Ec1_tema3- Test D Chow 1up67

29/11/2010

Econometría I.

Índice

3.1. CAMBIO ESTRUCTURAL: El test de Chow de estabilidad estructural. Modelos de regresión con variables ficticias 3.2. NO LINEALIDAD: El método de mínimos cuadrados no lineales 3.3. ESPECIFICACIÓN FUNCIONAL: Exclusión de variables relevantes. Inclusión de variables irrelevantes. El test RESET de especificación funcional. 3.4. SELECCIÓN DE LA FORMA FUNCIONAL.

Tema 3. Cuestiones prácticas relacionadas con la especificación del modelo

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3.1. Cambio estructural

Introducción Una hipótesis básica del MLG es la estabilidad de los parámetros estructurales (parámetros constantes). Pueden existir razones a priori para sospechar un cambio o una ruptura en la estructura: Con datos de series temporales, puede existir un momento de cambio de la estructura. Si es así, el conjunto de datos corresponderá a dos o más estructuras, aunque no se sepa en qué momento se ha producido el cambio. En el caso de datos de corte transversal, pueden existir dos o más subpoblaciones con diferentes estructuras o parámetros estructurales.

Tema 3. Especificación del modelo

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3.1.2. El test de Chow de estabilidad estructural Dadas T observaciones (T = T1 + T2), si en T1+1 ha existido un cambio estructural tendremos dos estructuras diferentes. Para primeras T1 observaciones y 1 = X 1 1 + e 1 Para las T2 últimas y 2 = X 2 2 + e 2 Agrupamos las dos ecuaciones en una sola escribiendo y = X + e, o (modelo con 2K parámetros individuales) De este modo la hipótesis de estabilidad estructural : H0:{ 1= 2} vs. H1:{ 1   2} puede ser contrastada mediante un test de restricciones lineales ( K restricciones sobre el modelo conjunto) Tema 3. Especificación del modelo

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3.1.2. El test de Chow de estabilidad estructural Hipótesis a contrastar: H0:{ 1= 2} vs. H1:{ 1   2} Estadístico de prueba: Donde: SRCR: suma residual de la estimación MCO del modelo restringido (una estructura) y = X + e con T observaciones SRCNR: suma residual de la estimación MCO del modelo no restringido (2 estructuras) y 1=X 1 1+ e 1, y 2 =X 2 2+e2, SRCNR = SRC1 + SRC2 Por tanto, el estadístico de prueba y su distribución bajo H0 puede expresarse por:

Región crítica: Tema 3. Especificación del modelo

F > FK,T-2K 4

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3.1.2. El test de Chow de estabilidad estructural

Test predictivo de Chow •

El test de Chow es aplicable si Ti > K, (i = 1, 2) para obtener una estimación MCO para cada submuestra,.

•

No puede aplicarse por ejemplo cuando T2 < K ya que no puede aplicarse MCO a la 2ª submuestra. En este caso …

•

Test predictivo de Chow: contrasta que la estructura de las primeras T1 observaciones (y1 = X1 1 + e1), coincide con la de la totalidad de la muestra (y=X + e) El estadístico de prueba, y su distribución, bajo H0:{ =  1}, están dadas por:

Tema 3. Especificación del modelo

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3.1.2. El test de Chow de estabilidad estructural

Generalización del Test de Chow •

El test de Chow puede generalizarse al caso de existencia de m estructuras. En este caso SRCNR = SRC1+ SRC2+...+ SRCm, suma con T-mK grados de libertad. El estadístico de Chow toma la forma general:

Tema 3. Especificación del modelo

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3.1.2. El test de Chow de estabilidad estructural Los problemas que origina la presencia de cambio estructural son graves. Si se estima un modelo y=X + e cuando existen dos (o más) estructuras diferentes, y1= X1 1+ e1 e y2=X2 2+e2, el estimador MCO del vector  será una ‘mezcla’ de los correspondientes a cada submuestra y, por tanto: La estimación será sesgada e inconsistente. Las estimaciones de las varianzas estarán sesgadas y, por tanto, Los contrastes estadísticos serán poco fiables, produciéndose en general errores en los contrastes de significación.

Tema 3. Especificación del modelo

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3.1.3. Modelos con variables ficticias

Se define una nueva variable D, llamada variable ficticia (dummy), haciendo Dt = 0, para t  T1 y Dt = 1, para t > T1 es decir, D toma el valor 0 en el primer grupo de observaciones y 1 en el segundo. Por tal motivo se conoce a D como variable característica del segundo grupo.

Si  = 1 y escribimos  2 = +, con  =(1,…,K )’, podemos expresar simultáneamente las dos estructuras con una ecuación única: yt = ixit + ixitDt + et , matricialmente, y = X +X* + e, donde X* = (xit Dt).

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3.1.3. Modelos con variables ficticias

El test F de la hipótesis H0:{1=0;...;K = 0} es numéricamente equivalente al contraste CHOW1 siendo F{=0} = CHOW1 El modelo y = X +X* + e puede utilizarse para contrastar hipótesis intermedias de igualdad de cualquier subconjunto de parámetros individuales (ordenadas en el origen, pendientes, etc.).

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Econometría I. 3.2. No linealidad: el Método de Mínimos Cuadrados No Lineales

Si un modelo es no lineal en sus variables pero es lineal en sus parámetros, puede estimarse por MCO redefiniendo las variables del modelo. Si la ecuación es intrínsecamente no lineal en sus coeficientes, no pueden redefinirse las variables. Se utiliza entonces el método de mínimos cuadrados no lineales (MCNL). Sea la relación entre la endógena, y, y las exógenas, x1, x2,..., xK dada por

donde f es no lineal y et verifica todas las hipótesis clásicas. La función de regresión poblacional, E[yt] = f(xt,), es no lineal. Los estimadores se buscan entre los valores ’s que minimicen la suma de los errores al cuadrado (función no lineal) Se utilizan métodos iterativos para la búsqueda de soluciones Tema 3. Especificación del modelo

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Econometría I. 3.2. No linealidad: el Método de Mínimos Cuadrados No Lineales

Propiedades estadísticas del estimador MCNL: No es posible, en general, establecer las propiedades en muestras finitas. Se pueden establecer sus propiedades asintóticas (bajo las condiciones clásicas el estimador de MV y el de MCO de  son idénticos) Bajo condiciones adecuadas el estimador de MCNL, es consistente y asintóticamente insesgado, y con distribución asintóticamente normal, estimándose su matriz de covarianzas mediante la expresión

donde

Si los residuos no están normalmente distribuidos, no puede asegurarse que sea eficiente, ni siquiera asintóticamente Tema 3. Especificación del modelo

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3.2. No linealidad: el Método de Mínimos Cuadrados No Lineales

Contrastes En el caso de modelos no lineales, para contrastar hipótesis lineales del tipo H0:{R=r} puede utilizarse el estadístico de Wald (q = nº de restricciones lineales)

Región crítica:

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3.3. Especificación del modelo

ERRORES DE ESPECIFICACIÓN FUNCIONAL más frecuentes son: Exclusión de variables relevantes. Inclusión de variables irrelevantes o innecesarias. Forma funcional incorrecta. CAUSAS: En general, estos errores proceden del desconocimiento del modelo correcto, de la escasa disponibilidad de datos o de una teoría económica poco precisa.

Tema 3. Especificación del modelo

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3.3. Especificación Funcional

DETECCIÓN Y SÍNTOMAS. Pueden ser indicativos de omisión de variables o de una forma funcional incorrecta: R2 bajo Signos incorrectos en las estimaciones de los parámetros Pocas variables significativas. Algún patrón de comportamiento anormal de los residuos.

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3.3. Especificación Funcional

Exclusión de variables relevantes Cuando se omiten variables relevantes de una regresión, por ej. z1,z2,…,zs, y se incluyen sólo las variables x1, x2,…, xk, la situación es: Modelo estimado: y = X + e Modelo verdadero: y = X + Z + e En este caso, el estimador MCO puede escribirse como:

Su esperanza (supuestas válidas las hipótesis clásicas) es

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3.3. Especificación Funcional

Exclusión de variables relevantes (cont.) Luego es sesgado e inconsistente, salvo que se cumpla que X’Z = 0 (variables omitidas e incluidas ortogonales), lo cual resulta inusual. Además: La varianza, 2, es estimada con sesgo. Las varianzas de los estimadores obtenidos son menores que las de las estimaciones MCO y, por tanto, tienden a infravalorarse los verdaderos valores. Los intervalos de confianza usuales y los contrastes de hipótesis llevan, generalmente, a conclusiones equivocadas. Tema 3. Especificación del modelo

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3.3. Especificación Funcional

Inclusión de variables irrelevantes

Cuando se incluyen variables irrelevantes en una regresión, por ejemplo las variables z1,z2,…,zs, la situación que se plantea es la siguiente: Modelo verdadero:

y = X + e

Modelo estimado:

y=X+Z+e

(Z es la matriz de datos de las variables incorrectamente incluidas)

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3.3. Especificación Funcional

Inclusión de variables irrelevantes En este caso, puede afirmarse, respecto del estimador MCO de  : Es un estimador insesgado y consistente de . El modelo verdadero es el estimado con la restricción  = 0, luego son aplicables los resultados obtenidos con el estimador de MCO restringidos. La varianza residual es un estimador insesgado de 2. Los procedimientos usuales de intervalos de confianza y contrastes de hipótesis siguen siendo válidos. Los estimadores obtenidos ya no son eficientes, ya que sus varianzas son mayores que las del modelo verdadero (sobrevaloran a las verdaderas varianzas).

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3.3. Especificación Funcional

El test RESET -REgression Specification Error Test- (Ramsey, 1969), (test usual para contrastar la correcta especificación funcional). Contrasta si deben añadirse uno o varios regresores adicionales, z1,...,zs a los considerados en el modelo estándar x1,x2,…,xK. En caso de error por omisión de variables relevantes, las variables adicionales z’s serán las omitidas. Si la forma funcional es incorrecta, las variables no incluidas deberán ser alguna función de las variables xj ya incluidas en la regresión. Ramsey considera que si existen errores de especificación, los residuos êi seguirán un patrón que cambiará al variar ŷ. Así, propone introducir las potencias de ŷ, obtenidas al estimar el modelo inicial por MCO, contrastando su significación en el modelo original.

Tema 3. Especificación del modelo

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3.3. Especificación Funcional

El test RESET procede del siguiente modo: 1.

Por MCO se obtienen los valores ajustados o predichos del modelo

2.

Se estima la regresión de y frente a las variables originales y las potencias de ŷ. Si sólo se incluye ŷ2, se denomina RESET(1), y si se incluyen ŷ2 e ŷ3 RESET(2), y así sucesivamente.

3.

Se contrasta la hipótesis de inclusión de las potencias de ŷ mediante un test t o F, según el contraste RESET realizado.

Debe tenerse en cuenta que un valor significativo del estadístico nos lleva a considerar el modelo mal especificado, pero sin ofrecer una especificación alternativa explícita. Tema 3. Especificación del modelo

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3.4. Selección de la forma funcional

A veces el economista aplicado deberá elegir entre varios modelos alternativos (rivales) a partir de un mismo conjunto de datos. Los procesos de selección de modelos (pruebas de diagnóstico) se pueden agrupar en contrastes de especificaciones anidadas y contrastes de modelos no anidados. Modelos anidados: El modelo A está anidado en el modelo B cuando A puede obtenerse de B mediante alguna restricción paramétrica. Por ej. Modelo A:

y = X + e

Modelo B: y = X + Z + e

A está anidado en el B por obtenerse de A con la restricción  = 0. En caso contrario se dirá que son modelos no anidados. Por ejemplo: Modelo A: y = X + e

Modelo B: y = Z+e

donde X y Z representan diferentes conjuntos de variables.

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Econometría I. 3.4. Selección de la forma funcional: alternativas anidadas y no anidadas

Alternativas anidadas Para discernir entre dos modelos alternativos con una relación de anidación son aplicables los contrastes estándar: Contraste F restricciones lineales. Test de Wald, W, si las restricciones necesarias son no lineales. (Si son lineales el test F y el de Wald son equivalentes, siendo W = qF , con q = nº de restricciones) También pueden utilizarse medidas de bondad del ajuste, tales como el coeficiente de determinación R2 o los criterios de Akaike (AIC) o Schwarz (SBC).

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Econometría I. 3.4. Selección de la forma funcional: alternativas anidadas y no anidadas

Para distinguir entre modelos no anidados existen dos enfoques:

Discriminación: según medidas de bondad del ajuste (

, AIC, etc.)

Discernimiento: en base a una confrontación formal (estadística): contraste J de Davidson y MacKinnon.

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Econometría I. 3.4. Selección de la forma funcional: alternativas anidadas y no anidadas

Contraste J de Davidson y Mackinnon Se utiliza para contrastar entre modelos no anidados del tipo: Modelo A: y = X + e1

Modelo B: y = Z + e2

Se lleva a cabo del siguiente modo: Se estima el modelo A y se obtienen sus valores ajustados: Se agrega la variable ajustada al modelo B, siendo En este nuevo modelo se contrasta H0:{ = 0} vs. H1:{  0} La región crítica es donde z es valor crítico de una variable N(0,1)  Si no se rechaza H0: la nueva variable no añade información, B es

correcto  Si se acepta H1 se rechazará el modelo B, sin que suponga

aceptación del modelo A. Tema 3. Especificación del modelo

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Econometría I. 3.4. Selección de la forma funcional: alternativas anidadas y no anidadas

Contraste J de Davidson y Mackinnon (cont.)

El proceso se repite intercambiando los papeles de A y B. Se contrasta H0:{=0} en el modelo ampliado: Si el estadístico t es significativo se rechaza A. De rechazar H0 se rechazará A (sin que suponga aceptar B).

Si en ambos contrastes se obtiene el mismo resultado (preferencia de A sobre B o preferencia de B sobre A) se tomará el modelo resultante. Si rechazamos o aceptamos ambos modelos no podemos tomar ninguna decisión.

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