Ejemplos De Eliminacion Gaussiana 5u1ah

Ejemplo 1. Una compañía minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la mina I el 1% de níquel y 2% de cobre, para la mina II el 2% de níquel y 5% de cobre. ¿Qué cantidad de mineral se deberá extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de níquel y 9 toneladas de cobre? Solución: ¿Cuál es el problema? ¿Qué se busca? Queremos saber el número de toneladas de mineral que hay que extraer de cada mina, asignemos literales a esos números. Sean x el número de toneladas que se extrae de la mina I. y el número de toneladas que se extrae de la mina II. Establezcamos ahora relaciones algebraicas entre las literales. ¿Cuánto se obtiene de níquel de la mina I? 0.01x . ¿Y de la mina II? 0.02 y luego: 0.01x  0.02 y  4 Análogamente para el cobre tenemos: 0.02 x  0.05 y  9 Así, para saber cuantas toneladas hay que extraer de cada mina debemos resolver el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: 0.01x  0.02 y  4 0.02 x  0.05 y  9

Ejemplo 2. Luis y Víctor son dos amigos que invierten en acciones bursátiles, entre ellos se entabla el siguiente dialogo: Víctor- He comprado acciones de alfa, peñoles y vitro. Luis- ¿Qué cantidad tienes de cada una de ellas?

Víctor- ¡adivina! Luis- Dime el valor total de tus acciones en tres días diferentes y te diré cuantas tienes de cada una. Victor- El martes 21 de noviembre del 2000 a precio de cierre las acciones valían 138900, el 28 de noviembre valían 131220 y el 5 de diciembre 121280 pesos. Luis conoce la siguiente información: El 21 de noviembre el precio de alfa, peñoles y vitro era respectivamente 16.98, 9.0, 9.0; el 28 de noviembre 15.90, 8.72, 8.52 y el 5 de diciembre 14.08, 8.20, 8.76. ¿Qué cantidad de acciones tiene Víctor? Solución: ¿Cuál es el problema? El número de acciones que tiene Víctor de cada tipo. Asignemos literales, sean: A la cantidad de acciones que tiene de alfa. P la cantidad de acciones que tiene de peñoles. V la cantidad de acciones que tiene de vitro. Establezcamos relaciones algebraicas entre las literales. El martes 21 de noviembre las acciones de alfa que adquirió Víctor valían 16.98A, las de peñoles valían 9P, las de vitro valían 9V y todas juntas valían $138900 por lo tanto: 16.98 A  9P  9V  138900 Análogamente para el 28 de noviembre se tiene: 15.90 A  8.72P  8.52V  131220 Y el 5 de diciembre: 14.08 A  8.20P  8.76V  121280 Luis sabrá el número de acciones que tiene Víctor sí resuelve el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 16.98 A  9P  9V  138900 15.90 A  8.72P  8.52V  131220 14.08 A  8.20P  8.76V  121280

Ejemplo 3. En una fabrica de ropa se producen tres estilos de camisas que llamaremos 1, 2, 3. Cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo 1 se necesitan 30 min para cortarlas, 40 min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo 2, 50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. Para el tipo 3, 65 min para cortar, 40 min para coser y 15 min para planchar y empaquetar. ¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar? Solución. Queremos saber cuantos lotes de cada tipo de camisa se pueden producir, asignemos literales. Sea x el número de lotes de camisas del tipo 1 que se pueden producir. Sea y el número de lotes de camisas del tipo 2 que se pueden producir. Sea z el número de lotes de camisas del tipo 3 que se pueden producir. Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables. El número de minutos que se emplean en cortar una camisa del tipo 1 es 30x, del tipo 2 es 50y, y del tipo 3 es 65z. El número total de minutos que se emplea en cortar todas las camisas es: 30x  50 y  65z Y tiene que ser igual a 480 minutos que son las 8 horas que se trabajan en cortar ∴ 30 x  50 y  65z  480 Análogamente en coser se tiene: 40x  50 y  40z  480 En planchar y empaquetar tenemos: 50x  50 y  15z  480 Luego sí queremos resolver el problema hay que solucionar el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. 30 x  50 y  65z  480 40 x  50 y  40 z  480 50 x  50 y  15z  480

Ejemplo 4. Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg del A, 30 kg del B, y 50 kg del C. Una unidad del tipo III requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B y 3200 del C. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material químico disponible? Solución. Queremos saber cuantas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producir, asignemos literales. Sea x el número de unidades del fertilizante del tipo I. Sea y el número de unidades del fertilizante del tipo II. Sea z el número de unidades del fertilizante del tipo III. Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables. La cantidad de kilogramos del compuesto A que contiene el fertilizante del tipo I es 10x, del tipo II es 20y, y del tipo III es 50z. El número total de kilogramos del compuesto A es: 10 x  20 y  50 z Y tiene que ser igual a 1600 kg que son los kilogramos disponibles del compuesto A. ∴ 10x  20 y  50z  1600 Análogamente para el compuesto B se tiene 30x  30 y  1200 Para el compuesto C se tiene 60x  50 y  50z  3200 Así, para saber cuantas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producir , hay que resolver el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. 10 x  20 y  50z  1600 30x  30 y  1200 60 x  50 y  50 z  3200

5 Solución La matriz ampliada del sistema es

Realizamos operaciones elementales fila para ontener la matriz en forma escalonada reducida Multiplicamos la primera fila por 1/5 y la segunda por 1/3

Sumamos a la segunda fila la primera

Multiplicamos la segunda fila por 5/7

Sumamos a la primera fila la segunda fila multiplicada por -2/5

Calculamos los rangos

Por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado. La matriz obtenida representa el sistema

que son las soluciones del sistema inicial.

Ejemplo 6 Lo que buscamos son 3 números, que satisfagan a las tres ecuaciones. El método de solución será simplificar las ecuaciones, de tal modo que las soluciones se puedan identificar con facilidad. Se comienza dividiendo la primera ecuación entre 2, obteniendo: x1+2x2+3x3= 9 4x1+5x2+6x3= 24 3x1+x2+2x3= 4 Se simplificará el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera ecuación y sumando esta a la segunda. Entonces: -4x1-8x2-12x3=-36 4x1+5x2+6x3=24 sumándolas resulta -3x2-6x3=-12 La nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos. Ahora tenemos: x1+2x2+3x3= 9 0x1-3x2-6x3= -12 3x1+x2-2x3= 4 Luego, la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera, obteniendo: x1+2x2+3x3= 9

0x1-3x2-6x3= -12 0x1-5x2-11x3=-23 Acto seguido, la segunda ecuación se divide entre -3. Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la tercera: x1+2x2+3x3= 9 0x1+x2+2x3= 4 0x1+0x2+x3= 3 En este momento ya tenemos el valor de x3, ahora simplemente se procede a hacer la sustitución hacia atrás, y automáticamente se van obteniendo los valores de las otras incógnitas. Se obtendrá: x3= 3 x2= 4-2(x3) = -2 x1= 9-3(x3)-2(x2) = 4 Se ha visto que al multiplicar o dividir los lados de una ecuación por un número diferente de cero se obtiene una ecuación nueva y válida. Ejemplo 7 1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

usando el método de eliminación Gaussiana (simple). Solución .

Escalonamos la matriz aumentada del sistema:

Y dividiendo el segundo renglón entre –3 , tenemos la matriz equivalente:

Por lo tanto, el sistema equivale a:

De la última ecuación tenemos arriba para obtener para obtener

x3  10

;

sustituímos este valor en la ecuación de

x2  18 ; sustituímos estos valores en la ecuación de arriba

x1  7 .

Por lo tanto, la solución del sistema es:

Ejemplo 8

Resolver:

usando eliminación Gaussiana (simple). Solución. Escalonando la matriz aumentada del sistema:

Por lo tanto, el sistema equivale a:

De la ecuación ( 3 )

obtenemos

sustituímos arriba para obtener

x3  2

;

sustituímos arriba para obtener

x2  4 ;

x1  4 .

Por lo tanto la solución del sistema es:

El método de eliminación Gaussiana (simple) puede presentar un problema cuando uno de los elementos que se usan para hacer ceros, es cero. Por ejemplo, supóngase que en algún paso del proceso de hacer ceros tenemos la siguiente matriz:

Es claro que el elemento

a22  0 no puede usarse para hacer ceros!

Este problema se puede resolver fácilmente intercambiando los renglones 2 y 3 . De hecho, el resultado que obtenemos es la matriz escalonada :

Sin embargo, el problema puede presentarse también si el elemento aquel es muy cercano a cero.

Ejemplo 9

Resolver el siguiente sistema, usando eliminación Gaussiana (simple)

Solución.

Usando eliminación Gaussiana (simple) obtenemos:

Que nos da el sistema equivalente:

De donde,

x2 

2 3 ; sustituímos arriba y obtenemos:

El resultado cambia drásticamente de acuerdo al número de cifras significativas que se usen. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: # Cifras

(*) Error relativo

Significativas

porcentual

3

0.667

-33

10,000 %

4

0.0067

-3

1,000 %

5

0.00067

0

100 %

6

0.000067

.3

10 %

7

0.6666667

0.33

1%

x1 

(*) Para calcular este error se tomó el valor verdadero de

1 3.

Ahora resolvemos el mismo sistema pero intercambiando los renglones 1 y 2

Lo cual nos da el sistema equivalente:

De donde obtenemos

x2 

2 3 ; sustituyendo arriba nos da:

Nuevamente tomamos distintas cifras significativas y resumimos los resultados en la siguiente tabla: # Cifras Significativas 3 4 5 6

0.667 0.6667 0.66667 0.666667

0.333 0.3333 0.33333 0.333333

(*) Error Relativo Porcentual 0.1 % 0.01 % 0.001 % 0.0001 %

7

0.6666667

0.3333333

0.00001 %

En este último caso, vemos que el error relativo porcentual no varía drásticamente como en la solución anterior.

Ejemplo 10

Usar eliminación Gaussiana con pivoteo para resolver el siguiente sistema:

Solución. Escribimos la matriz aumentada del sistema:

Para escoger el primer elemento pivote en la columna 1, tomamos el elemento mayor con valor absoluto entre -1 , -2 y -0.2 , el cual obviamente es el -2 ; por lo tanto intercambiamos el renglón 1 y 2 (éste es el primer pivoteo realizado):

Y procedemos a hacer ceros debajo del pivote.

Para ello, multiplicamos el renglón 1

1 por 2 y se lo sumamos al renglón 2. También, multiplicamos el renglón 1 por  0 .2 2 y lo sumamos al renglón 3. Esto nos da la matriz:

Olvidándonos del renglón 1 y de la columna 1, procedemos a escoger el pivote de la columna 2, pero unicamente entre 0.5 y 1.25 , el cual obviamente resulta ser 1.25. Por lo tanto intercambiamos los renglones 2 y 3 (éste es el segundo pivoteo realizado):

Y procedemos a hacer ceros debajo del elemento pivote.

Para ello multiplicamos el

 .05 renglón 2 por 1.25 y lo sumamos al renglón 3 para obtener:

La cual es una matriz escalonada.

El sistema equivalente es:

Y con la sustitución hacia arriba, obtenemos la solución del sistema: