Derivacion De Orden Superior 7345v

DERIVACIÓN NUMÉRICA 

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El problema de la derivación numérica consiste en la evaluación de la derivada de la función en un punto, cuando únicamente conocemos los valores de la función en una colección de puntos x0, x1,... xn. Aunque, en apariencia se trata de un problema similar al de la integración numérica; de hecho la derivación es más complicada ya que, en la integración los errores tienden a cancelarse, y, como vimos, no necesitamos que la aproximación describa con fidelidad la función localmente. Sin embargo, la derivada es una propiedad esencialmente local, por lo cuál deberemos aproximar la función lo más fielmente posible en el entorno inmediato del punto en el que la queramos calcular.

DERIVACIÓN NUMÉRICA Para una función f derivable, se define

8 7 6 5 4 3 2 1 0 -2

0

2

4

6

8

10

12

8 7 6 5 4 3 2 1 0 -2

0

2

4

6

8

10

12

b

 f (x) a

b

df (x) dpn (x)  dx x  x0 dx x  x 0

dx   pn (x) dx a

f(x)

8 7 6

Yn+1

pn(x)

5 4 3 2 1

x0

a

0 -2

0

2

4

6

8

b 10

12

Como ya vimos en el caso de interpolación por rectas teníamos que:

No están definidas las derivadas en los puntos xi; sí, en cambio, en los puntos intermedios xi<x<xi+1, para los cuales la primera derivada es constante y las derivadas superiores se anulan:

yi 1  yi y' x   para xi  x  x i1 xi 1  x i  y' x i   Aunque no están definidas las derivadas en los puntos xi; sí que se pueden definir las derivadas por la derecha y por la izquierda que, en el caso, general, serán diferentes:

yi 1  yi y' xi    deriv ada por la derecha xi 1  x i ( )

y'

( )

yi  yi 1 xi    deriv ada por la izquierda xi  x i 1

Mientras que, para el caso de interpolación por parábolas veíamos que: Las primeras derivadas en los puntos intermedios x, xn-1<x<xn+1 ahora no son constantes:

yn1  y n1 yn 1  yn1  2yn y' x    (x  xn ) ; x n  h  x  xn  h 2 2h h Sí es constante la 2ª derivada y, por tanto, nulas todas las demás derivadas de orden superior:

yn 1  yn1  2yn y'' x   para x n  h  x  xn  h 2 h y (n) x   0 ; (con n  3) para xn  h  x  x n  h

Si quisiéramos evaluar el valor de la primera derivada en el punto xn, que es un punto de la tabla de datos de la que disponemos, vemos que, mediante la interpolación por rectas no existe tal derivada, mientras que, con la interpolación parabólica sería:

yn1  y n1 yn 1  yn1  2yn y' x    (x  xn ) ; x n  h  x  xn  h 2 2h h yn1  yn1 y' xn   2h que es exactamente el mismo valor que obtenemos si promediamos las derivadas por la izquierda y por la derecha de la interpolación por rectas:

yn 1  yn  y' xn     1 () yn1  yn1 ( ) h  y' xn   y' xn   y  yn 1  2 2h y' ( ) xn   n   h ( )

En cuanto a la segunda derivada:

yn1  y n1  2yn y'' x n   h2 podríamos re-escribirla del modo siguiente: yn1  y n y n  y n1  yn1  y n1  2yn h h y'' x n    2 h h

y'' x n  

y'

1 n 2

 y'

n

1 2

h

lo cuál es acorde con la definición de derivada:

h h f (x0  )  f (x0  ) f (x 0  h)  f (x0 ) 2 2 f ' (x 0 )  lim  lim h 0 h0 h h

Si quisiéramos calcular la 3ª derivada tendríamos que recurrir al polinomio de interpolación de orden 3, o bien podríamos hacer lo siguiente:

y' ' n 1 y'' n1 y'' ' xn  2h Basándonos en el hecho de que:

f '' (x0  h)  f ' ' (x0  h) f ' '' (x 0 )  lim h0 2h

Si quisiéramos calcular el orden del error cometido al tomar estas aproximaciones: para la 1ª derivada:

yn1  yn1 y' xn   2h Tomando esta fórmula estaríamos haciendo la siguiente aproximación:

f (x 0  h)  f (x 0  h) f ' (x 0 )  2h Sabemos que ambas magnitudes son iguales en el límite de h tendiendo a cero. Sin embargo, numéricamente, nosotros, estamos usando unos h que, aunque pequeños, no son infinitesimalmente tendentes a cero. Cuanto mayores sean los h, mayor será el error cometido. La relación Entre el error y el valor de h se puede encontrar desarrollando en serie la aproximación

Desarrollando en serie la aproximación:

f (x0  h)  f (x 0  h) 1 f' ' (x 0 ) 2 f' ' ' (x 0 ) 3  {f (x0 )  f' (x 0 )h  h  h  2h 2h 2 3! f ' ' (x0 ) 2 f ' '' (x 0 ) 3  [ f (x 0 )  f ' (x 0 )h  h  h  ]} 2 3!

f (x0  h)  f (x 0  h) f' ' ' (x0 ) 2  f ' (x0 )  h  2h 6

Y vemos que, efectivamente:

f (x 0  h)  f (x 0  h) lim  f' (x0 ) h 0 2h

para la 2ª derivada:

yn1  y n1  2yn y'' x n   h2

Tomando esta fórmula estaríamos haciendo la siguiente aproximación:

f (x0  h)  f (x0  h)  2 f (x0 ) f ' ' (x0 )  h2

Desarrollando en serie:

f (x0  h)  f (x 0  h)  2 f (x0 )  2 h v 1 f' ' (x 0 ) 2 f' ' ' (x0 ) 3 f ' (x0 ) 4  2 {f (x0 )  f ' (x 0 )h  h  h  h  h 2 3! 4! f ' ' (x0 ) 2 f ' '' (x0 ) 3 f' v (x 0 ) 4  [ f (x 0 )  f ' (x 0 )h  h  h  h  2 3! 4! v f ' (x 0 ) 2  2 f (x 0 )}  f '' (x )  h  0 12

Ejercicios:

- Justificar las siguientes aproximaciones:

y n2  yn 2  2y n1  2yn1 y'' ' x n  3 2h 8yn1  y n2  yn 2  8yn1 y' xn   12h 16(yn1  yn1)  (y n2  y n2 ) 30yn y'' x n  12h2

y n2  yn 2  2y n1  2yn1 y'' ' x n  2h3 Tomando esta fórmula estaríamos haciendo la siguiente aproximación:

f (x 0  2h)  f (x0  2h)  2 f (x 0  h)  2 f (x 0  h) f ' '' (x 0 )  2h 3 Desarrollando en serie:

f (x0  2h)  f (x0  2h)  2 f (x 0  h)  2 f (x0  h) 3 2h

f (x0  2h)  f (x0  2h)  2 f (x 0  h)  2 f (x 0  h)  2h 3 v

v

1 f '' (x 0 ) f '' ' (x 0 ) f' (x 0 ) f (x 0 )  3 { f (x 0 )  f ' (x 0 )2h  (2h)2  (2h) 3  (2h)4  (2h) 5  2h 2 3! 4! 5! f' ' (x 0 ) f' ' ' (x0 ) f ' v (x0 ) f v (x 0 ) 2 3 4 [ f (x 0 )  f ' (x 0 )(2h)  (2h)  (2h)  (2h)  (2h)5  2 3! 4! 5! f ' ' (x0 ) 2 f ' '' (x 0 ) 3 f ' v (x 0 ) 4 f v (x0 ) 5 2[ f (x 0 )  f ' (x0 )h  h  h  h  h  ] 2 3! 4! 5! f' ' (x 0 ) f '' ' (x 0 ) f ' v (x 0 ) f v (x0 ) 2 3 4 2[ f (x 0 )  f ' (x0 )(h)  (h)  (h)  (h)  (h)5  ]} 2 3! 4! 5!

f (x0  2h)  f (x0  2h)  2 f (x 0  h)  2 f (x 0  h) f v (x0 ) 2  f' ' ' (x0 )  h  3 2h 4

]

8yn1  y n2  yn 2  8yn1 y' xn   12h Tomando esta fórmula estaríamos haciendo la siguiente aproximación:

f ' (x 0 ) 

8f (x 0  h)  f (x 0  h) f (x 0  2h)  f (x0  2h) 12h

Desarrollando en serie:

8f (x0  h)  f (x 0  h) f (x0  2h)  f (x0  2h) 12h

8f (x0  h)  f (x 0  h) f (x0  2h)  f (x0  2h)  12h 1 f '' (x 0 ) 2 f '' ' (x 0 ) 3 f ' v (x0 ) 4 f v (x0 ) 5  {8[ f (x0 )  f' (x0 )h  h  h  h  h  12h 2 3! 4! 5! f' ' (x 0 ) f '' ' (x 0 ) f ' v (x 0 ) f v (x 0 ) 2 3 4 5 [ f (x 0 )  f ' (x 0 )(h)  (h)  (h)  (h)  (h)  ]] 2 3! 4! 5! f ' ' (x0 ) f ' '' (x 0 ) f' v (x 0 ) f v (x0 ) 2 3 4  f (x0 )  f' (x0 )(2h)  (2h)  (2h)  (2h)  (2h)5  2 3! 4! 5! f' ' (x 0 ) f '' ' (x 0 ) f ' v (x 0 ) f v (x 0 ) 2 3 4 [ f (x 0 )  f ' (x 0 )2h  (2h)  (2h)  (2h)  (2h)5  ]} 2 3! 4! 5!

8f (x0  h)  f (x 0  h) f (x0  2h)  f (x0  2h) 12h

f ' v (x 0 ) 4  f' (x0 )  h 30

16(yn1  yn1)  (y n2  y n2 ) 30yn y'' x n  12h2 Tomando esta fórmula estaríamos haciendo la siguiente aproximación:

f ' ' (x0 ) 

16f (x0  h)  f (x 0  h) f (x 0  2h)  f (x 0  2h) 30 f (x 0 ) 2

12h

Desarrollando en serie:

16f (x 0  h)  f (x 0  h)  f (x0  2h)  f (x 0  2h) 30 f (x0 ) 12h

2

16f (x 0  h)  f (x 0  h)  f (x0  2h)  f (x 0  2h) 30 f (x0 )

 2 12h 1 f' ' (x 0 ) 2 f' ' ' (x0 ) 3 f ' v (x0 ) 4 f v (x 0 ) 5 f v ' (x 0 ) 6  h  h  h  h  h  2 {16[ f (x0 )  f ' (x 0 )h  12h 2 3! 4! 5! 6! f' ' (x 0 ) f '' ' (x 0 ) f' v (x 0 ) f v (x 0 ) f v ' (x 0 ) 2 3 4 5 6 [ f (x 0 )  f ' (x 0 )(h)  (h)  (h)  (h)  (h)  (h)  2 3! 4! 5! 6! v

v

]]

v

f' ' (x 0 ) f' ' ' (x0 ) f ' (x0 ) f (x 0 ) f ' (x 0 ) [ f (x 0 )  f ' (x 0 )(2h)  (2h)2  (2h)3  (2h)4  (2h)5  (2h)6  2 3! 4! 5! 6! f' ' (x 0 ) f '' ' (x 0 ) f ' v (x 0 ) f v (x 0 ) f v ' (x 0 ) 2 3 4 5 [ f (x 0 )  f ' (x 0 )2h  (2h)  (2h)  (2h)  (2h)  (2h) 6  ] 2 3! 4! 5! 6! 30 f (x0 )}

16f (x 0  h)  f (x 0  h)  f (x0  2h)  f (x 0  2h) 30 f (x0 ) 12h

2

f v ' (x0 ) 4  f' ' (x 0 )  h  90

]

Calcular las tres primeras derivadas de la función sen x en x = 1, para valores de h de 0.1, 0.01 y 0.001. Para x = 1. Calcular las dos primeras derivadas de la siguiente función en los puntos 0.25, 0.5, 0.75 y 1. para h= 10-3, 10-4, 10-5

y(x)  [lnarcsenx  ]

2 5

Calcular las tres primeras derivadas de la función sen x en x = 1, para valores de h de 0.1, 0.01 y 0.001. h = 0.1

sen(1.1)  sen(0.9) y' (1)   0.53940 2 * 0.1

valor exacto  cos(1)  0.5403023

  9 *10

4

h = 0.1

sen(1.1)  sen(0.9)  2 sen(1) y'' (1)   0.84077 2 0.1

valor exacto  sen(1)  0.8414709

  7*10

4

sen(1.2) sen(0.8)  2sen(1.1)  2sen(0.9) y'' ' (1)   0.53895 3 2 * 0.1

valor exacto  cos(1)  0.5403023 3

  1*10

h = 0.01

sen(1.01)  sen(0.99) y' (1)   0.5402933 2 * 0.01 valor exacto  cos(1)  0.5403023

  9*10

6

sen(1.01)  sen(0.99)  2 sen(1) y'' (1)   0.841464 2 0.01 valor exacto  sen(1)  0.8414709

  7*10

6

h = 0.01

sen(1.02) sen(0.98)  2sen(1.01)  2sen(0.99) y'' ' (1)   0.540305 3 2 * 0.01

valor exacto  cos(1)  0.5403023 6

  3 *10 h = 0.001

sen(1.001)  sen(0.999) y' (1)   0.5403022 2 * 0.001 valor exacto  cos(1)  0.5403023

  9*10

8

h = 0.001

sen(1.001)  sen(0.999)  2 sen(1) y'' (1)   0.8417091 2 0.001 valor exacto  sen(1)  0.8414709 8

  1*10

sen(1.002) sen(0.998)  2sen(1.001)  2sen(0.999) y'' ' (1)  2 * 0.0013

Calcular las dos primeras derivadas de la siguiente función en los puntos 0.25, 0.5, y 0.75.

y(x)  [lnarcsenx  ]

2 5

{ln[arcsen(x 0  h)]2}5 {ln[arcsen(x 0  h)]2 }5 y' (x0 )  2h h = 10-2

{ln[arcsen(0.25 10 2 )]2 }5 {ln[arcsen(0.25 10 2 )]2 }5 y' (0.25)  210 2 3

y' (0.25)  2352.61  2.353 10

h = 10-3

{ln[arcsen(0.25 10 3 )]2 }5 {ln[arcsen(0.25 10 3)]2}5 y' (0.25)  3 210

y' (0.25)  2.342 103 h = 10-4 3

y' (0.25)  2.341896 10 h = 10-5

y' (0.25)  2.3419 10

3

El valor exacto se puede evaluar teniendo en cuenta que la primera derivada de la función es :

10[ln arcs en x  ] y' (x)  1  x 2 arcs en x  2 4

10[ln arcsen0.25  ] 3 y' (0.25)   2.34191 10 2 1  x arcsen0.25  2 4

Para la segunda derivada:

yn1  y n1  2yn y'' x n   h2

{ln[arcsen(x0  h)]2}5  {ln[arcsen(x0  h)]2}5  2{ln[arcsen(x 0 )]2}5 y'' (x 0 )  h2

h = 10-2

y'' (0.25)  3.68883 104 h = 10-3 4

y'' (0.25)  3.67825 10 h = 10-4 4

y'' (0.25)  3.678 10

Para los otros puntos, 0.5, y 0.75 : h = 10-4

y' (0.5)  61.8426

y'' (0.5)  938.283

y' (0.75)  0.210401

y'' (0.75)  9.11835

La observación de la segunda derivada indicaría la existencia de un posible punto de inflexión (derivada segunda cero) en ese intervalo. Así, por ejemplo:

y'' (0.8)  0.8852247 y'' (0.85)  0.008934901 y'' (0.84)  4.409358 10

5

Haciendo una interpolación lineal entre estos dos últimos puntos. Es decir, calculando la recta que pasa por los puntos (0.84, -4.409358 10-5) y (0.85, 0.008934901):

0.008934901 4.409358 10 5 y'' 4.409358 10  (x  0.84) 0.85  0.84 5

5 0.008934901 4.409358 10 5 y'' 4.409358 10  (x  0.84) 0.85  0.84

Luego el punto en el que la interpolación lineal que se aproxima a la derivada se anula sería el siguiente:

y''  0  x  0.8404910748 y, efectivamente, podemos comprobar que en las inmediaciones de ese punto tenemos un valor prácticamente igual a cero de la segunda derivada:

y'' (0.8405)  1.27439 105