02 Pasos Y Ejemplo De Eliminacion Gaussiana Simple 6t1k2i

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Pasos y ejemplo de método de eliminación gaussiana. Encontrar la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales: 4x1 + x2 - x3 =-2 5x1 + x2 + 2x3 = 4 6x1 + x2 + x3 = 6 Se genera la matriz ampliada con los coeficientes 4.0 5.0 6.0

1.0 1.0 1.0

-1.0 2.0 1.0

-2.0 4.0 6.0

R1 R2 R3

Primero haremos la eliminación hacia delante para generar una matriz triangular superior. Se define el elemento pivote en este caso es: 4, el primer elemento en la diagonal principal, esto es, el elemento que está en el renglón uno y la columna uno. 4.0 5.0 6.0

1.0 1.0 1.0

-1.0 2.0 1.0

-2.0 4.0 6.0

R1 R2 R3

Se divide R1 (todo el renglón 1) entre el elemento pivote [4

1

-1



-2]/4

[1

0.25

-0.25 -0.5]

El resultado será el nuevo R1 1.0 5.0 6.0

0.25 1.0 1.0

-0.25 2.0 1.0

-0.5 4.0 6.0

R1 R2 R3

Se deben de convertir todos elementos que están debajo del elemento pivote a cero. Para cada renglón por debajo del pivote: Multiplicar el renglón que contiene el elemento pivote por el elemento que desea convertir en cero, después réstele éste resultado al renglón que contiene el elemento que desea convertir en cero. Para convertir el 5.0 en 0.0: [1

0.25

-0.25 -0.5](5)



[5.0

[5

1

2

1.25

-1.25 -2.5]  [0.0 -0.25 3.25



[6.0

4] – [5.0

1.25

-1.25 -2.5] 6.5]

Para convertir el 6.0 en 0.0: [1.0

0.25

-0.25 -0.5](6)

[6

1

1

6] – [6.0

1.5

1.5 -1.5

-1.5

-3.0]

-3.0]  [0.0 -0.5

2.5

9.0]

2 La nueva matriz queda de la siguiente forma. 1.0 0.0 0.0

0.25 -0.25 -0.5

-0.25 3.25 2.5

-0.5 6.5 9.0

Identificamos el siguiente elemento pivote, este será el siguiente elemento de la diagonal principal, en este caso el -0.25 que esta en el segundo renglón y segunda fila. 1.0 0.0 0.0

0.25 -0.25 -0.5

-0.25 3.25 2.5

-0.5 6.5 9.0

Se divide R2 (todo el renglón 2) entre el elemento pivote [0.0

-0.25 3.25

6.5] /-0.25 [0

1

-13

-26]

El resultado será el nuevo R2 1.0 0.0 0.0

0.25 1.0 -0.5

-0.25 -13.0 2.5

-0.5 -26.0 9.0

Se deben de convertir todos elementos que están debajo del elemento pivote a cero. Para cada renglón por debajo del pivote hacer: Multiplicar el renglón que contiene el elemento pivote por el elemento que desea convertir en cero, después réstele éste resultado al renglón que contiene el elemento que desea convertir en cero. Para convertir el -0.5 en 0.0 [0

1

-13

-26](-0.5) [0.0

-0.5

6.5

[0.0

-0.5

2.5

9.0] – [0.0

6.5

13]  [0.0

-0.5

13] -0.0

-4.0

-4.0]

La nueva matriz queda de la siguiente forma. 1.0 0.0 0.0

0.25 1.0 0.0

-0.25 -13.0 -4.0

-0.5 -26.0 -4.0

Identificamos el último elemento pivote, en este caso es el elemento que esta en el tercer renglón y tercera columna, esto es, el -4.0. 1.0 0.0 0.0

0.25 1.0 0.0

-0.25 -13.0 -4.0

-0.5 -26.0 -4.0

3 Se divide R3 (todo el renglón 3) entre el elemento pivote [0.0

0.0

-4.0

-4.0] /-4.0 [0.0

0.0

1.0

1.0]

El resultado será el nuevo R3 1.0 0.0 0.0

0.25 1.0 0.0

-0.25 -13.0 1.0

-0.5 -26.0 1.0

Ya tenemos una matriz triángula superior y el siguiente sistema de ecuaciones lineales equivalente: x1 + 0.25x2 - 0.25x3 = -0.5 x2 - 13.00x3 = -26:0 x3 = 1.0 Ahora debemos hacer la sustitución hacia atrás, iniciando con x 3, continuando con x2 y terminando con x1 x3  1.0 x 2  26.0  13 x3  26.0  13(1.0)  13.0 x1  0.5  0.25 x 2  0.25 x3  0.5  0.25(13.0)  0.25(1.0)  3.0 La solución al sistema de ecuaciones lineales es: x1 = 3.0 x2 = -13.0 x3 = 1.0 Encuentre las soluciones a los siguientes sistemas de ecuaciones: 1) x1 - 2.0x2 + 0.5x3 = -5.0 -2.0x1 + 5.0x2 - 1.5x3 = 0.0 -0.2x1 + 1.75x2 - 1.0x3 = 10.0

2) 3.0x1 - 0.1x2 - 0.2x3 = 7.85 0.1x1 + 7.0x2 - 0.3x3 = -19.3 0.3x1 - 0.2x2 + 10.0x3 = 71.4

3) 4x1 - 2.0x2 - 1.0x3 = 39.0 x1 - 6.0x2 + 2.0x3 = - 28.0 x1 - 3.0x2 + 12.0x3 = - 86.0

4) -2.0x1 + 3.0x2 + 4.0x3 = 4.0 3.0x1 - 2.0x2 - 6.0x3 = 7.0 5.0x1 + 7.0x2 + 8.0x3 = 9.0