Ecuacion De Onda Unidimensional 1e45d

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA MATEMATICAS AVANUADAS DEBER 3: ECUACION D[ ONDA UNIDIMENSIONAL 1. Con los cambios de variables indicados, resuelva las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) uxy*lrw=o v=x, z=x*l b) xilr=J)ttw+t¿v v=;g: z=4Y ci IJx,+llw*2ltu=6 v=x+lo z=2x-Y 2. Utilizando el método de

separación de variables. encuentre soluciones de las siguientes

ecuaciones:

x,- *!u,=A

a\tt,-yu,-=A

b)

\ ^/ + y)u c) zr, * u,, = 2\x

d) x-u

,,

?

^-

*

^ )

'y-u

=

U

3. Encuentre la deflexión u{xrt) de la cuerda vibrante de iongitud I = /l cuyos extremos están fijos correspondiente a velocidad inicial cero y deflexión inicial dada en la figura {considere cz =T I p=l)

r) 40

4. Encuentre la deflexión

si la posición inicial

u{x,t)

/'(x)

a) "f(x) = 0, b) f(x)*0.lsen(x)"

/ = zr cuyos extremos estín fijos scn: (considere c2 = T I p = L)

de la cuerda vibrante de longitud

inicial g(r) g(x) = 0.lsen{2x) V velocidad

g(x)= -}'Zsen(x)

5. Ecuación de onda con ccndición de fronfera no homogénea Demuestre que el problema:

ffi

=

r'

#, 0{x 0

f) = $, u(l ,t) = ¡x1¡1 a(x,o) = -f(x), u,(x.ú! = g(r) el(O,

Se puede reducir 4 otro para una nueva función v que satisfaga la ecuación de onda no homogéne4 con condiciones iniciales y de frontera de Ia forma: v(0, r) =

v(l,t) = A

v(x,0) = "fr(x), v,(x,0) = g,(;r) Sugerencia: tóme

u=v*rr

con W escogidaapropiadamente.

6. Ecuacién de onda no hornogéne¿: vibraciones foreadas.

a) Demuestre que las vibraciones for*¿adas de una cuerda elástica se rigen por la ecuación:

,P +*

Ittt = C'Un

p

Donde P(.r,r)es la fuerza externa por unidad de longitud que actúa perpendicular a la cuerda. b) $uponiendo que la fuerza es senoidal, por ejernplo" P

*

Apsen{at t} n demuestre que:

! = Ase nk ¡ q = f n, 1t\t"l !-,ry), donde k,(r) = (Z A / p \ /) Á' ,

n

n){1

-

cosn n)

c) Suponiendo que la solución de la eouación tiene la forma:

. (ntrx\ -|

. ¿^

u(x,t)= LG,,(t)senl n=t\'/

Muestre que las funciones

|

G,,{l)

deben satisfacer la ecuacién:

cnt '

2A

/1 ^j^ ^ 7,= Gn*l;G,= , rrt,-cosnnlsen(att), Y su solución

es:

G.{t7 = B,ros{A,t) + B)sen(A,t1*?Á(r^:^cosnI) sen(at

nr(Á.i

d) Detennine los coeficientes arix,0) = .f

{x},

4

y

- ra')

B,] Ae modo que

u(x,t)

t}, I * *t

satisfaga las condiciones iniciales

z, (x,0} = $.

e) Repita los literales c) y d) cuando ocurre resonancia: 1?, = CIt 7, Demuestre que la sclución del problema con valores en la frontera:

j-lt

o-u , 6r J--J!---=

óx' A{

F(x,y)

a{0,r) =u{LJ)=A u{x,A) = -f (x), u,{x,A) = g(x) es:

u{x,t) = v(x,t) + w(x't),

v(x,t)

donde:

es solución del problema:

. o-?t o-u -- =.F(x,J') -d x- otv(0,r)=v(I,/)=0 at

v(x,f)

es solución del problema:

.

.

j ü'

^? C-

^l tt l.t .*-i O-

------;

ó

U

x' ót'

¡"(0,/)=w(1.,1)=ü w{x"0) = ./'(x) - 1'{x,0) w, (-r,0) = g(r) - r,.., (x,0) 8. Resuelva el problema ct¡n valores en la frontera sig*iente:

a-u

---i

d-u - ----*:- =

óx' tt'

S€|IX COS I

i;(0.r)=r¿{i,li=i} u{:t:,0) =

l'(r}.

ru,

(x.0)

- g(x)

9. Encuentre ei desplazamiento

u(x,f)

de una euerda inilni¡a *oc<"tr<exr. si su velocidad inicial

es cero y sLr desplazamiento inicial está dado

lü.

Encuentre ei desplazamiento

inicia! es cero

-y

ztix,f)

por u{x.A} =.1(.x).

de una cuerda semi-infinita

su tlesplazamiento inicial está dado

0l ¡ < co . si su velocidaiJ

por a(x.0) = sefftx),

¡

> 0.

! /1.

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