Ejercicio De Emparrillado Plano 574v11
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Aplicando el Método de Rigidez, resolver la estructura de la Figura bajo las cargas que se indican. La rigidez a flexión EI torsión GIt de las barras son constantes. Datos: a = 3 m , b = 6m , EI = 40·107 kN·m2, GIt = 3·106 kN·m2, Py = 60 kN, Mx=60 kN·m.
Solución:
La resolución de la estructura comienza por la numeración de los nudos y de las barras. La numeración elegida, así como lo correspondientes ejes de referencia globales y locales de la estructura se muestran en la Figura
Se calculan, a continuación, las matrices de rigidez de las piezas en coordenadas locales. Si bien la rigidez a flexión y a to barras es constante, al variar la longitud de las barras se obtendrán matrices de rigidez elemental diferentes.
Barras paralelas al eje X EI
=
40.00
KN/m2
GIt
=
3.00
KN/m2
Py
=
60.00
L
=
3.00
angulo
=
0
KN m °
1.00
=
0.00
cos
=
1.00
sen
=
0.00
GJ/L
=
1.00
=
177.78
=
266.67
=
533.33
=
266.67
0.00
Matriz Transfomación
=
1 0 0
=
1 0 0
Matriz de rigidez en coordenadas Globales
1.00
K
=
0.00 0.00
Barras paralelas al eje Z EI
=
40.00
KN/m2
GIt
=
3.00
KN/m2
Py
=
60.00
L
=
6.00
angulo
=
90
cos
=
0.00
sen
=
1.00
GJ/L
=
0.50
=
22.22
=
66.67
=
266.67
=
133.33
KN m °
0.50
=
0.00 0.00
Matriz Transfomación
=
0 0 1 0
=
0 -1
Matriz de rigidez en coordenadas Globales
266.67
K
=
-66.67 0.00
La matriz de rigidez global de la estructura se obtiene proceso de ensamblaje. Si se tiene en cuenta la doble simetría de de la carga, se deduce que los movimientos de los nudos deben ser simétricos y por tanto, basta conocer los movimientos para resolver el problema. Se elige, el nudo 3 y se plantea la condición de equilibrio entre fuerzas externas en el nudo y e internos en los extremos de las barras que concurren a él, puede escribirse:
-60 60 0
=
266.67
-66.67
0.00
-66.67
377.78
0.00
0.00
0.00
1067.17
Además por doble simetría del problema, puede escribirse:
El sistema de ecuaciones que permite obtener el valor de los movimientos incógnita, es decir, los asociados al nudo 3
La solución del sistema anterior permite obtener:
-4.5317
d
=
=
6.7517 2.2514
Donde el desplazamiento se expresa en metros y los giros en radianes Cálculo de las reacciones
Recuperando el sistema de ecuaciones completo, se calculan las reacciones incógnitas en los nudos con movimientos prescritos (nudos 1, 2, 7 y 8). También en este caso, por simetría, basta con conocer las reacciones en uno sólo de los nudos prescritos f
=
Kfs . Df + PFs
Psf (fuerzas de fijación) : estan serán
Nótese que al existir sólo cargas en los nudos, el término que corresponde a la reacción de empotramiento es nulo. Repitiendo el proced reacciones restantes, se obtiene:
0.45317 =
-60 -120
donde la fuerza se expresa en kN y los momentos en kN·m. Las reacciones en los nudos prescritos restantes son iguales en valor absoluto y sus signos se deducen por la condición de doble simetría.
Cálculos de los esfuerzos en las barras Los esfuerzos en los extremos de las barras se calculan a partir de los movimientos mediante las ecuaciones (2.24) del Capítulo 2. Así, por ejemplo, los esfuerzos en el extremo a de la barra 13 ( 13 0º) α = , son:
Teniendo en cuenta que los ejes locales de la barra coinciden con el sistema de referencia global y que los movimientos del nudo 1 son nulos, se obtiene:
Teniendo en cuenta que los ejes locales de la barra coinciden con el sistema de referencia global y que los movimientos del nudo 1 son nulos, se obtiene:
resolviendo 0.45317 -60 -120
donde los momentos se expresan en kN·m y la fuerza en kN. Nótese que los esfuerzos en el extremo 1 de la barra 13 coinciden con el valor de las reacciones en el nudo 1. Repitiendo el procedimiento se obtienen los restantes valores para los esfuerzos en los extremos de las barras: 0.453
0
-60
0
-120
60.453
-0.453
0
60
0
-60
-60.453
dican. La rigidez a flexión EI y la rigidez a
meración elegida, así como los gura
ien la rigidez a flexión y a torsión de las mental diferentes.
0.00
0.00
177.78
266.67
=
-1.00
0.00
0.00
-177.78
266.67
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0 1 0
0 0 1
0 1 0
0 0 1
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-1.00
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177.78
266.67
0.00
-177.78
266.67
533.33
0.00
-266.67
0.00
0.00
-0.50
0.00
22.22
66.67
0.00
-22.22
66.67
266.67
0.00
-66.67
0 1 0
-1 0 0
0
1
das Globales
K
=
=
1 0
0 0
-66.67
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22.22
0.00
0.00
0.50
das Globales
=
K
133.33
66.67
-66.67
-22.22
0.00
0.00
cuenta la doble simetría de la estructura y sta conocer los movimientos de uno de ellos erzas externas en el nudo y esfuerzos
0.00 0.00 1067.17
los asociados al nudo 3
133.33 -66.67 0.00
66.67 -22.22 0.00
0.00 0.00 -0.50
-1.00 0.00 0.00
movimientos prescritos (nudos os prescritos
erzas de fijación) : estan serán originadas por las cargas externas que son aplicadas a cada elemento de la estructura.
nto es nulo. Repitiendo el procedimiento para las
0 0 60 0 0 -60
0.00 266.67
=
-1.00
0.00
0.00
0.00
-177.78
-266.67
266.67
0.00
266.67
266.67
0.00
-1.00
0.00
0.00
0.00
-177.78
-266.67
266.67
0.00
266.67
266.67
0.00
-0.50
0.00
0.00
0.00
-22.22
-66.67
0.00
66.67
133.33
266.67
66.67 133.33
K
=
=
0.00 0.00
=
K
-0.50
0.00 -177.78 -266.67
0.00 266.67 266.67
φx v φz
133.33
-66.67
0.00
66.67
-22.22
0.00
0.00
0.00
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de la estructura.
=
1.00
0.00
0.00
0.00
177.78
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0.00
-266.67
533.33
1.00
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0.00
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177.78
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0.00
-266.67
533.33
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22.22
-66.67
0.00
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266.67
K
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266.67
66.67
0.00
66.67
22.22
0.00
0.00
0.00
0.50
Solución:
La resolución de la estructura comienza por la numeración de los nudos y de las barras. La numeración elegida, así como lo correspondientes ejes de referencia globales y locales de la estructura se muestran en la Figura
Se calculan, a continuación, las matrices de rigidez de las piezas en coordenadas locales. Si bien la rigidez a flexión y a to barras es constante, al variar la longitud de las barras se obtendrán matrices de rigidez elemental diferentes.
Barras paralelas al eje X EI
=
40.00
KN/m2
GIt
=
3.00
KN/m2
Py
=
60.00
L
=
3.00
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KN m °
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sen
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Matriz Transfomación
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1 0 0
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Matriz de rigidez en coordenadas Globales
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0.00 0.00
Barras paralelas al eje Z EI
=
40.00
KN/m2
GIt
=
3.00
KN/m2
Py
=
60.00
L
=
6.00
angulo
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90
cos
=
0.00
sen
=
1.00
GJ/L
=
0.50
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22.22
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66.67
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266.67
=
133.33
KN m °
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0.00 0.00
Matriz Transfomación
=
0 0 1 0
=
0 -1
Matriz de rigidez en coordenadas Globales
266.67
K
=
-66.67 0.00
La matriz de rigidez global de la estructura se obtiene proceso de ensamblaje. Si se tiene en cuenta la doble simetría de de la carga, se deduce que los movimientos de los nudos deben ser simétricos y por tanto, basta conocer los movimientos para resolver el problema. Se elige, el nudo 3 y se plantea la condición de equilibrio entre fuerzas externas en el nudo y e internos en los extremos de las barras que concurren a él, puede escribirse:
-60 60 0
=
266.67
-66.67
0.00
-66.67
377.78
0.00
0.00
0.00
1067.17
Además por doble simetría del problema, puede escribirse:
El sistema de ecuaciones que permite obtener el valor de los movimientos incógnita, es decir, los asociados al nudo 3
La solución del sistema anterior permite obtener:
-4.5317
d
=
=
6.7517 2.2514
Donde el desplazamiento se expresa en metros y los giros en radianes Cálculo de las reacciones
Recuperando el sistema de ecuaciones completo, se calculan las reacciones incógnitas en los nudos con movimientos prescritos (nudos 1, 2, 7 y 8). También en este caso, por simetría, basta con conocer las reacciones en uno sólo de los nudos prescritos f
=
Kfs . Df + PFs
Psf (fuerzas de fijación) : estan serán
Nótese que al existir sólo cargas en los nudos, el término que corresponde a la reacción de empotramiento es nulo. Repitiendo el proced reacciones restantes, se obtiene:
0.45317 =
-60 -120
donde la fuerza se expresa en kN y los momentos en kN·m. Las reacciones en los nudos prescritos restantes son iguales en valor absoluto y sus signos se deducen por la condición de doble simetría.
Cálculos de los esfuerzos en las barras Los esfuerzos en los extremos de las barras se calculan a partir de los movimientos mediante las ecuaciones (2.24) del Capítulo 2. Así, por ejemplo, los esfuerzos en el extremo a de la barra 13 ( 13 0º) α = , son:
Teniendo en cuenta que los ejes locales de la barra coinciden con el sistema de referencia global y que los movimientos del nudo 1 son nulos, se obtiene:
Teniendo en cuenta que los ejes locales de la barra coinciden con el sistema de referencia global y que los movimientos del nudo 1 son nulos, se obtiene:
resolviendo 0.45317 -60 -120
donde los momentos se expresan en kN·m y la fuerza en kN. Nótese que los esfuerzos en el extremo 1 de la barra 13 coinciden con el valor de las reacciones en el nudo 1. Repitiendo el procedimiento se obtienen los restantes valores para los esfuerzos en los extremos de las barras: 0.453
0
-60
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60.453
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dican. La rigidez a flexión EI y la rigidez a
meración elegida, así como los gura
ien la rigidez a flexión y a torsión de las mental diferentes.
0.00
0.00
177.78
266.67
=
-1.00
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22.22
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cuenta la doble simetría de la estructura y sta conocer los movimientos de uno de ellos erzas externas en el nudo y esfuerzos
0.00 0.00 1067.17
los asociados al nudo 3
133.33 -66.67 0.00
66.67 -22.22 0.00
0.00 0.00 -0.50
-1.00 0.00 0.00
movimientos prescritos (nudos os prescritos
erzas de fijación) : estan serán originadas por las cargas externas que son aplicadas a cada elemento de la estructura.
nto es nulo. Repitiendo el procedimiento para las
0 0 60 0 0 -60
0.00 266.67
=
-1.00
0.00
0.00
0.00
-177.78
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266.67
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266.67
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66.67
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266.67
66.67 133.33
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=
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0.00 -177.78 -266.67
0.00 266.67 266.67
φx v φz
133.33
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de la estructura.
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1.00
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0.00
0.00
177.78
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K
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533.33
1.00
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177.78
-266.67
0.00
-266.67
533.33
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0.00
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266.67
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