Edo Bernoulli t3g5d

ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI

1.

Definici´ on 1 Se denomina ecuaci´ on diferencial de Bernoulli a toda la ecuaci´ on de la forma: dy + p(x) = q(x)y n ; dx

(1)

Donde: ∀n ∈ R;

´ DIFERENCIAL INTEGRAL DE UNA ECUACION DE BERNOULLI

1.1. 1.1.1.

´ ´ METODOS DE SOLUCION

Si n= 0 entonces es una ecuaci´on diferencial a variable separable. Si n= 1 entonces es una ecuaci´on diferencial lineal. Si n 6= 1 entonces realizamos el siguiente proceso: Llevar a la ecuaci´ on diferencial de Bernoulli (1) a una ecuaci´on diferencial lineal. Para lo cual realizamos el siguiente procedimiento. Dividimos a la EDO de Bernoulli para y n . p(x) 1 dy + n y = q(x); n y dx y

(2)

Aplicando la ley de los exponentes se tiene la siguiente ecuaci´on. 1 dy + p(x)y (1−n) = q(x); y n dx

(3)

Aplicamos la siguiente sustituci´on z = y 1−n , y derivamos esta expresi´on respecto de x y se tiene: 1 dz 1 dy = n ; (1 − n) dx y dx

(4)

Reemplazando z y (4) en (3) se tiene: 1 dz + p(x)z = q(x); (1 − n) dx

(5)

Resolviendo la ecuaci´ on (5) se tiene una EDO lineal dz + (1 − n)p(x)z = q(x); (6) dx Finalmente para resolver esta EDO lineal aplicamos el siguiente m´etodo de resoluci´ on. R u(x) ∗ z = u(x) ∗ q(x)dx Donde: u(x) es el Factor Integrante. 1

1.2.

EJERCICIOS

Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli. Ejercicio 1. dy sin(2x) 2 − cos(x)y = y dx 2

(1)

Desarrollo: Verificamos si es una EDO de Bernoulli. 1 Dividimos a (1) para 2 y cos(x) sin(2x) 1 dy − = 2 y dx y 2 Aplicamos la sustituci´ on z =

(2)

1 y derivamos esta expresi´on respecto a x. y 1 dy dz = 2 dx y dx

(3)

dz sin(2x) − cos(x)z = dx 2

(4)

sin(2x) dz + cos(x)z = − dx 2

(5)

− Remplazamos z y (3) en (2).

− Multiplicamos a (4) por -1.

Encontramos el factor integrante de la ecuaci´on. u(x) = e

R

cos(x)dx

u(x) = esin(x) Aplicamos el m´etodo para hallar una EDO lineal u(x) ∗ z = esin(x) z =

Z

esin(x)

(6) R

u(x) ∗ q(x)dx.

− sin(2x) 2

Sacamos los valores constantes de la integral y aplicamos la identidad del sin(2x) de lo cual se tiene lo siguiente. Z esin(x) z = − esin(x) sin(x) cos(x)dx Resolvemos la integral. 2

(7)

Utilizamos un cambio de variable y lo derivamos respecto de x. u = sin(x)

(8)

du = cos(x)

(9)

Sustituimos (9) y (8) en (7). u

Z

e z=−

(eu )udu

(10)

Resolvemos la integral de (10) y se tiene. Z (eu )udu = ueu − eu Considerando que u = sin(x) entonces: ueu − eu = sin(x)esin(x) − esin(x)

(11)

Regresando a (7) se tiene: esin(x) z = −esin(x) (sin(x) − 1) + c Como z =

1 se tiene: y esin(x) = −esin(x) (sin(x) − 1) + c y

La soluci´ on de la ecuaci´ on es: y=

esin(x) −esin(x) (sin(x)

− 1) + c

Ejercicio 2.

y(6y 2 − x − 1)dx + 2xdy = 0

(1)

Desarrollo: Verificamos si es una EDO de Bernoulli. Dividimos a (1) para

1 dx 6y 3 − xy − y + 2x

dy =0 dx

(2)

Dividimos a (2) para 2x dy (x + 1)y −3y 3 − = dx 2x x 3

(3)

Dividimos a (3) para y 3 y efectivamente se trata de una EDO de Bernoulli. 1 dy −3 x+1 = − y 3 dx 2xy 2 x Aplicamos la sustituci´ on z =

(4)

1 y derivamos esa expresi´on respecto de x. y2 1 dz 1 dy = 3 2 dx y dx

(5)

1 dz (x + 1)z 3 − =− 2 dx 2x x

(6)

− Reemplazamos z y (5) en (4). − Multiplicamos a (6) por −2.

(x + 1)z 6 dz + = dx x x

(7)

Encontramos el factor integrante de la ecuaci´on. u(x) = e

R

x+1 x dx

u(x) = ex + x Aplicamos el m´etodo para hallar una EDO lineal u(x) ∗ z = Z

(ex + x)z =

(ex + x)

6dx x

R

u(x) ∗ q(x)dx. (8)

Resolviendo la integral se tiene: (6 + ce−x ) x

z= Como z =

1 , se tiene: y2 (6 + ce−x ) 1 = y2 x

Despejamos y entonces la soluci´on es: r y=

2

x (6 + ce−x )

Ejercicio 3. y dy = dx x + y 3 x2 Desarrollo: Verificamos si es una EDO de Bernoulli. 4

(1)

Sacamos factor com´ un en el denominador. dy y = dx x(1 + y 3 x2 )

(2)

Se puede observar que (1) no es una EDO de Bernoulli en la variable y, para ello invertimos (2) x(1 + y 3 x2 ) dx = dy y

(3)

dx x = + y 2 x2 dy y

(4)

Donde (3) es igual a:

Analizando (4) se tiene que est´a es una EDO de Bernoulli en la variable x dx x − = y 2 x2 dy y

(5)

Dividimos a (5) para x2 y se tiene: 1 dx 1 − = y2 2 x dy xy Aplicamos la sustituci´ on z =

(6)

1 y derivamos esa expresi´on respecto de y. x dz 1 dx = 2 dy x dy

(7)

dz z − = y2 dy y

(8)

dz z + = −y 2 dy y

(9)

− Reemplazamos z y (7) en (6).

− Multiplicamos a (8) por −1.

Encontramos el factor integrante de la ecuaci´on. u(y) = e

R

dy y

u(y) = y Aplicamos el m´etodo para hallar una EDO lineal u(y) ∗ z = 5

R

u(y) ∗ q(y)dy.

Z yz =

y ∗ (−y 2 )dy

Resolviendo la integral se tiene: yz = − Como z =

y4 +c 4

1 , se tiene: x y y4 =− +c x 4

Despejamos x entonces la soluci´on es: x=

4y c − y4

Ejercicio 4. cos(x)

dy − sin(x) + y 2 = 0 dx

(1)

Desarrollo: Verificamos si es una EDO de Bernoulli. Dividimos (1) para y 2 cos(x). tan(x) 1 dy − = sec(x) 2 y dx y

(2)

Se puede observar que (2) es una EDO de Bernoulli,entonces aplicamos la 1 sustituci´ on z = , y esta expresi´on la derivamos respecto de x. y dz 1 dy = 2 dy y dx

(3)

dz − tan(x)z = − sec(x) dy

(4)

dz + tan(x)z = sec(x) dy

(5)

− Reemplazamos z y (3) en (2). − Multiplicamos a (4) por −1.

Encontramos el factor integrante de la ecuaci´on. u(x) = e

R

tan(x)dx

u(x) = sec(x) 6

Aplicamos el m´etodo para hallar una EDO lineal u(x) ∗ z = Z sec(x)z =

R

u(x) ∗ q(x)dx.

sec2 (x)dy

Resolviendo la integral se tiene: sec(x)z = tan(x) + c Como z =

1 , se tiene: y sec(x) = tan(x) + c y

Despejamos y entonces la soluci´on es:

y=

1 sin(x) + c cos(x)

Ejercicio 5. 3

dy 2y x + = 2 dx x + 1 y

(1)

Desarrollo: Verificamos si es una EDO de Bernoulli. Multiplicamos en (1) y 2 .

3y 2

2y 3 dy + =x dx x + 1

(2)

Se puede observar que (2) es una EDO de Bernoulli,entonces aplicamos la sustituci´ on z = y 3 , y esta expresi´on la derivamos respecto de x. dz dy = 3y 2 dy dx

(3)

dz 2z + =x dx x + 1

(4)

Reemplazamos z y (3) en (2).

Encontramos el factor integrante de la ecuaci´on. u(x) = e2

R

dx x+1

u(x) = (x + 1)2 Aplicamos el m´etodo para hallar una EDO lineal u(x) ∗ z =

7

R

u(x) ∗ q(x)dx.

(x + 1)2 z =

Z

(x + 1)2 xdx

Resolviendo la integral se tiene: (x + 1)2 z =

x4 2x3 x2 + + +c 4 3 2

(x + 1)2 y 3 =

2x3 x2 x4 + + +c 4 3 2

Como z = y 3 , se tiene:

Entonces la soluci´ on es: 12(x + 1)2 y 3 = 3x4 + 8x3 + 6x2 + c

1.3.

DESARROLLO DE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI

Aplicaci´ on 1. Mediante la ecuaci´ on diferencial de Bernoulli hallar la ecuaci´on del Modelo log´ıstico de poblaci´ on. Desarrollo: Utilizamos una EDO especial de Bernoulli, llamada ecuaci´ on de Verhulst. dy − Ay = −By 2 dx

(1)

Donde A ∧ B son constantes positivas. Soluci´ on. Dividimos a (1) para y 2 . A 1 dy − = −B y 2 dx y Aplicamos la sustiyuci´ on z =

(2)

1 y la derivamos respecto a x. y −

dz 1 dy = 2 dx y dx

(3)

Reemplazamos z y (3) en (2) y multiplicamos por −1. dz + Az = B dx Encontramos el factor integrante de la ecuaci´on. u(x) = e

R

u(x) = eAx 8

Adx

(4)

Aplicamos el m´etodo para hallar una EDO lineal u(x) ∗ z = eAx z =

Z

R

u(x) ∗ q(x)dx.

eAx Bdx

Resolviendo la integral tenemos.

eAx z = Como z =

BeAx +c A

1 entonces despejando y se tiene la ecuaci´on del modelo log´ıstico de y

poblaci´ on.

y=

1 B + ce−Ax A

(5)

A la ecuaci´ on (5) se le llama ley log´ıstica del crecimiento poblacional, donde x es el tiempo e y es la poblaci´on. En (1) el t´ermino −By 2 es un t´ermino de freno, para impedir que la poblaci´on crezca de manera indefinida. De hecho A indica que las poblaciones inicialmente peque˜ nas 0 < y(0) < B aumentan A mon´ otonamente hasta B , en tanto que las poblaciones inicialmente grandes A A (figura 1). y(0) > B disminuyen mon´ otonamente al mismo l´ımite B

1.4.

´ DE SOFTWARE PARA LA UTILIZACION ´ DE EJERCICIOS RESOLUCION

1.5.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Resuelva las siguientes EDO de Bernoulli.

9

s 1.− 2x3 y 0 = y(y 2 + 3x2 )

R.

2.− 2x2 + 2xyy 0 = x2 + y 2

R.

3.−

y=

x3 c−x

y 2 + x2 = cx r x3 R. y = + cx 2

y x2 dy = + dx 2x 2y 4

4.− xy 0 + 6y = 3xy 3

8.− y 3 y 0 + 4xy 4 = 8x

y = (x + cx2 )−3 p 3 R. y = 3 + ce−3x2 y R. x2 = 2 + cy 5 1 R. y = √ c 1 − x2 − 7 p 4 R. y = ce−8x2 + 2

9.− (yLn(x) − 2)ydx = xdy

R.

y(1 + 2Ln(x) + cx2 ) = 4

R.

x(2 − y 2 + ce

R.

5.− y 2 y 0 + 2xy 3 = 6x 6.− y 2 dx + (2xy − 5x3 )dy = 0 7.−

(1 − x2 )y 0 − xy = 7xy 2

10.− y 0 (x2 y 3 + xy) = 1

−y 2 2

)=1

[Becerril Espinosa et al., 2004]

Referencias [Becerril Espinosa et al., 2004] Becerril Espinosa, J. V., Elizarraraz Mart´ınez, D., Jos´e Ventura Becerril Espinosa, D. E., et al. (2004). Ecuaciones diferenciales: t´ecnicas de soluci´on y aplicaciones. Technical report. ffl

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