Ejercicios Distribucion Normal 62h1z

Estadística para los Negocios Ejercicios: Distribución Normal 2009 – 00

1.

El consumo medio diario de agua de un animal de laboratorio es de 16 gramos con una desviación estándar de 2 gramos, suponga que este consumo presenta una distribución normal. i- Cuál es la probabilidad de que, si se selecciona un animal al azar, consuma: a) Entre 15,50 y 16,25 gramos b) Más de 16.50 gramos c) Menos de 15 gramos ii- Si se tiene una muestra de 65 animales, ¿cuántos se espera que consuman entre 15,50 y 16,25 gramos? (Utilice la probabilidad del punto a).

2. El monto de las facturas que emite diariamente un restaurante sigue una distribución normal con promedio µ=80 soles y variancia σ2=100 soles2. a) ¿Cuál es la probabilidad que el restaurante emita facturas entre 75 y 105 soles? X N(µ=80; σ2=100) P(75<X<105)= P(75-80/10 <105-100/10) = P(-0.5 <0.5) = P(Z<0.5)- P(Z<-0.5) = 0.69146 - 0.30854 = 0.38292 b) Si al 25% de clientes que gasta menos se los considera “clientes austeros”. Al 25% que gasta más se los considera “clientes generosos” y al resto se los considera “clientes promedio”, encuentre el monto de las facturas que clasifican los clientes en dichas categorías. CLIENTES AUSTEROS 25%

CLIENTES PROMEDIO 50% X1

P(X<X1)=0.25 P(Z<X1-80/10)=0.25 X1-80/10 = -0.67  X1 =73.3

CLIENTES GENEROSOS 25% X2 P(X<X2)=0.75 P(Z<X2 -80/10)=0.75 X2-80/10 =0.67  X2=86.7

X1 ≤73.3 CLIENTES AUSTEROS 73.3< X2<86.7 CLIENTES PROMEDIO X2 ≥ 86.7 CLIENTES GENEROSOS c) Si la factura del cliente es menos que 75 soles la propina esperad del cliente es 1 sol; si el monto de la factura del cliente está entre 75 y 105 la propina esperada sería 5 soles y si la factura del cliente es mayor a 105 soles la propina esperada sería 10 soles. ¿Cuál será la propina promedio de todos los clientes atendidos por el restaurante durante el día?

MONTO PROBABILIDAD PROPINA

X<75 0.30854 1

75<X<105 0.38292 5

X>105 0.30854 10

PROPINA PROMEDIO = 1x0.30854 + 5X0.38292 + 10X0.30854 = S/.5.30854 3. En una población de 1000 estudiantes, las puntuaciones de una prueba de inteligencia (CI) se distribuyen normalmente con media 100 puntos y desviación estándar de 10 puntos. a) ¿Cuántos alumnos se ubicaron entre 75 y 125 puntos?. X N(µ=100; σ2=100) P(75<X<125)=P(75-100/10 <125-100/10) = P(-2.5 <2.5) = P(Z<2.5)- P(Z<-2.5) =0.99379-0.00621 =0.98758 # ALUMNOS= 1000x0.98758=987.58 988 b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar tenga un CI de 90 puntos o menos?. X N(µ=100; σ2=100) P(X≤90)=P(Z≤90-100/10)=P(Z≤-1)=0.15866

c) Si se diera una beca a los 50 estudiantes con mayores CI, ¿Cuál es el puntaje mínimo que debería establecerse para otorgar la beca?. MENORES CI 0.95

MAYORES CI 50/1000=0.05 X1

P(X<X1)=0.95 P(Z<X1-100/10)= 0.95  X1-100/10 =1.65  X1 = 116.5

4. La vida útil de una computadora marca ABC sigue una distribución normal con promedio de 10000 horas y una desviación estándar de 1000 horas. Cuantificar la probabilidad que para una computadora que acabamos de comprar: a) Su vida útil sea mayor a las 12000 horas X N(µ=10000; σ2=1000000)

R: 0.023

P(X>12000)=P(Z>12000-10000/1000)=P(Z>2)= 1-P(Z≤2)=1-0.97725=0.02275 b) La vida útil esté entre 8000 y 11000 horas

R: 0.818

P(8000<X<11000)=P(8000-10000/1000 <11000-10000/1000) =P(-2 <1) =P(Z<1)-P(Z<-2)=0.84134 -0.02275=0.81859

5. El capital diario que necesita un hotel para funcionar sigue una distribución normal con promedio S/ 20000 y desviación estándar S/1000. ¿Cuál será el monto mínimo que usted recomendaría entregar a la istración del hotel para que la probabilidad que el hotel se quede sin dinero suficiente durante en día cualquiera sea sólo 0.01?. R: 22330 Nota: Observe que cualquiera que sea la cantidad entregada a la istración, ésta se quedará sin dinero si los gastos de ese día son mayores a dicha cantidad, y el problema limita la probabilidad de que eso ocurra a solo 0.01. X N(µ=20000; σ2=1000000) DINERO SUFICIENTE 0.99

DINERO INSUFICIENTE 0.01

X1 P(X<X1)= P(Z<X1-20000/1000)=0.99 X1-20000/1000 = 2.33  X1= 22300

6. El hotel CINCO ESTRELLAS lleva un registro estadístico sobre el número de días que permanece cada huésped en el hotel y sabe que esta variable tiene una distribución normal con promedio 7 días y una desviación estándar de 2 días. El hotel ha recibido 500 reservas para el próximo mes y se pide pronosticar: a) Cuántos huéspedes permanecerán menos de 5 días en el hotel X N(µ=7; σ2=4) P(X<5)=P(Z<5-7/2)=P(Z<-1)=0.15866 #HUESPEDES= 500x0.15866=79.33 b) Cuántos huéspedes permanecerán más de 10 días en el hotel P(X>10)=P(Z>10-7/2)=P(Z>1.5)=1-P(Z<1.5)=1-0.93319 = 0.06681 #HUESPEDES=500x0.06681= 33.405 c) Cuántos huéspedes permanecerán entre 6 y 12 días en el hotel P(6<X<12)=P(6-7/2 <12-7/2) =P(-0.5 <2.5) =P(Z<2.5)-P(Z<-0.5) = 0.99379 – 0.30854 = 0.68525 #HUESPEDES= 500x0.68525= 342.625

R: 79

R: 33

R: 343

NOTA: En este problema no se pide probabilidades, se piden cantidades; recuerde que una probabilidad se convierte en % multiplicándola por 100.

7. La línea aérea CONFORT ha programado realizar el próximo año 100 vuelos directos a Alemania y a través de la información estadística de la empresa conoce que el número de asientos desocupados por cada vuelo realizado sigue una distribución normal con un promedio de 8 asientos y una desviación estándar de 3 asientos desocupados, se pide pronosticar: a) En cuántos vuelos se registrarán menos de 5 asientos desocupados X N(µ=8; σ2=9) P(X<5)=P(Z<5-8/3)=P(Z<-1)=0.15866 #VUELOS= 100x0.15866= 15.866 b) En cuántos vuelos se registrarán más de 14 asientos desocupados. P(X>14)=P(Z>14-8/3)=P(Z>2)=1-P(Z≤2)=1-0.97725=0.02275 #VUELOS=100x0.02275=2.275

R: 16

R: 2

8. El hotel ESTRELLA lleva un registro estadístico sobre el monto de los pagos mensuales que realiza el hotel por electricidad y sabe que esta variable tiene distribución normal con promedio S/ 500 y desviación estándar S/ 100. a) ¿Cuál es la probabilidad que un mes gaste más de S/600 en electricidad? X N(µ=500; σ2=10000) P(X>600)=P(Z>600-500/100)=P(Z>1)=1-P(Z≤1)=1-0.84134= 0.15856 R: 0.159 b) ¿Cuántos meses del año pagaría más de S/ 600 en electricidad? R: 2 #MESES= 12 x0.15856=1.90392 c) ¿Cuál es la probabilidad que un mes del año el hotel gaste entre 660 y 480 en electricidad? R: 0.524 P(480<X<660)=P(480-500/100 <660-500/100) =P(-0.2 <1.6) =P(Z<1.6)-P(Z<-0.2)=0.94520 – 0.42074=0.52446

9. Se conoce que la vida útil de una computadora AKER tiene una distribución normal con promedio 10,000 horas y desviación estándar 1,000 horas Se elige al azar una computadora AKER ¿Cuál es la probabilidad que tenga X N(µ=10000; σ2=1000000) a) vida útil mayor a 12,330 horas? R: 0.0099 P(X>12330)=P(Z>12330-10000/1000) = P(Z > 2.33)= 1- P(Z≤2.33)= 1- 0.99010= 0.0099 b) Si la empresa COMERSA compra 100 computadoras AKER ¿Cuál es la probabilidad que más de 2 computadoras tengan una vida útil mayor a 12,330 horas? R: 0.0748 (ESTA PREGUNTA REQUIERE DE OTROS CONCEPTOS POR LO TANTO NO LE TOMEN ATENCION) c) Determine el Decil 9 sobre la vida útil de las computadoras AKER. R: 11,280 P(X<X1) =0.9

P(Z<X1-10000/1000)= 0.9  X1-10000/1000 =1.29  X1= 11290 10. Se conoce que al aplicarse la prueba de aptitud ABC a universitarios se generan calificativos que siguen una distribución normal con promedio 11 y variancia 4. Para cubrir las vacantes de vendedores en una feria se presentan 200 universitarios y se les aplica dicha prueba? A) Determine la nota máxima para desaprobar si sólo hay 80 plazas vacantes. X N(µ=11; σ2=4) R: 11.5 DESAPROBADOS APROBADOS 0.6 80/200=0.4 X1 P(X<X1)=0.6 P(Z<X1-11/2)=0.6  X1-11/2 = 0.26  X1=11.52

a) Determine la nota máxima para desaprobar si hay 120 plazas vacantes R: 10.5 DESAPROBADOS 0.4 X1 P(X<X1)=0.4 P(Z<X1-11/2)=0.4  X1-11/2 = -0.25  X1=10.5

APROBADOS 12O/200=0.6