Ejercicios De Geometria Analitica s635l
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´Indice general 1. Sistema de coordenadas y gr´ aficas 1.1. Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Segmento rectil´ıneo dirigido . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Sistema coordenado lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Sistema coordenado en el plano . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Divisi´ on de un segmento en una raz´on dada . . . . . . . 1.2.2. Divisi´ on de un segmento lineal . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Pendiente de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad . . . . . ´ 1.4. Angulo entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Resumen de f´ ormulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Gr´afica de una ecuaci´ on y lugares geom´etricos . . . . . . . . . . 1.6.1. Dos problemas fundamentales de la Geometr´ıa anal´ıtica 1.6.2. Gr´ afica de una ecuaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3. Intercepci´ on con los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4. Simetr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5. Extensi´ on de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.6. As´ıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.7. Construcci´ on de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.8. Ecuaciones factorizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.9. Intersecciones de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.10. Ecuaci´ on de un lugar geom´etrico . . . . . . . . . . . . . 1.7. Problemas... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2. de aplicaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 2 2 2 2 2 4 4 5 5 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 9
2. La l´ınea recta 2.1. Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ecuaci´ on de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada . . . 2.2.1. Ecuaci´ on de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen . . 2.2.2. Ecuaci´ on de la recta que pasa por dos puntos . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Ecuaci´ on sim´etrica o can´ onica de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Forma general de la ecuaci´ on de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Posiciones relativas de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Forma normal de la ecuaci´ on de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Reducci´ on de la forma general de la ecuaci´on de una recta a la forma normal 2.6. Aplicaciones de la forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12 12 12 12 12 12 14 14 14 14 16
i
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´INDICE GENERAL
1
´ 2.7. Area de un tri´ angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3. Ecuaciones de la Circunferencia 3.1. Forma ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Forma general de la ecuaci´on de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 18 18
Cap´ıtulo 1
Sistema de coordenadas y gr´ aficas 1.1.
Plano Cartesiano
1.1.1.
Segmento rectil´ıneo dirigido
1.1.2.
Sistema coordenado lineal
1.1.3.
Sistema coordenado en el plano
1.2.
Distancia entre dos puntos
Ejercicio: 1. En los ejercicios siguientes, encuentra la distancia entre los puntos citados. √ √ d ) A( 2, 1), B(2 2, 3)
a) A(1, −3), B(2, 5) b) A(3, −2), B(3, −4) c) A(1/2, 3/2), B(−5/2, 2)
√ √ √ √ e) A( 3, − 2), B(−3 3, 2)
2. En los ejercicios siguientes, determina si los tres puntos dados son colineales. a) A(2, 1), B(4, 3), C(−1, −2) b) A(−2, 3), B(7, −2), C(2, 5) c) A(1, −1), B(3, 3), C(0, −3) 3. En los ejercicios siguientes, determina si los tres puntos dados son los v´ertices de un tri´angulo rect´angulo. a) A(0, 2), B(−2, 4), C(1, 3) b) A(9, 6), B(−5, 4), C(7, 10) 4. En los ejercicios siguientes, encuentra la cantidad desconocida. √
a) A(1, 5), B(x, 2), AB = 5
c) A(x, x), B(1, 4), AB =
b) A(−3, y), B(9, 2), AB = 13
d ) A(x, 2x), B(2x, 1), AB =
5 √
2
5. Uno de los extremos de un segmento rectil´ıneo de longitud igual a 17 es el punto A(1, −11); si la ordenada del otro extremo es 4, halla su abscisa (dos soluciones). 2
´ CAP´ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
3
6. Demuestra que los puntos A(−2, 2), B(3, 1) y C(−1, −6) son los v´ertices de un tri´angulo is´osceles. 7. Demuestra que P (5, 2) est´ a en la mediatriz del segmento AB, en el que A(1, 3) y B(4, −2). 8. Demuestra que (−2, 4), (2, 0), (2, 8) y (6, 4) son los v´ertices de un cuadrado. 9. Demuestra que (1, 1), (4, 1), (3, −2) y (0, −2) son los v´ertices de un paralelogramo. 10. Encuentra el centro y el radio del c´ırculo circunscrito al tri´angulo cuyos v´ertices son (5, 1), (6, 0), y (−1, −7). 11. Encuentra el punto que se halla sobre el eje X y es equidistante de los puntos A(14, −2) y B(−4, 6). 12. Dos de los v´ertices de un tri´ angulo equil´atero son los puntos A(7, 2) y B(2, 2), halla las coordenadas del tercer v´ertice (dos soluciones). 13. Como se muestra en la figura 1.1, con frecuencia se emplean coordenadas para determinar las ubicaciones en los mapas. Sup´ on que hay una red de calles que siguen las l´ıneas de la figura, y que hay una calle diagonal que representa la l´ınea inclinada. Si cada cuadrado de la red tiene 1 km por lado, calcula la distancia de X a Y . a) Supongamos que, en la figura 1.1, se cierra la parte de la carretera de X a Z, por reparaci´ on. ¿Cu´al es la distancia de X a Y siguiendo las carreteras alternas existentes? b) Supongamos que, en la figura 1.1, el camino de Y a Z se cierra por reparaci´on. ¿Cu´al es la distancia m´ as corta de Y a Z usando los caminos disponibles?
Figura 1.1:
´ CAP´ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
1.2.1.
Divisi´ on de un segmento en una raz´ on dada
1.2.2.
Divisi´ on de un segmento lineal
4
Ejercicio: 1. En los ejercicios siguientes, encuentra el punto P , entre A y B, y tal que AB quede dividido en la relaci´on indicada. a) A(5, −3), B(−1, 6) y
AP PB
b) A(−1, −3), B(−8, 11) y
= 21 . AP PB
= 34 .
c) A(2, −1), B(4, 5) y
AP PB
= 23 .
d ) A(5, 8), B(2, −1) y
AP PB
= 51 .
2. En los ejercicios siguientes, encuentra el punto medio Pm , de los segmentos AB. a) A(5, −2), B(−1, 4).
c) A(4, −1), B(3, 3).
b) A(−3, 3), B(1, 5).
d ) A(−1, 4), B(0, 2).
3. En los ejercicios siguientes, encuentra el punto P , entre A y B, y tal que AB quede dividido en la relaci´on indicada. a) A(3, 4), B(7, 0) y
AP AB
= 41 .
d ) A(2, 4), B(−5, 2) y
AP AB
= 25 .
b) A(4, −2), B(−2, −5) y
AP AB
= 23 .
e) A(−4, 1), B(3, 8) y
AP AB
= 3.
c) A(5, −1), B(−4, −5) y
AP AB
= 15 .
f ) A(−6, 2), B(4, 4) y
AP AB
= 52 .
4. Si A(3, 5), P (6, 2) y
AP AB
5. Si P (4, 7), B(2, −1) y
AP AB
6. Si P (2, −5), B(4, −3) y 7. Si A(3, 3), P (5, 2) y
= 13 , encuentra B.
AP AB
= 25 , encuentra A.
AP AB
= 12 , encuentra A.
= 35 , encuentra B
8. Si P (4, 1) es el punto medio del segmento AB y A(2, 5), determina B. 9. Halla las coordenadas de los puntos que trisectan al segmento A(3, −5) y B(6, 10); determina tambi´en su punto medio. 10. Los extremos del di´ ametro de una circunferencia son A(3, −2) y B(5, 6); halla las coordenadas del centro. 11. Encuentra el centro y el radio de un c´ırculo circunscrito al tri´angulo rect´angulo cuyos v´ertices est´an en (1, 1), (1, 4) y (7, 4). 12. Los puntos medios de los lados de un tri´angulo son (1, 1), (4, 2) y (2, 5); hallar las coordenadas de los tres v´ertices del tri´ angulo. 13. Encuentra el punto de intersecci´ on de las medianas del tri´angulo cuyos v´ertices est´an en (5, 2), (0, 4) y (−1, −1). 14. Determina el punto de intersecci´ on de las diagonales del paralelogramo que tiene sus v´ertices en (1, 1), (4, 1), (3, −2) y (0, −2).
´ CAP´ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
5
15. Tres v´ertices de un paralelogramo est´an en (2, 5), (−7, 1) y (4, −6); determina d´onde est´ a el cuarto v´ertice. [Sugerencia: El cuarto v´ertice puede estar opuesto a cualquiera de los v´ertices ya dados, por lo tanto son tres posibles soluciones] 16. Sup´on que, en la figura 1.1, dos veh´ıculos van en direcci´on contraria a la misma velocidad partiendo de X y Y . ¿En qu´e cuadro de la ret´ıcula se van a encontrar? a) Sup´on que, el autom´ ovil que parte de X viaja al doble de velocidad que el que parte de Y . ¿En qu´e punto se encontrar´ an? b) Sup´on que, el autom´ ovil que parte de X viaja a 30 km por hora, y el que sale de Y a 40 km por hora. ¿En qu´e punto se encontrar´an? y ¿a qu´e hora?
1.3. 1.3.1.
Pendiente de una recta Condiciones de paralelismo y perpendicularidad
Ejercicio: 1. En los ejercicios siguientes, determina la pendiente, si la hay, y el ´angulo de inclinaci´on de la recta que pasa por los puntos dados. a) b) c) d)
(2, 3) y (5, 8) (−1, 4) y (4, 2) (−2, −2) y (4, 2) (3, −5) y (1, −1)
e) (−4, 2) y (−4, 5) f ) (2, 3) y (−4, 3) g) (a, a) y (b, b)
2. En los ejercicios siguientes, determina las pendientes de las rectas que pasan por los dos pares de puntos citados. A continuaci´ on determina si las rectas son paralelas, coincidentes, perpendiculares, o no caen bajo ninguna de esas clasificaciones. a) (1, −2) y (−2, 11); (2, 8) y (0, 2)
e) (1, 1) y (4, −1); (−2, 3) y (7, −3)
b) (1, 5) y (−2, −7); (7, −1) y (3, 0)
f ) (1, −4) y (6, 1); (2, 3) y (−1, 6)
c) (1, 5) y (−1, −1); (0, 3) y (2, 7)
g) (1, 2) y (3, 2); (4, 1) y (4, −2)
d ) (1, 3) y (−1, −1); (0, 2) y (4, −2)
h) (1, 5) y (1, 1); (−2, 2) y (−2, 4)
3. Si la recta que pasa por (x, 5) y (4, 3) es paralela a un cuya pendiente es 3, determina x. 4. Si la recta que pasa por (x, 5) y (4, 3) es perpendicular a un cuya pendiente es 3, determina x. 5. Si la recta que pasa por (x, 1) y (0, y) es coincidente con la que pasa por (1, 4) y (2, −3), encuentra x y y. 6. Demuestra que los puntos A(−2, 1), B(2, 5) y C(8, −1) son los v´ertices de un tri´angulo rect´angulo. 7. Demuestra que los puntos A(6, 5), B(9, 9), C(5, 6) y D(2, 2) son los v´ertices de un rombo y que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio. 8. Demuestra que los puntos A(2, 4), B(7, 3), C(6, −2) y D(1, −1) son los v´ertices de un cuadrado, que sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales. 9. Determina la pendiente del tejado que se muestra en la figura 1.2.
´ CAP´ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
6
10. La direcci´ on, o rumbo, de un avi´ on o una embarcaci´on, se expresa casi siempre de acuerdo con el modelo N 30o E, que quiere decir 30o hacia el Este del Norte. Si un barco navega hacia un faro que est´a a 10 Km al Norte y 4 al Este, ¿cu´al es el rumbo del barco? 11. Sup´on que, en el ejercicio anterior, el barco cambia de rumbo despu´es de haber navegado hasta la mitad del camino hacia el faro. Desde ese lugar se dirige hacia un buque de espera que est´ aa 4 Km al Este del faro. ¿Cu´ al es el rumbo en ese nuevo recorrido?
Figura 1.2:
1.4.
´ Angulo entre dos rectas
Ejercicio: 1. En los ejercicios siguientes, determina el ´angulo entre las rectas l1 y l2 , cuyas pendientes respectivas son m1 y m2 . los puntos dados. a) b) c) d)
m1 m1 m1 m1
= −2 y m2 = 3. = 1 y m2 = 4. = −3 y m2 = 2. = 5 y m2 = −1.
e) m1 = 10 y m2 no existe. f ) m1 = 0 y m2 = −1. g) m1 =
2 3
y m2 no existe.
2. En los ejercicios siguientes, determina el ´angulo entre las rectas l1 y l2 , donde l1 y l2 , contienen los puntos indicados. a) b) c) d)
l1 l1 l1 l1
: (1, 4), : (2, 5), : (4, 5), : (1, 1),
(3, −1); l2 : (3, 2), (5, −1) (−3, 10); l2 : (−1, −3), (3, 3) (1, 1); l2 : (3, −3), (0, 4) (0, 5); l2 : (4, 6), (−1, 2)
e) l1 : (3, 4), (3, −1); l2 : (2, 5), (−1, 2) f ) l1 : (−1, 2), (−1, −1); l2 : (−3, 4), (1, 0) g) l1 : (5, 1), (3, −3); l2 : (5, 1), (5, −3)
3. Encuentra la pendiente de la recta que bisecta al ´angulo entre l1 y l2 . Esas rectas tienen las pendientes respectivas m1 y m2 . a) b) c) d)
m1 m1 m1 m1
= 3 y m2 = −2 = 1 y m2 = −7 = 2 y m2 = 3 = −1 y m2 = 2
e) m1 = −3 y m2 = 5 f ) m1 = 2 y m2 = 0 g) m1 =
3 4
y m2 no existe
´ CAP´ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
7
4. Calcula los ´ angulos interiores del tri´ angulo cuyos v´ertices est´an en: a) A(1, 5), B(3, −1) y C(−1, −1). b) A(3, 2), B(4, 5) y C(−1, −1). 5. Encuentra la pendiente de la recta l1 , tal que el ´angulo entre l1 y l2 es tan−1 a (2, 1) y (−4, −5).
3 4
, y l2 contiene
6. Determina la pendiente de la recta l1 , si el ´angulo entre l1 y l2 es 45o , y la pendiente de l2 es −2. 7. Dos rectas se cortan formando un ´ angulo de 45o . La recta inicial pasa por los puntos (−2, 1) y (9, 7), y la recta final pasa por el punto (3, 9) y por el punto A cuya abscisa es (−2); hallar la ordenada de A. 8. Demostrar que los puntos A(1, 1), B(5, 3), C(8, 0) y D(4, −2) son los v´ertices de un paralelogramo, y hallar su ´ angulo obtuso. 9. Hallar el ´area del tri´ angulo cuyos v´ertices son A(1, −3), B(3, 3) y C(6, −1) empleando el seno del ´angulo BAC. 10. Demuestra que A(−1, 0), B(4, 6) y C(10, 1) son lo v´ertices de un tri´angulo is´osceles. 11. Demuestra que los tres puntos A(2, 5), B(8, −1) y C(−2, 1) son los v´ertices de un tri´angulo rect´angulo, y hallar sus ´ angulos agudos. 12. Demuestra que los cuatro puntos A(2, 4), B(7, 3), C(6, −2) y D(1, −1) son los v´ertices de un cuadrado, y que sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales.
1.5.
Resumen de f´ ormulas
1.6.
Gr´ afica de una ecuaci´ on y lugares geom´ etricos
1.6.1.
Dos problemas fundamentales de la Geometr´ıa anal´ıtica
1.6.2.
Gr´ afica de una ecuaci´ on
1.6.3.
Intercepci´ on con los ejes
1.6.4.
Simetr´ıa
1.6.5.
Extensi´ on de una curva
1.6.6.
As´ıntotas
1.6.7.
Construcci´ on de curvas
Ejercicio: 1. En cada uno de los ejercicios siguientes, construir la curva correspondiente a la ecuaci´on dada. a) xy − 2y − 3 = 0.
e) xy − 3y − y = 0.
b) xy − 2y − 1 = 0.
f ) xy − 2y − 3 = 0.
c) x4 + y 4 = 16.
g) x4 − 4y 2 − y = 0.
d ) x3 + x − y = 0.
h) x2 − 2xy + y 2 − 6x − 6y + 3 = 0.
´ CAP´ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS i ) x3 − 3x2 − y 2 + 3x − 2y − 2 = 0.
l ) xy 2 + 2xy − y 2 + x = 0.
j ) xy 2 − 9x − y − 1 = 0.
m) x2 y 2 − 4x2 − 4y 2 = 0.
k ) x2 − xy + 5y = 0.
n) y 3 + x2 y − x3 = 0.
1.6.8.
Ecuaciones factorizables
1.6.9.
Intersecciones de curvas
8
Ejercicio: 1. En cada uno de los ejercicios siguientes, factorizar la ecuaci´on correspondiente y trazar la gr´afica. a) x2 − 4y 2 = 0. b) x3 − x2 y − 2xy 2 = 0. c) 6x2 + xy − 2y 2 + 7x + 7y − 3 = 0.
d ) x3 − x2 y − xy + y 3 = 0. e) x2 y + x3 − xy 2 + xy + 2x = 0.
2. En cada uno de los ejercicios siguientes, hallar, anal´ıtica y gr´aficamente, los puntos de intersecci´on, cuando los hay, para las curvas dadas. a) 2x − y − 1 = 0; 3x + y − 9 = 0 b) 2x + y − 5 = 0; 3x + 3y + 7 = 0. c) x2 − y = 0; y 2 − x = 0.
1.6.10.
d ) x2 + y 2 = 8; y 2 = 2x. e) x2 + y 2 = 13; xy = 6.
Ecuaci´ on de un lugar geom´ etrico
Ejercicio: En cada uno de los ejercicios siguiente se recomienda al lector que, despu´es de obtener la ecuaci´on del lugar geom´etrico, construya la curva de acuerdo con los ejemplos vistos. 1. Hallar la ecuaci´ on del lugar geom´etrico de un punto que se mueve de tal manera que: a) Se conserva siempre a 2 unidades a la izquierda del eje Y ; b) Est´a siempre a 4 unidades arriba del eje X; c) Est´a siempre a igual distancia de los ejes X y Y . 2. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje Y disminuida en 3 es siempre igual al doble de su distancia al eje X. Hallar la ecuaci´on de su lugar geom´etrico y dar su interpretaci´ on geom´etrica. 3. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A(2, 3) es siempre igual a 5. Hallar la ecuaci´on de su lugar geom´etrico y dar su interpretaci´on geom´etrica. 4. Una recta contiene los dos puntos A(−1, 5) y B(1, 3). Expresar, anal´ıticamente, el hecho de que un punto cualquiera P (x, y) est´ a sobre la recta. Deducir la ecuaci´on de la recta. 5. Una recta l, que pasa por el punto A(−5, 1), es perpendicular a otra cuya pendiente 12 . Expresar, anal´ıticamente, el hecho de que un punto cualquiera P (x, y) est´a sobre la recta l, y deducir, de aqu´ı, su ecuaci´ on. 6. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje X es siempre igual a su distancia del punto A(0, 4). Hallar la ecuaci´ on de su lugar geom´etrico.
´ CAP´ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
9
7. Hallar la ecuaci´ on del lugar geom´etrico de un punto que se mueve de tal manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos puntos A(2, −2) y B(4, 1) es siempre igual a 12. (Dos casos) 8. Hallar la ecuaci´ on del lugar geom´etrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los dos puntos A(3, 0) y B(−3, 0) es siempre igual a 8. 9. Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los dos puntos A(3, 0) y B(−3, 0) es siempre igual a 4. Hallar la ecuaci´on de su lugar geom´etrico. 10. Un c´ırculo de radio 4 tiene su centro en el punto C(1, −1). Hallar la ecuaci´on del lugar geom´etrico de los puntos medios de todos sus radios.
1.7. 1.7.1.
Problemas... de repaso
1. Determina el punto de intersecci´ on de 2x + y = 5 con x − 3y = 7. 2. Utiliza las distancias para determinar si los tres puntos (1, 5), (−2, −1) y (4, 10) son colineales. Comprueba tu resultado utilizando pendientes. 3. Determina las longitudes de las medianas del tri´angulo cuyos v´ertices est´an en (−3, 4), (5, 5) y (3, −2). 4. Determina a x de tal modo que (x, 1) est´e en la recta que une a (0, 4) y (4, −2). 5. Determina las pendientes de las alturas del tri´angulo cuyos v´ertices son (−2, 4), (3, 3) y (−5, −2). 6. Determina los puntos de trisecci´ on del segmento que une a (2, −5) con (−3, 7). 7. Determina los puntos de intersecci´ on de x − 7y + 2 = 0 con x2 + y 2 − 4x + 6y − 12 = 0. Traza la gr´afica. 8. Determina el punto de intersecci´ on de las medianas del tri´angulo cuyos v´ertices est´an en (4, −3), (−2, 1) y (0, 5). 9. Determina el centro del c´ırculo circunscrito al tri´angulo cuyos v´ertices est´an en (−1, 1), (6, 2) y (7, −5). 10. Un cuadrado tiene todos sus v´ertices en el primer cuadrante, y uno de los lados une a (3, 1) con (6, 3). Determina el lugar de los otros dos v´ertices. 11. Deduce una ecuaci´ on del conjunto de puntos (x, y) tales que el ´angulo entre el eje X y la recta que une al origen con (x, y) es igual a y.
1.7.2.
de aplicaci´ on
1. Un agricultor quiere dividir un campo rectangular cuyas coordenadas de sus v´ertices son: A(−1, 2), B(7, 2), C(−1, −4) y D(7, −4) en ocho parcelas triangulares iguales, pero no sabe c´omo hacerlo. Su sobrino, le dice que una manera de lograrlo es uniendo los puntos medios de los lados opuestos y trazando a continuaci´ on las diagonales del rect´angulo. a) Traza el rect´ angulo y comprueba que es correcto el consejo del sobrino.
´ CAP´ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
10
b) Calcula el per´ımetro de cada una de las parcelas, sabiendo que el centro del campo es el punto P (3, −1). c) ¿Cu´al es el ´ area de cada una de las parcelas? d ) ¿Cu´al es el ´ area total del campo? 2. Para fabricar un papalote dise˜ nado sobre un plano cartesiano que tiene, por coordenadas A(−1/2, 3), B(−5/2, −5), C(9/2, 1) y D(9, −11), se requiere saber: a) La cantidad de carrizo necesaria para la estructura. b) La longitud de hilo para los contornos sin considerar los amarres. c) La cantidad de papel para la cara plana del papalote. 3. En un almac´en se deben colocar tubos de drenaje de 2 metros de di´ametro; se apilan formando un tri´angulo equil´ atero, tal como se indica en la figura 1.3, cuyos v´ertices de la base son A(2, 2) y B(10, 2).
Figura 1.3: a) b) c) d)
¿Qu´e altura debe tener el almac´en? ¿Cu´ales son las coordenadas del punto C? ¿Cu´al es el ´ area del tri´ angulo rect´angulo de la figura? ¿Cu´antos tubos en total se apilan?
4. Un campo de football suele medir 100 yardas de largo y 60 de ancho. Sup´on que el sistema coordenado para los v´ertices se asigna de la siguiente forma: A(0, 0), B(0, 60), C(100, 60) y D(100, 0) (Ver figura 1.4). a) ¿Cu´ales son las coordenadas del centro del campo? b) ¿Cu´al es el ´ area total del campo? c) ¿Cu´al es el ´ area del tri´ angulo AP B? 5. Para el tendido de cable el´ectrico sobre un terreno monta˜ noso se requieren cinco postes, los cuales deben estar separados a distancias iguales. Si uno de los extremo del cable es el punto A(9, 5) y el otro extremo es B(−13, 1), averigua las coordenadas de los puntos donde deben colocarse los 5 postes desde B hasta A.
´ CAP´ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
Figura 1.4:
11
Cap´ıtulo 2
La l´ınea recta 2.1.
Definici´ on
2.2.
Ecuaci´ on de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada
2.2.1.
Ecuaci´ on de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen
2.2.2.
Ecuaci´ on de la recta que pasa por dos puntos
2.2.3.
Ecuaci´ on sim´ etrica o can´ onica de la recta
Ejercicio: 1. Halla la ecuaci´ on de la recta dados un punto por el que pasa y su pendiente o su ´angulo de inclinaci´on, y adem´ as traza la gr´ afica. a) (2, −4), m = −2 b) (2, 2), m = 1 c) (9, 0), m = 1 d ) (4, −2), m = 0 e) (2, 5), sin pendiente f ) (7, 4), θ = 60o g) (5, −2), θ =
3π 4
2. Halla la ecuaci´ on de la recta dados su intersecci´on con el eje Y y su pendiente m. a) −3, m = − 53 b) 2, m = −5 c)
6 5,
d)
− 38 ,
m=4 m=
1 6
3. Halla la ecuaci´ on de la recta dados dos puntos por los que pasa, y adem´as traza la gr´afica. a) (1, 4), (3, 5) b) (3, 3), (1, 1) c) (0, 0), (1, 5) 12
CAP´ITULO 2. LA L´INEA RECTA
13
d ) (2, 3), (5, 3) e) (5, 1), (5, 3) 4. Halla la ecuaci´ on de la recta cuyas intersecciones con los ejes X y Y se indican respectivamente. a) A(−5, 0), B(0, −2) b) A(3, 0), B(0, 1) c) A( 25 , 0), B(0, 11 4 ) d ) A(7, 0), B(0, −5) 5. Los v´ertices de un cuadril´ atero son A(0, 0), B(2, 4), C(6, 7) y D(8, 0). Hallar las ecuaciones de sus lados. 6. Halla la ecuaci´ on de la recta que es perpendicular a la recta 5x − 3y − 15 = 0 y pasa por el punto A(−3, 2). 7. Hallar la ecuaci´ on de la mediatriz del segmento A(−3, 2), B(1, 6). 8. Halla la pendiente e intersecciones con los ejes coordenados para la recta 4x + 3y + 13 = 0. 9. Una recta pasa por el punto A(7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C(−2, 2) y D(3, −4). Hallar su ecuaci´ on. 10. Hallar la ecuaci´ on de la recta que pasa por el punto A(−2, 4), e intercepta al eje X en −9. 11. Demostrar que los puntos A(−5, 2), B(1, 4) y C(4, 5) son colineales hallando la ecuaci´on de la recta que pasa por dos de estos puntos. 12. Hallar la ecuaci´ on de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta 5x + 3y − 15 = 0. 13. Hallar la ecuaci´ on de la recta cuya pendiente es −4, y que pasa por el punto de intersecci´on de las rectas 2x + y − 8 = 0 y 3x − 2y + 9 = 0. 14. Halla la ecuaci´ on de la recta que pasa por el punto A(1, 2) y por el punto de intersecci´on de las rectas x + 5y − 4 = 0 y 2x − 3y = 0 15. Se sabe que el agua se congela a 0o C o 32o F , y que hierve a 100o C o 212o F . Tambi´en que la relaci´on entre la temperatura expresada en grados Celsius (C), y en grados Fahrenheit (F ), es lineal. Encuentra esa relaci´ on. 16. A la empresa Zapatos Finos le cuesta 9500 fabricar 100 pares de zapatos diarios y 150 pares 12250. Suponiendo que el costo es funci´on lineal de la cantidad fabricada, determina el costo en funci´on de la cantidad fabricada. Interpreta las constantes en tu resultado.
CAP´ITULO 2. LA L´INEA RECTA
2.3. 2.3.1.
14
Forma general de la ecuaci´ on de una recta Posiciones relativas de dos rectas
Ejercicio: 1. Hallar la ecuaci´ on de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que pasa por el punto (−2, 4) y tiene una pendiente igual a −3. 2. Hallar la ecuaci´ on de una recta, determinando los coeficientes de la forma general, si los segmentos que determina sobre los ejes X y Y , es decir, sus intercepciones, son 3 y −5, respectivamente. 3. Hallar la ecuaci´ on de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que es perpendicular a la recta 3x − 4y + 11 = 0 y pasa por el punto (−1, −3). 4. Hallar la pendiente e intercepciones de la recta 7x − 9y + 2 = 0. 5. Hallar la pendiente, ´ angulo de inclinaci´on y las intercepciones de la recta que pasa por el punto (2, 3) y es perpendicular a la recta 2x − 7y + 2 = 0. 6. Demostrar que las rectas 2x − y − 1 = 0, x − 8y + 37 = 0, 2x − y − 16 = 0 y x − 8y + 7 = 0 forman un paralelogramo, y hallar las ecuaciones de sus diagonales. 7. Demostrar que las rectas 5x − y − 6 = 0, x + 5y − 22 = 0, 5x − y − 32 = 0 y x + 5y + 4 = 0 forman un cuadrado. 8. Hallar el ´angulo agudo formado por las rectas 4x − 9y + 11 = 0 y 3x + 2y − 7 = 0. 9. Demostrar que las tres rectas 3x − 5y + 7 = 0, 2x + 3y − 8 = 0 y 6x − 7y + 8 = 0 son concurrentes. 10. Los v´ertices de un tri´ angulo son (1, 1), (4, 7) y (6, 3). Demostrar que el baricentro (punto de intersecci´on de las medianas), el circuncentro (punto de intersecci´on de las mediatrices) y el ortocentro (punto de intersecci´ on de las alturas) son colineales. 11. Determina el valor de k para la ecuaci´on 2x + 3y + k = 0, que forma con los ejes coordenados un tri´angulo de ´ area igual a 27 unidades cuadradas. 12. Halla el valor de k para que la recta de ecuaci´on 3x + 4ky − 24 = 0 pase por el punto A(−8, 3). 13. Halla el valor de k de manera que: a) 5kx + 3y + k − 4 = 0 pase por el punto P (−3, 6). b) 6x − ky − 11 = 0 tenga de pendiente 38 . c) kx − 3y = 6k − 12 tenga de abscisa en el origen 4.
2.4.
Forma normal de la ecuaci´ on de la recta
2.5.
Reducci´ on de la forma general de la ecuaci´ on de una recta a la forma normal
Ejercicio: 1. Hallar la ecuaci´ on de una recta en la forma normal, siendo ω = 60o y p = 6.
CAP´ITULO 2. LA L´INEA RECTA
15
2. Una √ recta es tangente a un c´ırculo de centro en el origen y radio 3. Si el punto de tangencia es (2, − 5), halla la ecuaci´ on de la tangente en la forma normal. 3. La ecuaci´on de una recta en la forma normal es x cos ω + y sen ω − 5 = 0. Hallar el valor de ω para que la recta pase por el punto (−4, 3). 4. Reducir la ecuaci´ on 12x − 5y − 52 = 0 a la forma normal, y hallar los valores de p y ω. 5. Hallar la distancia del origen a la recta 2x − 3y + 9 = 0. 6. Determinar el valor de k para que la distancia del origen a la recta x + ky − 7 = 0 sea 2. 7. Hallar la ecuaci´ on de la recta cuya distancia del origen es 5 y que pasa por el punto (1, 7). (Dos soluciones) 8. La pendiente de una recta es −3. Hallar su ecuaci´on si su distancia del origen es 2. (Dos soluciones) 9. Hallar la forma normal de la ecuaci´ on de la recta que pasa por los dos puntos A(−1, 7) y B(4, 2). 10. Los v´ertices de un tri´ angulo son A(−4, 2), B(−1, 5) y C(2, −1). Hallar las ecuaciones de las alturas en la forma normal.
CAP´ITULO 2. LA L´INEA RECTA
2.6.
16
Aplicaciones de la forma normal
Ejercicio: 1. Determina la distancia absoluta de las siguientes rectas dadas al punto indicado a) 4x − 5y − 13 = 0 al punto A(7, −1). b) 2x + 5y + 10 = 0 al punto C(1, 3).
c) 3x − 4y + 2 = 0 al punto P (5, −2).
2. Determina la distancia comprendida entre las siguientes rectas paralelas. a) x − y − o = 0 y x − y + 3 = 0. b) 6x + 5y − 82 = 0 y 6x + 5y + 2 = 0.
c) x − 5y + 7 = 0 y 2x − 10y − 12 = 0.
3. Los v´ertices de un tri´ angulo son A(2, 3), (5, 7) y C(−3, 4). Determina la longitud de la altura del v´ertice A sobre el lado BC y el ´ area del tri´angulo dado. 4. Determina la ecuaci´ on de la paralela a la recta 2x − 3y + 9 = 0 y distante 3 unidades de ella (dos soluciones). 5. La distancia de la recta 2x + 5y − 10 = 0 al punto M es (−3), si la abscisa de M es 2, determina su ordenada (doble soluci´ on). 6. La distancia de la recta 4x − 3y + 1 = 0 al punto Q es 4, si la ordenada de Q es 3, determina su abscisa (doble soluci´ on). 7. Halla la ecuaci´ on de la recta cuyos puntos equidistan de las dos rectas paralelas 5x+12y −12 = 0 y 5x + 12 + 6 = 0. 8. Encuentra las longitudes de las alturas del tri´angulo cuyos v´ertices est´an en A(1, 2), B(5, 5) y (−1, 7). 9. Calcula las longitudes de las alturas del tri´angulo cuyos lados est´an representados por x+y −3 = 0, x − 2y + 4 = 0 y 2x + 3y − 5 = 0. 10. Determina las ecuaciones de las bisectrices de los ´angulos formados por los siguientes pares de rectas dadas y demuestra que dichas bisectrices son perpendiculares entre s´ı. a) 6x − 8y + 15 = 0 y 8x + 15y − 24 = 0. b) 5x + 12y − 15 = 0 y 3x + 4y + 8 = 0. c) 2x − y + 1 = 0 y x + 7y − 1 = 0. 11. Dados los v´ertices de los siguientes tri´angulos, determina las ecuaciones de las bisectrices el ´angulo interior ACB, para cada caso. a) A(−4, 1), C(3, −3).
B(−3, 3)
yb) A(−2, 1), B(4, 7) y C(6, −3).c) A(1, −1), B(6, −2) y C(7, 3).
12. Una tabla est´ a recargada contra una cerca, y forma un ´angulo de 30o con la horizontal. Si la tabla tiene 4 m de longitud, ¿cu´ al es el di´ametro del tubo m´as grande que puede caber entre la tabla, el terreno y la cerca? (Ver figura 2.1)
CAP´ITULO 2. LA L´INEA RECTA
17
Figura 2.1: 13. En la figura 2.2 vemos una peque˜ na parte de la carretera interestatal 197. La carretera FM 125 corre de Norte a Sur, y FM 238 corre de Este a Oeste. ¿A qu´e distancia est´a arcadia de la 197?
Figura 2.2:
2.7.
´ Area de un tri´ angulo
Ejercicio: 1. Calcula el ´ area de los pol´ıgonos cuyos v´ertices se indican: a) A(1, −2), B(1, 2) y C(−2, −2) b) A(−1, 5), B(−5, 2) y C(6, −1) c) A(6, 5), B(3, −3), C(−5, −5) y D(4, −4) d ) A(2, 7), B(5, 5), C(4, 2), D(6, −4), E(1, −7) y F (−5, −2) 2. Una recta pasa por el punto A(−6, 7) y forma con los ejes coordenados un tri´angulo de ´ area 1 igual a 10 2 . Hallar su ecuaci´ on. 3. La suma de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coordenados es igual a 10. Hallar la ecuaci´ on de la recta si forma con los ejes coordenados un tri´angulo de ´area 12. 4. Hallar la ecuaci´ on de la recta que pasa por la intersecci´on de las dos rectas 3x − 4y = 0, 2x − 5y + 7 = 0 y forma con los ejes coordenados un tri´angulo de ´area 8.
Cap´ıtulo 3
Ecuaciones de la Circunferencia 3.1. 3.1.1.
Forma ordinaria Forma general de la ecuaci´ on de la circunferencia
Ejercicio: 1. Deduce una ecuaci´ on del c´ırculo que se describe en los problemas, en la forma normal y en la forma general. c) Centro en (1/2, −3/2); Radio 2.
a) Centro en (1, 3); Radio 5. b) Centro en (5, −2); Radio 2.
2. Los extremos del di´ ametro de una circunferencia son los puntos que a continuaci´on se indican; determina la ecuaci´ on de la curva en su forma ordinaria y general; a) A(−7, 0) y B(0, 4).
c) A(5, −2) y B(7, 2).
b) A(6, −2) y B(−4, 3).
d ) A(−2, −4) y B(1, 2).
3. Reduce las ecuaciones siguientes a la forma ordinaria de la ecuaci´on de la circunferencia; si la ecuaci´on dada representa una circunferencia, halla su centro y su radio. a) x2 + y 2 − 2x − 4y + 1 = 0
d ) 5x2 + 5y 2 − 8x − 4y − 121 = 0
b) x2 + y 2 + 6x − 16 = 0
e) 9x2 + 9y 2 − 6x + 18y + 11 = 0
c) 4x2 + 4y 2 − 4x − 12y + 1 = 0
f ) 36x2 + 36y 2 − 48x − 36y + 25 = 0
4. Deduce una ecuaci´ on del c´ırculo que tiene radio 3 y es tangente a ambos ejes coordenados; En la forma normal y en la forma general. 5. Determina la ecuaci´ on de la circunferencia cuyo centro es C(3, −6) y que es tangente al eje Y . 6. La ecuaci´on de una circunferencia es (x − 2)2 + (y + 3)2 = 16; demuestra que el punto A(4, −2) es interior a la circunferencia y que el punto B(7, −5) es exterior. 7. Determina la ecuaci´ on de la circunferencia cuyo centro es C(−2, 5) y que es tangente a la recta x = 7. 8. Halla la ecuaci´ on de la circunferencia de radio 7 y cuyo centro en el punto de intersecci´on de las rectas 3x − 2y − 24 = 0 y 2x + 7y + 9 = 0. 18
CAP´ITULO 3. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
19
9. Determina la ecuaci´ on de la mediatriz de la cuerda x − 7y + 25 = 0 que pertenece a la circunferencia x2 + y 2 = 25; demuestra que pasa por el centro de la circunferencia. 10. Una cuerda de la circunferencia x2 + y 2 = 9 est´a sobre la recta cuya ecuaci´on es 4x + 3y − 12 = 0; determina la longitud de la cuerda. 11. Determina la ecuaci´ on de la circunferencia circunscrita e inscrita al tri´angulo cuyos v´ertices son: a) A(5, 3), B(2, 0) y C(7, 1). b) A(10, 2), B(3, 9) y C(−2, −1).
c) A(4, −2), B(−5, 1) y C(2, 3).
12. Determina la ecuaci´ on de la circunferencia circunscrita e inscrita al tri´angulo cuyas ecuaciones de sus lados son: a) x + 2y − 5 = 0, 2x + y − 7 = 0 y x − y + 1 = 0. b) x − y − 1 = 0, 9x + 2y + 13 = 0 y 3x + 8y − 47 = 0. c) x − y − 9 = 0, 5x + y + 9 = 0 y x + 2y − 18 = 0. 13. Una mezquita tiene una entrada ”de cerradura”formada por un rect´angulo rematado por un c´ırculo, como vemos en la figura 3.1. Deduce una ecuaci´on del c´ırculo que tenga esa posici´ on respecto a los ejes.
Figura 3.1: 14. Para el tornillo de la figura 3.2, deduce una ecuaci´on del arco circular con respecto a los ejes dados.
Figura 3.2:
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2 2 2 2 2 2 4 4 5 5 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 9
2. La l´ınea recta 2.1. Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ecuaci´ on de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada . . . 2.2.1. Ecuaci´ on de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen . . 2.2.2. Ecuaci´ on de la recta que pasa por dos puntos . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Ecuaci´ on sim´etrica o can´ onica de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Forma general de la ecuaci´ on de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Posiciones relativas de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Forma normal de la ecuaci´ on de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Reducci´ on de la forma general de la ecuaci´on de una recta a la forma normal 2.6. Aplicaciones de la forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
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12 12 12 12 12 12 14 14 14 14 16
i
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´INDICE GENERAL
1
´ 2.7. Area de un tri´ angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3. Ecuaciones de la Circunferencia 3.1. Forma ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Forma general de la ecuaci´on de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 18 18
Cap´ıtulo 1
Sistema de coordenadas y gr´ aficas 1.1.
Plano Cartesiano
1.1.1.
Segmento rectil´ıneo dirigido
1.1.2.
Sistema coordenado lineal
1.1.3.
Sistema coordenado en el plano
1.2.
Distancia entre dos puntos
Ejercicio: 1. En los ejercicios siguientes, encuentra la distancia entre los puntos citados. √ √ d ) A( 2, 1), B(2 2, 3)
a) A(1, −3), B(2, 5) b) A(3, −2), B(3, −4) c) A(1/2, 3/2), B(−5/2, 2)
√ √ √ √ e) A( 3, − 2), B(−3 3, 2)
2. En los ejercicios siguientes, determina si los tres puntos dados son colineales. a) A(2, 1), B(4, 3), C(−1, −2) b) A(−2, 3), B(7, −2), C(2, 5) c) A(1, −1), B(3, 3), C(0, −3) 3. En los ejercicios siguientes, determina si los tres puntos dados son los v´ertices de un tri´angulo rect´angulo. a) A(0, 2), B(−2, 4), C(1, 3) b) A(9, 6), B(−5, 4), C(7, 10) 4. En los ejercicios siguientes, encuentra la cantidad desconocida. √
a) A(1, 5), B(x, 2), AB = 5
c) A(x, x), B(1, 4), AB =
b) A(−3, y), B(9, 2), AB = 13
d ) A(x, 2x), B(2x, 1), AB =
5 √
2
5. Uno de los extremos de un segmento rectil´ıneo de longitud igual a 17 es el punto A(1, −11); si la ordenada del otro extremo es 4, halla su abscisa (dos soluciones). 2
´ CAP´ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
3
6. Demuestra que los puntos A(−2, 2), B(3, 1) y C(−1, −6) son los v´ertices de un tri´angulo is´osceles. 7. Demuestra que P (5, 2) est´ a en la mediatriz del segmento AB, en el que A(1, 3) y B(4, −2). 8. Demuestra que (−2, 4), (2, 0), (2, 8) y (6, 4) son los v´ertices de un cuadrado. 9. Demuestra que (1, 1), (4, 1), (3, −2) y (0, −2) son los v´ertices de un paralelogramo. 10. Encuentra el centro y el radio del c´ırculo circunscrito al tri´angulo cuyos v´ertices son (5, 1), (6, 0), y (−1, −7). 11. Encuentra el punto que se halla sobre el eje X y es equidistante de los puntos A(14, −2) y B(−4, 6). 12. Dos de los v´ertices de un tri´ angulo equil´atero son los puntos A(7, 2) y B(2, 2), halla las coordenadas del tercer v´ertice (dos soluciones). 13. Como se muestra en la figura 1.1, con frecuencia se emplean coordenadas para determinar las ubicaciones en los mapas. Sup´ on que hay una red de calles que siguen las l´ıneas de la figura, y que hay una calle diagonal que representa la l´ınea inclinada. Si cada cuadrado de la red tiene 1 km por lado, calcula la distancia de X a Y . a) Supongamos que, en la figura 1.1, se cierra la parte de la carretera de X a Z, por reparaci´ on. ¿Cu´al es la distancia de X a Y siguiendo las carreteras alternas existentes? b) Supongamos que, en la figura 1.1, el camino de Y a Z se cierra por reparaci´on. ¿Cu´al es la distancia m´ as corta de Y a Z usando los caminos disponibles?
Figura 1.1:
´ CAP´ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
1.2.1.
Divisi´ on de un segmento en una raz´ on dada
1.2.2.
Divisi´ on de un segmento lineal
4
Ejercicio: 1. En los ejercicios siguientes, encuentra el punto P , entre A y B, y tal que AB quede dividido en la relaci´on indicada. a) A(5, −3), B(−1, 6) y
AP PB
b) A(−1, −3), B(−8, 11) y
= 21 . AP PB
= 34 .
c) A(2, −1), B(4, 5) y
AP PB
= 23 .
d ) A(5, 8), B(2, −1) y
AP PB
= 51 .
2. En los ejercicios siguientes, encuentra el punto medio Pm , de los segmentos AB. a) A(5, −2), B(−1, 4).
c) A(4, −1), B(3, 3).
b) A(−3, 3), B(1, 5).
d ) A(−1, 4), B(0, 2).
3. En los ejercicios siguientes, encuentra el punto P , entre A y B, y tal que AB quede dividido en la relaci´on indicada. a) A(3, 4), B(7, 0) y
AP AB
= 41 .
d ) A(2, 4), B(−5, 2) y
AP AB
= 25 .
b) A(4, −2), B(−2, −5) y
AP AB
= 23 .
e) A(−4, 1), B(3, 8) y
AP AB
= 3.
c) A(5, −1), B(−4, −5) y
AP AB
= 15 .
f ) A(−6, 2), B(4, 4) y
AP AB
= 52 .
4. Si A(3, 5), P (6, 2) y
AP AB
5. Si P (4, 7), B(2, −1) y
AP AB
6. Si P (2, −5), B(4, −3) y 7. Si A(3, 3), P (5, 2) y
= 13 , encuentra B.
AP AB
= 25 , encuentra A.
AP AB
= 12 , encuentra A.
= 35 , encuentra B
8. Si P (4, 1) es el punto medio del segmento AB y A(2, 5), determina B. 9. Halla las coordenadas de los puntos que trisectan al segmento A(3, −5) y B(6, 10); determina tambi´en su punto medio. 10. Los extremos del di´ ametro de una circunferencia son A(3, −2) y B(5, 6); halla las coordenadas del centro. 11. Encuentra el centro y el radio de un c´ırculo circunscrito al tri´angulo rect´angulo cuyos v´ertices est´an en (1, 1), (1, 4) y (7, 4). 12. Los puntos medios de los lados de un tri´angulo son (1, 1), (4, 2) y (2, 5); hallar las coordenadas de los tres v´ertices del tri´ angulo. 13. Encuentra el punto de intersecci´ on de las medianas del tri´angulo cuyos v´ertices est´an en (5, 2), (0, 4) y (−1, −1). 14. Determina el punto de intersecci´ on de las diagonales del paralelogramo que tiene sus v´ertices en (1, 1), (4, 1), (3, −2) y (0, −2).
´ CAP´ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
5
15. Tres v´ertices de un paralelogramo est´an en (2, 5), (−7, 1) y (4, −6); determina d´onde est´ a el cuarto v´ertice. [Sugerencia: El cuarto v´ertice puede estar opuesto a cualquiera de los v´ertices ya dados, por lo tanto son tres posibles soluciones] 16. Sup´on que, en la figura 1.1, dos veh´ıculos van en direcci´on contraria a la misma velocidad partiendo de X y Y . ¿En qu´e cuadro de la ret´ıcula se van a encontrar? a) Sup´on que, el autom´ ovil que parte de X viaja al doble de velocidad que el que parte de Y . ¿En qu´e punto se encontrar´ an? b) Sup´on que, el autom´ ovil que parte de X viaja a 30 km por hora, y el que sale de Y a 40 km por hora. ¿En qu´e punto se encontrar´an? y ¿a qu´e hora?
1.3. 1.3.1.
Pendiente de una recta Condiciones de paralelismo y perpendicularidad
Ejercicio: 1. En los ejercicios siguientes, determina la pendiente, si la hay, y el ´angulo de inclinaci´on de la recta que pasa por los puntos dados. a) b) c) d)
(2, 3) y (5, 8) (−1, 4) y (4, 2) (−2, −2) y (4, 2) (3, −5) y (1, −1)
e) (−4, 2) y (−4, 5) f ) (2, 3) y (−4, 3) g) (a, a) y (b, b)
2. En los ejercicios siguientes, determina las pendientes de las rectas que pasan por los dos pares de puntos citados. A continuaci´ on determina si las rectas son paralelas, coincidentes, perpendiculares, o no caen bajo ninguna de esas clasificaciones. a) (1, −2) y (−2, 11); (2, 8) y (0, 2)
e) (1, 1) y (4, −1); (−2, 3) y (7, −3)
b) (1, 5) y (−2, −7); (7, −1) y (3, 0)
f ) (1, −4) y (6, 1); (2, 3) y (−1, 6)
c) (1, 5) y (−1, −1); (0, 3) y (2, 7)
g) (1, 2) y (3, 2); (4, 1) y (4, −2)
d ) (1, 3) y (−1, −1); (0, 2) y (4, −2)
h) (1, 5) y (1, 1); (−2, 2) y (−2, 4)
3. Si la recta que pasa por (x, 5) y (4, 3) es paralela a un cuya pendiente es 3, determina x. 4. Si la recta que pasa por (x, 5) y (4, 3) es perpendicular a un cuya pendiente es 3, determina x. 5. Si la recta que pasa por (x, 1) y (0, y) es coincidente con la que pasa por (1, 4) y (2, −3), encuentra x y y. 6. Demuestra que los puntos A(−2, 1), B(2, 5) y C(8, −1) son los v´ertices de un tri´angulo rect´angulo. 7. Demuestra que los puntos A(6, 5), B(9, 9), C(5, 6) y D(2, 2) son los v´ertices de un rombo y que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio. 8. Demuestra que los puntos A(2, 4), B(7, 3), C(6, −2) y D(1, −1) son los v´ertices de un cuadrado, que sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales. 9. Determina la pendiente del tejado que se muestra en la figura 1.2.
´ CAP´ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
6
10. La direcci´ on, o rumbo, de un avi´ on o una embarcaci´on, se expresa casi siempre de acuerdo con el modelo N 30o E, que quiere decir 30o hacia el Este del Norte. Si un barco navega hacia un faro que est´a a 10 Km al Norte y 4 al Este, ¿cu´al es el rumbo del barco? 11. Sup´on que, en el ejercicio anterior, el barco cambia de rumbo despu´es de haber navegado hasta la mitad del camino hacia el faro. Desde ese lugar se dirige hacia un buque de espera que est´ aa 4 Km al Este del faro. ¿Cu´ al es el rumbo en ese nuevo recorrido?
Figura 1.2:
1.4.
´ Angulo entre dos rectas
Ejercicio: 1. En los ejercicios siguientes, determina el ´angulo entre las rectas l1 y l2 , cuyas pendientes respectivas son m1 y m2 . los puntos dados. a) b) c) d)
m1 m1 m1 m1
= −2 y m2 = 3. = 1 y m2 = 4. = −3 y m2 = 2. = 5 y m2 = −1.
e) m1 = 10 y m2 no existe. f ) m1 = 0 y m2 = −1. g) m1 =
2 3
y m2 no existe.
2. En los ejercicios siguientes, determina el ´angulo entre las rectas l1 y l2 , donde l1 y l2 , contienen los puntos indicados. a) b) c) d)
l1 l1 l1 l1
: (1, 4), : (2, 5), : (4, 5), : (1, 1),
(3, −1); l2 : (3, 2), (5, −1) (−3, 10); l2 : (−1, −3), (3, 3) (1, 1); l2 : (3, −3), (0, 4) (0, 5); l2 : (4, 6), (−1, 2)
e) l1 : (3, 4), (3, −1); l2 : (2, 5), (−1, 2) f ) l1 : (−1, 2), (−1, −1); l2 : (−3, 4), (1, 0) g) l1 : (5, 1), (3, −3); l2 : (5, 1), (5, −3)
3. Encuentra la pendiente de la recta que bisecta al ´angulo entre l1 y l2 . Esas rectas tienen las pendientes respectivas m1 y m2 . a) b) c) d)
m1 m1 m1 m1
= 3 y m2 = −2 = 1 y m2 = −7 = 2 y m2 = 3 = −1 y m2 = 2
e) m1 = −3 y m2 = 5 f ) m1 = 2 y m2 = 0 g) m1 =
3 4
y m2 no existe
´ CAP´ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
7
4. Calcula los ´ angulos interiores del tri´ angulo cuyos v´ertices est´an en: a) A(1, 5), B(3, −1) y C(−1, −1). b) A(3, 2), B(4, 5) y C(−1, −1). 5. Encuentra la pendiente de la recta l1 , tal que el ´angulo entre l1 y l2 es tan−1 a (2, 1) y (−4, −5).
3 4
, y l2 contiene
6. Determina la pendiente de la recta l1 , si el ´angulo entre l1 y l2 es 45o , y la pendiente de l2 es −2. 7. Dos rectas se cortan formando un ´ angulo de 45o . La recta inicial pasa por los puntos (−2, 1) y (9, 7), y la recta final pasa por el punto (3, 9) y por el punto A cuya abscisa es (−2); hallar la ordenada de A. 8. Demostrar que los puntos A(1, 1), B(5, 3), C(8, 0) y D(4, −2) son los v´ertices de un paralelogramo, y hallar su ´ angulo obtuso. 9. Hallar el ´area del tri´ angulo cuyos v´ertices son A(1, −3), B(3, 3) y C(6, −1) empleando el seno del ´angulo BAC. 10. Demuestra que A(−1, 0), B(4, 6) y C(10, 1) son lo v´ertices de un tri´angulo is´osceles. 11. Demuestra que los tres puntos A(2, 5), B(8, −1) y C(−2, 1) son los v´ertices de un tri´angulo rect´angulo, y hallar sus ´ angulos agudos. 12. Demuestra que los cuatro puntos A(2, 4), B(7, 3), C(6, −2) y D(1, −1) son los v´ertices de un cuadrado, y que sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales.
1.5.
Resumen de f´ ormulas
1.6.
Gr´ afica de una ecuaci´ on y lugares geom´ etricos
1.6.1.
Dos problemas fundamentales de la Geometr´ıa anal´ıtica
1.6.2.
Gr´ afica de una ecuaci´ on
1.6.3.
Intercepci´ on con los ejes
1.6.4.
Simetr´ıa
1.6.5.
Extensi´ on de una curva
1.6.6.
As´ıntotas
1.6.7.
Construcci´ on de curvas
Ejercicio: 1. En cada uno de los ejercicios siguientes, construir la curva correspondiente a la ecuaci´on dada. a) xy − 2y − 3 = 0.
e) xy − 3y − y = 0.
b) xy − 2y − 1 = 0.
f ) xy − 2y − 3 = 0.
c) x4 + y 4 = 16.
g) x4 − 4y 2 − y = 0.
d ) x3 + x − y = 0.
h) x2 − 2xy + y 2 − 6x − 6y + 3 = 0.
´ CAP´ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS i ) x3 − 3x2 − y 2 + 3x − 2y − 2 = 0.
l ) xy 2 + 2xy − y 2 + x = 0.
j ) xy 2 − 9x − y − 1 = 0.
m) x2 y 2 − 4x2 − 4y 2 = 0.
k ) x2 − xy + 5y = 0.
n) y 3 + x2 y − x3 = 0.
1.6.8.
Ecuaciones factorizables
1.6.9.
Intersecciones de curvas
8
Ejercicio: 1. En cada uno de los ejercicios siguientes, factorizar la ecuaci´on correspondiente y trazar la gr´afica. a) x2 − 4y 2 = 0. b) x3 − x2 y − 2xy 2 = 0. c) 6x2 + xy − 2y 2 + 7x + 7y − 3 = 0.
d ) x3 − x2 y − xy + y 3 = 0. e) x2 y + x3 − xy 2 + xy + 2x = 0.
2. En cada uno de los ejercicios siguientes, hallar, anal´ıtica y gr´aficamente, los puntos de intersecci´on, cuando los hay, para las curvas dadas. a) 2x − y − 1 = 0; 3x + y − 9 = 0 b) 2x + y − 5 = 0; 3x + 3y + 7 = 0. c) x2 − y = 0; y 2 − x = 0.
1.6.10.
d ) x2 + y 2 = 8; y 2 = 2x. e) x2 + y 2 = 13; xy = 6.
Ecuaci´ on de un lugar geom´ etrico
Ejercicio: En cada uno de los ejercicios siguiente se recomienda al lector que, despu´es de obtener la ecuaci´on del lugar geom´etrico, construya la curva de acuerdo con los ejemplos vistos. 1. Hallar la ecuaci´ on del lugar geom´etrico de un punto que se mueve de tal manera que: a) Se conserva siempre a 2 unidades a la izquierda del eje Y ; b) Est´a siempre a 4 unidades arriba del eje X; c) Est´a siempre a igual distancia de los ejes X y Y . 2. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje Y disminuida en 3 es siempre igual al doble de su distancia al eje X. Hallar la ecuaci´on de su lugar geom´etrico y dar su interpretaci´ on geom´etrica. 3. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A(2, 3) es siempre igual a 5. Hallar la ecuaci´on de su lugar geom´etrico y dar su interpretaci´on geom´etrica. 4. Una recta contiene los dos puntos A(−1, 5) y B(1, 3). Expresar, anal´ıticamente, el hecho de que un punto cualquiera P (x, y) est´ a sobre la recta. Deducir la ecuaci´on de la recta. 5. Una recta l, que pasa por el punto A(−5, 1), es perpendicular a otra cuya pendiente 12 . Expresar, anal´ıticamente, el hecho de que un punto cualquiera P (x, y) est´a sobre la recta l, y deducir, de aqu´ı, su ecuaci´ on. 6. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje X es siempre igual a su distancia del punto A(0, 4). Hallar la ecuaci´ on de su lugar geom´etrico.
´ CAP´ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
9
7. Hallar la ecuaci´ on del lugar geom´etrico de un punto que se mueve de tal manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos puntos A(2, −2) y B(4, 1) es siempre igual a 12. (Dos casos) 8. Hallar la ecuaci´ on del lugar geom´etrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los dos puntos A(3, 0) y B(−3, 0) es siempre igual a 8. 9. Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los dos puntos A(3, 0) y B(−3, 0) es siempre igual a 4. Hallar la ecuaci´on de su lugar geom´etrico. 10. Un c´ırculo de radio 4 tiene su centro en el punto C(1, −1). Hallar la ecuaci´on del lugar geom´etrico de los puntos medios de todos sus radios.
1.7. 1.7.1.
Problemas... de repaso
1. Determina el punto de intersecci´ on de 2x + y = 5 con x − 3y = 7. 2. Utiliza las distancias para determinar si los tres puntos (1, 5), (−2, −1) y (4, 10) son colineales. Comprueba tu resultado utilizando pendientes. 3. Determina las longitudes de las medianas del tri´angulo cuyos v´ertices est´an en (−3, 4), (5, 5) y (3, −2). 4. Determina a x de tal modo que (x, 1) est´e en la recta que une a (0, 4) y (4, −2). 5. Determina las pendientes de las alturas del tri´angulo cuyos v´ertices son (−2, 4), (3, 3) y (−5, −2). 6. Determina los puntos de trisecci´ on del segmento que une a (2, −5) con (−3, 7). 7. Determina los puntos de intersecci´ on de x − 7y + 2 = 0 con x2 + y 2 − 4x + 6y − 12 = 0. Traza la gr´afica. 8. Determina el punto de intersecci´ on de las medianas del tri´angulo cuyos v´ertices est´an en (4, −3), (−2, 1) y (0, 5). 9. Determina el centro del c´ırculo circunscrito al tri´angulo cuyos v´ertices est´an en (−1, 1), (6, 2) y (7, −5). 10. Un cuadrado tiene todos sus v´ertices en el primer cuadrante, y uno de los lados une a (3, 1) con (6, 3). Determina el lugar de los otros dos v´ertices. 11. Deduce una ecuaci´ on del conjunto de puntos (x, y) tales que el ´angulo entre el eje X y la recta que une al origen con (x, y) es igual a y.
1.7.2.
de aplicaci´ on
1. Un agricultor quiere dividir un campo rectangular cuyas coordenadas de sus v´ertices son: A(−1, 2), B(7, 2), C(−1, −4) y D(7, −4) en ocho parcelas triangulares iguales, pero no sabe c´omo hacerlo. Su sobrino, le dice que una manera de lograrlo es uniendo los puntos medios de los lados opuestos y trazando a continuaci´ on las diagonales del rect´angulo. a) Traza el rect´ angulo y comprueba que es correcto el consejo del sobrino.
´ CAP´ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
10
b) Calcula el per´ımetro de cada una de las parcelas, sabiendo que el centro del campo es el punto P (3, −1). c) ¿Cu´al es el ´ area de cada una de las parcelas? d ) ¿Cu´al es el ´ area total del campo? 2. Para fabricar un papalote dise˜ nado sobre un plano cartesiano que tiene, por coordenadas A(−1/2, 3), B(−5/2, −5), C(9/2, 1) y D(9, −11), se requiere saber: a) La cantidad de carrizo necesaria para la estructura. b) La longitud de hilo para los contornos sin considerar los amarres. c) La cantidad de papel para la cara plana del papalote. 3. En un almac´en se deben colocar tubos de drenaje de 2 metros de di´ametro; se apilan formando un tri´angulo equil´ atero, tal como se indica en la figura 1.3, cuyos v´ertices de la base son A(2, 2) y B(10, 2).
Figura 1.3: a) b) c) d)
¿Qu´e altura debe tener el almac´en? ¿Cu´ales son las coordenadas del punto C? ¿Cu´al es el ´ area del tri´ angulo rect´angulo de la figura? ¿Cu´antos tubos en total se apilan?
4. Un campo de football suele medir 100 yardas de largo y 60 de ancho. Sup´on que el sistema coordenado para los v´ertices se asigna de la siguiente forma: A(0, 0), B(0, 60), C(100, 60) y D(100, 0) (Ver figura 1.4). a) ¿Cu´ales son las coordenadas del centro del campo? b) ¿Cu´al es el ´ area total del campo? c) ¿Cu´al es el ´ area del tri´ angulo AP B? 5. Para el tendido de cable el´ectrico sobre un terreno monta˜ noso se requieren cinco postes, los cuales deben estar separados a distancias iguales. Si uno de los extremo del cable es el punto A(9, 5) y el otro extremo es B(−13, 1), averigua las coordenadas de los puntos donde deben colocarse los 5 postes desde B hasta A.
´ CAP´ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
Figura 1.4:
11
Cap´ıtulo 2
La l´ınea recta 2.1.
Definici´ on
2.2.
Ecuaci´ on de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada
2.2.1.
Ecuaci´ on de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen
2.2.2.
Ecuaci´ on de la recta que pasa por dos puntos
2.2.3.
Ecuaci´ on sim´ etrica o can´ onica de la recta
Ejercicio: 1. Halla la ecuaci´ on de la recta dados un punto por el que pasa y su pendiente o su ´angulo de inclinaci´on, y adem´ as traza la gr´ afica. a) (2, −4), m = −2 b) (2, 2), m = 1 c) (9, 0), m = 1 d ) (4, −2), m = 0 e) (2, 5), sin pendiente f ) (7, 4), θ = 60o g) (5, −2), θ =
3π 4
2. Halla la ecuaci´ on de la recta dados su intersecci´on con el eje Y y su pendiente m. a) −3, m = − 53 b) 2, m = −5 c)
6 5,
d)
− 38 ,
m=4 m=
1 6
3. Halla la ecuaci´ on de la recta dados dos puntos por los que pasa, y adem´as traza la gr´afica. a) (1, 4), (3, 5) b) (3, 3), (1, 1) c) (0, 0), (1, 5) 12
CAP´ITULO 2. LA L´INEA RECTA
13
d ) (2, 3), (5, 3) e) (5, 1), (5, 3) 4. Halla la ecuaci´ on de la recta cuyas intersecciones con los ejes X y Y se indican respectivamente. a) A(−5, 0), B(0, −2) b) A(3, 0), B(0, 1) c) A( 25 , 0), B(0, 11 4 ) d ) A(7, 0), B(0, −5) 5. Los v´ertices de un cuadril´ atero son A(0, 0), B(2, 4), C(6, 7) y D(8, 0). Hallar las ecuaciones de sus lados. 6. Halla la ecuaci´ on de la recta que es perpendicular a la recta 5x − 3y − 15 = 0 y pasa por el punto A(−3, 2). 7. Hallar la ecuaci´ on de la mediatriz del segmento A(−3, 2), B(1, 6). 8. Halla la pendiente e intersecciones con los ejes coordenados para la recta 4x + 3y + 13 = 0. 9. Una recta pasa por el punto A(7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C(−2, 2) y D(3, −4). Hallar su ecuaci´ on. 10. Hallar la ecuaci´ on de la recta que pasa por el punto A(−2, 4), e intercepta al eje X en −9. 11. Demostrar que los puntos A(−5, 2), B(1, 4) y C(4, 5) son colineales hallando la ecuaci´on de la recta que pasa por dos de estos puntos. 12. Hallar la ecuaci´ on de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta 5x + 3y − 15 = 0. 13. Hallar la ecuaci´ on de la recta cuya pendiente es −4, y que pasa por el punto de intersecci´on de las rectas 2x + y − 8 = 0 y 3x − 2y + 9 = 0. 14. Halla la ecuaci´ on de la recta que pasa por el punto A(1, 2) y por el punto de intersecci´on de las rectas x + 5y − 4 = 0 y 2x − 3y = 0 15. Se sabe que el agua se congela a 0o C o 32o F , y que hierve a 100o C o 212o F . Tambi´en que la relaci´on entre la temperatura expresada en grados Celsius (C), y en grados Fahrenheit (F ), es lineal. Encuentra esa relaci´ on. 16. A la empresa Zapatos Finos le cuesta 9500 fabricar 100 pares de zapatos diarios y 150 pares 12250. Suponiendo que el costo es funci´on lineal de la cantidad fabricada, determina el costo en funci´on de la cantidad fabricada. Interpreta las constantes en tu resultado.
CAP´ITULO 2. LA L´INEA RECTA
2.3. 2.3.1.
14
Forma general de la ecuaci´ on de una recta Posiciones relativas de dos rectas
Ejercicio: 1. Hallar la ecuaci´ on de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que pasa por el punto (−2, 4) y tiene una pendiente igual a −3. 2. Hallar la ecuaci´ on de una recta, determinando los coeficientes de la forma general, si los segmentos que determina sobre los ejes X y Y , es decir, sus intercepciones, son 3 y −5, respectivamente. 3. Hallar la ecuaci´ on de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que es perpendicular a la recta 3x − 4y + 11 = 0 y pasa por el punto (−1, −3). 4. Hallar la pendiente e intercepciones de la recta 7x − 9y + 2 = 0. 5. Hallar la pendiente, ´ angulo de inclinaci´on y las intercepciones de la recta que pasa por el punto (2, 3) y es perpendicular a la recta 2x − 7y + 2 = 0. 6. Demostrar que las rectas 2x − y − 1 = 0, x − 8y + 37 = 0, 2x − y − 16 = 0 y x − 8y + 7 = 0 forman un paralelogramo, y hallar las ecuaciones de sus diagonales. 7. Demostrar que las rectas 5x − y − 6 = 0, x + 5y − 22 = 0, 5x − y − 32 = 0 y x + 5y + 4 = 0 forman un cuadrado. 8. Hallar el ´angulo agudo formado por las rectas 4x − 9y + 11 = 0 y 3x + 2y − 7 = 0. 9. Demostrar que las tres rectas 3x − 5y + 7 = 0, 2x + 3y − 8 = 0 y 6x − 7y + 8 = 0 son concurrentes. 10. Los v´ertices de un tri´ angulo son (1, 1), (4, 7) y (6, 3). Demostrar que el baricentro (punto de intersecci´on de las medianas), el circuncentro (punto de intersecci´on de las mediatrices) y el ortocentro (punto de intersecci´ on de las alturas) son colineales. 11. Determina el valor de k para la ecuaci´on 2x + 3y + k = 0, que forma con los ejes coordenados un tri´angulo de ´ area igual a 27 unidades cuadradas. 12. Halla el valor de k para que la recta de ecuaci´on 3x + 4ky − 24 = 0 pase por el punto A(−8, 3). 13. Halla el valor de k de manera que: a) 5kx + 3y + k − 4 = 0 pase por el punto P (−3, 6). b) 6x − ky − 11 = 0 tenga de pendiente 38 . c) kx − 3y = 6k − 12 tenga de abscisa en el origen 4.
2.4.
Forma normal de la ecuaci´ on de la recta
2.5.
Reducci´ on de la forma general de la ecuaci´ on de una recta a la forma normal
Ejercicio: 1. Hallar la ecuaci´ on de una recta en la forma normal, siendo ω = 60o y p = 6.
CAP´ITULO 2. LA L´INEA RECTA
15
2. Una √ recta es tangente a un c´ırculo de centro en el origen y radio 3. Si el punto de tangencia es (2, − 5), halla la ecuaci´ on de la tangente en la forma normal. 3. La ecuaci´on de una recta en la forma normal es x cos ω + y sen ω − 5 = 0. Hallar el valor de ω para que la recta pase por el punto (−4, 3). 4. Reducir la ecuaci´ on 12x − 5y − 52 = 0 a la forma normal, y hallar los valores de p y ω. 5. Hallar la distancia del origen a la recta 2x − 3y + 9 = 0. 6. Determinar el valor de k para que la distancia del origen a la recta x + ky − 7 = 0 sea 2. 7. Hallar la ecuaci´ on de la recta cuya distancia del origen es 5 y que pasa por el punto (1, 7). (Dos soluciones) 8. La pendiente de una recta es −3. Hallar su ecuaci´on si su distancia del origen es 2. (Dos soluciones) 9. Hallar la forma normal de la ecuaci´ on de la recta que pasa por los dos puntos A(−1, 7) y B(4, 2). 10. Los v´ertices de un tri´ angulo son A(−4, 2), B(−1, 5) y C(2, −1). Hallar las ecuaciones de las alturas en la forma normal.
CAP´ITULO 2. LA L´INEA RECTA
2.6.
16
Aplicaciones de la forma normal
Ejercicio: 1. Determina la distancia absoluta de las siguientes rectas dadas al punto indicado a) 4x − 5y − 13 = 0 al punto A(7, −1). b) 2x + 5y + 10 = 0 al punto C(1, 3).
c) 3x − 4y + 2 = 0 al punto P (5, −2).
2. Determina la distancia comprendida entre las siguientes rectas paralelas. a) x − y − o = 0 y x − y + 3 = 0. b) 6x + 5y − 82 = 0 y 6x + 5y + 2 = 0.
c) x − 5y + 7 = 0 y 2x − 10y − 12 = 0.
3. Los v´ertices de un tri´ angulo son A(2, 3), (5, 7) y C(−3, 4). Determina la longitud de la altura del v´ertice A sobre el lado BC y el ´ area del tri´angulo dado. 4. Determina la ecuaci´ on de la paralela a la recta 2x − 3y + 9 = 0 y distante 3 unidades de ella (dos soluciones). 5. La distancia de la recta 2x + 5y − 10 = 0 al punto M es (−3), si la abscisa de M es 2, determina su ordenada (doble soluci´ on). 6. La distancia de la recta 4x − 3y + 1 = 0 al punto Q es 4, si la ordenada de Q es 3, determina su abscisa (doble soluci´ on). 7. Halla la ecuaci´ on de la recta cuyos puntos equidistan de las dos rectas paralelas 5x+12y −12 = 0 y 5x + 12 + 6 = 0. 8. Encuentra las longitudes de las alturas del tri´angulo cuyos v´ertices est´an en A(1, 2), B(5, 5) y (−1, 7). 9. Calcula las longitudes de las alturas del tri´angulo cuyos lados est´an representados por x+y −3 = 0, x − 2y + 4 = 0 y 2x + 3y − 5 = 0. 10. Determina las ecuaciones de las bisectrices de los ´angulos formados por los siguientes pares de rectas dadas y demuestra que dichas bisectrices son perpendiculares entre s´ı. a) 6x − 8y + 15 = 0 y 8x + 15y − 24 = 0. b) 5x + 12y − 15 = 0 y 3x + 4y + 8 = 0. c) 2x − y + 1 = 0 y x + 7y − 1 = 0. 11. Dados los v´ertices de los siguientes tri´angulos, determina las ecuaciones de las bisectrices el ´angulo interior ACB, para cada caso. a) A(−4, 1), C(3, −3).
B(−3, 3)
yb) A(−2, 1), B(4, 7) y C(6, −3).c) A(1, −1), B(6, −2) y C(7, 3).
12. Una tabla est´ a recargada contra una cerca, y forma un ´angulo de 30o con la horizontal. Si la tabla tiene 4 m de longitud, ¿cu´ al es el di´ametro del tubo m´as grande que puede caber entre la tabla, el terreno y la cerca? (Ver figura 2.1)
CAP´ITULO 2. LA L´INEA RECTA
17
Figura 2.1: 13. En la figura 2.2 vemos una peque˜ na parte de la carretera interestatal 197. La carretera FM 125 corre de Norte a Sur, y FM 238 corre de Este a Oeste. ¿A qu´e distancia est´a arcadia de la 197?
Figura 2.2:
2.7.
´ Area de un tri´ angulo
Ejercicio: 1. Calcula el ´ area de los pol´ıgonos cuyos v´ertices se indican: a) A(1, −2), B(1, 2) y C(−2, −2) b) A(−1, 5), B(−5, 2) y C(6, −1) c) A(6, 5), B(3, −3), C(−5, −5) y D(4, −4) d ) A(2, 7), B(5, 5), C(4, 2), D(6, −4), E(1, −7) y F (−5, −2) 2. Una recta pasa por el punto A(−6, 7) y forma con los ejes coordenados un tri´angulo de ´ area 1 igual a 10 2 . Hallar su ecuaci´ on. 3. La suma de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coordenados es igual a 10. Hallar la ecuaci´ on de la recta si forma con los ejes coordenados un tri´angulo de ´area 12. 4. Hallar la ecuaci´ on de la recta que pasa por la intersecci´on de las dos rectas 3x − 4y = 0, 2x − 5y + 7 = 0 y forma con los ejes coordenados un tri´angulo de ´area 8.
Cap´ıtulo 3
Ecuaciones de la Circunferencia 3.1. 3.1.1.
Forma ordinaria Forma general de la ecuaci´ on de la circunferencia
Ejercicio: 1. Deduce una ecuaci´ on del c´ırculo que se describe en los problemas, en la forma normal y en la forma general. c) Centro en (1/2, −3/2); Radio 2.
a) Centro en (1, 3); Radio 5. b) Centro en (5, −2); Radio 2.
2. Los extremos del di´ ametro de una circunferencia son los puntos que a continuaci´on se indican; determina la ecuaci´ on de la curva en su forma ordinaria y general; a) A(−7, 0) y B(0, 4).
c) A(5, −2) y B(7, 2).
b) A(6, −2) y B(−4, 3).
d ) A(−2, −4) y B(1, 2).
3. Reduce las ecuaciones siguientes a la forma ordinaria de la ecuaci´on de la circunferencia; si la ecuaci´on dada representa una circunferencia, halla su centro y su radio. a) x2 + y 2 − 2x − 4y + 1 = 0
d ) 5x2 + 5y 2 − 8x − 4y − 121 = 0
b) x2 + y 2 + 6x − 16 = 0
e) 9x2 + 9y 2 − 6x + 18y + 11 = 0
c) 4x2 + 4y 2 − 4x − 12y + 1 = 0
f ) 36x2 + 36y 2 − 48x − 36y + 25 = 0
4. Deduce una ecuaci´ on del c´ırculo que tiene radio 3 y es tangente a ambos ejes coordenados; En la forma normal y en la forma general. 5. Determina la ecuaci´ on de la circunferencia cuyo centro es C(3, −6) y que es tangente al eje Y . 6. La ecuaci´on de una circunferencia es (x − 2)2 + (y + 3)2 = 16; demuestra que el punto A(4, −2) es interior a la circunferencia y que el punto B(7, −5) es exterior. 7. Determina la ecuaci´ on de la circunferencia cuyo centro es C(−2, 5) y que es tangente a la recta x = 7. 8. Halla la ecuaci´ on de la circunferencia de radio 7 y cuyo centro en el punto de intersecci´on de las rectas 3x − 2y − 24 = 0 y 2x + 7y + 9 = 0. 18
CAP´ITULO 3. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
19
9. Determina la ecuaci´ on de la mediatriz de la cuerda x − 7y + 25 = 0 que pertenece a la circunferencia x2 + y 2 = 25; demuestra que pasa por el centro de la circunferencia. 10. Una cuerda de la circunferencia x2 + y 2 = 9 est´a sobre la recta cuya ecuaci´on es 4x + 3y − 12 = 0; determina la longitud de la cuerda. 11. Determina la ecuaci´ on de la circunferencia circunscrita e inscrita al tri´angulo cuyos v´ertices son: a) A(5, 3), B(2, 0) y C(7, 1). b) A(10, 2), B(3, 9) y C(−2, −1).
c) A(4, −2), B(−5, 1) y C(2, 3).
12. Determina la ecuaci´ on de la circunferencia circunscrita e inscrita al tri´angulo cuyas ecuaciones de sus lados son: a) x + 2y − 5 = 0, 2x + y − 7 = 0 y x − y + 1 = 0. b) x − y − 1 = 0, 9x + 2y + 13 = 0 y 3x + 8y − 47 = 0. c) x − y − 9 = 0, 5x + y + 9 = 0 y x + 2y − 18 = 0. 13. Una mezquita tiene una entrada ”de cerradura”formada por un rect´angulo rematado por un c´ırculo, como vemos en la figura 3.1. Deduce una ecuaci´on del c´ırculo que tenga esa posici´ on respecto a los ejes.
Figura 3.1: 14. Para el tornillo de la figura 3.2, deduce una ecuaci´on del arco circular con respecto a los ejes dados.
Figura 3.2:
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