Cours Commande Par Mode Glissant 6o56q

CISTEMA’2003

Une commande robuste par mode glissant flou Appliquée à la poursuite de trajectoire d’un robot mobile non holonome R.Ouiguini*, R.Bouzid**, Y.Sellami* * Laboratoire de Robotique et d’intelligence artificielle, CDTA. Haouch Oukil BP N°17, BABA HASSEN , Alger, Algérie Tél.: 213 21 35 10 54; Fa x: 213 21 35 10 39 ** Institut d’électronique, Université Saad Dahleb de Blida, Algérie E-MAIL: [email protected]

R ESUME : Ce papier présente une commande par mode glissant flou. Le contrôleur établit garde la partie dynamique de la commande par mode glissant et remplacera la partie discontinue par un contrôleur flou de type (TISO) à deux entrées

s p et d qui sont respectivement la

distance du vecteur d’état d’erreur par rapport à la surface de glissement et la distance Euclidienne entre ce vecteur et le vecteur normale à cette surface et une sortie de commande. La commande conçue a été appliquée à un robot mobile non holonome pour résoudre le problème de poursuite de trajectoire. Les résultats obtenus en simulation montrent l’efficacité de cette commande. Mots clés : Mode glissant, mode glissant flou, robot mobile non holonome, poursuite de trajectoires. 1. INTRODUCTION La commande par mode glissant a largement prouvé son efficacité à travers les études théoriques rapportées, ces principaux domaines d’application sont la robotique [1], [2], [3] et les moteurs électriques [4]. L’avantage que procure une telle commande et qui la rend aussi importante est sa robustesse vis -à-vis des perturbations et des incertitudes du modèle. Cependant, ces performances sont obtenues au prix de certains inconvénients : – un phénomène de chattering ou broutement provoqué par la partie discontinue de cette commande et qui peut avoir un effet néfaste sur les actionneurs, – le système est soumis à chaque instant à une commande élevée afin d’assurer sa convergence vers l’état désiré et ceci n’est pas souhaitable. Parmi les solutions proposées à ces problèmes on peut citer la commande par mode glissant à bande limite qui consiste à remplacer la fonction de commutation dans la commande par une fonction de saturation, celle ci sera détaillée dans le paragraphe suivant. A vraie dire, cette solution n’est qu’un cas particulier de la commande par mode glissant flou, d’où l’intérêt à utiliser une commande qui combine la logique floue et le mode glissant afin d’obtenir une commande robuste et lisse. La commande proposée dans cet article est nommée commande par mode glissant flou à deux entrées et une

sortie (TISO: two input - single output). Afin de tester son efficacité et sa robustesse, cette dernière est appliquée au contrôle de la poursuite de trajectoire d’un robot mobile non holonome, en tenant compte de sa contrainte cinématique et de son modèle dynamique. 2. S YNTHESE DE LA COMMANDE ROBUSTE PAR MODE GLISSANT

Considérant un système non linéaire décrit par :

x (n) = f ( x, t ) + g ( x, t ) ⋅ u

(1)

avec : x( t) = ( x, x& ,...,x( n−1) )T le vecteur d’état.

f ( x, t ) et g ( x, t) des fonctions non linéaires du vecteur d’état décrivant le système. Le but du contrôle de la poursuite est de trouver une loi de commande tel que, étant donné une trajectoire désirée x d (t) , l’erreur de poursuite x( t) − xd (t ) tend vers zéro malgré la présence des perturbations. L’erreur de poursuite est définie par :

e(t ) = x(t ) − xd (t ) = (e, e&,..., e( n−1) )T

(2) La mise en œuvre d’une commande par mode glissant e par trois étapes : •

Le choix de la surface de glissement

Slotine [8] a proposé une forme générale qui consiste à définir une fonction scalaire des surfaces de glissement dans le plan de phase dans le but d’assurer la convergence d'une variable d'état x vers sa valeur de consigne x d cette fonction est donnée par l'équation:

s( x, t ) = ( ∂∂t + λ ) ( n−1) ⋅ e

(3)

où : λ : est un scalaire qui représente la pente de la surface de glissement, cette dernière est obtenue pour un système du deuxième ordre lorsque :

s( x, t ) = 0

(4)

1

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Une fois la fonction de commutation est établie le problème de la poursuite nécessite la conception d’une loi de commande tel que le vecteur d’état e( t ) reste sur la surface de glissement s( x, t ) = 0 pour tout t ≥ 0 . •

La condition d’existence d’une surface de glissement

Elle peut être déduite de la fonction énergétique de Liapunov donnée par la relation suivante :

V =

1 2

⋅ s2

1 ∂ 2 ∂t

( s 2 ) ≤ −η ⋅ s

 u e + k ⋅ sgn( s ) si s >= Φ   u e + k ⋅ ( s / Φ ) si s <= Φ

(8)

où la largeur de la bande limite est égale à 2Φ , et peut être définie selon la précision (ε ) désirée, sachant que :

ε = Φ / λn−1

(5)

Une condition suffisante pour que le système 1 soit stable est :

V& =

u = u e + k ⋅ sat ( Φs ) =

(9)

La figure 2 représente le mode glissant avec bande limite.

(6)

Où : η > 0 •

L’établissement de la loi de commande :

La loi de commande par mode glissant est donnée par la formule suivante :

u = ue + k ⋅ sign( s) = ue + ∆u

(7)

sachant que : ue : est la commande équivalente.

sign(⋅) : est la fonction signe k : est une constante positive qui représente le gain de la commande discontinue. La figure 1 représente le plan de phase d’un système du 2ème ordre ainsi que la commande discontinue ∆ u de l’équation (7).

Figure 1 : Plan de phase et la fonction de commutation de la commande par régime glissant. Une méthode qui permet de réduire l’effet du broutement est de remplacer la fonction discontinue par une fonction de saturation, qui consiste à déterminer une bande limite autour de la surface de glissement ainsi assurant le lissage de la commande et le maintient de l’état du système dans cette bande. La loi de commande devient alors :

Figure 2 : Plan de phase et la fonction de commutation de la commande par régime glissant à bande limite 3. LA CONCEPTION DU CONTROLEUR PAR MODE GLISSANT FLOU

Pour une large classe de systèmes non linéaires du deuxième ordre les contrôleurs flous sont conçus en utilisant le plan de phase déterminé par l’erreur e et le changement de cette erreur e& [7]. L’approche heuristique la plus utilisée dans l’établissement des règles est de diviser le plan de phase en deux demi plan par une ligne de commutation, tel que chaque demi plan est utilisé pour définir seulement les valeurs positives ou négatives de la commande. Le contrôleur ainsi défini est appelé contrôleur flou de forme diagonale. Ceci reflète le principe de la commande par mode glissant, plus particulièrement sa fonction de commutation. Par conséquence, le contrôleur flou remplacera la partie discontinue de la commande représentée par les équations (7) ou (8). Son expression est donnée par :

u = ue + u flou

(9)

Dont la forme analytique de la commande floue n’est que l’équation suivante :

u flou = − k flou ⋅ sgn(s )

(10)

2

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Dans ce qui suit on présentera en détail : •

Le contrôleur par mode glissant flou à deux entrées et une sortie (TISO).

La distance d est définie comme étant la plus courte distance Euclidienne entre le vecteur d’état e et le vecteur normal n , elle est donnée par l’équation suivante :

3.1. Description du contrôleur (TISO)

d =

2

e − s 2p

(12)

Ce contrôleur et deux entrées s et d et une sortie de commande u . La conception du contrôleur doit respecter les deux règles générales suivantes [7] : R1 : u doit augmenter quand la distance s entre l’état actuel et la surface de glissement s = 0 augmente. R2 : u doit augmenter quand la distance d entre l’état actuel et la surface de glissement s = 0 augmente. Le plan de phase du contrôleur TISO représenté sur la figure 3 montre les deux distances s

L’exploitation de la distance s p

entre le vecteur

d’état d’erreur et la surface de glissement, ainsi que la distance entre le vecteur normal et la surface de glissement, permettent d’établir la base de règles de ce contrôleur. En affectant un ensemble flou pour chacune des variables on obtient le diagramme s p - d correspondant. Le tableau suivant représente le diagramme pour un système du deuxième degré (n = 2).

et d

Tableau 2 : Diagramme Sp-d

Figure 3 : Les distances

s p et d du contrôleur flou

(TISO). •

Détermination de la distance d :

Soit une surface de glissement de dimension (n − 1) , on définit le vecteur normal n par la formule suivante :

n=

  n − 1 T  n − 2      2 n −1  1,  ⋅ λ , ⋅ λ ,......... ...., λ      2   1      

La ieme régle de ce contrôleur peut être formulée comme le montre l’exemple suivant : Ri : Si

s p est NG et d est Z alors u est PM.

La fonction analytique d’un tel contrôleur est définie par :

(

)

u flou = −k flou s p , d ⋅ sign( s )

  n − 1 T  n − 2      2 n −1  1,    ⋅ λ,   ⋅ λ ,.............,λ  2   1      

avec : n : est le vecteur normal à une surface de glissement de dimension (n − 1) dans l’espace d’état de dimension n. Et soit s p la projection du vecteur d’états d’erreur e sur la surface de glissement selon la direction du vecteur normal n. cette distance est donnée par :

s p = eT ⋅ n

avec : (Z :Zéro, P :Petit, M :Moyen, G :Grand) sont les ensembles flou de l’univers de discours de la distance d. et (NG :négative grand, NM : négative moyen, NP : négative petit, NZ : négative zéro, PZ :positive zéro,PP :positive petit, PM :positive moyen, PG :positive grand) sont les ensembles flous de l’univers de discours de s p et u .

(11)

4. APPLICATION DE LA COMMANDE PAR MODE GLISSANT FLOUE (TISO) POUR LA POURSUITE DE TRAJECTOIRE D’UN ROBOT MOBILE NON HOLONOME Généralement, deux points de vue sont adoptés afin de modéliser le robot, le premier est de considérer l’hypothèse de roulement sans glissement se qui conduit à un modèle cinématique, l’autre point de vue est plus opérationnel, car il prend en considération les commande effective qui doivent être appliquée aux actionneurs du robot, ainsi le modèle cinématique est 3

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dérivé du modèle dynamique. Pour cela, nous avons opté pour la seconde approche.

4.1. Modélisation cinématique et dynamique du robot mobile Le robot mobile utilisé est une plate forme parallélépipédique à roues, qui peut se mouvoir grâce au deux roues motrices directrices placées à l’arrière (voir figue 4). Les deux roues avant sont des roues folles, leur rôle est de maintenir l’équilibre de la plate forme.

 xec  cosθr    pec = yec =−sinθr    θ   0  ec 

sinθr 0 

cosθr 0.( pr − pc)  1

0

(14)

La dérivée par rapport au temps de cette expression, qui sera utilisée dans le calcul de la commande équivalente, est déduit par :

 x&ec   ye.ωr − vr + vc.cosθe      p& ec =  y& ec  =  −ωr .xe + vc.sinθe      θ&    ω − ω ec c r    

(15)

4.2. Modélisation dynamique

–

Le robot mobile est soumis à des contraintes [2] qui sont : -L’impossibilité de se mouvoir dans la direction latérale .

y& c . cos Φ − x& c .sin Φ = 0 – la contrainte de roulement sans glissement pour chaque roue. On obtient alors la matrice des contraintes suivante :

Figure 4: Coordonnées du robot mobile Les équations cinématiques qui expriment le mouvement d’un robot mobile se déplaçant avec une vitesse linéaire

vc et une vitesse angulaire

(

ωc est donnée par :

( (

) )

r & &   x&c = vc ⋅ cos Φ = 2 θ d + θ g ⋅ cos Φ  r & & θ d + θ g ⋅ sin Φ  y& c = vc ⋅ sin Φ = 2  r & & θ& = ωc = θ d −θ g c  2b

(

 − sin Φ cos Φ 0 0 A(q ) =   − cos Φ − sin Φ r 2 r 2 avec : q = x0 , y0 , θ d ,θ g

(13)

)

où : r : le rayon de la roue b : la demi -longueur de l’axe des roues arrières. d : la distance entre le point de localisation du robot et son centre de masse G. θ d ,θ g : les positions angulaires de chaque roue par rapport à son axe de rotation. Φ = θ c : l’angle de rotation du robot par rapport à l’axe ox. Notons respectivement :

pc ( xc , yc , θ c )T , pr ( xr , yr , θ r )T la configuration courante du robot et celle de référence à atteindre.

qc (vc , ω c )T , q r (vr , ω r )T les vitesses courantes du robot et les vitesses de référence désirées. L’erreur entre les deux configurations par rapport au repère de la configuration de référence est donnée par l’expression suivante [1] :

)T

Le modèle dynamique est déduit en utilisant le formalisme de Lagrange, les équations dynamiques du robot peuvent être représentées sous la forme matricielle suivante [1], [3]:

M .q& c + c( qc ) = E .τ − B.λ où : M, la matrice d’inertie,

(16)

c ( qc ) , le vecteur de force

de centrifuge et de Coriolis, B, matrice des contraintes cinématiques, λ le vecteur des multiplicateurs de Lagrange, sont définies par : m − mc .d. sin Φ   M =   J  − mc .d. sin Φ 

 − m .d .ω2 . cos Φ  c  c c( q c ) =   − mc .d .v c .ω ⋅ cos Φ    c 1 r 1 r  τ1   0 1  , τ =   E =   B =  τ   0 0 b r − b r   2 T λ = (λ1, λ2 )

4

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avec :

m = mc + 2 ⋅ mr J = I G + mc ⋅ d 2 sachant que : m est la masse totale du robot. mc est la masse de la plate forme. Mr est la masse de chaque roue motrice directrice. J, IG : sont respectivement les moments d’inertie au point Pc et G (centre de masse du robot). De l’équation (16) on peut déduire une expression des couples de la forme suivante : τ = H .q& c + g (qc ) + P.λ 4.3. Etablissement de la commande par mode glissant flou (TISO)

(b) Figure 6 : (a) les ensembles flous des variables d’entrées et de sortie, (b) l’évolution de la sortie floue en fonctions des variables d’entrées.

Soit la surface de glissement donnée par : R ESULTATS DE SIMULATIO N

s = q e − C. pec c avec : C =  1 c 4

(17)

c3  c6 

c2 c5

LES PARAMETRES

En utilisant le principe du retour d’état linéarisant on a :

τ = H.q& r + g( qc ) + P.λ + H ⋅ u

(18)

avec : H ∈ ℜ 2× 2 , g ∈ ℜ2×1 et P ∈ ℜ 2×2

u = ue + ∆ u ue = − C. p& ec

(

)

∆ u = − K flou s p , d .sign(s ) . La figure suivante montre l’évolution de ∆ u en fonction de s p et d , ainsi que les ensembles flous affectés pour chaque variable d’entrée et de sortie. 1

Les résultats de simulation montrent l’application de la commande TISO pour la résolution du problème de la poursuite de trajectoire pour un robot mobile non

NGS1

- La masse totale. -La masse des roues motrices directrices. - La longueur du robot. - la largeur du robot. -La distance entre une roue motrice et l'axe de symétrie. -La distance entre le centre de masse et l'axe des roues arrière. -Le rayon de chaque roue motrice.

NOTATION

LES VALEURS

mc mr

20kg 0.5kg

L l b

0.80m 0.5m 0.25m

d

0.30m

r

0.07m

holonome dont les paramètres sont données dans le tableau ci-dessous :

PGS1 ZS1

0.5

Tableau 3 : les paramètres du robot utilisé en simulation

0 -0.01 1

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0 sp1

0.002

0.004

0.006

PD1

0.008

0.01

Le système dynamique converge vers la référence désirée en choisissant la matrice C qui permet d’obtenir la surface de glissement :

GD1

0.5

0 0 1

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005 d1

0.006

0.007

0.008

0.009

NG1

0.01

0.5

0 -80

− 100 100

− 100   100 

PG1 ZS1

-100

100 C= 100

-60

-40

-20

0 ufloue1

(a)

20

40

60

80

100

Les figures(7 et 8-(a)) montrent l’efficacité de la commande TISO dans la résolution du problème de la poursuite de trajectoire et sa robustesse vis -à-vis des erreurs initiales de position et aussi par rapport au coefficient de Lagrange λ 2 , ce dernier représente physiquement le coefficient des liaisons non holonomes. On remarque que le robot arrive à suivre la 5

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trajectoire désirée après un bref délai et les erreurs de poursuites tendent tous vers zéro (figure7et 8 -(b)) ainsi que les deux surfaces de glissement (figure7et 8-(c)) correspondant chacune au couple de commande de la roue gauche et droite respectivement.

Euclidienne d deviennent nulles, dans ce cas le robot a atteint la trajectoire désirée et l’application d’une faible commande est suffisante pour que le robot suit cette dernière. Les différents teste effectués sur plusieurs trajectoires à partir de différentes positions initiales ont tous donnés une erreur de position inférieur à 5 mm ainsi qu’une erreur d’orientation négligeable.

yc-yr

m

m

2

0 0 0 50

10

20 30 erreur sur θ

10

20 30 erreur sur v

sec 40

sec

-1 0

10

20

30

40

deg

0 -50 -100 0 5

tetac-tetar sec 40

0

-5 0

10

vc-vr sec 30 40

20

erreur sur ω

10 5

rad/sec

système est atteint lorsque la distance s p et la distance

erreur sur y 2

xc-xr

1

m/sec

Du point de vue commande,nous remarquons clairement la différence entre la commande obtenue par mode glissant seule (figure 7 -(d)) et celle obtenue par mode glissant flou TISO (figure 7 et 8-(c)). Cette dernière a réduit le chattering sans diminuer la robustesse du système. Le régime permanent du

erreur sur x 4

0 wc-wr

-5 0

10

20

30

sec 40

(b) graphes des surfaces de glissement 100 surface1 0

400 300

surface2

-100

graphes des trajectoires

200 -200

6 100

4

0

m

m

2

0 0

0 -2

0

xc xr 10

20

-6

30

10

100

yc yr

-4 0

sec

-400 20 30 40 0 sec graphes des commandes 100

50

10

20

30

sec

Nm

-5

-300

0 -50

5

0

m

deg

100

-100 0

0

10

20 sec

30

10

20 sec

30

40

50 Nm

5

0 -50

U1 10

20 sec

30

40

-100

U2 0

40

(c) -100

-5

tetac tetar 0

10

20

30

xc/yc xr/yr -5

sec

(a)

0 m

5

(d) Figure 7 : (a) les trajectoires désirées et les trajectoires parcourues par le robot mobile. La position initiale du robot est (7, 0, 0°), λ 2 =10, λ 1 =0. (b) les graphes des erreurs (c) les surfaces de glissement et les couples de Commande des deux roues en appliquant la commande par mode glissant flou (TISO) (d) les couples de commande en appliquant la commande par mode glissant

6

CISTEMA’2003 Graphes des trajectoires 8

8

Graphes des surfaces de glissement 0

6

6

0

m

m

4 4

-50

-100

2

-100

0

2

xc xr

0 0

5 sec

10

0

tetac tetar

200

yc yr

-2 5 sec

-200

-150

10

-300 xc/yc xr/yr

6

surface1 0

5 sec

-200

10

surface2 0

Graphes des commandes

100

50

50

0

5 sec

10

-100

4 2

-200

Nm

m

0

Nm

deg

100

0

0

5 sec

0 0

10

2

4 m

6

-50

8

-50

U1 0

5 sec

10

-100

U2 0

5 sec

10

( C) Figure 8 : (a) les trajectoires désirées et les trajectoires parcourues par le robot mobile. La position initiale du robot est (1, 1, 90°),λ 2 =10, λ 1 =0. (b) les graphes des erreurs (c) les surfaces de glissement et les couples de Commande des deux roues en appliquant la commande par mode glissant flou (TISO)

CONCLUSION (a) erreur sur x

erreur sur y

1

2

m

m

0 0

-1 -2

xc-xr sec 0

5 erreur sur θ

0

5 erreur sur v

deg

50

10

yc-yr sec

-2 0

5

2

erreur sur ω

10

0 tetac-tetar sec

-50

10

1

rad/sec

m/sec

2

0 vc-vr sec

-1 0

5

10

0 -2 -4 0

wc-wr sec 5

10

(b) BIBLIOGRAPHIE [1] H.S.Shim, J.H.Kim, K.Koh " Variable structure control of nonholonomic mobile robots". IEEE conf. Robot. Automat, May 1995. pp 1694-1699 [2] P.Ruaux, G.Bourdon, S.Delaplace "Dynamic control of wheeled mobile robot using sliding mode" Romancy1996 Udine, Italie, pp 205-112, 1996. [3] J.M.Yang, I.H.Choi, J.H.Kim " Sliding mode motion control of non holonomic mobile robots", IEEE control system, vol.19, N°19. April 1999. pp 15-23

Dans ce papier nous avons proposé un contrôleur qui peut être appliqué pour une large classe de systèmes non linéaire, il combine les avantages de deux techniques considérés robustes et qui sont la commande par mode glissant et la commande floue. L’application de cette commande sur un robot mobile non holonome afin de lui faire suivre une trajectoire désirée a permis de mettre en évidence cette caractéris tique. En plus, les résultats de simulation montrent le rôle important que la logique floue à jouer pour réduire le phénomène de chattering et permettre de bien contrôler le gain de la commande nécessaire pour forcer le robot à suivre la trajectoire spécifiée. [4]A.Ishigame, T.Furukawa "Sliding mode controller design based on fuzzy inference for nonlinear systems". IEEE transactions on industrial Electronics, vol. 40, N°1, February 1993. [5]H.X.Li, H.B Gatland, A.W.Green "fuzzy variable structure control ".IEEE transaction on systems, Man, and cybernetics- Part B: cybernetics, vol.27 N°2, April 1997. [6]Y.C.Hsu, Heidar A.Malki "Fuzzy variable structure control for MIMO systems ". IEEE Int. conf. fuzzy syst. Proc, vol1.1, 1998.pp 280-285 [7]R.Palm, D.Driankov, H.Hellendoo "Model based fuzzy control". Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1997. pp 75-100

[8]J.J.Slotine, W.Li "Applied nonlinear control", Englewood Cliffs, NJ: prentice Hall, 1991 7