Ecuacion Bidimensional De Onda 3u55s

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECUACIÓN BIDIMENSIONAL DE ONDA MEMBRANA RECTANGULAR ESTUDIANTES:    

Byron Ludeña Alex Godoy Henry Vasquez Christian Sari

PROFESOR: Ing. Juan Bautista Sanango Fernandez

OBJETIVOS:   

Demostrar de la ecuación bidimensional de la onda. Aplicar la ecuación bidimensional de onda a membranas rectangulares. Identificar los modos de vibración en una membrana rectangular.

INTRODUCCIÓN El análisis que se presenta es tanto válida para membranas como placas, ya que la diferencia entre ellas es que el parámetro que rige a las primeras es la tensión a la que sea sometida, mientras que la segunda tendrá como factor determinante su comportamiento a la rigidez. Las membranas tienen en acustica un gran campo de aplicación; gracias a las propiedades que presentan las vemos aplicadas en un gran número de dispositivos tales como: instrumentos musicales, altavoces, microfonos, cajas acusticas y filtros, entre otros. Asi, pues el estudio de este tipo de elementos, basicamente la forma en que vibran, nos permite modificar diseños, de manera que tengamos un mayor aprovechamiento de cada una de las caracteristicas analizadas.

Ecuación bidimensional de ondas

1

ECUACIÓN BIDIMENSIONAL DE ONDA Como otro problema básico de vibraciones, se considera el movimiento de una membrana elástica tensada. Supuestos físicos: 



La masa de la membrana por unidad de área será constante. La membrana tendrá flexibilidad perfecta y no ofrece resistencia a la flexión. La membrana se tensa y luego se fija a lo largo de toda su frontera en el plano



xy .

La tensión

T

por unidad de longitud, causada por el estiramiento de

la membrana, es la misma en todos los puntos y en todas las direcciones, y no cambia durante el movimiento. 

La deflexión

v (x , y , t )

de la membrana durante el movimiento es

pequeño en comparación al tamaño de la membrana y todos los ángulos de inclinación son pequeños. Aun cuando estos supuestos no puedan ponerse en práctica exactamente, se cumplirán con relativa precisión con vibraciones transversales pequeñas de una membrana elástica delgada, de tal modo que se obtiene un buen modelo.

Ecuación bidimensional de ondas

2

Figura 1.1. Membrana vibrante

Deducción de la ecuación: La ecuación diferencial que gobierna el movimiento de la membrana se obtiene considerando las fuerzas que actúan sobre una pequeña porción de la membrana de la fig. (1.1). Puesto que las deflexiones de la membrana y los ángulos de inclinación son pequeños, los

∆x

lados de la porción son iguales aproximadamente a

T

∆ y . La tensión

y

es la fuerza por unidad de longitud. En consecuencia, las fuerzas que

T∆x

actúan sobre los lados de la porción son aproximadamente

y

T∆ y .

Puesto que la membrana tiene flexibilidad perfecta, estas fuerzas son tangentes a las membranas. Componentes horizontales de la fuerza: Se obtienen multiplicando las fuerzas por los cosenos de los ángulos de inclinación. Puesto que los ángulos son pequeños, sus cosenos están cerca de 1. En consecuencia, las componentes horizontales de la fuerzas de los lados opuestos son aproximadamente iguales. Por tanto las partículas de la membrana en una dirección horizontal serán prácticamente despreciables. Por lo anterior puede concluirse que es posible considerar el movimiento de la membrana como transversal; es decir, que cada partícula se mueve verticalmente. Componentes verticales de las fuerzas: estas componentes a lo largo del lado derecho e izquierdo son fig. (1.1)

T ∆ ysenβ

Y

−T ∆ ysenα ,

respectivamente; el signo menos aparece porque sobre el lado izquierdo la fuerza está dirigida hacia abajo. Puesto que los ángulos son muy pequeños sus senos pueden ser sustituidos con sus tangentes. Por tanto, la resultante de esas dos componentes verticales es

T ∆ ysenβ −T ∆ ysenα =T ∆ y ( tanβ−tanα ) ¿T ∆ y

( ∂∂ vx ¿

(x+∆ x , y 1)

−

∂v ¿ ∂ x (x , y ) 2

)

(1.1)

De manera similar, la resultante de las componentes verticales que actúan en los otros dos lados de la porción es

T∆x

( ∂∂ vy ¿

(x 1 , y +∆ y)

−

∂v ¿ ∂ y (x , y) 2

)

(1. 2)

Ecuación bidimensional de ondas

3

Por la segunda ley de Newton, la suma de las fuerzas dadas por igual al producto de la masa ρ ∆ A

(1.1)

y

(1.2)

es

de esa porción pequeña por la aceleración

2

∂ v 2 ∂t ∆A

y

ρ es la masa de la membrana no flexionada por unidad de área

; aquí =

∆x∆ y

es el área de la porción cuando no está flexionada. Por

tanto,

T∆ y

(

∂v ∂v ∂v ∂v ¿ − ¿ +T ∆ x ¿ − ¿ ∂ x (x+ ∆ x , y ) ∂ x (x , y ) ∂ y ( x , y+∆ y) ∂ y (x 1

2

T ρ

{

−

( x+∆ x, y 1)

∂v ¿ ∂ x (x , y )

Si se hace que

∆x y

c2

c2

2

∆x

(

2

(

1

2

, y)

)

∂2 v 2 ∂t

ρ ∆ x ∆ y , tenemos

Luego dividiendo para

( ∂∂ vx ¿

)

=ρ ∆ x ∆ y

) + ( ∂∂ vy ¿

(x 1 , y+∆ y)

∆y

2

−

∆y

∂v ¿ ∂ y (x , y) 2

}

) =∂ v 2

∂ t2

tiendan a cero, se obtiene la ecuación diferencial.

)

2

∂ v ∂ v ∂ v + 2 = 2 2 ∂x ∂ y ∂t

2

,

c=

T ρ (1.3)

Se define como la velocidad de propagación de las ondas a lo largo de la

membrana Obteniendo así la ecuación bidimensional de onda. La ecuación entre el paréntesis es el laplaciano

∇2 v

de

v . Por tanto (1.3) puede escribirse

Ecuación bidimensional de ondas

4

2

2

c ∇ v=

∂2 v ∂t 2

MEMBRANA RECTANGULAR Consideramos la membrana rectangular R ilustrada en la figura. y

b

R a

x

Figura 2.1. Membrana rectangular

Tomando en cuenta que la Ecuación bidimensional de onda es:

c 2 ∇2 v=

∂2 v ∂t 2

( 0)

Poniendo las condiciones: Frontera Iniciales

v (x , y , t )=0

( 0)

v ( x , y , o)=f (x , y)

desplazamiento

( 0)

inicial

∂v ∣ =g ( x , y ) ∂ t t=0

Velocidad inicial

( 0)

PRIMER PASO: Tres ecuaciones diferenciales ordinarias Aplicando el método de separación de variables

v ( x , y , t )=F ( x , y)G(t)

0)

(

Si consideramos por definición

Ecuación bidimensional de ondas

5

∂v ∂v ∂v ´ =F x G ; =F y G; =F G ∂x ∂y ∂t ∂2 v ∂2 v ∂2 v ´ =F xx G ; 2 =F yy G ; 2 =F G 2 ∂x ∂y ∂t Reemplazando en

(1) 2 ´ c ( F xx G+ F yy G )=F G

Para separar las variables, se dividen ambos entre

c 2 FG

:

´ F xx + F yy G = 2 F c G Puesto que el segundo miembro solo depende de t y el primero es independiente de t, ambos deben ser igual a una constante; por cálculos previos sabemos que solo valores negativos de esa constante a soluciones que satisfagan (2) sin formar una identidad con cero; entonces:

´ F xx + F yy G = 2 =−u2 F c G De esto se obtienen:

´ λ2 G=0 G+

donde ( 0)

λ=cu

F xx + F yy + F u2=0

(7 )

Aplicamos una vez más el método de separación de variables en la función de amplitud

F( x , y)

F( x , y)=H ( x ) Q( y)

( 0)

Ecuación bidimensional de ondas

6

Reemplazado en

(7)

y separando las variables se obtiene

1 ∂ 2 H −1 ∂2 Q 2 = +u Q H ∂ x2 Q ∂ y

(

)

Ambos deben ser iguales a una constante, por las consideraciones anteriores. Esta constante debe ser negativa, ya que por un análisis igual al anterior solo valores negativos llevaran a soluciones que satisfagan (2) sin formar identidades con cero; entonces: 2

(

2

)

1 ∂ H −1 ∂ Q 2 = +u Q =−k 2 2 2 H ∂x Q ∂y De esta expresión se obtienen dos ecuaciones diferenciales lineales ordinarias para H y Q:

∂2 H 2 +k H=0 ∂ x2

( 0)

2

∂Q 2 + p Q=0 ∂ y2

p2=u2−k 2

( 0)

SEGUNDO PASO: Satisfacción de condiciones en la frontera Por concepto, las soluciones generales para

H ( x )= A cos kx +B sin kx

Y

(9)

y

(10)

son:

Q ( y )=C cos py + D sin py

Donde A, B, C, D son constantes. Por (5) y (2) se sigue que la función F=HG debe ser cero en la frontera, que corresponde a x=0, x=a, y=0, y=b; fig. (2.1). Se obtienen así las condiciones:

H ( 0 )=0

H ( a )=0

Q ( 0 )=0

Q ( b )=0

Por lo tanto H(0)=A=0 y entonces

H ( a )=B sin ka=0

Ecuación bidimensional de ondas

7

Debe tomarse B ≠ 0, pues de otro modo H0 y F0. Por tanto, sin ka=0

ka=mπ

o

es decir,

k=

mπ a

(m entera)

Del mismo modo se concluye que C=0 y p debe restringirse a los valores p=n ⁄ b donde n es un entero. Se obtienen así las soluciones:

H m ( x ) =sin

mπx a

Qn ( y )=sin

mπy b

; m=1,2,3 … ; n=1,2,3,…

Por lo tanto las funciones:

¿ sin

Fmn ( x , y )=H m ( x ) Q n ( y ) son soluciones de

(7)

mπx nπy sin ; a b

m=1,2,3 … ; n=1,2,3,…

que son cero en la frontera de la membrana en cuestión.

Una vez que se ha analizado (7), se considera (6).

p2=u2−k 2

Puesto que

λ=cu

en (10) y

en (6), se tiene:

λ=c √ p2 +k 2

como

p=

λmn =cπ

nπ mπ ; k= b a

√

m 2 n2 + 2 2 a b

, por lo tanto

;

Entonces en la ecuación

m=1,2,3 … ; n=1,2,3,…

(6),

(11)

la solución general es

G mn ( t )=[ Bmn cos λ mn t+ B ¿mn sin λ mn t ] Se sigue que las funciones

v mn ( x , y ,t )=F mn ( x , y ) Gmn ( t ) , desarrolladas

Ecuación bidimensional de ondas

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v mn ( x , y ,t )= [ Bmn cos λ mn t +B ¿mn sin λmn t ] sin

Con

λmn

de acuerdo con

(12),

mπx nπy sin a b

(12)

son soluciones de la ecuación de onda

(1)

que

son cero en la frontera de la membrana rectangular de la fig.(2.1). Estas funciones se llaman eigenfunciones o funciones características y los números

λmn

se llaman los eigenvalores de la membrana vibratoria. La frecuencia de

v mn

es

λmn ⁄ 2π.

De donde

λmn =λnm f mn=sin mπx sin nπy y f nm=sin nπx sin mπy f mn ≠ f nm Para

λmn =λnm

quiere decir que existen muchas vibraciones que pueden tener

la misma frecuencia, pero diferentes líneas nodales

λ12=λ 21=cπ √ 5

Por ejemplo Si

f 12 =sin πx sin2 πy y f 21=sin 2 πx sin 1 πy La solución es ¿

v 12=(B 12 cos cπ √ 5 t+ B12 sin cπ √ 5 t) F12 v 21=(B 21 cos cπ √ 5 t+ B¿21 sin cπ √ 5 t) F 21

Y tienen las líneas nodales

1 1 x= y y = 2 2

(puntos donde no existirá

movimiento de partículas)

Ecuación bidimensional de ondas

9

v 21

v 12

Figura 3. Líneas nodales de una membrana cuadrada

TERCER PASO: Solución del problema completo Para obtener la solución que también satisface las condiciones iniciales se consideran las series dobles ∞

(3)

y

(4),

∞

v ( x , y , t )= ∑ ∑ v mn ( x , y , t ) m=1 n=1

∞

∞

v ( x , y , t )= ∑ ∑ [ B mn cos λmn t + B m=1 n=1

A partir de esta expresión y ∞

∞

v ( x , y , 0 )= ∑ ∑ [ Bmn ] sin m =1 n=1

(3)

¿ mn

sin λmn t ] sin

mπx nπy sin a b

(13)

se obtiene

mπx nπy sin =f (x , y) a b

(14)

Esta es una serie doble de Fourier. Supongamos que f(x,y) puede desarrollarse en una serie como esta. Entonces los coeficientes de Fourier (14)

B mn

de f(x,y) en

pueden determinarse de la siguiente manera. Al hacer ∞

K m ( y )=∑ Bmn sin n=1

Entonces

(14) ∞

nπy b

puede escribirse en la forma

f ( x , y ) =∑ K m ( y ) sin m=1

(15)

mπx a

Ecuación bidimensional de ondas

1 0

para y como constante esta sería la serie senoidal de Fourier en función de x. Sabiendo que los coeficientes de desarrollo son a

K m ( y )=

Además

2 dx ∫ f (x , y )sin mπx a0 a

(16)

Km ( y )

es la serie senoidal de Fourier de

(15)

y por medio del mismo

análisis anterior tenemos b

B mn=

2 nπy K m ( y ) sin dy ∫ b0 b

Por esta expresión y

(16)

se obtiene la formula general de Euler

b a

B mn=

4 nπy sin dx dy ∫∫ f (x , y ) sin mπx ab 0 0 a b

para los coeficientes de Fourier de Los

B mn

de

(13)

determinar los (4),

;

m=1,2,3 … ; n=1,2,3,… (17)

f (x , y ) en la seri doble de Fourier

se determinan ahora en términos desde

B ¿mn

se deriva

(13)

(14).

f ( x , y ) . Para

termino a termino con respecto a t; usando

se obtiene

∞

nπy sin =¿ g ( x , y ) ∑ [ B¿ mn sin λ mn ] sin mπx a b n=1

∞

∂v ∣ =∑ ¿ ∂ t t=0 m =1 Suponiendo que

g (x , y )

puede desarrollarse en esta serie doble de Fourier.

Entonces, procediendo como antes se encuentra b a

B ¿mn=

4 mπx nπy g (x , y )sin sin dx dy ∫ ∫ ab λ mn 0 0 a b

;

m=1,2,3 … ; n=1,2,3,… (18)

Ecuación bidimensional de ondas

1 1

El resultado es que, para que coeficientes

B mn y

B

¿ mn

(13)

satisfaga las condiciones iniciales, los

deben elegirse de acuerdo con

(17)

y

(18).

EJEMPLO Encontrar las vibraciones de una membrana rectangular de lasos a=4pies y b=2pies. Si la tensión es 12.5lb/pies, la densidad es de 2.5 slugs / pies

2

(como

la del caucho ligero), la velocidad inicial es cero y el desplazamiento inicial es

f ( x , y ) =0.1(4 x−x 2)(2 y− y 2 ) pies

Figura 4.membrana rectangular

c 2=

T ρ

slugs=1

lbf . s 2 pies

T 12.5 c 2= = =5( pies2 /s 2) ρ 2.5 Cálculo de los coeficientes de Fourier

Ecuación bidimensional de ondas

1 2

b a

B mn=

4 mπx nπy f (x , y ) sin sin dxdy ∫ ∫ ab 0 0 a b

B mn=

4 mπx nπy 0.1(4 x−x 2)(2 y− y 2 )sin sin dxdy ∫ ∫ 8 0 0 4 2

B mn=

1 mπx nπy (4 x−x 2) sin dx∫ ( 2 y− y 2 ) sin dy ∫ 20 0 4 2 0

2 4

4

4

∫ (4 x−x 2 )sin 0

2

128 (1−cos mπ) 128 (1−(−1)m) 256 mπx dx= = = 3 3 4 m3 π 3 m3 π 3 m π

Para m

impar 2

16(1−cos nπ ) 16(1−(−1)n ) 32 nπy 2 ( ) = = 3 3 ∫ 2 y− y sin dy= 3 3 3 3 2

0

n π

n π

n π

Para n

impar B mn=

1 256 20 m3 π 3

32 0.426 = 3 3 3 3 n π n m

( )( )

Para m, n

impar Si m o n es par

B mn=0 dv =0 por lo tanto g ( x , y )=0 dt

Como la velocidad es

B ¿mn=0 dado que g ( x , y )=0

λmn =cπ

√

m 2 n2 5 π + 2= √ m2 + 4 n2 2 4 a b ∞

v ( x , y , t )=0.426

∞

∑ ∑

m inpar n impar

1 5π mπx nπy 5π πx πy 1 cos m2 +4 n2 t sin sin =0.426( cos √ √ 5 t sin sin + 3 3 4 4 2 4 4 2 27 m n

(

)

(

Ecuación bidimensional de ondas

)

1 3

Discusión de esta solución.- se observa que el primer término de la suma no tiene líneas nodales y es por mucho el termino dominante ya que los coeficientes de los demás términos son mucho más pequeño; el segundo término tiene las líneas nodales horizontales (y=2/3,4/3), el tercer término tiene dos líneas nodales verticales (x=4/3,8/3), el cuarto termino tiene dos líneas nodales horizontales y dos líneas nodales verticales, y así se podría seguir encontrando las líneas nodales de los siguientes términos.

CONCLUSIONES:  



La ecuación que modela el movimiento de las ondas en una placa o membrana delgada es la ecuación bidimensional de ondas. Las ondas en una membrana rectangular también tienen modos de vibración, y líneas nodales en las cuales no hay movimiento de las partículas de la membrana. En las membranas ideales vibrantes, los modos de vibración no son armónicos del fundamental, por lo que no resultarán muy agradables al oído.

BIBLIOGRAFÍA:   

Kreyszig, Erwin. “Matemáticas Avanzadas para Ingeniería” Vol.1 , 3ra edición, México, 2003. Murray R. Spiegel. “Ecuaciones Diferenciales Aplicadas”, 3ra edición, México, Prentice-Hall, 1983. Itzalá Rabadan. “Análisis Modal en Cavidades Tubulares Acústicas con Discontinuidades Utilizando el Método de Galerkin Híbrido” Tesis Doctor en Ciencias, México D.F., Instituto Politécnico Nacional, 2005.

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