Calculo Ii Codex Tomo Ii 2017 Final 4k1b24

TEORÍA Y PROBLEMAS SELECTOS

CÁLCULO II

Y COMO RESOLVERLOS

PROBLEMAS DE EXÁMENES UMSA INGENIERÍA ,UNI PERÚ-U.TOKIO JAPON

CODEX

VOL.III

*INTEGRALES DE LÍNEA Y SUS APLICACIONES *INTEGRALES MÚLTIPLES Y SUS APLICACIONES J&J PAYE Hnos.

CÁLCULO II

CODEX Derecho reservados de acuerdo al D.L.- 6711-16 AUTORES:

JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA

SEGUNDA EDICIÓN NOVIEMBRE, 2016 LA PAZ- BOLIVIA

QUEDA AUTORIZADA LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL

NO AL OSCURANTISMO CIENTÍFICO NOTA: FAVOR DE NO PINTAR NI SELLAR, OBSTACULIZA AL LECTOR

PROLOGO

El presente trabajo “CODEX CALCULO II VOL.III”, En su primera edición contiene básicamente los temas: INTEGRALES DE LÍNEA, INTEGRALES MÚLTIPLES Y APLICACIONES, son temas que se desarrollan en el Tercer Parcial en el Curso de Cálculo II en INGENIERÍA. En cada capítulo se expone un resumen de enunciados de definiciones y teoremas, seguido de ejercicios desarrollados y de reto personal. Deseo expresar mi mas profundo agradecimiento a mí FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA, quien va formando profesionales para el desarrollo Técnico y Científico de nuestros país.

JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA

DEDICATORIA “A LA PERSONA MAS IMPORTANTE EN LA VIDA DE CADA PERSONA, A TI MAMÁ”

“TAMBIÉN A ESE SER QUE TE DA INSPIRACIÓN COMO CADA POETA NECESITA SU MUSA UN MATEMÁTICO NECESITA DE SU FACTOR INTEGRANTE DE VIDA (INSPIRACIÓN)” JOSE PAYE CHIPANA

ASÍ TE DESCRIBO SOLO NECESITO UN PEDAZO DE CARBÓN PARA ESCRIBIRLE QUE ELLA ES LA ECUACIÓN QUE MODELA MI CORAZÓN Y DEMOSTRARLE TODOS LOS DÍAS QUE MI AMOR POR ELLA ES MAYOR AL INFINITO A ESA NIÑA BONITA QUE TIENE SOLUCIONES COMPLEJAS ASÍNTOTAS NEGATIVAS PERO PARA MI ES LA SOLUCIÓN PERFECTA

AL VERTE PIENSO QUE ERES UN LIBRO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, QUIERO SER TU TEOREMA FUNDAMENTAL Y SER EL PLANO OSCULADOR QUE ACARICIE TU DOMINIO REAL, A TI MUSA QUE VALORAS LA VIDA TRIVIAL DE UN MATEMÁTICO DE INGENIERÍA Y COMPRENDES EL VALOR DE MI INSPIRACIÓN YA QUE SIN TU PRESENCIA Y COMPRESIÓN TUYA NO SERIA LA MATRIZ IDENTIDAD DE TUS PENSAMIENTOS PARA TI MI INTERVALO DE CONFIANZA ATENTAMENTE, JOSE PAYE CHIPANA POSDATA (SI EXISTIERAS!!)



ÍNDICE

PAGINA

1. PROBLEMAS DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA (2009-2017) …1 2. CAPITULO VI INTEGRALES DE LÍNEA ………………………………………....7 3. PROBLEMAS RESUELTOS INTEGRALES DE LÍNEA ……..………………..12 4. CAPITULO VII INTEGRALES MÚLTIPLES INTEGRAL DOBLE…………….18 5. PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRAL DOBLE Y APLICACIONES.…25 6. CAPITULO VIII INTEGRAL TRIPLE Y APLICACIONES……………………...50 7. PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRAL TRIPLE Y APLICACIONES ….53 8. PROBLEMAS DE RETO PERSONAL (EXÁMENES DE UNI- LIMA PERÚ, U. TOKIO JAPON)……………………….61



JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

PREGUNTAS DE EXÁMENES DE PRIMER PARCIAL ORDENADOS DE ACUERDO A FECHA Problemas Resueltos De Exámenes Pasados De Umsa Ingeniería De (2009-2017) Y Algunos Exámenes De Cálculo II, (UNI –Peru) (U. Tokio-Japon)

x y  x, y   si se conoce: u  3 , v  3 y x  u.v 

1) (I/2017) a) Calcule el Jacobiano J  b) Justificando

la

respuesta

2 x

2 y

0 ex

0 0

analizar

la

verdad

o

falsedad

de:

  3x  y dydx    3x  y dxdy 

4

4



2

2

2

2) (I/2017) Calcular: I    x 3  y 3 ds , C: x 3  y 3  3 3 recorrido positivamente. C



1 y

3) (I/2017) Calcular: I    2 0 y



x

ye dxdy x

4) (I/2017) Calcular el volumen limitado por: z 

x 2  y 2 , z  0, x 2  y 2  4 y 5) (I/2017) Calcular el área limitada por: x  y  2, x  y  7. y  x, y  3 x 6) (II/2016) a) Deducir la expresión del Jacobiano en la transformación de coordenadas esféricas. 10 ln y

ln 10 10

b) Justificando la respuesta analizar la verdad o falsedad de:

 0

1 1 e ln y dydx  0 0 ln y dxdy x

7) (II/2016) Si C: recta que une los puntos A(0,0) con B(1,1) Calcular: la integral de línea

 2 x  e

x2 y







 2 x 2 yex y  y 3 senxy2  dx  3 y 2  x 3e x y  cosxy2   2 xy2 senxy2  dy 2

2

C

8) (II/2016) Si R: triangulo de vértices (0,0), (2,0), (0,2) . Calcular: I   e

yx y x

dxdy

R

9) (II/2016) Calcular el volumen del solido limitado por: Calcular: z  6  x 2  y 2  0 10)

(II/2016)

En

el

cuerpo

x2  y2  z  8 semiesférico

x 2  y 2  36 x 2  y 2  z  a 2 , z  0 la densidad varía

proporcionalmente a la distancia de un punto al centro. Hallar las coordenadas del centro de masa del sólido. 1

INGENIERÍA CIVIL

PAYE

INGENIERÍA PETROLERA





JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

 x, y , z 

1) (I/2016) (a) Deducir la expresión del Jacobiano J     , ,  

Anote las expresiones de

transformación a coordenadas esféricas. (b) Justificando la respuesta, analizar la verdad o y 6 2

 

3 2x

 

2 2 falsedad de:  cos x dxdy    cos x dydx 0 0

2) (I/2016) Calcular:

0 0

 2x cosxy  x ysenxy  2xy e

2 x2 y

2

c

  





 2x dx  ex y 1  x2 y  x3senxy  1 dy C: 2

Recta que une los puntos A(0,0) con B(1,  ) 3) (I/2016) Calcular: I 

 V

2

x

2

 y2  z



5 2 2

dV

V :encerrado por 4  x 2  y 2  z 2  16

4) (I/2016) Calcular el volumen del solido limitado por: z  0 , x 2  y 2  z , x 2  y 2  6 x 5) (I/2016) Si a la esfera x 2  y 2  z 2  4 se le efectúan dos cortes cilíndricos mediante

x 2  y 2  2 x calcular el área de la parte restante de la esfera 6) (II/2015) Calcular el volumen del solido encerrado por: x 2  y 2  4 , x  z  2 , y  4 , x  0 , z  0 7) (II/2015) Calcular el centro de gravedad de la región: x 2  y 2  4 , x  y  2 ,   xy 8) (II/2015) Calcular:

 3 y e dx  7 x  cos x



y 4  1 dy C: 4 x 2  y 2  1

c

9) (II/2015) Hallar el área encerrada por: x  1 , 2 y  1  x 2 , 2 y  x 2  2 x  2, 2, 2 

10)

(II/2015) Calcular:

2xy  z dx 2 yz  x dy  (2xz  y )dz    2

2

2

1,1,1

11)

(I/2015) (a) Anote las expresiones de transformación a coordenadas esféricas. (b) 2 4 x 2

Justificando la respuesta, analizar la verdad o falsedad de: 12)

(I/2015) Calcular:

 yz e

2 xy





  0

0

 2

x  y dydx   r 2drd 2



2



0 0



 2 xe  y e  1 dx  xz e  3 y e  1 dy  2 ze  x2e z  2 z dz z

3 x

2 xy

2 x

xy

c

C: camino que une los puntos A(0,0,1) con B(1,1,1) 13)

(I/2015) Calcular:



x 2  y 2  z 2 dV

V: x 2  y 2  z 2  2 y

V

14)

(I/2015) Calcular el volumen del solido encerrado por: z  0 , x 2  y 2  z , x 2  y 2  3 x

15)

(I/2015) Calcular el área de la parte de cono x 2  y 2  z 2 situada en el primer octante y

limitada por el plano y  z  6 INGENIERÍA CIVIL

1

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(II/2014) Que condición debe cumplir f x, y para que

16)

 f x, ydA se utilice

para calcular

R

el área de una región R? 17) (II/2014) Escriba una propiedad de las integrales dobles y anote un ejemplo

(II/2014) Si f x, y   g x, y  ,en una región R, cual es el significado geométrico del

18)

Teorema:

 f x, y dA   g x, y dA ? R

19)

R

(II/2014) Cual es el valor de la integral

 dV . S: es el solido

x2  y2  4 , z  0 , z  2

S

20)

(II/2014) Calcular la integral

 y  x

2

dA R=  2,2 0,4

R



21)

(II/2014) Calcular el Área de la superficie interior a la curva: x  y

22)

(II/2014) Calcular

2



2 2

el volumen encerrado por las superficies:

z 2  4 x 2  y 2 , z  0 interior a ambas 23)

2

paraboloide z  2 x  2 y 24)

(II/2014) Calcular



4x 2  y 2  z 2  4 ;

el área de parte del cono z  x  y ,que está en el interior del

(II/2014) Calcular 2



 8 x2  y2

2

2

2

el valor de la integral

 e

x y 2

dA R= 0,2 0,3 en cada rectángulo

R

trabaje 25) (I/2014) Escriba una propiedad de la integral Doble y anote un ejemplo sencillo 26)

(I/2014) Es integrable la función f x, y   x  2 y definida en el rectángulo: 1  x  2 ,

0  y  2? 

27)

(I/2014) Dibuje cuatro vectores del Campo Vectorial: f  x, y   2 x  y , x  2 y 

28)

(I/2014) Escriba un ejemplo para la propiedad:    F  G     F    G

29)

(I/2014) Calcule la integral

 

 y  x  1 dA ,



 





R  0,2  0,1

R

30) (I/2014) Una esfera metálica de radio R=2 [cm] , es perforada en uno de sus diámetros por una broca de radio 1 [cm] . Cuanto de material metálico queda? (dibuje adecuadamente su solido) 31)

(I/2014) Calcular el área de la parte de la esfera x  y  z  4 , situada sobre el plano 2

2

2

z 1 32)

(I/2014) Calcular el volumen del helado   cos  (esfera) y  

 (cono coordenadas 4

esféricas) 

33)

(I/2014) Calcular el trabajo realizado por la fuerza F  2 x  y ,3 x  y  , a lo largo de los

lados del triangulo (0,0), (2,0), (0,2) INGENIERÍA CIVIL

2

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

34) 35) 36) 37)

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(II/2013) cómo define un campo Conservativo? Escriba un ejemplo. (II/2013) Cual es el significado geométrico de una integral Doble?

(II/2013) Puede calcularse mediante integral doble el volumen de f x, y   2 x  y , en la

región R  0,1 0,2? 38) (II/2013) Cual es el significado del jacobiano en una transformación de coordenadas Aplicada a integrales Dobles.

 4

39)

(II/2013) Dibuje el Solido y calcule el Volumen del solido, limitado por:  

40)

(II/2013) Calcular el área del paraboloide z  9  x  y ; que se encuentra arriba del plano 2

z 5 41)

  4 cos 

2



(II/2013) Demuestre que el campo F  cos x  ln y, xy

1



 e y ; es CONSERVATIVO y

calcule la función potencial 42)

(II/2013) Sea R la región elíptica limitada por: x  xy  y  3 ; Haciendo el cambio 2

x uv

y  u  v ;Calcule

 e

 ( x 2  xy  y 2 )

2

dA

R

43) 44)

(I/2013) Escriba una propiedad de la integral Doble y anote un ejemplo sencillo (I/2013) Cual es el significado geométrico de una integral Doble

45)

(I/2013) Calcule

 f x, y dA , f x, y   2x  y

R  0,1 0,2?

R

46)

(I/2013) Graficar el campo vectorial: F  2 x  y, x  2 y 

47)

(I/2013) Graficar la región definida en el primer cuadrante, limitada por las curvas.

xy  2

xy  4 xy 3  3

(I/2013) Calcular el área de la superficie: x  y  z  4 z 2

48)



z  x2  y2 49)

xy 3  6 ; y calcular el área 2

cortada

por el cono



1/ 2

(I/2013) Calcular el Volumen del solido limitado por los elipsoides: 4 x  4 y  z  4 ; 2

4 x 2  4 y 2  z 2  16 50)

2



2

2



(I/2013) Calcular el trabajo realizado por la fuerza F  4 xy  y ,2 x  2 xy ; a lo largo de la 

2

2

curva r (t )  (t ,2t ) ; 0  t  2 (Grafique la curva) 51)

2

(II/2012) Si R es la región triangular limitada por la curva cerrada C recorrida positivamente

con vértices en: (0,0) , (2,0) , (0,2); Calcular: (a)

 y

2





 

 1 dx  x 2  1 dy

c

(b) 2

 x  y dydx

(c) analizar si se cumple ó no el teorema de Green

R

52)

 x2  dydx; R: encerrada por: x 2  y 2  4 x (II/2012) calcular la integral   2 2  x y  R 

INGENIERÍA CIVIL

3

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

53)

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(II/2012) calcular el área del cilindro: y  z  25 comprendida entre los planos y  2 x ; 2

2

x0 54)

(II/2012) calcular el volumen del solido encerrado por: z 

y  x , y  4x 55)

(II/2012) calcular la integral: I   x x 2  V

y 2 2 , z  0 , y  x , y  3x , 2 x

y2 z2 y2 z2   4 en el primer  dV ; V: x 2  4 9 4 9

octante. 56)

(I/2012) Hallar el volumen limitado por: y  6 , z  2 y , z  x 2 , z  2  x 2

57)

(I/2012)

Calcular el área de la porción de la superficie z 2  x 2   y  2 

2

, interior a

x 2  y 2  2x 58)

(I/2012) Calcular la masa de la lámina plana que se muestra en la figura, si su densidad

superficial está dada por  x, y   xy

2

y 4 2 x

2 59)

(I/2012)

Calcular el área de la porción de la superficie z  x  ( y  2) 2

2

2

,interior a

x 2  y 2  2x 60)

 x2  2y  (I/2012) Calcular :  x dy   y dx , si c :  x  2 y  20 , en el primer cuadrante c  x0 

61)

(I/2012) Hallar la masa del cuerpo de densidad constante, cuya forma esta limitada según

lo siguiente: Interior a la superficie x  y  z  4 y exterior a x  y  3z , z  0 2

62) 63)

2

2

2

2

(I/2012) Hallar el área del lazo de la curva: y  x 4  x  2

4

(II/2011) (a) Analizar la verdad ó Falsedad de:

4 16 x 2

4 16 x 2

4

0

  (2 x  3 y)dydx  2  (2 x  3 y)dydx 0

0

justifique su respuesta (b) Deducir la expresión del jacobiano en coordenadas esféricas 64)

(II/2011) Invertir el orden de integración en: I 

INGENIERÍA CIVIL

4

PAYE

4

8x

0

4 x x2

  f ( x, y)dydx






JOSE PAYE CHIPANA

65)

CODEX-CÁLCULO II

(II/2011)







JOSUE PAYE CHIPANA

Calcular





:

 

I   2 xz  2 y  3e cos y dx  3 y z  2 x  e seny dy  x  1  2 y z dz 3z

2

2

3x

2

3

C:

camino

C

ABCD, A(0,0,0) ; B(2,0,0); C(2,0,0); D(2,3,1) 66)

(II/2011) Calcular el área de la superficie: x  y  z  0 en el primer octante y limitada 2

2

2

por x  y  6 67)

(II/2011) Calcular el volumen del solido interior a: x  y  z  8 z 2

2

2

e interior a:

z 2  3x 2  3 y 2 68)

x 2  y 2  z 2  25 ;

(II/2011) En el solido semi esférico

z  0 la densidad varia

proporcionalmente a la distancia de todo punto al centro. Hallar las coordenadas del centro de masa de este cuerpo 69)

(II/2011) Calcular la integral: I 

















donde: F  x  y 2 i   2 x  j  2 yz  k , S:

 F  d S R

superficial del plano 2x + y + 2z = 6 en el primer octante 70)

(I/2011)

Determinar

el

volumen

limitado

por:

9 x 2  4 y 2  36z 2  36

,

9 x 2  4 y 2  36z 2  144 , 9 x 2  4 y 2  36z 2 71)

 x 2  y 2  4 xy 6 (I/2011) Calcular la integral doble:  ( x  y )dydx si R :  2 2  x  y  1 xy 1 R

72)

(I/2011) Resolver:

2



2

1  (2 x  y ) 2  ( z  x) 2  ( y  3 z ) 2 dxdydz R:

R

( 2 x  y )  ( z  x)  ( y  3 z ) 2  1 2

2

73)

(I/2011) Determinar el área interior a x  y  4 x y exterior a r  2sen3

74)

(I/2011) Calcular la integral de línea

2

2

 e

xy







ysenx  e xy cos x  2 xy 2 dx  xe xy senx  2 yx 2 dy

C

1  x   que une los puntos A(0,  ) , B ( 2 ,1) 2 (II/2010) Hallar el área plana Interior a la circunferencia   5 y exterior a la cardioide

Donde C: es y  75)

  51  cos  

76) (II/2010) Hallar el volumen del combustible que transporta una cisterna, cuya sección circular tiene un radio 1[m], su longitud es de 6[m] y sus extremos son esféricos. La altura del combustible respecto del fondo tiene 1[m] 77)

(II/2010) Calcular el Área del paraboloide z  x  y 2

z 2  y 2  x 2  4z 78)

(II/2010) Comprobar el Teorema de Green en el Plano

2

que esta dentro de la esfera

 2 xy  x dx  x  y dy 2

2

siendo C

C

la curva cerrada que limita la región entre: y  x , y  x

INGENIERÍA CIVIL

5

PAYE

2






JOSE PAYE CHIPANA

79)

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(II/2010) Hallar el volumen limitado por las superficies: x  y  z  9 ; x  y  z  25 y 2

2

2

2

2

2

z 2  3 x 2  3 y 2 ; 3z 2  x 2  y 2 80) 81)

(II/2010) Calcular el volumen que se genera al hacer girar el área encerrada por las rectas: y  4 x , y  x  10 y x 4 y alrededor del eje “y”

x y4 2 0,x y4 2 0

y y  x  4 2  0 : que sea exterior a la circunferencia

y 2  x 2  16 82)

x y 4 2  0,

(I/2010) Calcular el área de la región limitada por las rectas:

2zx

(I/2010) Calcular la integral:

2



 2 zy 2 dxdydz

Siendo V el volumen exterior: a

z 2  x 2  y 2 e interior a z  x 2  y 2 83)

(I/2010) Calcular el área de la superficie z  x  y 16 que este al exterior de 2

2

2

z 2  x2  y2 84)



calcule la integral



una parametrización de la elipse: 4 x  1  y 0

(I/2010) Considere la curva “C”

2

2

 x  y dx   y  x dy

C

(a) DIRECTAMENTE (b) APLICANDO EL TEOREMA DE GREEN –RIEMANN 85) (I/2010) Calcule el volumen de la porción del solido comprendido entre las superficies

z  12  y 2  x 2 86)

(I/2010)

; 4z  y  x 2

2

Hallar



situado por encima de XY

el

trabajo

realizado



por

una

fuerza

F x, y, z   2 x  y  z; x  y  z ;3x  2 y  4 z al desplazar en sentido anti-horario una partícula alrededor de una circunferencia sobre el plano z  1 con centro en el eje z y con radio 9 2 2 87) (II/2009) Calcular la masa de un cuerpo limitado por las superficies 2az  x  y ; 2

x 2  y 2  z 2  a 2 , z  0 ( a es una constate positiva) sabiendo que su densidad volumétrica esta



dada por  x, y, z   15 1  z 88)



(II/2009) Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies: z  x  y , xy  a , 2

xy  2a 2 , y  89)

2

2

2

x , y  2x , z  0 2

(II/2009) Calcule el área de la región interior a la circunferencia x  y  4 y a la derecha 2

2

de la recta x  1 90)

(II/2009) Hallar el área de la parte de la superficie esférica dada por: x  y  z  R 2

es perforada por agujero cilíndrico x  y  r 2

91)

2

2

donde R  r



2



2

(II/2009) Considere la curva “C” una parametrización de la elipse: 4 x  1  y 0

la integral

2

2

2

, si

calcule

 x  y dx  x  y dy c

INGENIERÍA CIVIL

6

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

92)

CODEX-CÁLCULO II

(II/2009) Calcular la circulación







JOSUE PAYE CHIPANA



f  d r del campo de velocidades de un fluido dado por

c







2 2 2 f  x, y , z   arctan x 2 ,3 x, e 3 z tan z , a lo largo de la intersección de la esfera x  y  z  4

con el cilindro x  y  1 considerar z  0 2

93)

2

(I/2009) Sea R la región del plano R 2 , limitado por las curvas: x  y  1 , x  y  9 , 2

2

x  y  4 y x  y  6 , Hallar el área de la región R (sugerencia u  x  y 94)

2

2

v  x y )

(I/2009) Calcular el área de la parte de la superficie z 2  x 2   y  2 

2

que es el interior a

x 2  y 2  2x  0 95)

(I/2009) Calcular el volumen limitado por las superficies: y  

b a 2  x 2 ; z   n donde n a

es una constante. 96)

(I/2009) Calcular la masa de una lámina de densidad superficial igual a  x, y   e

x2 y

,

sabiendo que la forma geométrica de la lamina esta dada por: x  y  1 4 2

97)

(I/2009) Calcular: I 

e

x2

dxdy

0 y 2

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7

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

CAPITULO VI

JOSUE PAYE CHIPANA

INTEGRALES DE LÍNEA 







r t   xt  i  y t  j  z t  k t  t1 ,t 2  es suave si x ' t , y ' t , z ' t  son continuas y no simultáneamente nulas en t  t1 ,t 2 

Definición: Sea una Curva C del espacio R3 representada por



Si f ( x, y ) es función definida en una región del PLXY que contiene una curva C de



longitud finita: se define

f  x, y ds  lim  f xi , x j si [INTEGRAL DE LINEA DE n

 0

C

i 1

LA FUNCION f  x, y  A LARGO DE LA CURVA “C”]

ds : Diferencial de longitud de curva (longitud de arco) -se generaliza para el espacio R3

I   f x, y, z ds

dx 2  dy 2

ds 

dx 2  dy 2  dz 2

ds 

C

PROPIEDADES Si K  R ; di f,g son integrales sobre “C” 1)

 kf x, y ds  k  f x, y ds

C

2)

C

  f  g x, y ds  f x, y ds   g x, y ds

C

3) 4)

C

 f x, y ds    f x, y ds

C

C

(sentido de anti horario positivo)

C

 f x, y ds   f x, y ds   f x, y ds

C

C1

(donde: C  C1  C 2 )

C2

CALCULO DE LA INTEGRAL DE LÍNEA Para

calcular

I   f x, y ds

se

debe

parametrizar

C

 I   f x, y ds  C

“LA

la

Curva

“C”

 x  x(t ) C  y  y (t )

t2

 f x(t ), y(t ) x´(t )   y´(t ) 2

2

dt

t1

INTEGRAL ES

DEFINIDA

REAL Y SE PUEDE CALCULAR POR CAMINOS

CONOCIDOS YA EN CÁLCULO I” En General se puede parametrizar C de 3 maneras 

y  f ( x)  I   fdx C

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8

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

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JOSUE PAYE CHIPANA

x  g ( y)  I   fdy



C

 x  x(t ) C  I   fdt (recomendable)  y  y (t ) C





f t    f1 t , f 2 t  representa un campo vectorial continuo sobre una curva

Definición: Si









suave “C” dado por r t   xt  i  y t  j  z t  k t  t1 ,t 2  entonces 





w  f d r





d r  dx i  dx j

c



Representa al TRABAJO Total efectuado por el campo de fuerzas f t    f1 t , f 2 t 

sobre

una partícula que se mueve a lo largo de una curva INDEPENDECIA DE LA TRAYECTORIA TEOREMA: 

Sea



la

integral



I   f  d r   P( x, y), Q( x, y)   d r   P( x, y)dx  Q( x, y)dy  C

C

de

-Sean

P,Q

línea

continuas

en

una

C

región R que contiene a una curva “C” - Sean P1 y P2 puntos inicial y final de “C” Si se cumple

P Q  (CONDICIÓN DE EULER) y x

Si cumple la (CONDICIÓN DE EULER) LA INTEGRAL NO DEPENDE DE LA TRAYECTORIA “C” solo depende de P1 y P2 puntos inicial y final de “C” - Si el camino

de la curva es cerrada y y cumple con la CONDICIÓN

I   P( x, y)dx  Q( x, y)dy   0

DE EULER

C

-Un campo vectorial



f x, y   P( x, y ), Qx, y  es 

f t   F

función escalar F ( x, y ) se cumple:

CONSERVATIVO si para alguna

P( x, y ), Qx, y    F , F   x y 

F ( x, y ) se



denomina FUNCIÓN POTENCIAL de f

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PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

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JOSUE PAYE CHIPANA 



I   f  d r   P( x, y)dx  Q( x, y)dy  es

En este caso si cumple la condición de Euler

C

C

INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA “C” 





I   f  d r  F  d r  dFd ( x, y)  F x, y  P1  F x, y  P 2  F x, y  P1  C

P2

C

C

I  F x, y  P 2  F x, y  P1 CALCULO DE LA INTEGRAL DE LINEA DE PRIMERA Y SEGUNDA ESPECIE 1) PRIMERA ESPECIE Caso I

 x  x(t ) I   f x, y ds C    I   fdt Los límites de “t” son dados por la Curva “C”  y  y (t ) C C Caso II Cuando en la ecuación Cartesiana de

la curva se encuentra expresiones de la forma:

 x  r cos x n  y n si:  :   cos 2   sen 2  1  y  rsen

 x  r cosh  :  cosh 2   senh 2  1  y  rsenh

CIRCUNFERENCIA DESFASADA EN EL EJE “y” 3.5

y

r(t)=2sin(t)

3

x 2  y 2  ay

2.5

2

ECUACION POLAR

1.5

r  asen  0  

1

0.5

x -2

-1.5

-1

ECUACION ALGEBRAICA

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-0.5

-1

CIRCUNFERENCIA DESFASADA EN EL EJE “x” y

r(t)=2cos(t)

2

x 2  y 2  ax

1.5

1

ECUACION POLAR

0.5

x -1

-0.5

ECUACION ALGEBRAICA

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

r  a cos       2 2

4

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

y

LEMNISCATA

r(t )=4(cos(2t ))^(0.5)

10

ECUACION ALGEBRAICA

f(x)=x f(x)=-x

8

6

( x2  y 2 )2  a 2 ( x2  y 2 )

4

2

ECUACION POLAR

x -10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

r  a cos 2      4 4

-2

-4

-6

-8

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PAYE

(LIMITE SOLO






JOSE PAYE CHIPANA

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JOSUE PAYE CHIPANA

PARA EL LAZO X>0)

FOLIUM DE DESCARTE 6

y



ECUACION ALGEBRAICA

r(t)=(3(2)(sin(t))(cos(t)))/((cos(t))^(3)+(sin(t))^3)

x3  y 3  3axy

4

ECUACION POLAR

3asen cos  cos 3   sen 3  0   2

2

r

x -6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

-2

-4

-6

MARIPOSA: Templey H. Fay. 4

ECUACION POLAR

y

r  e cos   2 cos 4 0    24

r(t)=e^(cos(t))-2cos(4t)

3

2

1

x -3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

-1

-2

-3

-4

LIMITES

DE

DE

LOS

ANGULOS

Vamos

a



y

realizar una regla por analogía tomamos una recta real: tenemos como referencia al cero

 ........  7  6  5  4  3  2  1

REF “X”

 1  2  3  4  5  6  7........  

0

x

de la misma manera trabajan con los ángulos tomamos como referencia al eje “X” como 0ºo



0 en radianes

GRAFICO

y

LIMITE DE ANGULO

 REF “X”

x

0  

 2



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PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA



y

REF “X”

x

    2 2



 

y

REF “X”

0  

x  

y

REF “X”

x



   0 2

 Si se puede obtener la ECUACIÓN POLAR de la curva “C”

r  r  entonces

2

 dr  I   fdt   f r  , d s si ds  r 2    d  d  C C 2) SEGUNDA ESPECIE

 x  x(t ) I   P( x, y)dx  Q( x, y)dy  Solo es necesario paramétrica: C    Los límites y  y ( t )  C de “t” son dados por la Curva “C” I 

 P( xt , yt )dxt   Q( xt , yt )dyt 

C

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PAYE






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98)

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

PROBLEMAS (II/2013) cómo define un campo Conservativo? Escriba un ejemplo

SOLUCIÓN_____________________________________________________________________ Un campo vectorial



f x, y   P( x, y ), Qx, y  es 

f t   F

función escalar F ( x, y ) se cumple:

CONSERVATIVO si para alguna

P( x, y ), Qx, y    F , F   x y 

F ( x, y ) se



denomina FUNCIÓN POTENCIAL de f 99)



(II/2013) Demuestre que el campo F  cos x  ln y, xy

1



 e y ; es CONSERVATIVO y

calcule la función potencial SOLUCIÓN_____________________________________________________________________

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PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

100)



CODEX-CÁLCULO II

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



(I/2013) Calcular el trabajo realizado por la fuerza F  4 xy  y ,2 x  2 xy ; a lo largo de la 

2

2

curva r (t )  (t ,2t ) ; 0  t  2 (Grafique la curva) 2

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

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PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II



4

4



2

2

JOSUE PAYE CHIPANA

2

1) (I/2017) Calcular: I    x 3  y 3 ds , C: x 3  y 3  3 3 recorrido positivamente. C





SOLUCIÓN______________________________________________________________

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PAYE






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101)

(I/2015) Calcular:

CODEX-CÁLCULO II

 yz e

2 xy





JOSUE PAYE CHIPANA







 2 xez  y3e x  1 dx  xz2e xy  3 y 2e x  1 dy  2 zexy  x2e z  2 z dz

c

C: camino que une los puntos A(0,0,1) con B(1,1,1) SOLUCIÓN___________________________________________________________________

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15

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

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

CODEX-CÁLCULO II

16

PAYE

JOSUE PAYE CHIPANA






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CODEX-CÁLCULO II

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 2, 2, 2 

102)

(II/2015) Calcular:

 2xy  z dx 2 yz  x dy  (2xz  y )dz   2

2

2

1,1,1

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

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PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

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

CODEX-CÁLCULO II

18

PAYE

JOSUE PAYE CHIPANA






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103)

CODEX-CÁLCULO II

(I/2016)

 2x cosxy  x ysenxy  2xy e 2

c

2 x2 y

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  1 x y x senxy 1dy

 2x dx  e

x2 y

2

3

Calcular: C: Recta que une

los puntos A(0,0) con B(1,  ) SOLUCIÓN___________________________________________________________________

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PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

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

CODEX-CÁLCULO II

20

PAYE

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

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104)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(II/2012) Si R es la región triangular limitada por la curva cerrada C recorrida positivamente

con vértices en: (0,0) , (2,0) , (0,2); Calcular: (a)

 y

2





 

 1 dx  x 2  1 dy

c

(b) 2

 x  y dydx

(c) analizar si se cumple ó no el teorema de Green

R

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

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PAYE




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

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22

PAYE

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

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105)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(II/2009) Calcule el área de la región interior a la circunferencia x  y  4 y a la derecha 2

2

de la recta x  1 SOLUCIÓN___________________________________________________________________

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PAYE




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106)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA





(II/2009) Considere la curva “C” una parametrización de la elipse: 4 x  1  y 0

la integral

2

2

calcule

 x  y dx  x  y dy c

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

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PAYE






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107)

(I/2010)



CODEX-CÁLCULO II

Hallar

el

trabajo



realizado

JOSUE PAYE CHIPANA

por

una

fuerza

F x, y, z   2 x  y  z; x  y  z ;3x  2 y  4 z al desplazar en sentido anti-horario una partícula alrededor de una circunferencia sobre el plano z  1 con centro en el eje z y con radio 9 2

SOLUCIÓN__________________________________________________________________

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



JOSE PAYE CHIPANA

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CAPITULO VII

JOSUE PAYE CHIPANA

INTEGRALES MÚLTIPLES

INTEGRAL DOBLE DEFINICIÓN: Si f esta definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, entonces la integral doble de f sobre R esta dada por: n

 f ( x, y)dA  lim  f ( xi , yi )Ai R

 0

siempre que el límite exista

i 1

Si existe el límite, entonces f es integrable sobre R VOLUMEN DE UNA REGIÓN SOLIDA Si f integrable sobre una región plana R f ( x, y)  0 para todo ( x, y) en R, entonces el volumen de la región sólida que se encuentra sobre R y bajo la gráfica de f se define como:

V   f ( x, y )dA R

NOTA: POR DEFINICIÓN LA INTEGRAL DOBLE CALCULA volumen de la región sólida que se encuentra sobre R z = f(x,y)

f(i, i)

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PAYE






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CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE TEOREMA

Si c es un número y f es integrable sobre una región cerrada F, entonces c.f es integrable y :

 F c.f(x,y).dA = c. F f(x,y).dA TEOREMA

Si f y g son integrables sobre una región cerrada F, entonces:

 F [f(x,y) + g(x,y)].dA =   F f(x,y).dA +   F g(x,y).dA El resultado de este teorema se puede extender a cualquier número finito de funciones integrables. Las demostraciones de los teoremas anteriores resultan directamente de la definición. TEOREMA

Supongamos que f es integrable sobre una región cerrada F y m  f(x,y)  M  (x,y)  F entonces si A(F) designa el área de la región F, tenemos: m . A(F)    F f(x,y).dA  M . A(F) TEOREMA

Si f y g son integrables sobre F y f(x,y)  g(x,y)  (x,y)  F, entonces

  F f(x,y).dA   F g(x,y).dA TEOREMA

Si se hace una partición de la región cerrada F en las regiones F 1 y F2; es decir F1  F2 = 0 y F1  F2 = F y si f(x,y) es continua en F se tiene:   F f(x,y).dA =  F1f(x,y).dA +  F2f(x,y).dA INTEGRALES ITERADAS Sea: I 

 f ( x, y)dA

,el vector diferencial

Flecha (Limite Superior)

R

Cola (limite inferior)

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



JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

I   f ( x, y )dA

Caso I:

R

f (x) R

h( x)  y  f ( x)  a xb

Entonces la Región R : 

h ( x, y )

a

I   f ( x, y)dA 

b

R

f ( x) b


h( x) a

I   f ( x, y )dA

Caso II:

R

h( y )

f ( y)

a

R

h( y )  x  f ( y )  b ya

Entonces la Región R : 

b

I   f ( x, y)dA  R

f ( y) a

  f ( x, y)dxdy

h( y ) b

TRANSFORMACIONES (CAMBIO DE VARIABLE EN LAS INTEGRALES MULTIPLES)

Sea

 f ( x, y ).dx.dy R

de donde

 x   (u , v )   y   (u , v )

(1)

y que esta transformación posee una

 ( ,  )  ( x , y ) u  u ( x , y ) inversa única dada por:  por lo que el Jacobiano de (1) J   0  ( u, v )  ( u, v )  v  v( x , y)

(JACOBINAO ES UN FACTOR DE DEFORMACIÓN DILATACIÓN O CONTRACCIÓN)Al recinto R del plano x, y le corresponde un recinto R en el plano u, v. INGENIERÍA CIVIL

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

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CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

Haciendo entonces una partición en R con rectas paralelas a los ejes u, v; le corresponde en el plano x, y una partición de R por curvas continuas dadas por (1).

v

y R Ri

R’

Ri R u

x

A un subrecinto Ri de R le corresponde un subrecinto Ri de R. Buscamos la relación que existe entre las áreas de Ri y Ri ; para lo cual podemos considerar a Ri compuesto por dos triángulos iguales; lo mismo que a Ri.  ( , )

 f ( x, y )dx.dy   F (u, v). J .du.dv   F (u, v).  (u, v) .du.dv R

R

R

Con lo que hemos obtenido la relación que liga las variables (x,y) con (u,v). 1  x, y    u, v   u.v   J   x. y 

x, y  I   f (x, y)dydx   f (x ,y ) J   dvdu (u,v) (u,v)  u.v  R R'

Donde: J 

TRASFORMACIONES ESPECIALES CASO I) COORDENADAS POLARES: Cuando existe expresiones de la forma:

y  rsen  ; x  r cos 

x2  y2

JACOBIANO:

por tanto

J r

CASO II) POLARIZACIÓN GENERALIZADA (COORDENADAS POLARES)

Cuando existe expresiones de la forma:

INGENIERÍA CIVIL

( Ax) K  ( By) K  1

por tanto

29

PAYE

x  Ar cos P   2 2  cos   sen   1 P y  Brsen   J  ABpr cos p 1 sen p 1 INGENIERÍA PETROLERA





JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

COORDENADAS POLARES CIRCULO: r  asen ; r  a cos ”si existen signos negativos las graficas tienen esa dirección.”JACOBIANO:

J r r  asen 3.5

r  2sen

y

r  a cos

r  2 cos

y

r(t)=2sin(t)

r(t)=2cos(t)

2 3

1.5 2.5

1 2

0.5 1.5

x -1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

1

-0.5 0.5

-1

x -2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-0.5

-1

2 3

2 3

ASTROIDE: x  y  a

0  r  asen

-1.5

0  

-2.5

0  r  a cos       2 2 2 2 2 2 2 2 LEMNISCATA: ( x  y )  a ( x  y ) ;

-2

x  r cos 3 

2 3

y  rsen 3

r  a cos 2 r 2 y a 2 cos 2 10 JACOBIANO: J  r

JACOBIANO: J  3r cos sen  2

2

y

4

x  4 cos3  y  4sen3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

 4



2

2

-5

f(x)=-x

6

4

-6

f(x)=x

8

x(t)=4cos(t)^(3) , y(t)=4sin(t)^(3)

6

-7

r(t)=4(cos(2t))^(0.5)

x

x 7

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

-2 -2

-4 -4

-6 -6

0  r  a cos 2  0    0   4 4 solo es para ”los limites de -8

0ra 0    2

un cuarto de la región por existir asíntotas para el total se debe multiplicar por cuatro ” CARDIOIDE:”si existen signos negativos las graficas tienen esa dirección.” la intersección con el eje “x” la realiza en ““+a y -a” la intersección con el eje “x” la realiza en “2a” y la intersección en el eje “y” en “2a" y la intersección en el eje “y” en “+a y -a "

r  a (1  sen ) 8

r  a (1  cos  )

y

y

r(t)=2(1+ sin(t))

r(t )=2(1+ cos(t ))

5

r  a (1  sen  )

6

r  a(1  cos )

4

3

2

4

1

x -2

2

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-2

x -4

-1

1

2

3

4

5

6

7

-3

8

-4

-2

-4

INGENIERÍA CIVIL

0  r  a(1  sen ) 0    2

0  r  a(1  cos  ) 0    2

30

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

1) (II/2016) Si R: triangulo de vértices (0,0), (2,0), (0,2) . Calcular: I   e

yx y x

dxdy

R

SOLUCIÓN____________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

LIMACON:

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

r  a(1  bsen ) ”si existen signos negativos las graficas tienen esa dirección.” r  a(1  b cos ) y

r(t)=2(1+ 2sin(t))

8

  6

f(x)=-x

8

6

y

r(t)=2(1+ 2COS(t)) f(x)=-X f(x)=0

6

4

2 4

x -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2 -2

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

-2

3

4

 

r  a (1  bsen  )

 6

x 5

6

7

-4

-6

0  r  a(1  b cos  ) r  a (1  b cos  ) Lazo mayor   0    2 6

Lazo mayor

0  r  a(1  bsen ) ”los limites de            6 2 6 2

”los limites de 0       solo es para un medio de la región 2

solo es para un medio de la región por existir asintotas para el total se debe multiplicar por dos ” Lazo menor       2

6

FOLIUM DE DESCARTE: x  y  3axy ; 3

6

3

y

2

6

3asen cos  cos 3   sen 3

r

JACOBIANO: J  r

r(t)=(3(2)(sin(t))(cos(t)))/((cos(t))^(3)+(sin(t))^3)

3asen cos  cos 3   sen 3  0   2

4

0r 

2

x -6

-5

-4

-3

-2

6

por existir asintotas para el total se debe multiplicar por dos ”   Lazo menor    0

-1

1

2

3

4

5

6

7

-2

”solo para el lazo”

-4

-6

ROSAS DE n PETALOS: si n es par entonces “2n” pétalos si n es impar entonces “n” pétalos

r  a cos n

”rosas de n pétalos que intersecan a los ejes coordenados” r  cos 2 par JACOBIANO: J  r y

r  a cos n

”rosas de n pétalos que intersecan a los ejes coordenados” r  cos 3 impar JACOBIANO: J  r y

r(t)=2cos(3 t)

2.5

f(x)=(0.57735)x

r(t)=cos(2 t)

2 1

1.5



1 0.5

0.5

 6 x

x -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

1

-0.5

-1 -0.5

-1.5

-2

-1

0  r  cos 2 0    2

INGENIERÍA CIVIL

0  r  cos 3 ”los limites de 0     solo es para un sexto de la  0   6 6

región por existir asintotas para el total se debe multiplicar por seis ” 31

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II



JOSUE PAYE CHIPANA

r  asen ( n )

r  asen ( n )

”rosas de n pétalos que no intersecan a los ejes coordenados” r  sin 2 par JACOBIANO: J  r

”rosas de n pétalos que no intersecan a los ejes coordenados” r  sin 3 impar . JACOBIANO: J  r y

r(t)=sin (3 t)

1

y

r(t)=sin (2 t)

1 0.5

0.5

x -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1 -0.5

-0.5 -1

0  r  a(1  sen ) -1

0  

0  r  a(1  sen ) 0    2

CURVAS ESPECIALES:

MARIPOSA: Templey H. Fay.

r  a cos( ) 2 r  3 cos( ) 2 JACOBIANO: J  r

r  e cos   2 cos 4

y

4

r(t)=3cos(t)^2

y

r(t)=e^(cos(t))-2cos(4t)

3

3 2

2 1

x -4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1

3.5

x -1

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-2

-1 -3

-2 -4

0  r  a cos( ) 2 0    2

-3

-4

0  r  e cos   2 cos 4 0    24

INGENIERÍA CIVIL

32

PAYE


5



JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

APLICACIONES INTEGRAL DOBLE Teorema o corolario de Green: Donde la curva es cerrada para calcular el área de la región “R”

I   (P( x, y) dx  Q( x, y) dy)   ( c

R

ÁREA DE SUPERFICIES: para z  f ( x, y)

MASA:

A   1 (Z x )2  (Z y )2 dA R

m    (x, y)dA si es homogénea R

CENTROIDE (CENTRO DE GRAVEDAD) :

MOMENTOS DE INERCIA:

Q P  )dydx x y

 ( x, y)  1 x

1  x ( x, y)dA mR

y

I x   y2(x, y)dA I y   x2(x, y)dA R R

1  y ( x, y)dA mR

En el origen:

I 0  Ix  Iy

PROBLEMAS 108)

(II/2013) Cual es el significado geométrico de una integral Doble?

SOLUCIÓN_____________________________________________________________________

V   f ( x, y )dA R

NOTA: POR DEFINICIÓN LA INTEGRAL DOBLE CALCULA volumen de la región sólida que se encuentra sobre R z = f(x,y)

f(i, i)

INGENIERÍA CIVIL

33

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

109)

(b)

CODEX-CÁLCULO II

Justificando

y 6 2

la

respuesta,

analizar

JOSUE PAYE CHIPANA

la

verdad

o

falsedad

de:

 cosx dxdy    cosx dydx 3 2x

2

0 0

2

0 0

SOLUCIÓN_____________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

34

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

4 2

110)

x (I/2009) Calcular: I    e dxdy 2

0 y 2

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

35

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

b)

INGENIERÍA CIVIL

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

111)



CODEX-CÁLCULO II

(II/2011) (a) Analizar la verdad ó Falsedad de:

JOSUE PAYE CHIPANA

4 16 x 2

4 16 x 2

4

0

  (2 x  3 y)dydx  2  (2 x  3 y)dydx 0

0

justifique su respuesta (b) Deducir la expresión del jacobiano en coordenadas esféricas SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

36

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

112)



CODEX-CÁLCULO II

(II/2011) Invertir el orden de integración en: I 

4

8x

0

4 x x2

JOSUE PAYE CHIPANA


SOLUCIÓN___________________________________________________________________

113)

(I/2010) Calcular el área de la región limitada por las rectas:

x y4 2 0,x y4 2 0

x y 4 2  0,

y y  x  4 2  0 : que sea exterior a la circunferencia

y 2  x 2  16 SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

37

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

INGENIERÍA CIVIL



CODEX-CÁLCULO II

38

PAYE

JOSUE PAYE CHIPANA




JOSE PAYE CHIPANA

114)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

 x 2  y 2  4 xy 6 (I/2011) Calcular la integral doble:  ( x  y )dydx si R :  2 2  x  y  1 xy 1 R 2

2

SOLUCIÓN____________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

39

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

115)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(II/2010) Hallar el área plana Interior a la circunferencia   5 y exterior a la cardioide

  51  cos  

SOLUCIÓN____________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

40

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

116)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(II/2015) Hallar el área encerrada por: x  1 , 2 y  1  x 2 , 2 y  x 2  2 x

SOLUCIÓN____________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

41

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

117)

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(II/2013) Sea R la región elíptica limitada por: x  xy  y  3 ; Haciendo el cambio

x uv

2

y  u  v ;Calcule

 e

 ( x 2  xy  y 2 )

2

dA

R

SOLUCIÓN____________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

42

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

118)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(I/2013) Graficar la región definida en el primer cuadrante, limitada por las curvas.

xy  2

xy  4 xy 3  3

xy 3  6 ; y calcular el área

SOLUCIÓN_____________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

43

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

119)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

 x2  dydx; R: encerrada por: x 2  y 2  4 x (II/2012) calcular la integral   2 2  x y  R 

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

44

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

120)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(I/2012) Hallar el área del lazo de la curva: y  x 4  x  2

4

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

45

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

121)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

I/2009) Sea R la región del plano R 2 , limitado por las curvas: x  y  1 , x  y  9 , 2

x  y  4 y x  y  6 , Hallar el área de la región R (sugerencia u  x  y

2

2

2

v  x y )

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

46

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

CASOS DEL VALOR ABSOLUTO 122)

(II/2014) Calcular la integral

 y  x

2

dA R=  2,2 0,4

R

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

47

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

1 y

(I/2017) Calcular: I    2 0 y

JOSUE PAYE CHIPANA

ye x dxdy x

SOLUCIÓN____________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(I/2017) Calcular el área limitada por: x  y  2, x  y  7. y  x, y  3 x SOLUCIÓN____________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

**

INGENIERÍA CIVIL

48

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

**

INGENIERÍA CIVIL

49

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA



CODEX-CÁLCULO II



JOSUE PAYE CHIPANA

APLICACIONES 123)

(I/2009) Calcular la masa de una lámina de densidad superficial igual a  x, y   e

x2 y

,

sabiendo que la forma geométrica de la lamina esta dada por: x  y  1 SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

50

PAYE


JOSE PAYE CHIPANA

124)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(II/2015) Calcular el centro de gravedad de la región: x 2  y 2  4 , x  y  2 ,   xy

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

51

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

INGENIERÍA CIVIL



CODEX-CÁLCULO II

52

PAYE

JOSUE PAYE CHIPANA






JOSE PAYE CHIPANA

125)

(II/2015) Calcular:

CODEX-CÁLCULO II

 3 y e dx  7 x  cos x

JOSUE PAYE CHIPANA



y 4  1 dy C: 4 x 2  y 2  1

c

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

53

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

126)

CODEX-CÁLCULO II

(I/2010) Considere la curva “C”

calcule la integral

JOSUE PAYE CHIPANA





una parametrización de la elipse: 4 x  1  y 0 2

2

 x  y dx   y  x dy

C

(a) DIRECTAMENTE (b) APLICANDO EL TEOREMA DE GREEN –RIEMANN SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

54

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

127)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(I/2016) Si a la esfera x 2  y 2  z 2  4 se le efectúan dos cortes cilíndricos mediante

x 2  y 2  2 x calcular el área de la parte restante de la esfera SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

55

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

128)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(I/2015) Calcular el área de la parte de cono x 2  y 2  z 2 situada en el primer octante y

limitada por el plano y  z  6 SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

56

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

129)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(I/2014) Calcular el área de la parte de la esfera x  y  z  9 , situada sobre el plano 2

2

2

z2 SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

57

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

130)

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(II/2009) Hallar el área de la parte de la superficie esférica dada por: x  y  z  R 2

es perforada por agujero cilíndrico x  y  r 2

2

2

2

2

2

, si

donde R  r

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

58

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

131)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(I/2013) Calcular el área de la superficie: x  y  z  4 z 2



z  x2  y2

2

2

cortada

por el cono



1/ 2

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

59

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

132)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(II/2012) calcular el área del cilindro: y  z  25 comprendida entre los planos y  2 x ; 2

2

x0 SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

60

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

133)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(II/2015) Calcular el volumen del solido encerrado por: x 2  y 2  4 , x  z  2 , y  4 , x  0 ,

z0 SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

61

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

134) (I/2014) Una esfera metálica de radio R=2 [cm] , es perforada en uno de sus diámetros por una broca de radio 1 [cm] . Cuanto de material metálico queda? (dibuje adecuadamente su solido) SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

62

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

INGENIERÍA CIVIL



CODEX-CÁLCULO II

63

PAYE

JOSUE PAYE CHIPANA




JOSE PAYE CHIPANA

135)



CODEX-CÁLCULO II

(II/2012) calcular el volumen del solido encerrado por: z 

JOSUE PAYE CHIPANA

y 2 2 , z  0 , y  x , y  3x , 2 x

y  x , y  4x SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

64

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

136)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(I/2012) Hallar el volumen limitado por: y  6 , z  2 y , z  x 2 , z  2  x 2

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

65

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

137)

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(I/2012) Calcular la masa de la lámina plana que se muestra en la figura, si su densidad

superficial está dada por  x, y   xy

2

y 4 2

2

x

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

66

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

138)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

 x2  2y  (I/2012) Calcular :  x dy   y dx , si c :  x  2 y  20 , en el primer cuadrante c  x0 

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

67

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

139)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(I/2010) Calcular el área de la superficie z  x  y 16 que este al exterior de 2

2

2

z 2  x2  y2 SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

68

PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

140)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(I/2009) Calcular el área de la parte de la superficie z 2  x 2   y  2 

2

que es el interior a

x 2  y 2  2x  0 SOLUCIÓN___________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL

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PAYE


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JOSE PAYE CHIPANA

INGENIERÍA CIVIL



CODEX-CÁLCULO II

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JOSUE PAYE CHIPANA


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JOSE PAYE CHIPANA



CODEX-CÁLCULO II

1) (I/2017) Calcular el volumen limitado por: z 

JOSUE PAYE CHIPANA

x 2  y 2 , z  0, x 2  y 2  4 y

SOLUCIÓN____________________________________________________________

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PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

141)



CODEX-CÁLCULO II

(I/2009) Calcular el volumen limitado por las superficies: y  

JOSUE PAYE CHIPANA

b a 2  x 2 ; z   n donde n a

es una constante. SOLUCIÓN___________________________________________________________________

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PAYE


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JOSE PAYE CHIPANA

142)



CODEX-CÁLCULO II

(II/2010) Calcular el Área del paraboloide z  x  y 2

JOSUE PAYE CHIPANA 2

que esta dentro de la esfera

z 2  y 2  x 2  4z SOLUCIÓN__________________________________________________________________

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PAYE


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JOSE PAYE CHIPANA

143)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(2016) Calcular el volumen del solido limitado por: z  0 , x 2  y 2  z , x 2  y 2  6 x

SOLUCIÓN_____________________________________________________________________

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JOSE PAYE CHIPANA

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JOSUE PAYE CHIPANA


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JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

CAPITULO VII

JOSUE PAYE CHIPANA

INTEGRAL TRIPLE

Si la región R no es de uno los tipos citados anteriormente, se intenta descomponerla en subregiones Ri

(i = 1,......,n)

sin elementos interiores comunes, siendo los Ri de los

modelos antes citados. Por la propiedad de la aditividad respecto a la región de integración, es :



R

n

f ( x, y, z ) dxdydz    f ( x, y, z) dxdydz i 1

Ri

CAMBIO DE VARIABLE (TRANSFORMACIÓN)

Sean R* y R dos regiones en los espacios (u,v,w) y (x,y,z)

 x x(u , v, w)  respectivamente Sea : y (u , v, w)  z (u , v, w)  un homeomorfismo de R* sobre R continuamente diferenciable sobre R* y tal que el JACOBIANO J del mismo no cambie de signo en R*. Sea f(x,y,z) continua sobre R. Entonces



R

f ( x, y , z )dxdydz   * f x (u , v, w), y (u , v, w), z (u , v, w)  J  (u , v, w) dudvdw R

El J  representa un factor de ampliación o reducción local del volumen, al aplicar . El elemento de volumen en R en coordenadas curvilineas es : dV= J  (u, v, w) dudvdw

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75

PAYE




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JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

 COORDENADAS CILÍNDRICAS: Cuando existe expresiones de la forma:

x2  y2

x  r cos ____r 0,

y  rsen ____ 0,2 _ o _   ,  

z  z ________z  R JACOBIANO:

J r

COORDENADAS CILÍNDRICAS GENERALIZADAS

x  Ar cos P  y  Brsen P z  Cz 

JACOBIANO:

J  ABC Pr cos p 1 sen p 1

COORDENADAS ESFÉRICAS:

Cuando existe expresiones de la forma: x  y  z 2

2

2

x  sen cos  ____   0, y  sensen ____   0,2 

z   cos  ________   0,   JACOBIANO:

J  r 2 sen

COORDENADAS ESFÉRICAS GENERALIZADAS

x  arsen p cos q  ____ r  0, y  brsen psen q ____   0,2 

z  cr cos p  ________   0,   JACOBIANO:

J  abqr2 sen2 p1 cos p1 senq1 cosq1 

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76

PAYE




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JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

APLICACIONES A INTEGRALES TRIPLES

MASA:

m    (x, y, z)dv v

MOMENTOS DE INERCIA:

 I  ( y 2  z 2 ) ( x, y, z)dv  x v   2 2 I y  ( x  z ) ( x, y, z)dv  v  2 2 I z  ( x  y ) ( x, y, z)dv  v

CENTRO DE MASA

x

1  x ( x, y, z)dv mv

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y

1  y ( x, y, z)dv mv

77

PAYE

z

1  z ( x, y, z)dv mv




JOSE PAYE CHIPANA



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

PROBLEMAS 144)

 x, y , z 

(I/2016) (a) Deducir la expresión del Jacobiano J     , ,  

Anote las expresiones de

transformación a coordenadas esféricas. SOLUCIÓN__________________________________________________________________

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PAYE




JOSE PAYE CHIPANA



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

1) (II/2016) a) Deducir la expresión del Jacobiano en la transformación de coordenadas esféricas. ln 10 10

b) Justificando la respuesta analizar la verdad o falsedad de:

 0

10 ln y

1 1 e ln y dydx  0 0 ln y dxdy x

SOLUCIÓN______________________________________________________________a)

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JOSE PAYE CHIPANA



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(II/2016) En el cuerpo semiesférico x 2  y 2  z  a 2 , z  0 la densidad varía proporcionalmente a la distancia de un punto al centro. Hallar las coordenadas del centro de masa del sólido. SOLUCIÓN____________________________________________________________

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JOSE PAYE CHIPANA

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

CODEX-CÁLCULO II

PAYE

JOSUE PAYE CHIPANA




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JOSE PAYE CHIPANA

145)

CODEX-CÁLCULO II

(I/2011) Resolver:



JOSUE PAYE CHIPANA

1  (2 x  y ) 2  ( z  x) 2  ( y  3 z ) 2 dxdydz R:

R

( 2 x  y )  ( z  x)  ( y  3 z ) 2  1 2

2

SOLUCIÓN_____________________________________________________________________

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PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

146)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(II/2011) Calcular el volumen del solido interior a: x  y  z  8 z 2

2

2

e interior a:

z 2  3x 2  3 y 2 SOLUCIÓN_____________________________________________________________________

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PAYE


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

JOSE PAYE CHIPANA

147)

(I/2015) Calcular:

CODEX-CÁLCULO II



x 2  y 2  z 2 dV

JOSUE PAYE CHIPANA

V: x 2  y 2  z 2  2 y

V

SOLUCIÓN_____________________________________________________________________

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JOSE PAYE CHIPANA

148)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(II/2013) Dibuje el Solido y calcule el Volumen del solido, limitado por:  

 4

  4 cos 

SOLUCIÓN_____________________________________________________________________

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PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

149)

(I/2016) Calcular: I 

CODEX-CÁLCULO II

 V

2

x

2

 y2  z



5 2 2

dV

JOSUE PAYE CHIPANA

V :encerrado por 4  x 2  y 2  z 2  16

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

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PAYE


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JOSE PAYE CHIPANA

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

CODEX-CÁLCULO II

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PAYE

JOSUE PAYE CHIPANA


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JOSE PAYE CHIPANA

150)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(I/2013) Calcular el Volumen del solido limitado por los elipsoides: 4 x  4 y  z  4 ; 2

2

2

4 x 2  4 y 2  z 2  16 SOLUCIÓN___________________________________________________________________

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PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

151)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

y2 z2 y2 z2 2   4 en el primer  dV ; V: x  (II/2012) calcular la integral: I   x x  4 9 4 9 V 2

octante. SOLUCIÓN___________________________________________________________________

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PAYE


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

JOSE PAYE CHIPANA

152)

CODEX-CÁLCULO II

(I/2010) Calcular la integral:

2zx

2



 2 zy 2 dxdydz

JOSUE PAYE CHIPANA

Siendo V el volumen exterior: a

z 2  x 2  y 2 e interior a z  x 2  y 2 SOLUCIÓN___________________________________________________________________

153)

(II/2009) Calcular la masa de un cuerpo limitado por las superficies

2az  x 2  y 2 ;

x 2  y 2  z 2  a 2 , z  0 ( a es una constate positiva) sabiendo que su densidad volumétrica esta



dada por  x, y, z   15 1  z

2



SOLUCIÓN___________________________________________________________________

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PAYE


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JOSE PAYE CHIPANA

INGENIERÍA CIVIL



CODEX-CÁLCULO II

88

PAYE

JOSUE PAYE CHIPANA


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JOSE PAYE CHIPANA

154)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(II/2009) Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies: z  x  y , xy  a ,

xy  2a 2 , y 

2

2

2

x , y  2x , z  0 2

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

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89

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

155)

(I/2011)

Determinar

CODEX-CÁLCULO II

el

volumen

limitado

JOSUE PAYE CHIPANA

por:

9 x 2  4 y 2  36z 2  36

,

9 x 2  4 y 2  36z 2  144 , 9 x 2  4 y 2  36z 2 SOLUCIÓN___________________________________________________________________

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PAYE




JOSE PAYE CHIPANA

INGENIERÍA CIVIL



CODEX-CÁLCULO II

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PAYE

JOSUE PAYE CHIPANA


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JOSE PAYE CHIPANA

156)



CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(I/2015) Calcular el volumen del solido encerrado por: z  0 , x 2  y 2  z , x 2  y 2  3 x

SOLUCIÓN___________________________________________________________________

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92

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

PROBLEMAS DE RETO PERSONAL EXÁMENES ( UNI LIMA PERU ) INGENIERÍA EXÁMENES ( U.TOKIO – JAPON) 157)

(I/2010) Evaluar

 x

x 2  y 2 dV donde “S” es el sólido exterior a x 2  y 2  2 y y limitado

S

x 2  y 2 , x 2  y 2  z  12 , x  y  0

por las superficies z 

1 1 x

158)

e

(I/2010) Calcular:

y x y

0 0

y 2

dydx   dA ,donde R es la región limitada por: x  5  e  R

y 2

x  e  y , x  y  e  5, x 



y 2

y e 2

y 2



(I/2010) (a) T u, v   u  v, u  v  x, y  ,

159)

2

y , 2

A  UV limitada por u  v  1 , u  v  1 , u  0 ,

v  0 Graficar la región R  T ( A) en XY y calcular su área (b) la siguiente suma de integrales   3 4

  2 6 cos sen  2

0 0 0

0 3

   F  , , d dd   

está dada en coordenadas esféricas donde F  ,  ,     sen  cos  sen  3

2

 F  , , d dd 0

expresarla como una sola integral y calcular su

valor



(I/2010) (a)Hallar el trabajo que realiza el campo de fuerzas F x, y   x  y ,2 xy  x

160)

2

2

2

 al

desplazar una particula de masa “m” en sentido anti-horario a lo largo de la frontera de la región limitada

por





y  4  x2

x  y  2,



(b)

Dado

el

campo

vectorial

F x, y, z   1  2 x 2 e x seny, xe x cos y  2 y 2 z, f  y  .Hallar la función escalar f de modo que F 2

sea gradiente y calcular

2

  F x  d      x donde  es la trayectoria que une los puntos A(0,0,9),

   B 5e, ,10  , C ln 7,5,6 y D1,2 ,1 desde A hasta D 4  





(I/2009) Dadas la trasformación T u, v   u  v, u  v y la región A contenida en el plano

161)

UV y acotada por u  v  1 , u  0 v  0 ,

2

(a) Determinar el área la región

T u, v   x, y  (b) Usando la transformación T, calcular

 R

1 x  y2 2

R  T ( A) donde

dxdy

162) (I/2009) La siguiente suma de integrales está dada en coordenadas cilíndricas, Usando un cambio adecuado, expresar como una sola integral y luego evaluar: 2 2

4 zz2 2

 r 0 1



2 2

sen r cos   z drdzd   2

2

0

2 1

3z

 r 0 0

2

sen r 2 cos 2   z 2 drdzd  

0

4 r 2

 r 0 0

2

2

sen r 2 cos 2   z 2 dzdrd 

2

INGENIERÍA CIVIL

93

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

163)

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

(I/2009) Usando coordenadas esféricas, calcular la masa total del solido S interior al



elipsoide 4 x  y  z  16 y exterior al paraboloide y  z  12x si f x, y, z   y  z 2

2

2

2

2

2



1 2 2

es

la densidad de masa en cada punto sólido S. 164)

(I/2009) Calcular

e

cos ydx  e x senydy Donde “C” esta expresada paramétricamente por

x

C

x(t )  cos t 3

165)

y(t )  sen3t

(I/2009)



Dados

los

campos



F x, y, z   2 xyz , x z  z cos yz ,2 x yz  y cos yz  2

2 2

2

vectoriales

  y x 1  Calcular las integrales de línea de F y G a lo largo G  x, y    2 , 2 2 2  x  y  2x  1 x  y  2x  1  de las curvas  1 y  1 respectivamente, si   1 es una trayectoria que va desde A(0,0,1) hasta B (1, ,2) 2  2  c'2 c' '2 c' ' '2 , siendo c'2 el contorno del rectángulo de vértices  5,1 ,  2,1 ,

c ' ' 2 la curva cerrada y formada por las partes de las rectas x  y  2  0 , x  y  2  0 y la parábola x  4  y 166)

2

2 3

y c' ' ' 2 :  x  5  y  1



2 3



(I/2006) Sea T u, v   u  v ,2uv una transformación y sea A una región en el plano UV 2

2

limitada por u  v  1 , u  0 , v  0 (a) Calcular el área de la región R  T ( A) (b) Hallar el valor de



x 2  y 2 dxdy

R

167)

(I/2006) Calcular

 x2  z 2 y 

 x  y  z x  y  z x  y  z dV   arctg  S1

S2

 dV Donde  

S1 esta limitado por x  y  z  0 , x  y  z  0 , x  y  z  0 , 2 x  z  1 S2 es el solido que se obtiene al rotar alrededor del eje Y la región del primer cuadrante acotado por: x  3 y , y  3x y x  y  4 , 2

168)

(I/2006) Hallar el volumen del sólido limitado por el paraboloide z  x  y  4 x  6 y  17 y 2

el plano z  x  8 169)

2

(I/2006) (a)Calcular

  y

2

2



 e x dx   x  arctg  y dy Donde  es la frontera de la región



comprendida entre las parábolas 4 x  y 2 , 2 x  8  y con orientación antihoraria, (b) Aplicar el 2

Teorema de Green para hallar el área encerrado por el lazo de la curva 





Descrita por:



x t   t 2  1, t 3  t .

170)

(I/2005) Hallar

 x R1

2



 y y  x 3 y 2 dA   exp dxdy ,donde x R2

R1 Es la región acotada por las curvas y  x 3 , y  x

INGENIERÍA CIVIL

94

PAYE






JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

R2 Es la región acotada por las curvas y  x , y  2 x , x  1 , x  2 (I/2005) La región acotada por las curvas y  3 , x  y  1 , y   3 gira alrededor del 2

171)

2

eje Y (a) Hallar las ecuaciones esféricas de las superficies de revolución (b) Hallar el volumen del sólido de revolución

 y

(I/2005) Calcular

S1

S1

es

el

solido

2



 y  1 dV   x 2  y 2  z 2 dV Donde S2

limitado

por

los

cilindros

y 2

y 2

2 x  y  2e ,

y 2

x  y e , x  y  e  5,

y

2 x  y  10  2e 2 y los planos z  4 , z  4 S2 es el solido acotado por las superficies z 

x2  y2 . z  3

(I/2005) Hallar el centro de masa del solido S limitada superiormente por x  y  z  9 e 2

172)

2

2

z   x 2  y 2 ,si la densidad de masa en cada punto de S es

interiormente por

x 2  y 2  z 2  xyz 173)

(I/2005)



Hallar

el

trabajo

que

F  x, y   2 x  x  6 xy  1  y , sen y  5  3 x de

la

5

curva

3

2 5

C:

2

x2  y2  4

 x dx  x(2 y  1)dy  zdz  donde  2

2

realiza

el

campo

de

fuerzas

 al mover una partícula de masa “m” a lo largo

recorrida

en

sentido

anti

horario.

(b)

calcular

es la espiral x  cos t , y  sent , z  t , t  0,2 



174)

(I/2003) (a) Hallar el valor de la siguiente suma de integrales:

    y  y

0

3 f y



3



x

0 x

y 

  y  dxdy    y 

x 2  y 2 dxdy  

3

y

0

f y

x2  y2

3

gy

3 3

  y dxdy

x 2  y 2 dxdy  x2

2

Donde f  y   3  9  y 2 , g  y   3  9  y 2 (b)Hallar

  2 f  x, y   2 f  x, y   R  x 2  y 2 dxdy Donde R

 

es la región limitada x  y  1 , x  y , x  y  1 , y   x  2 y f  c R 2

INGENIERÍA CIVIL

95

PAYE

2






JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA



TABLA DE DERIVADAS E INTEGRALES

TABLA DE DERIVADAS

TABLA DE INTEGRALES

Potencias 1.

y u

n

(n  R)

y'  n  u

n1

 u'

u n 1 k  u  u ' dx  n 1 n

(n  1)

Exponenciales 2.

y  eu

y'  eu  u'

u u  e  u ' dx  e  k

3.

ya

y '  a  Lna  u '

au  a  u ' dx  Ln a  k

u

u

u

Logarítmicas 4.

y  Lnu

5.

y  lg a u

y'

y'

u'  u dx  Ln | u |  k

u' u

u'  lg a e u

Recuerda que: lg a b 

lg c b lg c a

Trigonométricas 6.

y  sen u

y '  cos u  u '

7.

y  cos u

y '   sen u  u '

8.

y  tg u

y '  sec2 u  u '

9.

y  arc sen u

y' 

10.

y  arc cos u

y' 

11.

y  arc tg u

INGENIERÍA CIVIL

y' 

u' 1 u u '

2

1 u

2

u' 1 u2 96

PAYE

 cos u  u ' dx  sen u  k  sen u  u' dx   cos u  k  sec u  u ' dx  tg u  k 2

 

u ' dx 1 u u ' dx

2

 arc sen u  k   arc cos u  k

1 u u ' dx  1  u 2  arc tg u  k 2




JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

Operaciones más usuales en derivadas e integrales



12.

y  ku

y'  k  u'

 (u  v)  dx   u  dx   v  dx

13.

y uv

y '  u '  v'

Integración por partes:

14.

y  u v

y '  u ' v  u  v'

 u  dv  u  v   v  du

15.

16.

y

u v

y  uv

INGENIERÍA CIVIL

y' 

v  u 'u  v ' v

2

y'  v  uv1 u'  uv  Lnu v'

97

PAYE

Regla de la cadena: Si y(x)=y[u(v(x))] 

dy dy du dv    dx du dv dx Derivada de la función inversa: Si y = f(x) ; x = g(y)  g ’=1/f ’


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