Ejercicios Distribucion Normal Y Estimac 695d15

PROBLEMAS

DISTRIBUCIÓN NORMAL

1.- El tiempo que se tardan los encuestados en diligenciar un formulario es de 20 minutos con una varianza de 16 minutos cuadrados; se asume que el tiempo sigue una distribución Normal; se pide: a) La probabilidad de que una persona invierta entre 18 y 25 en responder el formulario. a) 



Datos: Variable

Desviación

Media

X

δ

μ

4

20

Modelo Matemático: P (18 < x <25)

z 1=

x−μ 25−20 = =1,25 δ 4

z 2=

x−μ 18−20 = =−0,5 δ 4

A = A2’ – A1´= 0,8944 – 0,3085 = 0,5859 La probabilidad de que una persona invierta entre 18 y 25 minutos en responder el formulario es de 58,59% 

Grafica

1

2.- Una máquina llenadora automática se gradúa para dispensar 1000 c.c. sin embargo al realizar un control de calidad se encontró que el 10 % de las botellas contenían más 1000 c.c. y el 5 % contenían menos de 985 c.c. se pregunta el contenido medio de llenado de las botellas. 



Datos: x

z

1000

0,10

985

0,05

Modelo Matemático: Despejamos

σ=

x 1−μ z1

σ=

x 2−μ z2

σ

de cada ecuación

Igualamos las dos ecuaciones

x 1−μ x 2−μ = z1 z2 Despejamos

μ=

μ que representa el valor que se nos esta pidiendo hallar

z 2∗x 1−z 1+ x 2 z 2−z 1

Reemplazamos con los datos dados

μ=

0,05∗1000−0,10+ 985 0,05−0,10

Determinamos el valor de la media

μ=4,8743 El contenido medio de llenado de las botellas es de 

Grafica

2

4,8743

5.- Si se desea construir un auto que sea superior al 95 % de los autos del problema anterior, cuantos km por galón debería recorrer este nuevo auto? Problema anterior: Cierta marca de autos recorre 25.5 km por galón de combustible, con una desviación de 4.5 km por galón; ¿Qué porcentaje de autos rinden más de 30 km por galón? 



Datos: Variable (x)

Desviación (δ)

Media (μ)

Z

30 Km

4.5 Km

?

0.95

Análisis: Es una desviación Normal ya que me dan δ y Z y me están preguntando la media.



Modelo Matemático: Debemos despejar

σ=

x−μ z

=

μ

de la ecuación:

μ=−( Z∗σ ) +( x)

μ=−( 0.95∗4.5 ) +(30) μ=25 . 72 Los km por galón debería recorrer este nuevo auto son 

Grafica

3

25 .72 km

7.- El dispensador del ADN de la esquina sabe que la demanda diaria de su periódico es de 240 unidades, con una varianza de 529; que cantidad debe solicitar para que la probabilidad de que se agote su existencia no sea mayor al 2 % en un día cualquiera? 

Datos:

Variable (x)

Desviación (δ)

Media (μ)

Z

√ 529 = 23

240

0.02

X



Modelo Matemático: Debemos despejar

σ=

x−μ z

=

X

de la ecuación:

X =( Z∗σ ) +(μ)

X =( 0.02∗23 ) +(240) x=240 . 46 La Cantidad que debe solicitar para que la probabilidad que se le acaben no sea mayor al 2% es 240.46 

Grafica

4

9.- Los ingresos de cierto sector económico se distribuyen normalmente y su clasificación de menor a mayor es la siguiente: Grupo Porcentaje

A 8

B 16

C 42

D 20

E 14

El grupo C está comprendido entre $ 136500 y $160000 mensuales. a) Si en ese sector se ocupan 25000 personas, ¿Cuántas personas se espera que tengan ingresos superiores a $170000 mensuales? a) valor esperado 



Datos: Media (μ)

n

42%

25000

μ 153418,10

Modelo Matemático: P (x >170000) A = 1 - A1´

z=

x−μ 170000−153418,10 = =1,78 δ 9270,8

A1´= 0,9625 A = 1 – 0,9625 = 0,0375 E(x) = 25000*0,0375 = 937,5 

Grafica

5

PROBLEMAS

DE ESTIMACION

1) Si la media (promedio) de una población es de 72 y su desviación de 3; determinar la probabilidad de que en una muestra de 81 observaciones, su promedio sea: a) Inferior a 70. b) Superior a 75 c) mayor a 69 e inferior a 75

a) Inferior a 70 

Datos: Desviación

Media

N

δ

μ

81

3

72

Muestra



x <70

Análisis: Es una estimación ya que me dan n, μ y δ



Modelo Matemático: P (x <70) A = A1´

z=

x−μ σ /√n

=

70−72 =-6 3/ √ 81

A1´=0

A = 0% 

Grafica

6

b) 

Datos:

Desviación

Media

N

δ

μ

81

3

72

Muestra



x >75

Análisis: Es una estimación ya que me dan n, μ y δ



Grafica



Modelo Matemático: P (x >75)

z=

x−μ σ /√n

A = 1- A1´

=

70−72 =9 3/ √ 81

A1´=1.

7

A = 1- 1 = 0 %

c)





Datos: Muestra

Desviación

Media

N

δ

μ

81

3

72

x 69<x<75

Análisis: Es una estimación ya que me dan n, μ y δ



Modelo Matemático: P (69 < x <75) A= A’2 -A’1

z 1=

x−μ σ / √n

=

69−72 = - 0.333 σ / √ 81

z 2=

x−μ σ /√n

=

75−72 = 0.333 σ / √ 81

A2’=0.3707 = 37.07%

A1’=0.6293 = 62.93%

z=z1+z2 = 100% 

Grafica

3) En una distribución normal se seleccionan todas las posibles muestras tamaño 25, si el 2 % de estas muestras tienen una media que difieren de la media poblacional en más de 4 en valor absoluto. Hallar la desviación estándar de la población. 

Datos:

8



Muestra

Desviación

n

δ

25

?

x−μ |4|

2%

Análisis: Es una estimación ya que me dan x-μ y n



Modelo Matemático: Determinar la desviación estándar: la realizo con la ecuación de promedio nominal



z=

x−μ σ /√n

σ=

( x−μ )∗√ n z

σ=

(−4 )∗√25 =8 ,58 −2 ,33

La desviación estándar de la población es 8.58 Grafica

5) Un almacén de cadena recibe 70000 pilas AA de 9 voltios para decidir si acepta o no esa remesa resuelve medir la vida útil de ellas, para lo cual toma una muestra de 36 pilas; si en promedio esas pilas duran 60 o más horas las acepta, en caso contrario las rechaza. Se pregunta la probabilidad de: a)

Aceptar una remesa que tiene una vida promedio de 59 horas y desviación de 3.

9



Datos: Muestra N 70000



Muestra

Desviación

n 36

δ 3

Media μ 60

x 59

Análisis: Es una estimación ya que me dan μ, n, δ y N



Modelo Matemático: Determinar la probabilidad: la realizo con la ecuación de promedio nominal

z=

59−60 =−2 3/ √ 36

El área para Z=2 es de 0.0228= 2,28% La probabilidad de aceptar una remesa que tiene una vida promedio de 59 horas y desviación de 3 es de 2.28% 

b)

Grafica

Rechazar un cargamento con vida útil de 60.5 horas y varianza de 9 horas2. 

Datos: Media

Muestra

Muestra

Desviación

N

n

δ

μ

3

60

70000

36

10

x 60,5



Análisis: Es una estimación ya que me dan μ, n, δ y N



Modelo Matemático: Determinar la probabilidad: la realizo con la ecuación de promedio nominal

z=

60 ,5−60 =1 3/ √ 36

El área para Z=1 es de 0.8413 de donde 1-0,8413 = 0,1587 = 15,87% La probabilidad de rechazar un cargamento con vida útil de 60.5 horas y varianza de 9 horas2 es de 18.87% 

Grafica

7) Se toma una muestra de 400 artículos producidos por una empresa y se pregunta cuál debe ser la probabilidad de que en esa muestra el 5 % o más sea defectuosa, sabiéndose, por experiencia que esa empresa produce en promedio 4 % de artículos defectuosos. 

Datos: Muestra



Promedio

Promedio

n

P

p

400

0,04

0,05

Análisis: Es una estimación ya que me dan μ, n y x

11



Modelo Matemático: Determinar la probabilidad: la realizo con la ecuación de promedio proporcional

z=

z=

p−P

√

P∗Q n

0 , 05−0 , 04

√

0 , 04∗0 . 96 400

=1 ,02

El área para Z=1,02 es de 0.8461 de donde 1-0,8461 = 0,1539 = 15,39% La probabilidad de que en esa muestra el 5 % o más sea defectuosa es de 15.39% 

Grafica

9) Un nuevo tratamiento quirúrgico, es eficaz el 90 % de las veces que se aplica; si se selecciona una muestra de 40 enfermos, determine la probabilidad de que se presente una diferencia mayor del 8 % en cuanto a su eficacia. 



Datos: Muestra

Promedio

n

P

P-p

40

0,90

0,08

Análisis: Es una estimación ya que me dan μ, n y x

12



Modelo Matemático: Determinar la probabilidad: la realizo con la ecuación de promedio proporcional

z=

z=

p−P

√

P∗Q n

0 , 82−0 , 90

√

0 , 90∗0 .10 40

=1 , 68

El área para Z=1,68 es de 0.8461 de donde 1-0,9535 = 0,0465 = 4,65% La probabilidad de que se presente una diferencia mayor del 8 % en cuanto a su eficacia es del 4.65% 

Grafica

11) Se tiene la población de los números dígitos (1 al 9); determine la probabilidad de que al seleccionar 4 de ellos, en promedio, la suma de los cuatro sea superior a 20.

P(x>20) = 0.06% 



Datos:

N

n

9

4

Análisis: Es una estimación ya que me dan N, n



Modelo Matemático:

13

P ( x < 20)

z=

z=



p−P

√

P∗Q n 0−0,44

√

0 , 44∗0 . 56 4

=¿

Grafica

13) hallar la probabilidad de que 8 o más estudiantes, de una muestra 36 tomada de un plantel, usen anteojos si se sabe que el 25 % de los estudiantes del plantel usan anteojos. 

Datos: Muestra

Muestra

Promedio

N

n 8

P

36



0,25

Análisis: Es una estimación ya que me dan N, n y P



Modelo Matemático: Determinar la probabilidad: la realizo con la ecuación de promedio proporcional

14

z=

z=

p−P

√

P∗Q n

0 ,22−0 , 25

√

0 , 25∗0 .75 8

=−0 ,18

El área para Z =-0,18 es de 0.4286 de donde 1-0,4286 = 0,5714 = 57,14% L a probabilidad de que 8 o más estudiantes, de una muestra 36 tomada de un plantel, usen anteojos es de 57.14% 

Grafica

15) En un estudio Psicológico sobre la susceptibilidad a las ilusiones perceptivas, 50 hombres juzgan la longitud de una figura ilusoria. La evaluación de cada uno de ellos se compara con la longitud verdadera y se registra la desviación o error. El experimento produjo los siguientes resultados para las desviaciones: ў = 81 mm. S = 12 mm. Determine un IC del 95% para la magnitud media de los errores. 

Datos: Muestra n 59



ў 81 mm.

S 12 mm.

Análisis: Es una estimación ya que me dan n, s y ў



Modelo Matemático:

15

Determinamos el valor de z en el intervalo de confianza con la tabla y determinamos el error.

ε=

z∗s 1,96∗12 = =3,326 50 √n

Determine un IC para la magnitud media de los errores. ў-

ε

< μ< ў +

ε

81- 3,326 < μ <81 +3,326 77,674 < μ <84,326 

Grafica

17) Una máquina llenadora tiene una varianza de 1 onza; si se toman 25 vasos llenados en una hora, halle la probabilidad de que el promedio muestral quede dentro de 0.3 onzas de diferencia con respecto al promedio verdadero de llenado. 



Datos: Muestra

Desviación

Error (Diferencia)

n

δ

ε

25

√1=1

0.3

Análisis:

Es una estimación ya que me dan δ, μ y ε la realizo con la ecuación de población despejamos Z. 

Modelo Matemático:

16

2

z ∗σ n= 2 ε

2

Z 2=

n−ε 2 εσ 2

Z 2=

25−0.32 2 1

Z ❑=± 1.5 La probabilidad de que el promedio muestra quede dentro de 0.3 onzas de diferencia con respecto al promedio verdadero de llenado es 0.8664 

Grafica

19) El tiempo muerto diario de un local de llamadas a distancia es en promedio 4 horas, con desviación de 0.8; calcular la probabilidad de que: a) El tiempo muerto promedio, en 30 días, esté entre 1 y 3 horas. b) El tiempo muerto total sea inferior a 115 horas. a) 



Datos: Variable

Desviación

Media

X

δ

μ

0,8

4

Análisis: Es una estimación ya que me dan δ, μ



Modelo Matemático: P (1< x <3)

17

z 2=

x−μ 3−4 = =−1,25 δ 0,8

z 1=

x−μ 1−4 = =−3,75 δ 0,8

A = A2’ – A1´= 0,1056 -0

= 0,1056 10,56%



El tiempo muerto promedio es de 10,56% Grafica



b) Datos:



Variable

Desviación

Media

X

δ

μ

0,8

4

Análisis: Es una estimación ya que me dan δ, μ



Modelo Matemático: P (x >115)

z 1=

x−μ 115−4 = =0 δ 0,8

A = A1´= 0 

0%

El tiempo muerto promedio es de 0% Grafica

18

21. - Silvana desea estimar la vida útil promedio de sus lámparas; ¿Qué tamaño de muestra necesita para garantizar que habrá un riesgo de sólo 0.001 de exceder un error de 5 días en la estimación? Asuma una desviación de 25 días 



Datos: Desviación

Error

z

δ

ε

0.001

25

5

Análisis: Es una estimación ya que me dan z, ε y σ



Modelo Matemático: Determinar la probabilidad: la realizo con la ecuación de promedio proporcional

n=

z 2∗σ 2 ε2

n=

0 . 0012∗25 2 =¿ 0.000025 52

El tamaño de muestra necesita para garantizar que habrá un riesgo de sólo 0.001 de exceder un error de 5 días en la estimación es de 0.000025 23. - Explique brevemente: A) Estimador y Parámetro

19

En una población en donde la distribución es conocida pero se desconoce algún parámetro, se puede estimar dicho parámetro a partir de una muestra representativa. Un estimador es un valor que puede calcularse a partir de los datos muestrales y en este se proporciona información sobre el parámetro. B) Población y Muestra. En el área de la estadística se denomina población al mundo ideal, teórico cuyas características se quieren conocer y estudiar. Las poblaciones suelen ser muy extensas y es imposible observar a cada componente, por ello se trabaja con muestras o subconjuntos de esa población. Por eso podemos definir como muestra a una parte o subconjunto de una población. C) La diferencia al realizar un muestreo Probabilístico y no Probabilístico Muestreo probabilístico Los métodos de muestreo probabilísticos son aquellos que se basan en el principio de equiprobabilidad. Es decir, aquellos en los que todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una muestra y, consiguientemente, todas las posibles muestras de tamaño n tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas. Muestreo no probabilístico A veces, para estudios exploratorios, el muestreo probabilístico resulta excesivamente costoso y se acude a métodos no probabilísticos, aun siendo conscientes de que no sirven para realizar generalizaciones pues no se tiene certeza de que la muestra extraída sea representativa, ya que no todos los sujetos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos por lo que puede traer como consecuencia proporcionar información errónea. 19) El tiempo muerto diario de un local de llamadas a distancia es en promedio 4 horas, con desviación de 0.8; calcular la probabilidad de que: a) El tiempo muerto promedio, en 30 días, esté entre 1 y 3 horas. b) El tiempo muerto total sea inferior a 115 horas. a) 



Datos: Variable

Desviación

Media

X

δ

μ

0,8

4

Análisis: Es una estimación ya que me dan δ, μ



Modelo Matemático: P (1< x <3)

z 2=

x−μ 3−4 = =−1,25 δ 0,8 20

z 1=

x−μ 1−4 = =−3,75 δ 0,8

A = A2’ – A1´= 0,1056 -0

= 0,1056 10,56%



El tiempo muerto promedio es de 10,56% Grafica



b) Datos:



Variable

Desviación

Media

X

δ

μ

0,8

4

Análisis: Es una estimación ya que me dan δ, μ



Modelo Matemático: P (x >115)

z 1=

x−μ 115−4 = =0 δ 0,8

A = A1´= 0 

0%

El tiempo muerto promedio es de 0% Grafica

21

27) Hallar el número de clientes n tal que la probabilidad de dar servicio a todos en dos horas o menos, sea aproximadamente de 0.10. n = 88 0.134 < µ < 0.226 29) Una Universidad desea estimar la proporción de profesores, en C.B. que están a favor de que se corrija el programa de aseguramiento de la calidad en sus diferentes asignaturas. La estimación debe quedar a menos de 0.05 de la proporción verdadera de los que favorecen el programa; con un coeficiente de confianza del 90%,¿Cuántos profesores se deben muestrear? n = 271 profes.

CONCLUSIONES    

La distribución normal se puede utilizar en diferentes tipos de problemas en la vida cotidiana. Entendimos y aplicamos la grafica de campana de Gauss para cada uno de los ejercicios. Utilizamos la distribución normal para obtener probabilidades de valores puntuales, intervalos y cantidades específicas. La estimación la aplicamos cuando se desconocen parámetros de una población, se toma una muestra aleatoria de dicha población de la cual se calcula una aproximación a dichos parámetros que desconocemos.

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BIBLIOGRAFIA 

Probabilidad y Estadística para Ingenieros Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers.



Estadística básica aplicada Ciro Martínez Bencardino

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