde Azul Rosado 2 3 5 4 2 7

El tiempo de fuerza laboral que exige cada unidad del modelo Verde es una hora-hombre que es el doble de lo que exige cada unidad del modelo Azul y 10/3 veces lo que exige el modelo Rosado. La fuerza laboral de la factoría dispone de 700 horas-hombre. El estudio de mercado indica que la demanda mínima de los tres modelos es de 200, 200 y 150 unidades, respectivamente. Las utilidades por unidad de los modelos Verde, Azul y Rosado son 30, 20 y 50 dólares. a) Muestre el modelo matemático de programación Lineal respectivo. b) Determine la utilidad máxima de la empresa. ¿Qué cantidad se produce de cada modelo? c) ¿Cuánto de Onix se utiliza en la producción del modelo Azul?, en qué rango es válido este valor?. d) La empresa desea aumentar sus ganancias a $44000 adquiriendo tiempo extra en su fuerza laboral ¿cuánto más de tiempo extra se necesita?. e) ¿Qué cantidad de Plaqué se emplea en la producción del modelo Rosado?. f)

Cuál sería la nueva utilidad de la empresa si se aumenta 500 unidades de Onix. Explique.

g) Si usted pudiera obtener cantidades adicionales de únicamente uno de los tres recursos ¿cuál de ellos recomendaría? Explique. h) ¿Qué pasaría con el plan de producción si la ganancia del modelo verde disminuye en 5%?. i)

¿Cuánto debe pagar como máximo para aumentar las existencias de Onix en 1 unidad?. Explique.

j)

¿Cuánto debe de invertir como máximo para contratar 200 horas extras de trabajo?. Explique.

k) Si la demanda mínima del modelo azul aumenta en 2%, ¿qué pasaría con la utilidad de la empresa?. l) ¿Qué coeficiente o coeficientes de ganancia podrían duplicarse, mientras se mantienen fijos todos los demás coeficientes, sin que afecte el plan de producción óptimo? Explique. m) Si se considera un nuevo producto que requiere 3 unidades de Onix, 2 unidades de Plaqué y 2 horas-hombre y la utilidad por unidad es $ 50, debe producirse?. n) Indique e interprete las holguras y excedentes de los lados derechos. o) Obtenga el modelo de PL DUAL del problema primal (inicial). p) Defina las variables de decisión del modelo dual. q) Muestre su solución óptima del modelo dual. r)

Muestre los valores duales del modelo dual.

21.- Cauchos Perú, fabrica tres productos de caucho: Airtex (material esponjoso), Extendex (material elástico) y Resistex (material rígido). Los tres productos requieren los mismos tres polímeros químicos y una base. La cantidad de cada ingrediente usada por libra del producto final se muestra en la tabla: Ingrediente (oz/lb de producto)

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PRODUCTO Airtex Extendex Resistex

Polímero A 4 2 5

Polímero B 2 2 3

Polímero C 4 3 5

Base 5 8 2

Cauchos Perú, tiene el compromiso de producir al menos 1200 libras de Airtex, 500 libras de Extendex y 300 libras de Resistex para la próxima semana, pero la gerencia de la compañía sabe que puede vender más de cada uno de los tres productos. Los inventarios actuales de los ingredientes son 500 libras del polímero A, 425 libras del polímero B, 650 libras del polímero C y 1100 libras de la Base. Cada libra de Airtex produce a la compañía una ganancia de $7, cada libra de Extendex una ganancia de $6.5 y cada libra de Resistex una ganancia de $6. Salida del Software POMQM:

a) Muestre el modelo matemático respectivo. Xi: Nro de libras a producir del producto i i=1,2,3 Max 7x1+6.5x2+6x3 St 4x1+2x2+5x3<=8000 2x1+2x2+3x3<=6800 4x1+3x2+5x3<=10400 5x1+8x2+2x3<=17600 X1>=1200 X2>=500 X3>=300

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Xi>=0 En base a la salida del software POMQM mostrada anteriormente, responda las siguientes inquietudes: b) Cuánto debe producir Cauchos Perú de cada producto?. Cuánto le reportaría de ganancia por la venta de éstos productos. Airtex=1200 libras. Extendex=850 libras. Resistex=300 libras. Ganancia=$ 15725 c) ¿Cuánto pagaría como máximo por una onza adicional del polímero A?. ¿En qué rango es válido este valor?. Una cantidad <$3.25, rango [7300 a 9033.33] d) Indiqué qué recursos se agotaron. Hay excedentes?, cuánto?. Recurso agotado: Polímero A Excedente: Extendex, 350 libras. e) Si usted pudiera obtener cantidades adicionales de únicamente uno de los tres polímeros ¿cuál de ellos recomendaría? Explique. Polímero A, ya que es el único que tiene Precio Dual>0 f)

La compañía desea aumentar sus ganancias a $18000 adquiriendo más cantidad del polímero A ¿cuánto más del polímero A se necesita?. 18000-15725= 2275 2275/3.25= 700 onzas

g) Si la demanda de Airtex aumenta en 2%, ¿qué pasaría con la utilidad de la empresa?. 0.02*1200=24, está en el rango permitido Entonces la utilidad disminuye en $144 (24*6) h) Qué pasaría con el plan de producción si la ganancia de Extendex disminuye en 20%?. 0.2*6.5=1.3, está en el rango permitido, ENTONCES EL Plan de Producción NO VARÍA i)

Qué pasaría con la ganancia óptima de la empresa si el compromiso de producir 300 libras cae en 10%?. 0.1*300=30, está en el rango permitido, ENTONCES la GANANCIA AUMENTA en $307.5 (30*10.25=307.5)

j)

¿Qué coeficiente o coeficientes de ganancia podrían duplicarse, mientras se mantienen fijos todos los demás coeficientes, sin que afecte el plan de producción óptimo? Explique. (2 puntos) Airte C1: 7*2=14, sale del rango, No puede duplicarse Extendex C2: 6.5*2=13, está dentro del rango, SI Puede duplicarse. Resistex C3: 6*2=12, está en el rango, SI Puede duplicares

k) Qué cantidad de polímero B se utiliza en la empresa?. 6800-1800=5000 onzas l)

Si se considera un nuevo producto que requiere 2.2 onzas de polímero A, 3 onzas del polímero B, 1 onza del polímero C y 2 onzas de Base y la utilidad por unidad es $ 7.5, debe producirse?. (2 puntos) 2.2*3.25+3*0+1*0+2*0=7.15<7.5, entonces SI DEBE PRODUCIRSE. m) De producirse el nuevo producto, cuál sería el nuevo plan de producción?. X1=1200 X2=500 X3=300 X4=318.8

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Z=15836.36 n) Obtenga el modelo de PL DUAL del problema primal. Min 8000Y1+6800Y2+10400Y3+17600Y4-1200Y5-500Y6-300Y7 St 4Y1+2Y2+4Y3+5Y4-Y5>=7 2Y1+2Y2+3Y3+8Y4-Y6>=6.5 5Y1+3Y2+5Y3+2Y4-Y7>=6 Yi>=0 o) Defina las variables de decisión del modelo dual. (2 puntos) Y1: precio/onza de polímero A Y2: precio/onza de polímero B Y3: precio/onza de polímero C Y4: precio/onza de Base Y5: precio/libra de demanda de Airtex Y6: precio/libra de demanda de Extendex Y7: precio/libra de demanda de Resistex p) Muestre su solución óptima del modelo dual. Y1=3.25 Y2=0 Y3=0 Y4=0 Y5=6 Y6=0 Y7=10.25 Z=15727 q) Muestre los valores duales del modelo dual. Valor dual 1=-1200 Valor dual 2=-850 Valor dual 3=-300

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