Aritmetica Para Cuarto De Secundaria 5a3r61

Aritmetica para Cuarto de Secundaria A continuacion presentaremos los temas realizados en el curso de aritmetica del 4to año de secundaria: Primer Bimestre: -Teoria de Conjuntos -Numeración

Segundo Bimestre: -Conteo Numérico -Progresion Aritmetica -Divisibilidad

Tercer Bimestre: -Regla de Tres Simples y Compuesta -Promedios -Magnitudes Proporcionales

Cuarto Bimestre: -Reparto Proporcional -Regla del Tanto por Ciento

Integrantes: -Hugo Chávez Marín. -Leslie E. Basurto Cueto.

-María Marchinares García.

TEORÍA DE CONJUNTOS DEFINICIÓN DE CONJUNTO

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas. Cuando un elemento 1 x pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x Î A 1 . En caso de que un elemento 1 y no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y Ï A 1 Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos: 1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.

2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es: { ( ) } { } n A = x P x = x ,x ,x ,×××,x 1 2 3 que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x) es verdadera, como 1 2 3 x ,x ,x , etc1. 3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos2. 4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos. Ejemplo: Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y por diagrama de Venn. Solución. Por extensión: V = {a,e,i,o,u } Por comprensión: V = {x x es una vocal }

SISTEMA DE NUMERACIÓN Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos. Un sistema de numeración puede representarse como

donde:  



Es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.). es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}. son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no. En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas.

Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema. Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema. Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1

Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria. Las inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder representarlas.

Clasificación Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no-posicionales: 



En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número. En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número.

Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es no posicional, en cambio el babilónico es posicional. Las lenguas naturales poseen sistemas de numeración posicionales basados en base 10 ó 20, a veces con subsistemas de cinco elementos. Además, en algunas pocas lenguas los numerales básicos a partir de cuatro tienen nombres basados en numerales más pequeños. Sistemas de numeración no posicionales Estos son los más primitivos se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entre conjuntos. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos . Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1

Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.2 Las inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder representarlas. Sistemas de numeración posicionales El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior. Ejemplo en el sistema de numeración decimal

Si contamos desde 0, incrementando una unidad cada vez, al llegar a 9 unidades, hemos agotado los símbolos disponibles, y si queremos seguir contando no disponemos de un nuevo símbolo para representar la cantidad que hemos contado. Por tanto añadimos una nueva columna a la izquierda del número, reutilizamos los símbolos de que disponemos, decimos que tenemos una unidad de segundo orden (decena), ponemos a cero las unidades, y seguimos contando. De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como resultado nos queda que 99+1=100. El cuentakilómetros mecánico, al utilizar el sistema de numeración posicional decimal, nos muestra lo anterior: va sumando 1 a la columna de la derecha y cuando la rueda de esa columna ha completado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda.

Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos conscientes de este comportamiento, y damos por hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que encierra esa expresión. Tal es la costumbre de calcular en decimal que la mayoría de la población ni siquiera se imagina que puedan existir otros sistemas de numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útiles como este. Entre esos sistemas se encuentran el de base 2 sistema binario, de base 8 sistema octal y el de base 16 sistema hexadecimal. También los antiguos mayas tuvieron un sistema de numeración posicional el cual ya no se usa.

Tipos de Soluciones Presentamos 2 formas de resolver este problema: a)Primera Forma: Digamos que esta la forma trivial de realizar este proceso. Convertimos el número 1238 a un número en base 10 (la que usamos),a través de la descomposición polinómica de la siguiente forma:

Luego convertimos el número 83 a un número en base 2 (binario) a través de divisiones sucesivas:

Procedemos a escribir los números de color azul, empezando con el número que se encuentra en la parte mas inferior para terminar con la que se encuentra en la parte superior obteniendo así el número en base 2, es decir:

ó

Luego diremos que el número 123 en base 8 es equivalen al número 83 en base 10 y estos a su vez son equivalentes al número 1010011 en base 2.

Segunda Forma Examinemos la siguiente tabla, nos muestra números en el sistema decimal(de base 10), en el sistema octal(base 8) y en el sistema binario(base 2).

Vemos las equivalencias entre los valores de los distintos sistemas de numeración, por ejemplo el número 5 en base 10 es equivalente al número 5 en base 8(octal) y a su vez estos son equivalentes al número 101 en base 2(binario).

Cuando queramos convertir un número de base 2 a base 8 o viceversa es conveniente expresar los números de base 2(sistema binario) como números de 3 cifras como en la tabla.

Según la tabla vemos que 1 en base 8 es equivalente a 001 en base 2; 2 en base 8 es equivalente a 010 en base 2 y 3 en base 8 es equivalente a 011 en base 2. Ahora solo reemplazamos las equivalencias anteriores en el número 1238, obtenemos:

Despreciando los ceros de la izquierda del número anterior que esta en base 2, tenemos:

PROGRESIÓN ARITMÉTICA Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d. 8, 3, -2, -7, -12, ... 3 - 8 = -5 -2 - 3 = -5 -7 - (-2) = -5 -12 - (-7) = -5 d= -5. Término general de una progresión aritmética 1 Si conocemos el 1er término.

an = a1 + (n - 1) · d 8, 3, -2, -7, -12, .. an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13 2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión. an = ak + (n - k) · d a4= -7 y d= -5 an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13 Interpolación de términos en una progresión aritmética Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

8,

3, -2, -7 ,

-12.

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos. ai + aj = a1 + an

a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an 8, 3, -2, -7, -12, ... 3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12) -4 = -4 = -4 Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...

DIVISIBILIDAD Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta.

Criterios de divisibilidad Criterio de divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.

24, 238, 1024. Criterio de divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo

de 3.

564

5 + 6 + 4 = 15, es mútiplo de 3 2040 2 + 0 + 4 + 0 = 6, es mútiplo de 3 Criterio de divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.

45, 515, 7525. Criterio de divisibilidad por 7 Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el

número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7. 343 34 - 2 · 3 = 28, es mútiplo de 7 105 10 - 5 · 2 = 0 2261 226 - 1 · 2 = 224 Volvemos a repetir el proceso con 224. 22 - 4 · 2 = 14, es mútiplo de 7. Criterio de divisibilidad por 11 Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las

cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de 11.

121

(1 + 1) - 2 = 0 4224 (4 + 2) - (2 + 4) = 0

Otros criterios de divisblilidad : Criterio de divisibilidad por 4 Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o

múltiplo de 4.

36, 400, 1028. Criterio de divisibilidad por 6 Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.

72, 324, 2 400 Criterio de divisibilidad por 8 Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o

múltiplo de 8.

4000, 1048, 1512. Criterio de divisibilidad por 9 Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo

de 9.

81 8 + 1 = 9 3663 3 + 6 + 6 + 3 = 18, es mútiplo de 9 Criterio de divisibilidad por 10

Un número es divisible por 10, si la cifra de las

unidades es 0. 130, 1440, 10 230

Criterio de divisibilidad por 25 Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25.

500, 1025, 1875. Criterio de divisibilidad por 125 Un número es divisible por 125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125. 1000, 1 125, 4 250.

Regla de Tres La regla de tres es un instrumento muy sencillo y útil al mismo tiempo. Consiste en una sencilla operación que nos va a permitir encontrar el cuarto término de una proporción, de la que sólo conocemos tres términos. Así, por ejemplo, nos permite saber cuánto cuestan dos kilos de patatas si el cartel del mercado marca el precio

de un kilo, o calcular el precio de 150 bolígrafos si la caja de cinco unidades vale 60 céntimos de euro. Además, la regla de tres nos va a permitir operar

al mismo tiempo con elementos tan distintos como horas, kilómetros, número de trabajadores o dinero invertido. Tipos: Regla de tres simple y directa

Se aplica cuando dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, hay que calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: A más A menos

más. menos.

Ejemplos Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?

Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros. 240 km x

km

3 h 2 h

Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €, ¿cuánto pagará Ana? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más kilos, más euros. 2 kg 5

kg

0.80 € x €

Regla de tres simple inversa Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: A más A menos

menos. más.

Ejemplo Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito. 18 l/min 7 l/min

14 h x h

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.

3 obreros 6 obreros

12 h x h

Regla de tres compuesta :

La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta: Regla de tres compuesta directa

Ejemplo Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días. A más grifos, más euros

Directa.

A más horas, más euros

Directa.

9 grifos

10 horas

20 €

15 grifos

12 horas

x €

Regla de tres compuesta inversa

Ejemplo

5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias? A menos obreros, más días A más horas, menos días 5 obreros 4 obreros

6 horas

Inversa. Inversa. 2 días

7 horas

x días

Regla de tres compuesta mixta

Ejemplo Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan? A másobreros, menos días

Inversa.

A más horas, menosdías

Inversa.

A más metros, más días

Directa.

8 obreros m 10 obreros

9 días x días

6 horas 8 horas

30 50 m

11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días? 220 · 48 m²

6 días

11 obreros

300 · 56 m²

5 días

x obreros

Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

6 grifos 10 horas 400 m³ 4 grifos 500 m³

x horas

1 depósito 2 depósitos

PROMEDIO Promedio Aritmético: En matemáticas y estadisticas , la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales. Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación. Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información de una distribución (dinero en el bolsillo)

suponiendo que cada observación (persona) tuviera la misma cantidad de la variable. También la media aritmética puede ser denominada como centro de gravedad de una distribución, el cual no está necesariamente en la mitad. Una de las limitaciones de la media aritmética es que se trata de una medida muy sensible a los valores extremos; valores muy grandes tienden a aumentarla mientras que valores muy pequeños tienden a reducirla, lo que implica que puede dejar de ser representativa de la población. Dados los n números

, la media aritmética se define como:

Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:

Se utiliza la letra X con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la media de una muestra ( ), mientras que la letra µ (mu) se usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable. En otras palabras, es la suma de n valores de la variable y luego dividido por n : donde n es el número de sumandos, o en el caso de estadística.

Promedio Geométrico: En matemáticas y estadística, la media geométrica de una cantidad arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números, es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices.

Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es

Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería

Promedio Ponderado: Es una Medida de Tendencia Central, que es apropiada en el caso cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa o peso respecto de los demás datos, y se obtiene del cociente entre la suma de los productos de cada dato por su peso o ponderación y la suma de los pesos. == Concepto == Para una serie de datos

:

a la que corresponden los pesos

la media ponderada se calcula como:

Un ejemplo es la obtención de la media ponderada de las notas de en la que se asigna distinta importancia (peso) a cada una de las pruebas de que consta el examen, entonces se multiplicaría cada nota por su correspondiente peso y el resultado obtenido se divide entre la suma de los pesos asignados.

Promedio Armonico: La media armónica es un promedio muy útil en conjuntos de números que se definen en relación con alguna unidad, por ejemplo la velocidad(distancia por unidad de tiempo).

Por ejemplo, la media armónica de los números: 34, 27, 45, 55, 22, y 34 es:

Magnitudes Proporcionales: Magnitudes Directamente Proporcionales:

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando: A más corresponde más. A menos corresponde menos.

Son

magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio. Si 1 kg de tomates cuesta 1 €, 2 kg costarán 2 € y ½ kg costará 50 céntimos. Es decir: A más kilógramos de tomate más euros. A menos kilógramos de tomate menos euros.

También son directamente proporcionales:

El espacio recorrido por un móvil y el tiempo empleado. El volumen de un cuerpo y su peso. La longitud de los lados de un polígono y su área.

Magnitudes Inversamente proporcionales:

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número. Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando: A más corresponde menos. A menos corresponde más.

Son magnitudes inversamente proporcionales, la velocidad y el tiempo: A más velocidad corresponde menos tiempo. A menos velocidad corresponde más tiempo.

Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas.

Repartos proporcionales Repartos directamente proporcionales: Consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas.

Ejemplo Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno? Llamamos x, y, z a las cantidades que le corresponde a cada uno. 1º El reparto proporcional es:

2º Por la propiedad de las razones iguales:

3º Cada nieto recibirá:

Repartos inversamente proporcionales: Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un reparto directamente proporcional a las inversas de las magnitudes. Ejemplo Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno? 1º Tomamos los inversos:

2º Ponemos a común denominador:

3º Realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores: 24, 20 y 15.

Regla del Tanto Por Ciento El Tanto Por Ciento de un Número (N): Se denomina así al número de partes iguales que se toman de una cantidad N, dividida en 100 partes iguales. Para determinar el tanto por ciento de un número N, podemos recurrir a la regla de tres simple. Cantidad N X Entonces: N = 100 x = X p

Porcentaje 100% Regla de 3 directa p% p . N 100

Luego:

p% de N = p . N 100

Ejemplos: 1.

Hallar el 36% de 250. Resolvemos: 36% de 250 = 36 x 250 100 = 900 = 90 10

2. ¿Qué

tanto por ciento de 480 es 72?

Resolvemos: P% de 480 = 72 p . 480 = 72 100 p = 72 x 100 = 15 480 Tanto por ciento del tanto por ciento: Se refiere al tanto por ciento que se considera de otro tanto por ciento de un número.

• Regla Practica: Calcular el a% del b% del c% de un número N. Entonces: x = a% x b% x c% x N

Luego:

x =

a x b x c 100 100 100

x N