Cuatro Operaciones 1i1x4n

CUATRO OPERACIONES En este capitulo se tratará con problemas referentes a las cuatro operaciones combinadas ( + - x ÷ ); además del complemento aritmético, la regla conjunta y el método del cangrejo. PROPIEDADES DE LAS CUATRO OPERACIONES PROPIEDAD UNIFORMIDAD CONMUTATIVA ASOCIATIVA

SUMA

DIFERENCIA

MULTIPLICACION

DIVISION

a=b m=n . a+m=b+n a+b=b+a a+b+c=S (a+b)+c=S

a=b m = n___ a-m=b-n

a=b m = n___ a÷ m=b÷ n

a≥ b _____m > n_____ a+m>b+n

a=b _____m > n_____ a-m

a=b m = n__ axm=bxn axb=bxa axbxc=P ( ax b ) x c = P (a+b)xn=P axn+bxn=P a≥ b _____m > n_____ axm>bxn

DISTRIBUTIVA

MONOTONIA

a>b _____m ≤ n_____ a-m>b-n ELEMENTO NEUTRO

0

DE DOS NÚMEROS DADOS, HALLAR EL MUMERO MAYOR (# may.) Y EL NÚMERO MENOR (# men.), CONOCIENDO: 1er CASO:

La suma (S) y la diferencia (D).

S+D # may = 2

# men =

S-D 2

Ejm: Hallar dos números tales que su suma sea 60 y su diferencia 40. R: 50 y 10 Ejm: Encontrar dos números que cuya adición es 40 y su resta es 16. R: 28 y 12 2do CASO:

La suma (S) y el cociente (C).

CS # may = C +1

S # men = C +1

Ejm: Hallar dos números tales que su suma sea 100 y su cociente 4. R: 80 y 20 Ejm: Determinar dos números que sumados da 640 y su cociente es 31. R: 620 y 20 3er CASO:

# may = # men =

La suma (S), el cociente (C) y el residuo (R).

CS+R C +1 S-R C +1

Ejm: Hallar dos números tales que su suma sea 40, su cociente 5 y su residuo 4. R: 34 y 6 Ejm: Encontrar dos números tales que su suma sea 52, su cociente sea 2 y su residuo sea 4. R: 36 y 16 4to CASO:

a>b _____m ≤ n_____ a÷ m>b÷ n

0

Para resolver problemas directos con las cuatro operaciones, hallaremos los dos números que participan en estas, empleando las siguientes fórmulas, según los casos considerados.

La diferencia (D) y el cociente (C).

a=b _____m > n_____ a÷ m
1

# may =

1

CD C -1 D C -1

# men =

Ejm: Hallar dos números, sabiendo que su diferencia es 60 y su cociente 4. R: 80 y 20 Ejm: Encontrar dos números, si su resta es 96 y su cociente es 4. R: 128 y 32 5to CASO: el residuo (R).

C D-R C -1

# may = # men =

La diferencia (D), el cociente (C) y

D-R C -1

Ejm: Hallar dos números, tales que su diferencia sea 90, su cociente 3 y su residuo 10. R: 130 y 40 Ejm: Encontrar dos números cuya diferencia es 203, su cociente es 6 y su residuo es 8. R: 242 y 39 6to CASO: # may

=

El producto (P) y el cociente (C). P C

# men =

P C

Ejm: Hallar dos números tales que su producto sea 40 y su cociente 10. R: 20 y 2 Ejm: Determinar dos números sabiendo que multiplicados dan 1 734 y su cociente es 6. R: 102 y 17 7mo CASO:

La suma (S) y el producto (P).

# may =

# men =

S+

S2 - 4 P 2

S-

S2 - 4 P 2

luego le extraigo la raíz cuadrada, al número obtenido lo divido entre 3 para luego restarle 1 y por ultimo al resultado lo elevo al cuadrado obteniendo como resultado final 16. Hallar el número inicial. R: 6

Ejm: Hallar dos números tales que su suma sea 17 y su producto 70. R: 10 y 7 Ejm: Si sumando dos números da 11 y multiplicándolos da 28 . Determinar estos números. R: 7 y 4 8vo CASO:

La diferencia (D) y el producto (P). 2

# may =

D +4P +D 2

# men

D2 + 4 P - D 2

=

Ejm: Hallar dos números tales que su diferencia sea 8 y su producto 48. R: 12 y 4 Ejm: Encontrar dos números tales que su diferencia es 6 y su producto 91. R: 13 y 7 COMPLEMENTO ARITMETICO DE UN NÚMERO Es lo que le falta a un número para convertirse en la unidad seguida de ceros de un orden inmediato superior. Ejm. CA de 7 = 3 porque: 7 + 3 = 10 CA de 72 = 28 porque: 72 + 28 = 100 REGLA PRACTICA: Se resta de 9 cada una de las cifras del número, partiendo de izquierda a derecha, excepto la ultima cifra significativa que se resta de 10. Ejm.

CA de 24 592

Se resta de 9

=

75 408 se resta de 10

CA de 7 246 800 = 2 753 200 Ejm. Hallar un número de 4 cifras que al ser restado de su complemento aritmético da 2 786 R: 3607

MÉTODO DEL CANGREJO Este método nos permite encontrar las soluciones de un problema en forma directa para lo cual se realizan las operaciones inversas en cada caso, empezando desde el final hacia el comienzo. OPERACIONES INVERSAS: + x ÷

( )n

n

Ejm: A un cierto número se le eleva al cuadrado, a este resultado se le resta 3, a este nuevo resultado se le multiplica por 7, luego se le divide entre 14, a este nuevo resultado se le eleva al cubo, luego se le agrega 9, finalmente se le extrae la raíz cuadrada obteniendo como resultado final 6. Hallar dicho número. R: 3 Ejm: Con un cierto número realizo las siguientes operaciones: lo elevo al cubo, al resultado le agrego 9 y

Ejm: Un alumno de RM entra a una iglesia donde existe un santo milagroso, quien cada vez que alguien entra a su iglesia le triplica el dinero que lleva, con la condición que cada vez que hace el milagro se deje una limosna de 25 soles. Si después de haber entrado 2 veces sale con 35 soles ¿Cuál era su dinero inicialmente? a) 12 b) 15 c) 18 d) 16 e) NA

REGLA CONJUNTA También se le denomina método de las equivalencias, se resuelve aplicando las relaciones que existen entre objetos de diferentes especies. REGLA PRÁCTICA: - Se forma con los datos una serie de equivalencias (en filas), poniendo la incógnita (X) en el primer miembro de la primera equivalencia. - A continuación se procura siempre que el primer miembro de cada equivalencia sea de la misma especie que el segundo miembro de la equivalencia anterior. - Así, el segundo miembro de la última equivalencia será de la misma especie que el primer miembro de la primera equivalencia (o sea, de la misma especie de la incógnita). - Se multiplican ordenadamente estas igualdades y se despeja el valor de la incógnita (X). Ejm: Sabiendo que 6 varas de paño cuestan lo mismo que 5 metros y que 2 metros valen 30 soles. ¿Cuánto costaran 4 varas? R: 50 Ejm: Sabiendo que 2 Kilos de frijoles cuestan lo mismo que 3 Kilos de azúcar; que 4 lápices valen lo mismo que 5 Kilos de azúcar; que 3 cuadernos valen 30 soles y que 8 lápices cuestan lo mismo que 4 cuadernos. ¿Cuánto costaran 6 Kilos de frijoles? a) 63 b) 24 c) 36 d) 48 e) NA E JE R C I C I O S Prob. 1: La suma del minuendo, sustraendo y diferencia de una sustracción es 19 456 y el minuendo es el cuádruple del sustraendo. Hallar el sustraendo. a) 2432 b) 1216 c) 3648 d) 608 e) 3040 Prob. 2: Un alumno tiene que multiplicar un número por 30, pero se olvida de poner el cero a la derecha del producto; por lo que obtiene un resultado que difiere del verdadero en 5 751. Hallar dicho número. a) 639 b) 1917 c) 213 d) 219 e) 426 Prob. 3: Cuanto se debe sumar al dividendo de una división cuyo divisor y residuo son 15 y 6, para que el cociente aumente en 3 y el resto sea máximo? a) 48 b) 50 c) 53 d) 57 e) 62

Prob. 4: Se tiene el producto: a x 15 x 18 , si aumentamos 7 unidades a cada uno de los factores, el producto aumenta en 4 970. Hallar “a”. a) 8 b) 6 c) 16 d) 4 e) 9 Prob. 5: A un número formado por un 2, un 7 y un 1; se le resta otro formado por un 5 y dos 7 y se obtiene un número formado por un 3, un 1 y un 5. ¿Cuál es el resultado? a) 135 b) 153 c) 351 d) 315 e) 513 Prob. 6: Hallar la suma de las cifras de ab2 , sabiendo que este número disminuido en su CA, da un número de tres cifras iguales. a) 9 b) 11 c) 13 d) 15 e) 6 Prob. 7: El cociente y el resto de una división exacta son 4 y 30 respectivamente. Si se suman los términos, el resultado es 574. Hallar el divisor. a) 438 b) 430 c) 108 d) 102 e) 170