Ejercicios Capitulo 11 Kreizyg 132j70

EJERCICIOS CAPITULO 11

c) U  Ln x 2  y 2  Ux 

EJERCICIOS 11.1 2. Comprobar que las funciones (6) son soluciones de (3).

U xx 

a) U  x 2  y 2 U xx 

U x  2x U xx  2 U y  2 y

U xx 

U yy  2 2

Uy 

2

 y  y  0 x 2 y 2 220

U yy 

b) U  e cos y

1 2x x  y2 2

2x 2  y 2   2 x2 x 

x

U yy 

x

U yy 

U yy  e x cos y 2 y 2 y  0 x 2 y 2 e x cos y  e x cos y  0 00

2( y 2  x 2 )

x

2

 y2

2





x

2

2

 y2  2

2

 y2 

1 2y x  y2 2

2x 2  y 2   2 y 2 y 

x

2

2

 y2 

2x 2  2 y 2  4 y 2

x

2

2

 y2 

2( x 2  y 2 )

x

2

2( x 2  y 2 )

x

2

2( y 2  x 2 )

U xx  e x cos y U y  e x seny

2

 y2 

2x 2  2 y 2  4x 2

x

U x  e x cos y

2

 y2

2



2

 y2  

2 y 2  2x 2  2 y 2  2x 2

x

2

 y2

2



0

Comprobar que las siguientes funciones son soluciones de la ecuación de laplace.

5. u  x 4  6 x 2 y 2  y 4 u x  4 x 3  12 xy 2

3. u  2 xy

u xx  12 x 2  12 y 2

ux  2 y

u y  4 y 3  12 x 2 y

u xx  0

u yy  12 x 2  12 y 2

uy  2x

2 y 2 y  0 x 2 x 2 12 x 2  12 y 2  12 x 2  12 y 2  0 00

u yy  0  2u  2u  0 x 2 y 2 00  0

6. u  e x seny

u x  e x seny

4. u  x 3  3xy 2

u x  3x 2  3 y 2

u xx  e x seny

u xx  6 x

u y  e x cos y

u y  6 xy

u yy  e x seny

u yy  6 x

 2u  2u  0 x 2 y 2

 2u  2u  0 x 2 y 2 6x  6x  0

e x seny  e x seny  0

7. u  senxsenhy

1 1 . y2 x 1 2 x 1 1 uy  2 . 2 x y x x2 x2 1 uy  2 . 2 x y x x uy  2 x  y2 uy 

u xx   senxsenhy u y  senx cosh y u yy  senxsenhy 2 y 2 y  0 x 2 x 2  senxsenhy  senxsenhy  0  y 8. u  arctan   x y 1 . 2 2 x x 1 2 y y 1 . 2 ux  2 2 x y x x2 y x2 . 2 ux  2 2 x y x y ux  2 x  y2

u yy 

ux 

u xx  u xx 

u yy 

2

x

2

2

 y2 

2

2

 y2 

 2 xy

x

2

2

 y2 

Comprobar que las funciones siguientes son soluciones de la ecuación de onda (1) con un valor aproximado de c.

2

 y2 

2 xy

x

 2u   2u  0 2 x 2 xy 2 xy  0 2 2 2 2 x  y  x  y 2 2

0( x 2  y 2 )  ( y )(2 x)

x

0( x 2  y 2 )  x(2 y )

9. u  x 2  4t 2

ut  8t

utt  4c 2 sen 2ctsen 2 x

utt  8

u xx  4 sen 2ctsen 2 x

ux  2x

2  2u 2  u c  t 2 x 2  4c 2 sen 2ctsen 2 x  c 2  4 sen 2ctsen 2 x 

u xx  2 2  2u 2  u  c t 2 x 2 8  2c 2

 4c 2 sen 2ctsen 2 x  4c 2 sen 2ctsen 2 x c  1

c 4 c2

utt  16 cos 4tsenx

10. u  x 3  3xt 2

ut  6 xt

u xx   cos 4tsenx

utt  6 x

2  2u 2  u c t 2 x 2  16 cos 4tsenx  c 2  cos 4tsenx 

u x  3 x 2  3t 2 u xx  6 x 2  2u 2  u c t 2 x 2 6 x  6 xc 2

c 1 11. u  sen2ctsen2 x

12. u  cos 4tsenx

 16  c 2 c 2  16 c  4 13. u  cos ctsenx

utt  c 2 cos ctsenx

ut  e  t cos x

u xx   cos ctsenx

u xx  e t cos x

2  2u 2  u c t 2 x 2  c 2 cos ctsenx  c 2  cos ctsenx 

u  2u c 2 t x t  e cos x  c u xx  e t cos x



c 1

c2  1 c  1

16. u  e 2t cos x ut  2e 2 t cos x

14. u  senwctsenwx

u x  e  2 t senx

ut  cos wct ( wc) senwx

u xx  e  2t cos x

utt   w2 c 2 senwctsenwx

u  2u c 2 t x 2t  2e cos x  c  e  2 t cos x

u x  wsenwct cos wx



u xx   w2 senwctsenwx 2  2u 2  u c  t 2 x 2  w2 c 2 senwctsenwx  c 2  w2 senwctsenwx





c2

17. u  e t sen3x



cc Comprobar que las siguientes funciones son soluciones de la ecuación de calor (2) para un valor adecuado de c. 15. u  e t cos x



ut  e  t sen3 x u x  3e t cos 3 x u xx  9e t sen3 x u  2u c 2 t x t  e sen3 x  c  9e t sen3 x



c

1 9



18. u  e 4t cos wx

2 2

ut   w 2 c 2 e  w c t senwx 2 2

ut  4e u x  e

4 t

 4t

u x  we  w c t cos wx

cos wx

2 2

u xx   w2 e  w c t senwx

wsenwx

u  2u c 2 t x

u xx  e  4t w 2 senwx u  2u c 2 t x 4t  4e cos wx  c  e  4t w 2 senwx



2 2

2 2

 w 2 c 2 e  w c t senwx  c  w 2 e  w c t senwx







c 1

4  cw 4 c w

21. Demostrar que u 

1 x2  y 2  z 2

es una solución de la

ecuación de Laplace (5). 19. u  e 16t cos 2 x

ut  16e 16t cos 2 x u x  2e 16t sen 2 x u xx  4e 16t cos 2 x u  2u c 2 t x 16 t  16e cos 2 x  c 4e 16t cos 2 x  c4 2 2

20. u  e  w c t senwx

1 v u v  x x u x  x x 2  y 2  z 2 3 / 2

u

2 2 2   2u   x   2x  y  z  x 2 x  x 2  y 2  z 2 3 / 2  x 2  y 2  z 2 5 / 2

u v y  2 y y x  y 2  z 2



ux 

3/ 2



2 2 2   2u   y   2y  x  z  y 2 y  x 2  y 2  z 2 3 / 2  x 2  y 2  z 2 5 / 2 u v z  2 z z x  y 2  z 2 3 / 2









u xx 



u xx 

a2 x x2  y2



2a ( x 2  y 2 )  2ax ( 2 x )

x



2 2 2    2z  x  y 3/ 2  2 2 2 5/ 2  x y z





uy 



2x2  y 2  z 2 2 y 2  x2  z 2 2z 2  x2  y 2  2u  2 u  2 u      x 2 y 2 z 2 x 2  y 2  z 2 5 / 2 x 2  y 2  z 2 5 / 2 x 2  y 2  z 2 5 / 2

2

 y2

2



x

2

 y2

x

2

 y2

2



a2 y x2  y2



2



2

u yy 

2ax 2  2ay 2  4ax 2



2a ( x  y 2 )  2ay ( 2 y )

x

2

 y2

2



 2u  2 u  2 u 2 x 2  2 y 2  2 z 2  2 y 2  2 z 2  2 x 2    x 2 y 2 z 2 x 2  y 2  z 2 5 / 2

u yy 

 2u  2 u  2 u   0 x 2 y 2 z 2

 2a ( x 2  y 2 )

22. Comprobar que u ( x, y )  a ln( x 2  y 2 )  b satisface la ecuación de Laplace (3) y determinar a y b para que u satisfaga las condiciones en la frontera u=0 sobre la circunferencia x 2  y 2  1 y u=5 sobre la circunferencia x 2  y 2  9



 2a ( x 2  y 2 )



 2u   z  2 2  z z  x  y 2  z 2



x

2



2ax 2  2ay 2  4ay 2

x

2

 y2

2a ( x 2  y 2 )

x

2

2

 y2  2

 y2 



2a ( x 2  y 2 )

x

2

2

 y2 

 2a ( x 2  y 2 )  2a ( x 2  y 2 )

x

2

2

 y2 

00 u ( x, y )  aIn( x 2  y 2 )  b

0 0

2



cuando u  0 sobre x 2  y 2  1

 cv(a)  cw(b)

0  aIn(1  y 2  y 2 )  b (1)0  aIn(1)  b

 2u  v a w b  cv(a)  cw(b)   c c 2 t t a t b t 2 2 2  c v(a)  c w(b)  c v(a)  w(b) u a v b w   x x a x b  v(a )  w(b)

cuando u  5 sobre x 2  y 2 

1 2

1 5  aIn(  y 2  y 2 )  b 2 1 5  aIn  b 2 resolviendo 1 y 2

b0

   v(a)  w(b)   v  w x a b  v( a )  w(b)

tenemos :

en la ecuación de onda reemplazamos

 2u 

a  5 / ln(2)

u ( x, y ) 

c 2 v( a )  w(b)  c 2 v( a )  w(b) 

5 ln( x 2  y 2 ) ln(2)

23. Demostrar que u ( x, t )  v( x  ct )  w( x  ct ) es una solución de la ecuación de onda (1) aquí v y w son funciones cualesquiera derivables dos veces.

y vemos que si se cumple la igualdad.

Si una ecuación incluye derivadas con respecto a una sola variable, esta puede resolverse como una ecuación diferencial ordinaria, tratando la otra variable (o variables) como parámetros Encontrar las soluciones u(x,y) de

u ( x, t )  v( a )  w(b)

24. u x  0

a  x  ct

u  0x

b  x  ct 2

2

u u  c2 2 2 t x u a v b w   t t a t b

 u   0x u  g ( y)

25. u y  0

28. u y  2 yu  0

u  0 y

 2u  4u  0 x 2 2  4  0

u  2 yu  0 y u  2 yu y u  u    2 yy ln u   y 2  C

  2i

e ln u  e  y

u  C1e 2ix  C 2 e  2ix

u  Ce  y

 u   0y u  f ( x) 26. u xx  4u  0

2

C

2

u  e 0 C1 cos 2 x  C 2 sen 2 x 

29. u x  2 xyu 27. u xx  0

u  0x

 (ux)   0x u x  f ( y) u  f ( y )x

 u   f ( y)x u  xf ( y )  g ( y )

u  2 xyu x u  u   2 xyy ln u  x 2 y  C e ln u  e x u  Ce x

2

2

y C

y

Haciendo u x  P resolver:

31. u xy  0 si p es función de x P( x)  cons tan te

30. u xy  u x

 2u 0 yx

 2u u  yx x

  u   0 y  x  P 0 y

  u  u   y  x  x P P x P  P   y ln P  y  c( x) e

ln P

e

 P   0y P  v( x ) u  v( x) x

 u   v( x)x

y c ( x)

u  a ( x )  w( y )

P  e y ec( x)

32. u xy  u x  0 y

P  A( x)e u  A( x)e y x

 2u u  0 yx x

y

 u   A( x)e x y

u  A( x) xe  C

  u  u     y  y  x P  P y P   P   y ln P   y  A( x )

e ln P  e  y  c ( x )

 u   v( x)y  u   w( x)x

P  e  y e A( x ) P  v ( x )e

u  v( y ) y  p

y

u  y p

u  v ( x )e  y x

 u   v( x)e

u  xw  d y

w v ( p  d) y  2 2 2 u  ax  bx  c

ux

x

u  v( x)e  y  w( y )

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales parciales. 33. u x  0

uy  0 u 0 x

u  xw( x )  d

u 0 y

 u   0x

  u   0 y

u  v( y )

u  w( x )

u  v( y ) y

u  w( x ) x

34. u xx  0

u yy  0 u  u   0 x  x 

u  u   0 y  y 

w 0 x

t 0 y

 w   0x  t   0y w  v( y ) u  v( y ) x

t  w( x) u  w( x) y

 u   v( y )x  u   w( x)y u  xv( y )   ( y )

u  yw( x)  p( x)

    xv( y )  y  u   yw( x)  p( x)x u  xyv  yd  z

u  xyw  xp  l

u  xyv  yd  z    2u  xy (v  w)  xp  yd  ( z  l ) u  xyw  xp  l  EJERCICIOS 11.3

u  xya  xb  yc  k 35. u xx  0

u xy  0 u  u   0 x  x  p 0 x

u  u   0 y  x  w 0 y

 p   0x  w   0y p  v( y ) u  v( y ) x

w  s ( x) y  s( x) x

Encontrar la deflexión u(x,t) de la cuerda vibrante Correspondiente a la velocidad inicial cero y deflexión inicial dada por: 1.

0.02 sen x longitud l   , extremos fijos y c 2  u ( x ,0 )  f ( x ) l  G (t )  0 *

Bn  0

 u   v( y)x  u   s( x)x

c2 

u  xv( y )   ( y ) u  xc  h( y )

n 1

u  xs ( x)  g ( x)

T 1 

Bn  Bn 

n 

T 1  2 l 2 

l



f ( x ) sen

0

nx dx l



 0 .02 senxsenxdx 0

0 . 04 Bn  



 sen

2

xdx

0

0 . 04 



1 1   2 x  4 sen 2 x   0 B n  0 . 02   0  0  Bn 

u ( x , t )  0 .02 cos tsenx

cn     cn  c  1 l

2. K sen3x

3.

k ( senx  sen2 x )  2u  2u  t 2 x 2 u ( x, t ) u (0, t )  0

u ( , t )  0

u ( x,0)  f ( x )  k ( senx  sen2 x ) g ( x )  0  velocidad inicial u ( x, t )  F ( x)G (t )

 2u  2u   F G y  F' 'G t 2 x 2   c 2 F ' ' G FG  G F' '  k 2 cG F   c 2 kG  0 F ' 'kF  0 G si k   p 2 entoncesobtengola ecuacióndiferencial F ' ' p 2 F  0 La soluciónes F ( x)  A cos px  Bsenpx F (0)  A  0

F(l)  Bsenpl  0

senpl  0

o sea

pl  n

p

n n 

2

 n  2 k     n   

como k   p 2

cn si  n  * Bn  0 porque velocidad inicial nula

  2G  0 La ecuación de G(t) es G *

Gn (t )  Bn cos nt  Bn sennt 

u ( x, t )   Bn cos nt  sennx n 1 

u ( x,0)   Bn sennx  ksenx  ksen2 x n 1

u ( x,0)  B1senx  B2 sen2 x  ksenx  ksen2 x B1  k B2   k u ( x, t )  k cos tsenx  k cos 2tsen 2 x

4. 



u ( x, t )   u n ( x, t )   ( Bn cos nt ) sen n 1

n 

1n n  

n 1

n x L

B * n  0 velocidad inicial  0 

u ( x, t )   u n ( x, t )   ( Bn cos nt ) sen n 1

n 1





n x 

u ( x, t )   u n ( x, t )   ( Bn cos nt ) sen(nx) n 1

n 1

k  a x u ( x,0)   Bn sen(nx )  f ( x)   n 1  k x     a  

 0  x  a   a  x   a   2 k k Bn    xsen( nx)dx   x   sen(nx)dx   0 a a  a  

Coeficientes Bn:

5.





u ( x, t )   un ( x, t )   ( Bn cos nt ) sen n 1

n 

1n n  

n 1

n x L

B * n  0 velocidad inicial  0 

u ( x, t )   un ( x, t )   ( Bn cos nt ) sen n 1

n 1





n x 

u ( x, t )   un ( x, t )   ( Bn cos nt ) sen( nx ) n 1

n 1

1 10 x    1   u(x,0)  Bnsen(nx)  f (x)     x  n1 10 2  1  x   10

 4

    3  x  4 4  3  x   4 

0 x

 /4 3 / 4   2 1 1   1 Bn    xsen(nx)dx     x sen(nx)dx   x  sen(nx)dx   0 10 10 2  10  /4 3 / 4 

solución u(x,t)= 0.si.0  x   4   4  k  x  1.si. 4  x   2    f ( x)   k  3  4 x .si.  x  3  2 4      0.si. 3   x   4 

6.

Sacamos f(x) en los rangos establecidos, con la ecuación de la pendiente. obtenemos:

para n=1,2,3,… en n=4m donde m=1,2,3,…

obtenemos Bn=0

dados los siguientes datos: n 

u(x,t)=? u(x,0)=f(x) 

Aplicamos las ecuacion: 

u ( x, t )   Bn cos n t sen n 1

cn  1n   n l 

u ( x, t ) 

n x l

donde, n  1,2,... cn l nx 2 l Bn   f ( x)sen dx, 0 l l

n 

 B

n

cos  n t sen

n 1 

n x l

8k 2 2 n

n n    2 sen 2  sen 4  cos nt sen nx    n 1 8 k  5 u ( x, t )  2  cos t senx  1 (cos 2t ) sen 2 x  7 (cos 3t ) sen 3 x  ... 4 72   12  u ( x, t ) 



2 7. k (x  x )

u ( x,0)  0.01x(  x) Resolviendo la función con sus límites para obtener Bn: Bn 

 /2  4 3 / 4  2  4 nx 4  n x    0   k  x  1sen dx   k  3  x sen dx   3 0    /4  /2 0     4    

 2u  2u  t 2 x 2 u ( x, t ) u (0, t )  0

Bn 

8k  2n2

n n   sen sen  2  2 4  

u ( , t )  0

u ( x,0)  f ( x)  0.01x(  x) g ( x)  0  velocidad inicial

u ( x, t )  F ( x)G (t )  2u  2u  F G y   F''G t 2 x 2   c 2 F ' ' G FG  G F''  k 2 c G F   c 2 kG  0 F ' ' kF  0 G

Bn 

si k   p 2 entonces obtengo la ecuación diferencial F ' ' p 2 F  0 La solución es F ( x)  A cos px  Bsenpx F (0)  A  0 F(l)  Bsenpl  0

Bn 

senpl  0

o sea



2

como k   p 2

 n  2 k     n   

La ecuación de G(t) es

cn  n   0 porque velocida d inicial nula

   2 G  0 G

*

G n (t )  B n cos nt  B n sennt

Bn

*

si



B

n

B

n

sennx  0 .01 x (  x )

1n n  n 

n 1

n 1

Bn 



cos nt  sennx





f ( x )  k ( 2 x  x 3 ) u ( x, t )   u n ( x, t )   ( Bn cos nt ) sen

n 1

u ( x ,0 ) 

8.





u ( x, t ) 

0.08 para n impar n 3

1   cos 3tsen3x   cos tsenx  0.08 0.08  27  u ( x, t )   3 cos(nt ) sen(nx)    1   n n 1 cos 5tsen5 x  ..............    125 

n n p 

pl  n 

0.02  2  0.04 1  cos n   3 (1  cos n )   3  n  n Bn  0 para n par



2 0 .02 0 .01 x (  x ) sennxdx  (x  x 2 ) sennxdx  0  0



n 1

n x L

B * n  0 velocidad inicial  0 

u ( x, t )   u n ( x, t )   ( Bn cos nt ) sen n 1

n 1





n x 

u ( x, t )   u n ( x, t )   ( Bn cos nt ) sen(nx) n 1

n 1

4  1  4  1   9. k      x     2    2  



u ( x,0)   Bn sen( nx )  f ( x )  k ( 2 x  x 3 ) n 1



Bn 

 2 2 3   k ( x  x ) sen( nx ) dx   0 

  2k  2 3 Bn    ( x  x ) sen( nx ) dx   0 

u ( x,0)  0.01x( 2  x 2 )  2 u  2u  t 2 x 2 u ( x, t ) u (0, t )  0

u ( , t )  0

u ( x,0)  f ( x)  0.01x( 2  x 2 ) g ( x)  0  velocidad inicial u ( x, t )  F ( x)G (t )

  12k cos n u ( x, t )     n3 n 1 

 2u  2u   F G y  F''G t 2 x 2   c 2 F ' ' G FG  G F''  k 2 c G F   c 2 kG  0 F ' ' kF  0 G   cos nt * sennx 

si k   p 2 entonces obtengo la ecuación diferencial F ' ' p 2 F  0 La solución es F ( x)  A cos px  Bsenpx F (0)  A  0 F(l)  Bsenpl  0

senpl  0

o sea

pl  n

p

n n 

Bn 

2

como k   p

2

 n  2 k     n   

*

Bn

*

1    cos tsenx  cos 2tsen2 x  0.12 8  u ( x, t )   3 ( 1) n 1 cos(nt ) sen(nx)  0.12   1 n n 1 cos 3tsen3 x  ........    27  

cn n   0 porque velocidad inicial nula

   2 G  0 La ecuación de G(t) es G Gn (t )  Bn cos nt  Bn sennt

0.02   6 cos n  0.12 0.12 1 n n 1    3 ( 1) ( 1)  3 (1)   n3 n n 

si



10.

F(x)=0

g(x)= 0.1sen2x



u ( x, t )   Bn cos nt  sennx

Como f(x)  0 implica que Bn  0

n 1 

2

2

u ( x,0)   Bn sennx  0.01x (  x )

n 

n 1



Bn 



2 0.02 0.01x ( 2  x 2 ) sennxdx  x ( 2  x 2 ) sennxdx    0  0

cn 1n  n  l 

 ( x, t )   ( Bn* sennt )  sen n 1 

nx l

*

 ( x, t )   ( Bn sennt )  sennx n 1



u *   n( Bn cos nt )  sennx t n 1 t n 1  u * ( x,0)   n( Bn cos 0)  sennx  0.1sen 2 x t n 1 

 nB

n

*

 sennx  0.1sen 2 x

n 1

*

2 B2  sen 2 x  0.1sen 2 x *

B2  0.05

 ( x, t )  0.05sen2  sen2 x

12.

11. f ( x)  0.1senx, g ( x)  0.2senx

   0 x  0.01x 2  f 0 g ( x)     0.01(  x)   x     2  /2   2  * Bn    0.01xsen(nx)dx   0.01(  x) sen(nx)dx n  0  /2   /2   0.02  * Bn    xsen(nx)dx   (  x) sen(nx)dx n  0   /2  n u ( x, t )   un ( x, t )   ( Bn cos nt ) sen x L n 1 n 1 1n n  n B * n  0 velocidad inicial  0    n u ( x, t )   un ( x, t )   ( Bn cos nt ) sen x  n 1 n 1

0.08 0.08 a3   27 a1 0.08  27   27   0.08 a3

a1 





a

2 n

n 1

1   ( f ( x)) 2 dx   

2

2

2

2

2

2

a1  a3  a5  .......... 

1 (0.01x(  x)) 2 dx   

a1  a3  a5

0.0001  ..........  (x  x 2 ) 2 dx   





u ( x, t )   un ( x, t )   ( Bn cos nt ) sen( nx) n 1

n 1

Como f(x)  0 implica que Bn  0 2

2

2

a1  a 2  a3  .......... 

0.0001   5  0.0001 4     30  30 2

a1 2

2

2

a1  a 2  a 3

2

 0.08    0.0064  30 1920       6 4 0.0001 6   .......... 0.0001 30

n 

cn 1n  n l  

 ( x, t )   ( Bn* sennt )  sen n 1 

nx l

 ( x, t )   ( Bn* sennt )  sennx n 1

14. ¿De que manera la frecuencia del modo fundamental de la cuerda vibratoria depende de longitud de la misma, de la tensión y de la masa por unidad de longitud?

n cn  2 2 L modo fundamental n  1 c 1  2 2 L 2c c  L  longitud 2L L T c T  tension   masa por unidad de longitud   T 1  L

1 

  n  sen  2 u ( x, t )     25n3 n 1   

   sen(nt ) sen(nx)   

Se concluye que la frecuencia del modo fundamental es directamente proporcional a la tensión e inversamente proporcional a la masa por unidad de longitud y la longitud de la cuerda. Encontrar las soluciones u(x,y), de las ecuaciones siguientes, separando variables. 16. u x  u y  0 El método del producto conduce a la solución de la forma.

u ( x, y)  F ( x)G (t )

Obteniendo la solución:

u x  F 'G

u ( x , y )  F ( x )G ( y )

u y  FG '

u ( x, y )  Ke cx  Ke  cy

F ' G  FG '  0

u ( x, y )  Ke c  x  y 

La ecuación de la cuerda vibrante es igual a una constante

17.

F ' G   FG '  c F' c F G'  c G Al integrar las variables, resolviendo con respecto a x, tenemos.

u ( x, y )  F ( x )  G ( y )  u  F  G u x  F `G u y  F  G` F `G  F  G ` 2 xu  2 yu F `G  2 xu  2 yu  F  G ` Como u  F  G , reemplazo ese valor en la ecuación anterior :

dF   cdx F ln F  cx  K

F `G  2 x ( F  G )  2 y ( F  G )  F  G `



F `G  2 xFG  2 yFG  F  G ` G  ( F `2 xF )  F  ( 2 yG  G `)

F  Ke cx Al integrar las variables, resolviendo con respecto a y, tenemos: G'  c G dG  G   cdy ln G  cy  K

G  Ke cy

G F  2 yG  G ` F `2 xF Ahora igualando a una cons tan te " c": G c 2 yG  G `

F c F `2 xF

G  c  (2 yG  G`) G  c  ( 2 yG  G`)  0 G  2cyG  cG` 0 cG` 2cyG  G cG` G (2cy  1) G` 2cy  1  G c Ahora int egramos : 2cydy dy ln G    c c

dx 2cxdx  c   c  ln F

y ln G  y   k c y y 2   k  ln G c

x  x 2  k  ln F c x x 2   k  ln F c

2

e

 2 y   y  k  c  

G

 2 y y   c

e k  e

G

F  c  ( F `2 xF ) F  c  ( F `2 xF )  0 F  cF `2cxF  0 F  2cxF  cF ` F (1  2cx)  cF ` 1  2cx F `  c F

e

 2 x   x  k  c  

F

 2 x x   c

e k  e

F

Como e k es una cons tan te, entonces se le asigna el valor de " k ":

G  k e

 2 y y   c 

F  k e

 2 x x   c 

Tenemos que u  F  G , luego :  2 x  2 y  x     y   c  u  k  e   k  e  c      

u  k e u  k e

 2 2 x y x y    c c   2 2 1   x  y  c   x  y   

u  k  e x

2

 y 2  c  x  y 



18.

xu x  yu y  0 u ( x, y )  F ( x )  G ( y ) u x  F 'G u y  F  G' xF ' G  yFG ' xF ' yG '  c F G

dF c  Fdx x dF c   F  x dx

ln F  c ln x  K F  e F  K

c ln x  k

3

x

G  K

c

u x , y

c ln y  k

4

y



y

u u x 0 x y

dF  xcdx F x  x2 LnF  c 2

2

2

c

F x   A1e

K

3

u ( x , y )  Kx 19. yu x  xu y  0

yF  x G  y   xF  x G  y  F  x  G  y   c xF  x  yG  y  F  x   xcF  x 

1

dG c  Gdy y dG c  G   y dy ln G  c ln y  K G  e

reemplazando :

1

x c

c

y

 K c

4

y

c

x2 c 2

para G(y) entonces : G  y   ycG  y  dG  ycdy G y  y2 LnG  c 2 G  y   A2 e

y2 c 2

u ( x, y )  F  x G  y  u  F  x G  y  x u  F  x G  y  y

u ( x, y )  F  x G  y  u ( x, y )  A1e u ( x, y )  B1e

x2 c 2

A2 e

c 2 2 x y 2





y2 c 2

Respuesta.

20.

u xx  u yy  0 u ( x, y )  F ( x )G ( y ) u xx  F ´´G u yy  FG´´ F ´´G  FG´´ 0 F ´´G   FG´´ c F  G    c2 F G 2 F   c F  0 G   c 2G  0 F ( x)  Ae cx  Be cx

G ( y )  C cos(cy )  Dsen(cy )

u  ( Ae cx  Be cx )(C cos(cy )  Dsen(cy )) u ( x, y )  e cx (C1 cos cy  C 2 sency )  e  cx (C3 cos cy  C 4 sency )

21. u x  yu y  0 u  x, y   F  x .G  y 

u x  F 1.G

F 1.G  y.F .G1 F 1 yG1  c F G F1 c F dF  c.dx F ln F  c.x

G1 c  G y dG c  dy G y ln G  c. ln y

F  A.e c. x

G  B.e c. ln y

F  A.e c. x

G  B. y c

u  x, y   k .e c. x . y c

22. ux + uy = 2 (x + y) u

u ( x, y )  F ( x )  G ( y )  u  F  G u x  F `G u y  F  G` F `G  F  G ` 2 xu  2 yu F `G  2 xu  2 yu  F  G `

u y  F .G

1

F 1.G  y.F .G1  0

u ( x, y )  F ( x )  G ( y )  u  F  G u x  F `G u y  F  G` F `G  F  G ` 2 xu  2 yu

ln G  y 2  y2 

F `G  2 xu  2 yu  F  G ` Como u  F  G , reemplazo ese valor en la ecuación anterior : F `G  2 x ( F  G )  2 y ( F  G )  F  G ` F `G  2 xFG  2 yFG  F  G ` G  ( F `2 xF )  F  ( 2 yG  G `) G F  2 yG  G ` F `2 xF G c 2 yG  G `

u ( x, y )  F ( x )  G ( y )  u  F  G u x  F `G u y  F  G` F `G  F  G` 2 xu  2 yu F `G  2 xu  2 yu  F  G` Como u  F  G, reemplazo ese valor en la ecuación anterior : F `G  2 x( F  G )  2 y ( F  G )  F  G` F `G  2 xFG  2 yFG  F  G` G  ( F `2 xF )  F  (2 yG  G`) G F  2 yG  G` F `2 xF

e

x  x 2  k  ln F c x x 2   k  ln F c

y  k  ln G c

 2 y   y  k  c  

ek  e

y k c

G

 2 y y   c 

e

 2 x   x  k  c  

ek  e

G

 2 y y   c

F

 2 x x   c 

F

 2 x x   c

G  k  e

F  k  e

 2 x  2 y  x    y   c  u  k  e   k  e c      

u  k e u  k e

 2 2 x y  x y    c c   2 2 1   x  y  c  x  y   

u  k  e x

2

 y 2  c x  y 



23. Uxy - U = 0 Decimos que U es un producto de dos funciones, cada una de las cuales sólo depende de una variable, en éste caso F es función de x y G será función de y, por lo que tendremos lo siguiente: U (x,y) = F (x) * G (y) Uxy - U = 0

F (x) ‘ * G (y)’ = F (x) * G (y) = C U = K e (Cx + y/C) Separando las variables tendremos dos ecuaciones diferenciales. F’/ F = C G’/G = C

ln G  y 2 

y

y2 

F’ - CF = 0 dF / F = C dx ln F = Cx F = A eCx

e

ek  e

Recordando lo anteriormente expuesto.... U (x,y) = F (x) * G (y) U (x,y) = A eCx * B e y/C

u  k e

ek  e

G

 2 y y   c 

 u  k  e 

G / G’ = C G’ / G = 1/C dG /G = dy / C ln G = y /C G = B e y/C

 2 x   x  k  c 

e

G

 2 y y   c 

G  k e

y

x  x 2  k  ln F c x x 2   k  ln F c

y  k  ln G c

 2 y   y  k  c 

Resolviendo estas dos ecuaciones tendremos....

y k c

 2 x x   c 

F  k e     k  e  

 2 y y   c 

  

 2 2 x y  x y    c c   2  2 1  x  y  c  x  y  

u  k e

u  k  e x

2

 y 2  c  x  y 



24. x 2 u xy  3 y 2 u  0 u ( x, y )  F ( x)  G ( x) u x  F 'G

Donde podemos decir que la multiplicación de las constantes A y B, dan como resultado una nueva constante que la denominaremos K.

u xy  F ' G ' x 2 F ' G ' 3 y 2 FG  0 3 y 2G x2F '  c F G'

F

 2 x x   c 

F

 2 x x   c 

dF c  2 Fdx x dF cdx  F   x2 1 ln F  c  K 1 x F e

1  c  K1 x



 K 3e

dF c  2 Fdx x dF cdx  F   x2 1 ln F  c  K1 x

c x

F e

3y 2 dG  Gdy c

y3  K2 c

 K 4e

u ( x, y )  K 3 e



c x

y3 c

 K 4e

y3 c

3

u ( x, y )  K  e 2

y c  c x

 K e



 K 3e

c x

dG 3y2  Gdy c 25. Demostrar que las vibraciones forzadas de una cuerda P elástica se rigen por u tt  u xx  , donde P(x,y) es la  fuerza externa por unidad de longitud que actua perpendicular a la cuerda .

3y 2 dG    G  c dy y3  K2 ln G  c Ge

1  c  K1 x

y 3 x c 2 cx

2

2 y x 2 T2 sen  T1sen  P   t

x u xy  3 y u  0 u ( x, y )  F ( x )  G ( x ) ux  F 'G u xy  F ' G ' x 2 F ' G '3 y 2 FG  0 x2F ' 3 y 2G  c F G'

T2 sen T1 sen P   2u    x 2 T2 cos  T1 cos  T T t P   2u  x 2 T T t 2 2  u P P  u  2    2  x T  T t

tg  tg 

T  2u P  2u    x 2  t 2 2  2u P 2  u  c  t 2 x 2  P u tt  u xx  

26. Suponer que la fuerza externa es senoidal, por ejemplo, P = Añ sen wt. Demostrar que



P / p  Asenwt   k n (t ) sen n 1

nx L

27. Demostrar que al sustituir u=P/p del problema 26 en (18) se obtiene.    2G  2 A 1  cos n senwt G n n n n cn n  L 2

Demostrar que si n  w2 la solución es:

*

Gn (t )  Bn cos nt  Bn sennt 

2 A1  cos n  senwt 2 n n  w 2







 G (t )sen n

n 1

  c 2 n 2 2  nx nx  2 A  cos 1  cos n sen nx sewt   Gn (t )  2  L L L n L n 1 n 1  

2   nx  2 A  cn     Gn (t )   Gn (t )  sen  1  cos n sen nx sewt      L L  L  n 1  n 1 n  

 P nx  Asenwt   k n (t ) sen p L n 1 2A 1  cos n senwt kn  n  nx u ( x, t )   Gn (t ) sen L n 1

2

 (t )   cn  G (t )  2 A 1  cos n sewt G n n n  L     2G  2 A 1  cos n sewt ( 2) G n n n n



2

r 2  n  0 r   i n



n nx cos u x   Gn (t ) L L n 1

P utt  c u xx  p

*

Gh  Bn cos n t  Bn senn t G p  Csenwt G p  Cw cos wt   Cw 2 senwt G p sustituyendo en (2) :

2

2 2    (t ) sen nx  c 2 G (t )  n   cos nx  2 A 1  cos n sen nx sewt G    n n 2   L L L n 1 n 1 n 1 n  L 

cn L

   2G  0 G n n n

 (t ) sen nx utt   G n L n 1

  n 2 2  nx u xx   Gn (t )  2  cos L n 1  L   P 2A 1  cos n sen nx sewt  p n 1 n L sustitiyendo en :

n 

2

 Cw 2 senwt  n Csenwt 





2 n

 w 2 Csenwt 



2A 1  cos n sewt n

2A 1  cos n sewt n

2A 1  cos n  n n 2 A1  cos n  2 C n  w 2 2 2 n  n  w



2

 w2 C 





Gp 



2 A1  cos n  senwt 2 n n  w2





   2 Aw(1  cos n ) nx * cos wt sen u t ( x, t )      n B n sen n t   n B n cos  n t  2 2   L n (  n  w ) n 1     2 Aw(1  cos n )  nx * u t ( x,0)     n B n  sen 0 2 2   L n (  n  w )  n 1  2 Aw(1  cos n ) *  n Bn  0 2 n (  n  w 2 ) *

Bn  

Gn (t )  Gh (t )  G p (t )

2 Aw(1  cos n ) 2

 n n (  n  w 2 ) 

*

Gn (t )  n cos nt  Bn sennt 

2 A1  cos n  senwt 2 n n  w2





28. Determinar Bn y Bn* del problema 27 de tal modo que u satisfaga las condiciones iniciales u (x,0) = f(x), u t (x, o) = 0 

u ( x, t )   Gn ( x, t ) sen n 1

*

n 

n 1

nx  f ( x) L

L

Bn 

2 nx f ( x )sen dx L 0 L 2

29. Demostrar que en el caso de resonancia n  w2 *

nx L

Gn  Bn cos n t  Bn senn t 

u ( x,0)   B n sen

Gn (t )  Bn cos wt  Bn senwt  2 A(1  cos n ) senwt 2 n (  n  w 2 )

cn L

   2 A(1  cos n ) nx * u ( x, t )    Bn cos n t  Bn senn t  senwt sen 2 2 L n (  n  w ) n 1  

(1) utt  c 2u xx 

A 1  cos n t cos wt nw

P p

 P  nx   Asenwt   k n sen  p  l  n 1   nx  u ( x, t )   Gn (t ) sen   l  n 1   (t ) sen nx  utt   G n  l  n 1



G p  t C1senwt  C 2 cos wt 

2

 n   nx  u xx   Gn   sen   l   l  n 1 sustituyendo en (1)

G p  C1senwt  C 2 cos wt  t C1w cos wt  C 2 wsenwt    C w cos wt  C wsenwt  C w cos wt  C wsenwt G p 1 2 1 2 2



   (t ) sen nx   c 2 G  n  sen nx   k sen nx  G    n  l  n n  l   l   l  n 1 n 1 n 1 2   n    nx    nx  2     sen    k n sen  Gn (t )  c Gn   l l l       n 1  n  1   

 t  C1w 2 senwt  C 2 w 2 cos wt   2C w cos wt  2C wsenwt  w 2t C senwt  C cos wt  G p 1 2 1 2







2   cn    nx    nx      sen    k n sen  Gn (t )  Gn   l l l       n 1  n 1     se igualan los coeficientes de seno cn    2G  k G n  n n n n l    2G  2 A 1  cos n senwt G n n n n si n  w 

  w2G  2 A 1  cos n senwt G n n n 2   w G  0 G n n r 2  w2  0 r  iw *

Gh  Bn cos wt  Bn senwt

  w2G  2 A 1  cos n senwt G p p n 2A 1  cos n senwt 2C1w cos wt  2C2 wsenwt  n C1  0 2A 1  cos n  n A C2   1  cos n  nw  2C2 w 

A 1  cos n  cos wt nw Gn (t )  Gh  G p G p  t

*

Gn (t )  Bn cos wt  Bn senwt 

A 1  cos n t cos wt nw

EJERCICIOS 11.4 Aplicando 14 trazar una figura de la deflexión de la deflexión u(x,t) de una cuerda vibrante (longitud L=1, extremos fijos, c=1) empezando con velocidad inicial cero y la deflexión inicial f(x) que se da a continuación, donde k es pequeña. Ej. k = 0.01 1. (14)

u ( x, t ) 

1  f ( x  ct )  f ( x  ct ) 2

u(x,t)

f ( x )  kx(1  x )  k ( x  x 2 ) 1 2 2 u ( x, t )  k  x  ct    x  ct   x  ct    x  ct  2 . 1 2 2 u ( x, t )  0.01  x  ct    x  ct    x  ct    x  ct  2 2 2 u ( x, t )  0.005  x  ct    x  ct    x  ct    x  ct 



 

  

ct=0



 

t -1

1

u(x,t)

u(x,t)

ct=1/5

ct=3/5

t -1

t

1

-1

2. f (x) = k sen 2x

u(x,t)

ct=2/5

1



0.01 sen 2x

(6)  U ( x , t ) = 1/2 ( f (x+ct) + f (x-ct) )

1 0.01sen2x  2ct   0.01sen(2x  2ct ) 2 1 0.01( sen2x cos 2ct  cos 2xsen2ct )   ( x, t )   2  0.01( sen2x cos 2ct  cos 2xsen2ct )

 ( x, t )  t -1

1

1 0.02sen2x cos 2ct  2  ( x, t )  0.01sen2x cos 2ct

 ( x, t ) 

3. f ( x)  k ( x  x 3 ) 0,01 t=0 1

u (x,t )

0,007

t=1 / 8c 1 u ( x,t ) 0

t= 1 / 4c 1 u ( x,t )

t = 3 / 8c -0,007

1

u ( x, t ) t = 1 / 2c 1

-0,01

1 3 3 k  x  ct   x  ct    x  ct    x  ct  2 1 3 3 u ( x, t )  0.01  x  ct    x  ct    x  ct    x  ct  2 3 3 u ( x, t )  0.005  x  ct    x  ct    x  ct    x  ct  u ( x, t ) 

u (x,t )

u ( x, t ) 0,01 t =1 /c 1



 

    



 

u(x,t)

u(x,t)

ct=2/5

ct=0

t

t -1

-1

1

1

u(x,t)

u(x,t)

ct=1/5

ct=3/5

t t -1

-1

1

1

4.

F ( x)  k x 2  x 4





5. f(x) = k sen2 x

1 (6)  u ( x, t )   f  x  ct   f  x  ct  2 u ( x, t ) 

1 2 4 2 4 k x  ct   x  ct   k x  ct    x  ct  2



 



L=1 G(x) = 0 K = 0,01

f ( x )  u.sen 2 x

u ( x, t ) 

1 2 2k  x  ct  2



f ( x )  0, 01sen 2 x aplicando 



u ( x, t )  k ( x 2  2 xct  c 2t 2 )

u ( x, t ) 

u ( x,0)  kx 2

donde : 2

u ( x,

 1 1 2 1 1   )  k  x 2  2 xc  c 2     k  x 2  x   3c 3c 3 9  3c    

2  2  1 1 1  2 1  u ( x, )  k  x  2 xc  c     k  x 2  x   2c 2c 4  2c    

2

u ( x,

1  f * ( x  ct )  f * ( x  ct ) 2

 2 2 4 4 2   )  k  x 2  2 xc  c 2     k  x 2  x   3c 3c 3 9  3c    

2  2  1 1 2 1  u ( x, )  k  x  2 xc  c     k x 2  2 x  1 c 3c  3c   





f *  estenciòn.. periodica..impar..de.. f ..con.. periodo..2 1 u ( x, t )   f ( x  ct )  f ( x  ct ) 2 se..va..a var iar..valores..ct ct  0  1/ 2.(0, 01).sen 2 ( x  0)  0, 005sen 2 x f ( x )  (0, 01).sen 2 x f '( x)  0, 02.sen 2 x

t=0 u(x,0)

7. Demostrar que c es la rapidez de las dos ondas dadas por (4) ct  1/ 2 1  (0, 01).sen 2  ( x  1/ 2)  2 1 f ( x )   (0, 01).sen 2  ( x  1/ 2)  2 1 u ( x, t )   (0, 01).sen 2  ( x  1/ 2)  (0, 01).sen 2 ( x  1/ 2)  2 1 1   u ( x, t )  0, 005  sen 2  ( x  )  .sen 2 ( x  )  2 2   f ( x) 

t=1/2

Si t  0 es un parámetro digamos el tiempo, entonces las funciones h ( x  ct ) representan una familia de funciones con la misma forma que h (x ) pero recorridas más i más hacia la izquierda cuando t   . Por lo tanto la función h ( x  ct ) es una onda viajera que se mueve hacia la izquierda con velocidad c porque la variable ct representa espacio recorrido en dirección horizontal. De manera similar h ( x  ct ) es una onda viajera que se mueve hacia la derecha con velocidad c. 8. 9. ¿Cuáles son las frecuencias de las eigenfunciones del problema 8?

L  2 m  6,562 pies P  0,16 lb

F   n F  0

0,16  0,02438 6,562 T  45 lb

Una solución general es.

2

En donde:



cn 2l



T  c 

Gn (t )  Bn cos nt  Bn*senn

45  42,958 0,02438

En donde las funciones quedan expresadas como:

cn 42,958n n    20,56n L 6,562

U ( x, t )  ( Bn cos nt  Bn*sennt ) sen

11. Demostrar que en virtud de la condición en la frontera (2) de la sección 11.3 la función f de (14) de esta sección debe ser impar y de periodo 2l Frontera (2): U(o, t)=0 U (l, t)=0 Condición: x = 0 y x = 2l.

F   kF  0 F   p 2 F  0 F  x   A cos px  Bsenpx F 0  A  0 F l   Bsenpx

para t.

p

n l

De la misma manera B = 1 se puede hallar las soluciones de la condición de f (6) que me pide. 2

Ahora restringe k a los valores k   p 2  n / 2l  , entonces la ecuación toma la forma:

n x 2l

Con

(n  1,3,5.....

Aplicando la transformación indicada resolver la siguiente ecuación: 12.

Uxy  Uyy  0

d 2u 0 dvdz

(v  x , z  x  y )

Uvz 

V  V x y

du  h(u ) dv u  ln(v)dv  C ( z )

Vx  1 Vy  0 V  Z x y Zx  1 Zy  1

u ( x, t )  0( x, ct )  0( x  ct ) u ( x, t )  f1 ( x)  f 2 ( x  y ) 13. x xy  y yy   y

v  x, z  xy 

Ux  Uv Vx  Uz  Zx Ux  Uv  Uz

Vx  1 V y  0 Z x  y Z y  x

Uxy  Uvv Vy  Uvz  Zy  Uzv Vy  Uzz  Zy

U x  U vVx  U z Z x  U v  yU z

Uxy  Uzv  Uzz Uy  Uv Vy  Uz  Zy Uy  Uz Uyy  Uzv Vy  Uzz  Zy Uyy  Uzz Uvz  Uzz  0

U xy  (U v  yU z ) y  (U v  yU z ) z Z y

Uvz  0

xU xy  yU yy  U y

1 U xy  (U vz  U z  yU zz ) x x U xy  xU vz  U z  xyU zz U y  U z Z y  xU z 1 U yy  ( xU z ) y  ( xU z ) z Z y  ( U z  xU zz ) x y x U yy  U z  x 2U zz y

x x( xU vz  U z  xyU zz )  y ( U z  x 2U zz )  xU z y

u xx  uvv  u zv  uvz  u zz u xx  uvv  2u zv  u zz

x 2U vz  0

u xy  uv  u z  y  uv  u z z z y

  u   0 z  v  u  f1 (v) v u  f1 (v)  f 2 ( z )

u xy  uvz  u zz

u ( x, y )  f1 ( x)  f 2 ( xy )

14. u xx  2u xy  u yy  0

v  x, z  x  y 

vx  1 zx  1

u y  uv v y  u z z y  u z u yy  u z y  u z z z y  u zz

en (1) : uvv  2u zv  u zz  2u zv  2u zz  u zz  0 uvv  0  uv   0 v uv  f1  z 

 u  f  v 1

Zy 1

u  vf1  f 2 ( z )

u x  uv v x  u z z x

u  vf  x  y 1  f 2 ( x  y )

u x  uv  u z u xx  uv  u z x  uv  u z v vx  uv  u z z z x

15. Aplicando las transformadas indicadas resolver las ecuaciones siguientes: Uxx+2Uxy+Uyy=0

(v = x ; z = x - y )

U xx  2U xy  U yy  0 Vx  1 Vy  0 Z x  1 Z y  1 U x  U vVx  U z Z x  U v  U z

u xx  u xy  2u yy  0 vx  1

U xx  (U x  U z ) x  (U v  U z ) v Vx  (U v  U z ) z Z x

vy  1

U xx  U vv  2U vz  U zz

zx  2

U xy  (U v  U z ) y  (U v  U z ) z Z y U xy  U vz  U zz

v  x  y, z  2 x  y 

Z y  1

U y  U z Z y  U z

u x  uv v x  u z z x

U yy  (U z ) y  (U z ) z Z y

u x  uv  2u z

U yy  U zz

u xx  uv  2u z v v x  uv  2u z z z x

U vv  2U vz  U zz  2(U vz  U zz )  U zz  0

u xx  uvv  2u zv  2uvz  4u zz

U vv  2U vz  U zz  2U vz  2U zz  U zz  0

u xx  uvv  4u zv  4u zz

U vv  0 

u xy  uv  2u z v v y  uv  2u z z z y

 2u 0 v 2

du  f1 ( z ) dv u  f1 ( z ) v  f 2 ( z )

u xy  uvv  2uvz  2uvz  2u zz u xy  uvv  2u zz u y  uv v y  u z z y

u ( x, y )  xf1 ( x  y )  f 2 ( x  y )

u y  uv  u z

16.

u yy  uvv  u zv  uvz  u zz

u yy  uv  u z v v y  uv  u z z z y u yy  uvv  2u zv  u zz uvv  4u zv  4u zz  uvv  2u zz  2uvv  4uvz  2u zz  0 8uvz  0

Vx  1 V y  1 Z x  3 Z y  1

  u   0 z  v 

U x  U vVx  U z Z x  U v  3U z

  v    0z

U xx  (U v  3U z ) x  (U v  3U z ) v Vx  (U v  3U z ) z Z x

u  f1 v

U xy  (U v  3U z ) y  (U v  3U z ) v V y  (U v  3U z ) z Z y

 u 

U xx  U vv  3U zv  3U vz  9U zz  U vv  6U vz  9U zz U xy  U vv  4U vz  3U zz

 u  f1  v

U y  U vV y  U z Z y  U v  U z

u  vf1  f 2 ( z )

U yy  (U v  U z ) y  (U v  U z ) v V y  (U v  U z ) z Z y

u  vf  x  y 1  f 2 ( 2 x  y )

U yy  U vv  2U vz  U zz

17. Aplicando las transformadas indicadas resolver las ecuaciones siguientes:

u xx  4u xy  3u yy  0

v x y

z  3x  y

U vv  6U vz  9U zz  4(U vv  4U vz  3U zz )  3(U vv  2U vz  U zz )  0  4U vz  0  2u 0 zv u  f1 (v) v u  f1 (v )  f 2 ( z ) u ( x, y )  f1 ( x  y )  f 2 (3 x  y )

18. Se dice que una ecuación de la forma Auxx + 2Buxy + Cuyy = F(x,y,u,ux,uy) Es elíptica si AC-B2  0, parabólica si AC – B2 = 0 e hiperbólica si

AC – B2 0. (Aquí A,B,C pueden ser funciones de x y y, y el tipo de (15) puede ser diferente en partes diferentes del plano xy.) Demostrar que : La ecuación de Laplace uxx + uyy = 0 es elíptica. La ecuación de calor ut = c2 uxx es parabólica ut La ecuación de onda utt = c2 uxx es hiperbólica La ecuación de Tricomi yuxx + uyy = 0 es de tipo mixto (elíptica en el semiplano superior , parabólica sobre el eje x e hiperbólica en el semiplano inferior.)

* utt = c2 uxx c2 uxx - utt = 0 A = C2

B=0 AC

–

C =1 B2

=

C2

0

Hiperbólica

Solución

* yuxx + uyy = 0 Auxx + 2Buxy + Cuyy = F(x,y,u,ux,uy) A=y

B=0

C=

* uxx + uyy = 0 Si A=1 B=0 C=1 AC - B2 = 1-0

Elíptica Parabólica Hiperbólica

Semi-plano Sup Eje x Semi- plano Inf.

1 0

Elíptica

19. Si la ecuación A xx  2 B xy  C yy  F x, y,  ,  x ,  y  es * ut = c2 uxx

A=C2

y 0 y=0 y 0

c2 uxx = ut B=0 AC – B2 = 0

C=0 Parabólica

hiperbólica si AC  B 2  0 , puede transformarse llevándola a la forma normal  vz  F v, z , u , u v .u z  , si se hace v   x, y , z    x, y  donde   ctte y   ctte son soluciones y  y  x deAy !2  2 By !  C  0 . Demostrar que en el caso de la ecuación de onda:

  x  ct   x  ct

2  2u 2  u c  t 2 x 2

A  C2 B  0 C 1

 xx  

2

u tt  C u xx V    x, t  Z    x, t  A y!

2

 

g !! t   0 g t   t

h!! t   C 2 * C

   x  ct

ht   t V    x  ct



x  t  C2 C

C

 2 By !  C

Y  yx 

x t C C x  ct  C1C

2

C 2    1  0 2

C 2    1 1 C2 1  C  1  x C C    ht  Y x x  x, t    ht  C

 tt  h !! t 

x  ct  0

2 

x  t  C2 C x  ct  E



  x  ct

  x  ct

21. Sustituyendo u = F (x) G (y) en (16) y separando variables, demostrar que:



X  g t  C   x, t   

x  g t  C



F4 C   2 T   4  cons tan te F c CT F ( x)  A cos  x  Bsen x  C cosh x  Dsenh x CT  a cos c 2t  bsenc 2t F4  4 F F ( 4 )  F 4  F 4  F 4

22. Encontrar las soluciones un = Fn(x) Gn(t) de (16) correspondientes a la velocidad inicial cero y que satisfaga las condiciones en la frontera: u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (extremos simplemente apoyados para todos los instantes t), uxx(0, t) = 0, uxx(l, t) = 0 (momentos cero, por consiguiente, curvatura cero en los extremos).

4   4  0 (2   2 )(2   2 )  0 1, 2   

3, 4  i sen x, cos  x F ( x)  Ae x  Be  x  C cos  x  Dsenx

Condiciones: u(x, 0) = f(x) = x (l – x) uxx(0, t) = 0, uxx(l, t) = 0

x

e  cosh x  senh x e  x  cosh  x  senhx F ( x)  A cosh x  Asenh x  B cosh  x  C cos x  Dsen x

4  2u 2  u c  0 t 2 x 4

c2 

EI A

F ( x)  ( A  B ) cosh x  ( A  B ) senh x  C cos  x  Dsen x F ( x)  E cosh  x  Fsenh x  C cos x  Dsen x F ( x)  A cos  x  Bsen x  C cosh x  Dsenh x  L.q.q.d .   kc 2G  0 G k  4    4 c 2G  0 G

2   4 c 2  0 2    4 c 2 1, 2   i 2 c G (t )  e 0 t a cos  2 ct  bsen 2 ct





2

2

G (t )  a cos  ct  bsen ct





E = modulo de elasticidad de Young. I = momento de Inercia de la sección transversal con respecto al eje Y.   densidad A = área

u = F(x) G(t)  F IV G   2   IV  cte F c G u  F ( x)G (t ) t   2u  F ( x ) G (t ) dt 2

Demostrar :

u  G (t ) F ( x) x  2u  G (t ) F ( x) x 2  3u  G (t ) F ( x) x 3  4u  G (t ) F IV ( x ) 4 x

u = F(x) G(t)

 c 2 G (t ) F IV ( x)   F ( x)G (t ) dividido para: c 2 G (t ) F ( x)  F IV G   2   4  cte F c G

23. Encontrar la solución de (16 ) que satisfaga las condiciones del problema 22 y la condición inicial u ( x, 0 ) = f ( x ) = x ( l – x ).

4  2u 2  u (8) c 0 t 2 x 4

c2 

EI A

u  F ( x) * G (t ) 4  2u 2  u  c t 2 x 4

 F ( 4) G   2  4 F cG

Encontrar las soluciones un  Fn ( x ) * Gn (t ) de ( 8 ) con las siguientes condiciones de frontera

u (0, t )  0 u (l , t )  0 u xx (0, t )  0 u xx (l , t )  0

entonces la solución general es :



F ( 4)   4 F  0 F1 ( x)  A cos x  B senx

n l

n  1,2,3...

Fn ( x)  B sen(

F2 ( x)  C cosh x  D senh x F ( x )  F1 ( x )  F2 ( x ) F ( x )  A cos x  B senx  C cosh x  D senh x

u xx ( 0, t )  F II ( 0 ) * G (t )  0 u xx (l , t )  F II ( l ) * G ( t )  0 0  F ( 0)  A  C II

0  F ( 0)   A  C Por consiguiente A = 0 y C = 0 . Al reemplazar estos valores e igualando las ecuaciones obtenemos: D=0

0  F (l )  B sen l B sen l  0 B0 sen l  0

n x) l

Para G (t) la solución general es :   c 2  4G  0 G

G ( x)  a cos c 2 x  b sin c 2 x u 0 t t  0

ut  F * G  0 0  G (0)   ac 2 sin c 2t  bc 2 cos c 2t b0 2

 n  Gn (t )  an cos c  t  l  2

  n   n un ( x, t )   an cos c  t * sin  l   l n 1

 x 

Para la condición inicial u ( x, 0 ) = f ( x ) = x ( l – x )

11.4  23 :

  n  u ( x,0)   an * sin x   x(l  x)  l  n 1

2 2   x 1 3x    3   ..... cos c  tsen  cos c  tsen L 27 L L  L    11.3  7 :

8 L2 u 3 

Para 0 < x < l . Pero esto será la serie de senos de Fourier de f ( x ). l

2  n  x (l  x ) sin  x  dx  l 0  l 

an 

2

u

n x l

, du 

ndx l

u

8k  1   cos tsenx  cos 3tsen3 x  .......   27 

25. ¿Cuáles son las condiciones en la frontera si la viga está empotrada en ambos extremos?

n

an 

2l 1 2   u sin u  u sin u  du 2 2  n  0 n 

an 

2l 2  sin u  u cos u 0n  1  u 2 cos u  2 cos u  2u sin u 0n  2 2  n  n 





8l 2 3 8l 2 a2  27 3 8l 2 a3  125 3 a1 

  an   

n par 0 8l 2 n impar n3 3

N  1,2,3

24. Comparar los resultados del problema 23 y del problema 7, sección 11.3 ¿Cuál es la diferencia básica entre las frecuencias de los modos normales de la cuerda vibratoria y la viga vibratoria?

Como la viga esta empotrado en los extremos se mantiene fija, o sea sin movimiento entonces sus condiciones serian: Condiciones de frontera:

u (0, t )  0

u x (0, t )  0

u ( L, t )  0

u x ( L, t )  0

26. Demostrar que F  x   A cos  x  Bsen x  C cosh  x  Dsenhx satisface las siguientes condiciones:  0, t   0

 l , t   0 si l es una raíz de la ecuación cosh l * cos l  1 Solución: 4 2 2    c t 2 x 4

PRIMERA _ CONDICIÓN F 0   A cos 0  Bsen0  C cosh 0  Dsenh0 F 0   A  0  C  0 F 0   A  C A  C

SEGUNDA _ CONDICIÓN F l   A cos  l  Bsen l  C cosh  l  Dsenh l  1  F l   A cos  l  Bsen l  C    Dsenh l  cos  l  C F l   A cos  l  Bsen l   Dsenh l cos  l F l  

A cos 2  l  C  Bsen l  Dsenh l  0 cos  l

A cos 2  l  C 0 cos  l A cos 2  l  C  0 C cos 2  l A  C

A

cosh  l * cos  l  1 cosh  l 

1 cos  l

l  0 cos  l  1 las condiciones en los extremos son iguales F 0   F l  entonces si CUMPLE

27. Determinar soluciones aproximadas de:

Cosh( l ) * Cos( l )  1 Yp  Cosh(  l ) Cosh( l ) * Cos(  l )  1 Cosh( l )  0 Cosh( l )  1 l  0 Cos(  l )  0

Con n=3

l 

28. Si una viga esta empotrada en el extremo izquierdo y Yg  Cos(  l )

suelta en el otro figura, las condiciones en la frontera son: U (0 , t); Ux (0 , t) = 0

condiciones si l es una raíz de la ecuación. Coshl cosl = - 1

  n 2

x=1 x=0

l 

Uxx (l , t) = 0

  2n 2

Con n=1

l 

3 2

Con n=2

l 

5 2

Uxxx (l , t) = 0

Demostrar que la F(x) del problema 8 satisface estas

 l  Cos 1 0  l  2

l 

7 2

F ( x )  A cos  x  Bsen  x  C cosh  x  Dsenh  x 0  AC  C  A F ´( x )   A  sen  x  B  cos  x  C  senh  x  D cosh  x 0  B  D  D  B

29. Hallar las soluciones aproximadas cosh(L) * cos(L)  1 Utilizando el programa WinPlot se obtiene : 3 2 5  L  4.694  2

 L  1.875 

F ´´(x )   A 2 sen  x  B  2 cos  x  C  2 senh  x  D  2 cosh  x F ´´´(x )  A  3 sen  x  B  3 cos  x  C  3 senh  x  D  3 cosh  x F ´´(l )  0   A 2 sen  l  B  2 cos  l  C  2 senh  l  D  2 cosh  l  A  2 (cos  l  cosh  l )  B  2 ( sen  l  senh  l )  0

y 5.0

cosh(bL)*cos (bL)=-1

3.0

F ´´´(x )  0  A  3 sen  l  B  3 cos  l  C  3 senh  l  D 3 cosh  l A  3 ( sen  l  senh  l )  B  3 (bos  l  cosh  l )  0 A(cos  l  cosh  l )  B ( sen  l  senh  l )  0 A( sen  l  senh  l )  B (cos  l  cosh  l )  0 2

B (cos  l  cosh  l ) A  B ( sen  l  senh  l )  0 sen  l  senh  l

Y= cos h(bL)*cos (bL)+1

b (cos 2  l  2 cos  l cosh  l  cosh 2  l  sen 2  l  senh 2  l )  0 1  1  2 cos  l cosh  l  0

1.0 A( 1.875,0) -5.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0 -1.0 -2.0 -3.0 -4.0 -5.0 -6.0 -7.0

-9.0 -10.0 -11.0 -12.0 -13.0

2  2 cos  l cosh  l  0

-14.0

1  cos  l cosh  l  0

-16.0

cos  l cosh  l   1  L.q.q.d

Y= cosh(x)*cos (x)+1

2.0

-8.0

B (cos  l  2 cos  l cosh  l  cosh 2  l  sen 2  l  senh 2  l )  0

bL=x

4.0

-15.0

-17.0 -18.0

1.0

2.0

3.0

B( 4.694,0) 4.0

5.0

x 6.0

de

31. Demostrar que por separación de variables a partir de la ecuación de Tricomi puede obtenerse la ecuación de Airy Gll – yG = 0.

yu xx  u yy  0 u ( x , y )  F ( x )G ( y ) u xx  F G u yy  FG  yF G  FG   0 yF G   FG   c 2 F  G     c2 F yG F   c 2 F  0 F ( x)  A cos cx  Bsencx G   c 2 yG  0 haciendo c 2  1 G   yG  0

EJERCICIOS 11.5 1. Trazar la gráfica de u1, u2, u3, consultar con Bn=1, C=1, l = ð, como funciones de x, para los valores de t = 0,1,2,3. Comparar el comportamiento de estas funciones.

u n  Bn sen

nx n 2t e l

K    

Bn  1 C 1 l 

2

u n  sennxe  n t u1  senxe t u 2  senxe  4 t u3  sen3 xe

conductividad térmica. calor específico. densidad del material.

Debido al factor exponencial, todos los términos de ( 9 ) tienden a cero cuando t tiende al infinito. La rapidez del decremento varía con n. En este caso varía con t. Además cabe señalar que la dirección del flujo de calor siempre va de puntos de temperaturas más a puntos de temperaturas más baja.

9t

Así tenemos :

3.

u1  0.37 senx

n x   n 2t cn  e n  L L Amplitud de u n está determinad o por :

u 2  0.14 senx

Bn e n

u3  0.05senx

B1 e  1

u0  senx

u n  B n sen

2 ¿ De qué manera depende la rapidez del decremento de ( 9 ) para n fijo, del calor específico, la densidad, y la conductividad t ?.

n 

cn l

c2 

K 

10



B1 2

2

10



Ln 2 10 2 2 c 1 2 2 1  L2 Ln 2 c 2  2  10 L2  Ln 2  2 c2   L  0 . 007023 L2 2   10   2

n x   2 t *e l

t

1 2 2  1 10  Ln 1  Ln 2

e  1

1 

( 9 ) un ( x, t )  Fn ( x) * Gn (t )  Bn sin

2

2

Encontrar la temperatura u(x,t) en una barra de plata (10 cm longitud, sección transversal constante con un área de 1cm2, 10.6g/cm3 de densidad, 1.04 cal/cm s oC conductividad térmica, calor específico 0.056 cal/g oC) que está perfectamente aislado en toda su superficie lateral, sus extremos se mantienen a la temperatura de 0 ºC y su temperatura inicial (en ºC) es f(x), donde: 4. f(x)=Sen0.4ðx

c

k  

1.04 0.056 10.6 c  1.323 Cn 1.323n  10 L 2 2 1.75n  2 n  100  nx 2n t u ( x, t )   Bn Sen e L n 1

n 

 n 1

n 1

nx 0 e  Sen0.4x 10



u ( x,0)   Bn Sen0.1nx  Sen0.4x n 1

B 4 Sen0.1  4x  Sen0.4x 1.75  4 2  2  2.764 100 u ( x, t )  Sen0.4xe  2.764t B4  1

2

4 

5. f(x) = ksen 0,1 x

c

u ( x,0)   Bn Sen



u ( x,0)   Bn Sen

nx 0 e 10

Datos: Material: plata Longitud: Sección: 1cm2 =10,6 g/cm3 K=1,04 cal/cm. grado s n=0,056 cal/g grado Extremos: 0C f ( x)  sen0,1. x k c2    c

k 

c

1, 04cal / cmsg 0, 056cal / g  *10, 6 g / cm3

c  1,323

f ( x )  s en 0 ,1 . x

6.

c2 

k  

c 

k 

c 

1, 0 4 c a l / c m  sg 0, 056cal / g  * 10, 6 g / cm 3

 x  si  0  x  5 f ( x)   0  si  5  x  10 1

Bn 

c  1, 3 2 3 2 nt n   u ( x , t )   B n . se n . x  * e    c a lc u la m o s .. B n 

Bn 

2 

10

f ( x ). s en .



2 Bn  10

0

5

  nx   nx   100 sen  10 x cos   1  10    10   Bn   n 2 2 n 5   

n xd x 

10

n

 se n  0 ,1 . x . se n . 1 0

5

nx nx 2 1 f ( x) sen dx   xsen dx   l 0 50 10

xdx

0

re so lv ien d o ..te n e m o s ..q u e :

Bn 

B n  1 / 8 s en 0 ,1 x

0

20  nx  10  nx  sen cos   2 2 n  2  n  2 

c a lc u la m o s ... n : c n   1, 3 2 3 n  n   0, 4156 n 10 S o lu c iò n .. p a ra ..n  p a r

n 

n  par

Bn  

Bn  0

n  impar

20 10  n   n  sen cos  Bn   n n  2   2 

S o lu c iò n .. p a ra ..n  im p a r B n  1 / 8 s en 0 ,1 x

c2 

s o lu c iò n : 2 nt n   u ( x , t )   B n . se n . x  * e   

u ( x , t )  1 / 8  se n 0 ,1 x . se n (0 , 3 1 x ). * e   (  0 , 4 1 n ) u ( x , t )  s en 0 ,1 x e  1, 7 5 

2

t / 100

k  

k = conductividad térmica.

= 1.04 cal/cm°C

 = calor especifico

=0.056 cal/g °C

 = densidad del material del cuerpo 2

t

=10.6 g/cm3

n 



cn 

u ( x, t )   Bn sen n 1

1.04 0.056  10.6 c  1.323639

C

c2 

n  1.3236 n 10 n  0.4158n

n 



 ( x, t )   Bn sen n 1



 ( x, t )   Bn sen n 1

k  

nx  ( n 2t ) e l

1.04  1.323 (0.56 )(10.6)

nc (1.323)( ) n   0.41n l 10

2 l nx f ( x ) sen dx  l 0 l 10 10 2 5 nx nx nx Bn   xsen dx   10 sen dx   xsen dx 5 5 10 0 l l l 10 10 1 5 nx nx nx Bn   xsen dx   10 sen dx   xsen dx 5 5 5 0 10 10 10 1  200 n 100 40 n  40  Bn   2 2 sen  2 2 senn   2 2 sen  2 2 5 n  2 n 2 n  n Bn 

nx    n 2 t e 10 nx  ( 0.4158 n ) 2 t e 10

20 3x 1.55t  x  0.1715t 10 x  20 sen e  0.689t  2 sen e   2 sen e  10 2 5 9 10       ( x, t )   10  4x  2.76t sen e  .........   10  4 

U (x,t)  

7.

x f ( x)  5  x  5   10  x

0 x5   5  x  10 

40 ( sen 0 . 1 xe  2

1 sen 0 . 3  xe 9

 0 . 017 . 3 2 t

 0 . 017 . 1 2 t

 ..)

8. f(x)= 0.1x(100-x2) c

k  

1.04 0.056  10.6 c  1.323 c

Cn 1.323n  L 10 2 2 1.75n  2 n   0.0175n 2 2 100  nx 2nt u ( x, t )   Bn Sen e L n 1

n 



u ( x,0)   Bn Sen n 1

nx 0 e  0.1x (100  x 2 ) 10



u ( x,0)   Bn Sen0.1nx  10 x  0.1x n 1

  1200 cos n u ( x, t )      3n3 n 1 

  0.0175 n 2 2 sen 0.1nx  e 

9. f(x) = 0.01x (10 - x)

3

Datos:

10

Bn 

2 (10 x  0.1x 3 )Sen0.1nxdx  10 0

Bn 

1 (10 x  0.1x 3 )Sen0.1nxdx 5 0

10

k = Conductividad térmica = 1.04 cal/cm  = 10.6 g/cm3  = 0.056 cal/g Varilla de plata de longitud = 10 cm Sección transversal constante = 1 cm2 Temperatura en los extremos T = 0ºC Temperatura inicial = x (10 - x)

Determino “c” y “”, en este último caso para cualquier valor de “n”.

cal 1.04 k cm c2    1.7520215 cm 2 cal g  0.056 10.6 3 g cm 2

(1.7520215 cm 2 ) 2  n 2   2 c 2 n 2 2  cn  2       n   (10 cm) 2 l2  l  2 n

 2n  0.0175202156  (n ) 2 l

2 nx Bn    f ( x)  Sen dx l 0 l 10

2 nx Bn    0.01x(10  x)  Sen dx 10 0 10 10

Bn 

1 nx   x(10  x)  Sen dx 500 0 10



u ( x, t )   Bn  Sen n 1

nx  2nt e l

8 nx 0.0175n 2 2t Sen e 3 3 10 n 1 n  

u ( x, t )  

n  impar

 x  si  0  x  2.5 10. f ( x)  2.5  si  2.5  x  7.5 10  x  si  7.5  x  10  L

10

2 nx 2 nx Bn   f ( x) sen dx   f ( x ) sen dx l 0 L 10 0 10 2.5 7.5 10 1 nx nx nx  Bn    xsen dx   2.5sen dx   (10  x) sen dx  50 10 10 10 2.5 7.5 

 n  0.4158n 

 ( x, t )   B n sen n 1

  20  ( x, t )    2 2 n 1   n

nx   n 2 t e 10

n   nx  ( 0.4158n ) 2 t 3n   sen   sen e  sen 4 4  10 

11. Suponer que la barra satisface los supuestos del texto y que sus extremos se mantienen a diferentes temperaturas constantes u (0, t )  U 1 y u ( L.t )  U 2 encontrar la temperatura u(x) de la barra después de un tiempo prolongado. u  2u  c2 2 t x u (0, t )  U 1

u (l , t )  U 2

u ( x, t )  v ( x, t )   ( x ) v(0, t )   (0)  U 1

v(l , t )   (l )  U 2

 ( x)  no depende del tiempo

cn n   1.04 c2  0.056 10.6 c  1.323639 1.3236n n  10

v  2u  c 2 2  c 2´´(x) t x ´´(x)  0  (0)  U 1

 (l )  U 2

´(x)  C1  ( x)  C1 x  C 2 U1  C2

U 2  C1l  C 2  C 2 

 U  U1   ( x)  U 1   2 x l  

U 2  U1 l

12. Del problema 11, sea la temperatura inicial u(x,0)=f(x). Demostrar que la temperatura para cualquier tiempo t>0 es u(x, t)=uI(x)+ uII(x, t) con uI como antes y 

nx ( u II   Bn Sen e L n 1

c n 2 ) t L

L

2 nx Bn    f ( x)  u I ( x)  Sen dx L0 L L

2 nx 2  1n U 2  U 1   f ( x) Sen dx  L0 L n  U  U1  u I ( x )  U1   2 x  l 

u  2u  c2 2 t x u (0, t )  U1

Aplicando (10) : 

nx  2n t e L nx 0 Bn Sen e L

v( x, t )   Bn Sen n 1 

v ( x ,0 )   n 1



f ( x )  u I ( x )   Bn Sen n 1

nx L

l

Bn 

2  f ( x)  u I ( x) Sen nx dx l 0 L

Bn 

2 l 2l nx nx  U  U1    U1   2 ( ) f x  Sen dx  dx  x  Sen   l 0 L l 0 l L   

2 l 2l 2  U 2  U1  l nx nx nx Bn   f ( x ) Sen dx   U 1Sen dx   dx   xSen l 0 L l 0 L l l L 0 l

u (l , t )  U 2

u ( x ,0 )  f ( x ) Asumiendo que : u ( x, t )  u I ( x )  v ( x, t ) el problema se transforma en : d2  v  2v  U  U1    c 2 2  c 2 2  U1   2  x  dx  l t x    2 v  v  c2 2 t x v(0, t )  0 v (l , t )  0 v ( x ,0 )  f ( x )  u I ( x )

l nx nx  U  U1  dx   2 dx    xSen L l L  0 0 U 1l (U  U1 )l (1  cos n )  2 cos n  n n l U 1  U 2 cos n   n l U 1  U 2 ( 1) n n l 2 nx 2 l Bn   f ( x ) Sen dx  U1  U 2 ( 1) n l 0 L l n

 U1Sen







l

2 nx 2 Bn   f ( x ) Sen dx  U 2 ( 1) n  U1 l 0 L n







14. Encontrar la temperatura de la barra del problema 13 si el extremo izquierdo se mantiene a la temperatura cero, el derecho está aislado perfectamente y la temperatura inicial es U=const.

dG 2 2  G    c  dt 2 2

u (0, t )  0 u x ( L, t )  0

u ( x,0)  U 0 u  F ( x )  G (t ) u  F ( x )G (t )  ut t u  F ' ( x )G (t )  u x x  2u  F ( x )G (t )  u xx x 2 FG  c 2 F ' ' G

G F''   2 2 cG F

G  e c  t F''   2 F F ' ' F2  0 F ( x )  A cos x  Bsenx F ( x )   Asenx  B cos x

u (0, t )  0 u x ( L, t )  0 F ( 0)  0 F ( L )  0 F (0)  A cos 0  Bsen 0  0 A0 F ( L )  B cos L  0 cos L  0 n  n impar 2L

Encontrar la temperatura en la varilla del problema 13, si l  , c = 1 y

n x 2L

Fn ( x )  Cn sen

2

G n ( t )  Dn e

15. f  x   1

 cn    t  2L 

si 0  x   

2

u n  Bn e

 cn    t  2L 

sen

u  x, t   A0   An cos

nx 2L

n 1



A0 

u ( x, t )   u n n 1

n. .x  c.n. / l 2 t e l

1 l 1 f  x dx   0 l 





0

1dx  1

2



u ( x, t )   Bn e

 cn    t  2L 

n 1 

u ( x,0)   Bn sen n 1



u ( x,0)   Bn sen n 1



U 0   Bn sen n 1

L

sen

nx 2L

nx  U0 2L

An 

2 l n. .x dx f  x cos  l 0 l

An 

2 





0

cosn.x dx

nx  U0 2L

nx 2L

nx 2 Bn   U 0 sen dx L0 2L

u  A0  1

16. f(x)=x 1 L 1 A0   f ( x)dx   L 0







0

1  x2  xdx      2 0

 2 2 L nx 2  An   x  Cos dx   x  Cosnxdx L 0 L  0 A0 

u x (0, t )  0 u x (l , t )  0 u ( x,0)  f ( x) l 

c 1

u ( x,0)  f ( x)  0.5 cos 2 x u  2u  t x 2 u (0, t )  u ( , t )

0 x3

u ( x,0)  f ( x)  0.5 cos 2 x 

u  x, t   A0   An cos n 1 

u  x, t   A0   An cos n 1

n. .x c.n. / l 2 t e l n. .x 1.n. /  2 t e 

2

 1n     t   



nx  2(cos n  1)  e u ( x, t )     cos 2   n   n 1   2(cos n  1)   n 2t u ( x, t )     cosnx  e 2 n  n 1 

u  x, t   A0   An cos nxe  n t

17. f(x)=0.5Cos 2x

A0  0



2

n 1 

u  x,0  A0   An cos nx  0.5 cos 2 x n 1

A0  A2 cos 2 x  0.5 cos 2 x A2  0.5

u  x, t   0.5 cos 2 xe  4 t

18. f(x)=x2.

2



1 L f ( x)dx L 0 1  Ao   x 2 dx  0 1  x3   Ao    0 3

u ( x, t )  A0   An e

Ao 

 3

nx l 2

 1n    t  

 2  4   2 cos ne  u ( x, t )  3 n 1 n

cos

nx 

2   4  u ( x, t )     2 cos n e  n t cos nx 3 n 1  n  2

19. f x   x si 0  x 

 2

f  x     x si



2 L An   x 2 Cosnxdx L 0 2  An   x 2 Cosnxdx  0  2  2 xCosnx  x 2 2     3  Sennx 0 An   2  n  n n   2  2Cosn  An      n2  4 An  2 Cosn n

cos

n 1

Ao 

2

 cn    t  l 

u  x, t   A0   An cos n 1

A0 

A0 

1  /2  0

xdx 

n. .x  c.n. / l 2 t e l

1 l f x dx l 0

1  (  x).dx mediante derive   / 2 A0 

An 

1   x  2

 4

2 l n. .x dx f  x cos  l 0 l

An 

2  /2 2  x cos n. x dx     x cos n. x dx   0   /2

 n. 4. cos  2 An   .n 2

2 A2   , 

A1  0,

mediante derive

2 An  

    2. cosn   2  .n 2  .n 2

A3  0,

A4  0,

A5  0,

 /2

 0

 /2

2  sennx  cos nxdx     n  0

n 2  n  impar  n  1,3,5,7..... n

2 A6   , 9.

An 



20. f(x)=1 si 0<x<1/2ð, f(x)=1 si 1/2ð <x<ð  n 1

l

A0 

nx ( cn / l ) 2 t e  l

1 2 nx f ( x)dx  An   f ( x) cos dx  n  1,2,3....  l0 l 0 l

1  si  0  x   / 2 f ( x)   0  si   / 2  x   1 Ao  

 /2

1

 /2 0

 dx   x 0



1   1    2 2

    

2 sen

 81 1  u    cos 2t.e  4t  cos 6t.e  36 t  ............  4  4 36 

 ( x, t )  A0   An cos

n  sen 2 2    n 

2

 ( x, t )  A0   An cos nxe  n t n 1

 ( x, t ) 

1 2 3 3    cos xe t  cos 3 xe 9t  cos 5 xe  25t  ....... 2  3 5 

21.

f ( x)  x si 0  x  u  c 2 2 u t

 , 2

c2 

f ( x)  0 si k 

2 u 2  u c t x 2 u (0, t )  0 , u (l , t )  0

u ( x,0)  0  f ( x) condición inicial

  x  2

22. Considerar la barra del problema 4-10. Suponer que los extremos se mantienen a 100 C durante un tiempo prolongado, Después de un instante, por ejemplo, en t=0 la temperatura en x=L cambia repentinamente a 0C y se mantiene en este valor en tanto la temperatura en x=0 se mantiene a 100 C ¿Cuáles son las temperaturas a la mitad de la barra en t=1,2,3,10,50 segundos?

Aplicando el método de sepaación de variables. u ( x, t )  F ( x )G (t ) G F ''  k 2 cG F

FG  c 2 F ' ' G

si k es  p 2

F' ' p 2 F  0   c 2 p 2G  0 G Solución F ( x)  A cos px  Bsenpx CalculoBn l

Bn 

2 nx f ( x) sen dx  l 0 l

si m 

nx l l dx  dm x  m l n n

 2

 /2

2 nx 2 l l  nx nx nx  Bn   xsen dx   cos  sen  l 0 l l n n  l l l 0 2

2

2

2l  n n n  2  sen   2  cos 2  n  2l 2l 2l  n   nx  2 t u ( x, t )   Bnsen e l n 1 Bn 

2

2

e t  e n u ( x, t ) 

u ( x, t ) 

2

t

2 n 2

 n n n   sen   cos 2 2 2  

u (0, t )  100

u (10, t )  0

porque c  1  n n n  sen  cos 2 2 2 

2   sennx(e  n t ) 

2 t 1 2 9t e senx  e  4t sen 2 x  e sen3 x  ......... con n  1,2,3,4....  2 9



2  u 2  u c t x 2



u ( x, t )  V ( x, t )   ( x )   2V  V  c 2  2   " ( x) t  t 

V (0, t )  0

V (10, t )  0   n V ( x,0)   Cn  sin  l n1  1  C1  sin x   sin 0.1x  10 

V ( x,0)  sin 0.1 x

 (0)  100  (10)  0 F ´´ G  2   2 F c G

 x   sin 0.1 x   C1  1 2

1.752   t  10 

F "  2 F  0 F ( x)  A cos x  B senx

V(x,t)  sin0.1 x  e  "( x)  0  ´( x)  A1  ( x)  A1x  A2

0  F (0)  A 0  F (l )  B sin l B0 n  l

Fn ( x )  B sen ( 2

 (0)  A2  100  (10)  10 A1  100  0 A1  10  ( x)  10x  100

n x) l

2

 1.752    t  10 

u(x, t)  sin0.1 x e

2

G  c  G  0 

G (t )  D * e

c 2 n 2 l2

 100 10 x

2

 1.752    t  10 

u(5, t)  sin0.1  5 e

2

t

 1.752    t  10 

u(x, t)  sin0.5  e

n

2

  n   Vn ( x, t )   Cn * sin x *e  l  n 1

 100 10 5

2

c 2 n 2 2 l2

t

 1.752    t  10 

u(x, t)  50 e

 50

Tiempo (seg.) t 1 t2 t 3

Temperatura (°C) 50.738 50.545 50.403

t  10

50.303

t  50

50

23. (Radiación en el extremo de la varilla) Considérese una varilla lateralmente aislada de longitud ð y tal que c = 1 en (1), cuyo extremo izquierdo se mantiene a 0°C en tanto que el derecho irradia con libertad hacia el aire con temperatura constante de 0°C . La condición en la frontera de radiación es:  U x  , t   K U  , t   U 0 

donde U0 es la temperatura del aire de los alrededores y K es una constante, digamos que para simplificar k=1. Demostrar que una solución que satisface estas 2 condiciones en la frontera es u x , t   sin pxe  p t donde p es una solución de tan p   p . Mostrar gráficamente que esta ecuación tiene una infinidad de soluciones positivas p1, p2, p3,.... 1 1  donde p n  n  y lim  p n  n    0 n  2 2  La grafica de la varilla se muestra en la siguiente grafica

Condiciones de frontera

U (0, t )  U ( , t )  0 F //  Fp 2  0 .

G  2 n G  0

 2 n  pc

u (0, t )  F (0) * G (t ) u ( , t )  F ( ) * G (t )  U x  , t   K U  , t   U 0  F ( ) * G (t )  K U  , t   U 0 

 U x  , t   K U  , t   U 0 

Ecuación unidimensional de calor

u  2u  c2 2 t x u ( x, t )  F ( x) * G (t ) 2

 u  c 2 F // G 2 x . u  GF t

F ( 0)  0

p  1,2,3,4,......

F ( )  Bsenp 

Por lo tanto la solución es:

F ( x)  Bsenpx Al resolver la segunda ecuación diferencial nos queda

.

c 2 F // G  GF   p 2



 ( x, t )  A0   An cos n 1

.

G F //    p2 F Gc 2 Igualo las dos a la constante  p 2 para poder integrar y las dos ecuaciones me quedan de la siguiente manera

Al resolver la primera ecuación diferencial nos da como solución: F ( x)  A cos px  Bsenpx

Aplicando las condiciones frontera a esta última ecuación se tiene que:

l

A0 

nx ( cn / l ) 2 t e  l

1 2 nx f ( x ) dx  An   f ( x ) cos dx  n  1,2,3....  l0 l 0 l

1  si  0  x   / 2 f ( x)   0  si   / 2  x   1 

 /2

2 An  

 /2

Ao 

1

 /2 0

 dx   x 0

 0



1   1    2 2

 /2

2  sennx  cos nxdx     n  0

n  sen 2 2    n 

    

n 2  n  impar  n  1,3,5,7..... n

2 sen An 



2

 ( x, t )  A0   An cos nxe  n t n 1

 ( x, t ) 

1 2 3 3    cos xe  t  cos 3 xe  9t  cos 5 xe  25t  ....... 2  3 5  .

G  2 n G  0

2 n  pc

u (0, t )  0 u (l , t )  0 u ( x,0)  f ( x) U  Um( x, t )  Up( x) U ( x , t )  V ( x, t )  W ( x )

c2  1 G n (t )  Bne

Y las condiciones (2), (3) aquí el término segundo miembro puede representar pérdida de calor debida a desintegración radiactiva en la barra. Demostrar que este problema puede reducirse a un problema de la ecuación homogénea al hacer: u(x,t)=v(x,t)+w(x) y determinar w(x) de tal modo que v satisfaga la ecuación homogénea y las condiciones v(0,t)=v(L,t);v(x,0)=f(x)-w(x)

  n 2 t 2

G n (t )  Bne  p t

Por lo tanto la solución de la ecuación de calor es: u ( x,0)  F ( x) * G (t ) 2

u ( x,0)  senpx * e  p t

24. Ecuación no homogénea de calor. Considérese el problema que consta: Ut - C2Uxx= Ne -ax

Vt  c 2Vxx  0 Vt  c 2Vxx U ( x,0)  V ( x,0)  W ( x) U ( x,0)  f ( x) V ( x,0)  f ( x)  W ( x) dw 0 dt d 2w  Wxx dx 2 d 2w

d 2w  Ne x dx 2 dw Ne x  dx    c 2  N  1  W     2   e x  a  c   

w  c 2 w xx  Bw t conw xx  0

 c2

 N

 dw    c  e 2

x

  a dx 

N x e  ax  b c 2 25. Si la varilla mencionada es el texto puede irradiar temperatura libremente hacia el medio que lo rodea, el cual se mantiene a la temperatura constante cero , la ecuación vt = c2vxx-  v. Demostrar que esta ecuación puede reducirse u  2u a la forma  c 2 2 si se hace v( x ,t) =u t x ( x , t) w(t) W ( x)  

vt = c2vxx-  v v ( x,y) = (x,z) w(t) vt = ut w(t) +u w’(t)

tenemos w  Bw  0 t w   Bw t w  w    Bdt w  e  Bt

2

vx = uxxw ut w + u w’= c2 uxx w –B uw [ut w-(c2-Bu)] + u w’ = 0 ut w = c2 uxx w – (u w’ + Buw) ut w = c2 uxx – ( w’ + Bw) u de lo cual con Bw = 0 tenemos ut = c2 uxx

27. ¿Cuál es el flujo de calor a través de x=0 para la solución (10). 

u ( x, t )   Bn sen n 1

nx   ( n 2t ) e L

n 

u  2u  c2 2 t x u (0, t )  0 u ( , t )  0

cn  L



u ( x, t )   Bn sin n 1

 (t )   Ku x (0, t )

n 



n nx   ( n 2t ) Bn cos e L L n 1

cn  cn  

u x ( x, t )  

n n 0  ( n 2t ) Bn cos e L L n 1

nx  n 2t e 

2 2

u ( x, t )   Bn sin nx  e c n t n 1



u x ( 0, t )   

2 n u x ( 0, t )   Bn e  (  n t ) n 1 L



2 n Bn e  (  n t ) n 1 L

 (t )   K  K  (t )   L



 nB e

 ( n 2t )

n

n 1

28. resolver (1), (2), (3) con L=ð y f(x)=U0=const si 0<x<ð/2 y f(x)=0 si ð/2<x<ð

 U 0 f ( x)   0 

0 x

 2

  x 2  /2 L 2 2 nx nx Bn   f ( x) sen dx   U 0 sen dx  0  L0 L Bn 

2 



 /2

U 0

0

sennxdx

 2 2 n   2U u ( x, t )    0 (1  cos )  sin nx  e  c n t 2  n 1  n  2 2 n   1 u ( x, t )  2U 0   (1  cos )  sin nx  e c n t 2  n 1  n

29. Si la barra del problema 28 se compone de dos partes de hierro de temperaturas iniciales 20 C y 0 C que se ponen en o perfecto en t=0 ¿Cuál es la tempertura aproximada en la superficie de o en t= 10,20,30 segundos? Del problema 28 :  2 2 n   2U u ( x, t )    0 (1  cos )  sin nx  e c n t 2  n 1  n  2 2 n   1 u ( x, t )  2U 0   (1  cos )  sin nx  e  c n t 2  n 1  n

31. y

4

c 2  0.16

3

1  u  sen x  2 

L 

2

U 0  20

u= 0

u= 0 1

2 n   1 u ( x, t )  2  20  (1  cos )  sin nx  e 0.16 n t 2  n 1  n  2 n   1 u ( x, t )  40  (1  cos )  sin nx  e 0.16 n t 2  n 1  n



-4

-3

-2

-1

1

u= 0 -1

-2

-3

-4

2

3

4

x 5

y



nx ny u ( x, y )   A sen senh a b n 1 * n



u ( x, y )   An* sen n 1

u= 220V 40

30

u=0

nx ny senh 2 2

u=0

20

10



u=0

nx x senhn  sen 2 2 n 1 x x u ( x,2)  A1* sen senh  sen 2 2 * A1 senh  1

u ( x, y )   An* sen

1 A  senh

u ( x,40)   An* sen

u ( x,2)   An* sen

* 1

1 x y u ( x, y )  sen senh senh 2 2 32. Encontrar el potencial en el rectángulo 0≤x≤20, 0≤y≤40.cuyo lado superior se mantiene en el potencial 220 V y cuyos lados restantes están conectados a tierra.

10



n 1 

u ( x, y )   An* sen n 1



n 1

An*  An* 

2 20 senhn 22 senhn

0

x 30

nx ny senh a b nx ny senh 20 40 nx senhn  220 20

20

 220sen 0

20



20

sen

nx dx 20

nx 22 20 dx  (1  cos n ) senhn n 20

440 An*  (1  cos n ) nsenhn  nx ny  440  u ( x, y )    senh (1  cos n ) sen 20 40  n 1  nsenhn  nx ny  1  cos n  u ( x, y )  440  senh sen 20 40 n 1  nsenhn  

33. y



nx ny u ( x, y )   A sen senh a b n 1 * n



u ( x, y )   An* sen n 1



4

3

u= 0

nx ny senh 24 24

nx u ( x,24)   A sen senhn  20 24 n 1 * n

2

u= 0

u= 0 1

-4

-3

-2

-1

1

u= f(x)

2

3

4

-1

-2

2 An*  24 senhn

24

20 A  12 senhn

24

* n

nx 0 20sen 24 dx

 0

sen

nx 20 24 dx  (1  cos n ) 24 12 senhn n

40 (1  cos n ) nsenhn  nx ny 40   u ( x, y )    senh (1  cos n ) sen 24 24  n 1  nsenhn An* 

nx ny  1  cos n  u ( x, y )  40  senh sen 24 24 n 1  nsenhn  

35.

-3

-4

De la página 114 la solución de F(x) no cambia :

F ( x )  sen

n x a

x 5

Para la solución en G :

G ( y )  Gn ( y )  An e Gn (b)  An e An e

nb a

nb a

 Bn e

Bn  An e

ny a

 Bn e

 nb a

 Bn e

 nb a

 ny a

0

0

2 nb a

Gn ( y )  An e

ny a

Gn ( y )  An (e

 An e

ny a

e

2 nb a

2 nb a

e

e

 ny a

 ny a

)

2 nb  ny ny ny ny  Gn ( y )  An  cosh  senh  e a (cosh  senh )  a a a a   2 nb 2 nb  ny ny   Gn ( y )  An  (1  e a ) cosh  (1  e a ) senh  a a  

La solución final será:

2 nb 2 nb   ny ny  nx  sen u ( x, y )   An  (1  e a ) cosh  (1  e a ) senh a a  a n 1  2 nb 2 nb   n 0 n 0  nx  sen u ( x,0)   An  (1  e a ) cosh  (1  e a ) senh a a  a n 1  2 nb 2 nb    nx f ( x )   An  (1  e a ) cosh 0  (1  e a ) senh0  sen a n 1   2 nb    nx f ( x )   An  (1  e a )  sen a n 1   2 nb   2a nx An 1  e a    f ( x )sen dx a   a0

An 

a

2 a(1  e

2 nb a

 f ( x)sen

)0

nx dx a

36. Encontrar la temperatura del estado estacionario de la placa 33 si el lado inferior se mantiene a U0 oC, el superior U1 oC y los otros lados a 0 oC Sugerencia partir el problema en dos problemas en los que la temperatura en la frontera es cero en tres lados para cada problema.

y

An* 

u  U1

2 24 senhn 

20

An* 

u=0 u=0 10

U1 12 senhn 

24

U

1

sen

0

24

 0

sen

n x dx 24

U1 24 n x (1  cos n  ) dx  24 12 senhn  n 

2 (1  cos n  ) n  senhn   2 nx n y   (1  cos n  ) sen u ( x, y )    senh 24 24  n 1  n  senhn  An* 

u  U0 10

20

x 30

  1  cos n  u ( x, y )  2  n 1  n  senhn 

-10

nx n y  senh sen 24 24 

El problema se divide en dos: 1) el lado superior a temperatura U1 y los lados restantes con temperatura 0, la solución se obtiene usando las fórmulas (19) y (20)

2) el lado inferior a temperatura U0 y los lados restantes con temperatura 0, la solución se obtiene usando las fórmulas resultantes del problema 35 : 2 nb 2 nb  ny ny  nx a  sen  (1  e a )senh u( x, y)   An  (1  e ) cosh  a  a 24 n 1  



u ( x, y )   An* sen n 1 

u ( x, y )   An* sen n 1



nx ny senh a b nx ny senh 24 24

u ( x,24)   An* sen n 1

nx senhn  U1 24

2 n 24 2 n 24   ny ny  nx sen u( x, y)   An  (1  e 24 ) cosh  (1  e 24 )senh  24 24  24 n 1   ny ny  nx  u( x, y)   An  (1  e 2n ) cosh  (1  e 2n )senh sen 24 24  24  n 1 

u( x,0)   An (1  e 2n ) cosh 0  (1  e 2n )senh0sen n 1

nx  U0 24



U 0   An (1  e 2 n ) sen





n 1

An 1  e 2 n 





nx 24

nx 2 24 U 0 sen dx  24 0 24

39. Encontrar la temperatura de estado estacionario u(x,y) en la franja 0<x 0 con lados verticales perfectamente aislados y el lado inferior mantenido a la temperatura f(x). y 10

24 U0 nx An  sen dx 2 n  12(1  e ) 0 24

U0 24 (1  cos n ) 2 n 12(1  e ) n 2U 0 (1  cos n ) An  n (1  e 2 n ) La segunda solución es :

9 8

An 

ny   2 n   (1  e ) cosh 2U (1  cos n )  nx 24  u ( x, y )   0 sen 2 n   ny 24 n (1  e ) n 1 2 n  (1  e ) senh  24   La solución total es la suma de las dos soluciones obtenidas anteriormente.

7 6

u x ( , y )  0

5

u x (0, y )  0 4 3



2 1

u ( x ,0 )  f ( x ) x -p/2

p/2

p

3p/2

-1 -2

ny nx  1  cos n   u ( x, y )  2  senh sen 24 24 n 1  nsenhn   ny   2 n  (1  e ) cosh   2U 0 (1  cos n )  24  sen nx  ny  24 n (1  e 2 n )  n 1 2 n   (1  e ) senh  24   

 2u  0 u x (0, y )  u x ( , y )  0 F (0)  F ( )  0 u ( x ,0 )  f ( x )

d 2F  kF  0 dx 2 F ( x)  A cos k x  Bsen k x F ( x )   k Asen k x  k B cos k x F (0)  0 F ( )  0 F ( )   k Asen k   0 k  n2

d 2G  n 2G  0 dy 2 Gn ( y )  Bn e ny  An e  ny Aplicando la condición y   : lim y  Gn ( y )  lim y   ( Bn e ny  An e  ny )  0 Por lo tanto es necesario que Bn  0 Gn ( y )  An e  ny La solución es :

 2u  0 u x (0, y )  u x (a, y )  0 F (0)  F ( a )  0 u y ( x, b )  0 G (b)  0

F (0)  k B  0  B  0 sen k   0 k   n Fn ( x )  cos nx

40. (Problema de Neumann). Resolver  2u  0 en el rectángulo de la Fig. 263 sujeto a las condiciones de Neumann uy(x,0)=f(x) y un=0 en todos los lados

u y ( x , 0)  f ( x ) Procediendo de forma similar como se indica en la página 114:

d 2F  kF  0 dx 2 F ( x)  A cos k x  Bsen k x F ( x)   k Asen k x  k B cos k x F (0)  0 F (a )  0



u ( x, y )   An e  ny cos nx n0 

u ( x,0)   An e 0 cos nx  f ( x )

F (0)  k B  0  B  0 F (a )   k Asen k a  0

n0

2



f ( x)   An cos nx n0

A0 

1 

k a  n



 f ( x)dx 0



An 

sen k a  0

2 f ( x ) cos nxdx  0

 nx  Fn ( x)  cos   a 

 n  k    a 

2 nb 2 nb   ny ny  nx  cos u ( x, y )   An  (1  e a ) cosh  (1  e a ) senh  a a  a n 1  2 nb 2 nb   n ny n ny  nx  cos u y ( x, y )   An  (1  e a ) senh  (1  e a ) cosh  a a a  a n 1  a

2

d 2 G  n    G0 dy 2  a  Gn ( y )  An e

ny a

 Bn e

n G( y )  An e a G(b)  0 n G(b)  An e a G ( y )  Gn ( y )  An e nb Gn (b)  An e a 

An e

nb a

 Bn e

Bn  An e

 nb a

nb a

ny a

 Bn e

ny a

nb a

 ny a

n  Bn e a n  Bn e a

2 nb 2 nb   n  n nx u y ( x,0)   An  (1  e a ) senh0  (1  e a ) cosh 0  cos a a a n 1  

 ny a

 nb a

0

 ny a

nb  Bn e a

 nb a

ny a

0

Gn ( y )  An (e

ny a

e

2 nb a

2 nb a

e

e

 ny a

 ny a

)

2 nb  ny ny ny ny   senh  e a (cosh  senh ) Gn ( y )  An  cosh a a a a   2 nb 2 nb  ny ny    (1  e a ) senh Gn ( y )  An  (1  e a ) cosh a a  

a

2 n (1  e

0

 An e

2 nb  n  2a nx An  (1  e a )    f ( x) cos dx a  a  a0

An 

2 nb a

Gn ( y )  An e

2 nb   n  nx f ( x)   An  (1  e a )  cos a a n 1  

2 nb a

 f ( x) cos

)0

nx dx a

22  c 8

EJERCICIOS 11.8

23  c 13

1. ¿Cómo cambia la frecuencia de la solución (13) si la tensión de la membrana se incrementa?

32  c 13 24  c 20

C, aumenta así como la frecuencia.

42  c 20

33  c 18

2. Determinar y trazar las líneas nodales, de las soluciones (13) con m = 1,2,3,4 y n =1,2,3,4 en el caso en que a = b =1. mx ny * (13) u mn ( x, y, t )  ( Bmn cos mn t  Bmn sen mn t ) sen sen a b 2

  mn  c

2

m n  2 2 a b

mn  c m 2  n 2 Como : m  1,2,3,4 n  1,2,3,4

34  c 25  43  c 25  44  c 32 Aplicando (13): u11  B11 cos c 2t  B * senc 2t senxseny u12 u 21 u13 u31

11  c 2

u12

12  c 5

u14

21  c 5

u 41

13  c 10 31  c 10 14  c 17 41  c 17

u 22 u 23 u32

  B  B  B  B  B  B  B  B  B  B

12

cos c

21

cos c

13

cos c

31

cos c

11

cos c

14

cos c

41

cos c

22

cos c

23

cos c

32

 5t  B senc 5t senxsen2y 5t  B senc 5t sen 2xseny 10t  B senc 10t senxsen3y 10t  B senc 10t sen3xseny 2t  B senc 2t senxseny 17t  B senc 17t senxsen4y 17t  B senc 17t sen 4xseny 8t  B senc 8t sen 2xsen 2y 13t  B senc 13t sen 2xsen3y 13t  B senc 13t sen3xsen2y 11

cos c

*

12

*

21

*

13

* 31

*

11

*

14

*

41

*

22

*

23

*

32

u 24  B 24 cos c 

20 t  B *24 senc 

42

cos c 

20 t  B *42 senc 

33

cos c 

18 t  B 33* senc 

34

cos c 

25 t  B 34* senc 

43

cos c 

25 t  B *43 senc 

43

cos c 

25 t  B *43 senc 

44

cos c 

* 32 t  B 44 senc 

u 42 u 33 u 34 u 43 u 43 u 44

  B  B  B  B  B  B

 20 t sen 4  xsen 2  y 18 t sen 3  xsen 3  y 2 5 t sen 3  xsen 4  y 25 t sen 4  xsen 3  y 25 t sen 4  xsen 3  y 32 t sen 4  xsen 4  y 20 t sen 2  xsen 4  y

5.Encontrar eigenvalores de la membrana rectangular de lados a = 2, b = 1 tales que dos o mas eigenfunciones diferentes correspondan a cada uno de esos eigenvalores. Datos. a=2 b=1

Los valores correspondientes de los eigenvalores son.

   mn  c

m2 n2  a2 b2

Teniendo en cuenta que los valores de:

m  1,2,3,4........ n  1,2,3,4..........

Tenemos:

12  c

17 4

 21  c 2

8. Usando integración por partes, comprobar los cálculos de Bmn del ejemplo 2. 1 2 4 mx ny (4 x  x 2 )(2 y  y 2 )sen Bmn  sen dxdy   20 0 0 4 2 4 1 2 ny mx (2 y  y 2 )sen Bmn  dy  (4 x  x 2 )sen dx  0 0 20 2 4 2 2 2 ny ny ny 2    ( 2 ) 2 y y sen dy ysen dy y 2 sen dy 0   0 0 2 2 2 2

Nuestra eigenfunción va a ser:

2  ysen

mx n y u mn ( x, y, t )  ( Bmn cos  mn t  B * mn sen mn t ) sen sen a b

2  ysen

u12  cos c

0

ny 8 dy  (1)(1) n 0 n 2 2 ny 8 2  ysen dy  (1) n 1 0 2 n 2

17 tsenxsen2y 4

u 21  B21 cos c 2tsen 2xseny

2

2



0

Al sumar ambas nos queda.

 2 y2 ny ny 4  2 y ny ny  4 y sen dy   sen    2 2 cos cos  2 2 n  n 2  n 2  0  n 2

8  16 16 ny  16 dy   3 3   cos n  2 2 senn  3 3 0  n  n 2   n n  2 16 8 ny 2 0 y sen 2 dy   3n 3 cos n  1  n cos n 2 ny 16 8 2 n 1 0 y sen 2 dy   3n 3 cos n  1  n (1) 2

  17 u12  u 21  cos c tsenxsen2y  B21 cos c 2tsen 2xseny  4  

2

ny ny 2 y ny   4  dy  2  2 2 sen cos n 2 2 2  0  n



y 2 sen

64 mx  1m 1  128 cos m  1  64  1m 1 dx  3 3 4 m  m m 4  m x 128 2 0 (4 x  x )sen 4 dx    3m3 cos m  1 m impar :

8 16 8 ny dy  (1) n 1  3 3 cos n  1  (1) n 1 0 2 n  n n 2  n y 16 2 0 (2 y  y )sen 2 dy    3n3 cos n  1 2



4

(2 y  y 2 )sen



0

n impar :

4



ny 32 2 0 (2 y  y )sen 2 dy   3n3 2

0

(4 x  x 2 )sen

(4 x  x 2 )sen

256 mx dx  3 3 4  m

m, n impar : 4



0 4



0

(4 x  x 2 )sen

4

4

mx mx mx dx   4 xsen dx   x 2 sen dx 0 0 4 4 4 4

mx mx 16 x mx   64  4 xsen dx   2 2 sen cos m 4 4 4  0  m

Bmn

mx 64 64 senm dx   cos m  0 m 4  2m2 4 mx 64 m 1 0 4 xsen 4 dx  m  1 4



4 xsen

9. Bmn del ejemplo 2 es un producto de dos integrales. Determinar a que funciones corresponden estas integrales y comprobar sus valores. 4

 4x2 8  4x 16 mx mx mx mx   2 cos    2 2 cos x sen dx sen    0 4 4 4 4  0 m  m  m  m 4 128 64 128senm 128 mx 2 0 x sen 4 dx   3 m 3 cos m  m cos m   2 m 2   3 m 3 4 mx 128 64 m 1 2 0 x sen 4 dx   3 m 3 cos m  1  m  1 4

1  256  32     20   3 m 3   3n 3  409.6  6 3 3  mn

Bmn 

2 mx ny 1 4 dx  2 y  y 2 sen dy 4 x  x 2 sen  0 20 0 4 2 4 mx 128 2 0 4 x  x sen 4 dx  m 3 3 1  cos m  256 Cm  3 3 m impar m  mx 256 f m   3 3 sen 4 m 1 m 



Bmn 











2

C n   2 y  y 2 sen 0





ny 16 dy  3 3 1  cos n  2 n

32 n impar n 3 3  32 ny f n   3 3 sen 2 n 1 n 

Cn 

f n ( x )  2( 4 x  x 2 ) f n ( y )  (2 y  y 2 )

Representar f(x,y) por una serie doble de Fourier de la forma (18) donde 0  x   0  y   10. f ( x, y )  1 b a

Bmn  Bmn

4 mx ny f ( x, y ) sen sen dxdy   ab 0 0 a b

4  2 

 

4 2

 

Bmn 

  sen 0 0

mx ny sen dxdy  

  sen(mx) sen(ny)dxdy 0 0

   8  f ( x, y )    (1  cos m ) sen(mx) sen(ny ) 2  m 1 n 1  mn n  impar

12.

11. f ( x, y)  x 



f ( x, y )   Bmn sen m 1 n 1 

mx ny sen a b

 1  f ( x, y )   0 



f ( x, y )   Bmn senmxsenny

b a

Bmn 

4 ab 0 0 4 2

  /2

Bmn 

4 2

  /2

m 1 n 1

Bmn Bmn

4    1senmxsennydxdy n 0 0 4  1  2 1  cos m sennydy  0 m

4 1 1  cos m  1 1  cos n  2  m n 4  2 1  cos m 1  cos n   mn 0 n impar

Bmn  Bmn Bmn

8  1m 1 n impar  mn   8 m 1 f ( x, y )   2  1 senmxsenny m 1 n 1  mn

Bmn 

2

 2     x    2  mx ny f ( x, y ) sen sen dxdy a b

Bmn 

 0 0

0 x

sen

mx ny sen dxdy  

  sen(mx)sen(ny )dxdy 0 0

Representar las siguientes funciones f(x,y) 0  x  a 0  y  b por una serie doble de fourier de la forma (18) 14.

f ( x, y )  k b a

Bmn

m   8 f ( x, y )    (1  cos ) sen(mx) sen(ny) 2 2  m 1 n 1  mn n  impar 

4   /2 1senmxsennydxdy n 0 0 4  1 m  1  cos  2   sennydy 2   0 m

Bmn 

1  1  cos n  n 4  m   2 1  cos 1  cos n  2   mn  n impar 0

Bmn  Bmn Bmn

b a



  1 si  x, y   13. f ( x , y )   2 0 en caso contrario

Bmn

4 mx ny  f ( x, y ) sen sen dxdy   ab 0 0 a b

4  m 1  cos 2  m  2

Bmn  0

n par

Bmn 

4k mx ny sen sen dxdy ab 0 0 a b

m  mx ny  8k ( 1  cos ) ( ) ( ) f ( x, y )    sen sen  2 2  a b m 1 n 1  mn n  impar 



15. f  0.25xy

 b2  a 2  b2 a2 B mn   2 2 senn  cos n  2 2 senm  cos m  n m  n   m  2 2 ab cos n cos m B mn  nm a 2b 2 cos n cos m B mn  nm 2 a 2b 2 (1) m (1) n B mn  2 nm a 2b 2 (1) m  n B mn  nm 2   a 2b 2 mx ny (1) m  n sen f ( x, y )   sen 2 a b m 1 n 1 nm

16. f ( x, y )  0.125( x  y )

mx ny 4 b a f ( x, y ) sen sen dxdy   0 0 ab a b mx ny 4 b a B mn  sen dxdy 0.25 xysen   ab 0 0 a b b a ny mx B mn  1 ysen dy  xsen dx 0 0 b a B mn 

b





 ( x, y,0)   Bmn Sen m 1 n 1

b a

Bmn    f ( x, y ) Sen a

 b2 ny by ny   a 2 mx ax mx  B mn   2 2 sen  cos  cos   2 2 sen  b n b  0  m a m a 0  n

0 0

mx ny Sen  f ( x, y ) a b

mx ny Sen dxdy a b

b a

Bmn 

4 mx ny f ( x, y ) Sen Sen dxdy   ab 0 0 a b b a

Bmn

4 mx ny    0.125( x  y ) Sen Sen dxdy   ab 0 0 a b   b a

Bmn 

1 mx ny   ( x  y ) Sen Sen dxdy   2ab 0 0 a b  

17. f=(x+1)(y+1) Forma 18: 



x  y  y  1   Bmn sen mx sen ny m 1 n 1

a

b

Donde tenemos:

Bmn 

22 b a mx ny  dxdy x  1 y  1sen sen   ba 0 0 a b

Resolviendo la integral obtenemos:

Bmn 

 2  a2 b2 sen sen  a cos ab cos b  cos a cos b   ab  m m 

La serie doble de fourier nos queda.

  a2 b2 sen  a cos a * b cos b  2  sen mx ny sen sen x  y  y  1    m m  a b m 1 n 1 ab   cos a cos b  



18. f ( x, y )  xy ( a  x (b  y ) b a

Bmn 

4 mx ny f ( x, y ) Sen Sen dxdy   ab 0 0 a b

Bmn 

4 mx ny   xy (a  x)(b  y ) Sen Sen dxdy   ab 0 0 a b  

b a





u  x, y,0    Bmn sen m 1 n 1

mx ny sen  f  x, y  a b

Encontrar la deflexión u(x,y,t) de la membrana cuadrada con a = b = 1 y c = 1, si la velocidad inicial es cero y la deflexión inicial es f(x,y), donde: 20.

f ( x, y )  0.1senxseny





 ( x, y,0)   Bmn Sen m 1 n 1 







mx ny  f ( x, y ) Sen a b

mx ny  ( x, y,0)   Bmn Sen Sen  0.1senxseny 1 1 m 1 n 1

 ( x, y,0)   Bmn SenmxSenny  0.1senxseny m 1 n 1

Resolviendo, k y p obtengo : m a k  m k

n b p  n

p

Como m  1, n  2, a  b  1; obtengo :

B11SenxSeny  0.1senxseny k 

B11  0.1 Resolviendo, k y p obtengo:

  c   2  4 2 

m n k p a b k  m p  n Como m  1, n  1, a  b  1; obtengo : k 

p  2

  c  5 2   c  5 Como c  1 el valor de "  " queda :

p 

11  c  2   2   2 2 11  2 u11  B11  Cos11t ( senx  seny ) Unificando : u11  0.1  Cos ( 2t )( senx  seny )

   5 u1, 2  B1, 2  Cos u1, 2  B1, 2  Cos 5 Unificando :

21. f = k sen x sen 2y u  k  Cos 5t  sen x  sen 2y

a  b 1

22.

c 1 u ( x, y,0) t

f ( x, y )  0.01xy 1  x 1  y  b a

Bmn

4 mx ny  f  x, y sen sen dxdy   ab 0 o a b 1 1

Bmn  0.04  xy 1  x 1  y senmx.sennydxdy

m2 n2  1 1

 mn  

0 0

1

de donde 



2



0

2

 2  n  2 y  y 2 sennydy   3 3   3 3  cos n  n   n   



1

 2  x  x senmxdx   m  2

3



0

3

  m 2 2  2   cos m    3 3  m  

 2  2   n 2 2  2   m 2 2  2    cos m  Bmn  0.04 3 3   n   cos   3 3  3 3 3 3   n   m  n   m   entonces : 



u   ( Bmn cos  mn t ) senmx.senny m 1 n 1

 2  2   n 2 2  2   m 2 2  2    cos m     0.04 3 3   cos n   3 3  3 3 3 3  u    n   m  n   m   m 1 n 1  (cos mn t ) senmx.senny 



2

 mn   m  n

u ( x, y,0)  f ( x, y )  ksen3xsen4y

2



*





u ( x, y, t )   Bmn cos mn t  Bmn sen mn t sen m 1 n 1

mx ny sen 1 1

como u t t 0

*

Bmn  0 







u ( x, y, t )   Bmn cos  m 2  n 2 tsenmxsenny m 1 n 1 



u ( x, y,0)   Bmn senmxsenny  Ksen3xsen4y m 1 n 1

u ( x, y,0)  senny  B34 sen3xsen4y  Ksen3xsen 4y B34  k

m3 n4 Bmn  0

m  3 para  n  4

u ( x, y , t )  B34 cos  32  4 2 tsen3xsen4y 23. f ( x, y)  ksen3xsen4y

u ( x, y , t )  k cos 5tsen3xsen4y

24. b 1

a 1

0

f  ksen 2 x * sen 2 y u ( x, y , t )  F ( x, y )G (t )

mn  c 



 B

u ( x, y , t )  

mn

m 1

Bmn 

Bmn 

4 1 1 0 1

Bmn  4k 

0

m2 n2  2   m2  n2 2 a b * senmn t sen cos mn t  Bmn



n 1

4 b ab 0

a



1

0

2

f ( x, y ) sen

 (ksen x * sen 0

1

 (sen 0

2

2

mx ny sen a b

mx ny sen dx.dy a b

y ) sen

mx ny sen dxdy a b

x * sen 2 y ) sen( mx )sen( ny ) dxdy

Como Vo=0 entonces Bmn*=0 

u ( x, y, t )  

m 1



 B n 1

EJERCICIOS 11.9



2 2 mn cos( m  n )t sen( mx ) sen( ny )

1. Efectuar los detalles de los cálculos que llevan de (2) a (3)

x2 y2 y2 2 xy 2 xy u xx  2 u rr  3 u r  4 u  3 ur  4 u r r r r r 2 2 2 x 2 xy y y 2 xy u yy  2 u rr  3 ur  4 u  3 u r  4 u r r r r r r  x2  y 2 rx 

x 2

x y

ry 

2

y 2

x y

2



x r



y r

 y   tan 1   x 1  y x   2 2   y  x  1   x 1  y y x  2  2 2  x y  x  r 2 x 1  1 y  2  2   y x  1   x 1  1  x y  2   x  y2  x2  r x2

x 2 2 2 r  xrx r  r x  y rxx   r2 r2 r3 r3 y r  yry r  y r r 2  y 2 x 2 ryy     3 r2 r2 r3 r 2 y  x  2 xy  xx   y ( 2r  3 ) rx  3    4 r r r rx

 yy  x( 2r  3 )ry 

ur x  urr rx  ur x

u x  ur rx  u x

ur x  x urr 

u x  x ur 

ur y

u y

ur y

y ur r r2  urr ry  ur  y

2 x  y  2 xy   r3  r  r4

y x  urr  2 ur r r

y u r r2  ur ry  u y

u y

y x  ur  2 u r r

1.u xx  u r x rx  u r rxx  u xx  u x  x  u  xx  2.u yy  u r  y ry  u r ryy  u yy  u  y  y  u  yy sustituimos lo anterior en 1. y 2.

2 y y x x y x  y  2 xy 1.u xx   urr  2 ur   3 ur   ur  2 u   2   4 u r r r r r r  r  r 2 2 2 x xy y xy y 2 xy u xx  2 urr  3 ur  3 ur  3 ur  4 u  4 u r r r r r r ur  ur

x2 2 xy y2   u u u rr r r2 r3 r4 2 x y y x 1.u yy   urr  2 ur   3 r r r r y2 xy x2 u yy  2 urr  3 ur  3 ur  r r r 2 x 2 xy y2 u yy  2 u rr  3 u r  4 u r r r u xx 

y2 2 xy ur  4 u lqqd 3 r r x y  x  2 xy ur   ur  2 u  2   4 u r r  r  r xy x2 2 xy u  u  4 u  r 3 4  r r r 2 y 2 xy  3 u r  4 u lqqd r r 

2. Transformar (4) de nuevo a coordenadas cartesianas.

 2u 1 u 1  2u  u 2   r r r r 2  2 1 1 (1)  2u  u rr  u r  2 u  r r 2

u ( x, y )

u xy  u yx

sustituimos en (1)

x  r cos 

y  rsen

 2u  cos 2 u xx  2 sen cos u xy  sen 2u yy 

x r  cos 

y r  sen

x rr  0

yrr  0

x   rsen

y  r cos 

x   r cos 

y  rsen

x r  cos 

yr  sen

1 cosu x  senu y  r

u x r  u xx xr  u xy yr  cosu xx  senu xy

1 2 2  r sen u xx  2r 2 sen cos u xy  r 2 cos 2 u yy r cos u x  rsenu y  2 r cos  sen  2u  cos 2 u xx  2 sen cos u xy  sen 2u yy  ux  uy r r cos  sen  sen 2u xx  2 sen cos u xy  cos 2 u yy  ux  uy r r  2u  cos 2   sen 2 u xx  cos 2   sen 2 u yy

u 

 u yx xr  u yy yr  cosu yx  senu yy

 2u  u xx  u yy

u x 

 u xx x  u xy y  rsenu xx  r cosu xy

u 

 u yx x  u yy y  rsenu yx  r cosu yy

y r

y 



3. Demostrar que (4) puede escribirse  2u 

u r  u x xr  u y y r ur  cos u x  senu y urr  u x r xr  u x xrr  u y r yr  u y yrr urr  cos u xx  senu xy cos   cos u xx  senu xy sen urr  cos 2 u xx  2 sen cos u xy  sen 2u yy

u  u x x  u y y u  u x  x  u x x  u y  y  u y y u   rsenu xx  r cos u xy  rsen   r cos u x 

 rsenu

yx  r cos u yy r cos    rsenu y

1   u  1  2 u r   r r  r  r 2  2

Demostración:

 2 u 1 u 1  2 u   r 2 r r r 2  2 1  r 2 u u  1  2 u  2 u   2    2 r  r r  r  2 2u 

A. 2 u 

1  r  u  u  1  2 u     r  r  r  r  r 2  2

También por la regla del producto puede escribirse

(2) u xx  u r x rx  u r rxx

  ru  r  u    u     r   r  r  r  r  r  r    ru  u   u  r     r  r  r r  r 

u y  u r ry (3) u yy  u r  y ry  u r ryy

ur x  urr rx  ur x  urr rx (4) u r x  u rr rx  u rr rx ur y  urr ry  ur  y  urr ry

Sustituyendo en A  2u 

1   u  1  2 u r   r r  r  r 2  2

(5) 4. Si u es independiente de  , entonces (4) se reduce a u  2u  urr  r deducir el resultado directamente del r laplaciano en coordenadas cartesianas suponiendo que u es independiente de 

u  independiente de 

ur y  urr ry  urr ry

r  x2  y2 rx  ry 

1 2 x  y2 2



1 2 x  y2 2







1 / 2

2x 

x 2

x y 1 / 2

2y 

2

y x2  y2



x r



y r

 2u  u rr 

ur r 2 (1)  u  u xx u yy

r  xrx 1 x 1 x x r 2  x2 y2 rxx    2 rx   2   3 r2 r r r r r r3 r

u  independiente de   u  0

ryy 

u x  u r rx  u  x

 r x   r   y

u x  u r rx

r  yry r2 x r y r



1 y 1 y y r 2  y2 x2  2 ry   2   3 r r r r r r3 r 2 y rxx  3 r x2 ryy  3 r

en (4) y (5)

Demostración:

x  u r x  r u rr  u   y u  r y r rr

U solo depende de r

en (2) y (3) x x y2 x2 y2 u xx  urr  ur 3  2 u rr  3 u r r r r r r 2 2 y y x y x2 u yy  urr  ur 3  2 u rr  3 u r r r r r r 2 2  x y u xx  2 urr  3 u r r r  2 2 u  y u  x u yy rr r r2 r3 

 2u 1 u  0 r 2 r r 1    u    2u    r    0 r  r  r    2u 

1    u    r   0 r  r  r     u 

 r  r r    0 r

u a r

ar r r u  a ln r  b lqqd

 u  

en (1) x2 y2 y2 x2 u u u ur    rr r rr r2 r3 r2 r3  x2  y 2   x2  y2  r2 r2 2 u rr   u r  2 u rr  3 u r  u   2 3 r r  r   r   2u 

 2u  urr 

 2u  0 entonces  2

ur r

5. Demostrar que la única solución de  2 u  0 que solo depende de r  x 2  y 2 es u  a ln r  b

6. Demostrar que un  r n cos n , un  r n senn , n  0,1,..., son soluciones de  2u  0 con  2u dado por (4).

 2u 1 u 1  2u  (1)  u  2  r r r r 2  2 2

a) n

u n  r cos n u n  nr n 1 cos n r  2u n  n( n  1) r n  2 cos n 2 r u n   nr n senn  2

 un   n 2 r n cos n 2  sustituimos en (1) 1 1  2u  n(n  1)r n  2 cos n  nr n 1 cos n  2  n 2 r n cos n  r r 2 2 n2 2 n2 n2 n 11  u  n r  nr  nr  n r cos n 2

 u  0 cos n  2u  0 b) u n  r n senn u n  nr n 1senn r  2u n  n( n  1) r n  2 senn 2 r u n  nr n cos n 

 2un   n 2 r n senn 2  sustituimos en (1) 1 1  2u  n(n  1)r n  2 senn  nr n 1senn  2  n 2 r n senn  r r 2 2 n2 2 n2 n2 n 2  u  n r  nr  nr  n r senn  2u  0senn  2u  0 7. Suponiendo que es posible la derivación término a término, demostrar que una solución de la ecuación de Laplace en el disco R < 1 que satisface las condiciones de frontera u(R,è)=f(è)(f dada) es: n   r n  r ur,   a0   an   cos n  bn   sen  R n 1     R 

Demostración Disco R < 1 u(R,è)=f(è) 1 1 1. 2 u  urr  u r  2 u  0 r r u r ,    W r G   ur  W r G   urr  W r G  

u  r WG   u  W r G  

u n  C n r n ( An cos n  Bn senn )

Sustituyendo en 1.

1 1 W G  W G  2 WG   0 r r 2 r W G  rW G  WG   0 r 2W  rW  G    0 W W G

u n  An C n r n cos n  Bn C n r n senn u n  a n r n cos n  bn r n senn 

u(1,  )   a n r n cos n  bn r n senn  f ( ) n 0

evaluamos en cero para obtener los coeficientes de fourier 

2

r W   W r 2W   W

rW  G   W G rW  G    K2 W G

primera ecuación

u ( r ,  )  a 0   a n r n cos n  bn r n senn   f ( ) n 1

pero como las condiciones son otra entonces u(R,è)=f(è) por lo tanto 

r 2W   rW   K 2W  0

n

n

r r u ( r ,  )  a 0   a n   cos n  bn   senn   f ( ) R R n 1

w  C1r K segunda ecuación G   K 2 G G  A cos K  BsenK como f ( )tiene n ter min os

k=n

Potencial electrostático. Problemas de calor de estado estacionario: El potencial electrostático u satisface la ecuación de Laplace  2 u  0 en cualquier región libre de cargas. Además, la ecuación de calor ut  c 2  2 u (ver la sección 11.5) se reduce a la ecuación de Laplace si la temperatura u es independiente del tiempo t (caso de estado estacionario). Encontrar el potencial electrostático (equivalente: la distribución de temperatura de estado estacionario) en el disco r < 1 que corresponde a los siguientes valores en la frontera.

8.

9. u   40sen 3 Disco r  1

Disco r  1

u ( )  40 sen3  f ( )

u ( )  10 cos 2   f ( )

3 1 sen  sen3 4 4 1 3  u ( )  40 sen  sen3  4 4  u ( )  30 sen  10 sen3 sen 3 

1 1  cos 2 2 2 1 1  u ( )  10  cos 2  2 2  u ( )  5  5 cos 2 cos 2  



u (r ,  )  a0   (an r n cos n  bn r n senn ) n 1 

u (1,  )  a0   (an cos n  bn senn )  30 sen  10 sen3



u (r , )  a0   (an r n cos n  bn r n senn )

n 1



n 1

a0   (an cos n )  b1 sen  b3 sen3  30 sen  10 sen3



n 1

u (1,  )  a0   (an cos n  bn senn )  5  5 cos 2

a0  0

n 1

b1  30



a0  0 b3  10

u (r ,  )  30rsen  10r 3 sen3

a0  a2 cos 2   (bn senn )  5  5 cos 2 n 1

a0  5

a2  5

bn  0 u (r , )  5  5r 2 cos 2

10.

Disco r  1  110 u ( )  f ( )   0 

  x  2 2  3   x 2 2  



u (r , )  a 0   (a n r n cos n  bn r n senn ) n 1 

u (1, )  a 0   (a n cos n  bn senn )  f ( ) n 1

b n  0 porque f ( ) es par a0 

1 2

/2

 110d 

-/2

/2

/2

 100 si      0 11. u     100 si 0     1 1 1. 2 u  u rr  u r  2 u  0 r r Primero procedemos a graficar la función y ha hallar sus condiciones iniciales y de frontera

110 d  55 2 -/2 /2

1 110 a n   110  cos nd  cos nd  -/2  -/2

u (1,  )  100u u (1,  )  100u

   0 0  

u (1,  )  f  

Nos damos cuenta que la grafica que se muestra es impar por lo que procedemos a hallar solo el valor de nuestra serie de potencial solo es



u (r ,  )   (bn r n senn ) n 1  n

u (1, )   (bn r senn )  f ( ) n 1

bn 

1 

2

 f ( ) sennd 0

0  200  bn    100 sennd     

12. Disco r  1

  u ( )  f ( )      

   x  2 2    3  x 2 2 





u (r , )  a0   (an r n cos n  bn r n senn ) n 1 

u (1, )  a0   (an cos n  bn senn )  f ( ) n 1

para

n

par

para

n impar

a n  0 porque f ( ) es impar

bn  0 bn 

400 n



u   (bn r n senn ) n impar n 1

u  b1 rsen  b3 r 3 sen3  b5 r 5 sen5  ............... 400 400 3 400 5 rsen  r sen3  r sen5  ...............  3 5 400  1 3 1 5  u (1,  )   rsen  r sen3  r sen5  ...............  3 5    u

bn 

/2 3/2  1   sen ( n  ) d   (    ) sen ( n  ) d      -/2 /2 

13. Disco r  1   u ( )  f ( )   0 



   x  2 2   3   x   2 2



u (r ,  )  a0   (an r n cos n  bn r n senn ) n 1 

u (1,  )  a0   (an cos n  bn senn )  f ( ) n 1

a n  0 porque f ( ) es impar /2

bn 

1   sin nd  -/2

14.

Disco r  1 u ( )  f ( )   2

   



u ( r , )  a0   (a n r n cos n  bn r n senn ) n 1 

u (1, )  a 0   (a n cos n  bn senn )  f ( ) n 1

b n  0 porque f ( ) es par 1 2 2 a0  d    2 - 3 



1 a n    2 cos nd  -

15. Disco r  1   u ( )    f ( )   

     0  0  



u (r , )  a0   (an r n cos n  bn r n senn ) n 1

 4 1 1 5    r cos   r 3 cos 3  r cos 5  2  9 25  En el eje x positivo :   0



u (r , ) 

u (1,  )  a 0   (a n cos n  bn senn )  f ( ) n 1

bn  0 porque f ( ) es par

 4 1 1 5    r cos 0  r 3 cos 0  r cos 0  2  9 25   4 1 3 1 5 u ( r ,0 )    r  r  r  2  9 25  En el eje x negativo :    u ( r ,0 ) 

1 1 2  a 0     d     0  2 2 



an 

2   cos nd  0

 4 1 1 5    r cos   r 3 cos 3  r cos 5  2  9 25   4 1 3 1 5 u (r ,  )    r  r  r  2  9 25  u (r ,  ) 

Eje x:

16. Encontrar una fórmula para el potencial u sobre el eje x en el problema 15. Usar los cuatro primeros términos de esta serie para calcular u en x=-0.75, -0.5, -0.25, 0, 0.5, 0.75 (dos decimales). Usando la solución del ejercicio 15:

constante uo y el segmento de frontera –a
17. encontrar una formula para el potencial u sobre el eje y en el problema 15 : 1 1 5  4  r cos 5  .........   r cos   r 3 cos 3  2  9 25   En el eje y   2   4  1  1 5   u ( r , )    r cos  r 3 cos 3  r cos 5  ......... 2 2  2 9 2 25 2    4 u ( r , )   0  0  0  0  ........... 2 2    u (r, )  2 2  u en el eje y 2

Al graficar podemos darnos cuenta que es equidistante con respecto al origen por lo tanto los valores de a0 y an no existen

u ( r , ) 

19. Encontrar la temperatura de estado estacionario u de una placa semicircular de delgada r
1 1  2 u  u rr  u r  2 u  0 r r u r ,   W r G   u r  W r G   u rr  W r G  

u  r WG   u  W r G  

1 1 W G  W G  2 WG   0 r r r 2W G  rW G  WG   0 r 2W  rW  G    0 W W G

r 2W   W r 2W   W

rW  G   W G rW  G    K2 W G 

primera ecuación

u ( r ,  )   (bn r n senn )

r 2W   rW   K 2W  0

n 1 

w  C1r K

u ( a,  )   (bn a n senn  )  u 0 n 1

segunda ecuación 2

G   K G G  A cos K  BsenK como f ( )tiene n ter min os

bn 

u n  C n r n ( A n cos n   B n senn  ) bn 

u n  A n C n r n cos n   B n C n r n senn  u n  a n r n cos n   b n r n senn  n

a n cos n   b n a n senn 

n0

evaluamos en cero para obtener los coeficientes de fourier



an

0

2u 0 

   1     cos n      n  0 

2u 0  2u bn   0  par bn  0 bn  



a

u 0 sennd

 2u 0  bn    senn d   0 

k=n

u ( a , 2 ) 

2 



para

n

para

n impar

bn 

1 1   cos n  cos 0  n n   1 1  cos n   n n

4u 0  1    n  na n 

4u 0  1  n  n r senn ) n impar. n 1 n  na  4u  r 1 3 1 5  u (1,  )  0  sen  r sen3  r sen5  ...............  a 3a 5a  

u  (

Expresar  2 u  u xx  u yy en términos de las coordenadas x*, y* dadas por

u x*  y

 u x*x* x * y u x* y* y * x  cu x* y*

u 

 u y*x* x * y u y* y* y * y  cu x* y*

y* y

u yy  u x*  y x * y u x* x * yy  u y* y y * y u y* y * yy u yy  cu y* y * c  c 2 u y * y *



21.

x*  ax  b

y*  cy  d

u xx  au x* x* a  a 2 u x* x*  2 u yy  cu y * y * c  c u y * y *  2 u  u xx  u yy

desarrollo



 2 u  u xx  u yy x *x  a

y *y  y

x * xx  0

y * yy  0

x *y  0

y *x  0

x * yy  0

y * xx  0

u ( x*, y*) u x* x  u x*x* x * x u x* y* y * x  au x*x*

u 

y* x



 u y*x* x * x u y* y* y * x  au x* y*

u xx  u x*  x x * x u x* x * xx u x*  y y * x u y* y * xx u xx  au x* x* a  a 2 u x* x*



 2 u  a 2 u x* x*  c 2 u y * y * respuesta 22.

x*  x  y

y*  x  y

x*x  1

y x*  1

x*y  1

y *y  1

u ( x* , y * ) (u x* ) x  u x* x* x *x  u x* y * y x*  u x* x*  u x* y * (u y * ) x  u y * x* x *x  u y * y * y x*  u y* x*  u y* y * (u x* ) y  u x* x* x *y  u x* y * y *y  u x* x*  u x* y* (u y * ) y  u y * x* x *y  u y * y * y *y  u y* x*  u y* y*

u xx  (u x* ) x x *x  (u y * ) x y *x  u x* x*  u x* y *  u y * x*  u y * y *

ux*  y  ux*x*x *y ux*y* y *y  2yux*y*

u xx  u x* x*  2u x* y *  u y * y *

u 

u yy  (u x* ) y x *y  (u y * ) y y *y  u x* x*  u x* y *  (u y * x*  u y * y * )(1)

uyy  ux*  y x *y ux* x *yy uy* y y *y uy* y *yy

u yy  u x* x*  2u x* y *  u y * y *

uyy  2yuy*y* 2y  uy* 2

y* y

 uy*x* x *y uy*y* y *y  2yuy*y*

u xx  u yy  u x* x*  2u x* y *  u y * y *  u x* x*  2u x* y *  u y * y * u xx  4 x 2 u x* x*  2u x*  2 u yy  4 y u y* y*  2u y*  2 u  u xx  u yy

u xx  u yy  2u x* x*  2u y * y * 23.

x*  x 2 desarrollo

y*  y 2

 2 u  u xx  u yy

24.

x *x  2x

y *y  2 y

x * xx  2

y * yy  2

x *y  0

y *x  0

x * yy  0

y * xx  0

u ( x*, y*) u x* x  u x*x* x * x u x* y* y *x  2 xu x*x*

u 

y* x

 2 u  4 x 2 u x* x*  2u x*  4 y 2 u y* y*  2u y* respuesta

 u y*x* x * x u y* y* y * x  2 xu y*x*

u xx  u x*  x x * x u x* x * xx u y* x y * x u y* y * xx u xx  2 xu x*x* 2 x  2u x*

x* 

1 x

xx*  

y*  1 x2

x*y  0 * xxx 

2 x3

1 y y x*  0 1 y2 2 y *yy  3 y

y *y  

u ( x* , y * ) (u x* ) x  u x* x* x *x  u x* y * y x*  

1 u** x2 x x

1 u ** x2 y x 1 (u x* ) y  u x* x * x *y  u x* y * y *y   2 u x * y * y 1 (u y * ) y  u y * x* x *y  u y * y * y *y   2 u y * y * y 1 2 u xx  (u x* ) x x *x  u x* x *xx  4 u x* x *  u x * 3 x x 1 2 u yy  (u y * ) y y *y  u y * y *yy  4 u y * y *  u y * 3 y y 1 2 1 2 u xx  u yy  4 u x* x*  u x* 3  4 u y * y *  u y * 3 x x y y (u y * ) x  u y * x* x *x  u y * y * y x*  

25. x*  x cos   ysen

y*  xsen  y cos 

u x*  y

 u x*x* x * y u x* y* y * x   sen u x* x*  cos  u x* y*

u 

 u y*x* x * y u y* y* y * y   sen u y*x*  cos  u y* y*

y* y

u yy  u x*  y x * y u x* x * yy  u y*  y y * y u y* y * yy u yy   sen u x*x*  cos  u x* y*  sen    sen u y*x*  cos  u y* y* cos  u yy  sen 2 u x*x*  2sen cos  u x* y*  cos 2  u y* y*

u xx  cos 2  u x*x*  2 sen cos  u x* y *  sen 2 u y * y *  2 2 u yy  sen  u x*x *  2 sen cos  u x* y *  cos  u y* y *  2 u  u xx  u yy  2 u  cos 2  u x* x*  2 sen cos  u x* y*  sen 2  u y* y*  sen 2  u x* x*  2 sen cos  u x* y*  cos 2  u y* y*  2 u  u x* x *  u y * y *

desarrollo  2 u  u xx  u yy x * x  cos 

y * y  cos 

x * xx  0

y * yy  0

x * y   sen x * yy  0

y * x  sen y * xx  0

u ( x*, y*)

u x* x  u x*x* x * x u x* y* y * x  cos  u x*x*  sen u x* y*

u 

y* x

 u y*x* x * x u y* y* y * x  cos  u y*x*  sen u y* y*

u xx  u x*  x x * x u x* x * xx  u x*  y y * x u y* y * xx u xx  cos  u x*x*  sen u x* y* cos   cos  u y*x*  sen u y* y* sen u xx  cos 2  u x*x*  2 sen cos  u x* y*  sen 2 u y* y*

26. Demostrar que la solución del problema de Neumann  2 u  0 si r  R, u n ( R, )  f ( ) (n la normal exterior) es: 

u (r , )  A0   r n  An cos n  Bn senn  n 1

con A0 arbitraria y 2 nR n 1 2 Bn  nR n 1 An 



  f ( ) cos nd 



  f ( )sennd 

27. Demostrar que (9), sección 9.4, impone sobre f ( ) del problema 26 la condición

Disco r  R u n ( R,  )  f ( )



  f ( )d  0

La solución obtenida del problema 7 :





u (r ,  )  A0   ( An r cos n  Bn r senn )

w 2 R  wdA  C n ds

la dirección normal es la radial, por lo tanto :

w  derivada de w en dirección normal n C  frontera de la región plana R

n

n

n 1



u ( r , )   (nAn r n 1 cos n  nBn r n 1senn ) r n 1 aplicando la condicion frontera :  u ( R,  )   (nAn R n 1 cos n  nBn R n 1senn )  f ( ) r n 1



f ( )   (nAn R n 1 cos n  nBn R n 1 senn ) n 1



nAn R

2   f ( ) cos nd   

nBn R n 1

2   f ( ) send  

2 An  nR n 1 Bn 

2 nR n 1

u

2

  udA   n ds R

C

ds  rd

diferencial de longitud de arco

u  un n 2

  udA   u rd n

Los coeficientes de Fourier son : n 1

teorema de Green en el plano

R

C

C  circunferencia de radio R un ( R, )  f ( )

  udA   f ( )rd R

 2u  0

 f ( ) cos nd

C









f ( ) sennd

C

u cumple con la ecuación de Laplace :





    

2

 f ( )rd  0  f ( )d  0



28. (Problema de Neumann) Resolver  2 u  0 en la corona 1  r  3 si u r (1,  )  sen , u r (3,  )  0

1. Comprobar que u = c/r satisface la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas:

Aplicando los resultados del problema 26 : Disco

EJERCICIOS 11.11

1 r  3

x  r cos sen

ur (1,  )  sen

y  rsensen

ur (3,  )  0

z  r cos 

 n

n

u (r ,  )  A0   ( An r cos n  Bn r senn ) n 1



u ( r ,  )   (nAn r n 1 cos n  nBn r n 1senn ) r n 1 aplicando las condiciones frontera :  u (1,  )   ( nAn cos n  nBn senn )  sen r n 1 

sen   (nAn cos n  nBn senn ) n 1

sen  A1 cos   B1sen A1  0

B1  1

 u (3,  )   (nAn 3n 1 cos n  nBn 3n 1 senn )  0 r n 1 

0   (nAn 3n 1 cos n  nBn 3n 1 senn ) n 1

An  0

Bn  0

u (r ,  )  rsen

 2u 

1  2 u 2 u 1  2 u cot  u  2u     r 2 r r r 2  2 r 2  r 2 sen 2  2

Como : u

c r

c u  2 r r 2  u 2c  r 2 r 3 Reemplazamos :  2u 

2c  r3

 2u  0

2 c  r  r2

 000 



2. Demostración que la única de la ecuación de laplace que c sólo depende de r  x 2  y 2  z 2 es u   k aquí c y k son r constantes. En coordenadas esféricas:  2u 

1  2 u 2 u 1  2u cot  u  2u     0 r 2  r 2 sen 2  2 r 2 r r r 2  2

 2 u 2 u  0 r 2 r r  2 u 2 u  0 r 2 r r 1    2 u    r   0 r 2  r  r  

 2u 

   2 u     r    0  r  r  

  r

2

u    0r r  

u c1 r c  u   r 12 r c u  1 k r c u  k r r2

3. Determinar c y K en el problema 2 de modo que u represente el potencial electrostático entre dos esferas concéntricas de radio r=2cm y r=4cm mantenidas en los potenciales U=110 voltios y U=70 voltios, respectivamente.

c k r u (2)  110 u (4)  70 u (r ) 

u ( 2) 

c  k  100 2

u ( 4) 

c  k  70 4

c c   100  70 2 4 c  30  c  120 4 c 120 k  70   70   40 4 4 120 u (r )   40 r

4. Demostrar que la única solución de la ecuación bidimensional de Laplace que sólo depende de r  x 2  y 2 es u  c ln r  k

 2u 

 2u  2u  2u 1 u    0 x 2 y 2 r 2 r r

 2u 1 u  2 r r r   u  1 u   r  r  r r  u   1 u r r u r  u    r ln u    ln r  ln c ln u   ln

c r

u c  r r c

 u   r r u  c ln r  k

5. Encontrar el potencial electrostático entre dos cilindros coaxiales de radios r1 = 2cm y r2 = 4cm que se mantienen a los potenciales U1 = 110V y U2 = 70V, respectivamente.

Datos:

Multiplicando e integrando nos queda:

R1 = 2cm = 0.02m R2 = 4cm = 0.04m V1 = 110V V2 = 70V

V ) A  V  A ln   B (

Decimos que  es constante entonces podemos decir que son cilindros:

Solución: 120ecuación de Laplace en coordenadas Cilíndricas:

 2V 

1  V 1  2V  2V ( ) 2 ( ) 2      z

Dando un V = V0 cuando  = a y tenemos que:

V  V0 La 120ecuación120 del potencial con respecto a z es cero ya que no varía, existe potencial solo con respecto a  . Entonces la 120ecuación de Laplace se transforma en:

V = 0 para  = b

ln(b /  ) ln(b / a)

En donde b es mayor que a. Tomando las soluciones de las ecuaciones tenemos que:

1  V ( )= 0   

70 = A ln(0.04) + B 110 = A ln(0.02) +B

Como tenemos una sola variable nos queda:

1 d V ( )= 0  d 

En donde resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que:

B

110 ln(0.04)  70 ln(0.02) ln 2

70  110 ln(0.04)  70 ln(0.02) ln 2 A ln(0.04) Como V es igual a: V = Aln  + B Tenemos que:

 40 ln  V= ln 2  150 6. Al sustituir u(r), r como en el problema 2, en 2u  u xx  u yy  u zz  0 , comprar que u    0 en concordancia r con (7). r ,  ,  en coordenadas esféricas

x  rcossen

u ( x, y , z )  r x 2  y 2  z 2 U  0 U r  0  U   0   U   0 U r  0 U   0 1 / 2 1 x  rx  x 2  y 2  z 2 2 r 1 / 2 1 y  ry  x 2  y 2  z 2 2 r 1 / 2 1 z rz  x 2  y 2  z 2  2 r 2  u  U xx  U yy  U zz













r  xrx 1 x x r 2  x 2 y 2  z 2   2   r2 r r r r3 r3 r  yrx 1 y y r 2  y 2 x 2  z 2   2   ryy  r2 r r r r3 r3 r  zrx 1 z z r 2  z 2 x 2  y 2   2   rzz  r2 r r r r3 r3 rxx 

y  rsensen z  rcos

U r x  U rr  rx  U r x  U r x  x U rr

r U r y  U rr  ry  U r y  U r y  y U rr r U r z  U rr  rz  U r z  U r z  z U rr r

x x y2  z2 1)U xx  U r x  rx  U r  rxx  U rr   U r r r r3 x2 y2  z2 U xx  2 U rr  U r r r3 x x y2  z2 2)U yy  U r y  ry  U r  ryy  U rr   U r r r r3 y2 x2  z 2 U yy  2 U rr  U r r r3 z y y2  z2 3)U zz  U r z  rz  U r  rzz  U rr   U r r r r3 z2 x2  y2 U zz  2 U rr  U r r r3

r  x2  y 2

  arctan

y x

Luego hallo las derivadas parciales: rx  rxx 

x x2  y 2



x r

r  xrx 1 x 2 y 2   3  3 r r r r

 2u  U xx  U yy  U zz x2 y2  z2 y2 x2  z2 z2 x2  y2 U   U  U   U  U  U r rr r rr r rr r2 r3 r2 r3 r2 r3  x2 y 2 z 2   y2  z2 x2  z2 x2  y2  U r  2u   2  2  2 U rr     3 r r  r3 r 3  r  r  2u 

r2 2r 2 U Ur  rr r2 r3 2  2u U rr U r r  2u 

8. Comprobar (5) transformando  2u de coordenadas cartesianas. Para realizar asumimos lo siguiente:

1

 y  y  2    2   y  x   x  1   x  2  2 xy   xx   y  3  rx   4   r   r 

x 

2

x2 xy y2 y2 xy    u u u u r  2 4 u 2 2 r 3 r 4  3 r r r r r 2 2 2 y xy x x xy u yy  2 u r  2 3 u r  4 u  3 ur  2 4 u r r r r r u xx 

nuevo

a

Al sumar Uxx + Uyy se logra demostrar que sí se puede regresar a coordenadas cartesianas y obtener el mismo resultado.

U xx  U yy   2u d 2u 1 du 1 d 2u d 2u  u 2    dr r dr r 2 d 2 dz 2 2

Demostrar que las siguientes funciones u  f ( x, t ) satisfacen la ecuación de Laplace y trazar algunas de las lineas equipotenciales U=cte. 9. xy u  xy ux  y

uy  x

u xx  0

u yy  0

u xx  u yy  0

2

10. x  y

2

Ecuación de Laplace: u ( x, y )  x 2  y 2

 2u  2u  0 dx 2 dy 2

u  2x dx  2u 2 dx 2 u  2 y dy  2u  2 dy 2

 2u  2 u  0 dx 2 dy 2 22  0 00 Trazo de equipotenciales: u ( x, y )  x 2  y 2    cte

  0,1,2,3,4,5,.........  0 y  x  0 Rectas que pasan por el origen, hipérbolas confocales.

2x x2  3y 2



u xx 

2 3

2

x  y  2 x 3 y  x   x  y  2

u yy



2

2 3

2

u xx  u yy 

2x x2  3y 2



x

2

 y2

2

3

2 3

2

0

11. x 3  3xy 2

u x  3x 2  3 y 2

u y  6 xy

x x  y2 u  cte. u 

u xx  6 x

u yy  6 x



u  x 3  3 xy 2 u  xy

u

u xx  u yy  0 12.

x x  y2 x u 2 x  y2



2



 2u  0  2u  2u  0 x 2 y 2

2

x x  y2 x x2  y2   1 1 y  x2  y2   2  4 4 2 2

2

1   1   x y    2   2    1  c 0,   2  1 r 2 2

2

  2 x3 y  x   x  y 

2

d 2u d 2 u d 2u   dx 2 dy 2 dz 2 u ( x )  y  1 u ( x )  0  2u 

u ( y )  x  1 u ( y )  0 u ( z )  0 u ( z )  0

y 2 x  y2 y u 2 x  y2

 2u 

13.

ux  u xx 

2

x

uy 

2

 y2 

2 y (3x 2  y 2 )

x

2

y

2 3



u yy 

3

 y2 

2 y (3x 2  y 2 ) 2

 2u  0

 2 xy

x

d 2u d 2 u d 2u   0 dx 2 dy 2 dz 2



2 y( y 2  3x 2 )

x

2

y

2 3



Encontrar la distribución de temperatura de estado estacionario (independiente del tiempo).

x2  y 2

x

2

2

 y2 

2 y( y 2  3x 2 )

x

2

3

x2  y2

15.

x

 y2 

0

u

2

 y2



x2  y2

x

2

2

 y2 

2 x(3 y 2  x 2 )

ux 

14.

2

x

2

3

 y2 

x  1 y  1 u   x  1 y  1  xy  x  y  1

u xx 

u  xy  x  y  1

6( x 4  6 x 2 y 2  y 4 )

u  cte

uy 

6( x 4  6 x 2 y 2  y 4 )

x

x 2

 y2  4

 y2 



x

u yy  

4

2

2 y( y 2  3x 2 )

6( x 4  6 x 2 y 2  y 4 )

x

2

4

 y2 

0

2

3

 y2 

6( x 4  6 x 2 y 2  y 4 )

x

2

4

 y2 

16. Entre dos placas paralelas x  x 0 y x  x1 mantenidas a las temperaturas U 0 y U 1 respectivamente. du d 2u  2 dt dt u ( x0 , t )  U 0

x0  x  x1

u ( x, t )  U 1

Suponemos u ( x, t )  v( x)  w( x, t ) u1  w1 u xx  v( x)  wxx Por lo tanto: w1   v x   wxx  u ( x0 , t )  v( x0 )  w( x0 , t )  U 0 u ( x1 , t )  v( x1 )  w( x1 , t )  U1 Si hacemos que t   suponiendo w( x, t ) es una solución transitoria, se obtiene para el estado estacionario.

v( x)  0 v( x0 )  U 0 d 2v 0 dx 2 dv A dx

 dv   Adx v( x)  Ax  B v ( x0 )  Ax0  B  U 0    v ( x1 )  Ax1  B  U1 

A

U1  U 0 x1  x0

B

U 0 x1  U1 x0 x1  x0

 U  U 0   U 0 x1  U 1 x0   x    v( x)   1  x1  x0   x1  x0 

17. Entre dos cilindros circulares coaxiales de radio r0 y r1 mantenidos a las temperaturas u 0 y u1 respectivamente

u (r0 )  u0 u (r1 )  u1  2u  2 u  0 x 2 y 2 u depende solo de r del problema (4) : u (r )  c ln r  k u (r0 )  c ln ro  k  u0

u (r1 )  c ln r1  k  u1 (1) c ln r0  k  u0

18. Entre dos esferas concéntricas de radios r0  r1 mantenidas a las temperaturas U 0  U 1 , respectivamente.

(2) c ln r1  k  u1 (2)  (1) : cln r1  ln r0   u1  u0 r  c ln 1   u1  u0  r0  u u c 1 0 r  ln 1   r0  k  u0  c ln r0 k  u0 

u1  u0  ln r1 r  ln 1   r0 

     u  u  ln r1 u1  u0   ln r  u0  1 0 u (r )    r1   r  ln 1   ln    r0    r0     r u0 ln 1  u1  u0  ln r1      u u r 0 u (r )   1 0  ln r    r1   r  ln 1   ln    r0    r0   u  u  u (r )  1 0 ln r  2u0 ln r1  u0 ln r0  u1 ln r1 r  ln 1   r0 

qr  qr  dr qr   KA

dT dr

donde A  4r 2 es el área nominal a la dirección de transferencia de calor, entonces se obtiene:

dT dr Aceptando que qr es una constante de r, la ecuación anterior se expresa en la forma integral: qr   K (4r 2 )

1 dr Ts ,1 qr   2    K (T )dT 0 r Ts , 0 4

Se supone que K es una constante, entonces: qr 

4K Ts , 0  Ts ,1 

1 / r0   1 / r1 

y como también la resistencia térmica define como la diferencia de temperaturas divididas entre la transferencia de calor se obtiene:

Rt ,cond 

1 1 1    4K  r0 r1 

u (r1 )  c ln r1  k  u1 r  x2  y2  z 2 u (r , t )  depende solo de r y t  r 2  x2  y 2  z 2 r 2  R2 r  R  en la sup erficie u  0 cuando r  R condicion en la frontera

t  0  u  f (r )  temperatura inicial solo depende de r se obtienen soluciones que no dependen de  ni  ya que las condiciones iniciales solo dependen de r

19. Si las superficies de la bola r 2  x 2  y 2  z 2  R 2 se mantiene a temperatura cero y la temperatura inicial de la bola es f(r), demostrar que la temperatura u(r,t) de la bola 2   es la solución de u t  c 2  u rr  u r  la cual satisface las r   condiciones u(R,t)=0, u(r,0)=f(r) u (r0 )  u0 u (r1 )  u1  2u  2u  0 x 2 y 2 u depende solo de r del problema (4) : u (r )  c ln r  k u (r0 )  c ln ro  k  u0

Además hay simetria  no dependen de  ni   u depende de (r, t) Ecuación de flujo de calor en cuerpo homogeneo : u  c 2 2 u t 2 1 cot  1  2u  urr  u r  2 u  2 u  2 2 u r r r r sen  2  2u  urr  u r r u ut  t 2   ut  c 2  urr  ur  r  

20. Demostrar que haciendo v = ru, las fórmulas del problema 19 asumen la forma 2 v1  c vrr , v ( R, t )  0, v ( r ,0)  rf ( r ) . Incluir la condición v(0,t)=0 (la cual se cumple porque u debe estar acotada en r = 0) y resolver el problema resultante por separación de variables. v  ru 2   (1)u1  c 2  urr  ur  r   vr  u  rur vrr  ur  ur  ru rr vrr  2ur  rurr En 1 : v ut  c 2 rr r 2 rut  c vrr

vt  rut 2

vt  c vrr Condiciones de Frontera : u  R, t   0 u 0, t   0

Condiciones iniciales : u r ,0   f ( r ) ru r ,0   rf (r )

v ( r ,0)  rf ( r )

Separación de Variables : v(r , t )  F (r )  G (t ) vr  F (r )  G (t ) vrr  F (r )  G (t ) vt  F (r )  G(t )

F (r )  G(t )  c 2 F (r )  G (t ) G(t ) F (r )    p2 2 c G (t ) F (r ) F ( r )  p 2 F  0 F ( r )  A cos pr  Bsenpr r (0, t )  A  0 v( R, t )  Bsenpr  0 p

n R

Fn ( r )  sen

n r R

G    n 2 G dG 2  G    n dt ln G  n 2t  C 2

Gn (t )  Bn  e  n t 2 n Vn (r , t )  Bn  sen r  e  n t R



2 n r  e  n t R

Condiciones Iniciales : 

v(r ,0)   Bn  sen n 0

onda un  c  u da como resultado la llamada ecuación tridimensional de Helmholtz

k

w c

utt  c 2 2u u  U ( x, y , z )e iwt 2

n0

n0



2

ut   iw Ue iwt

v ( r , t )   vn ( r , t ) v(r , t )   Bn  sen



2

 2U  k 2U  0

Vn (r , t )  Fn (r )  Gn (t )



21. Demostrar que la sustitución de  iwt u  U ( x, y , z ) e i   1 en la ecuación tridimensional de

2 n r  e  n 0 R

n v(r , t )  Bn  sen r  f (r ) de Periodo 2 R R Desarrollo de medio rango impar : 2 R n Bn   rf (r ) sen rdr R 0 R  2 n v(r , t )   Bn  e  n t  sen r R n 1

U tt   iw Ue iwt U tt  i 2 w 2Ue iwt U tt   w 2Ue iwt  2u   2Ue  iwt  w 2Ue iwt  c 2 2Ue iwt c 2 2U  w 2U  0  2U 

w2 U 0 c2

 2U  k 2U  0

k

w c

23. Si u (r , ) satisface u=0, demostrar que v ( r ,  )  u ( r 1 ,  ) satisface  2v  0 (r y  son coordenadas polares)

 2u  0 v ( r ,  )  u ( r 1 ,  )  2u 1 u 1  2u   r 2 r r r 2  2 1 1 (1)  2u  u rr  u r  2 u r r 2 vr   r ur  ur   r 2vr

 2u 

vrr  2r 3ur  r  2urr v  u

25. Es posible demostrar que la solución del problema 24  senx  2  . puede escribirse en la forma u    arctan    senhy 

del problema (24) : 

u ( x, y )   Dn e  ny sennx

v  u 2

1 v  0 r2 1 1 1   2 vrr  1 vr  2 v  0 r r r 2  v0 rvr  r 2vrr 

u (r , )

n 1

3

r urr  2r ur  vrr r  2urr  2r 3 r 2 vr  vrr r 2u rr  2r 1v r vrr u rr  2rvr  r 2 vrr



u ( x,0)   Dn sennx  1 n 1



1   Dn sennx n 1

en (1) : 1 1  r 2 vr  2 v  0 r r 1 2rvr  r 2 vrr  rvr  2 v  0 r 2rvr  r 2 vrr 

 

1  sennxdx  0 11 1  cos n  Dn   n Dn  0 n par Dn 

Dn 

2 n

n impar

2  ny e sennx n 1 n 

EJERCICIOS 11.12

u ( x, t )   n 1 u e y

2 y e senx   cosh y  senhy

2 u  cosh y  senhy senx  2 senx cosh y  xenxsenhy    senx  2  u    tan 1     senhy  u

1. Comprobar por sustitución que u n r ,  y u n * r ,  , 1, 2, en (8*) son soluciones de (2). 11.12.  1

 n r1 ,  

 n  r1 ,  

n  0,1,2

 n r1 ,    An  r n  Pn  cos   B   n  r1 ,    nn1  Pn  cos   r  0  A0  P0  cos    A 0 h0  0 0 r

En 2

 0 0   2  1 sen  0 r 0   sen  r





n=0,

h 1

En 2 

h2

En 2 

1  A1  r  P1 cos    A1  r1  cos    1  1  A1  cos     A1  r  sen  r   2 r  A1  cos    1    sen  A1  r  sen   0 r sen  1 2r  A1  cos    A1  r  2sen  cos   0 sen 2r  A1  cos   2 A1  r  cos   0

 2  A2  r 2  P2  cos  

 

2

2



*

u o   Bo r  2 r





*

u 2  B2 r 3 P2 cos 

n2 2

Bo Po cos    Bo r 1 r * u o 0 



2 B1 r  2 cos   2 B1r  2 cos   0

*

uo 

*

u1 u1  2 B1 r 3 cos    B1 r  2 sen r    1  r 2 2 B1 r 3 cos     B1 r  2 sen 2 r sen  1 2 B1 r  2 cos   B1 r  2 2 sen cos   0 sen

3r  A2  3 cos   1  2 cos   1  cos    0

n0



n 1 * u1  B1 r 2 P1 cos    B1 r 2 cos 

3 A1  r 2  2 sen  cos 2   sen 3  sen

3r 2  A2  3 cos 2   1  2 cos 2   sen 2  2

 2 1  sen  0  r  Bo r  2  r sen    Bo   0  0 r 00  0

*

1 3  2  A2  r 2    cos 2    2 2   2 1 3  2 A2    cos 2     A2  3  cos 2   1 r 2 2  2  A2  r 2   3 cos   sen   3 A2  r 2  cos   sen   2 r  A2  r  3 cos 2   1  1    3 A2  r 2  sen 2  cos   r sen  3r 2  A2  3 cos 2   1 

En (2):

*

u 2  B2 r  3

1 3 cos 2   1 2





u 2 3   B2 r  4 3 cos 2   1 r 2 * u 2 1  B2 r 3 6 cos   sen   3B2 r 3 sen  cos   2

En (2)

u2  0

  3  1   B2 r  2 3 cos 2   1     3B 2 r 3 sen 2 cos   r  2  sen  1 3B2 r 3 3 cos 2   1  3B2 r 3 2 sen  cos 2   sen 3 sen



3 B 2 r 3 3 B 2 r 3

 3 cos 3 cos













A2 r 2 P2 cos    0 1 3 cos 2   1  0 2 3r 2 cos 2   r 2  0

  1  2 cos 2   sen 2 

3z 2  r 2  0

2

  2 cos 2   1  cos 2 

r2 3 r z 3 r z 3 u3  0

2. Encontrar las superficies en las que las funciones u1 , u 2 , u3 son cero. n

u n ( r ,  )  An r Pn cos   u1 ( r ,  )  A1rP1 cos  

z2 

planos inclinados

u 2 ( r ,  )  A2 r 2 P2 cos  

A3r 3 P3 cos    0

u3 ( r ,  )  A3 r 3 P3 cos   u1  0

1 5 cos3   3 cos   0 2 3 5r cos 3   3r 3 cos   0

A1rP1 cos    0

5r 3 cos 3   3r 3 cos 

A1  0

5r 3 cos 2   3r 3

rP1 cos    0 r cos    0 z0

planoxy

P1  x   x

1 2 3x  1 2

r2

2

3B2 r 3 0   0

P2  x  

r3



P3 x  

1 3 5 x  3x 2



5z 2  3 z

3 5

planos horizontales





3. Trazar las funciones Pn (cos  ) para n=0, 1, 2,4



Bn P cos   n 1 n r n 0 1 u r ,    Po cos   r u r ,    

6. f ( )  cos 

x  cos  P1  x f ( )  P1 cos   Sean r , , las coordenadas esféricas usadas en el texto. Encontrar el potencial en el interior de la esfera R = 1, suponiendo que no hay cargas en el interior y que el potencial en la superficie es f   , donde

1 5 cos 3   3 cos  2 1 P4 cos    35 cos 4   30 cos 2   3 8





5. f    1 f    Po cos  

n 0

u (r ,  )  rP1 cos   7. f    cos 2

4. Trazar las funciones P3 cos   y P4 cos   P3 cos   



u (r ,  )   An r n Pn cos  

f    2  cos 2    1 x  cos 





f  2x 2  1 1 P2  3 x 2  1 2 2 P2  3 x 2  1





2 1 P2  3 3 4 2 2 x 2  1  P2   1 3 3 4 2 x 2  1  P2  1 3 4 1 f    P2 cos    3 3 4 2 1 u r ,    r P2 cos    3 3 x2 

8. f ( ))  1  cos 2 

9. f    cos 3 

x  cos  f  x3 1 1 P3  5 x 3  3 x   5 x 3  3P1  2 2 3 2 P3  5 x  3P1 5 x 3  2 P3  3P1 x3 

3 2 P1  P3 5 5

3 2 P1 cos    P3 cos   5 5 3 2 u r ,     rP1 cos    r 3  P3 cos   5 5 f   

f  1 x2

x  cos  1 3x 2  1 2 2 P2  3 x 2  1 P2 





 2 P2  1  3x 2  2 P2  2  3  3 x 2 2  2 P2  3(1  x 2 )

f  1 x2 

2 2  P2 cos   3 3



u (r ,  )   An r n Pn cos   n 0

u (r ,  ) 

2 2 22  r P 2 cos   3 3 3

10. f ( )  cos 3  3 cos  

u (r ,  )   An r n Pn cos   n 0

f ( )  4 cos 3   3 cos   3 cos  f ( )  4 cos 3  x  cos  5 3 P3  x 3  x 2 2

3x 2  2 P2  Po 1 P3  5 x 3  3 x  2 2 P3  5 x 3  3 x 5 x 3  2 P3  3 x

P1  x 5 3 3 x  P1 2 2 3 5 3 P3  P1  x 2 2 2 2 3 x 3  P3  . P1 5 5 2 2 3 x 3  P3  P1 5 5 P3 

3  8 12 2 4 x 3  4 P3  P1   P3  P1 5  5 5 5 8 12 f ( )  P3 cos    P1 cos   5 5 12 8 u ( r ,  )  rP1 cos    r 3 P3 cos   5 5

11. f    10 cos 3   3 cos 2   5 cos   1 x  cos  f  10 x 3  3 x 2  5 x  1

P1  x

Po  1

1 3x 2  1 2 2 P2  3 x 2  1

P2 



3 x 2  2 P2  1



5 x 3  2 P3  3P1

10 x 3  4 P3  6 P1 Sustituyendo: f  4 P3  6 P1  2 P2  Po   5 P1  Po f  4 P3  6 P1  2 P2  Po  5 P1  Po f  4 P3  2 P2  P1  2 Po

f    4 P3 cos    2 P2 cos    P1 cos    2 

u r ,     An r n 1 Pn cos   n 0

u r ,    4r 3 P3 cos    2r 2 P2 cos    rP1 cos    2 12. Demostrar que en el problema 5 el potencial exterior de la esfera es el mismo que el de una carga puntual en el origen.

f ( )  1  P0 cos  



Bn P cos   n 1 n n 0 r f ( )  1

u (r ,  )  



Bn P cos   n 1 n n 0 r 1 ue ( r ,  )  P0 cos   r 1 ue ( r ,  )  potencial carga puntual r u (r ,  )  

(5)

f ( )  P0 cos    1 1 1 P0 cos    r r (6) f ( )  cos 

u

13. Trazar las intersecciones de las superficies equipotenciales del problema 6 con el plano xz.

x  cos x

Del problema (5) u r ,    rP1 cos   Sus equipotenciales: rP1 cos    

u (r ,  ) 

r  cos   

f ( )  P1 cos 

(7 )

1 P1 cos  r2 f ( )  cos 2  2 cos 2   1

x  cos 

  0,1,2,3,....

z  Intersecciones con el plano xz son rectas horizontales.

14. Encontrar el potencial exterior de la esfera de los problemas 5-11.

f  2x2 1

P2 

1 3x 2  1 2



2 1 P2  3 3 1 2 f  2 P2    1 3 3 4 1 f  P2  3 3 4 1 f ( )  P2 cos    P0 cos   3 3 4 1 11 u P cos    P0 cos   3 2 3r 3r x2 



(10)

f ( )  1  cos 2  1 P2  3x 2  1 2 2 1 x 2  P2  3 3 x  cos 

(8)

f ( )  4 cos 3  x  cos  f  4 x3

(11)

(9)

f ( )  cos 

f  x3

f  10 x 3  3 x 2  5 x  1 3 2 P1  P3 5 5 2 1 x 2  P2  3 3 x  P1 x3 

1 5 x 3  3x 2 3 2 x 3  P1  P3 5 5 3 2 f ( )  P1 cos    P3 cos   5 5 3 1 2 1 u (r ,  )  P cos    P3 cos   2 1 5r 5 r4 P3 

3 2 P1  P3 5 5 2 3  f ( )  4  P1 cos    P3 cos   5 5  12 8 f ( )  P1 cos    P3 cos   5 5 12 1 8 1 u (r ,  )  P cos    P3 cos   2 1 5 r 5 r4 f ( )  10 cos3   3 cos 2   5 cos   1 x3 

2 1 2 2 f  1  x 2  1  P2    P2 3 3 3 3 2 2 f ( )  P0 cos    P2 cos   3 3 21 2 1 u (r ,  )  P0 cos    P2 cos   3r 3 r3 3

f ( )  cos 3  3 cos 





2  2 1 3 f ( )  10 P1  P3   3 P2    5 P1  1 5  3 3 5 f ( )  6 P1  4 P3  2 P2  1  5 P1  1 f ( )  4 P3  2 P2  P1  2 P0 f ( )  4 P3 cos    2 P2 cos    P1 cos    2 P0 cos   u (r ,  ) 

4 2 1 2 P cos    3 P2 cos    2 P1 cos    P0 cos   4 3 r r r r

15. Deducir los valores de Ao , A1 , A2 , A3 del ejemplo 1 a partir de (13).

An 

2n  2m ! ss2n  1 M  1m  n m!n  m !n  2m  1! 2 m0 A0  ss

1 20



 12  0  2  0 !  ss 0!0  0 !1!

A1  n  1 A1 

ss 2  1 2



ss4  1 22

11 0 2

2! 165  0!1  0 !1  0  1! 2

A1  n  2

A2 

M 

M 

2 1 2

  4  0!  4  2!    0!2  0!2  1! 1!2  1!2  2  1! A2  0

A3  n  3

A3 

M 

3 1 1 2

ss6  1  6  0 ! 4!  385    3  8 2  0! 3! 4! 1! 2! 2!

16. En el ejemplo 1, trazar la suma de los tres términos dados explícitamente para r=1 y ver que tan buena aproximación de la función frontera dada es esta suma. 165 385 3 rP1 cos    r P3 cos   2 8 P1 cos    cos 

u (r ,  )  55 

1 5 cos3   3 cos   2 165 385 3 1 u (r ,  )  55  r cos    r cos 3   3 cos   2 8 2 P3 cos   

165 cos    1925 cos3   1155 cos  2 16 8 1815 1925 u (1,  )  55  cos    cos 3  8 16 u (1,  )  55 

17. Encontrar la temperatura de una esfera homogénea de radio 1 si su semiesfera frontera inferior se mantiene a 0 ºC y la superior a 20 ºC. 0    /2 20º C f     - /2     0

 2n  1   / 2 An   20 Pn cos  sen  d n   2 1  0  /2  2n  1  An   * 20  Pn cos  sen  d n  0  2 1  An  2n  1 * 10

 /2

0

Pn cos  sen  d

w  cos 

n 1 Dn x x2 1 2 n! n 1 Pn1 ( x )  n D n 1 x x 2  1 2 n! n n 1 1 Pn1 ( x )  n D n x 2  1  nx x 2  1 2 x 2 n! n n 1 1 Pn1 ( x )  n D n x 2  1  2nx 2 x 2  1 2 n!

Pn 1 ( x ) 

Pn  cos  sen  d   P1 w dw  / 2   0

1 w 0



An  102n  1  1

m

m0

M  M 

2

n

1 2n  2m ! w n  2 m dw  0 m!n  m !n  2m !

n 2

n = par









 









n 1 1 D n 1 x 2  1 2 n  1! n 1 1 Pn1 ( x)  n 1 D n x 2  1 2 2 n  1! n 1 1 1 Pn1 ( x)  n D n x 2  1 2 n! n  1 n n 1 1 Pn1 ( x)  n D n x 2  1  2nD n x 2 x 2  1 2 n!

Pn 1 ( x) 

n 1 2

   

n

n = impar



n 1





m

 1 2n  2m! ss2n   1 M An   n 2 m  0 m!n  m !n  2m  1!













u r ,     An r n Pn cos  



n 0

18. Demostrar que Pn1 ( x )  Pn1 ( x )  2n  1Pn ( x ) Pn1 ( x)  Pn1 ( x)  2n  1Pn ( x ) n 1 Pn ( x)  n D n x 2  1 2 n! n 1 1 Pn1 ( x)  n 1 D n 1 x 2  1 2 n  1! n 1 Pn1 ( x)  n D n n  1x 2  1 2 x 2 2n  1n!



n n 1 n 1 1 D n x 2  1  2n x 2 D n x 2  1  n  1D n 1 x 2  1 2 n! n n 1 n 1 1 2nn  1 n 1 2 2 Pn1 ( x)  n D n x 2  1  D x 1  n x2Dn x2 1 n 2 n! 2 n! 2 n! 2 n  1 n 1 nn  1 nx Pn1 ( x)  Pn  n 1 D n 1 x 2  1  n 1 Dn x2 1 2 nn  1! 2 nn  1!

Pn1 ( x) 

n







































Pn1 ( x)  Pn  n  1Pn 1 

1

n 1 x2 D n x 2  1 n 1 2 n  1!

n



n

19. Demostrar que

1

 P x dx  P 0  P 0/2n  1 . Usar 0

n

n 1

n 1

el problema (18) y el problema (12), sección 5.3. Usando esta igualdad, comprobar que A1 , A2 , A3 del ejemplo (1) y calcular A5 . 1  P x dx  P 0  P 0 2n  1 1

0

n

n 1

n 1

Del problema (18). Pn1  x   Pn1  x   2n  1Pn  x  1 Pn1 x   Pn1 x  Pn  x   2n  1 1  Pn  x    Pn 1  x   Pn 1  x  2n  1 x 1 1 1   P x dx  Pn 1  x   Pn 1  x  n 0 2n  1 0

1 2n  1

1  P x dx  P 1  P 1  P 0  P 0  2n  1 n

n 1

n 1

n 1

n 1

0

1  P x dx  P 0  P 0 2n  1



Pn1 ( x)  Pn1 ( x)  1  2n Pn

n 1

1

n 1 x D n x 2  1 n 1 2 n  1!

n 1 1 1 D n x 2  1 2 n! n  1 Pn1 ( x)  Pn1 ( x)  Pn  n  1Pn1  2nPn  n  1Pn 1



n 1

0

2

Pn1 ( x)  Pn1 ( x)  Pn  n  1Pn 1 

1 0

 P x dx  P x   P x 

1

0

n

n 1

n 1

20. Considérese un cable largo o un alambre de teléfono (figura) cuyo aislamiento no es perfecto, de tal modo que ocurren fugas a lo largo de todo el cable. La fuente S de la corriente i(x,t) del cable está en x=0, el extremo receptor T estáen x=l. La corriente fluye de S a T, a través de la carga, y regresa a tierra. Sean las constantes R, L, C, G que denotan la resistencia, la inductancia, la capacitancia, a tierra y la conductancia a tierra, respectivamente, del cable por unidad de longitud. Demostrar que:



u i  Ri  L x t

primera ecuación de la línea de transmisión

donde u(x,t) es el potencial del cable. Sugerencia. Aplicar las leyes de las tensiones de Kirchhoff a una porción pequeña de cable entre x y x  x (diferencia de los potenciales en x y x  x = caída resistiva + caída inductiva).

21. Demostrar que para el cable del problema (20), i u   G u  C x t (Segunda ecuación de la línea de transmisión) Sugerencia. Usar la ley de las corrientes de Kirchhoff (diferencial de la corrientes en x y x  x  perdida debida a las fugas a tierra + pérdidas capacitiva).

VR  Ri VL  L

di dt

1 idt c dVc 1  i dt c dV ic  c c dt

Vc 

corriente en x : i1  i ( x)

u ( x, t )

potencial cable

potencial en x : u1  u ( x) potencial en x  x : u 2  u ( x  x ) u 2  u1  VR  VL x u ( x  x )  u ( x ) i  Ri  L x t u i   Ri  L x t

corriente en x  x : i2  x  x  i2  i1  iR  ic x V 1 iR  r  u  Gu R r dV u ic  c c  c dt t i x  x   i( x)  Gu  c u x t i u   Gu  c x t

22. Demostrar que la eliminación de i o u de las ecuaciones de la línea de transmisión lleva a

u xx  LCutt  RC  GL ut  RGu ixx  LCitt  RC  GL it  RGi  u x  Ri  Lit 1   ix  Gu  Cut 2   u xx  Rix  Litx 3   ixx  Gu x  Cutx 4 

u xx  LCutt  RC  GL ut  RGu ( 4) con (5)  ixx  Gu x  Cutx

Litt   Rit  u xt C  ixx  G  Ri  Lit   Cutx 

ixt  itx

LCitt   Rit  Cu xt LCitt  ixx   RGi  GLit  RCit LCitt  ixx   RGi  RC  GL it ixx  LCitt  RC  GL it  RGi

de (1) : Lit  u x  Ri Litt  u xt  Rit

LCutt  u xx  GLut  RGu  RCut

23. (Ecuación de telégrafo) Para un cable submarino, G es despreciable y las frecuencias son bajas. Demostrar que esto lleva a las llamadas ecuaciones del cable submarino o ecuación del telégrafo.

5

de (2) : Cut  ix  Gu Cutt  ixt  Gut

6 u xx  RCu t ,

(3) con (6)

u xx  LCutt  RC  GL ut  RGu

 u xx  Rix  Litx

ixx  LCitt  RC  GL it  RGi

Cutt  ixt  Gu L LCutt  GLut  Lixt   u xx  Rix  Litx LCutt  u xx  GLut  Rix

i xx  RCit

ixt  itx

para cable submarino G0 frecuencias bajas  L  0

u xx  RC  0ut  0 u xx  RCut ixx  RC  0it  0 ixx  RCit

2U 0 2 l nx U 0 sen dx   0 l l l 2U 0 1 Bn  1  cos n  l n Bn 

l

 sen 0

4U 0 nl

24. Encontrar el potencial de un cable submarino con

Bn  0 n par

extremos (x=0 y x=l) conectados a tierra y distribución de

4U 0 nx  RCl 2  u ( x, t )   sen e l n 1 nl

voltaje inicial U 0  const

u xx  RCut 1 u xx RC La ecuación es semejante a la ecuación de calor por lo tanto

ut 



u ( x, t )   Bn sen n 1

nx n 2t e l

1 RC cn 1 n n 2 2 n   n 2  l RCl 2 RC l  nx u ( x,0)   Bn sen  U0 l n 1 c2 

1 c RC



U 0   Bn sen n 1

nx l



Bn 

nx dx l

n impar

 n 2 2 

25. (Ecuación de la línea de alta frecuencia) Demostrar que en el caso de corrientes alternas de frecuencias altas las ecuaciones del problema (22) pueden aproximarse por las llamadas ecuaciones de línea de alta frecuencia. u xx  LCu tt , i xx  LCitt Resolver la primera, suponiendo que el potencial inicial es U o senx / l  , u t x,0   0 y u  0 en los extremos x  0 y x  l para todo t .

frecuencias altas R0 u xx  LCutt  RC  GL ut  RGu (1) u xx  LCutt ixx  LCitt  RC  GL it  RGi ( 2) ixx  LCitt

1 u xx LC semejante a la ecuación de onda :



nx x  U 0 sen l l n 1 x x B1sen  U 0 sen l l B1  U 0

u ( x,0)   Bn sen

utt 

utt  c 2u xx c2 

1 LC

1 LC

c

x l x    u ( x, t )  U 0 cos  sen l  LC l  u ( x, t )  U 0 cos 1tsen

condiciones dadas : u (0, t )  0 u (l , t )  0 ut ( x,0)  0 u ( x,0)  U 0 sen

x l

la solución es : 

*





u ( x, t )   Bn cos nt  Bn sennt sen n 1

*

como ut ( x,0)  0  Bn  0

n  c

n  l

1 n LC l



u ( x, t )   Bn cos ntsen n 1

nx l

nx l

EJERCICIOS 11.13 1. Trazar un esquema semejante ala figura 281 de la página 126 del libro, si c =1y f es triangular dada por: l  2k  l xcuando0  x  2 f ( x)    2k (l  x)cuando l  x  l  l 2

Con k = (l/2)

2 2w 2  w  c t 2 x 2 w(0, t )  f (t ), lim w( w, t )  0

de lo cual obtenemos mediante integración  2W s 2  W 0 x 2 c 2

Como esta ecuación sólo contiene une derivada con respecto a x , consideramos como una ecuación diferencial ordinaria para W(x,s) de la cual tenemos W(x,s) A( s )e sx / c  B ( s )e  sx / c De F(s) = L(f(t)) w(0, s ) = L w(0, t ) =F(s) con lo nos queda que w( x, s ) = F8s)e-sx/c

tenemos w( x, o)  0

Y partiendo del teorema de traslación , obtenemos la transformada inversa w( x, s ) = f (t-(x/c))ux/c(t) con los valores de nuestra f tenemos :

w 0 t t  0

w(x ,t) = t(t-x) en x< t <(t+l/2) w(x , t) =(1-t)( t- x) en l/2 < t < l

x 

Tomamos la transformada de laplace con respecto a t L = laplace  2w   2w  w  c 2 L 2  L 2   s 2 L( w)  sw( x,0)  t t  0  t   x 

con lo cual obtenemos la grafica

T  Lb Lb * seg 2 m pies Como la densidad es m  x despejado m x x  pies



2. ¿De qué manera la rapidez de la onda del ejemplo 2 depende de la tensión de la masa de la cuerda? Como sabemos que la ecuación de la cuerda es 2

2

c2  c

u u  c 2 2 donde la constante c es la velocidad de 2 t x las ondas dadas ya que dependen de la tensión y la 2

masa. c 

T . 

Una manera de demostrar que c es la rapidez que depende de la tensión y la masa de la cuerda es verificar las unidades tanto de la masa y la tención, reducir para verificar las unidades que nos salen:

c c

T  lb Lb * seg 2 pies pies pies 2 seg 2 pies seg

Donde claramente podemos verificar que c es la velocidad de la onda que depende de la tensión y la masa, esta c ingresa en la resolución de la ecuación diferencial de la cuerda donde variamos tanto la tensión y la masa, la onda se desplazará en función de lo variado. 3. Comprobar la solución del ejemplo 2 ¿qué onda en movimiento se obtiene en el ejemplo 2 si se impone un movimiento senoidal (que no termina) del extremo izquierdo a partir de t=0? Solución del ejemplo 2:

2w  x   sen t   2 t  c w    x   x  1    sen t    cos t     x x   c   c  c  2w  1  1   x        sen t   2 x  c  c   c  2w 1  x   2 sen t   2 x c  c

 x w( x, t )  f  t  u x / c (t )  c  x w( x, t )  sen t  u x / c (t )  c   x sen t  c   w( x, t )     0 

2 2w 2  w  c t 2 x 2 w    x   x   sen t    cos t   t t   c   c

(1)

Sustituyendo en (1):

x x t  2 c c x x  2  t  c c

 1  x  x   sen t    c 2   2 sen t     c  c   c  x  x sen t    sen t    c  c w(0, t )  sent  f (t )

f (t  2 )  f (t )

(2) w( x, s )  Ae

5x c



 Be

Resolver por transformadas de Laplace:

5x c

w(0, s )  w(0, t )   f (t )  F ( s ) 1 sen(t ) 1  e  2s 1 1 F (s)  . 2  2s 1 e s 1 F (s) 

F (s) 

1  2s

1  e s

2



1



lim w( x, s )  lim  e  st w( x, t )dt x

x  0 

lim w( x, s )   e  st lim w( x, t )dt 0

x

x 

por lo tanto A=0 en (2)

w( x, s )  Be



u u  2x  2 x, u ( x,0)  1, u (0, t )  1 x t

u u  2x  2 x, u ( x,0)  1, u (0, t )  1 x t  u   u     2 x   2 x   x   t  U 2x  2 x( sU  u ( x,0))  x s U 2 x   2 x( sU  1) x s U  2 xx  1    s  ( sU  1)

sx c

1   s ln   ( sU  1)  x 2  C s 

w(o, s )  B  F ( s ) w( x, s )  F ( s )e w( x, s ) 

4.



sx c

1  2s

1  e s

2

e

1

sx  c

1   s  ( sU  1)

s

 Ce x

2

1 1 1 x2 s Ce U s x2

C  1 1 U (s)  e s   2 s s s Aplicamos transformada inversa y obtenemos : u ( x, t )  J o (2 kt )  1  t  k  x 2 k2 k4 k6 J o ( x)  1     ..  ...  2( ) 2 2 4 (2 ) 2 2 6 (3 ) 2

s

FI  e

 x dx

s

 e s ln x  e ln x  x s

 U  s   1   U   x s 2 xs  s  x  x    s xs (x U )  2 x s s

1

s

  ( x U )  s  x x 2

 1  x s 1  c 2  s  s 1  1  x s 1 c U 2  s s s  s  1x x  (1) x sU 

5. u  u   xt x t u ( x ,0 )  0 si x  0 x

u (0, t )  0

U  s  1   U  2 x  x  s

si t  0  u    u    x     x   ( xt )  x   t   u  x    su  u ( x,0)  x(t )  x  1  U  x  ( sU  0)  x 2  s  x  U x  sU  2 x x s

U ( x, s ) 

1  x c  s 2  s  s  1 x 

u (0, t )  u (0, t )  (0)  0 U (0, s )  0 en (1) 0  0  c  c  0  1  1 x  U ( x, s )  2    x 2  s  s 1  s s  1 

temperatura inicial es 0, w( x, t )  0 cuando x   para toda t  0 fija y w(0,t)=f(t). Proceder de la siguiente manera. 7. Establecer el modelo y demostrar que la transformada de Laplace lleva a: sW ( x, s )  c 2

 1  u ( x, t )   1 x  2   s s  1   1 1 1  2   u ( x, t )  x 1  s  s  1 s u ( x, t )  x e  t  t  1





6. Resolver el ejercicio 5 por otro método.

 2W x 2

W ( x , s )  F ( s )e 

sx / c

W  w F   f 

W = temperatura w 2w  c2 2 t x w ( x ,0 )  0

temperatura inicial nula

lim w( x, t )  0

temperatura extremo derecho nula

x 

w( 0 ,t)  f(t)

temperatura extremo izquierdo 2

u u   xt , u ( x,0)  0 si x  0, x t u (0, t )  0 si t  0 x

u u  xt x  x t Encontrar la temperatura w(x,t) de una barra semiinfinita con aislamiento lateral que se extiende desde x=0 a lo largo del eje x hasta infinito, suponiendo que la

 w  2  w    c  2   t   x 

 2w  s( w)  w( x,0)  c 2  2   x    2w  sw  0  c 2  2   x   2w    2w  2  2    e  st  2 dt  2 x  x  0  x   2w  2  2W  2   2 w( x, t )   x 2  x  x





0

e  st wdt

sW  c 2

 2W x 2

8. Aplicando el teorema de convolución en el problema 7, demostrar que

 2W  sW  0 x 2  2W  s    W  0 x 2  c 2 

c2

w( x, t ) 

 s  2   2   0 c  s  c

w( x, s )  Ae



s x c

w( x, t ) 

 Be

s x c

por la condicion

x

0

2c

x 2c 

t

f (t   )  3 / 2e  x

f (t   ) 3 / 2 e  x



0

2

/ 4 c 2

2

/ 4 c 2

d

d

De 7 : sx / c

W ( x, s )  F ( s ) e 

Aplicando transformada inversa obtenemos :

lim w( x, t )  0

 1 W ( x, s)   1 F ( s)e 



x 

lim w( x, s )  0

sx / c



w( x, t ) 

x 

por lo tanto B  0 (2) w( x, s )  Ae w(0, t )  f (t )

t

 

s  x c

w(0, t )   f (t ) w(0, s )  F ( s ) aplicando en (2) w(0, s )  Ae 0 F (s)  A  w( x, s)  F ( s )e

e

 sx / c



k

e

k2 4t

k 

x c

2  2 x x   x2 3 c 3   x 2  sx / c e t 2 e 4c t  c t 2 e 4t  2  2c  1  F ( s)  f (t ) Sustituyendo las transformadas inversa calculadas llevamos a la ecuación inicial y nos queda de la

s  x c

siguiente manera :

w(0, t )  f (t )  u0 (t )  u (t  0) 3  2

x

w( x, t )  f (t )

x2 2

(1) w( x, t ) 

t e 4c t

2c  Aplicando el teoram de la convolución que nos dice : t

w(x, t) * f(t)   f (t   ) f ( )d 0

x

f ( ) 



2c  Obtenemos : w( x, t ) 



3 2

t

x 2c 



0

4 c 2

x

f (t   )

2c 

t

 0

2c  x



0

0

f (t   ) 3 / 2 e  x

2

/ 4 c 2

2

e  z dz 2 





0

2

e  z dz

x x  t 1 / 2 2c t 2c x  1 dz    t 3 / 2 dt 2c  2  x dz   t 3 / 2 dt 4c límites : z



3 2

x2 2

e 4 c  d

9. Sea w(0,t)=f(t)=u(t) (sección 6.3). Denotar las w, W y F correspondientes por w 0 ,W 0, F 0 Demostrar que entonces en el problema 8

w 0 ( x, t ) 

2 

t



(2) erfc( x)  1  erf ( x) 

x2

e

erf ( x) 

x

 3 / 2  x 2 / 4 c 2

e

 x  d  1  erf    2c t 

 z x 0 t t

límites de t de acuerdo a u 0 (t )  f (t ) f (t )  u0 (t ) 1 f (t   )  u0 (t )   0 x2 z2  2 4c t

t0 t0

d

sustituyendo en (2) 2  x  erfc    2c t 

0



t

e

x2  2 4c 

 x  3 / 2    d  4c  2

x  x  t  4 c 2 3 / 2   x   d  erfc    e  2c t  2c   0 

w 0 ( x, t ) 

2c 

t

e



x2 4 c 2

0

  3 / 2 d

0

w0 d 

x

w0 ( x, t ) 

x

w0 ( x, t ) 

x



x2

3 2

2

 e 4c 

2c  Si en el problema 9 se dice que : t



x2

3 2

4 c 2

  e d 2c  0 Nosotros derivamos del problema 9 w0 ( x, t ) y obtenemos :

 x  w0 ( x, t )  erfc   2c t   x   1  erf    2c t 

3

x2

 w0 ( x, t ) x 2   2 e 4c   2c 

10. (fórmula de Duhamel) Demostrar en el problema 9

1 W0 ( x, s )  e s



f (t   )

1  s W0 ( x , s )  e c s Aplicado Laplace tenemos

x2

t  2 x  x  erfc e 4 c    3 / 2 d   0  2c t  2c  Aplicando en (1) con f (t   ) u 0

x

t

w( x , t ) 

 s

x c

Y por el teorema de convolución se obtiene la fórmula de Duhamel

Aplicando el teorema de la convolución tenemos : t 2 2   x w( x, t )   f (t   )   3 / 2 e  x / 4 c  d  0  2c   2 2 w (x, t) x y como  3 / 2 e  x / 4 c   0  2c  Se reduce la ecuación a; t

w( x, t )   f (t   ) 0

w0 ( x , t ) d 