Calculo Ii Codex Tomo I Paye 3d495d
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- Words: 18,101
- Pages: 160
CALCULO II TEORÍA Y PROBLEMAS SELECTOS
CODEX
PROBLEMAS DE EXÁMENES UMSA INGENIERÍA ,UNI PERÚ-U.TOKIO JAPON
VOL.I •VECTORES •GEOMETRÍA EN EL ESPACIO •FUNCIONES VECTORIALES J&J PAYE Hnos. 2016
CÁLCULO II
CODEX Derecho reservados de acuerdo al D.L.- 6711-16 AUTORES:
JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA
SEGUNDA EDICIÓN JULIO, 2016 LA PAZ- BOLIVIA
QUEDA AUTORIZADA LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
NO AL OSCURANTISMO CIENTÍFICO NOTA: FAVOR DE NO PINTAR NI SELLAR, OBSTACULIZA AL LECTOR
PROLOGO
El presente trabajo “CODEX CALCULO II VOL.I”, En su segunda edición contiene básicamente los temas: VECTORES EN R 3, GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL, son temas que se desarrollan en el Primer Parcial en el Curso de Cálculo II en INGENIERÍA. En cada capítulo se expone un resumen de enunciados de definiciones y teoremas, seguido de ejercicios desarrollados y de reto personal. Deseo expresar mi mas profundo agradecimiento a mí FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA, quien va formando profesionales para el desarrollo Técnico y Científico de nuestros país.
JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA
Ç
DEDICATORIA “A LA PERSONA MAS IMPORTANTE EN LA VIDA DE CADA PERSONA, A TI MAMÁ”
“TAMBIÉN A ESE SER QUE TE DA INSPIRACIÓN COMO CADA POETA NECESITA SU MUSA UN MATEMÁTICO NECESITA DE SU FACTOR INTEGRANTE DE VIDA (INSPIRACIÓN)” JOSE PAYE CHIPANA
ÍNDICE
PÁGINA
1. PROBLEMAS DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA (2008-2014) …1 2. CAPITULO I VECTORES…………………………………………………………..9 3. PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES …………………………………..12 4. CAPITULO II GEOMETRÍA EN EL ESPACIO R3 ……………………………….34 5. PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA EN EL ESPACIO R 3…………39 6. CAPITULO III FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL …………97 7. PROBLEMAS RESUELTOS DE FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL……………………………………………………………………………….102 8. PROBLEMAS DE RETO PERSONAL (EXÁMENES DE UNI- LIMA PERÚ, U. TOKIO JAPON)……………….……152
ASÍ TE DESCRIBO SOLO NECESITO UN PEDAZO DE CARBÓN PARA ESCRIBIRLE QUE ELLA ES LA ECUACIÓN QUE MODELA MI CORAZÓN Y DEMOSTRARLE TODOS LOS DÍAS QUE MI AMOR POR ELLA ES MAYOR AL INFINITO A ESA NIÑA BONITA QUE TIENE SOLUCIONES COMPLEJAS ASÍNTOTAS NEGATIVAS PERO PARA MI ES LA SOLUCIÓN PERFECTA
AL VERTE PIENSO QUE ERES UN LIBRO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, QUIERO SER TU TEOREMA FUNDAMENTAL Y SER EL PLANO OSCULADOR QUE ACARICIE TU DOMINIO REAL, A TI MUSA QUE VALORAS LA VIDA TRIVIAL DE UN MATEMÁTICO DE INGENIERÍA Y COMPRENDES EL VALOR DE MI INSPIRACIÓN YA QUE SIN TU PRESENCIA Y COMPRESIÓN TUYA NO SERIA LA MATRIZ IDENTIDAD DE TUS PENSAMIENTOS PARA TI MI INTERVALO DE CONFIANZA ATENTAMENTE, JOSE PAYE CHIPANA POSDATA (SI EXISTIERAS!!)
JOSE PAYE CHIPANA
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PROBLEMAS DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA (2008-2014) PREGUNTAS DE EXÁMENES DE PRIMER PARCIAL ORDENADOS DE ACUERDO A FECHA Problemas Resueltos De Exámenes Pasados De La UMSA Ingeniería De (2007-2016) Y Exámenes De Cálculo II, (UNI –Peru) (U. Tokio-Japon) 1) (I/2016) TEORÍA: la intersección de la cuadrica z 2 x 2 y 2 ,con el plano z 2 y . Que curva origina ?(bosqueje una grafica).
,,
2) (I/2016) TEORÍA: escriba una fórmula para la segunda derivada: f g 3) (I/2016) TEORÍA: si una curva plana esta contenida en el plano 2 x y 4 , que dirección tiene su vector Binormal ?
4) (I/2016) TEORÍA: Cuando se cumple que el PTM A, B, C 0 ? Escriba un ejemplo 5) (I/2016) PRACTICA: Hallar la ecuación de una esfera con centro está en el eje X, y pasa por: (0,5,0);(-2,1,0) 6) (I/2016) PRACTICA: Se suelta una Canica que esta colgada en el punto (1,1,6), sobre el plano 2 x y 2 z 8 luego la canica rueda por el plano hasta llegar al plano cordenado X,Y que distancia ha recorrido la canica.
7) (I/2016) PRACTICA: Dada la curva r (t ) (t , t 1, e ) Calcular, para t=0, (a)Vector Binormal (b) Plano Osculador (c) Curvatura 8) (I/2016) PRACTICA: El volumen de un tetraedro es 5, tres de sus vértices son (2,1,-1), (3,0,1),(2,-1,3) Hallar el cuarto vértice si esta en el eje “Y” 2
2
t
9) (II/2015) TEORÍA: cuando se cumple: a b a b ? a , b son vectores. 10)
(II/2015) TEORÍA: Analice si se cumple la igualdad : A B C A B C justificante
su respuesta. 11) (II/2015) TEORÍA: Deducir una fórmula para hallar la curva de una plana y f (x) . Aplicar a algún ejemplo. 12) (II/2015) TEORÍA: Si una curva plana está contenida en el plano: 2x z 4 , cual es su Vector Binormal?. 13) (II/2015) PRACTICA: Hallar el lugar geométrico de los puntos P(x,y,z) que están a una distancia del punto (1,2,3) que es el doble de la distancia al punto (-3,4,3). Graficar dicho lugar geométrico. 14) (II/2015) PRACTICA: Dada la recta L. x 2t 1 y 3t 2 z t 2 Hallar (a)su intersección con el plano z 2 y 0 (b) Su proyección en el plano Coordenado X,Z 15) (II/2015) PRACTICA: Hallar en la esfera x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 11 ,el punto mas próximo al plano 3 x 4 y 19 0
16) (II/2015)PRACTICA: Graficar la curva: r (t ) (3 cosh t ,3senht ,3t ) (b)Hallar la curvatura y la torsión
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(26 /03/2015) (a) calcula el ángulo que forma a y
17)
b sabiendo que a 3 , b 5 y
a b 7 (b) Si u 6 , v 2 , w 4 y u v w 0 calcular: u v u w v w
18)
(26 /03/2015) Dadas las rectas que se cruzan
L1 :
x y 1 z 2 , 2 0 1
L2 :
x 1 y 1 z Hallar la distancia entre las rectas y el plano que contiene a L 2 y es paralela 1 2 1 a L1 19)
(26
/03/2015)
Hallar
las
ecuaciones
de
los
planos
tangentes
a
x5 y 5 z 0 2 1 2 20) (26 /03/2015) Sea la curva de la intersección de la superficie y xz con el cilindro 3 2 parabólico x z 2 , en el punto P de coordenadas 1, ,1 obtener la ecuación de los planos 3
x 12 y 32 z 22
24 ,y que pasan por la recta L :
normal, rectificante y osculador. 21) (26 /03/2015) Una partícula se mueve en el espacio con vector de posición: 3
2 2 r (t ) t A t B 2 t A B 3
2
Donde, A y B son dos vectores unitarios fijos que forman un ángulo de
3
radianes
determinar en cuanto tiempo recorre una distancia de 12 unidades de longitud de arco desde la posición en t=0
22) (18 /09/2014) Si los vectores u , v y w ,linealmente independientes en R3 , tienen origen común; demostrar que el plano que contiene a los extremos libres de estos vectores es
perpendicular al vector definido como: u v w v w u 23) (18 /09/2014) Determinar el valor de “ m ” para que lo planos , y ,pertenezcan a una misma familia de planos
:x yz 0 : x 3y z 0 : mx 10 y 4 z 0
24) (18 /09/2014) Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por el punto Q(2,1,1) , y en tangente al plano y 0 en P(1,0,1) 25) (18 /09/2014) Hallar las ecuaciones de los planos definidos por el triedro móvil en la trayectoria que describe una partícula sobre la curva “C”, en el punto P(1,1,2)
C : z x y , z 2x2 y 26) (18 /09/2014) Una partícula se mueve con una rapidez de 2 [m/s] , contenida en un plano y siguiendo una trayectoria curvilínea, si su vector normal unitario es paralelo al vector 2,2t , t 2 , determinar su curvatura y torsión. 27) (27/03/2014)Una recta que pasa por el punto A(-3,8,5) y se desarrolla según la dirección del vector (-1,2,1), se intersecta con el plano de ecuación x y z 4 , Hallar la ecuación de la recta que se refleja en el plano dado.
2
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28) (27/03/2014)Hallar la ecuación de la esfera ,sabiendo que uno de sus diámetros es el segmento comprendido entre el punto P(1,2,3), y el punto de tangencia de la esfera con el plano
xz 2
3 2
3 2
1 3 2 2
5 2
(27/03/2014)Dada la curva f (t ) ( cos t , sent , sent ) (a) Determinar si la misma
29)
se encuentra contenida en un plano (b) En caso de estarlo, hallar la ecuación de dicho plano (c) Hallar el vector Binormal 30) (27/03/2014)Una trayectoria está dada por la función vectorial n s s r ( s) (a cos , a sin , ) a R (a) Determinar el parámetro “S” es el arco (b) Obtener el a a 2 triedro T , N , B (c) Calcular la curvatura y la torsión
31) (27/03/2014)Considerar la Figura. Hallar (a) Coordenadas de D para que ABCD sea un paralelogramo (b) Sin Hallar su ecuación, Demostrar que el paralelogramo se encuentra contenido en un plano (c) Hallar el área del parelogramo
A(1,1,0)
D
B(1,1,1)
32)
(25/11/2013) (a) Sean
x, y
n
R
C ( 2,2,0)
dos vectores unitarios tales que: x , y
1 ; 2
x, y x y
(i) x e y pueden ser ortogonales
(ii) x y 1
(iii) El ángulo que forman los vectores x e y es
(iv)
x y 2
3
(b) Dado el hexágono regular de lado “ a ” Hallar la
C
A
D F
proyección ortogonal de sobre BE 33)
B
E
(25/11/2013) El movimiento de un cuerpo en el espacio , está dado por las ecuaciones:
x 3t 2 cos(2t ) y 3t 2 sen(2t ) z 3 3t 2 ,Donde “t” es el tiempo. Si el movimiento empieza observarse en t 0 , para el punto en que el cuerpo haya recorrido por la curva una distancia 38, calcular la curvatura y la torsión. 34) (25/11/2013) Un rayo de luz L1, pasa por el punto (1,2,3) y sigue la dirección del vector
u (2,1,3) . Al llegar al espejo plano cuya ecuación es x y 2 z 30 0 , se origina el rayo reflejado L2 y esta llega a un segundo espejo 2 x y z 30 0 generando el rayo reflejado L3, Hallar la distancia mínima entre los rayos L1 y L3. 35) (25/11/2013) Dados los puntos P1(3,2,1),P2(2,-1,0), P3(-1,3,5) y P4(2,-3,1), Hallar las ecuaciones de 4 planos paralelos PL1, PL2, PL3 y PL4 que pasen por P1(3,2,1), P2(2,-1,0), P3(-1,3,5) y P4(2,-3,1) respectivamente de modo que los planos tomados de a dos, se hallen separados una misma distancia, es decir que la distancia entre PL1 y PL2 se a la misma que entre PL2 y PL3 y que PL3 y PL4. 3
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(25/11/2013)Hallar la ecuación de la superficie esférica que sea tangente a la esfera x y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 5 0 y al plano 3x 2 y 6 z 4 0 . El punto de tangencia con la esfera (3,0,2). 37) (28/03/2013)(a) Determinar la ecuación de la esfera que es tangente al plano 2 x 2 y z 6 0 , si el centro es la intercesión de las rectas L1 y L2, donde L1 es la recta que 2
pasa por P(4,3,1) y es perpendicular a la recta L2:
x 5 y 4 z 10 (b) Hallar la ecuación 2 3 8
de la recta L1 38) (28/03/2013)Considerar la curva “C” que resulta de la intersección del cilindro parabólico y x 2 con el plano z 2 x , Para el punto P(1,1,2) Calcular: (a) Los planos Normal, Rectificante y Osculador. (b) La curvatura y la Torsión.
39)
(28/03/2013)Sea f (t ) (t , ln t ) Hallar la circunferencia osculadora de dicha curva en t=1
40)
( x 1) 2 y 2 z 2 36 (28/03/2013)Determinar la forma de la proyección de la curva en el yz0
plano XY.
41) (28/03/2013)Sean los vectores m , n y r si m n m r m ;calcular: m n n r n
42) (20/09/2012)Deducir la expresión que calcula la distancia mínima entre dos rectas alabeadas (que se cruzan pero no se cortan) en el espacio R3.
43) (20/09/2012)Para la curva del espacio R3 ; f (t ) (4 cos t ,4sent ,3t ) calcular la curvatura, torsión radio de curvatura, centro de curvatura en el punto donde t0 44) (20/09/2012)Hallar la ecuación del plano que pertenece a la 3x 4 y z 6 2x 3 y z 2 0 y equidista de los puntos A(3,-4,-5), B(1,2,2) 45) (20/09/2012)Hallar la ecuación de la esfera que contiene a las circunferencias
familia
y 2 z 2 36 y2 z2 9 y x2 x3
46) (20/09/2012)La curva: r (t ) (t 2 1, t 1, t 2 ) intersecta al plano 2 x 3 y z 11 0 en dos puntos. Hallar estos puntos y calcular la distancia entre ellos a través de la curva
47) (20/09/2012)Para la función: f (t ) (e 3t cos(3t ), e 3t sen(3t ), e 3t )
de: f (s )
(a) Identificar la expresión
(b) Determinar si el parámetro “s” es la longitud de curva
48) (29/03/2012) Escriba el vector A (3,2,6) ;Como la suma de los vectores; uno paralelo a
B (2,4,1) y otro perpendicular a B 49) (29/03/2012) Bosqueje una grafica de la Cuadrica : x y 2 x 2 y 0 50) (29/03/2012) Cual es el radio de curvatura de la curva de intersección de 2 2 2 ( x 2) ( y 1) ( z 3) 4 , con el plano 2 x y z 2 51) (29/03/2012) Puede una curva tener Curvatura k 0 y Torsión 0 ? Justifique su respuesta 52) (29/03/2012) Damos un tetraedro con vértices (-1,2,3);(2,3,-4);(1,5,0);(3,-2,-1) (a) Calcular el Volumen (b) Los VECTORES DE ÁREA, son aquellos perpendiculares a cada cara apuntando hacia fuera y con magnitud igual al área del respectivo triangulo. Verificar que la suma de los 4 vectores se igual a cero. 2
2
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53) (29/03/2012) Hallar en el plano X,Y un punto P de modo que la suma de sus distancias a los puntos A(4,2,7); B(3,5,5) sea mínima. 2 2 2 54) (29/03/2012) En la cuadrica: x y z 11 2( x 2 y 3z ) . Hallar el punto mas próximo al plano 3x 4z 19 0 .Luego calcular la distancia desde ese punto al plano.
55) (29/03/2012) Dada la curva r (t ) ( 2Cosh(t ),2Senh(t ),2t ) (a) Bosquejear una grafica (b) Calcular la curvatura en t=0 (c) Calcular la Torsión en t=0 (d) plano Osculador en t=0. 56) (15/09/2011)Si A(1,1,1), B(2,3,4), C(4,3,2) Son vértices de un triangulo. Si el segmento OP es perpendicular al lado AC y “O” es el punto medio del segmento AB. Determinar el área del cuadrilátero OB 57) (15/09/2011)En el paralelogramo ABCD, el Angulo en el vértice A es de 60º y se conoce que:
q Pr oy AC Determinar p+q=?
AB 2 , AB 4 Si: p Pr oy AC ,
AB
AD
58) (15/09/2011)Determinar la ecuación de la esfera que es tangente al plano 2 x 2 y z 5 0 , el centro es el punto de interseción de las rectas L1 y L2, donde L1 es la recta que pasa por P(4,3,1) y es perpendicular a la recta L2:
x 5 y 4 z 10 2 3 8
59) (15/09/2011) (a) Demostrar que la curva determinada por la interseción de las superficies
x2 y 2 2 y 2x 2 0 . Es plana (b) Determinar el plano x y 2 z 2 0 60) (15/09/2011)Determinar la ecuación del plano perpendicular al plano horizontal que pasa por (0,0,2) Contiene al punto B(2,2,2) y forma un Angulo de 60º con el plano 3 x 2 y 3 z 2 0 61) (01/04/2011)Si A,B,C son vértices de un triangulo equilátero cualquiera de R 3 ; usando propiedades vectoriales (a) Deducir la expresión que calcula su área (b) probar que uniendo los puntos medios de los lados se forman otro triangulo que debe ser también equilátero.
62) (01/04/2011)Si una curva C de R3 se da por r (t ) (r1 (t ), r2 (t ), r3 (t )) (a) anote las expresiones que calculan el centro de curvatura y radio de curvatura (b) si S=parámetro de longitud de arco
explique cómo se halla la expresión de la misma curva según:
r ( s) (r1 ( s), r2 ( s), r3 ( s)) (c) si
existe, identifique el valor de r ' ( s )
63) (01/04/2011)Se conoce que los que los módulos de los vectores a , b son iguales y forman un ángulo de
3
,Si el módulo de a + b es cuatro unidades mayor que el módulo de a ;
deducir una expresión para el módulo de b 64) (01/04/2011)Encontrar el punto Q que es simétrico de P=(4,1,6) respecto ala recta:
2 x y 2 z 3 0 x y 4 z 12 0
L:
65) (01/04/2011)Hallar la ecuación de la esfera que es tangente al plano: 2 x y 2 z 12 0 en el punto
2y z 7 0 2 x 3 y 8 0
A(-2,2,5) y tiene su centro en la recta L0 :
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66) (01/04/2011)Hallar la curvatura y torsión en un punto cualquiera de la curva definida por:
x2 4 y 0 3 x 24 z 0
( y 2) 2 Luego, analice si existe o no relación de los resultados obtenidos con la cantidad 2 67) (18/09/2010)Hallar la ecuación de la esfera que es tangente a las rectas L1:
x 4 y 2 z 3 L2 : P(x,y,z)=(-7,-2,1)+m(3,2,1), sabiendo que uno de sus diámetros 2 1 1
es perpendicular a ambas rectas 68) (18/09/2010)Hallar las ecuaciones
de
los
planos
tangentes
x 2 y 2 z 2 10 x 2 y 26 z 113 0 y paralelos a las rectas L1: L2:
x 7 y 1 z 8 3 2 0
a
la
esfera
x 5 y 1 z 13 2 3 2
69) (18/09/2010)Una partícula se mueve a lo largo de la curva “C” descrita por la función vectorial
r (t ) ( x(t ), y(t ), z (t )) expresada en metros y “t” en segundos, Si la rapidez de la partícula es 2
constante e igual a 10 m/s, si el vector Tangente Unitario es paralelo al vector (t ,1,0) , determinar (a) La curvatura de ”C” como una función de t (b) La ecuación de la recta tangente a
la curva en el punto r (1) (1,3,6) 3 2 70) (18/09/2010)Una partícula se mueve a lo largo de la curva x t , y t 4 , z t 4t , siendo ”t” el tiempo Hallar (a) La componente de su velocidad en la dirección de la recta
x y 1 z (b) ¿Para qué valor de “t” su aceleración no tiene componte sobre la recta dada? 1 1 0
71) (18/09/2010) Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 45º y el módulo de b es 3 2
Hallar el módulo de a de modo que el vector a - b sea perpendicular a b 72) (18/09/2010) Diga si es falso o verdadero
Dada la curva r r (t ) , el plano rectificante es aquel que contiene a los vectores tangente unitario y binormal principal en algún punto de dicha curva (F) (V) 73) (18/09/2010) Diga si es falso o verdadero
Si u v u v u v
(F)
(V)
74) (26/03/2010) Hallar las ecuaciones de los planos bisectores de los ángulos diedros formados por los planos: 3 x 4 y 6 0 ; 6 x 6 y 7 z 16 0 75) (26/03/2010) La Traza de una superficie esférica con el plano XZ es la circunferencia x 2 z 2 2 x 2 z 3 0 . Hallar su ecuación si pasa por el punto P 0 (3,4,2)
76) (26/03/2010) Una trayectoria esta definida por: g (s) (arctg (s),
1 ln s 2 1 , s arctg (s)) (a) 2
Determinar si el parámetro “S” es la longitud de arco (b) Hallar la curvatura y el radio de curvatura.
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77) (26/03/2010) Una partícula se mueve a lo largo de la curva f (t ) (t 2 , ln( t ),2t ) , siendo t el tiempo. Hallar en t=1: (a) Las componentes tangencial y normal de la aceleración (b) Las compontes de la velocidad y la aceleración en la dirección de la recta: x t 11 , y 2t , z 2t 5 (c) La curvatura, la torsión, el radio de curvatura y el radio de torsión.
dB v 78) (26/03/2010) Indicar si N , donde “ v ” es la rapidez y “ ” es el radio de Torsión, dt Justificar su respuesta. 79) (26/03/2010) Indicar en que plano se encuentra el vector aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en el espacio.
80) (26/03/2010) Sean u y v dos vectores no nulos tales que u v t , Si el ángulo entre ambos vectores es
y la norma de su diferencia es 2 t , Hallar: t 3
3
81) (17/09/2009) Si los vectores no coplanares u , v , w R tiene un origen común. Demostrar que el plano que pasa los extremos de estos vectores es perpendicular al vector
u v v w w u
82) (17/09/2009)Una función vectorial f (t ) esta dada
y e x , con 0 x 1 y
por la curva
x y 2 ln( x y ) 2 ln 2 , con 2 x y 2e .Determinar la g t esta dada por la curva relación que existe entre sus longitudes de arco 83) (17/09/2009)Determinar la ecuación de la recta que es paralela a los planos y corta a las x 5 y 3 z 1 x 3 y 1 z 2 rectas 3x 12 y 3z 5 0 , 3x 4 y 9 z 7 0 , 2 4 3 2 3 4 84) 17/09/2009)Determinar la ecuación de la esfera cuyo centro esta en la recta Bisectriz x 1 y 1 z 2 x 1 y 3 z 2 determinada por las rectas , y es tangente a los 2 2 1 6 2 3 planos 2 x 2 y z 5 0 , 2 x 2 y z 3 0 85) (17/09/2009)Determinar el plano osculador a la curva determinada por la intersección de las 2 2 2 superficies x y z 24 , x y z 0 ,en el punto A(2,2,-4) 86) (25/03/2009) Hallar las ecuaciones de los planos definidos por el triedro móvil en la trayectoria x2 y 2 z 2 9 que describe una partícula sobre la curva “C”, en el punto (-2,-1,-2) c: 2 2 x y 3 87) (25/03/2009) Hallar un punto de la recta L1: (2,11,14) t (2,4,5) que equidiste del eje “x” y la recta L2: (1,7,0) k (0,0,5) k y t son variables Reales. 88) (25/03/2009) Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a ( x 1) ( y 3) ( z 2) 24 2
, y que pasan por la recta L:
2
2
y 5 z ,x 5 2 1
89) (25/03/2009) Demostrar, y dar una interpretación geométrica cuando corresponda: 2
2
1 (a) c d c d 2 c d (b) c d c d c d 4
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90) (25/03/2009) Sean ABCD un cuadrilátero y PQR y S los puntos medios de los lados sucesivos. Demostrar que el perímetro de paralelogramo PQRS es igual a la suma de las longitudes de las diagonales de ABCD 91) (25/03/2009) Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por el punto : P(-1,6,-3), y es tangente al plano: P=(7,3,8)+u(-17,3,8)+v(7,-21,8), en el punto P0(7,3,8) 92) (18/09/2008) ¿Qué condición deben cumplir el vector direccional De una recta y el vector normal de un plano, para que la recta sea paralela al plano?
93) (18/09/2008) Si a , b , c 0 ¿Qué significado geométrico tiene este producto triple? Explique 94) (18/09/2008) En una Trayectoria rectilínea señale que componente de la aceleración se anula 95) (18/09/2008) En una Trayectoria circular de radio "a" , indique que dirección tiene la aceleración
96) (18/09/2008) Si el ángulo formado por los vectores
v y w es de 45º y el módulo de v
es 3;encontrar el módulo de w de manera que ( v + w ) forme con v un ángulo de 30º 97) (18/09/2008) Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos A(3,1,-3), B(-2,4,1), C(5,0,0) y su centro está en el plano 2 x y z 3 0 98) (18/09/2008) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L:(1,8,1)+t(1,-3,1) y forma una ángulo de 60º con el plano 2 x y z 7 99) (18/09/2008) Una particular se mueve siguiendo la trayectoria dada por la intersección de
1 1 1 x 2 y 2 z 2 1 y el plano y z , Hallar: (a) El vector velocidad en el punto P , , (b) 2 2 2 1 1 1 , , Componentes tangente y Normal de la aceleración en el punto P 2 2 2 100) (20/09/2007) Un proyectiles es lanzado desde el nivel suelo (z=0) siguiendo la trayectoria 2 2 dada por z 125 x y ; y 2 x .Hallar: (a) El Radio de curvatura en el punto más alto que alcanza el proyectil (b) El alcance horizontal del proyectil (c) Las componentes tangencial y normal de la aceleración para t=1(d) la ecuación del plano osculador para t=1 101) (20/09/2007) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P 0(3,-2,-4), es paralela al
x 2 y 4 z 1 3 2 2
plano 3 x 2 y 3 z 7 0 y se corta con la recta
102)
;sabiendo que a, b subtienden un ángulo de
y además a 1 b 3 6
103)
(20/09/2007) Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son 2 a b y 4 a 5 b
(20/09/2007) Hallar el valor reducido de: a ( b c ) b ( c a ) c ( a b )
“SE RECOMIENDA LEER Y COMPRENDER EL RESUMEN DE TEORÍA ANTES DE RESOLVER LOS PROBLEMAS Y AL FINAL DEL TEXTO TENEMOS LOS PROBLEMAS DE RETO PERSONAL SON EXÁMENES DE UNIVERSIDADES EXTRANJERAS”
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CAPITULO I VECTOR: [Es un
Q
PQ
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VECTORES SEGMENTO de recta PQ que va de un punto “ P ” a otro punto “ Q ”,
aquí se llama a “ P ” el punto inicial u origen de PQ y “ Q ” se denomina punto terminal, fin o término del vector]
PQ Q P a a1 , a 2 , a3
3 *El Vector en es una TERNA ORDENADA:
p
*vector opuesto: a a1 ,a 2 ,a3 vector nulo: 0 0,0,0 PUNTO MEDIO ( M ): Sean P y Q M
PQ 2
INTERPRETACION GRAFICA
SUMA= UNIR (COLA Y PUNTA)
b
SUMA DE VECTORES (ADICIÓN): Sean
a a1 , a 2 , a3 y b b1 , b2 , b3
ab
a
a b
a b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3
a
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN
b 1) a b b a
3) a 0 0 a a
2) (a b) c a (b c)
4) a (a) 0
DIFERENCIA DE VECTORES: a b a (b) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Sea
a a1 , a 2 , a3 un vector y “ m ” un escalar ma ma1 , ma2 , ma3
PROPIEDADES 1) m(na) mn(a)
4) 0(a) m0 0
2) (m n)a ma na
5) 1(a) a
3) m(a b) ma mb VECTORES BASE O BASE CANONÍCA (VECTORES UNITARIOS DIRECCIONALES DEL SISTEMA EUCLIDIANO)
i 1,0,0
j 0,1,0 k 0,0,1
También se puede representar
“ a a1 , a 2 , a3 ” como combinación lineal de su base canoníca
a a1 i a 2
j , a3 k
PRODUCTO ESCALAR: “EL RESULTADO DE UN PRODUCTO ESCALAR ES UN NUMERO POR TANTO UN ESCALAR”
Sean a a1 , a 2 , a3 y b b1 , b2 , b3
a b a1b1 a2 b2 a3b3
PROPIEDADES 1) a b b a
3) (ma) b mb a m(a b)
2) a (b c) a b a c
4) a a 0
MÓDULO DE UN VECTOR: “Es el tamaño del vector” Sea
a a1 , a 2 , a3 el módulo es: a a a1 a 2 a3 2
2
2
a aa
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PROPIEDADES 1)
ANGULO ENTRE DOS VECTORES
a 0
2) a 0 a 0
a
3) ma m a
4) a b a b desigualdad triangular 5)
b
a b a b cos ay b
a b a b
6) a b a b
VECTOR UNITARIO (VERSOR)
a
a
condición
a
a
1
*PARA LA BISECTRIZ c ENTRE DOS VECTORES SIEMBRE ES CONVENIENTE USAR VECTORES
c
UNITARIOS
ab ba ab
3 EN FUNCIÓN DE COSENOS DIRECTORES PARA VECTORES :
a cos i cos
PERPENDICULARIDAD (ORTOGONALIDAD) DE VECTORES : Si
VECTOR PROYECCIÓN: La proyección de un vector
a
siempre es perpendicular
PRODUCTO VECTORIAL “EL RESULTADO
Pr oy a b
ab Pr oy b a a 2 b b
COMPONENTE: Es el módulo del Vector Proyección
j cos k
PROYECCION
a es perpendicular a b a b 0
ab Pr oy b a 2 b b
b
Pr oy
a
b
Compb a Pr oyb a
DE UN PRODUCTO VECTORIAL ES UN VECTOR
PERPENDICULAR A LOS MISMOS”
Sean a a1 , a 2 , a3 y b b1 , b2 , b3
i a b a1 b1
j a2 b2
PRODUCTO VECTORIAL
k a3 a2b3 a3b2 , a3b1 a1b3 , a1b2 a2b1 b3
“Regla de signos”
ab c
c
PROPIEDADES
b
1) a b b a
a
2) a (b c) a b a c
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3) (ma) b mb a m(a b) 4) a a 0 PARALELISMO DE VECTORES: Si a es paralelo a b a mb ó
ab 0
AREA DEL PARELOLOGRAMOS
ÁREA DEL PARALELOGRAMO
b
a b a b sen ay b
a b AREA ó
a
PRODUCTO MIXTO “EL RESULTADO DE UN PRODUCTO MIXTO ES UN ESCALAR”
a b AREA
Sean a a1 , a 2 , a3 ; b b1 , b2 , b3 y c c1 , c2 , c3
b
a1
a2
a b c a, b, c b1
b2
b3 (a1 (b2 c3 b3c2 ) b1 a2 c3 a3c2 ) c1 (a2b3 a3b2 )
c1
c2
c3
a
a3
PARALELEPIPEDO
PROPIEDADES
a b c volumen
1) a b c a b c
a
2) a b c c a b b c a 3) a b c c b a b a c VECTORES CONTENIDOS EN EL PLANO
c
b
(VECTORES COPLANARES)
a bc 0 VOLUMEN DEL TETRAEDRO
a bc 6
TETRAEDRO
VTETRAEDRO
a bc
TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL
6
1) a (b c) (a c)b (b a)c 2) (a b) c (a c)b (b c)a
volumen
a b
(a b) c a (b c)
c
IDENTIDAD DE LAGRANGE
a b c d a b c d
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PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES 1) (18/09/2010) Diga si es falso o verdadero
Si u v u v u v
(F)
(V)
____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
2) (I/2016) TEORÍA: Cuando se cumple que el PTM
A, B, C 0
? Escriba un ejemplo
SOLUCIÓN______________________________________________________
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3) (25/03/2009) Demostrar, y dar una interpretación geométrica cuando corresponda: 2
2
1 (a) c d c d 2 c d (b) c d c d c d 4
____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
4) (II/2015) TEORÍA: cuando se cumple: a b a b ? a , b son vectores. SOLUCIÓN______________________________________________________
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5) (II/2015) TEORÍA: Analice si se cumple la igualdad : A B C A B C justificante su respuesta. SOLUCIÓN______________________________________________________
104)
(26 /03/2015) (a) calcula el ángulo que forma a y
b sabiendo que a 3 , b 5 y
a b 7 (b) Si u 6 , v 2 , w 4 y u v w 0 calcular: u v u w v w
SOLUCIÓN______________________________________________________
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6) (29/03/2012) Escriba el vector A (3,2,6) ;Como la suma de los vectores; uno paralelo a
B (2,4,1) y otro perpendicular a B ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
7) (20/09/2007) Hallar el valor reducido de: a ( b c ) b ( c a ) c ( a b ) ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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8) (28/03/2013)Sean
los
vectores
m n n r n (b)
m,n
y
r
m n m r m ;
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si
calcular:
(a)
m n n r n
_______________________________________________________________________ SOLUCIÓN
2
n
0
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9) (I/2016) PRACTICA: El volumen de un tetraedro es 5, tres de sus vértices son (2,1,-1), (3,0,1),(2,-1,3) Hallar el cuarto vértice si esta en el eje “Y” SOLUCIÓN______________________________________________________
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10) (15/09/2011)En el paralelogramo ABCD, el Angulo en el vértice A es de 60º y se conoce que:
AB 2 , AB 4 Si: p Pr oy AC , AD
Determinar p+q=? ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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11)
(25/11/2013) (a) Sean
x, y
n
R
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dos vectores unitarios tales que: x , y
1 ; 2
x, y x y
(i) x e y pueden ser ortogonales
(ii) x y 1
(iii) El ángulo que forman los vectores x e y es
(iv)
x y 2
3
(b) Dado el hexágono regular de lado “ a ” Hallar la
B
C
A
D F
E
proyección ortogonal de sobre BE ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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12) (27/03/2014)Considerar la Figura. Hallar (a) Coordenadas de A para que ABCD sea un paralelogramo (b) Sin Hallar su ecuación, Demostrar que el paralelogramo se encuentra contenido en un plano (c) Hallar el área del parelogramo
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A
B(1,1,1)
D(4,4,1)
C ( 2,2,0)
___________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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13) (15/09/2011)Si A(1,1,1), B(2,3,4), C(4,3,2) Son vértices de un triangulo. Si el segmento OP es perpendicular al lado AC y “O” es el punto medio del segmento AB. Determinar el área del cuadrilátero OB ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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14) (01/04/2011)Si A,B,C son vértices de un triangulo equilátero cualquiera de R 3 ; usando propiedades vectoriales (a) Deducir la expresión que calcula su área (b) probar que uniendo los puntos medios de los lados se forman otro triangulo que debe ser también equilátero. ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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15) (26/03/2010) Sean u y v dos vectores no nulos tales que u v t , Si el ángulo entre ambos vectores es
y la norma de su diferencia es 2 t , Hallar: t 3
____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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16) (29/03/2012) Damos un tetraedro con vértices (-1,2,3);(2,3,-4);(1,5,0);(3,-2,-1) (a) Calcular el Volumen (b) Los VECTORES DE AREA, son aquellos perpendiculares a cada cara apuntando hacia fuera y con magnitud igual al área del respectivo triangulo. Verificar que la suma de los 4 vectores se igual a cero. ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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17) (25/03/2009) Sean ABCD un cuadrilátero y PQR y S los puntos medios de los lados sucesivos. Demostrar que el perímetro de paralelogramo PQRS es igual a la suma de las longitudes de las diagonales de ABCD ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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18) (01/04/2011)Se conoce que los que los módulos de los vectores a , b son iguales y forman un ángulo de
3
,Si el módulo de a + b es cuatro unidades mayor que el módulo de b ;
deducir una expresión para el módulo de a ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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19) (18/09/2010) Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 45º y el módulo de b es 3 2
Hallar el módulo de a de modo que el vector a - b sea perpendicular a b ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
20) (18/09/2008) Si el ángulo formado por los vectores
v y w es de 45º y el módulo de v
es 3;encontrar el módulo de w de manera que ( v + w ) forme con v un ángulo de 30º ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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21) (20/09/2007) Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son 2 a b y 4 a 5 b
;sabiendo que a, b subtienden un ángulo de
y además a 1 b 3 6
____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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22) (18/09/2008) Si a , b , c 0 ¿Qué significado geométrico tiene este producto triple? Explique SOLUCIÓN_________________________________________________________________
a b c 0 ¿El significado geométrico es el volumen del paralelepípedo? Si es Cero los VECTORES CONTENIDOS EN EL PLANO (VECTORES COPLANARES)
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GEOMETRÍA EN EL ESPACIO ( )
CAPITULO II
3
PUNTO: [Es una TERNA ORDENADA p x, y, z ] PUNTO MEDIO ( M ): Sean P y Q M
PQ 2
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: FORMA VECTORIAL: Sean P y Q d 0P 0Q FORMA ESCALAR: Sean P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y2 , z 2 )
d ( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2 RECTA: [Para obtener una recta es necesario contar
a
p0
Re cta
con un PUNTO CONOCIDO “ p 0 x0 , y 0 , z 0 “
y un VECTOR DIRECCIONAL a a1 , a 2 , a3 ] ECUACIÓN DE LA RECTA MEDIANTE DOS PUNTOS CONOCIDOS:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido Y
p1 x1 , y1 , z1 punto conocido
p 0 x0 , y 0 , z 0
=CUALQUIERA DE LOS DOS; VECTOR DIRECCIONAL a p1 p2 FORMA VECTORIAL DE LA RECTA:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
a a1 , a 2 , a3 = vector direccional
p p0 ta
FORMA PARAMÉTRICA DE LA RECTA: [TOMAR EN CUENTA QUE EN ESTA FORMA LA RECTA SE TRANSFORMA EN UN PUNTO MÓVIL]
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
a a1 , a 2 , a3 = vector direccional
x x 0 ta1 y y 0 ta 2 z z ta 0 3
FORMA SIMÉTRICA (CANONÍCA) DE LA RECTA:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto
a a1 , a 2 , a3 =
conocido
vector
direccional
x x0 y y 0 z z 0 a1 a2 a31 FORMA
INTERSECCIÓN
ENTRE
2
PLANOS:
A0 x B0 y C 0 z D0 0 ,Dos A1 x B1 y C1 z D1 0
planos
intersectados forman una recta
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MÉTODOS PARA HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA: MÉTODO 1: se debe hallar
p 0 x0 , y 0 , z 0 como el sistema es indeterminado se debe
suponer x 0 0 ó y 0 0 ó z 0 0 y resolver el sistema Para el vector direccional a A0 , B0 , C0 A1 , B1 , C1 MÉTODO 2: se debe hallar RESOLVER EL SISTEMA LINEAL EN FORMA PARAMÉTRICA como el sistema es indeterminado se debe realizar el cambio: x t ó y t ó z t y resolver
x x 0 ta1 el sistema el resultado será la ecuación de la recta en forma paramétrica. y y 0 ta 2 z z ta 0 3 CONDICIONES Una Recta se puede escribir en su forma simétrica como la intersección de dos planos,
Si el vector direccional tiene alguna componte cero, ejemplo
L:
x x0 y y 0 z z 0 x x0 y y 0 L: z z0 a1 a2 0 a1 a2
Una Recta se puede escribir en su forma simétrica como la intersección de dos planos, Si el vector direccional tiene dos componte cero, ejemplo
L:
x x0 y y 0 z z 0 L : x x0 z z 0 0 a2 0
Si dos rectas son paralelas sus vectores direccionales son paralelas Si a es paralelo a b
a mb ó
a b 0 , pero como solo necesitamos la dirección supondremos a b
Si dos rectas son perpendiculares sus vectores direccionales son perpendiculares Si a es perpendicular a b a b 0 Rectas alabeadas “se cruzan pero no se cortan” Una Recta en su estado natural podría nacer de una familia de Planos (planos intersectados) DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido de la recta
a a1 , a 2 , a3 = vector direccional de la recta, p1 x1 , y1 , z1 punto externo desea medir la distancia a la recta
d
del cual se
( p 0 p1 ) a a
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DISTANCIA ENTRE L1
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2 RECTAS
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ALABEADAS: p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido de la recta
a a1 , a 2 , a3 = vector direccional de la recta L1, p1 x1 , y1 , z1 punto conocido de la
recta L2 b b1 , b2 , b3 = vector direccional de la recta L2
d
( p 0 p1 ) (a b) ( a b)
PLANO: [Para obtener un PLANO es necesario contar con un PUNTO CONOCIDO “
p 0 x0 , y 0 , z 0 “ y un VECTOR NORMAL N A, B, C el cual es perpendicular a todo el plano] ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
( p p0 ) N 0
N
N A, B, C = vector NORMAL
p0
( p p0 ) N 0
ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido N A, B, C = vector NORMAL
Ax By cZ D 0
[Donde “D” es el desfase al origen Del Sistema Euclidiano, si D 0
Ax By cZ 0 el
plano pasa por el origen del sistema Euclidiano] ECUACIÓN SIMÉTRICA CANONÍCA:
x y z 1 a b c
z
1 1 1 N , , Vector NORMAL a b c
donde: a ejex b ejey
x y z 1 a b c b
N
a
c ejez
Formando si un TETRAEDRO de volumen:
c
y
x abc 6
VTETRAEDRO
ECUACIÓN DE UN PLANO POR 3 PUNTOS CONOCIDOS: p 0 , p1 y p 2 punto conocido y no colineales, NORMAL
p 0 x0 , y 0 , z 0 =cualquiera de los 3 puntos N p1 p0 p2 p0 vector ( p p0 ) N 0
ECUACIÓN DE UN PLANO POR 2 RECTAS NO PARALELAS:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto cualquiera de las dos rectas
N A, B, C = vector NORMAL se obtiene multiplicando vectorialmente los vectores direccionales de la recta N a b
( p p0 ) N 0
( p p0 ) N 0
N p0
b a
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ECUACIÓN DE UN PLANO POR 2 RECTAS PARALELAS:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto cualquiera de las dos rectas
p1
N
N A, B, C = vector NORMAL se obtiene multiplicando
p0
Vectorialmente los vectores, ( a vector direccional)
b
a
c (Vector obtenido por p 0 y p1 ) c p1 p`0 N ac
( p p0 ) N 0
c
( p p0 ) N 0
DISTANCIA DE UN PUNTO p 0 x0 , y 0 , z 0 AL PLANO: PLANO: Ax By cZ D 0 FAMILIA
DE
PLANOS;
PUNTO: p 0 x0 , y 0 , z 0
Sea
A0 x B0 y C 0 z D0 0 A1 x B1 y C1 z D1 0
d
Ax0 By 0 Cz0 D A2 B 2 C 2
entonces
un
plano
general
A0 x B0 y C0 z D0 k A1 x B1 y C1 z D1 A2 x B2 y C2 z D2 ....... 0 Se simplificando se tiene al representante de la familia:
x y z 0
CONDICIONES GEOMÉTRICAS Si dos PLANOS son paralelos sus NORMALES son paralelas Si N1 es paralelo
a N2
N1 m N 2 ó N1 N2 0 , pero como solo necesitamos la dirección supondremos N1 N 2 Si dos PLANOS son perpendiculares sus NORMALES son perpendiculares Si N1
es
perpendicular a N 2 N1 N 2 0 Todo plano tangente a una esfera se
puede usarse su normal como vector direccional
para hacer pasar una recta por el centro de la esfera Si dos planos son paralelos a una recta ,y no paralelos entre si, el vector direccional de la recta será el producto vectorial de los planos Sean dos planos paralelos y tangentes a una esfera su distancia entre los planos será el
A0 x B0 y C0 z D1 0 A0 x B0 y C0 z D2 0
diámetro de la esfera:
d
D2 D1 A0 B0 C 0 2
2
2
*Un Triángulo inscribe otro triángulo paralelo a sus lados pasando por los puntos medios los vértices de este (Recordar las relaciones que rigen en Geometría Euclidiana)
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CUADRICAS: ESFERA: Centro C (h, j , l ) y
x h
el 2
Radio
y k z l 2
2
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ELIPSOIDE: Centro C (h, j , l )
Ra a2
x h a
2
2
y k b
2
2
z l
2
1
c2
HIPERBOLOIDE HOJA
x h 2 y k 2 z l 2 a2
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJA
x h a
2
2
y k b
2
2
z l c
2
2
1
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO (SILLA DE MONTAR)
x h a2
2
y k b2
2
CONO
x h a
2
2
y k b
z l
2
2
c
x h
c
a2
y k
2
b2
c2
1
PARABOLOIDE ELÍPTICO 2
x h 2 y k 2 a
2
b
2
EN
z l c
FORMA
GENERAL
C (h, j, l )
z l
b2
ELÍPTICO: CILINDRO
CILINDRO 2
2
DE UNA : C (h, j , l )
1
z f ( x, y )
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PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA EN EL ESPACIO 23) (18/09/2008) ¿Qué condición deben cumplir el vector direccional De una recta y el vector normal de un plano, para que la recta sea paralela al plano? SOLUCIÓN_________________________________________________________________ EL VECTOR DIRECCIONAL DE LA RECTA DEBE SER PERPENDICULAR A LA NORMAL DEL
PLANO, ENTONCES: u N 0 24) (17/09/2009)Determinar la ecuación de la recta que es paralela a los planos y corta a las rectas 3x 12 y 3z 5 0 , 3x 4 y 9 z 7 0
x 5 y 3 z 1 x 3 y 1 z 2 , 2 4 3 2 3 4
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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25) (I/2016) PRACTICA: Se suelta una Canica que esta colgada en el punto (1,1,6), sobre el plano 2 x y 2 z 8 luego la canica rueda por el plano hasta llegar al plano cordenado X,Y que distancia ha recorrido la canica. SOLUCIÓN______________________________________________________
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26) (25/03/2009) Hallar un punto de la recta L1: recta
(2,11,14) t (2,4,5)
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que equidiste del eje “x” y la
L2: (1,7,0) k (0,0,5) k y t son variables Reales.
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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27) (01/04/2011)Encontrar el punto Q que es simétrico de P=(4,1,6) respecto ala recta:
2 x y 2 z 3 0 x y 4 z 12 0
L:
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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28) (20/09/2012)Deducir la expresión que calcula la distancia mínima entre dos rectas alabeadas (que se cruzan pero no se cortan) en el espacio R3. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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3
29) (17/09/2009) Si los vectores no coplanares u , v , w R tiene un origen común. Demostrar que el plano que pasa los extremos de estos vectores es perpendicular al vector
u v v w w u SOLUCIÓN_________________________________________________________________
30) (II/2015)
PRACTICA:
Dada
la
recta
L. x 2t 1 y 3t 2 z t 2 Hallar
(a)su
intersección con el plano z 2 y 0 (b) Su proyección en el plano Coordenado X,Z SOLUCIÓN______________________________________________________
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31) (20/09/2007) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P 0(3,-2,-4), es paralela al plano
3x 2 y 3z 7 0
y
se
corta
con
la
recta
x 2 y 4 z 1 3 2 2
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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32) (29/03/2012) Hallar en el plano X,Y un punto P de modo que la suma de sus distancias a los puntos A(4,2,7); B(3,5,5) sea mínima. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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33) (27/03/2014)Una recta que pasa por el punto A(-3,8,5) y se desarrolla según la dirección del vector (-1,2,1), se intersecta con el plano de ecuación x y z 4 , Hallar la ecuación de la recta que se refleja en el plano dado. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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34)
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(26 /03/2015) Dadas las rectas que se cruzan
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L1 :
x y 1 z 2 , 2 0 1
x 1 y 1 z Hallar la distancia entre las rectas y el plano que contiene a L 2 y 1 2 1 paralela a L1
L2 : es
SOLUCIÓN______________________________________________________
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(25/11/2013) Un rayo de luz L1, pasa por el punto (1,2,3) y sigue la dirección del vector
u (2,1,3) . Al llegar al espejo plano cuya ecuación es x y 2 z 30 0 , se origina el rayo
reflejado L2 y esta llega a un segundo espejo 2 x y z 30 0
generando el rayo reflejado
L3, Hallar la distancia mínima entre los rayos L1 y L3. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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36) (18/09/2008) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L:(1,8,1)+t(1,-3,1) y forma una ángulo de 60º con el plano 2 x y z 7 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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37) (20/09/2012)Hallar
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la
ecuación
del
plano
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que
pertenece
a
la
3x 4 y z 6 2x 3 y z 2 0 y equidista de los puntos A(3,-4,-5), B(1,2,2)
familia
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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38) (25/11/2013) Dados los puntos P1(3,2,1),P2(2,-1,0), P3(-1,3,5) y P4(2,-3,1), Hallar las ecuaciones de 4 planos paralelos PL1, PL2, PL3 y PL4 que pasen por P1(3,2,1), P2(2,-1,0), P3(-1,3,5) y P4(2,-3,1) respectivamente de modo que los planos tomados de a dos, se hallen separados una misma distancia, es decir que la distancia entre PL1 y PL2 se a la misma que entre PL2 y PL3 y que PL3 y PL4. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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39) (15/09/2011)Determinar la ecuación del plano perpendicular al plano horizontal que pasa por
3x 2 y 3z 2 0 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
(0,0,2) Contiene al punto B(2,2,2) y forma un Angulo de 60º con el plano
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40) (26/03/2010) Hallar las ecuaciones de los planos bisectores de los ángulos diedros formados por los planos: 3 x 4 y 6 0 ; 6 x 6 y 7 z 16 0 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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41) (27/03/2014)Hallar la ecuación de la esfera ,sabiendo que uno de sus diámetros es el segmento comprendido entre el punto P(1,2,3), y el punto de tangencia de la esfera con el plano
xz 2 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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42)
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(25/11/2013)Hallar la ecuación de la superficie esférica que sea tangente a la esfera
x y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 5 0 y al plano 3x 2 y 6 z 4 0 . El punto de tangencia con la 2
esfera (3,0,2). SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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43)
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(28/03/2013)(a) Determinar la ecuación de la esfera que es tangente al plano 2 x 2 y z 6 0 , si el centro es la intercesión de las rectas L1 y L2, donde L1 es la recta que
pasa por P(4,3,1) y es perpendicular a la recta L2:
x 5 y 4 z 10 (b) Hallar la ecuación 2 3 8
de la recta L1 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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44) (20/09/2012)Hallar la ecuación de la esfera que contiene a las circunferencias
y 2 z 2 36 y2 z2 9 y x2 x3 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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45) (15/09/2011)Determinar la ecuación de la esfera que es tangente al plano 2 x 2 y z 5 0 , el centro es el punto de interseción de las rectas L1 y L2, donde L1 es la recta que pasa por P(4,3,1) y es perpendicular a la recta L2:
x 5 y 4 z 10 2 3 8
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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46) (01/04/2011)Hallar la ecuación de la esfera que es tangente al plano: 2 x y 2 z 12 0 en el punto
2y z 7 0 2 x 3 y 8 0
A(-2,2,5) y tiene su centro en la recta L0 :
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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47) (18/09/2010)Hallar la ecuación de la esfera que es tangente a las rectas L1:
x 4 y 2 z 3 L2 : P(x,y,z)=(-7,-2,1)+m(3,2,1), sabiendo que uno de sus diámetros 2 1 1
es perpendicular a ambas rectas SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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48) (18/09/2010)Hallar
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las
ecuaciones
de
los
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planos
tangentes
x 2 y 2 z 2 10 x 2 y 26 z 113 0 y paralelos a las rectas L1: L2:
a
la
esfera
x 5 y 1 z 13 2 3 2
x 7 y 1 z 8 3 2 0
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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49) (26/03/2010) La Traza de una superficie esférica con el plano XZ es la circunferencia
x 2 z 2 2 x 2 z 3 0 . Hallar su ecuación si pasa por el punto P 0 (3,4,2) SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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50)17/09/2009)Determinar la ecuación de la esfera cuyo centro esta en la recta Bisectriz
x 1 y 1 z 2 2 2 1 planos 2 x 2 y z 5 0 , 2 x 2 y z 3 0 determinada por las rectas
,
x 1 y 3 z 2 y es tangente a los 6 2 3
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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51) (25/03/2009)
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Hallar
las
ecuaciones
de
( x 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 2 24 , y que pasan por la recta L:
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los
planos
tangentes
a
y 5 z ,x 5 2 1
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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52) (25/03/2009) Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por el punto : P(-1,6,-3), y es tangente al plano: P=(7,3,8)+u(-17,3,8)+v(7,-21,8), en el punto P0(7,3,8) SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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53) (18/09/2008) Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos A(3,1,-3), B(-2,4,1), C(-5,0,0) y su centro está en el plano 2 x y z 3 0 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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54) (29/03/2012) En la cuadrica: x y z 11 2( x 2 y 3z ) . Hallar el punto mas próximo al 2
2
2
plano 3x 4z 19 0 .Luego calcular la distancia desde ese punto al plano. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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55) (29/03/2012) Bosqueje una grafica de la Cuadrica : x y 2 x 2 y 0 2
2
SOLUCIÓN_________________________________________________________________ SON DOS PLANO : (VISTA EN PLANTA) PL XY
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56) (18 /09/2014) Determinar el valor de “ m ” para que lo planos , y ,pertenezcan a una misma familia de planos
:x yz 0 : x 3y z 0 : mx 10 y 4 z 0
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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57) (18 /09/2014) Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por el punto Q(2,1,1) , y en tangente al plano y 0 en P(1,0,1) SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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58) (I/2016) PRACTICA: Hallar la ecuación de una esfera con centro está en el eje X, y pasa por: (0,5,0);(-2,1,0) SOLUCIÓN______________________________________________________
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59) (II/2015) PRACTICA: Hallar en la esfera x y z 2 x 4 y 6 z 11 ,el punto mas 2
2
2
próximo al plano 3 x 4 y 19 0 SOLUCIÓN______________________________________________________
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60) (26
/03/2015)
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Hallar
x 12 y 32 z 22
las
ecuaciones
de
JOSUE PAYE CHIPANA
los
planos
tangentes
a
x5 y 5 z 24 ,y que pasan por la recta L : 0 2 1
SOLUCIÓN______________________________________________________
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61) (I/2016) TEORÍA: la intersección de la cuadrica z 2 x y ,con el plano z 2 y . Que curva 2
2
origina ?(bosqueje una grafica). SOLUCIÓN____________________________________________________________
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62) (II/2015) PRACTICA: Hallar el lugar geométrico de los puntos P(x,y,z) que están a una distancia del punto (1,2,3) que es el doble de la distancia al punto (-3,4,3). Graficar dicho lugar geométrico. SOLUCIÓN______________________________________________________
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CAPITULO III
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FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL
Una función vectorial se asigna a la representación de curvas en el (plano 2D y el espacio 3D ), una curva en el espacio C es un conjunto de todas las ternas ordenadas f t , g t , hg t junto a sus ecuaciones paramétricas
donde
x f (t ) y g (t ) z h(t )
f (t ) g (t ) h(t )
son funciones continuas de “t” en un intervalo “I” FUNCIÓN VECTORIAL: Es un tipo de funciones que asigna vectores a números reales
r x, y, z LIMITES
r f (t ), g (t ), h(t )
DERIVADAS
E
INTEGRALES
r f (t ), g (t ), h(t ) se tiene:
EN
Limite: Lim r Lim f (t ), Lim g (t ), Lim h(t ) t t0
Integral:
t t0
t t0
t t0
FUNCIONES
Derivada:
VECTORIALES:
Sea
d d d d r f (t ), g (t ), h(t ) dt dt dt dt
r dt f (t )dt, g (t )dt, h(t )dt
DERIVADAS EN PRODUCTO DE FUNCIONES VECTORIALES PRODUCTO ESCALAR:
PRODUCTO VECTORIAL:
d d d r( t ) f (t ) r(t ) f ( t ) r(t ) f (t ) dt dt dt
d d d r( t ) f ( t ) r(t ) f (t ) r( t ) f (t ) dt dt dt
t2
LONGITUD DE CURVA “ l ”: l r( t ) ' dt t1
LONGITUD DE ARCO“ S ”: S
t
r
(t )
' dt
y se obtiene de
0
dS r(t ) ' dt
TRIEDRO MOVIL
TRIEDRO MÓVIL: “Formado por los vectores Tangente unitario,
Binormal unitario y Normal principal unitario,
N B T
B
N los cuales forman un triedro móvil (ortogonal)
T
que va viajando a lo largo de la curva suave”
p0
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TANGENTE
UNITARIO
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T:
T
r( t ) '
CUANDO
r( t ) '
d r s parámetro longitud de T ds
N:
N
'r
'
r(t ) ' r(t ) ' 'r(t ) ' r(t )
(t )
r( s ) x( s ) i y( s ) j z( s ) k donde “S” es
BINORMAL UNITARIO
NORMAL PRINCIPAL UNITARIO
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' 'r(t )
B:
N
B
r(t ) 'r(t ) ' ' r(t ) 'r(t ) ' '
T'
T'
PLANO OSCULADOR: (PLANO QUE BESA A LA CURVA) Si la curva es plana (no una recta), el plano osculador coincide con el plano de la curva.
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
B = BINORMAL es vector NORMAL
( p p0 ) B 0
RECTA BINORMAL:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
B = BINORMAL es vector DIRECCIONAL
p p0 m B
PLANO NORMAL:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido T = TANGENTE es vector NORMAL
( p p0 ) T 0
RECTA TANGENTE:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido T = TANGENTE es vector DIRECCIONAL
p p0 m T
PLANO RECTIFICANTE:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
N = NORMAL es vector NORMAL
( p p0 ) N 0
RECTA NORMAL:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
N = NORMAL es vector DIRECCIONAL
p p0 m N
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FUNCIÓN VECTORIAL CON PARÁMETRO “S” LONGITUD DE ARCO: Si “C” es una curva
suave dada por: r( s ) x( s ) i y( s ) j z( s ) k donde “S” es parámetro longitud de arco, debe cumplir: r( s ) ' 1
*”Si
“t” es cualquier parámetro de la función vectorial r(t ) x(t ) i y(t ) j z(t ) k y cumple
r(t ) ' 1 entonces t s ”
dT FORMULAS DE FRENET-SERRET: KN ds
dB N ds
dN B K T ds
CURVATURA” K ”:” Es la tendencia de la tangente (velocidad) a cambiar su dirección
r 'r ' ' dT respecto a la recta tangente” K 3 ds r'
1 dN (***)Si una curva es plana 0 ENTONCES K v dt
donde” v ” es velocidad
Cuando la función vectorial esta en función del parámetro longitud de arco “S” K r(s ) ' '
Si la curva es dada por: y f (x) K
Si la curva es dada por:
x x(t ) y y (t )
K
y' '
1 y'
3 2 2
x' y ' ' x' ' y '
x'
2
3 2 2
y '
curvatura en función de Velocidad y Aceleración: K
a (t ) N (t ) 2
v
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1 K
RADIO DE CURVATURA “ RK ”: RK
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CENTRO DE CURVATURA: C r RK N
CIRCUNFERENCIA OSCULADORA: Se encuentra contenida en el plano osculador
de curvatura “ C r RK N ” y Radio de Curvatura RK
[Con centro
1 ] K
TORSIÓN” ”: Es la tendencia de apartarse respecto al plano (PLANO OSCULADOR)
r 'r ' 'r ' ' ' dB 2 ds r 'r ' ' Cuando
la
función
Si una curva es plana 0
vectorial
esta
en
función
del
parámetro
longitud
de
arco
“S”
r( S ) 'r( S ) ' 'r( S ) ' ' ' 2
r( S ) ' RADIO DE CURVATURA “ R ”: R
1
VECTOR VELOCIDAD: v( t ) r( t ) '
dS r( t ) ' VECTOR ACELERACIÓN: a( t ) r( t ) ' ' dt
RAPIDEZ: v(t )
COMPONENTES DE LA ACELERACIÓN:
aT a T
d 2s 2 dt v va
ACELERACIÓN
a aT T a N
EN
aN a N
FUNCIÓN
DE
SUS
va v
2
a aT
2
COMPONENTES
ds K dt
2
TANGENCIAL
NORMAL:
N
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PARAMETRIZACION ESPECIALES
Sea la curva que resulta dela intersección:
ax 2 by 2 cz 2 r 2 (1) De (2) despejamos cualquier variable nosotros tomamos “z” kx my nz d ( 2 ) d (kx my) d (kx my) 2 en (1) ax 2 by 2 c r n n 2
z
n 2 ax 2 n 2by 2 cd 2 2dc(kx my) c(kx my) 2 n 2 r 2 n 2 ax 2 n 2by 2 cd 2 2dckx 2dcmy ck 2 x 2 2ckxmy cm2 y 2 n 2 r 2 (ck 2 n 2 a) x 2 (2ckmy 2dck ) x (n 2by 2 cd 2 2dcmy cm2 y 2 n 2 r 2 ) 0 Resolver la ecuación de segundo grado para “x”
p ck 2 n 2 a q 2ckmy 2dck r n 2by 2 cd 2 2dcmy cm2 y 2 n 2 r 2 q q 2 4 pr Donde la estrategia esta en la raíz que se encuentra en función de “y” x 2p Recordando Sustitución Trigonométrica q 2 4 pr u 2 y 2
u 2 y 2 y
u
hacemos
sen con lo cual se elimina la raíz y tenemos parametrizadas ya las
x x( ) ecuaciones en función del ángulo: y y ( ) z z ( )
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PROBLEMAS RESUELTOS DE FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL
63)
(I/2016) TEORÍA: escriba una fórmula para la segunda derivada: f g
,,
SOLUCIÓN______________________________________________________
64)
(I/2016) TEORÍA: si una curva plana esta contenida en el plano 2 x y 4 , que dirección
tiene su vector Binormal ? SOLUCIÓN______________________________________________________
65)
( x 1) 2 y 2 z 2 36
(28/03/2013)Determinar la forma de la proyección de la curva
yz0
en el
plano XY. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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66)
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(I/2016) PRACTICA: Dada la curva r (t ) (t , t 1, e ) Calcular, para t=0, (a)Vector 2
2
t
Binormal (b) Plano Osculador (c) Curvatura SOLUCIÓN______________________________________________________
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67)
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(II/2015) TEORÍA: Deducir una fórmula para hallar la curva de una plana y f (x) . Aplicar
a algún ejemplo. SOLUCIÓN______________________________________________________
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68) (01/04/2011)Hallar la curvatura y torsión en un punto cualquiera de la curva definida por:
x2 4 y 0 3 x 24 z 0
( y 2) 2 Luego, analice si existe o no relación de los resultados obtenidos con la cantidad 2 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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69) (20/09/2007) Un proyectiles es lanzado desde el nivel suelo (z=0) siguiendo la trayectoria dada por z 125 x y ; y 2 x 2
2
.Hallar: (a) El Radio de curvatura en el punto más alto que
alcanza el proyectil (b) El alcance horizontal del proyectil (c) Las componentes tangencial y normal de la aceleración para t=1(d) la ecuación del plano osculador para t=1 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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º
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70) (26/03/2010) Una partícula se mueve a lo largo de la curva f (t ) (t 2 , ln( t ),2t ) , siendo t el tiempo. Hallar en t=1: (a) Las componentes tangencial y normal de la aceleración (b) Las compontes de la velocidad y la aceleración en la dirección de la recta: x t 11 , y 2t ,
z 2t 5 (c) La curvatura, la torsión, el radio de curvatura y el radio de torsión. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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71) (17/09/2009)Una función vectorial f (t ) esta dada
por la curva
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y e x , con 0 x 1 y
x y 2 ln( x y ) 2 ln 2 , con 2 x y 2e .Determinar la g t esta dada por la curva relación que existe entre sus longitudes de arco SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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72) (18/09/2008) Una particular se mueve siguiendo la trayectoria dada por la intersección de
1 1 1 x 2 y 2 z 2 1 y el plano y z , Hallar: (a) El vector velocidad en el punto P , , (b) 2 2 2 1 1 1 , , Componentes tangente y Normal de la aceleración en el punto P 2 2 2 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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73) (17/09/2009)Determinar el plano osculador a la curva determinada por la intersección de las superficies x y z 24 , 2
2
2
x y z 0 ,en el punto A(2,2,-4)
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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74) (25/03/2009) Hallar las ecuaciones de los planos definidos por el triedro móvil en la trayectoria
x2 y 2 z 2 9
que describe una partícula sobre la curva “C”, en el punto (-2,-1,-2) c:
2 2 x y 3
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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75) (15/09/2011) (a) Demostrar que la curva determinada por la interseción de las superficies
x2 y 2 2 y 2x 2 0 . Es plana (b) Determinar el plano x y 2 z 2 0 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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76) (29/03/2012) Cual
es el radio
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de curvatura de la curva de intersección de
( x 2) ( y 1) ( z 3) 4 , con el plano 2 x y z 2 2
2
2
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
77) (20/09/2012)La curva: r (t ) (t 2 1, t 1, t 2 ) intersecta al plano 2 x 3 y z 11 0 en dos puntos. Hallar estos puntos y calcular la distancia entre ellos a través de la curva SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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78) (29/03/2012) Dada la curva r (t ) ( 2Cosh(t ),2Senh(t ),2t ) (a) Bosquejear una grafica (b) Calcular la curvatura en t=0 (c) Calcular la Torsión en t=0 (d) plano Osculador en t=0. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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79) (20/09/2012)Para la curva del espacio R3 ; f (t ) (4 cos t ,4sent ,3t ) calcular la curvatura, torsión radio de curvatura, centro de curvatura en el punto donde t0 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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80)
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(28/03/2013)Considerar la curva “C” que resulta de la intersección del cilindro parabólico
y x 2 con el plano z 2 x , Para el punto P(1,1,2) Calcular: (a) Los planos Normal, Rectificante y Osculador. (b) La curvatura y la Torsión. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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81)
(28/03/2013)Sea f (t ) (t , ln t ) Hallar la circunferencia osculadora de dicha curva en t=1 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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82) (18/09/2010)Una partícula se mueve a lo largo de la curva “C” descrita por la función vectorial
r (t ) ( x(t ), y(t ), z (t )) expresada en metros y “t” en segundos, Si la rapidez de la partícula es 2
constante e igual a 10 m/s, si el vector Tangente Unitario es paralelo al vector (t ,1,0) , determinar (a) La curvatura de ”C” como una función de t (b) La ecuación de la recta tangente a
la curva en el punto r (1) (1,3,6) SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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3 2 83) (18/09/2010)Una partícula se mueve a lo largo de la curva x t , y t 4 , z t 4t ,
siendo ”t” el tiempo Hallar (a) La componente de su velocidad en la dirección de la recta
x y 1 z (b) ¿Para qué valor de “t” su aceleración no tiene componte sobre la recta dada? 1 1 0 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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84)
3 2
3 2
1 3 2 2
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5 2
(27/03/2014)Dada la curva f (t ) ( cos t , sent , sent ) (a) Determinar si la misma
se encuentra contenida en un plano (b) En caso de estarlo, hallar la ecuación de dicho plano (c) Hallar el vector Binormal SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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85) (26/03/2010) Una trayectoria esta definida por: g ( s) (arctg ( s),
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1 ln s 2 1 , s arctg ( s)) (a) 2
Determinar si el parámetro “S” es la longitud de arco (b) Hallar la curvatura y el radio de curvatura. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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86) (26/03/2010) Indicar si
dB v N , donde “ v ” es la rapidez y “ ” es el radio de Torsión, dt
Justificar su respuesta. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
87) (29/03/2012) Puede una curva tener Curvatura k 0 y Torsión 0 ? Justifique su respuesta SOLUCIÓN_________________________________________________________________ PUEDE TENER CURVATURA CERO ES UNA RECTA Y YA QUE SU RADIO DE CURVATURA SERIA INFINITO CUMPLIENDO LA DEFINICIÓN DEL RECTA
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88) (26/03/2010) Indicar en que plano se encuentra el vector aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en el espacio. SOLUCIÓN_________________________________________________________________ SE ENCONTRARÍAN EN EL PLANO OSCULADOR
89) (01/04/2011)Si una curva C de R3 se da por r (t ) (r1 (t ), r2 (t ), r3 (t )) (a) anote las expresiones que calculan el centro de curvatura y radio de curvatura (b) si S=parámetro de longitud de arco
explique cómo se halla la expresión de la misma curva según:
r ( s) (r1 ( s), r2 ( s), r3 ( s)) (c) si
existe, identifique el valor de r ' ( s ) SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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90) (20/09/2012)Para la función: f (t ) (e 3t cos(3t ), e 3t sen(3t ), e 3t )
de: f (s )
(a) Identificar la expresión
(b) Determinar si el parámetro “s” es la longitud de curva
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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91)
(27/03/2014)Una
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trayectoria
está
dada
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por
la
función
vectorial
n s s r ( s) (a cos , a sin , ) a R (a) Determinar el parámetro “S” es el arco (b) Obtener el a a 2
triedro T , N , B (c) Calcular la curvatura y la torsión SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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92)
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(25/11/2013) El movimiento de un cuerpo en el espacio , está dado por las ecuaciones:
x 3t 2 cos(2t ) y 3t 2 sen(2t ) z 3 3t 2 ,Donde “t” es el tiempo. Si el movimiento empieza observarse en t 0 , para el punto en que el cuerpo haya recorrido por la curva una distancia 38, calcular la curvatura y la torsión. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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93) (18 /09/2014) Hallar las ecuaciones de los planos definidos por el triedro móvil en la trayectoria que describe una partícula sobre la curva “C”, en el punto P(1,1,2)
C : z x y , z 2x2 y SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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94)
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(18 /09/2014) Una partícula se mueve con una rapidez de 2 [m/s] , contenida en un plano y
siguiendo una trayectoria curvilínea, si su vector normal unitario es paralelo al vector 2,2t , t 2 , determinar su curvatura y torsión. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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105)
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(26 /03/2015) Una partícula se mueve en el espacio con vector de posición: 3
2 2 r (t ) t A t 2 B 2 t A B 3
Donde, A y B son dos vectores unitarios fijos que forman un ángulo de
3
radianes
determinar en cuanto tiempo recorre una distancia de 12 unidades de longitud de arco desde la posición en t=0 SOLUCIÓN______________________________________________________
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PROBLEMAS DE RETO PERSONAL EXÁMENES ( UNI LIMA PERU ) INGENIERÍA 1) (II/2010 2T)ABCD es un tetraedro donde C =(-5,14,-3) y D=(32,36,-6). En el triángulo ABC,
L1 7,17,9 t 5,9,4 y L2=
x 3 y 11 z 3 son dos medianas trazadas desde 4 9 10
diferentes vértices. (a) Hallar los vértices del tetraedro (b) Calcular el volumen del tetraedro. 2) (II/2008 2T) ABCD es un cuadrado con centro R, lado 8 2 [u ] , BC t (0,8,8), t 0, L1es una recta que intercepta en R al plano (PL) que contiene al cuadrado. N y E son puntos de L1 tal que AN L1, DN L1, BE L1, EC L1, LAN : x 4 4 y
z , 2
8 y z son rectas que contienen a los segmentos AN y ND respectivamente, M 2 es un punto de AD tal que AM 4MD , sea Q el plano que contiene al triángulo BEC, 8 d ( M , Q) 3 , Hallar la ecuación de PL (plano). 3 3 3) (II/2006 2T) L1 y L2 son rectas que forman un ángulo cuyo coseno es y cuya distancia 5 LND : 8 x
mínima es 6u, en L1 se ubican los puntos A y D y en L2 se ubican los puntos B y C de manera
9 es punto medio BC , CD (1,6,3) , el plano que contiene a D y L2 es: 2 6 x 5 y 8 z 132 0 , hallar las coordenadas de D.
que E 6,12,
(II/2005 2T) V – ABC es una pirámide cuya base ABC es un triángulo rectángulo isósceles, recto en C de lado 2 10 , la mediana trazada de A relativa a BC es : L = (4, 4, 0) + t(-1, 1, 0)
13 19 L1 BC M , L2 , ,4 t (1,1,3) V, L2 AM N , La proyección de V sobre la cara 3 3
ABC es el punto T de BA, CN k NT , k 0, P = 3x + 9y – 10z – 30 = 0 contiene a AVC. Hallar la ecuación del plano ABC.
5) (II/2004 2T)En un tetraedro D-ABC, D=(12,16,16), AB 650 , BC (7,26,0), DC 456
B=(b1, b1, b3), b1 8, DA t (10,5,16), t 0, BD y AC son ortogonales M=(17,56,0) es punto de la recta que contienen a BC . Calcular el volumen del solido limitado por el tetraedro D- ABC.
6) (II/2004 2T) En un prisma oblicuo ABCD-A’B’C’D’, BD ' (3,0,4), C (1,1,1) , A’B’C’D’ es un trapecio cuya mediana M ' N ' 13 P’,Q’ son puntos medios de A' D' y B'C ' respectivamente donde AQ' M ' N ' , AP' AC 3u, P2 : 10x 6 y 15z 6 0 contiene a los puntos A, P ’ y C. Hallar la ecuación vectorial del plano que contiene a la base ABCD. 7) (II/2003 2T) DABCO es un hexaedro de caras triangulares donde O es el origen de coordenadas, OB a la cara AOC, la medida del ángulo AOC=90º. Los planos que contienen 152
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las caras DOA y DOB son perpendiculares al plano que contiene a ABC, la recta
L : Q t (13,2,3) es paralela a la intersección de los planos que contienen a los triángulos
DOA y ABC e interseca esta recta AB en W=(8,-1,0). Los planos que contienen a los triángulos ACD y DOA son 2 x 4 y z 9, 2 y 3 z 0 Hallar el volumen limitado por el tetraedro OABC.
8) (II/2003 2T) Dados los vectores a (1,1,0) , b (2,1,1) y c (1,3,2) vectores en V3 . x , y, z
son las proyecciones ortogonales de los vectores a , b , c sobre los planos determinados por los
vectores b , c , a , c y a, b respectivamente. Hallar el volumen del tetraedro determinado
por los vectores x , y, z
9) (II/2002 2T) Sea un paralelepípedo
proy
a c //( 2,3,0) , b
proy
con aristas a, b y c positivamente orientado donde
a b //( 4,5,6) y c
a (1,0,0) a .Si una de sus
diagonales es el valor d t (0,1,3), d 4 10 M=(3,-1,-4) es punto de intersección de las diagonales
del
paralelepípedo
L1 (1.1.1) t ( b c )
(a)
Hallar
los
vértices
del
paralelepípedo
(b)
L 2 (1.1.1) t ( c b ) P es un plano que contiene a L1 y a L2.
Averiguar si el punto M y el origen de coordenadas están a un mismo lado o en lados opuestos con respecto al plano P. EXÁMENES ( U.TOKIO–JAPON) DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA (TRADUCIDO POR TRADUCTOR GOOGLE www.google.com )
10) (CICLO 2008-1) Sean los vectores a , b , c , d y e de V3 tal que a b c d e e 0,
c a 0, 2
b e 0,
c d a,
a b a b ,
c d
b c b c ,
2 d, 2
2
5 d c 8. Hallar a b d ? 2
11) (CICLO 2006-1) Sean los vectores a , b , c , d de Vn donde a b c d
a b c d 0,
a c d a c b , a a c d b c , , a c b c , 0 ,Hallar a d a c , ? 12) (CICLO 2006-1)Dados los puntos P=(0,0,0) y Q=(1,1,1): Determine las proyecciones de los puntos P y Q y además indique si los puntos P y Q se encuentran arriba o debajo del plano (PL) que pasa por el punto (1,4,-2) y dista una unidad de la recta
L (2.6.5) t (2,4,0), t R
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13) (CICLO 2006-1)Sean R y W: 17 x 17 y 7 z 298 0, dos planos secantes, sean los puntos
3 5 P , ,2 , A y B comunes a los dos planos R y W. D 8, r,19, es un punto de W, Q es 2 2
un punto de la recta L 2 D W a ,W R tal que PQ L1, PQ L2, QP//( 9,9,2),
AQ QB , PC PD, c es un punto de L2 y del plano R, averiguar en que ángulo diedro de la intersección de los planos W se encuentra en el punto Q y el origen de coordenadas. 14) (CICLO 2006-1)En una pirámide A-PRNM, PR PM , el punto P 4,1,0, los planos
P1 : 4 y z 4 0, P 2 : X 4 y 0, contiene a los triángulos PAN y PAM respectivamente, el ángulo diedro que forman los planos P3 y P4 que contienen a PRNM y APR respectivamente mide 45º. El plano P3 es perpendicular al plano que contiene a RAN, R=(-4,0,0), m
L2 :
2006-1)Dado
x 4 y 11 z 8 7 17 15
el
triángulo
ABC
y
las
rectas
L1 :
x 9 y 18 5 11
z 2
Medianas del triángulo trazadas de los vértices C y A
respectivamente. Si B=(-5,2,3) encontrar los Vértices A y C del triángulo.
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PROBLEMAS DE EXÁMENES UMSA INGENIERÍA ,UNI PERÚ-U.TOKIO JAPON
VOL.I •VECTORES •GEOMETRÍA EN EL ESPACIO •FUNCIONES VECTORIALES J&J PAYE Hnos. 2016
CÁLCULO II
CODEX Derecho reservados de acuerdo al D.L.- 6711-16 AUTORES:
JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA
SEGUNDA EDICIÓN JULIO, 2016 LA PAZ- BOLIVIA
QUEDA AUTORIZADA LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
NO AL OSCURANTISMO CIENTÍFICO NOTA: FAVOR DE NO PINTAR NI SELLAR, OBSTACULIZA AL LECTOR
PROLOGO
El presente trabajo “CODEX CALCULO II VOL.I”, En su segunda edición contiene básicamente los temas: VECTORES EN R 3, GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL, son temas que se desarrollan en el Primer Parcial en el Curso de Cálculo II en INGENIERÍA. En cada capítulo se expone un resumen de enunciados de definiciones y teoremas, seguido de ejercicios desarrollados y de reto personal. Deseo expresar mi mas profundo agradecimiento a mí FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA, quien va formando profesionales para el desarrollo Técnico y Científico de nuestros país.
JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA
Ç
DEDICATORIA “A LA PERSONA MAS IMPORTANTE EN LA VIDA DE CADA PERSONA, A TI MAMÁ”
“TAMBIÉN A ESE SER QUE TE DA INSPIRACIÓN COMO CADA POETA NECESITA SU MUSA UN MATEMÁTICO NECESITA DE SU FACTOR INTEGRANTE DE VIDA (INSPIRACIÓN)” JOSE PAYE CHIPANA
ÍNDICE
PÁGINA
1. PROBLEMAS DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA (2008-2014) …1 2. CAPITULO I VECTORES…………………………………………………………..9 3. PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES …………………………………..12 4. CAPITULO II GEOMETRÍA EN EL ESPACIO R3 ……………………………….34 5. PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA EN EL ESPACIO R 3…………39 6. CAPITULO III FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL …………97 7. PROBLEMAS RESUELTOS DE FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL……………………………………………………………………………….102 8. PROBLEMAS DE RETO PERSONAL (EXÁMENES DE UNI- LIMA PERÚ, U. TOKIO JAPON)……………….……152
ASÍ TE DESCRIBO SOLO NECESITO UN PEDAZO DE CARBÓN PARA ESCRIBIRLE QUE ELLA ES LA ECUACIÓN QUE MODELA MI CORAZÓN Y DEMOSTRARLE TODOS LOS DÍAS QUE MI AMOR POR ELLA ES MAYOR AL INFINITO A ESA NIÑA BONITA QUE TIENE SOLUCIONES COMPLEJAS ASÍNTOTAS NEGATIVAS PERO PARA MI ES LA SOLUCIÓN PERFECTA
AL VERTE PIENSO QUE ERES UN LIBRO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, QUIERO SER TU TEOREMA FUNDAMENTAL Y SER EL PLANO OSCULADOR QUE ACARICIE TU DOMINIO REAL, A TI MUSA QUE VALORAS LA VIDA TRIVIAL DE UN MATEMÁTICO DE INGENIERÍA Y COMPRENDES EL VALOR DE MI INSPIRACIÓN YA QUE SIN TU PRESENCIA Y COMPRESIÓN TUYA NO SERIA LA MATRIZ IDENTIDAD DE TUS PENSAMIENTOS PARA TI MI INTERVALO DE CONFIANZA ATENTAMENTE, JOSE PAYE CHIPANA POSDATA (SI EXISTIERAS!!)
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PROBLEMAS DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA (2008-2014) PREGUNTAS DE EXÁMENES DE PRIMER PARCIAL ORDENADOS DE ACUERDO A FECHA Problemas Resueltos De Exámenes Pasados De La UMSA Ingeniería De (2007-2016) Y Exámenes De Cálculo II, (UNI –Peru) (U. Tokio-Japon) 1) (I/2016) TEORÍA: la intersección de la cuadrica z 2 x 2 y 2 ,con el plano z 2 y . Que curva origina ?(bosqueje una grafica).
,,
2) (I/2016) TEORÍA: escriba una fórmula para la segunda derivada: f g 3) (I/2016) TEORÍA: si una curva plana esta contenida en el plano 2 x y 4 , que dirección tiene su vector Binormal ?
4) (I/2016) TEORÍA: Cuando se cumple que el PTM A, B, C 0 ? Escriba un ejemplo 5) (I/2016) PRACTICA: Hallar la ecuación de una esfera con centro está en el eje X, y pasa por: (0,5,0);(-2,1,0) 6) (I/2016) PRACTICA: Se suelta una Canica que esta colgada en el punto (1,1,6), sobre el plano 2 x y 2 z 8 luego la canica rueda por el plano hasta llegar al plano cordenado X,Y que distancia ha recorrido la canica.
7) (I/2016) PRACTICA: Dada la curva r (t ) (t , t 1, e ) Calcular, para t=0, (a)Vector Binormal (b) Plano Osculador (c) Curvatura 8) (I/2016) PRACTICA: El volumen de un tetraedro es 5, tres de sus vértices son (2,1,-1), (3,0,1),(2,-1,3) Hallar el cuarto vértice si esta en el eje “Y” 2
2
t
9) (II/2015) TEORÍA: cuando se cumple: a b a b ? a , b son vectores. 10)
(II/2015) TEORÍA: Analice si se cumple la igualdad : A B C A B C justificante
su respuesta. 11) (II/2015) TEORÍA: Deducir una fórmula para hallar la curva de una plana y f (x) . Aplicar a algún ejemplo. 12) (II/2015) TEORÍA: Si una curva plana está contenida en el plano: 2x z 4 , cual es su Vector Binormal?. 13) (II/2015) PRACTICA: Hallar el lugar geométrico de los puntos P(x,y,z) que están a una distancia del punto (1,2,3) que es el doble de la distancia al punto (-3,4,3). Graficar dicho lugar geométrico. 14) (II/2015) PRACTICA: Dada la recta L. x 2t 1 y 3t 2 z t 2 Hallar (a)su intersección con el plano z 2 y 0 (b) Su proyección en el plano Coordenado X,Z 15) (II/2015) PRACTICA: Hallar en la esfera x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 11 ,el punto mas próximo al plano 3 x 4 y 19 0
16) (II/2015)PRACTICA: Graficar la curva: r (t ) (3 cosh t ,3senht ,3t ) (b)Hallar la curvatura y la torsión
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(26 /03/2015) (a) calcula el ángulo que forma a y
17)
b sabiendo que a 3 , b 5 y
a b 7 (b) Si u 6 , v 2 , w 4 y u v w 0 calcular: u v u w v w
18)
(26 /03/2015) Dadas las rectas que se cruzan
L1 :
x y 1 z 2 , 2 0 1
L2 :
x 1 y 1 z Hallar la distancia entre las rectas y el plano que contiene a L 2 y es paralela 1 2 1 a L1 19)
(26
/03/2015)
Hallar
las
ecuaciones
de
los
planos
tangentes
a
x5 y 5 z 0 2 1 2 20) (26 /03/2015) Sea la curva de la intersección de la superficie y xz con el cilindro 3 2 parabólico x z 2 , en el punto P de coordenadas 1, ,1 obtener la ecuación de los planos 3
x 12 y 32 z 22
24 ,y que pasan por la recta L :
normal, rectificante y osculador. 21) (26 /03/2015) Una partícula se mueve en el espacio con vector de posición: 3
2 2 r (t ) t A t B 2 t A B 3
2
Donde, A y B son dos vectores unitarios fijos que forman un ángulo de
3
radianes
determinar en cuanto tiempo recorre una distancia de 12 unidades de longitud de arco desde la posición en t=0
22) (18 /09/2014) Si los vectores u , v y w ,linealmente independientes en R3 , tienen origen común; demostrar que el plano que contiene a los extremos libres de estos vectores es
perpendicular al vector definido como: u v w v w u 23) (18 /09/2014) Determinar el valor de “ m ” para que lo planos , y ,pertenezcan a una misma familia de planos
:x yz 0 : x 3y z 0 : mx 10 y 4 z 0
24) (18 /09/2014) Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por el punto Q(2,1,1) , y en tangente al plano y 0 en P(1,0,1) 25) (18 /09/2014) Hallar las ecuaciones de los planos definidos por el triedro móvil en la trayectoria que describe una partícula sobre la curva “C”, en el punto P(1,1,2)
C : z x y , z 2x2 y 26) (18 /09/2014) Una partícula se mueve con una rapidez de 2 [m/s] , contenida en un plano y siguiendo una trayectoria curvilínea, si su vector normal unitario es paralelo al vector 2,2t , t 2 , determinar su curvatura y torsión. 27) (27/03/2014)Una recta que pasa por el punto A(-3,8,5) y se desarrolla según la dirección del vector (-1,2,1), se intersecta con el plano de ecuación x y z 4 , Hallar la ecuación de la recta que se refleja en el plano dado.
2
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28) (27/03/2014)Hallar la ecuación de la esfera ,sabiendo que uno de sus diámetros es el segmento comprendido entre el punto P(1,2,3), y el punto de tangencia de la esfera con el plano
xz 2
3 2
3 2
1 3 2 2
5 2
(27/03/2014)Dada la curva f (t ) ( cos t , sent , sent ) (a) Determinar si la misma
29)
se encuentra contenida en un plano (b) En caso de estarlo, hallar la ecuación de dicho plano (c) Hallar el vector Binormal 30) (27/03/2014)Una trayectoria está dada por la función vectorial n s s r ( s) (a cos , a sin , ) a R (a) Determinar el parámetro “S” es el arco (b) Obtener el a a 2 triedro T , N , B (c) Calcular la curvatura y la torsión
31) (27/03/2014)Considerar la Figura. Hallar (a) Coordenadas de D para que ABCD sea un paralelogramo (b) Sin Hallar su ecuación, Demostrar que el paralelogramo se encuentra contenido en un plano (c) Hallar el área del parelogramo
A(1,1,0)
D
B(1,1,1)
32)
(25/11/2013) (a) Sean
x, y
n
R
C ( 2,2,0)
dos vectores unitarios tales que: x , y
1 ; 2
x, y x y
(i) x e y pueden ser ortogonales
(ii) x y 1
(iii) El ángulo que forman los vectores x e y es
(iv)
x y 2
3
(b) Dado el hexágono regular de lado “ a ” Hallar la
C
A
D F
proyección ortogonal de sobre BE 33)
B
E
(25/11/2013) El movimiento de un cuerpo en el espacio , está dado por las ecuaciones:
x 3t 2 cos(2t ) y 3t 2 sen(2t ) z 3 3t 2 ,Donde “t” es el tiempo. Si el movimiento empieza observarse en t 0 , para el punto en que el cuerpo haya recorrido por la curva una distancia 38, calcular la curvatura y la torsión. 34) (25/11/2013) Un rayo de luz L1, pasa por el punto (1,2,3) y sigue la dirección del vector
u (2,1,3) . Al llegar al espejo plano cuya ecuación es x y 2 z 30 0 , se origina el rayo reflejado L2 y esta llega a un segundo espejo 2 x y z 30 0 generando el rayo reflejado L3, Hallar la distancia mínima entre los rayos L1 y L3. 35) (25/11/2013) Dados los puntos P1(3,2,1),P2(2,-1,0), P3(-1,3,5) y P4(2,-3,1), Hallar las ecuaciones de 4 planos paralelos PL1, PL2, PL3 y PL4 que pasen por P1(3,2,1), P2(2,-1,0), P3(-1,3,5) y P4(2,-3,1) respectivamente de modo que los planos tomados de a dos, se hallen separados una misma distancia, es decir que la distancia entre PL1 y PL2 se a la misma que entre PL2 y PL3 y que PL3 y PL4. 3
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36)
(25/11/2013)Hallar la ecuación de la superficie esférica que sea tangente a la esfera x y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 5 0 y al plano 3x 2 y 6 z 4 0 . El punto de tangencia con la esfera (3,0,2). 37) (28/03/2013)(a) Determinar la ecuación de la esfera que es tangente al plano 2 x 2 y z 6 0 , si el centro es la intercesión de las rectas L1 y L2, donde L1 es la recta que 2
pasa por P(4,3,1) y es perpendicular a la recta L2:
x 5 y 4 z 10 (b) Hallar la ecuación 2 3 8
de la recta L1 38) (28/03/2013)Considerar la curva “C” que resulta de la intersección del cilindro parabólico y x 2 con el plano z 2 x , Para el punto P(1,1,2) Calcular: (a) Los planos Normal, Rectificante y Osculador. (b) La curvatura y la Torsión.
39)
(28/03/2013)Sea f (t ) (t , ln t ) Hallar la circunferencia osculadora de dicha curva en t=1
40)
( x 1) 2 y 2 z 2 36 (28/03/2013)Determinar la forma de la proyección de la curva en el yz0
plano XY.
41) (28/03/2013)Sean los vectores m , n y r si m n m r m ;calcular: m n n r n
42) (20/09/2012)Deducir la expresión que calcula la distancia mínima entre dos rectas alabeadas (que se cruzan pero no se cortan) en el espacio R3.
43) (20/09/2012)Para la curva del espacio R3 ; f (t ) (4 cos t ,4sent ,3t ) calcular la curvatura, torsión radio de curvatura, centro de curvatura en el punto donde t0 44) (20/09/2012)Hallar la ecuación del plano que pertenece a la 3x 4 y z 6 2x 3 y z 2 0 y equidista de los puntos A(3,-4,-5), B(1,2,2) 45) (20/09/2012)Hallar la ecuación de la esfera que contiene a las circunferencias
familia
y 2 z 2 36 y2 z2 9 y x2 x3
46) (20/09/2012)La curva: r (t ) (t 2 1, t 1, t 2 ) intersecta al plano 2 x 3 y z 11 0 en dos puntos. Hallar estos puntos y calcular la distancia entre ellos a través de la curva
47) (20/09/2012)Para la función: f (t ) (e 3t cos(3t ), e 3t sen(3t ), e 3t )
de: f (s )
(a) Identificar la expresión
(b) Determinar si el parámetro “s” es la longitud de curva
48) (29/03/2012) Escriba el vector A (3,2,6) ;Como la suma de los vectores; uno paralelo a
B (2,4,1) y otro perpendicular a B 49) (29/03/2012) Bosqueje una grafica de la Cuadrica : x y 2 x 2 y 0 50) (29/03/2012) Cual es el radio de curvatura de la curva de intersección de 2 2 2 ( x 2) ( y 1) ( z 3) 4 , con el plano 2 x y z 2 51) (29/03/2012) Puede una curva tener Curvatura k 0 y Torsión 0 ? Justifique su respuesta 52) (29/03/2012) Damos un tetraedro con vértices (-1,2,3);(2,3,-4);(1,5,0);(3,-2,-1) (a) Calcular el Volumen (b) Los VECTORES DE ÁREA, son aquellos perpendiculares a cada cara apuntando hacia fuera y con magnitud igual al área del respectivo triangulo. Verificar que la suma de los 4 vectores se igual a cero. 2
2
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53) (29/03/2012) Hallar en el plano X,Y un punto P de modo que la suma de sus distancias a los puntos A(4,2,7); B(3,5,5) sea mínima. 2 2 2 54) (29/03/2012) En la cuadrica: x y z 11 2( x 2 y 3z ) . Hallar el punto mas próximo al plano 3x 4z 19 0 .Luego calcular la distancia desde ese punto al plano.
55) (29/03/2012) Dada la curva r (t ) ( 2Cosh(t ),2Senh(t ),2t ) (a) Bosquejear una grafica (b) Calcular la curvatura en t=0 (c) Calcular la Torsión en t=0 (d) plano Osculador en t=0. 56) (15/09/2011)Si A(1,1,1), B(2,3,4), C(4,3,2) Son vértices de un triangulo. Si el segmento OP es perpendicular al lado AC y “O” es el punto medio del segmento AB. Determinar el área del cuadrilátero OB 57) (15/09/2011)En el paralelogramo ABCD, el Angulo en el vértice A es de 60º y se conoce que:
q Pr oy AC Determinar p+q=?
AB 2 , AB 4 Si: p Pr oy AC ,
AB
AD
58) (15/09/2011)Determinar la ecuación de la esfera que es tangente al plano 2 x 2 y z 5 0 , el centro es el punto de interseción de las rectas L1 y L2, donde L1 es la recta que pasa por P(4,3,1) y es perpendicular a la recta L2:
x 5 y 4 z 10 2 3 8
59) (15/09/2011) (a) Demostrar que la curva determinada por la interseción de las superficies
x2 y 2 2 y 2x 2 0 . Es plana (b) Determinar el plano x y 2 z 2 0 60) (15/09/2011)Determinar la ecuación del plano perpendicular al plano horizontal que pasa por (0,0,2) Contiene al punto B(2,2,2) y forma un Angulo de 60º con el plano 3 x 2 y 3 z 2 0 61) (01/04/2011)Si A,B,C son vértices de un triangulo equilátero cualquiera de R 3 ; usando propiedades vectoriales (a) Deducir la expresión que calcula su área (b) probar que uniendo los puntos medios de los lados se forman otro triangulo que debe ser también equilátero.
62) (01/04/2011)Si una curva C de R3 se da por r (t ) (r1 (t ), r2 (t ), r3 (t )) (a) anote las expresiones que calculan el centro de curvatura y radio de curvatura (b) si S=parámetro de longitud de arco
explique cómo se halla la expresión de la misma curva según:
r ( s) (r1 ( s), r2 ( s), r3 ( s)) (c) si
existe, identifique el valor de r ' ( s )
63) (01/04/2011)Se conoce que los que los módulos de los vectores a , b son iguales y forman un ángulo de
3
,Si el módulo de a + b es cuatro unidades mayor que el módulo de a ;
deducir una expresión para el módulo de b 64) (01/04/2011)Encontrar el punto Q que es simétrico de P=(4,1,6) respecto ala recta:
2 x y 2 z 3 0 x y 4 z 12 0
L:
65) (01/04/2011)Hallar la ecuación de la esfera que es tangente al plano: 2 x y 2 z 12 0 en el punto
2y z 7 0 2 x 3 y 8 0
A(-2,2,5) y tiene su centro en la recta L0 :
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66) (01/04/2011)Hallar la curvatura y torsión en un punto cualquiera de la curva definida por:
x2 4 y 0 3 x 24 z 0
( y 2) 2 Luego, analice si existe o no relación de los resultados obtenidos con la cantidad 2 67) (18/09/2010)Hallar la ecuación de la esfera que es tangente a las rectas L1:
x 4 y 2 z 3 L2 : P(x,y,z)=(-7,-2,1)+m(3,2,1), sabiendo que uno de sus diámetros 2 1 1
es perpendicular a ambas rectas 68) (18/09/2010)Hallar las ecuaciones
de
los
planos
tangentes
x 2 y 2 z 2 10 x 2 y 26 z 113 0 y paralelos a las rectas L1: L2:
x 7 y 1 z 8 3 2 0
a
la
esfera
x 5 y 1 z 13 2 3 2
69) (18/09/2010)Una partícula se mueve a lo largo de la curva “C” descrita por la función vectorial
r (t ) ( x(t ), y(t ), z (t )) expresada en metros y “t” en segundos, Si la rapidez de la partícula es 2
constante e igual a 10 m/s, si el vector Tangente Unitario es paralelo al vector (t ,1,0) , determinar (a) La curvatura de ”C” como una función de t (b) La ecuación de la recta tangente a
la curva en el punto r (1) (1,3,6) 3 2 70) (18/09/2010)Una partícula se mueve a lo largo de la curva x t , y t 4 , z t 4t , siendo ”t” el tiempo Hallar (a) La componente de su velocidad en la dirección de la recta
x y 1 z (b) ¿Para qué valor de “t” su aceleración no tiene componte sobre la recta dada? 1 1 0
71) (18/09/2010) Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 45º y el módulo de b es 3 2
Hallar el módulo de a de modo que el vector a - b sea perpendicular a b 72) (18/09/2010) Diga si es falso o verdadero
Dada la curva r r (t ) , el plano rectificante es aquel que contiene a los vectores tangente unitario y binormal principal en algún punto de dicha curva (F) (V) 73) (18/09/2010) Diga si es falso o verdadero
Si u v u v u v
(F)
(V)
74) (26/03/2010) Hallar las ecuaciones de los planos bisectores de los ángulos diedros formados por los planos: 3 x 4 y 6 0 ; 6 x 6 y 7 z 16 0 75) (26/03/2010) La Traza de una superficie esférica con el plano XZ es la circunferencia x 2 z 2 2 x 2 z 3 0 . Hallar su ecuación si pasa por el punto P 0 (3,4,2)
76) (26/03/2010) Una trayectoria esta definida por: g (s) (arctg (s),
1 ln s 2 1 , s arctg (s)) (a) 2
Determinar si el parámetro “S” es la longitud de arco (b) Hallar la curvatura y el radio de curvatura.
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77) (26/03/2010) Una partícula se mueve a lo largo de la curva f (t ) (t 2 , ln( t ),2t ) , siendo t el tiempo. Hallar en t=1: (a) Las componentes tangencial y normal de la aceleración (b) Las compontes de la velocidad y la aceleración en la dirección de la recta: x t 11 , y 2t , z 2t 5 (c) La curvatura, la torsión, el radio de curvatura y el radio de torsión.
dB v 78) (26/03/2010) Indicar si N , donde “ v ” es la rapidez y “ ” es el radio de Torsión, dt Justificar su respuesta. 79) (26/03/2010) Indicar en que plano se encuentra el vector aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en el espacio.
80) (26/03/2010) Sean u y v dos vectores no nulos tales que u v t , Si el ángulo entre ambos vectores es
y la norma de su diferencia es 2 t , Hallar: t 3
3
81) (17/09/2009) Si los vectores no coplanares u , v , w R tiene un origen común. Demostrar que el plano que pasa los extremos de estos vectores es perpendicular al vector
u v v w w u
82) (17/09/2009)Una función vectorial f (t ) esta dada
y e x , con 0 x 1 y
por la curva
x y 2 ln( x y ) 2 ln 2 , con 2 x y 2e .Determinar la g t esta dada por la curva relación que existe entre sus longitudes de arco 83) (17/09/2009)Determinar la ecuación de la recta que es paralela a los planos y corta a las x 5 y 3 z 1 x 3 y 1 z 2 rectas 3x 12 y 3z 5 0 , 3x 4 y 9 z 7 0 , 2 4 3 2 3 4 84) 17/09/2009)Determinar la ecuación de la esfera cuyo centro esta en la recta Bisectriz x 1 y 1 z 2 x 1 y 3 z 2 determinada por las rectas , y es tangente a los 2 2 1 6 2 3 planos 2 x 2 y z 5 0 , 2 x 2 y z 3 0 85) (17/09/2009)Determinar el plano osculador a la curva determinada por la intersección de las 2 2 2 superficies x y z 24 , x y z 0 ,en el punto A(2,2,-4) 86) (25/03/2009) Hallar las ecuaciones de los planos definidos por el triedro móvil en la trayectoria x2 y 2 z 2 9 que describe una partícula sobre la curva “C”, en el punto (-2,-1,-2) c: 2 2 x y 3 87) (25/03/2009) Hallar un punto de la recta L1: (2,11,14) t (2,4,5) que equidiste del eje “x” y la recta L2: (1,7,0) k (0,0,5) k y t son variables Reales. 88) (25/03/2009) Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a ( x 1) ( y 3) ( z 2) 24 2
, y que pasan por la recta L:
2
2
y 5 z ,x 5 2 1
89) (25/03/2009) Demostrar, y dar una interpretación geométrica cuando corresponda: 2
2
1 (a) c d c d 2 c d (b) c d c d c d 4
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90) (25/03/2009) Sean ABCD un cuadrilátero y PQR y S los puntos medios de los lados sucesivos. Demostrar que el perímetro de paralelogramo PQRS es igual a la suma de las longitudes de las diagonales de ABCD 91) (25/03/2009) Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por el punto : P(-1,6,-3), y es tangente al plano: P=(7,3,8)+u(-17,3,8)+v(7,-21,8), en el punto P0(7,3,8) 92) (18/09/2008) ¿Qué condición deben cumplir el vector direccional De una recta y el vector normal de un plano, para que la recta sea paralela al plano?
93) (18/09/2008) Si a , b , c 0 ¿Qué significado geométrico tiene este producto triple? Explique 94) (18/09/2008) En una Trayectoria rectilínea señale que componente de la aceleración se anula 95) (18/09/2008) En una Trayectoria circular de radio "a" , indique que dirección tiene la aceleración
96) (18/09/2008) Si el ángulo formado por los vectores
v y w es de 45º y el módulo de v
es 3;encontrar el módulo de w de manera que ( v + w ) forme con v un ángulo de 30º 97) (18/09/2008) Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos A(3,1,-3), B(-2,4,1), C(5,0,0) y su centro está en el plano 2 x y z 3 0 98) (18/09/2008) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L:(1,8,1)+t(1,-3,1) y forma una ángulo de 60º con el plano 2 x y z 7 99) (18/09/2008) Una particular se mueve siguiendo la trayectoria dada por la intersección de
1 1 1 x 2 y 2 z 2 1 y el plano y z , Hallar: (a) El vector velocidad en el punto P , , (b) 2 2 2 1 1 1 , , Componentes tangente y Normal de la aceleración en el punto P 2 2 2 100) (20/09/2007) Un proyectiles es lanzado desde el nivel suelo (z=0) siguiendo la trayectoria 2 2 dada por z 125 x y ; y 2 x .Hallar: (a) El Radio de curvatura en el punto más alto que alcanza el proyectil (b) El alcance horizontal del proyectil (c) Las componentes tangencial y normal de la aceleración para t=1(d) la ecuación del plano osculador para t=1 101) (20/09/2007) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P 0(3,-2,-4), es paralela al
x 2 y 4 z 1 3 2 2
plano 3 x 2 y 3 z 7 0 y se corta con la recta
102)
;sabiendo que a, b subtienden un ángulo de
y además a 1 b 3 6
103)
(20/09/2007) Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son 2 a b y 4 a 5 b
(20/09/2007) Hallar el valor reducido de: a ( b c ) b ( c a ) c ( a b )
“SE RECOMIENDA LEER Y COMPRENDER EL RESUMEN DE TEORÍA ANTES DE RESOLVER LOS PROBLEMAS Y AL FINAL DEL TEXTO TENEMOS LOS PROBLEMAS DE RETO PERSONAL SON EXÁMENES DE UNIVERSIDADES EXTRANJERAS”
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CAPITULO I VECTOR: [Es un
Q
PQ
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VECTORES SEGMENTO de recta PQ que va de un punto “ P ” a otro punto “ Q ”,
aquí se llama a “ P ” el punto inicial u origen de PQ y “ Q ” se denomina punto terminal, fin o término del vector]
PQ Q P a a1 , a 2 , a3
3 *El Vector en es una TERNA ORDENADA:
p
*vector opuesto: a a1 ,a 2 ,a3 vector nulo: 0 0,0,0 PUNTO MEDIO ( M ): Sean P y Q M
PQ 2
INTERPRETACION GRAFICA
SUMA= UNIR (COLA Y PUNTA)
b
SUMA DE VECTORES (ADICIÓN): Sean
a a1 , a 2 , a3 y b b1 , b2 , b3
ab
a
a b
a b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3
a
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN
b 1) a b b a
3) a 0 0 a a
2) (a b) c a (b c)
4) a (a) 0
DIFERENCIA DE VECTORES: a b a (b) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Sea
a a1 , a 2 , a3 un vector y “ m ” un escalar ma ma1 , ma2 , ma3
PROPIEDADES 1) m(na) mn(a)
4) 0(a) m0 0
2) (m n)a ma na
5) 1(a) a
3) m(a b) ma mb VECTORES BASE O BASE CANONÍCA (VECTORES UNITARIOS DIRECCIONALES DEL SISTEMA EUCLIDIANO)
i 1,0,0
j 0,1,0 k 0,0,1
También se puede representar
“ a a1 , a 2 , a3 ” como combinación lineal de su base canoníca
a a1 i a 2
j , a3 k
PRODUCTO ESCALAR: “EL RESULTADO DE UN PRODUCTO ESCALAR ES UN NUMERO POR TANTO UN ESCALAR”
Sean a a1 , a 2 , a3 y b b1 , b2 , b3
a b a1b1 a2 b2 a3b3
PROPIEDADES 1) a b b a
3) (ma) b mb a m(a b)
2) a (b c) a b a c
4) a a 0
MÓDULO DE UN VECTOR: “Es el tamaño del vector” Sea
a a1 , a 2 , a3 el módulo es: a a a1 a 2 a3 2
2
2
a aa
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PROPIEDADES 1)
ANGULO ENTRE DOS VECTORES
a 0
2) a 0 a 0
a
3) ma m a
4) a b a b desigualdad triangular 5)
b
a b a b cos ay b
a b a b
6) a b a b
VECTOR UNITARIO (VERSOR)
a
a
condición
a
a
1
*PARA LA BISECTRIZ c ENTRE DOS VECTORES SIEMBRE ES CONVENIENTE USAR VECTORES
c
UNITARIOS
ab ba ab
3 EN FUNCIÓN DE COSENOS DIRECTORES PARA VECTORES :
a cos i cos
PERPENDICULARIDAD (ORTOGONALIDAD) DE VECTORES : Si
VECTOR PROYECCIÓN: La proyección de un vector
a
siempre es perpendicular
PRODUCTO VECTORIAL “EL RESULTADO
Pr oy a b
ab Pr oy b a a 2 b b
COMPONENTE: Es el módulo del Vector Proyección
j cos k
PROYECCION
a es perpendicular a b a b 0
ab Pr oy b a 2 b b
b
Pr oy
a
b
Compb a Pr oyb a
DE UN PRODUCTO VECTORIAL ES UN VECTOR
PERPENDICULAR A LOS MISMOS”
Sean a a1 , a 2 , a3 y b b1 , b2 , b3
i a b a1 b1
j a2 b2
PRODUCTO VECTORIAL
k a3 a2b3 a3b2 , a3b1 a1b3 , a1b2 a2b1 b3
“Regla de signos”
ab c
c
PROPIEDADES
b
1) a b b a
a
2) a (b c) a b a c
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3) (ma) b mb a m(a b) 4) a a 0 PARALELISMO DE VECTORES: Si a es paralelo a b a mb ó
ab 0
AREA DEL PARELOLOGRAMOS
ÁREA DEL PARALELOGRAMO
b
a b a b sen ay b
a b AREA ó
a
PRODUCTO MIXTO “EL RESULTADO DE UN PRODUCTO MIXTO ES UN ESCALAR”
a b AREA
Sean a a1 , a 2 , a3 ; b b1 , b2 , b3 y c c1 , c2 , c3
b
a1
a2
a b c a, b, c b1
b2
b3 (a1 (b2 c3 b3c2 ) b1 a2 c3 a3c2 ) c1 (a2b3 a3b2 )
c1
c2
c3
a
a3
PARALELEPIPEDO
PROPIEDADES
a b c volumen
1) a b c a b c
a
2) a b c c a b b c a 3) a b c c b a b a c VECTORES CONTENIDOS EN EL PLANO
c
b
(VECTORES COPLANARES)
a bc 0 VOLUMEN DEL TETRAEDRO
a bc 6
TETRAEDRO
VTETRAEDRO
a bc
TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL
6
1) a (b c) (a c)b (b a)c 2) (a b) c (a c)b (b c)a
volumen
a b
(a b) c a (b c)
c
IDENTIDAD DE LAGRANGE
a b c d a b c d
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PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES 1) (18/09/2010) Diga si es falso o verdadero
Si u v u v u v
(F)
(V)
____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
2) (I/2016) TEORÍA: Cuando se cumple que el PTM
A, B, C 0
? Escriba un ejemplo
SOLUCIÓN______________________________________________________
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3) (25/03/2009) Demostrar, y dar una interpretación geométrica cuando corresponda: 2
2
1 (a) c d c d 2 c d (b) c d c d c d 4
____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
4) (II/2015) TEORÍA: cuando se cumple: a b a b ? a , b son vectores. SOLUCIÓN______________________________________________________
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5) (II/2015) TEORÍA: Analice si se cumple la igualdad : A B C A B C justificante su respuesta. SOLUCIÓN______________________________________________________
104)
(26 /03/2015) (a) calcula el ángulo que forma a y
b sabiendo que a 3 , b 5 y
a b 7 (b) Si u 6 , v 2 , w 4 y u v w 0 calcular: u v u w v w
SOLUCIÓN______________________________________________________
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6) (29/03/2012) Escriba el vector A (3,2,6) ;Como la suma de los vectores; uno paralelo a
B (2,4,1) y otro perpendicular a B ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
7) (20/09/2007) Hallar el valor reducido de: a ( b c ) b ( c a ) c ( a b ) ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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8) (28/03/2013)Sean
los
vectores
m n n r n (b)
m,n
y
r
m n m r m ;
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si
calcular:
(a)
m n n r n
_______________________________________________________________________ SOLUCIÓN
2
n
0
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9) (I/2016) PRACTICA: El volumen de un tetraedro es 5, tres de sus vértices son (2,1,-1), (3,0,1),(2,-1,3) Hallar el cuarto vértice si esta en el eje “Y” SOLUCIÓN______________________________________________________
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10) (15/09/2011)En el paralelogramo ABCD, el Angulo en el vértice A es de 60º y se conoce que:
AB 2 , AB 4 Si: p Pr oy AC , AD
Determinar p+q=? ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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11)
(25/11/2013) (a) Sean
x, y
n
R
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dos vectores unitarios tales que: x , y
1 ; 2
x, y x y
(i) x e y pueden ser ortogonales
(ii) x y 1
(iii) El ángulo que forman los vectores x e y es
(iv)
x y 2
3
(b) Dado el hexágono regular de lado “ a ” Hallar la
B
C
A
D F
E
proyección ortogonal de sobre BE ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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12) (27/03/2014)Considerar la Figura. Hallar (a) Coordenadas de A para que ABCD sea un paralelogramo (b) Sin Hallar su ecuación, Demostrar que el paralelogramo se encuentra contenido en un plano (c) Hallar el área del parelogramo
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A
B(1,1,1)
D(4,4,1)
C ( 2,2,0)
___________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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13) (15/09/2011)Si A(1,1,1), B(2,3,4), C(4,3,2) Son vértices de un triangulo. Si el segmento OP es perpendicular al lado AC y “O” es el punto medio del segmento AB. Determinar el área del cuadrilátero OB ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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14) (01/04/2011)Si A,B,C son vértices de un triangulo equilátero cualquiera de R 3 ; usando propiedades vectoriales (a) Deducir la expresión que calcula su área (b) probar que uniendo los puntos medios de los lados se forman otro triangulo que debe ser también equilátero. ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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15) (26/03/2010) Sean u y v dos vectores no nulos tales que u v t , Si el ángulo entre ambos vectores es
y la norma de su diferencia es 2 t , Hallar: t 3
____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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16) (29/03/2012) Damos un tetraedro con vértices (-1,2,3);(2,3,-4);(1,5,0);(3,-2,-1) (a) Calcular el Volumen (b) Los VECTORES DE AREA, son aquellos perpendiculares a cada cara apuntando hacia fuera y con magnitud igual al área del respectivo triangulo. Verificar que la suma de los 4 vectores se igual a cero. ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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17) (25/03/2009) Sean ABCD un cuadrilátero y PQR y S los puntos medios de los lados sucesivos. Demostrar que el perímetro de paralelogramo PQRS es igual a la suma de las longitudes de las diagonales de ABCD ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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18) (01/04/2011)Se conoce que los que los módulos de los vectores a , b son iguales y forman un ángulo de
3
,Si el módulo de a + b es cuatro unidades mayor que el módulo de b ;
deducir una expresión para el módulo de a ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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19) (18/09/2010) Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 45º y el módulo de b es 3 2
Hallar el módulo de a de modo que el vector a - b sea perpendicular a b ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
20) (18/09/2008) Si el ángulo formado por los vectores
v y w es de 45º y el módulo de v
es 3;encontrar el módulo de w de manera que ( v + w ) forme con v un ángulo de 30º ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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21) (20/09/2007) Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son 2 a b y 4 a 5 b
;sabiendo que a, b subtienden un ángulo de
y además a 1 b 3 6
____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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22) (18/09/2008) Si a , b , c 0 ¿Qué significado geométrico tiene este producto triple? Explique SOLUCIÓN_________________________________________________________________
a b c 0 ¿El significado geométrico es el volumen del paralelepípedo? Si es Cero los VECTORES CONTENIDOS EN EL PLANO (VECTORES COPLANARES)
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GEOMETRÍA EN EL ESPACIO ( )
CAPITULO II
3
PUNTO: [Es una TERNA ORDENADA p x, y, z ] PUNTO MEDIO ( M ): Sean P y Q M
PQ 2
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: FORMA VECTORIAL: Sean P y Q d 0P 0Q FORMA ESCALAR: Sean P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y2 , z 2 )
d ( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2 RECTA: [Para obtener una recta es necesario contar
a
p0
Re cta
con un PUNTO CONOCIDO “ p 0 x0 , y 0 , z 0 “
y un VECTOR DIRECCIONAL a a1 , a 2 , a3 ] ECUACIÓN DE LA RECTA MEDIANTE DOS PUNTOS CONOCIDOS:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido Y
p1 x1 , y1 , z1 punto conocido
p 0 x0 , y 0 , z 0
=CUALQUIERA DE LOS DOS; VECTOR DIRECCIONAL a p1 p2 FORMA VECTORIAL DE LA RECTA:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
a a1 , a 2 , a3 = vector direccional
p p0 ta
FORMA PARAMÉTRICA DE LA RECTA: [TOMAR EN CUENTA QUE EN ESTA FORMA LA RECTA SE TRANSFORMA EN UN PUNTO MÓVIL]
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
a a1 , a 2 , a3 = vector direccional
x x 0 ta1 y y 0 ta 2 z z ta 0 3
FORMA SIMÉTRICA (CANONÍCA) DE LA RECTA:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto
a a1 , a 2 , a3 =
conocido
vector
direccional
x x0 y y 0 z z 0 a1 a2 a31 FORMA
INTERSECCIÓN
ENTRE
2
PLANOS:
A0 x B0 y C 0 z D0 0 ,Dos A1 x B1 y C1 z D1 0
planos
intersectados forman una recta
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MÉTODOS PARA HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA: MÉTODO 1: se debe hallar
p 0 x0 , y 0 , z 0 como el sistema es indeterminado se debe
suponer x 0 0 ó y 0 0 ó z 0 0 y resolver el sistema Para el vector direccional a A0 , B0 , C0 A1 , B1 , C1 MÉTODO 2: se debe hallar RESOLVER EL SISTEMA LINEAL EN FORMA PARAMÉTRICA como el sistema es indeterminado se debe realizar el cambio: x t ó y t ó z t y resolver
x x 0 ta1 el sistema el resultado será la ecuación de la recta en forma paramétrica. y y 0 ta 2 z z ta 0 3 CONDICIONES Una Recta se puede escribir en su forma simétrica como la intersección de dos planos,
Si el vector direccional tiene alguna componte cero, ejemplo
L:
x x0 y y 0 z z 0 x x0 y y 0 L: z z0 a1 a2 0 a1 a2
Una Recta se puede escribir en su forma simétrica como la intersección de dos planos, Si el vector direccional tiene dos componte cero, ejemplo
L:
x x0 y y 0 z z 0 L : x x0 z z 0 0 a2 0
Si dos rectas son paralelas sus vectores direccionales son paralelas Si a es paralelo a b
a mb ó
a b 0 , pero como solo necesitamos la dirección supondremos a b
Si dos rectas son perpendiculares sus vectores direccionales son perpendiculares Si a es perpendicular a b a b 0 Rectas alabeadas “se cruzan pero no se cortan” Una Recta en su estado natural podría nacer de una familia de Planos (planos intersectados) DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido de la recta
a a1 , a 2 , a3 = vector direccional de la recta, p1 x1 , y1 , z1 punto externo desea medir la distancia a la recta
d
del cual se
( p 0 p1 ) a a
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DISTANCIA ENTRE L1
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2 RECTAS
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ALABEADAS: p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido de la recta
a a1 , a 2 , a3 = vector direccional de la recta L1, p1 x1 , y1 , z1 punto conocido de la
recta L2 b b1 , b2 , b3 = vector direccional de la recta L2
d
( p 0 p1 ) (a b) ( a b)
PLANO: [Para obtener un PLANO es necesario contar con un PUNTO CONOCIDO “
p 0 x0 , y 0 , z 0 “ y un VECTOR NORMAL N A, B, C el cual es perpendicular a todo el plano] ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
( p p0 ) N 0
N
N A, B, C = vector NORMAL
p0
( p p0 ) N 0
ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido N A, B, C = vector NORMAL
Ax By cZ D 0
[Donde “D” es el desfase al origen Del Sistema Euclidiano, si D 0
Ax By cZ 0 el
plano pasa por el origen del sistema Euclidiano] ECUACIÓN SIMÉTRICA CANONÍCA:
x y z 1 a b c
z
1 1 1 N , , Vector NORMAL a b c
donde: a ejex b ejey
x y z 1 a b c b
N
a
c ejez
Formando si un TETRAEDRO de volumen:
c
y
x abc 6
VTETRAEDRO
ECUACIÓN DE UN PLANO POR 3 PUNTOS CONOCIDOS: p 0 , p1 y p 2 punto conocido y no colineales, NORMAL
p 0 x0 , y 0 , z 0 =cualquiera de los 3 puntos N p1 p0 p2 p0 vector ( p p0 ) N 0
ECUACIÓN DE UN PLANO POR 2 RECTAS NO PARALELAS:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto cualquiera de las dos rectas
N A, B, C = vector NORMAL se obtiene multiplicando vectorialmente los vectores direccionales de la recta N a b
( p p0 ) N 0
( p p0 ) N 0
N p0
b a
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ECUACIÓN DE UN PLANO POR 2 RECTAS PARALELAS:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto cualquiera de las dos rectas
p1
N
N A, B, C = vector NORMAL se obtiene multiplicando
p0
Vectorialmente los vectores, ( a vector direccional)
b
a
c (Vector obtenido por p 0 y p1 ) c p1 p`0 N ac
( p p0 ) N 0
c
( p p0 ) N 0
DISTANCIA DE UN PUNTO p 0 x0 , y 0 , z 0 AL PLANO: PLANO: Ax By cZ D 0 FAMILIA
DE
PLANOS;
PUNTO: p 0 x0 , y 0 , z 0
Sea
A0 x B0 y C 0 z D0 0 A1 x B1 y C1 z D1 0
d
Ax0 By 0 Cz0 D A2 B 2 C 2
entonces
un
plano
general
A0 x B0 y C0 z D0 k A1 x B1 y C1 z D1 A2 x B2 y C2 z D2 ....... 0 Se simplificando se tiene al representante de la familia:
x y z 0
CONDICIONES GEOMÉTRICAS Si dos PLANOS son paralelos sus NORMALES son paralelas Si N1 es paralelo
a N2
N1 m N 2 ó N1 N2 0 , pero como solo necesitamos la dirección supondremos N1 N 2 Si dos PLANOS son perpendiculares sus NORMALES son perpendiculares Si N1
es
perpendicular a N 2 N1 N 2 0 Todo plano tangente a una esfera se
puede usarse su normal como vector direccional
para hacer pasar una recta por el centro de la esfera Si dos planos son paralelos a una recta ,y no paralelos entre si, el vector direccional de la recta será el producto vectorial de los planos Sean dos planos paralelos y tangentes a una esfera su distancia entre los planos será el
A0 x B0 y C0 z D1 0 A0 x B0 y C0 z D2 0
diámetro de la esfera:
d
D2 D1 A0 B0 C 0 2
2
2
*Un Triángulo inscribe otro triángulo paralelo a sus lados pasando por los puntos medios los vértices de este (Recordar las relaciones que rigen en Geometría Euclidiana)
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CUADRICAS: ESFERA: Centro C (h, j , l ) y
x h
el 2
Radio
y k z l 2
2
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ELIPSOIDE: Centro C (h, j , l )
Ra a2
x h a
2
2
y k b
2
2
z l
2
1
c2
HIPERBOLOIDE HOJA
x h 2 y k 2 z l 2 a2
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJA
x h a
2
2
y k b
2
2
z l c
2
2
1
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO (SILLA DE MONTAR)
x h a2
2
y k b2
2
CONO
x h a
2
2
y k b
z l
2
2
c
x h
c
a2
y k
2
b2
c2
1
PARABOLOIDE ELÍPTICO 2
x h 2 y k 2 a
2
b
2
EN
z l c
FORMA
GENERAL
C (h, j, l )
z l
b2
ELÍPTICO: CILINDRO
CILINDRO 2
2
DE UNA : C (h, j , l )
1
z f ( x, y )
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PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA EN EL ESPACIO 23) (18/09/2008) ¿Qué condición deben cumplir el vector direccional De una recta y el vector normal de un plano, para que la recta sea paralela al plano? SOLUCIÓN_________________________________________________________________ EL VECTOR DIRECCIONAL DE LA RECTA DEBE SER PERPENDICULAR A LA NORMAL DEL
PLANO, ENTONCES: u N 0 24) (17/09/2009)Determinar la ecuación de la recta que es paralela a los planos y corta a las rectas 3x 12 y 3z 5 0 , 3x 4 y 9 z 7 0
x 5 y 3 z 1 x 3 y 1 z 2 , 2 4 3 2 3 4
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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25) (I/2016) PRACTICA: Se suelta una Canica que esta colgada en el punto (1,1,6), sobre el plano 2 x y 2 z 8 luego la canica rueda por el plano hasta llegar al plano cordenado X,Y que distancia ha recorrido la canica. SOLUCIÓN______________________________________________________
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26) (25/03/2009) Hallar un punto de la recta L1: recta
(2,11,14) t (2,4,5)
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que equidiste del eje “x” y la
L2: (1,7,0) k (0,0,5) k y t son variables Reales.
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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27) (01/04/2011)Encontrar el punto Q que es simétrico de P=(4,1,6) respecto ala recta:
2 x y 2 z 3 0 x y 4 z 12 0
L:
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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28) (20/09/2012)Deducir la expresión que calcula la distancia mínima entre dos rectas alabeadas (que se cruzan pero no se cortan) en el espacio R3. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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3
29) (17/09/2009) Si los vectores no coplanares u , v , w R tiene un origen común. Demostrar que el plano que pasa los extremos de estos vectores es perpendicular al vector
u v v w w u SOLUCIÓN_________________________________________________________________
30) (II/2015)
PRACTICA:
Dada
la
recta
L. x 2t 1 y 3t 2 z t 2 Hallar
(a)su
intersección con el plano z 2 y 0 (b) Su proyección en el plano Coordenado X,Z SOLUCIÓN______________________________________________________
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31) (20/09/2007) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P 0(3,-2,-4), es paralela al plano
3x 2 y 3z 7 0
y
se
corta
con
la
recta
x 2 y 4 z 1 3 2 2
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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32) (29/03/2012) Hallar en el plano X,Y un punto P de modo que la suma de sus distancias a los puntos A(4,2,7); B(3,5,5) sea mínima. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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33) (27/03/2014)Una recta que pasa por el punto A(-3,8,5) y se desarrolla según la dirección del vector (-1,2,1), se intersecta con el plano de ecuación x y z 4 , Hallar la ecuación de la recta que se refleja en el plano dado. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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34)
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(26 /03/2015) Dadas las rectas que se cruzan
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L1 :
x y 1 z 2 , 2 0 1
x 1 y 1 z Hallar la distancia entre las rectas y el plano que contiene a L 2 y 1 2 1 paralela a L1
L2 : es
SOLUCIÓN______________________________________________________
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35)
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(25/11/2013) Un rayo de luz L1, pasa por el punto (1,2,3) y sigue la dirección del vector
u (2,1,3) . Al llegar al espejo plano cuya ecuación es x y 2 z 30 0 , se origina el rayo
reflejado L2 y esta llega a un segundo espejo 2 x y z 30 0
generando el rayo reflejado
L3, Hallar la distancia mínima entre los rayos L1 y L3. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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36) (18/09/2008) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L:(1,8,1)+t(1,-3,1) y forma una ángulo de 60º con el plano 2 x y z 7 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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37) (20/09/2012)Hallar
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la
ecuación
del
plano
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que
pertenece
a
la
3x 4 y z 6 2x 3 y z 2 0 y equidista de los puntos A(3,-4,-5), B(1,2,2)
familia
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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38) (25/11/2013) Dados los puntos P1(3,2,1),P2(2,-1,0), P3(-1,3,5) y P4(2,-3,1), Hallar las ecuaciones de 4 planos paralelos PL1, PL2, PL3 y PL4 que pasen por P1(3,2,1), P2(2,-1,0), P3(-1,3,5) y P4(2,-3,1) respectivamente de modo que los planos tomados de a dos, se hallen separados una misma distancia, es decir que la distancia entre PL1 y PL2 se a la misma que entre PL2 y PL3 y que PL3 y PL4. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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39) (15/09/2011)Determinar la ecuación del plano perpendicular al plano horizontal que pasa por
3x 2 y 3z 2 0 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
(0,0,2) Contiene al punto B(2,2,2) y forma un Angulo de 60º con el plano
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40) (26/03/2010) Hallar las ecuaciones de los planos bisectores de los ángulos diedros formados por los planos: 3 x 4 y 6 0 ; 6 x 6 y 7 z 16 0 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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41) (27/03/2014)Hallar la ecuación de la esfera ,sabiendo que uno de sus diámetros es el segmento comprendido entre el punto P(1,2,3), y el punto de tangencia de la esfera con el plano
xz 2 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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42)
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(25/11/2013)Hallar la ecuación de la superficie esférica que sea tangente a la esfera
x y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 5 0 y al plano 3x 2 y 6 z 4 0 . El punto de tangencia con la 2
esfera (3,0,2). SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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43)
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(28/03/2013)(a) Determinar la ecuación de la esfera que es tangente al plano 2 x 2 y z 6 0 , si el centro es la intercesión de las rectas L1 y L2, donde L1 es la recta que
pasa por P(4,3,1) y es perpendicular a la recta L2:
x 5 y 4 z 10 (b) Hallar la ecuación 2 3 8
de la recta L1 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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44) (20/09/2012)Hallar la ecuación de la esfera que contiene a las circunferencias
y 2 z 2 36 y2 z2 9 y x2 x3 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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45) (15/09/2011)Determinar la ecuación de la esfera que es tangente al plano 2 x 2 y z 5 0 , el centro es el punto de interseción de las rectas L1 y L2, donde L1 es la recta que pasa por P(4,3,1) y es perpendicular a la recta L2:
x 5 y 4 z 10 2 3 8
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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46) (01/04/2011)Hallar la ecuación de la esfera que es tangente al plano: 2 x y 2 z 12 0 en el punto
2y z 7 0 2 x 3 y 8 0
A(-2,2,5) y tiene su centro en la recta L0 :
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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47) (18/09/2010)Hallar la ecuación de la esfera que es tangente a las rectas L1:
x 4 y 2 z 3 L2 : P(x,y,z)=(-7,-2,1)+m(3,2,1), sabiendo que uno de sus diámetros 2 1 1
es perpendicular a ambas rectas SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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48) (18/09/2010)Hallar
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las
ecuaciones
de
los
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planos
tangentes
x 2 y 2 z 2 10 x 2 y 26 z 113 0 y paralelos a las rectas L1: L2:
a
la
esfera
x 5 y 1 z 13 2 3 2
x 7 y 1 z 8 3 2 0
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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49) (26/03/2010) La Traza de una superficie esférica con el plano XZ es la circunferencia
x 2 z 2 2 x 2 z 3 0 . Hallar su ecuación si pasa por el punto P 0 (3,4,2) SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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50)17/09/2009)Determinar la ecuación de la esfera cuyo centro esta en la recta Bisectriz
x 1 y 1 z 2 2 2 1 planos 2 x 2 y z 5 0 , 2 x 2 y z 3 0 determinada por las rectas
,
x 1 y 3 z 2 y es tangente a los 6 2 3
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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51) (25/03/2009)
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Hallar
las
ecuaciones
de
( x 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 2 24 , y que pasan por la recta L:
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los
planos
tangentes
a
y 5 z ,x 5 2 1
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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52) (25/03/2009) Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por el punto : P(-1,6,-3), y es tangente al plano: P=(7,3,8)+u(-17,3,8)+v(7,-21,8), en el punto P0(7,3,8) SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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53) (18/09/2008) Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos A(3,1,-3), B(-2,4,1), C(-5,0,0) y su centro está en el plano 2 x y z 3 0 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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54) (29/03/2012) En la cuadrica: x y z 11 2( x 2 y 3z ) . Hallar el punto mas próximo al 2
2
2
plano 3x 4z 19 0 .Luego calcular la distancia desde ese punto al plano. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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55) (29/03/2012) Bosqueje una grafica de la Cuadrica : x y 2 x 2 y 0 2
2
SOLUCIÓN_________________________________________________________________ SON DOS PLANO : (VISTA EN PLANTA) PL XY
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56) (18 /09/2014) Determinar el valor de “ m ” para que lo planos , y ,pertenezcan a una misma familia de planos
:x yz 0 : x 3y z 0 : mx 10 y 4 z 0
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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57) (18 /09/2014) Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por el punto Q(2,1,1) , y en tangente al plano y 0 en P(1,0,1) SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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58) (I/2016) PRACTICA: Hallar la ecuación de una esfera con centro está en el eje X, y pasa por: (0,5,0);(-2,1,0) SOLUCIÓN______________________________________________________
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59) (II/2015) PRACTICA: Hallar en la esfera x y z 2 x 4 y 6 z 11 ,el punto mas 2
2
2
próximo al plano 3 x 4 y 19 0 SOLUCIÓN______________________________________________________
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60) (26
/03/2015)
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Hallar
x 12 y 32 z 22
las
ecuaciones
de
JOSUE PAYE CHIPANA
los
planos
tangentes
a
x5 y 5 z 24 ,y que pasan por la recta L : 0 2 1
SOLUCIÓN______________________________________________________
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61) (I/2016) TEORÍA: la intersección de la cuadrica z 2 x y ,con el plano z 2 y . Que curva 2
2
origina ?(bosqueje una grafica). SOLUCIÓN____________________________________________________________
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62) (II/2015) PRACTICA: Hallar el lugar geométrico de los puntos P(x,y,z) que están a una distancia del punto (1,2,3) que es el doble de la distancia al punto (-3,4,3). Graficar dicho lugar geométrico. SOLUCIÓN______________________________________________________
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CAPITULO III
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FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL
Una función vectorial se asigna a la representación de curvas en el (plano 2D y el espacio 3D ), una curva en el espacio C es un conjunto de todas las ternas ordenadas f t , g t , hg t junto a sus ecuaciones paramétricas
donde
x f (t ) y g (t ) z h(t )
f (t ) g (t ) h(t )
son funciones continuas de “t” en un intervalo “I” FUNCIÓN VECTORIAL: Es un tipo de funciones que asigna vectores a números reales
r x, y, z LIMITES
r f (t ), g (t ), h(t )
DERIVADAS
E
INTEGRALES
r f (t ), g (t ), h(t ) se tiene:
EN
Limite: Lim r Lim f (t ), Lim g (t ), Lim h(t ) t t0
Integral:
t t0
t t0
t t0
FUNCIONES
Derivada:
VECTORIALES:
Sea
d d d d r f (t ), g (t ), h(t ) dt dt dt dt
r dt f (t )dt, g (t )dt, h(t )dt
DERIVADAS EN PRODUCTO DE FUNCIONES VECTORIALES PRODUCTO ESCALAR:
PRODUCTO VECTORIAL:
d d d r( t ) f (t ) r(t ) f ( t ) r(t ) f (t ) dt dt dt
d d d r( t ) f ( t ) r(t ) f (t ) r( t ) f (t ) dt dt dt
t2
LONGITUD DE CURVA “ l ”: l r( t ) ' dt t1
LONGITUD DE ARCO“ S ”: S
t
r
(t )
' dt
y se obtiene de
0
dS r(t ) ' dt
TRIEDRO MOVIL
TRIEDRO MÓVIL: “Formado por los vectores Tangente unitario,
Binormal unitario y Normal principal unitario,
N B T
B
N los cuales forman un triedro móvil (ortogonal)
T
que va viajando a lo largo de la curva suave”
p0
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TANGENTE
UNITARIO
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T:
T
r( t ) '
CUANDO
r( t ) '
d r s parámetro longitud de T ds
N:
N
'r
'
r(t ) ' r(t ) ' 'r(t ) ' r(t )
(t )
r( s ) x( s ) i y( s ) j z( s ) k donde “S” es
BINORMAL UNITARIO
NORMAL PRINCIPAL UNITARIO
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' 'r(t )
B:
N
B
r(t ) 'r(t ) ' ' r(t ) 'r(t ) ' '
T'
T'
PLANO OSCULADOR: (PLANO QUE BESA A LA CURVA) Si la curva es plana (no una recta), el plano osculador coincide con el plano de la curva.
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
B = BINORMAL es vector NORMAL
( p p0 ) B 0
RECTA BINORMAL:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
B = BINORMAL es vector DIRECCIONAL
p p0 m B
PLANO NORMAL:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido T = TANGENTE es vector NORMAL
( p p0 ) T 0
RECTA TANGENTE:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido T = TANGENTE es vector DIRECCIONAL
p p0 m T
PLANO RECTIFICANTE:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
N = NORMAL es vector NORMAL
( p p0 ) N 0
RECTA NORMAL:
p 0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
N = NORMAL es vector DIRECCIONAL
p p0 m N
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FUNCIÓN VECTORIAL CON PARÁMETRO “S” LONGITUD DE ARCO: Si “C” es una curva
suave dada por: r( s ) x( s ) i y( s ) j z( s ) k donde “S” es parámetro longitud de arco, debe cumplir: r( s ) ' 1
*”Si
“t” es cualquier parámetro de la función vectorial r(t ) x(t ) i y(t ) j z(t ) k y cumple
r(t ) ' 1 entonces t s ”
dT FORMULAS DE FRENET-SERRET: KN ds
dB N ds
dN B K T ds
CURVATURA” K ”:” Es la tendencia de la tangente (velocidad) a cambiar su dirección
r 'r ' ' dT respecto a la recta tangente” K 3 ds r'
1 dN (***)Si una curva es plana 0 ENTONCES K v dt
donde” v ” es velocidad
Cuando la función vectorial esta en función del parámetro longitud de arco “S” K r(s ) ' '
Si la curva es dada por: y f (x) K
Si la curva es dada por:
x x(t ) y y (t )
K
y' '
1 y'
3 2 2
x' y ' ' x' ' y '
x'
2
3 2 2
y '
curvatura en función de Velocidad y Aceleración: K
a (t ) N (t ) 2
v
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1 K
RADIO DE CURVATURA “ RK ”: RK
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CENTRO DE CURVATURA: C r RK N
CIRCUNFERENCIA OSCULADORA: Se encuentra contenida en el plano osculador
de curvatura “ C r RK N ” y Radio de Curvatura RK
[Con centro
1 ] K
TORSIÓN” ”: Es la tendencia de apartarse respecto al plano (PLANO OSCULADOR)
r 'r ' 'r ' ' ' dB 2 ds r 'r ' ' Cuando
la
función
Si una curva es plana 0
vectorial
esta
en
función
del
parámetro
longitud
de
arco
“S”
r( S ) 'r( S ) ' 'r( S ) ' ' ' 2
r( S ) ' RADIO DE CURVATURA “ R ”: R
1
VECTOR VELOCIDAD: v( t ) r( t ) '
dS r( t ) ' VECTOR ACELERACIÓN: a( t ) r( t ) ' ' dt
RAPIDEZ: v(t )
COMPONENTES DE LA ACELERACIÓN:
aT a T
d 2s 2 dt v va
ACELERACIÓN
a aT T a N
EN
aN a N
FUNCIÓN
DE
SUS
va v
2
a aT
2
COMPONENTES
ds K dt
2
TANGENCIAL
NORMAL:
N
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PARAMETRIZACION ESPECIALES
Sea la curva que resulta dela intersección:
ax 2 by 2 cz 2 r 2 (1) De (2) despejamos cualquier variable nosotros tomamos “z” kx my nz d ( 2 ) d (kx my) d (kx my) 2 en (1) ax 2 by 2 c r n n 2
z
n 2 ax 2 n 2by 2 cd 2 2dc(kx my) c(kx my) 2 n 2 r 2 n 2 ax 2 n 2by 2 cd 2 2dckx 2dcmy ck 2 x 2 2ckxmy cm2 y 2 n 2 r 2 (ck 2 n 2 a) x 2 (2ckmy 2dck ) x (n 2by 2 cd 2 2dcmy cm2 y 2 n 2 r 2 ) 0 Resolver la ecuación de segundo grado para “x”
p ck 2 n 2 a q 2ckmy 2dck r n 2by 2 cd 2 2dcmy cm2 y 2 n 2 r 2 q q 2 4 pr Donde la estrategia esta en la raíz que se encuentra en función de “y” x 2p Recordando Sustitución Trigonométrica q 2 4 pr u 2 y 2
u 2 y 2 y
u
hacemos
sen con lo cual se elimina la raíz y tenemos parametrizadas ya las
x x( ) ecuaciones en función del ángulo: y y ( ) z z ( )
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PROBLEMAS RESUELTOS DE FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL
63)
(I/2016) TEORÍA: escriba una fórmula para la segunda derivada: f g
,,
SOLUCIÓN______________________________________________________
64)
(I/2016) TEORÍA: si una curva plana esta contenida en el plano 2 x y 4 , que dirección
tiene su vector Binormal ? SOLUCIÓN______________________________________________________
65)
( x 1) 2 y 2 z 2 36
(28/03/2013)Determinar la forma de la proyección de la curva
yz0
en el
plano XY. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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66)
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(I/2016) PRACTICA: Dada la curva r (t ) (t , t 1, e ) Calcular, para t=0, (a)Vector 2
2
t
Binormal (b) Plano Osculador (c) Curvatura SOLUCIÓN______________________________________________________
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67)
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(II/2015) TEORÍA: Deducir una fórmula para hallar la curva de una plana y f (x) . Aplicar
a algún ejemplo. SOLUCIÓN______________________________________________________
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68) (01/04/2011)Hallar la curvatura y torsión en un punto cualquiera de la curva definida por:
x2 4 y 0 3 x 24 z 0
( y 2) 2 Luego, analice si existe o no relación de los resultados obtenidos con la cantidad 2 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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69) (20/09/2007) Un proyectiles es lanzado desde el nivel suelo (z=0) siguiendo la trayectoria dada por z 125 x y ; y 2 x 2
2
.Hallar: (a) El Radio de curvatura en el punto más alto que
alcanza el proyectil (b) El alcance horizontal del proyectil (c) Las componentes tangencial y normal de la aceleración para t=1(d) la ecuación del plano osculador para t=1 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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º
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70) (26/03/2010) Una partícula se mueve a lo largo de la curva f (t ) (t 2 , ln( t ),2t ) , siendo t el tiempo. Hallar en t=1: (a) Las componentes tangencial y normal de la aceleración (b) Las compontes de la velocidad y la aceleración en la dirección de la recta: x t 11 , y 2t ,
z 2t 5 (c) La curvatura, la torsión, el radio de curvatura y el radio de torsión. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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71) (17/09/2009)Una función vectorial f (t ) esta dada
por la curva
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y e x , con 0 x 1 y
x y 2 ln( x y ) 2 ln 2 , con 2 x y 2e .Determinar la g t esta dada por la curva relación que existe entre sus longitudes de arco SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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72) (18/09/2008) Una particular se mueve siguiendo la trayectoria dada por la intersección de
1 1 1 x 2 y 2 z 2 1 y el plano y z , Hallar: (a) El vector velocidad en el punto P , , (b) 2 2 2 1 1 1 , , Componentes tangente y Normal de la aceleración en el punto P 2 2 2 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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73) (17/09/2009)Determinar el plano osculador a la curva determinada por la intersección de las superficies x y z 24 , 2
2
2
x y z 0 ,en el punto A(2,2,-4)
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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74) (25/03/2009) Hallar las ecuaciones de los planos definidos por el triedro móvil en la trayectoria
x2 y 2 z 2 9
que describe una partícula sobre la curva “C”, en el punto (-2,-1,-2) c:
2 2 x y 3
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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75) (15/09/2011) (a) Demostrar que la curva determinada por la interseción de las superficies
x2 y 2 2 y 2x 2 0 . Es plana (b) Determinar el plano x y 2 z 2 0 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
121
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76) (29/03/2012) Cual
es el radio
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de curvatura de la curva de intersección de
( x 2) ( y 1) ( z 3) 4 , con el plano 2 x y z 2 2
2
2
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
77) (20/09/2012)La curva: r (t ) (t 2 1, t 1, t 2 ) intersecta al plano 2 x 3 y z 11 0 en dos puntos. Hallar estos puntos y calcular la distancia entre ellos a través de la curva SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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78) (29/03/2012) Dada la curva r (t ) ( 2Cosh(t ),2Senh(t ),2t ) (a) Bosquejear una grafica (b) Calcular la curvatura en t=0 (c) Calcular la Torsión en t=0 (d) plano Osculador en t=0. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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79) (20/09/2012)Para la curva del espacio R3 ; f (t ) (4 cos t ,4sent ,3t ) calcular la curvatura, torsión radio de curvatura, centro de curvatura en el punto donde t0 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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80)
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(28/03/2013)Considerar la curva “C” que resulta de la intersección del cilindro parabólico
y x 2 con el plano z 2 x , Para el punto P(1,1,2) Calcular: (a) Los planos Normal, Rectificante y Osculador. (b) La curvatura y la Torsión. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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81)
(28/03/2013)Sea f (t ) (t , ln t ) Hallar la circunferencia osculadora de dicha curva en t=1 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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82) (18/09/2010)Una partícula se mueve a lo largo de la curva “C” descrita por la función vectorial
r (t ) ( x(t ), y(t ), z (t )) expresada en metros y “t” en segundos, Si la rapidez de la partícula es 2
constante e igual a 10 m/s, si el vector Tangente Unitario es paralelo al vector (t ,1,0) , determinar (a) La curvatura de ”C” como una función de t (b) La ecuación de la recta tangente a
la curva en el punto r (1) (1,3,6) SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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3 2 83) (18/09/2010)Una partícula se mueve a lo largo de la curva x t , y t 4 , z t 4t ,
siendo ”t” el tiempo Hallar (a) La componente de su velocidad en la dirección de la recta
x y 1 z (b) ¿Para qué valor de “t” su aceleración no tiene componte sobre la recta dada? 1 1 0 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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84)
3 2
3 2
1 3 2 2
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5 2
(27/03/2014)Dada la curva f (t ) ( cos t , sent , sent ) (a) Determinar si la misma
se encuentra contenida en un plano (b) En caso de estarlo, hallar la ecuación de dicho plano (c) Hallar el vector Binormal SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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85) (26/03/2010) Una trayectoria esta definida por: g ( s) (arctg ( s),
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1 ln s 2 1 , s arctg ( s)) (a) 2
Determinar si el parámetro “S” es la longitud de arco (b) Hallar la curvatura y el radio de curvatura. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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86) (26/03/2010) Indicar si
dB v N , donde “ v ” es la rapidez y “ ” es el radio de Torsión, dt
Justificar su respuesta. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
87) (29/03/2012) Puede una curva tener Curvatura k 0 y Torsión 0 ? Justifique su respuesta SOLUCIÓN_________________________________________________________________ PUEDE TENER CURVATURA CERO ES UNA RECTA Y YA QUE SU RADIO DE CURVATURA SERIA INFINITO CUMPLIENDO LA DEFINICIÓN DEL RECTA
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88) (26/03/2010) Indicar en que plano se encuentra el vector aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en el espacio. SOLUCIÓN_________________________________________________________________ SE ENCONTRARÍAN EN EL PLANO OSCULADOR
89) (01/04/2011)Si una curva C de R3 se da por r (t ) (r1 (t ), r2 (t ), r3 (t )) (a) anote las expresiones que calculan el centro de curvatura y radio de curvatura (b) si S=parámetro de longitud de arco
explique cómo se halla la expresión de la misma curva según:
r ( s) (r1 ( s), r2 ( s), r3 ( s)) (c) si
existe, identifique el valor de r ' ( s ) SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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90) (20/09/2012)Para la función: f (t ) (e 3t cos(3t ), e 3t sen(3t ), e 3t )
de: f (s )
(a) Identificar la expresión
(b) Determinar si el parámetro “s” es la longitud de curva
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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91)
(27/03/2014)Una
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trayectoria
está
dada
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por
la
función
vectorial
n s s r ( s) (a cos , a sin , ) a R (a) Determinar el parámetro “S” es el arco (b) Obtener el a a 2
triedro T , N , B (c) Calcular la curvatura y la torsión SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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92)
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(25/11/2013) El movimiento de un cuerpo en el espacio , está dado por las ecuaciones:
x 3t 2 cos(2t ) y 3t 2 sen(2t ) z 3 3t 2 ,Donde “t” es el tiempo. Si el movimiento empieza observarse en t 0 , para el punto en que el cuerpo haya recorrido por la curva una distancia 38, calcular la curvatura y la torsión. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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93) (18 /09/2014) Hallar las ecuaciones de los planos definidos por el triedro móvil en la trayectoria que describe una partícula sobre la curva “C”, en el punto P(1,1,2)
C : z x y , z 2x2 y SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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94)
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(18 /09/2014) Una partícula se mueve con una rapidez de 2 [m/s] , contenida en un plano y
siguiendo una trayectoria curvilínea, si su vector normal unitario es paralelo al vector 2,2t , t 2 , determinar su curvatura y torsión. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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105)
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(26 /03/2015) Una partícula se mueve en el espacio con vector de posición: 3
2 2 r (t ) t A t 2 B 2 t A B 3
Donde, A y B son dos vectores unitarios fijos que forman un ángulo de
3
radianes
determinar en cuanto tiempo recorre una distancia de 12 unidades de longitud de arco desde la posición en t=0 SOLUCIÓN______________________________________________________
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PROBLEMAS DE RETO PERSONAL EXÁMENES ( UNI LIMA PERU ) INGENIERÍA 1) (II/2010 2T)ABCD es un tetraedro donde C =(-5,14,-3) y D=(32,36,-6). En el triángulo ABC,
L1 7,17,9 t 5,9,4 y L2=
x 3 y 11 z 3 son dos medianas trazadas desde 4 9 10
diferentes vértices. (a) Hallar los vértices del tetraedro (b) Calcular el volumen del tetraedro. 2) (II/2008 2T) ABCD es un cuadrado con centro R, lado 8 2 [u ] , BC t (0,8,8), t 0, L1es una recta que intercepta en R al plano (PL) que contiene al cuadrado. N y E son puntos de L1 tal que AN L1, DN L1, BE L1, EC L1, LAN : x 4 4 y
z , 2
8 y z son rectas que contienen a los segmentos AN y ND respectivamente, M 2 es un punto de AD tal que AM 4MD , sea Q el plano que contiene al triángulo BEC, 8 d ( M , Q) 3 , Hallar la ecuación de PL (plano). 3 3 3) (II/2006 2T) L1 y L2 son rectas que forman un ángulo cuyo coseno es y cuya distancia 5 LND : 8 x
mínima es 6u, en L1 se ubican los puntos A y D y en L2 se ubican los puntos B y C de manera
9 es punto medio BC , CD (1,6,3) , el plano que contiene a D y L2 es: 2 6 x 5 y 8 z 132 0 , hallar las coordenadas de D.
que E 6,12,
(II/2005 2T) V – ABC es una pirámide cuya base ABC es un triángulo rectángulo isósceles, recto en C de lado 2 10 , la mediana trazada de A relativa a BC es : L = (4, 4, 0) + t(-1, 1, 0)
13 19 L1 BC M , L2 , ,4 t (1,1,3) V, L2 AM N , La proyección de V sobre la cara 3 3
ABC es el punto T de BA, CN k NT , k 0, P = 3x + 9y – 10z – 30 = 0 contiene a AVC. Hallar la ecuación del plano ABC.
5) (II/2004 2T)En un tetraedro D-ABC, D=(12,16,16), AB 650 , BC (7,26,0), DC 456
B=(b1, b1, b3), b1 8, DA t (10,5,16), t 0, BD y AC son ortogonales M=(17,56,0) es punto de la recta que contienen a BC . Calcular el volumen del solido limitado por el tetraedro D- ABC.
6) (II/2004 2T) En un prisma oblicuo ABCD-A’B’C’D’, BD ' (3,0,4), C (1,1,1) , A’B’C’D’ es un trapecio cuya mediana M ' N ' 13 P’,Q’ son puntos medios de A' D' y B'C ' respectivamente donde AQ' M ' N ' , AP' AC 3u, P2 : 10x 6 y 15z 6 0 contiene a los puntos A, P ’ y C. Hallar la ecuación vectorial del plano que contiene a la base ABCD. 7) (II/2003 2T) DABCO es un hexaedro de caras triangulares donde O es el origen de coordenadas, OB a la cara AOC, la medida del ángulo AOC=90º. Los planos que contienen 152
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las caras DOA y DOB son perpendiculares al plano que contiene a ABC, la recta
L : Q t (13,2,3) es paralela a la intersección de los planos que contienen a los triángulos
DOA y ABC e interseca esta recta AB en W=(8,-1,0). Los planos que contienen a los triángulos ACD y DOA son 2 x 4 y z 9, 2 y 3 z 0 Hallar el volumen limitado por el tetraedro OABC.
8) (II/2003 2T) Dados los vectores a (1,1,0) , b (2,1,1) y c (1,3,2) vectores en V3 . x , y, z
son las proyecciones ortogonales de los vectores a , b , c sobre los planos determinados por los
vectores b , c , a , c y a, b respectivamente. Hallar el volumen del tetraedro determinado
por los vectores x , y, z
9) (II/2002 2T) Sea un paralelepípedo
proy
a c //( 2,3,0) , b
proy
con aristas a, b y c positivamente orientado donde
a b //( 4,5,6) y c
a (1,0,0) a .Si una de sus
diagonales es el valor d t (0,1,3), d 4 10 M=(3,-1,-4) es punto de intersección de las diagonales
del
paralelepípedo
L1 (1.1.1) t ( b c )
(a)
Hallar
los
vértices
del
paralelepípedo
(b)
L 2 (1.1.1) t ( c b ) P es un plano que contiene a L1 y a L2.
Averiguar si el punto M y el origen de coordenadas están a un mismo lado o en lados opuestos con respecto al plano P. EXÁMENES ( U.TOKIO–JAPON) DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA (TRADUCIDO POR TRADUCTOR GOOGLE www.google.com )
10) (CICLO 2008-1) Sean los vectores a , b , c , d y e de V3 tal que a b c d e e 0,
c a 0, 2
b e 0,
c d a,
a b a b ,
c d
b c b c ,
2 d, 2
2
5 d c 8. Hallar a b d ? 2
11) (CICLO 2006-1) Sean los vectores a , b , c , d de Vn donde a b c d
a b c d 0,
a c d a c b , a a c d b c , , a c b c , 0 ,Hallar a d a c , ? 12) (CICLO 2006-1)Dados los puntos P=(0,0,0) y Q=(1,1,1): Determine las proyecciones de los puntos P y Q y además indique si los puntos P y Q se encuentran arriba o debajo del plano (PL) que pasa por el punto (1,4,-2) y dista una unidad de la recta
L (2.6.5) t (2,4,0), t R
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13) (CICLO 2006-1)Sean R y W: 17 x 17 y 7 z 298 0, dos planos secantes, sean los puntos
3 5 P , ,2 , A y B comunes a los dos planos R y W. D 8, r,19, es un punto de W, Q es 2 2
un punto de la recta L 2 D W a ,W R tal que PQ L1, PQ L2, QP//( 9,9,2),
AQ QB , PC PD, c es un punto de L2 y del plano R, averiguar en que ángulo diedro de la intersección de los planos W se encuentra en el punto Q y el origen de coordenadas. 14) (CICLO 2006-1)En una pirámide A-PRNM, PR PM , el punto P 4,1,0, los planos
P1 : 4 y z 4 0, P 2 : X 4 y 0, contiene a los triángulos PAN y PAM respectivamente, el ángulo diedro que forman los planos P3 y P4 que contienen a PRNM y APR respectivamente mide 45º. El plano P3 es perpendicular al plano que contiene a RAN, R=(-4,0,0), m
L2 :
2006-1)Dado
x 4 y 11 z 8 7 17 15
el
triángulo
ABC
y
las
rectas
L1 :
x 9 y 18 5 11
z 2
Medianas del triángulo trazadas de los vértices C y A
respectivamente. Si B=(-5,2,3) encontrar los Vértices A y C del triángulo.
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