Aritmetica 1ro 5c452r

24 7 21 3 3

Donde: 24 = 7 x 3 + 3

17

Primer año de secundaria

Título del capítulo divisiónnaturales de números naturales MultiplicaciónMultiplicación y división de y números 7 x 41 = 41 x 7

Problemas para la clase

Prop: Bloque I

24 x 1 = 24

1. Desarrolla las siguientes multiplicaciones en tu cuaderno:

Prop:

a) 2606 x 0068

4 x 24 x 9 x 0 = 0

2708 x 1656

b)

Prop: 3(2+9)=3x2+3x9 Prop:

2. Cambie las interrogaciones por números que completen correctamente las operaciones. a)

4?8?ix ?2io 8374io 33496oio ? ? ? ? ? ? io

9(3+2)=9x5 ⇒ 3+2=5 Prop:

b)

????ix 145io 10320io 82560oio 20640ooio ? ? ? ? ? ? ? io

521 x 3 = 1 563 Prop:

Bloque II 1. ¿Cuántas horas hay en una semana?, ¿y en un año no bisiesto?

3. Cambie las letras por dígitos que completen correctamente las operaciones. Si una letra se repite en una suma debe cambiarse siempre por el mismo dígito en esa operación. a)

A979ix AAio B187Bio B187Boio BA0A1Bio

b)

47K4ix K8io T8T52io 4T146oio 46K812io

c)

2. ¿Cuántos minutos hay en un día?, ¿y en una semana?, ¿y en un mes?

YY50ix YZZio 8900io 8900oio 17800ooio 1877900io

3. En una fábrica de telas se compraron 57 docenas de carretes de hilo, a $ 106 el carrete. ¿Cuánto se gastó en hilo? 4. Un automóvil viajó durante tres horas a una velocidad constante de 60 kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros viajó?

4. Realiza las siguientes operaciones en tu cuaderno y escribe el dividendo como el cociente por el divisor más el residuo. a) b) c) d) e)

5. Jesús compró tres camisas a $ 85 y cuatro pantalones a $ 85. ¿Cuánto gastó?

1 234 : 8 2 396 : 17 1 331 : 11 543 : 87 19 827 :121

6. Liliana compró tres blusas a $ 65 y tres faldas a $ 115. ¿Cuánto gastó? 7. Se cargaron 25 camionetas, cada una con 34 cajas de 10 kg y con 21 cajas de 7 kg. ¿Cuántos kilogramos se cargó?

5. Completa el siguiente cuadro escribiendo la propiedad correspondiente a cada operación indicada:

8. Se cargaron 25 camionetas, cada una con 15 cajas de 12 kg de leche descremada y con 11 cajas de 12 kg de leche entera. ¿Cuántos kilogramos se cargaron?

5(7+1)=5x8 ⇒ 7+1=8 Prop: 7x8=8x7

Bloque III

Prop: 8–2=6 ⇒ 3(8–2)=3x6

1. A Felipe le pagaron el año pasado $15 990 con todo y aguinaldo. Si el aguinaldo es el equivalente a un mes de sueldo, ¿cuál fue el salario mensual de Felipe?

Prop: 7 x 6 x 18 x 0 x 11 = 0 Prop:

2. Se desea guardar 427 envases de jugo en cajas en las que caben 24 envases. ¿Cuántas cajas se llenan?, ¿cuántos envases sobran?, ¿cuántas cajas se necesitan si se desea guardar todos los envases?

6x(3x5)=(6x3)x5 Prop: 18


Título del capítulo divisiónnaturales de números naturales MultiplicaciónMultiplicación y división de y números 7. Marcela decidió gastar $ 1 000 en ropa. Compró dos pares de zapatos de $ 195, tres faldas de $ 79, cuatro blusas de $ 57 y un suéter de $ 126. ¿Cuánto dinero le sobró?

3. Se desea transportar a 128 personas en camionetas en las que caben 10 pasajeros. ¿Cuántas camionetas se necesitan? 4. Se cuenta con cinco autobuses para transportar a 134 personas. ¿Cuántas personas deben ir en cada autobús para que queden repartidas de la manera más pareja posible?

8. Iván y Esaú se fueron de viaje y acordaron que uno pagaba la comida y el otro el hotel. Esaú pagó las comidas; las cuentas son de $ 45, $ 134, $ 78, $ 57, $ 241, $ 50 y $ 33. Iván pagó el hotel: dejó $ 600 a cuenta pero le devolvieron $ 200 porque se quedaron una noche menos de lo previsto. ¿Cuánto dinero le debe dar quién a quién para que los gastos queden repartidos equitativamente?

5. De un frasco de botones se utilizaron 6 botones para cada uno de 27 sacos, y sobraron 3 botones. ¿Cuántos botones había en el frasco? 6. De un frasco con 300 botones se utilizaron 8 para cada saco y sobraron 4 botones. ¿A cuántos sacos se les puso botones?

Autoevaluación 1. Es un ejemplo de la propiedad distributiva de la multiplicación. a) b) c) d) e)

5. Un terreno como el que se muestra en el croquis tiene un lado bordeado con un muro. Se desea poner cinco hileras de alambre de púas en los lados restantes, con postes cada 5 m, incluyendo uno en cada esquina del muro.

5x8=8x5 5 ( 3 + 9 ) = 5 x 12 ⇒ 3 + 9 = 12 7(5+4)=7x5 + 7x4 (8x2)x3=8x(2x3) 4 x 5 x 6 x 0 x 45 = 0

65 m

2. En un bosque de 72 hectáreas hay 1 620 árboles por hectárea. ¿Cuántos árboles tiene el bosque? a) 11 664 d) 116 640

b) 116 650 e) 11 665

b) 8 e) 6

40 m

c) 116 645

a) b) c) d) e)

c) 9

315 m de alambre y 64 postes 1 575 m de alambre y 315 postes 1 575 m de alambre y 65 postes 1 575 m de alambre y 63 postes 1 575 m de alambre y 64 postes

c) 6 y 9

Claves 1. c 2. d 3. b 4. a 5. e

b) 5 y 10 e) 12 y 3

90 m

¿Cuántos metros de alambre y cuántos postes se necesitan?

4. Hallar los restos por DEFECTO y por EXCESO en la siguiente división: 89 809 ÷ 15 a) 4 y 11 d) 8 y 7

50 m

70 m

3. Se cuenta con $ 832 para comprar discos que cuestan a $ 95 cada uno. ¿Para cuántos discos alcanza? a) 7 d) 10

muro

19


COLEGIO

Conjunto de los números enteros (ZZ )

TRILCE

Capítulo IV LA CONTRASEÑA Un grupo de policías está investigando a un grupo de delicuentes que trafican en un local bien custodiado. Desde un coche camuflado vigilan la entrada al local. Quieren infiltrar a un grupo de policías, pero no saben la contraseña. En ese momento llega un cliente. Llama a la puerta y desde el interior le dicen: “18”. El cliente responde: “9”. La puerta se abre y accede al interior. Los policías se miran, creen tener la respuesta. Pero deciden esperar. Viene otro cliente. Desde dentro le dicen: “8”. Él responde: “4”. La puerta se abre. Los policías sonríen. “Ya lo tenemos. Se trata de responder la mitad del número que te dicen desde dentro”. Llega otro cliente. Desde dentro dicen: “14”. El cliente contesta: “7”. La puerta se abre. “¿Lo veis?” dice el jefe de policía. Deciden enviar a un agente. Llama a la puerta. Desde dentro le dicen: “0”. El policía se queda parado. Después de unos breves segundos responde: “0”. Se oye una ráfaga de disparos y el policía muere. Los agentes que hay en el coche se quedan sorprendidos, pero deciden enviar a otro agente. Desde dentro se oye: “6”. El policía contesta muy convencido: “3”. Pero la puerta no se abre. Se oye una ráfaga de disparos y el policía muere. ¿Por qué?

INTRODUCCIÓN

De esta manera, el ámbito numérico se nos agranda hacia la izquierda de la recta numérica, donde el 0 es el origen.

En el conjunto de los números naturales (lN) la sustracción donde el minuendo era mayor que el sustraendo NO tenía solución, como por ejemplo: 5 - 8. Investigemos este tipo de situaciones, representamos 5 - 8 en la recta numérica.

0

Ubicaremos los enteros que ya conocemos, por convención, a la derecha del 0, y ahora los llamaremos enteros positivos. Estos números no necesitan llevar ningún signo +, pero para identificarlos mejor, los escribiremos con su signo. Así:

... ? ? ? ? ? 0 1 2 3 4 5 6 7 ... Como podemos ver, si se conocieran los números que están ubicados a la izquierda del CERO ... ¡estaría resuelto el problema! Veamos: ·

El punto que está ubicado a una unidad a la izquierda del cero, representa el número entero -1

·

El punto que está ubicado a dos unidades de la izquierda del cero, representa el número entero -2

·

El punto que está ubicado a "n" unidades a la izquierda del cero, representa el número entero "-n"

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 . . . Enteros positivos Al conjunto de los enteros positivos se le reconoce como ZZ +. Hacia la izquierda del 0, colocaremos los números enteros negativos. Estos van a la misma distancia del 0 que los enteros positivos. A los enteros negativos no les puede faltar el signo - . Los enteros negativos se simbolizan como ZZ -.

. . . -7 - 6 -5 -4 -3 -2 -1 0

Ahora podemos responder: ¿qué número entero es el resultado de 5 - 8? Sería -3.

Enteros negativos

Nos encontramos frente a un nuevo conjunto numérico.

Como los enteros negativos están a la misma distancia del 0 que los positivos, se les llama opuestos. Entonces, -5 es el opuesto de +5.

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (ZZ)

-5

El conjunto de los números enteros permite resolver las sustracciones donde el minuendo es mayor que el sustraendo, además que nos permite también expresar 12º bajo cero, como: -12º y se lee "menos 12 grados". También, si se debe S/.5 000, decir: -S/.5 000, que se lee "menos S/.5 000"; o si retrocedemos 49, señalar -49, etc.

0

+5

Resumiendo ... El conjunto de los números enteros está formado por los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. 21

Colegio TRILCE

Título del capítulo Conjunto de Znúmeros enteros ( ZZ) Conjunto de los números enteros Z -7 - 6 -5 -4 -3 -2 -1

0

SIGNO Y VALOR ABSOLUTO

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

Un número entero tiene dos partes: el signo y su valor absoluto.

En símbolos ZZ= {ZZ - U {0} U ZZ +}

El signo puede ser positivo, +, o negativo, -. RELACIÓN DE ORDEN EN ZZ

El valor absoluto puede definirse como su distancia al 0 en la recta numérica o la cantidad de unidades que tiene.

ZZ es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay números enteros mayores o menores que otros.

Por ejemplo, observa:

Un número es mayor que otro si su representación en la recta numérica está más a la derecha; por ejemplo 4 es mayor que 1 (se representa 4 > 1). Un número es menor que otro si su representación en la recta está más a la izquierda; por ejemplo, 2 es menor que 5 (se representa 2 < 5).

-28 tiene signo "-" y su valor absoluto es 28. Para simbolizar el valor absoluto de un número, lo encerramos entre dos barras. Por ejemplo: Si queremos indicar el valor absoluto de -49, escribiremos l-49l = 49

Analicemos los siguientes ejemplos: ·

Ordenaremos de menor a mayor +7, -6, +4 y -2 en la recta numérica, a partir del 0. Así, tenemos que: -7 - 6 -5 -4 -3 -2 -1

* l+10l = 10 * l-10l = 10

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

Nos quedó pendiente determinar una fórmula para encontrar un orden sólo entre enteros positivos o sólo entre enteros negativos. Aplicamos el concepto de valor absoluto.

El número menor es -6, porque es el que está más a la izquierda; luego viene el -2, el 4 y el 7. En símbolos queda: -6 < -2 < +4 < +7 ·

·

En el siguiente ejemplo, ordenaremos de mayor a menor -1, +2, +5 , 0 y -3. Tenemos: -7 - 6 -5 -4 -3 -2 -1

+300 > +40 > +9

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

Mientras más lejos de 0 esté un número entero positivo, su valor es mayor, porque está más a la derecha.

El número mayor es +5 y el menor es -3. Nos queda: +5 > +2 >0 > -1 >-3

·

Analizando los ejemplo anteriores, podemos sacar algunas conclusiones muy importantes. Estas nos servirán para ordenar números enteros sin dibujar la recta numérica: ·

Todo número entero positivo es mayor que 0.

·

Todo número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.

·

Todo número entero negativo es menor que 0.

·

Todo número entero negativo es menor que cualquier entero positivo.

En los enteros negativos sucede lo contrario: mientras más lejos de 0, su valor es menor, porque está más a la izquierda en la recta numérica.

Esta conclusión nos permite determinar que en los enteros negativos, es mayor el que tiene menos valor absoluto. Por ejemplo, ordenaremos de menor a mayor -40, -9, 300. El menor es -300, porque tiene el valor absoluto mayor, le sigue -40 y luego -9. -300 < -40 < -9 Antecesor y sucesor Otra característica que representa el conjunto de los números enteros, es que cada número tiene antecesor y sucesor.

Si expresamos estas conclusiones en símbolos, tenemos: ZZ+ > 0 ZZ- < 0

Entre enteros positivos, es mayor el que tiene un valor absoluto mayor. Por ejemplo, si ordenamos +40, +9, +300 de mayor a menor, tenemos que: el mayor valor absoluto lo tiene 300, luego sigue 40 y finalmente 9. Entonces decimos:

ZZ+ > ZZZZ- < ZZ+

Para cualquier número, es antecesor el que se ubica inmediatamente a la izquierda de él y es sucesor, el que está inmediatamente a su derecha.

22


Título del capítulo Conjunto de Znúmeros enteros ( ZZ) Conjunto de los números enteros Z Observa:

5. Colocar el signo ">" (mayor que) o "<" (menor que) según corresponda: número antecesor

-7 - 6 -5 -4 -3 -2 -1

antecesor

sucesor

sucesor

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 antecesor

número

+34 ..... +17

-6 ..... +12

+7 ..... +16

45 ..... -1

- 6 ..... - 8

-16 ..... 10

- 9 ..... - 7

0 ..... 24

-150 ..... -135

-4 ..... 0

sucesor número

En los números naturales, el 0 (cero) no tenía antecesor, en cambio, en los números enteros, todo número tiene antecesor y sucesor.

6. En la siguiente recta numérica, las letras representan números enteros. m a z p 0 b j q


Completen con el signo >, < ó =.

Bloque I

z ..... j z ..... a z ..... m b ..... a

1. Expresa las siguientes situaciones con números enteros: a) b) c) d) e)

Siete grados bajo cero. La altitud de un pico es de 1 205 m. El buzo está a 32 metros de profundidad. El avión vuela a 8 500 m de altura. Veinte años antes de Cristo.

7. Recuerden que esta expresión l-nl significa "valor absoluto del número -n". Nuevamente indiquen >; < ó =. +8 ..... l+8l 0 ..... l-4l 0 ..... -4 l-4l ..... l-12l l-250l ..... l-252l

2. Escribe en tu cuaderno los números enteros comprendidos entre: a) b) c) d) e)

-4 y +3 -5 y +5 -10 y -2 -8 y +1 +5 y +12

l7l ..... l-7l -135 ..... 135 -135 ..... l135l l135l ..... -135 -250 ..... -252

8. Trabaja con la siguiente recta numérica:

...

3. ¿Cuándo estoy financieramente mejor? a) b) c) d)

z ..... p z ..... 0 z ..... z p ..... q

a

0 1

b ...

a) Marca en ella los opuestos de "a" y de "b".

Si tengo S/.500 ó si tengo S/.159 Si debo S/.200 ó si tengo S/.8 Si debo S/.40 ó si debo S/.45 Si no tengo dinero o si debo S/.60

b) ¿Qué signo tiene "a"? ¿Cómo te das cuenta? ¿Y su opuesto? c) ¿Qué signo tiene "b"? ¿Y su opuesto?

4. En cada caso, uno de los hombres mencionados es el padre y el otro es el hijo. Decida cuál es cada uno de ellos.

d) Ordena los seis números de mayor a menor:

a) Manrique nació en el año 135 a.C. y José nació en el año 158 a.C. b) Jorge nació en el año 18 d.C. y Pedro nació en al año 7 a.C. c) Marcelo nació en el año 1547 d.C., y Julián en el año 1578 d.C. d) Roberto nació en el año cero de nuestra era y Humberto en el 40 a.C.

9. Completa: a) b) c) d) e)

23

el opuesto de +2 es .............. el opuesto de -8 es .............. el opuesto de +15 es .............. el negativo de +50 es .............. el negativo de -30 es ..............


Título del capítulo Conjunto de Znúmeros enteros ( ZZ) Conjunto de los números enteros Z 10.Calcular:

5. Encuentre un número:

a) el opuesto del negativo de -7.

a) tres unidades mayor que 12

b) el negativo del opuesto de +12.

b) tres unidades mayor que -12 c) dos decenas menor que 34

Bloque II

d) dos decenas menor que -34

Resuelve en tu cuaderno:

e) una centena mayor que 125

1. En cada inciso ordene los números de menor a mayor y escriba entre ellos el símbolo > o el símbolo <, según corresponda.

f) una centena mayor que -125 g) una centena menor que 50

a) 2; 1; 4; -1; -8; -2

h) una centena mayor que -50

b) 63; 47; 89; -83; -85; -64

6. En rectas numéricas represente:

c) 286; 884; -572; -433

a) los números: 0; 10; -10; 20; -20; 30 y -30

d) 7 525; 2 996; 6 477; -6 214; -8 357; -3 234

b) los números: -27; -28; -29; -30; -31

2. En cada inciso ordene los números de mayor a menor y escriba entre ellos el símbolo > o el símbolo <, según corresponda:

c) los números: 0; -1; -2; -3; -4; 1; 2; 3; 4 7. Conteste las siguientes preguntas y exprese la situación con símbolos:

a) 40; -32; 28; 77; 0 b) 3; 5; -9; -2; 7; 18

a) El lunes, Doña Petra debía en la tienda de la esquina $45. El viernes siguiente debía $434. ¿Mejoró o empeoró su situación?

c) 3 241; -5 008; 2 126; 999; -876 d) 18; -59; -23; 132; -6; -220

b) En Puno, el día 17 de enero estaban a 5º bajo cero, y el 20 estaban a 7º bajo cero. ¿Qué día fue más alta la temperatura?

3. Encuentre el valor absoluto de los siguientes números: a) 186 d) -174

b) -30 e) 320

c) 60 f) -109

c) El buzo A, baja a 70 metros bajo el nivel del mar, y el buzo B baja a 81 metros bajo el nivel del mar. ¿Cuál de los dos está más cerca de la superficie?

4. Encuentre todos los números enteros que son:

d) El saldo de la empresa "Caluro S.A." es de $12 807 en números rojos, y el de la empresa "Forzo S.A." es de $6 014 en números negros. ¿Cuál de las dos empresas está en mejor situación?

a) mayores o iguales que 23 y menores que 32 b) mayores que 0 y menores o igual a 13 c) mayores que -2 y menores que 3

8. Escribe el antecesor y el sucesor de los siguientes números:

d) mayores que -7 y menores que -1

a) -105 d) -9 001

24

b) 392 e) 3 415

c) -5 001 f) -4 999


Título del capítulo Conjunto de Znúmeros enteros ( ZZ) Conjunto de los números enteros Z Autoevaluación

1. Ordena los siguientes números de menor a mayor:

3. ¿Cuál es el número entero que es una decena mayor que -18?

-3; +15; -1; +3; -8; +1; 0 4. Si Juan nació en el año 24 a.C. y Víctor el año 18 d.C. ¿Quién es el mayor?

2. Escribe el signo: >; < ó =, según corresponda: -5 ..... -4 5 ..... 4 -150 ..... -350 -48 ..... +30

5. Encuentra un número una centena menor que 50.

Claves: 1. -8; -3; -1; 0; 1; 3; 15 2. <; >; >; < 3. -8 4. Juan 5. -50

a) b) c) d)

25


COLEGIO

Adición y sustracción de números enteros

TRILCE

Capítulo V Problema concurso I

No te rindas muy pronto, pues hay por lo menos 5 formas distintas de hacerlo. ¡Suerte!

Utilizando los dígitos: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9 (en ese orden) y sólo las operaciones de adición y sustracción, obtén el número 100.

100 = .................................. 100 = .................................. 100 = ..................................

Ojo: Debes usar cada dígito una sola vez, además, si deseas puedes unirlos para formar nuevos números; por ejemplo, 12; 34; 123; 45; etc.

100 = .................................. 100 = ..................................

INTERPRETACIÓN DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Resumiendo estas operaciones: (+4) + (+6) = (+10)

Imaginemos que nos vamos a desplazar en la recta numérica, en la cual el número cero será nuestro punto de referencia de donde vamos a iniciar nuestro camino. Luego, podremos interpretar la adición de números enteros, asignando números positivos a la distancia que nos vamos a desplazar hacia la derecha (avanzar) y números negativos si nos desplazamos hacia la izquierda (retroceder). Veamos:

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

avanzo 6 4

5

6

7

8

9 10 11

nuestro desplazamiento es: (+4) + (+6) = (+10) * Primero avanzamos 4 m y luego retrocedemos 6 m.

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

* Ahora, primero retrocedo 4 m y luego avanzo 6 m. avanzo 6 retrocedo 4 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

* Primero retrocedemos 4 m y luego retrocedo 6 m más. retrocedo 4

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

b) (+40) + (+10) = (+50)

2. Para sumar números enteros de DISTINTO SIGNO, restamos los valores absolutos (el mayor MENOS el menor), y el signo del resultado es el del MAYOR valor absoluto. Ejemplos:

nuestro desplazamiento es: (-4) + (+6) = (+2)

retrocedo 6

1. Para sumar números enteros del MISMO SIGNO, sumamos los valores absolutos, y el signo del resultado es el mismo de los sumandos.

c) (-300) + (-100) = (-400)

nuestro desplazamiento es: (+4) + (-6) = (-2)

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ahora, podemos establecer la siguiente ...

a) (-12) + (-8) = (-20)

avanzo 4 0

(- 4) + (- 6) = (-10)

Ejemplos:

retrocedo 6

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

(- 4) + (+6) = (+2)i

REGLA DE SIGNOS EN LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

* Primero avanzamos 4 m y luego avanzamos 6 m más. avanzo 4

(+4) + (- 6) = (- 2)ii

a) (-15) + (+5) = (-10) b) (-15) + (+20) = (+5)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

c) (+8) + (-9) = (-1)

nuestro desplazamiento es: (-4) + (-6) = (-10) 27

Colegio TRILCE

Título del capítulo Adicióndey números sustracción de números enteros Adición y sustracción enteros PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN ZZ

El opuesto de (+5) es (-5), pues (+5) + (-5) = 0 El opuesto de (-13) es (+13), pues (-13) + (+13) = 0

1. Propiedad de clausura

6. Propiedad de monotonía

"La suma de dos números enteros es otro número entero". Si: a ∈ ZZ y b ∈ ZZ

"Dada una igualdad, podemos sumar a ambos , un mismo entero, resultando entonces otra igualdad".

(a+b) ∈ ZZ

Ejemplo: (+7) ∈ ZZ y (-5) ∈ ZZ

Si: a+b=c entonces: a + b + p = c + p

(+7) + (-5) = (+2) ∈ ZZ Ejemplo:

2. Propiedad conmutativa

(-3) + (+1) = (-2)

"El orden de los sumandos no altera la suma".

(-3) + (+1) + (+8) = (-2) + (+8)

a+b=b+a 7. Propiedad cancelativa

Ejemplo

"Dada una igualdad, si hay un mismo sumando entero en ambos podemos cancelarlo obteniendo entonces otra igualdad".

(-9) + (+3) = (+3) + (-9) 3. Propiedad asociativa

Si: a + b + p = c + p entonces: a + b = c =coooooooooooo

"La forma como se agrupen los sumandos no altera la suma".

Ejemplo:

(a + b) + c = a + (b + c)

(-3) + (+8) = (-1) + (-2) + (+8)

Ejemplo: [(-3) + (-2)]+(+1) = (-3) + [(-2) + (+1)] (-5) + (+1) = (-3) + (-1) (-4) = (-4)

(-3) = (-1) + (-2)

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

4. Elemento neutro "El elemento neutro de la adición es el CERO. Si sumamos cualquier número entero a con el CERO, el resultado también es a".

Para hallar la diferencia de dos números enteros transformamos la sustracción en una adición del minuendo con el opuesto del sustraendo. Ejemplo:

a+0=a

Minuendo Sustraendo

Ejemplo:

a) Efectuar:

(-8) - (-3)

(-357) + 0 = -357 El opuesto del sustraendo es (+3) 5. Elemento opuesto o simétrico

La sustracción convertida en ADICIÓN:

"Un número entero es el opuesto de otro, si sumados dan como resultado CERO".

(-8) + (+3) = (-5)

a + (-a) = 0 Ejemplo:

28


Título del capítulo Adicióndey números sustracción de números enteros Adición y sustracción enteros (-10 + 0) = -10


Propiedad aplicada: Bloque I

(-24) + (+24) = 0

I. Efectuar las siguientes sumas:

Propiedad aplicada:

(+7) + (0) = (+7)º

1. (+3) + (+8)

Propiedad aplicada:

(-37) + (+37) = 0

2. (+9) + (-3)

Propiedad aplicada:

3. (-8) + (+5)

(-4) + (-7) = (-7) + (-4)º Propiedad aplicada:

4. (-8) + (-7)

Si:

5. (-3) + (-3)

(-1) + (-10) = (-1) + (-8) + (-2) (-10) = (-8) + (-2)

entonces:

6. (-9) + (+9)

Propiedad aplicada: Si:

7. (+24) + (+32)

(-3) + (-5) = (-9) + (+4) + (-3) (-5) = (-9) + (+4)

entonces:

8. (+9)+(-3)+(-6)

Propiedad aplicada:

(-23) + (0) = -23

9. (+11)+(-9) + (-3)

Propiedad aplicada:

10. (-17)+(-15)+(+32)

(-16)=(-11)+(-5)

Si: entonces:

II. Efectuar las siguientes sustracciones:

(-10)+(-16)=(-10)+(-11)+(-5)

Propiedad aplicada:

1. (+9) - (+3)

B. Efectuar:

2. (+8) - (+9) 3. (+6)-(+12)

1. -3 + 8 - 2 - 5

4. (+3) - (+2)

2. 7 + 37 - 9 + 2

5. (+7) - (+9)

3. 25 - 50 - 100 + 125

6. (+11) - (-3) 7. (+18) - (-9)

4. -8 - 9 - 10 + 11 + 12

8. (+24) - (-2)

5. (-3 + 8) - (4 - 15)

9. (+31) - (-9)

6. (-31 + 20) + (-8 - 15)

10. (-24) - (-3)

7. [-15 - (14 - 13) + 8] Bloque II

8. [15 - (12 - 15)] - (15 - 12)

A. Completa el siguiente cuadro escribiendo la propiedad de la adición de números enteros aplicada.

C. Efectuar:

(+9) + (-2) = (-2) + (+9)

1. {-5 + 7 - [8 - 9 - 10] + 3} - {[-(-5 - 8) + 10] - 20}

Propiedad aplicada:

(-3) + (-8) = -11

a) -13 d) -19

Propiedad aplicada: 29

b) 21 e) 13

c) 19


Título del capítulo Conjunto de Znúmeros enteros ( ZZ) Conjunto de los números enteros Z 2. {8 - 15 - [(3 - 8 + 9) - 13] + 5} a) 8 d) -8

b) 7 e) 0

6. -5 - {-8 - [-7 - 6 - (-5 - 4)] - 3 - 2} -1

c) -7

a) -3 d) -5

3. [3 + 8 - 12 + (15 - 17) + 3] - 8 + 9 a) 1 d) 11

b) -1 e) 17

b) -9 e) 0

c) -4

7. 45 - {-78 + 90 - [-100 + 101]} - (150 - 157)

c) 0

a) 41 d) -41

4. -{-[-9 - 9 -(9 - 9 - 9)] - 9} a) 9 d) +18

b) +3 e) -6

b) 27 e) 34

c) -27

8. -{7 + [5 - (-7 - 2)]} + 5 - {-[9 - (14 - 5) + 3] - 5} 8 c) -18 a) 21 d) -16

b) 42 e) 16

c) -21

5. {-[-9 + 8 - (-3 - 7)] + [-8 - (7 + 9 + 8) - 15]} a) 38 d) 56

b) 36 e) -56

c) -37

Autoevaluación 1. Hallar "A + B" , si: A = (-5) + ( -19 ) B = (+25) - (-23) a) (-22) d) (-72)

b) (-24) e) (+24)

4. El opuesto del negativo de (+3) es : a) (+3) d) (+1/3)

c) (+72)

b) (-14) e) (-6)

c) (-1/3)

5. Efectuar:

2. En la mañana Polonia amaneció con 5 ºC de temperatura, si durante el día la temperatura disminuyó 9 ºC, ¿cuál es su nueva temperatura? a) (+14) d) (-9)

b) (-3) e) N.A.

- {-15 + 18 - [- 47 +18 - (- 5 - 9) + 9] - 9} a) 0 d) 3

c) (-4)

b) 1 e) 4

c) 2

3. Es un ejemplo de la propiedad asociativa de la Adición: (-15) + (-19) = (-19) + (-15) (-15) + [ (-19) + (+23) ]= [ (-19) + (-15) ] + (+23) (+56) + 0 = (+56) (+29) + (-45) = (-16) Si: (-15) + (-19) = (-15) + (-10) + (-9) entonces: (-19) = (-10) +(-9)

Claves: 1.e 2.c 3.b 4.a 5.a

a) b) c) d) e)

30


COLEGIO

Multiplicación y división de números enteros

TRILCE

Capítulo VI Problema concurso II Utilizando las cuatro operaciones fundamentales y los dígitos 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9 (en ese orden) obtener el número 100. Ojo: Ya sabes que debes usar cada dígito una sola vez, puedes unirlos y además que sean diferentes a las del capítulo anterior. 100 = .................................. 100 = .................................. 100 = .................................. 100 = .................................. 100 = ..................................

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Ejemplo: a. (+3) (+2) (+5) = (+30)

Regla de signos para la multiplicación de números enteros:

b. (+4) (+7) (+1) (+2) = (+56)

1. "Si dos números enteros tienen el mismo signo, su producto tendrá signo positivo". Ejemplo:

2. Si algunos de los factores son de signo negativo, tendremos en cuenta la cantidad de estos factores.

(-5) x (-3) = (+15)

2.1.

(+8) x (+2) =(+16) 2. "Si dos números enteros tienen distinto signo, su producto tendrá signo negativo". Ejemplo:

Si la cantidad de factores que tienen signo negativo es un número PAR, el producto total es de signo positivo.

Ejemplo: a. (-2) (-3) (-1) (-4) = (+24)

(-5) x (+3) = (-15)

Nº de factotes negativos: 4 ¡PAR!

(+8) x (-2) = (-16)

b. (+5) (-3) (+2) (+4) (-1) = (+120)

En resumen:

Nº de factotes negativos: 2 ¡PAR! (+)(+)=(+) (-)(-) =(+) (+)(-)=(-) (-)(+)=(-)

2.2

Si la cantidad de factores que tienen signo negativo es un número IMPAR, el producto total es de signo NEGATIVO.

Ejemplos:

Observación: Una multiplicación como: (+5) x (-3) también puede ser expresada así: (+5) (-3)

a. (-8)(-2) (-1) (+3) = (-48) Nº de factores negativos: 3 ¡IMPAR!

Observación: De la regla de signos para la multiplicación se desprende lo siguiente al multiplicar dos o más factores.

b. (+3) (+4) (-9) (+1) = (-108) Nº de factores negativos: 1 ¡IMPAR!

1. Si todos los factores tienen signo POSITIVO, el producto también es POSITIVO. 31

Colegio TRILCE

Título del capítulo Multiplicación y división de números enteros Multiplicación y división de números enteros PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Ejemplo:

1. Propiedad de clausura

6. Propiedad de monotonía

"El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número también entero".

"Si multiplicamos ambos de una igualdad por un mismo número entero, obtenemos otra igualdad".

Si: a ∈ ZZ y b ∈ ZZ ⇒ a x b ∈ ZZ

Si: a = b ⇒ a x c = b x c

Ejemplo:

Si: (-3) ∈ ZZ y (+4) ∈ ZZ entonces: (-3)(+4) = (-12) ∈ ZZ

Ejemplo:

(- 2) (-7) = (+ 14) multiplicamos ambos por (+3) (-2) (-7) (+3) = (+14) (+3) + 42 = +42

2. Propiedad conmutativa "El orden de los factores no altera el producto".

7. Propiedad cancelativa

axb=bxa Ejemplo:

"Si en ambos de una igualdad, aparece como factor un mismo número entero DIFERENTE DE CERO, éste puede cancelarse o suprimirse".

(+13) (-3) = (-3) (+13) (-39) = -39

Si: a x c = b x c y además c ≠ 0 entonces a = b

3. Propiedad asociativa

Ejemplo:

Si: (-3) (+4) (-6) = (-3) (-8) (+3) entonces: (+4) (-6) = (-8) (+3) -24 = -24

"La forma como se agrupen los factores, no altera el producto". (a x b) x c = a x (b x c) Ejemplo:

8. Propiedad distributiva

[(-5) (+2)] (-3) = (-5) [(+2)(-3)] (-10) (-3) = (-5) (-6) +30 = +30

"Si un número entero multiplica a una ADICIÓN, resulta la suma de los productos de dicho número entero por cada uno de los sumandos".

4. Elemento neutro

a x (b + c) = a x b + a x c Ejemplo:

"El elemento neutro de la multiplicación de números enteros es el +1. Cualquier número entero multiplicado por el elemento neutro da como producto el mismo número entero".

(-6)[(+4) + (-3)] = (-6) (+4) + (-6) (-3) (-6) [+1] = (-24) + (+18) (-6) = (-6)

a x (+1) = a Ejemplo:

(-1 532) (+742) (-3) (0) (-1) = 0

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

(+157) (+1) = +157

Regla de signos para la división de números enteros: 5. Elemento absorvente

1. Al dividir dos números enteros del MISMO SIGNO, el cociente obtenido es de SIGNO POSITIVO.

"El elemento absorvente de la multiplicación de números enteros es el CERO. En cualquiermultiplicación de dos o más factores, si al menos UNO DE ELLOS es CERO, entonces el producto es cero".

Ejemplos: ( +20 ) ÷ ( +4 ) = ( +5 ) ( - 40 ) ÷ ( - 5 ) = ( +8 )

ax0=0 32


Título del capítulo Multiplicación y división de números enteros Multiplicación y división de números enteros 2. Al dividir dos números enteros de DISTINTO SIGNO, el cociente obtenido es de SIGNO NEGATIVO.

(-9) (-11) ( 0 ) (+3) = 0 Propiedad

Ejemplo:

(-2) [(+5) + (-8)] = (-2) (+5) + (-2) (-8)

(+20) ÷ ( - 5 ) = ( - 4 )

Propiedad

(- 40) ÷ ( +8 ) = ( - 5 )

Propiedad

(+15) (-11) = -165 Si: (-3) (+12) (+4) = (-2) (+18) (+4)

En resumen: (+) ÷ (+) = (+)

entonces: (-3) (+12) = (-2) (+18)

(-) ÷ (-) = (+) (+) ÷ (-) = (-)

Propiedad (-3 542) (+987) = (+987) (-3 542)

(-) ÷ (+) = (-)

Propiedad (-1) (+365) = (+365) (-1)

Observación: Las reglas de signos de la multiplicación y división de números enteros son similares

Propiedad III. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones: 1. (-9) (-3) 2. (+9) (-2)


3. (-10) (+3)

Bloque I

4. (+3) (-2) (+4) (+5)

I. Completa el siguiente cuadro efectuando las multiplicaciones indicadas. +6

-8

-4

+3

-10

5. (-1) (-2) (-3) (-4) 6. (-4) (+10) (+3)

+9

7. (+2) (-2) (+2) (-2) (-2)

-2

8. (-2) (+2) (-3) (+4) (-5)

-3

9. (-1) (+2) (-3) (+4) (-5)

+5

10.(-3) (-3) (-3) (+2) (+2)

+4

−2) (−2) (−2) ... (−2) (−2) 11. (   

+2

8 veces

-7

12. (−1) (−1) (−1) ... (−1)    30 veces

II. Completa el siguiente cuadro escribiendo las propiedades de la multiplicación de números enteros aplicadas en cada expresión dada:

−1) (−1) (−1) ... (−1) 13. (    101 veces

−1) (+1) (−1) (+1)... (−1) (+1) 14. (   

(- 8) (-342) = (-342) (- 8)

34

Propiedad

15.(+5 - 3) (+5 - 2) (+5 - 1) (+1 - 5)

(- 5) ( 0 ) = 0 Propiedad

16. (−1) (+1) (−1) (+1)...   

(+1) (-100) = -100

13 factores

Propiedad

−1 ) (− 3 ) (− 1)  (− 3)... 17. (   

Si: (- 6) (+2) = (-12)

7 factores

entonces: (- 6) (+2) (-10) = (-12) (-10) 18.(-9) (-8) (-7) (-6) (+5 - 3 - 2)

Propiedad 33


Título del capítulo Multiplicación y división de números enteros Multiplicación y división de números enteros a) b) c) d) e)

19.(-8) (+2) (-1) (+4) (-3 +3) 20.(+12 -20)(+12 -19)(+12 -18)(+12 -17) ... (+12 -2)(+12 -1)

Bloque II

2. Si en una multiplicación de tres enteros se duplica cada uno de ellos, ¿qué sucede con el producto?

I. Completa el siguiente cuadro efectuando las divisiones indicadas. Coloca un aspa si la división es inexacta. -1

+2

-2

+3

-4

-5

queda multiplicado por 2 queda dividido por 2 queda multiplicado por 4 queda dividido por 4 no se altera

a) b) c) d) e)

- 11

+110 +12

queda multiplicado por 2 queda multiplicado por 4 queda multiplicado por 6 queda multiplicado por 8 no se altera

3. Luego de dividir el menor número entero de dos cifras entre (+9) el cociente es:

-15

a) +11 d) +9

-24 +100

b) -11 e) +1

c) +10

4. Al dividir el mayor número entero de tres cifras diferentes entre el opuesto de (+3), el cociente es:

-120

a) -333 d) +329

+440

(-32) ÷ (+16)

2.

(+320) ÷ (-16)

3.

(+480) ÷ (-120)

4.

(-1 000) ÷ (-50)

5.

(-132) ÷ (+12)

6.

(512) ÷ (-8)

7.

(-1 024) ÷ (-8)

8.

(+ 444) ÷ (+11)

9.

(-3 522) ÷ (-3)

c) -329

5. Tengo S/.101 y quiero dar S/.15 de propina a cada uno de mis 7 sobrinos, ¿cuánto dinero me falta?

II. Efectuar: 1.

b) +333 e) +309

a) S/.2 d) 8

b) 4 e) 105

c) 6

6. Se tiene una multiplicación de 2 factores. Si se duplica uno de ellos y se triplica el otro, ¿en cuanto varía el producto inicial? a) b) c) d) e)

queda multiplicado por 12 queda multiplicado por 6 queda multiplicado por 5 queda dividido por 6 no se altera

7. El producto de dos números no positivos es 18 y su cociente es 2. ¿Cuál es la suma de estos números? a) -12 d) -14

b) -9 e) -8

c) -6

8. Luego de multiplicar el triple de (-24) con la mitad de (-24), el producto es:

10. (-780) ÷ (+15)

a) +864 d) -3 456

Bloque III

b) -864 e) N.A.

c) +3 456

9. Tengo cierto número de pelotas para vender. Si las vendo a S/.17 cada una, gano S/.12, pero si las vendiera a S/.15 cada uno perdería S/.6 en total. ¿Cuántas pelotas tengo para vender?

1. Si en una multiplicación de tres números enteros se duplica uno de ellos, ¿qué sucede con el producto? 34


Título del capítulo Multiplicación y división de números enteros Multiplicación y división de números enteros a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

12.Si un comerciante vendiera a S/.11 cada calculadora que tiene, ganaría S/.60 en total, pero si decide venderlas a S/.6 cada una, pierde S/.20 en total. ¿Cuántas calculadoras tiene para vender?

c) 8

10.Un profesor decide repartir caramelos entre todos los alumnos del aula y descubre que si le da 7 caramelos a cada uno le sobrarían 20 caramelos, pero si les diera 9 caramelos a cada uno le faltarían 10 caramelos. ¿Cuántos alumnos hay en el aula? a) 10 d) 30

b) 15 e) 39

a) 24 d) 12

b) 8 e) 10

c) 16

c) 20

11.En el problema anterior, ¿cuántos caramelos tiene el profesor? a) 125 d) 30

b) 105 e) 115

c) 135

Autoevaluación

4. Efectuar:

1. A una cámara refrigeradora, que se encuentra a -15 ºC, se le baja sucesivamente 4 veces esa misma temperatura. ¿Cuál es la marca final? a) 45 ºC d) -75

b) -45 e) -90

54 veces

a) 54 d) -1

c) -60

(+15 - 20) (+15 - 19) (+15 - 18) (+15 - 17) ... (+15 - 1)

(+1) (-2) (+3) (-4) (+5) (-8) b) -900 e) 800

b) -54 c) 1 e) otra respuesta

5. Efectuar:

2. Calcular el producto de:

a) 960 d) -960

( −1) (+ 1) (− 1) (+ 1) ...   

a) 525 d) 1

c) -800

b) 210 x 15 c) 0 e) difícil calcular

3. Calcula y luego señala el resultado correcto: d d a d c

a) -5 d) -3

b) 5 e) 10

c) 3

35

Claves 1. 2. 3. 4. 5.

(-10) -(+4)(-3) + 15 ÷ (-3) + (-2)


COLEGIO

Potenciación y radicación de números enteros

TRILCE

Capítulo VII Sabías que ... En el tablero de operaciones de la antigua China, la multiplicación se iniciaba con las cifras del orden superior, pasando gradualmente a las cifras de órdenes menores. Además, ya se empleaban las tablas de multiplicar.

346 x 27 6 21 8 28 12 42 9342

Supongamos, a título de ejemplo, que se trata de multiplicar 346 por 27. El proceso de la multiplicación tomaba aproximadamente el siguiente aspecto:

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

3. (-5)2 = (-5) (-5) = +25

Podemos definir la potenciación como una multiplicación abreviada.

4. (-5)3 = (-5) (-5) (-5) = -125

an = P

Signos de potenciación en ZZ Investiga con otros ejemplos adicionales los signos de la potenciación y completa el cuadro con esos datos.

Donde: a : base n : exponente

POTENCIA

P : potencia Así:

EXPONENTE PAR

EXPONENTE IMPAR

Base positiva

an = a× a × a ×...×a "n" veces

a1 = a

Base negativa

a0 = 1 00 = No está definido

En resumen: Observación En este capítulo veremos la potenciación sólo con exponente natural. Ejemplos:

(+a) par o impar = +P (-a) par

= +P

(-a) impar

= -P

1. (+5)2 = (+5) (+5) = +25 2. (+5)3 = (+5) (+5) (+5) = +125

37

Colegio TRILCE

Título del capítulo Potenciación y radicación de números enteros Potenciación y radicación de números enteros Casos especiales a. Multiplicación de potencias de bases iguales a2 x a3 = (a x a) x (a x a x a) = a5

a m x an = a(m+n)

a x a5 = a x (a x a x a x a x a) = a6 b. División de potencias de bases iguales: 5 a5 ÷ a2 = a = a x a x a x a x a = a3 axa a2

a6 ÷ a =

a m an = am-n

6

a axaxaxaxaxa = = a5 a a

c. Potencia de potencia

nm

a = an x m

(a2)4 = (a x a) x (a x a) x (a x a) x (a x a) = a8 (a3)2 = (a x a x a) x (a x a x a) = a6

RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Observación 1: El índice "n" debe ser un número natural mayor que UNO (n>1).

Ahora que conoces la operación potenciación, recorre uno de los caminos inversos.

Observación 2:

PAR

− a no está definida en ZZ .

negativo

Piensa qué número debes elevar a cada exponente para que dé el resultado que se indica y completa:

− 25 ; no existe un número entero Por ejemplo: que elevado al cuadrado, dé como resultado -25.

3

a) (......) =+8 3

b) (......) =+27

Casos especiales

2

c) (......) =+64

1. Raíz de una multiplicación indicada:

4

e) (......) =+16 2

c) (......) =+64 n

2

d) (......) =+25

a×b = n a ×n b

4

e) (......) =+16 2. Raíz de una división indicada:

3

f) (......) =+64 El cálculo que has hecho, recibe el nombre de RADICACIÓN.

n

En el caso del primer ejercicio, la escribimos así: 3

+ 8 = 2 porque 23 = +8

a÷b = n a ÷n b

3. Raíz de una potencia:

En símbolos:

índice radical

n

a =b

porque

n

n

b =a

am

=

n

a

m

radicando raíz 38


Título del capítulo Potenciación y radicación de números enteros Potenciación y radicación de números enteros g. -(-3)0


h. -(-3)3 Bloque I 3. Resuelve:

1. Completa el número que falta en el casillero correspondiente:

a. -34 + (-3)4 b. -35 + (-3)5

a. (-9)2 =

c. 02 + 20 x 20 b.

(-1)13456

=

d. 02 x (20 + 20)

c. (-1)7 =

4. Responde: a) La distancia entre la Tierra y el Sol es de 15 x 107 km. Calcula el resultado.

d. (-1)8 =

e. (-3)2 =

b) En un siglo, un rayo de luz recorre aproximadamente 1015 km. Escríbelo en la forma corriente.

f. (-2)3 = 5. Algunos de los siguientes números son potencias de -4, enciérralos en un círculo.

g. (+7)2 =

a) -64 d) 4

h. (-4)3 =

i.

(-1)0

b) -16 e) 16

c) -4 f) 64

6. Completa los casilleros para que se verifiquen las siguientes igualdades:

=

j. (-7 + 7)0 =

a) (-3)2(-3)3(-3)4(-3)5 = (-3)

k. (+12)2 =

b) (-19)153 (-19)118 = (-19)

l. (-11)2 =

c)

(−13)10 (−13) 8 (−13)16

=(-13)

2. Calcula: d) (-5)2(-6)(-5+5) =

a. -31 b. 32 c. (-3)2

7. Completa el número que falta (si existe) en el casillero correspondiente.

d. (+3)2

a.

e. (-3)0

3

− 27 =

f. -32

39


Título del capítulo Potenciación y radicación de números enteros Potenciación y radicación de números enteros b.

+ 121 =

c)

d)

3

e)

3

c.

3

−8 =

d.

5

+ 32 =

e.

4

− 81 =

f.

3

+ 64 =

g.

3

− 64 =

h.

3

− 1000 =

j.

4

− 625 =

=4

(1000) ÷ (−64) =

÷

= (−2) ÷ (+5)

f)

x

36 = 12

10.Tus padres, abuelos, bisabuelos, etc., son tus ascendientes; usa este dato para calcular: NÚMERO DE ASCENDIENTES Expresado como Cantidad potencia

GENERACIÓN

− 49 =

i.

4

Padres

1ª

Abuelos

2ª

Bisabuelos

3ª 4ª 5ª

2

2

1

20ª 5

k.

= -32

¿Qué número de ascendentes tienes en la 20ª generación?

2

l.

= +16 Bloque II 1. Indicar el resultado de:

8. Calcula y completa el siguiente cuadro, en los casos posibles. Número

Cuadrado

[-9+6-3-2-9+1]2

Cubo

a) +128 d) +64

-10 64 -2

[+24-18-9+6]3

-16

a) -9 d) +8

-64

b) -27 e) -8

c) +27

3. Completar el valor que falta en el casillero correspondiente:

9. Ingéniatelas para completar los siguientes recuadros:

b)

c) -128

2. Indicar el resultado de:

27

a)

b) -256 e) +256

(-3)4 =

4=

(-5)3 =

27 = 3

(-2)5 = 40


Título del capítulo Potenciación y radicación de números enteros Potenciación y radicación de números enteros Dar como respuesta la suma de los resultados. a) -328 d) -128

b) +228 e) -238

9. Indicar el resultado de:

c) +238

4

4. Completar el valor que falta en el casillero correspondiente:

− 5 + 27 − 9 + (−3) 3 + 14

a) +2 d) +1

b) -1 c) 0 e) No existe en ZZ

10. Indicar el resultado de restar “A” de “B” si:

(-1)25 = -240 =

A=

5

− 36 + ( −2) 2

B=

3

− 28 + ( −51) 0

(-9)2 = a) -3 d) -1

Dar como respuesta el menor valor encontrado. a) 0 d) 81

b) -1 e) -81

c) 1

c) -5

11. Indicar el valor que debe ir en los recuadros:

5. Completar el casillero para que se verifique la siguiente igualdad: (-2)4(-2)5(-2)7(-2)

= (-2)29

b) 13 e) 10

c) 14

a) 11 d) 12

b) +1 e) -2

I.

4

81

=

II.

3

- 64

=

III.

2432

+1

=

Dar como respuesta la suma de valores encontrados. a) +2 d) +1

6. Completar el siguiente casillero para que se verifique la siguiente igualdad:

b) -2 e) 0

c) -1

12. Indicar el valor que debe ir en cada recuadro: (-5) (−5) (−5) (−5) 29 (−5) 2 21

a) 8 d) 7

2

b) 10 e) 6

= (−5)2

(-5) 2 + (−12) 2 =

I.

c) 11

II.

3

- 27 =

III.

4

(-2) 2 + (−7)( −11) =

7. Indicar la suma de los valores de los recuadros en: [(-2)4(-3)12(+15)3]4=(-2) a) 76 d) 81

b) 82 e) 74

(-3)

Dar como respuesta la suma de los dos mayores valores encontrados.

(+15)

a) +3 d) +16

c) 77

b) +13 e) -2

c) -9

13. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

8. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. (-5)2 = +25

I.

3

− 1 000 = -10

II. (-3)3 = -27

II.

4

− 81 ; No existe en ZZ

III. (-7)3 = -243

III.

IV. (+2)3 = -8 a) VVFF d) FVFV

b) VVVF e) VVVV

(−2) 4 + 9 = +5

a) VVV d) FFV

c) VFVF

41

b) VFV e) FFF

c) FVV


Título del capítulo Multiplicación y división de números enteros Multiplicación y división de números enteros Autoevaluación

1. Efectuar: a) 45 d) 54

4. Resolver:

64 + 32 × 5

b) 37 e) 85

( 81 x 72 - 142) ÷ (-140 ÷ 4)

c) 53 a) -7 d) 7

b) - 6 e) 0

c) 6

2. ¿Qué número debe ir en el recuadro? 2

a) 4 d) - 8

5. Resolver:

= - 64

8 × 32 × (5 2 + 11)

b) - 4 c) 8 e) otra respuesta

a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

3. ¿Qué número debe ir en el recuadro?

b) - 64 e) otra respuesta

c e b a e

a) 64 d) -16

=-4 c) 16

Claves 1. 2. 3. 4. 5.

3

Problema concurso III Tienes 7 botellas llenas, otras 7 vacías y otras 7 por la mitad. ¿Cómo te las ingenias para poder repartirlas equitativamente entre tres personas, sin tener que abrir ninguna de ellas?

42


COLEGIO

Repaso

TRILCE

Capítulo VIII Bloque I



I. 2 + 9 = 9 + 2 Propiedad de clausura

27 es natural

I.

II. 9 + 0 = 9 Elemento neutro

II. -24 es un número entero

III.

III. 7+9 = 16 Propiedad asociativa

2 es racional 3

IV.

IV. 2 + 5 = 7 3 + 2 + 5 = 7+3 Propiedad de monotonía a) FFVV d) FFFV

5 es irracional

a) FFVV c) FVVV e) VFVF

CA(234) + CA(921) + CA(17) - CA(670) a) 676 d) 498

2. ¿Cuántos de los siguientes gráficos son correctos?

Q

N

I.

II.

R

5 x 8 x 3 = 5 x 24

a) 6 d) 9

I

b) distributiva d) cancelativa

b) 7 e) 10

c) 8

8. Calcular el residuo más el cociente natural de la siguiente división: b) 1 e) 4

c) 2

24 934 21 a) 1 187 d) 1 177

3. Efectuar la siguiente operación: 7 + 77 + 777 + ... + 777 ... 77  

a) b) c) d) e)

Dar como respuesta la cifra de decenas del resultado: b) 2 e) 6

b) 1 194 e) N.A.

c) 1 094

9. Indicar los elementos del conjunto ZZ *.

20 cifras

a) 3 d) 1

8 x 3 = 24

7. Indicar la cifra de millares más la cifra de unidades del resultado de multiplicar 1 034 por 39.

V.

a) 0 d) 3

c) 698

a) asociativa c) monotonía e) conmutativa

IV.

Q

b) 598 e) 578

6. Indicar la propiedad aplicada en:

R III.

c) VVVV

5. Calcular:

b) VFFF d) FVVF

N

b) FVFV e) FVVV

c) 7

43

{0; 1; 2; 3; 4; ...} {0} {-1; -2; -3; -4; -5; ...} {...-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...} {...-3; -2; -1; 1; 2; 3; ...}

Colegio TRILCE

Título del capítulo R e pa so Bloque II

10. Dados los siguientes números enteros: -9; -11; +13; +17; -4; -5; +6

1. Completa el cuadro, recordando que -n es el opuesto de n. Por ejemplo, -9 es opuesto de 9; 8 es opuesto de -8.

¿Cuál de los números dados está en el centro de la recta numérica? a) -9 d) +6

b) +13 e) -11

c) -4

11. Sea: A = Negativo de -(-3) B = El negativo del opuesto de (-7) Calcular: A3 - B a) -3 d) +9

b) -20 e) -17

R e pa so

a

b

3

7

-4

1

-2

-5

a+b

-b

a + (-b)

-a + b

-a + (-b)

2. Resuelve el crucinúmero. En los casilleros debes colocar los resultados de los siguientes cálculos:

c) +20

a

+

b

=

12. Calcular el opuesto del resultado de:

a) -29 d) -68

b) +73 e) +67

+

+

(+67) - (-9) + (+3 - 9 + 7 - 4)

c

+

c) -73

d

= =

=

=

13.Restar:

a) -6 d) -5

b) -9 e) +5

c) +8

a) b) c) d)

14. Hallar el valor que debe ir en el recuadro para que se verifique la igualdad. (-7) (-1) (+6) = a) +13 d) -2

b) - 42 e) +42

=

-2430

=

(+2)6

=

c) -9 a) (-2)12 x (-2)3 x (-2)0 x (-2) b) 2

d) (23)

b) +80 e) -65

e) (2

= (-2)20

÷ 27 = 213

c) 25 ÷ 2

Dar como respuesta la diferencia entre el mayor valor y el menor valor encontrado. a) +82 d) +63

9 + (-20) + 8 -1 + (-3) + (-4) -5 + (-2) + 14 1 + (-9) + (-3)

3. Razona y encuentra el número que debe ir en los recuadros.

x -1

15.Completar el valor que falta en el casillero correspondiente: [(-3)2]2

=

+

(-9 + 6 - 7 + 2 - 5) de (-8 - 9 - 1)

= 22 = 26

)4 = 1

c) -29 4. Si al elevar dos números al cuadrado da el mismo resultado, ¿puede afirmarse que los números son iguales? Analiza con ejemplos.

44


Título del capítulo R e pa so

R e pa so

Propiedades de la adición en ZZ

10

Verticales

Horizontales

1. Es el resultado de una sustracción.

4. El elemento neutro de la adición de números enteros.

2. "Dado una igualdad, podemos sumar a ambos , un mismo número entero, resultando entonces otra igualdad"; se está cumpliendo la propiedad ...

6. Qué propiedad estamos aplicando en el siguiente ejemplo: [(-6) + (-2)] + (-4) = (-6) + [(-2)+(-4)]

3. En una diferencia, la suma de la diferencia más el sustraendo es igual al ...

7. Con la letra "ZZ " denotamos el conjunto de los números ...

5. Qué propiedad estamos aplicando en el siguiente ejemplo: (+5) + (-8) = (-8) + (+5)

10.Si: a + c = b + c, entonces se cumple que: a = c; estamos aplicando la propiedad ...

10."La suma de dos números enteros es otro número entero", eso nos dice la propiedad de ...

9. Con la letra "lN" denotamos el conjunto de los números ...

45



R e pa so

Propiedades de la multiplicación en ZZ

Verticales

Horizontales

1. Si: a x c = b x c, y además c ≠ 0; entones se cumple que a = b; estamos aplicando la propiedad ...

5. Es el elemento neutro de la multiplicación de números enteros. 6. "El producto de dos números enteros es otro número entero", eso nos dice la propiedad de ...

2. Qué propiedad estamos aplicando en el siguiente ejemplo: [ (-6) x (-2) ] x (-4) = (-6) x [ (-2) x (-4) ]

8. Si dos números enteros tienen el MISMO SIGNO, su producto tendrá SIGNO ...

3. Si dos números enteros tienen DISTINTO SIGNO, su producto tendrá SIGNO ...

9. Es el elemento absorbente de la multiplicación.

4. Qué propiedad estamos aplicando en el siguiente ejemplo: (+5) x (-8) = (-8) x (+5)

10. "Dado una igualdad, podemos multiplicar a ambos , por un mismo número entero, resultando entonces otra igualdad"; se está cumpliendo la propiedad ...

7. Es el resultado de una multiplicación.

46



R e pa so

Lectura:Algo más de Historia

“El método del nueve” Hace unos siglos era muy difícil realizar las cuatro operaciones fundamentales, los métodos eran muy largos y engorrosos; es así que llegando después, de múltiples trabajos al final de una operación aritmética, nuestros antecesores consideraron absolutamente necesario comprobar este total obtenido con el sudor de su frente, ya que los métodos voluminosos provocaron, como es lógico, desconfianza hacia sus resultados; es muy fácil perderse en un camino, lerdo y sinuoso que en el recto camino de los métodos modernos. Naturalmente, de aquí surge la antigua costumbre de comprobar toda operación aritmética efectuada, encomiable regla que aún hoy se practica.

después de todas las simplificaciones resulta igual a 8. PARA LA SUSTRACCIÓN La comprobación de la sustracción se realiza en la misma forma si se considera al minuendo como suma, y al sustraendo y la diferencia como sumandos. Por ejemplo: Suma de cifras

6 913 - 2 587 4 326

El método favorito de comprobación era el llamado "método del nueve", el cual frecuentemente se describe en algunos manuales contemporáneos de aritmética. La comprobación por el nueve se basa en la "regla de los residuos" que dice: el residuo de la división de una suma entre cualquier número, es igual a la suma de los residuos de la división de cada sumado entre el mismo número. En la misma forma, el residuo de un producto es igual al producto de los residuos que al dividir entre 9 la suma de las cifras del mismo número. Por ejemplo, 758 entre 9 da como residuo 2: el mismo 2 se obtiene como residuo de la división de 7 + 5 + 8 entre 9.

4 + 6 = 10; 1+0=1 PARA LA MULTIPLICACIÓN Este método es en especial conveniente si se aplica para comprobar la operación de multiplicación, como lo vemos en el siguiente ejemplo: Suma de cifras

8713 00x0264 0034852 052278 0 17426 00 2300232

1

000

Comparando ambas propiedades indicadas, llegamos al método de comprobación por nueve, es decir, por división entre 9. Mostraremos con un ejemplo en qué consiste dicho método. PARA LA ADICIÓN Se desea comprobar la justeza de la adición de la siguiente columna:

x3

3

Si en tal comprobación fuera descubierto un error del resultado, entonces, para determinar precisamente dónde tiene lugar dicho error, se puede verificar por el método del nueve cada producto parcial por separado; y si el error no se encuentra aquí, queda solamente comprobar la adición de los productos parciales.

Suma de cifras

38 932 + 1 096 4 710 043 589 106 5 339 177

1 + -4 6

7 + 7 1 2 8

¿Cómo se puede comprobar la división conforme a este método? Si tenemos el caso de una división sin residuo, el dividendo se considera como el producto del divisor por el cociente. En el caso de una división con residuo se aprovecha la circunstancia de que:

Realicemos la suma de las cifras de cada sumando y al mismo tiempo, en los números de dos cifras obtenidas, sumemos también las cifras (esto se hace en el proceso mismo de adición de las cifras de cada sumando), hasta obtener en el resultado final un número de una cifra. Estos resultados (residuos de la división entre nueve), los escribimos como se indica en el ejemplo, al lado del correspondiente sumando. Al sumar todos los residuos (7 + 7 + 1 + 2 = 17; 1 + 7 = 8), obtenemos 8. Igual deberá ser la suma de las cifras del total (5 339 177) si la operación está efectuada correctamente: 5+3+3+9+1+7+7

dividendo = divisor x cociente + residuo Por ejemplo:

16 201 387 457 635     ÷ 4  = 3  ; residuo 192 1

2

8

3

suma de cifras:

2 × 8 + 3 = 19; 1 + 9 = 10; 1 + 0 = 1

47


ÍNDICE Aritmética

Capítulo

Pág.

I. Operaciones combinadas .................................................................................................... 3 II. Criptoaritmética ................................................................................................................. 7 III. Planteamiento de problemas I ........................................................................................... 11 IV. Planteamiento de problemas II .......................................................................................... 15 V. Repaso ........................................................................................................................... 19 VI. Edades y Precios .............................................................................................................. 23 VII. Falsa suposición ............................................................................................................... 29 VIII. Repaso ........................................................................................................................... 33

Departamento de Publicaciones

TRILCE

COSI1SLIAR2B-04.p65

Operaciones combinadas Capítulo I Cuando debamos resolver ejercicios donde aparecen algunas o todas las operaciones estudiadas hasta este momento, se nos viene a la mente preguntas tales como: ¿Por dónde empiezo? o ¿qué operación hago primero? o ¿en qué orden se hacen las operaciones? ... pues efectivamente el orden en el que se hacen las operaciones puede cambiar el resultado.

COLEGIO

TRILCE

Bloque I I. Efectuar las siguientes operaciones: 1. (5 + 10 ÷ 5) x 2

Por ejemplo, si tenemos los números: 4 3 2 y escribimos las siguientes operaciones: 4 + 3 x 2, esto se puede leer de distintas maneras.

a) 6 d) 14

Una manera: Primero se puede hacer la operación: 4 + 3 = 7 Luego el 7 lo multiplicamos por dos: 7 x 2 = 14 Así el resultado final sería 14.

b) 10 e) 16

c) 12

2. [9 + (7 - 2)2 x 3] ÷ 2 a) 37 d) 40

Otra manera: Primero hacer la operación: 3 x 2 = 6 Luego la adición: 4 + 6 = 10 Así el resultado final sería 10.

b) 47 e) 38

c) 42

3. 18 + 12 + 6 ÷ 3 x 5 - 10 a) 60 d) 30

Como ves, hemos llegado a resultados diferentes. Para llegar todos siempre al mismo resultado un ejercicio de operaciones combinadas debe desarrollarse de acuerdo al siguiente orden:

b) 50 e) 20

4. (1 + 2 + 3 + 4)2 x a) 100 d) -20

1º Se resuelven las operaciones que están dentro de LOS SIGNOS DE COLECCIÓN: ( ); [ ]; { }

c) 40

32 + 4 2 ÷ (-3 - 2)2

b) 4 e) 20

c) 25

5. (18 + 12 + 6) ÷ (3 x 4) - 10

2º Resolvemos las operaciones de POTENCIACIÓN y RADICACIÓN.

a) 13 d) -13

3º Las MULTIPLICACIONES y DIVISIONES (en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha)

b) 10 e) -7

c) 3

6. -33 + {24 ÷ 2 x 3 + 9 - 40}2 a) 8 d) 12

4º Las SUMAS y RESTAS (en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha)

b) 7 e) -6

Ya conociendo esta "jerarquía de operaciones" en nuestro ejemplo: 4 + 3 x 2, el camino correcto para su desarrollo fue de la segunda manera: "primero la multiplicación" y "luego la suma".

7. (-2)2x 9 ÷ 2 + [52 x 2 - 10] ÷ 4

¿Y cómo representamos si queremos hacer primero la adición?

8. (52 - 42 - 32) x 18 ÷ 1 331 + 1

a) 36 d) 33

a) 0 d) 5

Pues, en este caso, hacemos uso de un signo de colección; el paréntesis y lo representamos: (4 + 3) x 2 9.

Ahora debemos resolver "primero la operación que está dentro del signo de colección: la adición" y "luego la multiplicación".

b) 28 e) 18

b) 1 e) N.A.

c) -8

c) 27

c) 2

100 + 2 2 × 9 − − 27 + 3 729 3

a) 36 d) -2

b) 32 e) -36

c) 34

Como ves los paréntesis son signos muy importantes en Matemáticas, te invitamos a que los uses en este capítulo. 3

Colegio TRILCE

Operaciones Combinadas 10. (-5)2 x a) 56 d) -60

3

3. Indicar la suma de "M + N", si:

− 27 + 3 x 9 x 2 ÷ 6

b) 55 e) -66

M = 1 200 +

c) -50

N=

11.{- 9 - [- 9 + 9 - 9 - 9 - (9 - 9 - 9)]} ÷ 5 a) 2 d) 18

b) -9 e) 0

3

b) -80 e) -70

1 220 +

c) 1

a) 6 d) 9

36 - 1 256  22

b) 7 e) 0

c) 8

93 ÷ 3 + [96 − ( 24 ÷ 2 − 200 ÷ 25) + 12 × 4 ] − 7 × 13

1. Multiplica 23 por 4 y luego súmale 5.

a) +80 d) +91

2. Al número 15, añádele el resultado de multiplicar 8 por 24.

b) +81 e) +95

c) +85

6. Reducir: 20 − 32 + 2 × 10 + 60 ÷ 5 − 3 × 8 + 5 × 13

3. Luego de disminuir en 13 unidades el producto de 11 por 13, divídelo entre 10.

a) 154 d) 150

4. Suma los cinco primeros números enteros positivos y al resultado réstale el doble de siete.

b) 153 e) 53

c) 156

7. Simplificar:

5. Eleva al cuadrado la suma de los tres primeros números enteros positivos, luego añádele la tercera parte de 57 y finalmente extráele la raíz cuadrada a dicho resultado.

{(3 + 3 × 5) ÷ 9 − 2} × { 4 2 + 5 × 3 − 2 + 54 − 5 }

a) +24 d) +16

6. Multiplica 5 por la suma de los cuadrados de los tres primeros números enteros positivos y luego divídelo entre la mitad de 14.

b) +216 e) -24

c) 0

8. Indicar el producto de las cifras del resultado de: -[{15  3 + 8 -[(3+2  6) -10]-6} -9  22]

Bloque II a) 12 d) 36

1. Calcular el valor de "B  A", si: A = 36  4  9  3  ( 6 - 6 ) +1

c) +28

a) 40 d) 60

2. Indicar la mayor cifra del resultado de:

b) 8 e) 2

c) 24

102 − 8 [5 + (9 × 5 − 5) ÷ 8 ] ÷ 40 + (25 × 2) 2

b) -36 e) +12

- [- 2 - (-52) 

b) 20 e) N.A.

9. Simplificar:

B = - {-30 - (-2)}

a) 5 d)4

c) 1 419

5. Simplificar:

II. Los siguientes enunciados debes traducirlo a lenguaje matemático (en tu cuaderno) y luego resolverlos.

a) -28 d) +24

b) 1 224 e) 1 219

4. Indicar la cifra de tercer orden del resultado:

12.(42 + 4 + 100 ÷ 100 -20x 5)(15 - 5 ÷ 5) - 14 a) 0 d) -1

3

729 − − 27 + 6

a) 1 201 d) 1 209

c) -8

25 - 1 024  256

3

b) 50 e) 30

c) 70

10.Encontrar el valor de restar "A" de "B", si:

666 ]

3 A = 1 004 − 20 × 3 ÷ (10 + 50 ÷ 10) + 2 3

c) 7

B = -5  {-3 + 2 - 5 - (22  3 ) + 40 } a) -128 d) -115 4

b) -210 e) +115

c) -110


Operaciones Combinadas Bloque III En los siguientes ejercicios escribe en los cuadrados vacíos las operaciones que necesites para lograr el resultado y usa, en cada uno de ellos los paréntesis necesarios. Además, para hacer un poco más divertido este juego, te pedimos que en cada uno de los ejercicios NO REPITAS LAS OPERACIONES, esto quiere decir que si en un cuadrado pones, por ejemplo, la suma, en el siguiente sólo podrás usar la resta, multiplicación o división. Ahora sí, ¡a trabajar! a. 8

7

3=

g. 3

El resultado debe ser el número 3.

b. 4

2

3

1=

h. 7

7

i. 8

2=

3

j. 54

4=

4

8

2=

4

2

17 =

15

3

2=

El resultado debe ser el mayor número PAR de dos cifras.

5=

k. (7

El resultado debe ser un número par.

f. 5

1

El resultado debe ser el menor número de tres cifras diferentes.

El resultado debe ser múltiplo de 4.

e. 12

3=

El resultado debe ser igual a cinco decenas.

El resultado debe ser un número mayor que 8 y menor que 11.

d. 9

5

El resultado debe ser igual a una decena.

El resultado debe ser un número impar.

c. 4

2

2)2

20

4

1=

El resultado debe ser el menor número de tres cifras.

2=

l. 30

El resultado debe ser un número en el que las cifras de decenas y unidades sean iguales.

7

51

17 =

El resultado debe ser un número de tres cifras iguales.

Hermanos y hermanas Tres amigas: Irene, Sandra y Érika, tienen un hermano cada una. Con el tiempo cada chica acaba saliendo con el hermano de una de sus amigas. Un día Irene se encuentra con el hermano de Sandra y le dice: "¡Mira!, ahí veo entrar al cine a alguien con tu pareja". ¿Puedes decir cómo están formadas las parejas?

5


Operaciones Combinadas Autoevaluación 1. Hallar "A + B", si:

4. Resolver:

A = 10 + 20 ÷ 2 B = 15 x 12 ÷ 3 + 1 a) 80 d) 65

b) 81 e) 60

72 − 18 ÷ 6 − 32 + 4 2 ÷ ( 51 ÷ 17 + 6 + 1) a) 8 d) 6

c) 76

c) 12

5. Hallar el resultado de:

2. Resolver:

(1 358 x 17 + 42 ÷ 2 x 315)(14 + 15 x 7)º - 1

9 + 16 × 10 ÷ 13 + 4 2 + (9 − 3 × 5) b) 1 e) 23

a) 0 d) 2

c) 11

b) 1 e) N.A.

c) 13 578

Claves 1. b 2. c 3. a 4. e 5. b

a) 9 d) 47

b) 4 e) 2

3. Resolver: 3 x 2 - {4 x 2 - [5 x 4 - 42 + ( 12 × 3 - 2)]+1} a) 5 d) 1

b) 6 e) 0

c) 7

El rey y la herencia Cuentan las historias que hace muchos años, el rey de un país muy lejano, sintiéndose viejo y enfermo, mandó llamar a sus dos hijos y cuando los tuvo delante les dijo: "Hijos míos, he organizado una carrera de caballos para vosotros, de manera que el propietario del caballo que llegue segundo a la meta será heredero de toda mi fortuna". Los dos hermanos se quedaron sorprendidos al oír lo que decía su padre, puesto que la prueba podía durar eternamente, ya que ninguno quería ser el primero en llegar. Afortunadamente, un sabio del reino encontró la solución. ¿Cuál crees tú que fue?

6


COLEGIO

Criptoaritmética

TRILCE

Capítulo II La criptoaritmética no es más que un juego. No se sabe en qué época se inventó pero los aficionados a las variedades comenzaron a interesarse por ellas en el primer Congreso Internacional de Recreaciones Matemáticas que se reunió en Bruselas en 1935.

3. Indicar la suma de cifras halladas en:

2 4 7 3 8+ 5 4 9 3 2 4 3 6 8 1 a) 32 d) 35

La criptoaritmética consiste en reemplazar las cifras por letras en la transcripción de una operación de Aritmética clásica. El problema consiste en hallar las cifras que están “bajo” las letras; en ciertos casos se puede marcar simplemente el lugar de una cifra con un cuadradito, un punto o un asterisco.

b) 33 e) 36

c) 34

4. Indicar la mayor cifra encontrada en:

2 6 2 7 8+ 7 4 4 3 6 4 6 9

Cada uno de los problemas deberá ser tratado en forma particular teniendo en cuenta las propiedades de la operación a la que se refiere, ya que no existen formas preestablecidas y sólo es materia de INGENIO y RAZONAMIENTO el encontrar su solución o soluciones.

a) 9 d) 6

b) 8 e) 5

c) 7

5. Calcular la suma de cifras de la diferencia en:

2 2 7 74 4 2 3 8 5 6 7 a) 20 d) 30

Bloque I 1. Hallar las cifras que debemos escribir en los casilleros para que la operación sea correcta: a)

c)

3 0 8+ 0 7 0 1 9 3

8 2 3 4 4 3 7 6 1 9 7

b)

d)

b) 15 e) 19

c) 29

6. Si:

1

7 0 3 indicar la suma de cifras halladas.

3 8 2 3 8+ 5 4 9 1 6 1 1 8 3 2 8 9 6

a) 10 d) 13

2 2 2 7 71 4 2 9 4 6 7 5

b) 11 e) 14

c) 12

7. Si:

1 4

8

1 4 0 2. Escribe la cifra que falta en las siguientes operaciones: a)

b) 9 6 8

1

indicar la suma de cifras halladas. a) 9 d) 12

7 6 3

b) 10 e) 13

c) 11

8. Si: c)

9

3

2

d)

2

1

1

7 5 6 3

- 6

5 - 3

hallar la suma de cifras del multiplicando. a) 15 d) 12 7

b) 14 e) 11

c) 13

Colegio TRILCE

Criptoaritmética 9. Si:

6. Si: 2pq7 − 172q = 11m7 hallar el valor de “p”

7

a) 0 d) 8

1

2 - 3

b) 99 e) 81

c) 9

7. Si: mnp × 9 = q433 calcular “ m2 + n2 + p2 ”

indicar la suma del dividendo más el cociente. a) 87 d) 75

b) 1 e) 7

c) 11

a) 51 d) 61

b) 41 e) N.A.

c) 31

10.Calcular el dividendo más el cociente en:

3

8. Si: pq × 23 = m66 calcular “p × q”

2 8

4 1 0

a) 42 d) 24

6 - 9

4 - 8

a) 3 539 d) 2 339

b) 3 739 e) 3 639

c) 3 729

a) 25 d) 28

b) 26 e) 29

b) 10 e) 13

-

c) 11

b) 17 e) 20

a) 234 d) 1 637

c) 18

c) 148

hallar: 2abc + 8bca + 5cab a) 16 887 d) 18 777

b) 13 e) 16

b) 17 887 e) 16 787

c) 18 887

2. Si: a + b = 9 c) 16

hallar: 1ab + ab1 + b1a a) 1 210 d) 1 000

5. Si: 5ppp − q4 q3 = mn89 calcular “p + q + m + n” a) 12 d) 15

c) 1 634

1. Si: a + b + c = 17

4. Si: 8aa3 − 4 cb1 = dbba hallar “a + b + c + d” b) 15 e) 18

b) 237 e) 1 638

Bloque III

hallar: aa + bb + cc

a) 14 d) 17

8 - -

3. Si: aba + abb = ca77

b) 189 e) 188

7 2

3 -

2. Si: aaa + 7aa = bc 98 , hallar “a + b + c”

a) 198 d) 168

c) 27

10.Hallar el dividendo en:

1. Si: b5a + baa = a34 , hallar “a + b”

a) 16 d) 19

c) 6

9. Sabiendo que: 1abcde × 3 = abcde1 calcular “a + b + c + d + e”

Bloque II

a) 9 d) 12

b) 8 e) N.A.

b) 1 110 e) 999

c) 1 010

3. Si: a + b + c = 25 hallar: 78 a + 1b + 892 c

c) 14

a) 8 435 d) 8 735 8

b) 9 835 e) 9 735

c) 9 755


Criptoaritmética 4. Si: aab − b5 = ca

8. Si: abc × 99 = ab543 hallar “a + b + c”

hallar: a + b × c a) 30 d) 35

b) 31 e) 42

c) 36

a) 12 d) 15

mpq × b = 868

a) 3 d) 6

hallar: mpq × ab b) 9 062 e) 4 688

b) 4 e) 7

a b c b c

hallar “a + b + c”

abc × c = 251 2

a) 15 d) 19 b) 62 001 e) N.A.

bc 11

b c 8 0

abc × b = 1 25 5

a) 63 001 d) 62 951

c) 5

10.Si:

c) 4 578

6. Si: abc × a = 502

hallar: abc

c) 14

9. Hallar un número de dos cifras que multiplicado por 27, el resultado termine en 37. Dar como respuesta la suma de cifras del número hallado.

5. Si: mpq × a = 372

a) 9 052 d) 4 588

b) 13 e) 16

b) 17 e) 20

c) 18

c) 62 901

7. Si: MAMA × P = 11 615 MAMA × A = 6 969

hallar: MAMA × PAPA e indicar la suma de cifras del resultado. a) 25 d) 22

b) 24 e) 21

c) 23

9


Criptoaritmética

Descubriendo un número de tres cifras

El problema concurso Resuelva amable alumno TRILCE, el siguiente criptograma, donde cada "?" representa un símbolo que debe encontrarse:

MIL+ MIL+ ????????+

Veamos un acertijo de criptoaritmética en la multiplicación. Un número desconocido está formado por tres cifras diferentes: A, B y C. Lo escribimos, condicionalmente así: ABC , teniendo en mente, que "C" es la cifra de unidades, "B" la de las decenas y "A" la cifra de centenas. Es necesario hallar este número, si es sabido que:

ABC + BAC ** * * ** A ***B *** ***

Peones en lugar de números Hace muchos años, en una revista de ajedrez, fue presentado un problema: determinar el verdadero significado del ejemplo de división de números, representado en la siguiente figura:

En ella, casi todas las cifras están sustituidas por peones. De 28 cifras, sólo dos son conocidas, el 8 en el cociente y el 1 en el residuo. Los otros 26 signos son peones de ajedrez, por lo que probablemente "parecerá" que el problema no tienen solución y usted, alumno TRILCE lo va a encontrar.

10


Planteamiento de problemas I Capítulo III Suma y Diferencia

TRILCE

2. En un aula de 36 alumnos se observa que hay ocho varones más que mujeres. ¿Cuántos varones hay en el aula?

Ejemplo:

Rpta.: ________

Entre José y Manuel tienen un total de 42 canicas. Si José tiene seis canicas más que Manuel, ¿cuántas canicas tiene cada uno?

3. En una fiesta a la que acudieron 115 personas, se observó que al momento de bailar en parejas, sobraron 17 varones. ¿Cuántas damas habían en la fiesta?

Resolución razonada: -

COLEGIO

El enunciado dice, José tiene seis canicas más que Manuel, entonces; gráficamente tenemos:

Rpta.: ________ 4. Amelia tiene S/.11 más que Fiorella y si ambas juntan su dinero tendrían S/.49. ¿Cuánto tiene cada una? Rpta.: ________

-

-

Si a José le quitamos seis canicas, entonces los dos tendrían igual cantidad, pero además el total de canicas ya no sería 42 sino 42 - 6 = 36 canicas, repartidas en partes iguales.

5. La suma de dos números es 97 y su diferencia es 33. Hallar dichos números. Rpta.: ________

Ahora para hallar con cuanto se quedo cada uno: 6. La suma de las edades de Arturo y Braulio es 48 años. Sabiendo que Arturo es seis años mayor, hallar la edad de Braulio.

36 = 18 canicas cada uno 2

Rpta.: ________

Entonces: José

18 canicas

Manuel

18 canicas

7. La suma de dos números es el mayor número par de dos cifras y su diferencia es el menor número par de dos cifras. Hallar los números. Rpta.: ________

-

Finalmente le devolvemos sus seis canicas a José, entonces cada uno tenía:

8. En un aula de 41 alumnos el número de varones es menor que el número de mujeres en 17. ¿Cuántas mujeres hay en el aula? Rpta.: ________ 9. En una fiesta se observa que 12 varones y 7 damas no bailan. Si en total hay 67 personas, ¿cuántas damas hay en la reunión? Rpta.: ________

Bloque I 1. La suma de dos números es 56 y su diferencia es 16. Hallar dichos números.

10.Imanol compra dos televisores, uno de 29” y otro de 14”. Si el más grande le costó $400 más que el otro y por ambos pagó $980, ¿cuánto le costó cada televisor?

Rpta.: ________

Rpta.: ________ 11

Colegio TRILCE

Planteamiento de problemas I Bloque II

10.Entre Julia y Andrea tienen S/.4 000. Si Julia le diera S/.400 a Andrea, las dos tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Andrea?

1. La suma de dos números es 381 y su diferencia es 75. Hallar el número mayor. a) 190 d) 217

b) 227 e) 220

a) S/.2 400 d) 1 800

c) 207

b) 441 e) 444

1. Un pintor y su ayudante cobraron S/.780 por un trabajo. Si el pintor le diera S/.90 a su ayudante los dos tendrían cantidades iguales. ¿Qué cantidad le corresponde al pintor?

c) 442

3. En un terreno rectangular, el largo y el ancho suman 240 m. Si el largo excede al ancho en 40 m, hallar el ancho. a) 140 m d) 160

b) 120 e) 100

a) S/.435 d) 480

b) 11 e) 20

a) 12 años d) 16

c) 6

b) 26 e) 25

a) 14 l d) 10

c) 28

b) 100 e) 180

c) 170

a) S/.62 d) 72

7. La suma de las edades de Víctor y Elizabeth es 66. ¿Qué edad tiene Víctor si dice ser 18 años mayor que Elizabeth? a) 36 años d) 42

b) 26 e) 44

b) 28 e) 21

c) 52

a) $125 d) 145

b) 6 e) nada

c) 7

b) 60 e) 84

c) 68

b) 85 e) 120

c) 105

6. En el problema anterior, si la primera la vendió en $180, ¿a cuánto debe vender la segunda para ganar en total $80?

c) 32

a) $140 d) 170

9. Se reparte una herencia de S/.300 000 entre dos personas. ¿Cuánto recibe la más afortunada, si se sabe que tendría S/.48 000 más que la otra? a) S/.170 000 b) 182 000 d) 186 000 e) 172 000

c) 17

5. Un comerciante compró dos bicicletas gastando en total $250. La primera le costó $40 más que la segunda. ¿Cuál fue el precio de la segunda?

8. Al dividir una regla de 60 cm en dos pedazos, resulta uno 12 cm más grande que el otro. ¿Cuánto mide el pedazo más pequeño? a) 20 cm d) 24

b) 14 e) 18

4. Luis y Carla van al teatro e ingresan a galería en lugar de platea, ahorrándose entre las dos S/.32. Si los precios de una entrada a galería y una a platea suman S/.84, ¿cuánto gastaron en entradas?

6. Manuel y César tienen juntos S/.300, ¿cuánto dinero tiene César si se sabe que tiene S/.40 menos que Manuel? a) S/.130 d) 160

c) 345

3. Dos depósitos tienen juntos 86 litros de agua. Si uno de ellos tiene 14 litros más que el otro, ¿cuántos litros se deben pasar del mayor al menor para que ambos tengan igual cantidad de agua?

5. Al sumar dos números se obtiene 40. Si el mayor excede al menor en 12, ¿cuál es el número mayor? a) 24 d) 27

b) 325 e) 390

2. Las edades de Sergio y su papá suman 54 años. Si la edad del papá excede en 30 años a la del hijo, ¿cuántos años tendrá Sergio dentro de cinco años?

c) 80

4. Cuando Josué nació, Manuel tenía 28 años. Si sus edades suman actualmente 50 años, ¿qué edad tiene Josué? a) 22 años d) 39

c) 2 200

Bloque III

2. La suma de dos números es el mayor número de tres cifras diferentes y su diferencia es igual al menor número impar de tres cifras diferentes. Hallar el menor número. a) 440 d) 443

b) 1 600 e) 1 400

b) 150 e) 180

c) 160

7. Los sueldos de dos hermanos suman S/.2 700. Si el mayor le diera S/.150 al menor los dos tendrían igual cantidad. ¿Cuál es el sueldo del mayor?

c) 174 000

a) S/.1 275 d) 1 200 12

b) 1 428 e) 1 100

c) 1 500


Planteamiento de problemas I 8. Tres hermanos: Juan, Pedro y Santiago recibieron una herencia de $19 200. Según el testamento Pedro recibiría $1 500 más que Juan y Santiago $1 200 más que Pedro. ¿Cuánto recibió Pedro? a) $5 000 d) 6 200

b) 5 400 e) 6 500

El problema concurso La fiesta inolvidable

c) 5 800

En una fiesta a la cual asistieron 48 jóvenes, se observó que la primera dama, Fiorella, bailó con siete caballeros; la segunda dama, Amelia, bailó con ocho caballeros; la tercera, Antonella, bailó con nueve y así sucesivamente hasta que la última dama, Paola, bailó con todos los caballeros. ¿Cuántos caballeros asistieron? Rpta.: _______

13


Planteamiento de problemas II Capítulo IV Suma y Cociente

-

COLEGIO

TRILCE

Finalmente como Lucho tiene el cuádruple de lo que tiene Elena, entonces Lucho tiene: 4 x 40 = $160.

Ejemplo:

Entre Lucho y Mary tienen S/.2400. Si lo que tiene Lucho es el triple de lo que tiene Mary, ¿cuánto tiene cada uno?

Elena

40 dólares

Lucho

160 dólares


El enunciado dice, lo que tiene Lucho es el triple de lo que tiene Mary, entonces; gráficamente tenemos:

Bloque I 1. La suma de dos números es 600 y su cociente es 4. Hallar el número mayor.

Lucho Mary (Lucho)

-

-

Rpta.: _______

(Mary)

Observemos que la suma de ambos equivale al cuádruple de lo que tiene Mary, pero el enunciado dice que la suma de ambos es S/.2 400; entonces lo que tiene Mary es: 2 400 ÷ 4 = S/.600

2. La suma de dos números excede en 100 a 300 y su cociente es 4. Hallar cada uno de los dos números. Rpta.: _______

Finalmente como Lucho tiene el triple, entonces Lucho tiene: 3 x 600 = 1 800 soles

Lucho

S/.1800

Mary

S/. 600

3. El sueldo de Pedro es la tercera parte del sueldo de su jefe. Si entre los dos ganan 4 200, ¿cuánto gana cada uno? Rpta.: _______ 4. La edad de un padre es el cuádruple de la edad de su hijo. Si sus edades suman 70, ¿qué edad tiene el padre?

Diferencia y Cociente

Rpta.: _______

Ejemplo:

La diferencia entre el dinero que tiene Lucho y Elena es $120. Si lo que tiene Elena es la cuarta parte de lo que tiene Lucho, ¿cuánto tiene cada uno?

5. Lucho y Marco trabajaron 42 días recibiendo en total S/.8 400. Si el jornal de Lucho es el triple del jornal de Marco, ¿cuánto le corresponde a cada uno?


Rpta.: _______

El enunciado dice que Elena tiene la cuarta parte de lo que tiene Lucho, gráficamente tenemos:

6. La diferencia de dos números es 84 y su cociente es 5. Hallar los números.

Elena

Rpta.: _______

Lucho

-

Observemos que la diferencia de ambos equivale al triple de lo que tiene Elena, pero el enunciado dice que la diferencia es 120, entonces lo que tiene Elena es: 120 ÷ 3 = $40.

7. La diferencia de dos números es 75 y el mayor es el cuádruple del menor. Hallar los números. Rpta.: _______ 15

Colegio TRILCE

Planteamiento de problemas II 8. El sueldo de Luigi es la tercera parte del sueldo de Carlos. Si la diferencia de sus sueldos es S/.2 000, hallar los números.

7. Las velocidades de mi auto y mi moto suman 260 km/h. Si la velocidad de mi auto es 8/5 de la velocidad de mi moto, ¿cuánto me demoraré en recorrer 1600 km con mi moto?

Rpta.: _______

Rpta.: _______

9. La edad de un padre es el quíntuple de la edad de su hijo. Si cuando el hijo nació el padre tenía 32 años, ¿qué edad tiene actualmente el padre?

8. El número de hermanos que tengo es el triple del número de hermanas y nosotros excedemos a ellas en siete. ¿Cuántos somos en total?

Rpta.: _______ 10.En una reunión el número de hombres es el triple del número de mujeres. Si se retiran 30 hombres, entonces el número de parejas sería exacto. ¿Cuántas mujeres hay en la reunión?

Rpta.: _______ 9. Dos hermanos tienen cierta suma de dinero. Si el mayor le entrega 100 dólares al menor los dos tendrían igual cantidad y si el mayor tiene el quíntuple del menor, ¿cuánto tiene cada uno?

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Bloque II

10.Juan y Pedro recibieron S/.3 200 y S/.2 800 de gratificación respectivamente. ¿Cuánto debe entregar Juan a Pedro para que el dinero de Juan sea los 3/7 del dinero de Pedro?

1. La edad de Lucho es la tercera parte de la edad de Betty. Si cuando Lucho nació Betty tenía 18 años, ¿cuál es la edad actual de Betty?

Rpta.: _______

Rpta.: _______ Bloque III

2. En una reunión hay 140 personas, siendo el número de hombres el triple que el número de mujeres. ¿Cuántas personas de cada sexo hay?

1. Repartir $ 4 000 ente dos personas, tal que uno reciba la sétima parte de lo que recibe el otro. Dar la parte mayor.

Rpta.: _______

a) $ 3 000 d) 3 400

3. Entre Miguel y Carlos recibieron una herencia de 24 000 dólares. Si lo que recibió Miguel es los 3/5 de lo que recibió Carlos, ¿cuánto recibió cada uno?

b) 3 200 e) 3 500

c) 3 300

2. El jornal de un obrero es los 4/7 del jornal de un capataz. Si por 10 días han recibido $2 200, ¿cuánto es el jornal de un obrero?

Rpta.: _______ 4. A una fiesta asistieron 93 personas, si se retiran diez hombres y ocho mujeres, se observa que el número de mujeres que quedan es los 2/3 del número de hombres que quedan. ¿Cuántos hombres y mujeres había inicialmente?

a) $ 70 d) 100

b) 80 e) 140

c) 90

3. En una reunión de profesores, se observó que los hombres son el triple de las mujeres. Si en total hay 84 profesores, ¿cuántos hombres sobran si bailan en parejas?

Rpta.: _______ 5. El perímetro de un terreno rectangular es 400 m. Si el ancho es los 2/3 del largo, hallar el área del terreno.

a) 54 d) 21

Rpta.: _______ 6. ¿Qué hora es, si las horas transcurridas son los 3/5 de las horas que faltan transcurrir?

b) 42 e) 40

c) 46

4. Dos depósitos contienen 1 200 y 2 800 litros de petróleo cada uno. ¿Cuánto hay que pasar del segundo al primero para que esta tenga siete veces lo que queda en el segundo?

Rpta.: _______

16


Planteamiento de problemas II a) 500 l d) 2 300

b) 1 400 e) 2 000

8. El precio de un célular es la cuarta parte del precio de un televisor y la diferencia de precios es $ 210. ¿Cuánto cuesta cada uno?. Dar la suma.

c) 1 800

a) $350 d) 290

5. Los jornales de un padre y su hijo suman S/.460. Si el jornal del padre es el triple del hijo más S/.20, ¿cuánto recibe el hijo por 10 días? a) S/.1 000 d) 1 100

b) 1 050 e) 1 200

b) 5 e) 15

a) 9 d) 12

b) 220 e) 350

b) 10 e) 13

c) 11

10.En una fiesta el número de mujeres es los 3/4 del número de hombres y la diferencia entre ellos es 18. ¿Cuántas parejas se deben retirar para que el número de mujeres sea los 7/10 del número de hombres?

c) 7

7. La diferencia de dos números es 210 y uno de ellos es ocho veces el otro. Hallar el mayor. a) 240 d) 270

c) 400

9. Si un televisor cuesta $220 más que un equipo y éste cuesta la quinta parte del precio del televisor. ¿Cuántos televisores puedes comprar con $2 750?

c) 1 080

6. De un total de 60 preguntas, las preguntas de Ciencias son la tercera parte de las de Letras y la quinta parte de las preguntas de Ciencias son difíciles. ¿Cuántas son éstas? a) 3 d) 9

b) 300 e) 320

a) 10 d) 16

b) 12 e) 24

c) 15

c) 250

17


COLEGIO

Repaso

TRILCE

Capítulo V Problemas para la clase Bloque I

7. Si cada asterisco representa una cifra, calcular la suma de cifras halladas en:

1. Efectuar:

(20 + 40 ÷ 2) x 3

a) 40 d) 90

b) 80 e) 30

2. Calcular:

c) 120

9 2 3 1 0 0 4 a) 31 d) 34

[15 + (12 - 32)] ÷ 3

a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

3. Efectuar:

* * * 2 3 * 4 + 2 3 4 9 5 6 * 3 4 6 * * 5 2 _____________

c) 8

b) 13 e) 14

* 2 3 6 * -4 * 6 3 2 _________ 2 5 * * 9

c) 18

a) 23 d) 26

4. Efectuar:

4 + 30 ÷ 2 − 4 + 6 × 9 − 5 b) 4 e) 7

c) 5

calcular: a x b a) 0 d) 4

A = -5 × {-3 + 2 - 5 - (3 × 22) + 72 - 32} 3

a) -92 d) 92

c) 25

b34 b − cb 7 = a8a5

5. Calcular “A + B”, si:

B=

b) 24 e) 27

9. Si: 2

a) 3 d) 6

c) 33

8. Reconstruir la siguiente sustracción e indicar la suma de cifras del minuendo.

15 + 30 ÷ 3 - 18 x 2 + 52

a) 12 d) 15

b) 32 e) 35

c) 3

10.Indicar la suma de cifras del multiplicando en: * * * x 9 _______ * 3 7 9

210 − 2 × 10 − 20 × 3 ÷ (10 + 50 ÷ 10) + 2 3 b) -110 e) 110

b) 2 e) 9

c) -128 a) 13 d) 14

6. Si: a + b + c = 14 , calcular:

b) 19 e) 12

c) 21

ab 3 + bca + c 2b + 4 ac

a) 1 977 d) 1 754

b) 1 554 e) 1 654

c) 1 777

19

Colegio TRILCE

Repaso Bloque II

6. Si Pepe y Lucho juntan sus ahorros tendrían S/.460. Si Pepe tiene ahorrado S/.50 más que Lucho, ¿cuánto dinero tiene Lucho?

1. ¿Cuánto suman las cifras del producto? 4 ? 8 ? x ? 2 _______ 8 3 7 4 ? ? ? ? 6 ___________ ? ? ? ? ? ? a) 20 d) 23

b) 21 e) 19

a) S/.240 d) 315

c) 22

a) 20 años d) 35

a) 22 años d) 29

a) 8 d) 18

23

a) S/.40 d) 80

b) 13 e) 14

a) S/.215 d) 285

b) 54 e) 44

c) 10

a) 15 cm d) 34

b) 18 e) 10

c) 14

b) 50 e) 70

c) 60

b) 235 e) 205

c) 265

b) 16 e) 23

c) 17

13.Entre Melissa y Mónica tienen en el banco S/.6 400. Lo que le corresponde a Melissa es cuatro veces lo que le corresponde a Mónica con un adicional de S/.200. ¿Cuánto le corresponde a Mónica?

c) 42

5. Las edades de Imanol y su papá suman 52 años. Si la edad del papá excede en 28 años a la del hijo, ¿cuántos años tiene Imanol? a) 24 d) 12

b) 11 e) 22

12.Se parte una regla de 60 cm en dos pedazos. Si comparamos ambos trozos, resulta que la más grande contiene dos veces a la más pequeña y con un sobrante de 9 cm. ¿Cuánto mide la parte más pequeña?

4. La suma de dos números es 108. Si su diferencia es 24, ¿cuál es el menor de dichos números? a) 30 d) 66

c) 28

11.Lucho y Mario tienen juntos S/.342. Si lo que tiene Mario es cinco veces lo que tiene Lucho, ¿cuánto tiene Mario?

12 ___ ac

*1 a) 11 d) 12

b) 25 e) 30

10.Juan tiene ahorrado la cuarta parte de lo que tiene Felipe. Si entre los dos tienen S/.200, ¿cuánto debe darle Felipe a Juan para que ambos tengan igual cantidad?

c) 5 261

3. Si cada asterisco representa una cifra distinta de cero, hallar: a + b

* * ___ 8* ** ____

c) 30

9. Carlitos y su tío Fabricio han sumado sus edades y obtuvieron 28 años. Si Fabricio tiene el triple de la edad de Carlitos, ¿qué edad tendrá Fabricio el próximo año?

* ** 1 *8 ____

_____ aba

b) 25 e) 40

8. La suma de las edades de Yesenia y Daisy es 53 años. ¿Qué edad tiene Yesenia si cuando ella nació Daisy tenía tres años?

* 2 * * ______ ** 4* 21 * ___ 4* * * ____

b) 5 055 e) N.A.

c) 215

7. Si tenemos las edades de Betty y Rosa, obtendremos 55 años. Si Betty es menor que Rosa por cinco años, hallar la edad de Betty.

2. Si cada asterisco representa una cifra, calcular la suma del dividendo con el divisor.

a) 5 255 d) 5 155

b) 190 e) 290

a) S/.1 200 d) 1 280

b) 1 240 e) 2 240

c) 1 340

c) 16

20


Repaso

En el siguiente cuadrado cada fruta representa un dígito diferente. Se muestra el valor de la suma de los elementos de cada columna y cada fila. Debe usted hallar el valor de cada fruta y la suma de la primera columna y la suma de la diagonal que va desde la parte superior izquierda a la inferior derecha.

= 28 = 30 = 20

=

19

=

=

=

A

20

30

= 16 =B

Si te pareció muy fácil, ahora prueba con el siguiente, donde cada símbolo representa un dígito diferente del 1 al 9. ¿Cuál es la suma de la diagonal que va desde la parte superior izquierda a la inferior derecha?

= 20 = 18 = 23

=

27

=

=

=

16

28

16

21

= 26 =?


COLEGIO

Edades y Precios

TRILCE

Capítulo VI ¿Tanto trabajo para nada?

El estudio, como todo en la vida, tiene momentos de dificultad, y de esto no se escapa nadie, ni los más grandes: la diferencia está en la actitud, pues cada éxito tiene detrás muchos fracasos ..., tomemos por ejemplo el caso de Einstein, quien durante algún tiempo trabajó con colaboradores como Hoffman, Ingfield, Bergman y Strauss. Este último escribió: "Trabajamos durante nueve meses [en una teoría correcta]. Entonces una noche descubrí un tipo de solución que a la luz del nuevo día reveló que la teoría era inconsistente desde un punto de Albert Einstein vista físico". A Strauss el revés casi le partió el corazón, pero escribió: "A la mañana siguiente, Einstein había olvidado el fracaso y se encontraba pensando ya en una nueva teoría". Esa es la actitud de un verdadero triunfador ... ¿cuál es la tuya?

EDADES

importante es que siempre Armando le lleva tres años a Daniela, es decir, que la diferencia de sus edades es siempre 3, no importa cuanto tiempo avancemos o retrocedamos.

Para los problemas con edades, conviene visualizar los datos en un cuadro, el cual contendrá la información correspondiente a los sujetos que intervienen, y los tiempos en que se encuentran (pasado, presente y futuro).

Por ello se afirma que: La diferencia de edades entre dos sujetos es constante (no cambia) a través del tiempo.

No olvides que: Edad es el tiempo de existencia de un ser (desde el nacimiento). Normalmente la edad se expresa en años, pero en ocasiones puede ser en meses o incluso días (¿En qué caso se usa mucho esto?).

A. Problemas con un solo sujeto 1. Si hace siete años tenía 20 años, ¿cuántos años tengo?

Hay un hecho que resulta muy útil para resolver problemas sobre edades en los cuales intervengan varios sujetos y que podremos notar con el siguiente ejemplo:

Hace 7 años

PRESENTE ____

PASADO 20

Supongamos que Armando tiene en este momento 18 años y Daniela 15; veamos en un cuadro algunas de sus edades pasadas y futuras.

Hace 3 años Hace 2 años Hace 1 año Hoy Dentro de 1 año Dentro de 2 años Dentro de 3 años

-7

+7 Como vemos, la edad actual es: 20 + 7 = 27 años

Armando Daniela 15 12 16 13 17 14 18 15 19 16 20 17 18 21

2. Si dentro de 15 años tendré 32 años, ¿qué edad tuve hace ocho años?

Hace 8 años

PASADO

Observa que en todo momento Armando es mayor que Daniela, bueno eso era obv¡o, ¿verdad?. Pero lo más

-8

+15 PRESENTE

Dentro de 15 años FUTURO 32

-15

23

Colegio TRILCE

Edades y Precios Como vemos, la edad actual es: 32 - 15 = 17 años Hace ocho años tuve: 17 - 8 = 9 años

Por ello: De donde deducimos:

3. Dentro de seis años, Anita tendrá el triple de la edad que tenía hace cuatro años. ¿Cuántos años tiene Anita?

Hace 4 años

-4

+6

PASADO

PRESENTE

= 15 (Ésta es la edad de Julio)

Dentro de 6 años

Por lo tanto: 15

FUTURO

15

= 30 (Ésta es la edad de Fernando)

2. Lidia tenía veinte años cuando dio a luz a su hija Karín, y actualmente tiene el triple de la edad de su hija. ¿Cuántos años tendrá Lidia dentro de ocho años?

10 (Observa que desde el "pasado" hasta el "futuro" han pasado: 4 + 6 = 10 años)

PRESENTE

PASADO

La diferencia de edades es igual al tiempo que ha pasado: -

= 15

= 10

Lidia

20

Karín

0

Diferencia de edades: 20 - 0 = 20 (¡No cambia!) -

= 10

= 20

De donde: Como hemos obtenido que dos

equivalen a 10,

= 20

cada uno valdrá 5. Por lo tanto, completando tendremos: Así que:

Hace 4 años

+6

-4 PRESENTE

PASADO 5

Dentro de 6 años

= 10 (Ésta es la edad de Lidia) Por lo tanto:

FUTURO 5 5 5

= 15

10

10

= 30 (Ésta es la edad de Karín)

10

Dentro de ocho años tendrá: 30 + 8 = 38 años

+4 Por ello Anita tiene: 5 + 4 = 9 años (Observa que, efectivamente, dentro de seis años tendrá 15, el triple de 5, que era la edad que tenía hace cuatro años).

PRECIOS Las principales relaciones que debemos tener en cuenta para problemas acerca de precios son:

B. Problemas con dos o más sujetos

Pv = Pc + G Pv = Pc - P

1. Cuando Fernando tenía 20 años, Julio tenía cinco años; hoy la edad de Fernando es el doble de la edad de Julio. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?

PASADO Fernando

20

Julio

5

Pv = Pf - D Donde:

PRESENTE

Diferencia de edades: 20 - 5 = 15 (¡No cambia!) 24

Pv:

Precio de venta

Pc:

Precio de costo

Pf:

Precio fijado o de lista

G:

Ganancia

P:

Pérdida

D:

Descuento Primer año de secundaria

Edades y Precios 5. Si dentro de nueve años tendré el doble de la edad que tuve hace ocho años, ¿cuántos años tengo? 1. Si vendo un objeto en S/.3 500, gano S/.1 250. ¿Cuánto me costó dicho objeto?

a) 23 años d) 26

Pv = 3 500; G = 1 250; Pc = ¿?

a) S/.8 420 d) 5 700

Luego: Pc = 3 500 - 1 250; entonces: Pc = S/.2 250

a) S/.6 400 d) 4 400

tres partes iguales

a) $54 d) 57

$4 000

por ello:

= 2 000

a) $66 d) 69

1. Si hace 14 años tenía ocho años, ¿qué edad tendré dentro de 14 años? b) 36 e) 28

c) 38

c) 56

b) 67 e) 70

c) 68

b) 18 e) 15

b) 20 e) 26

1. Nuestras edades suman 40 años, pero yo nací 10 años antes que tú. ¿Qué edad tengo?

c) 17

a) 15 años d) 12

b) 25 e) 28

c) 20

2. Tengo el triple de tu edad y dentro de 12 años nuestras edades sumarán 48 años. ¿Por cuántos años soy mayor que tú?

c) 22

a) 4 d) 10

4. Hace cuatro años, la edad de Valeria era la tercera parte de la edad que tendrá dentro de diez años. ¿Qué edad tiene Valeria? b) 12 e) 15

b) Pierde, S/.300 d) Pierde, S/.310

Bloque II

3. La edad que tengo es el cuádruple de la edad que tuve hace 15 años. ¿Qué edad tendré dentro de dos años?

a) 11 años d) 14

b) 55 e) 58

a) Gana, S/.300 c) Gana, S/.310 e) Ni gana ni pierde

2. Si dentro de 20 años tendré 43 años, ¿qué edad tuve hace seis años?

a) 18 años d) 24

c) 3 400

10.Estos son los gastos en una pequeña empresa: S/.2 500 en personal; S/.1 340 en materia prima; S/.1 200 en electricidad; S/.2 100 en impuestos. Si obtuvieron por la venta de sus productos un total de S/.6 830, ¿la empresa gana o pierde? ¿cuánto?

Bloque I

a) 19 años d) 16

b) 5 400 e) 2 400

9. ¿Cuánto perderá un vendedor, si un televisor que le cuesta $246 debe rematarlo en $179?

En total las tres partes dan en total: 3 x 2 000 = $6 000

a) 32 años d) 25

c) 760

8. ¿Cuánto ganaré al vender una radio, que adquirí en $268, si la vendo en $325?

Un tercio

= 4 000

b) 8 400 e) 8 200

7. ¿A qué precio debo vender un objeto que me costó S/.4 900 para perder sólo S/.1 500?

2. Un auto cuesta $4 000, más un tercio de su valor. ¿Cuánto cuesta el auto?

Observa que:

c) 25

6. ¿A qué precio debo vender un objeto que me costó S/.4 500 para ganar S/.3 700?

Observa que, como: Pv = Pc + G, podremos decir que: Pc = Pv - G

Precio del auto

b) 24 e) 27

b) 6 e) 12

c) 8

3. La edad de Pedro es el triple de la edad de Cecilia. Dentro de cinco años la edad de Pedro será el doble de la de Cecilia. ¿Cuántos años tiene Cecilia?

c) 13

25


Edades y Precios a) 10 d) 12

b) 5 e) 15

c) 8

a) 10 años d) 14

4. Cuando Carlos nació, Miguel tenía 30 años. Ambas edades hoy suman 28 años más que la edad de Pedro, quien tiene 50 años. ¿Cuántos años tiene Germán, que nació cuando Carlos tenía 11 años? a) 10 d) 17

b) 12 e) 15

b) 18 e) 24

-

c) 13 -

-

b) 26 980 e) 27 050

a) 15 años d) 24

b) Pierde, S/.74 d) Pierde, S/.78

b) 240 e) 247

a) 15 y 10 d) 20 y 25

b) 2 e) 10

a) 20 d) 30

c) 297

b) 200 e) 900

b) 10 y 5 e) 20 y 5

c) 20 y 30

b) 24 e) 32

c) 26

6. Un equipo de sonido cuesta $400, más un quinto de su valor. Si se vende a $650, ¿cuánto se ganará en la venta de tres equipos? a) $510 d) 450

c) 6

b) 500 e) 600

c) 480

7. Julio ha comprado 23 cuadernos de 100 hojas por S/.92 y 13 cuadernos de 150 hojas por S/.65. Si hubiera comprado 11 cuadernos de 150 hojas y 13 cuadernos de 100 hojas, ¿cuánto hubiera gastado?

10.Una computadora cuesta $600, más un cuarto de su valor. ¿Cuánto cuesta una computadora? a) $800 d) 450

c) 22

5. Pepo le dice a Pipo: "Dentro de 16 años nuestras edades sumarán el triple de lo que sumaban hace 10 años". Pipo le responde: "No olvides que tú naciste seis años antes que yo". ¿Cuántos años tiene Pepo?

c) 29 330

9. Un ladrillo cuesta S/.4, más medio ladrillo. ¿Cuánto cuesta un ladrillo? a) S/.4 d) 8

b) 20 e) 25

4. Hace cinco años Pedro tenía cinco años más que Rafael, pero dentro de cinco años sus edades sumarán 35 años. ¿Cuántos años tiene cada uno?

8. ¿Qué precio se debe poner a un televisor que costó $220, de tal manera que al venderlo se haga un descuento de $33, y aún así se gane $44? a) $330 d) 300

b) 25 c) 30 e) No se puede saber

3. Hace 10 años, la edad de un padre era el doble de la de su hijo, y dentro de 10 años la edad del padre será 65 años menos que el triple de la de su hijo. ¿Qué edad tiene el hijo?

7. Compré una casa en $17 400; gasté en construir el segundo piso $8 300; además, para refaccionar el primer piso tuve que gastar $1 280. ¿En cuánto debo venderla para obtener una ganancia de $2 350? a) $28 330 d) 28 050

¿Cuántos años te faltan para cumplir los 30 años? Mira, dentro de 65 años tendré seis veces la edad que tenía hace 10 años, por ello, para que cumpla 30 años aún faltan ... No es necesario que me lo digas, pues es evidente que te faltan tantos años como la sexta parte de mi edad. ¡Ah, entonces tú tienes:

a) 24 años d) 36

c) 20

6. Estos son los gastos en una pequeña empresa: S/.3 424 en personal; S/.2 340 en materia prima; S/.558 en agua y electricidad; S/.310 en impuestos, S/.72 en otros gastos. Si obtuvieron por la venta de sus productos un total de S/.6 630, ¿la empresa gana o pierde? ¿cuánto? a) Gana, S/.78 c) Gana, S/.74 e) Ni gana ni pierde

c) 11

2. Dos personas sostienen la siguiente conversación:

5. La suma de nuestras edades es 40 años, pero hace cinco años yo era mayor que tú por ocho años. ¿Qué edad tendrás dentro de seis años? a) 16 años d) 22

b) 12 e) 16

c) 750

a) S/.117 d) 125

Bloque III

b) 112 e) 107

c) 93

8. Una docena de lápices se vende a S/.5, y por cada dos docenas compradas se recibe un lápiz de regalo. Al efectuar mi compra pagué en total S/.60. ¿Cuántos lápices recibí?

1. Al preguntar en una tienda de mascotas por la edad de una tortuga, me dijeron que hace cuatro años tenía la cuarta parte de los años que tendrá dentro de ocho años. ¿Dentro de cuántos años tendrá 20 años? 26


Edades y Precios a) 120 d) 150

b) 132 e) 162

c) 144

a) S/.10 d) 2

b) 12 e) 3

c) 1

10.Un libro me cuesta S/.8 más que una revista, además, una revista me cuesta S/.3 más que un periódico. Si dos revistas y dos periódicos cuestan S/.18, ¿cuánto cuesta un libro?

9. Cuando fui a comprar un regalo en cierta tienda, me cobraban en total S/.15 por el regalo ya envuelto; pregunté cuanto me cobraban si no me lo envolvían, y resultó que entonces me costaría S/.11 más de lo que cobran por envolver el regalo. ¿Cuánto cuesta envolver un regalo en esa tienda?

a) S/.14 d) 15,50

b) 18,50 e) 17

c) 13

Autoevaluación 1. Señala las afirmaciones falsas:

3. Dentro de 12 años mi edad será el doble de la tuya. Si eres menor que yo por 20 años, ¿qué edad tuve hace 14 años?

I. Siempre el precio de venta es igual al precio de costo más la ganancia.

a) 8 años d) 20

II. La diferencia de las edades de dos personas se mantiene constante en el tiempo. III. Siempre el precio de venta es mayor que el precio de costo. a) Sólo III d) I y III

b) I y II e) Todas

b) 25 e) 22

c) 14

4. ¿Qué precio debo ponerle a un objeto que me costó S/.4 576, para que, al hacerle un descuento de S/.1 432, aún esté ganando S/.3 453?

c) Sólo I

a) S/. 9 461 d) 10 893

2. Hace ocho años tenía 15 años. ¿Qué edad tendré dentro de dos años? a) 23 años d) 21

b) 10 e) 28

b) 6 597 e) 8 455

c) 8 029

5. Una computadora cuesta $900 más un cuarto de su valor. ¿Cuánto costarán dos computadoras?

c) 24

a) $1 200 d) 2 400

27

b) 1 125 e) 1 300

c) 2 250


COLEGIO

Falsa suposición

TRILCE

Capítulo VII

Más que fórmulas A veces en las clases se suele escuchar que los alumnos quieren ahorrarse el trabajo de pensar en lo que se hace, y sólo piden una fórmula que lo resuelva todo "de frente". No es algo nuevo, ya Einstein decía que "la mente de un joven no debe atiborrarse con datos, nombres y fórmulas, cosas todas que puede encontrar en los libros (...). Los años de estudio deben emplearse únicamente para enseñar a pensar al joven, para darle un entrenamiento que ningún manual puede sustituir". Así que, a poner empeño en clase, ya que las matemáticas son mucho más que sólo fórmulas ...

Imaginemos el siguiente caso:

¿Recuerdas que al inicio nos faltaba 24? Por eso, como en cada cambio aumenta en 2, el total de cambios que deberé hacer para que cumpla con lo pedido es de:

En un salón de 20 alumnos hay algunos alumnos que tienen 12 años, y el resto tiene 14 años. Al sumar todas las edades de los alumnos obtenemos un total de 264. Se quiere saber cuántos alumnos de dicho salón tienen 12 años y cuántos 14.

24 ÷ 2 = 12 Quiere decir que, del total de los 20 alumnos que al inicio supuse que tenían 12 años, he cambiado a 12 de ellos por alumnos de 14, por lo que ahora tendré 12 alumnos de 14 años y el resto (20 - 12 = 8) serán los que tienen 12 años.

Hay varias maneras para resolver este tipo de problema; vamos a tratar de usar una en la cual, razonando adecuadamente, podamos hacerlo utilizando sólo las cuatro operaciones básicas.

¡Compruébalo! Suma de las edades de los ocho alumnos de 12 años: 12 x 8 =

Supongamos que todos los alumnos del salón tienen 12 años; si esto fuera cierto, la suma de las edades de los 20 alumnos del salón sería:

Suma de las edades de los 12 alumnos de 14 años:

20 x 12 = 240

Suma de las edades de todos los alumnos (Debe salir 264)

Observa que este resultado no es el que buscamos, puesto que en el problema nos dicen que en total suman 264 años ... ¡Nos falta! ¿Cuánto?

+

14 x 12 = + ___________ =

+

Es por eso que este método se llama falsa suposición, porque suponemos algo que no es cierto, y a través de ello llegamos al resultado correcto.

264 - 240 = 24 Aquí viene lo más importante: ¿Por qué nos falta 24?. Simplemente porque al inicio supusimos que todos los alumnos tenían 12 años y esto no es cierto (recuerda que algunos tienen 14), así que cambiemos algunos de los alumnos de 12 por otros de 14, hasta que lleguemos a lo pedido ... ¿Cómo saber cuántos?. Cambiémoslos de uno en uno, así, si saco un alumno de 12 años, el total disminuye en 12, pero al poner uno de 14 en su lugar, aumentará en 14, así que el total aumentará en:

Para poder hacer todo esto de manera más práctica, vamos a usar los conceptos de Error Total y Error Unitario; observa como aplicamos al problema anterior: Falsa Suposición: F.S. = 20 x 12 = 240 (Sup. que todos tienen 12) Error Total: E.T. = 264 - 240 = 24 (Me pasé por 24) Error Unitario: E.U. = 14 - 12 = 2 (Cada cambio aumenta 2)

14 - 12 = 2

29

Colegio TRILCE

Falsa suposición Nº de alumnos de 14 años:

E.T. 24 = = 12 E.U. 2

3. En una granja hay vacas y pollos. Si el número total de cabezas es de 28 y el número de patas es de 94, ¿cuántos pollos hay?

Fácil, ¿cierto?. Veamos algunos ejemplos más.

a) 8 d) 11

Pollos (dos patas) Conejos (cuatro patas)

Falsa Suposición: Error Total: Error Unitario:

F.S. = 30 x 2 = 60 E.T. = 68 - 60 = 8 E.U. = 4 - 2 = 2

Nº de conejos:

E.T. 8 = =4 E.U. 2

a) 3 d) 6

68 patas

Correctas (5 puntos) Equivocadas (-2 puntos)

a) 15 d) 25

F.S. = 40 x 5 = 200 E.T. = 200 - 95 = 105 E.U. = 5 - (-2 ) = 7

Nº preguntas equivocadas:

E.T. 105 = = 15 E.U. 7

a) 9 d) 12

a) 4 y 8 d) 6 y 6

b) 10 e) 13

c) 11

b) 10 y 2 e) 7 y 5

c) 9 y 3

b) 8 e) 9

c) 12

9. En un taller de reparación de bicicletas se contaron 15 vehículos entre bicicletas y triciclos; en total hay 35 ruedas. ¿Cuántos triciclos hay?

1. Tengo 10 bolsas de caramelos, algunas de cinco caramelos cada una, y las otras de seis caramelos cada una; en total tengo 56 caramelos. ¿Cuántas bolsas son de cinco caramelos?

a) 5 d) 7

b) 10 e) 6

c) 8

10.Se vendieron entre adultos y niños, un total de 91 boletos para una función de cine. Si un boleto de adulto costaba S/.5, y un boleto de niño S/.3, ¿cuántos boletos de adulto se vendieron, si en total se recaudaron S/.311?

c) 5

2. Tengo S/.400 en billetes de S/.20 y de S/.50. Si en total tengo 14 billetes, ¿cuántos billetes de S/.20 tengo? b) 4 e) 7

c) 24

8. Al envasar 120 litros de leche en depósitos de cinco y ocho litros, se usaron en total 18 de dichos depósitos. ¿Cuántos eran de cinco litros?

Bloque I

a) 10 d) 6

b) 26 e) 20

7. Paula ha comprado 12 cuadernos, algunos de 100 hojas y otros de 200 hojas. Si contara el total de hojas de sus cuadernos, obtendría 1 700 hojas. ¿Cuántos cuadernos de cada tipo compró?

a) 10 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

6. En el estacionamiento de una empresa hay 22 vehículos, entre camiones de seis ruedas y camionetas de cuatro ruedas. En total hay 108 ruedas. ¿Cuántas camionetas hay en el estacionamiento?

95 puntos

Falsa Suposición: Error Total: Error Unitario:

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

5. Una persona tiene 40 animales entre perros y gallinas. Si el total de patas es de 130, hallar el número de perros.

2. En un examen de 40 preguntas se asigna cinco puntos a las preguntas bien contestadas, y dos puntos menos a las preguntas mal contestadas. Si un alumno contestó todas las preguntas y obtuvo 95 puntos, ¿en cuántas preguntas ha fallado?

40 preguntas

c) 10

4. Christian compró 10 prendas de vestir entre camisas y pantalones, gastando S/.310. Cada camisa cuesta S/.25 y cada pantalón S/.40. ¿Cuántas camisas compró?

1. En un corral donde hay pollos y conejos, se cuentan 68 patas y 30 cabezas. ¿Cuántos conejos hay?

30 animales

b) 9 e) 12

a) 19 d) 21

c) 8

30

b) 72 e) 23

c) 17


Falsa suposición Bloque II

8. En cierta función de teatro se paga S/.10 de entrada general, pero se hace un descuento de S/.4 a los estudiantes, previa presentación de su carnet. Se vendieron en total 68 entradas, y se recaudaron S/.624. ¿Cuánto dinero se obtuvo en entradas de estudiantes?

1. En una granja se crían gallinas y conejos; el granjero cuenta en total 48 ojos y 68 patas. ¿Cuántas gallinas hay en la granja? a) 9 d) 12

b) 14 e) 8

c) 10

a) S/.48 d) 42

2. En un cuartel de 70 soldados todos se disponen a hacer "planchas" o "ranas". En un determinado momento, el sargento pudo observar sobre el piso 206 extremidades en total. ¿Cuántos soldados se encuentran haciendo "ranas"? a) 37 d) 30

b) 35 e) 40

b) 70 e) 100

c) 33

a) 46 d) 2

b) 3 e) 2

c) 80

a) 2 d) 13

b) 48 e) 70

b) 10 e) 4

b) 20 e) 60

c) 5

I. Se usaron 18 billetes de $20 II. Hay seis billetes más de $20 que de $10 III. En billetes de $10 hay un monto de $120 a) Sólo I d) I y III

c) 30

b) Sólo II e) Todas

c) I y II

2. Un transporte del aeropuerto lleva 100 maletas hacia la bodega del avión, con un peso total de 7 600 kg. Si sólo se permiten maletas de 80 y 60 kg, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Hay maletas de 80 kg II. Hay 20 maletas más de un tipo III. La cantidad de maletas de 80 kg es el cuádruplo que las de 60 kg.

c) 20

a) Sólo I d) I y III

7. Una granja tiene 40 animales entre pollos y conejos. Al granjero se le ocurrió contar las patas de todos sus animales y obtuvo 140. ¿Cuántas patas de pollos hay en total? a) 10 d) 40

b) 16 e) 9

1. Con 30 billetes se pagó una deuda de $480; algunos billetes eran de $10 y otros de $20; entonces podremos afirmar que:

c) 4

6. Se tienen dos tipos de juguetes, unos cuestan S/.30 cada uno, y otros S/.40 la unidad. Se compraron en total 40 juguetes y se gastó en total S/.1 450. ¿Cuántos juguetes más de un tipo que del otro se compraron? a) 16 d) 0

c) 36

Bloque III

5. En un examen un estudiante marca las 140 preguntas de que consta, y obtiene 80 puntos. Se sabe que por pregunta correcta obtiene dos puntos, mientras que por pregunta equivocada se le descuenta también dos puntos. ¿Cuántas preguntas ha fallado? a) 60 d) 50

b) 40 e) 32

10.Un listón de madera tiene 7,40 metros de longitud. Se corta en trozos de 40 y 50 cm, logrando en total 18 varillas, sin desperdiciar material. ¿Cuántas varillas se obtienen de 50 cm?

4. Se compraron nueve kilos de arroz de dos calidades, el superior de S/.3 el kilo y el arroz extra de S/.2 el kilo. Si en total se pagaron S/.24, ¿cuántos kilogramos de arroz superior se compraron? a) 6 d) 5

c) 36

9. En un examen, un alumno gana cuatro puntos por respuesta correcta, pero pierde un punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 50 preguntas ha obtenido 180 puntos, ¿cuántas ha respondido correctamente?

3. Las entradas para el teatro cuestan S/.5 para adultos y S/. 3 niños. Si al teatro asistieron 600 personas, y se recaudó un total de S/.2 340, ¿cuántos niños más que adultos asistieron al teatro? a) 60 d) 68

b) 84 e) 72

b) Sólo III e) Todas

c) I y II

3. Los pasajes de una línea de combi cuestan S/.1,10 para adultos y S/.0,70 el "medio" pasaje para universitarios y se recaudó S/.84 luego de haber viajado 100 personas. ¿Han subido más universitarios o adultos? ¿Cuánto es la diferencia entre ambos?

c) 30

31


Falsa suposición a) b) c) d) e)

Universitarios, 35 Universitarios, 30 Adultos, 30 Adultos, 25 Adultos, 35

7. Mi amigo Carmaramegildo Pipirigonza tiene una colección de insectos y de arañas, curiosamente tantos como el total de letras que tienen su nombre y apellido juntos. Se me ocurrió contar las patitas de todos ellos y resultó que hay en total 178 patitas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones será verdadera?

4. Un entomólogo tiene entre su colección una caja con arañas y escarabajos; pudimos contar en ella 78 patas y 11 cabezas. Halla la diferencia entre las cantidades de arañas y escarabajos en la colección del entomólogo, si el total de sus arañas es el quíntuplo de las que hay en d¡cha caja, mientras que el total de sus escarabajos es el séxtuplo de los que están en la caja. a) 10 d) 1

b) 5 e) 3

a) b) c) d) e)

8. Podría ahorrar 20 soles al día. Pero cada mañana soleada gasto S/.9 en helados, y cada mañana nublada gasto S/.6 en café. Si en 21 días he ahorrado S/.258, ¿cuántos días tuvieron mañanas nubladas?

c) 0

5. Se envasaron 73,75 litros de cerveza en 120 botellas, las cuales son de 750 ml y de 500 ml de capacidad. Determina la diferencia entre el número de botellas de 750 ml y de 500 ml que se necesitaron. a) 50 d) 40

b) 70 e) 10

a) 12 d) 6

b) 176 e) 202

b) 9 e) 8

c) 11

9. En cierta tienda, se vende la docena de huevos rosados a S/.36 mientras que por la docena de huevos blancos se cobra S/.24 y por 260 huevos se obtienen S/.624 soles ¿Cuántos huevos eran rosados, si por cada docena de huevos que vende obsequia un huevo blanco?

c) 30

6. En una empresa hay una flota de 45 vehículos, entre camiones de ocho y de 10 ruedas; cada uno tiene dos ruedas de repuesto. Cuando se hace un pedido para cambiar todas las ruedas de los camiones (incluidas las de repuesto), dicho pedido asciende a 494 llantas en total. ¿Cuántas llantas se necesitan para todos los camiones de ocho ruedas, sin contar las de repuesto? a) 184 d) 220

Hay tres insectos más que arañas. Hay cuatro arañas más que insectos. Las patas de las arañas son en total 88. Las patas de los insectos son en total 84. Hay 46 patas de arañas más que de insectos.

a) 12 d) 106

b) 144 e) N.A.

c) 38

10.En el problema anterior, averigua cuántos huevos blancos no se han obsequiado del total.

c) 230

a) 96 d) 156

b) 106 e) N.A.

c) 100

Autoevaluación 1. En una granja hay 20 animales, entre vacas y gallinas. Si se cuentan 48 patas de animales, ¿cuántas gallinas hay? a) 16 d) 8

b) 12 e) 4

4. Al ir al banco, saqué de mi cuenta un total de S/.1 210, en billetes de S/.20 y de S/.50; al contarlos me dí cuenta que tenía un total de 32 billetes. ¿Qué tengo más, billetes de S/.20 o de S/.50? ¿Cuántos?

c) 10

a) Billetes de S/.20 - 3 más c) Billetes de S/.20 - 6 más e) Igual de los dos

2. En un estacionamiento se observan 40 vehículos entre motocicletas y automóviles. Si se cuentan un total de 130 llantas, ¿cuántos autos hay? a) 30 d) 15

b) 25 e) 10

5. En una canasta hay 47 frutas, entre manzanas y naranjas; las manzanas pesan 35 g cada una y las naranjas pesan 48 g cada una. Al pesar todas las frutas, se obtuvo 1 957 g. Se afirma que:

c) 20

3. En un examen se obtiene cuatro puntos por pregunta acertada y se pierde un punto por pregunta equivocada. Luego de contestar 97 preguntas, se obtienen 193 puntos. ¿Cuántas han sido respondidas correctamente? a) 58 d) 45

b) 52 e) 39

b) Billetes de S/.50 - 3 más d) Billetes de S/.50 - 6 más

I. Las manzanas pesan 805 g en total II. Las naranjas pesan en total 1 154 g III. Las manzanas son uno más que las naranjas

c) 48

Son ciertas: a) Sólo I d) I y III 32

b) Sólo III e) Todas

c) I y II


COLEGIO

Repaso

TRILCE

Capítulo VIII Problemas para la clase Bloque I

9. Compré una docena de relojes a S/.57 cada uno. ¿A cómo debo vender la docena para ganar S/.150?

1. Si hace 18 años tenía 15 años, ¿qué edad tendré dentro de 22 años? a) 50 d) 57

b) 53 e) 63

a) S/.205 d) 684

c) 55

b) 12 e) 32

a) $250 d) 600

c) 18

b) 11 e) 14

b) 24 e) 33

a) 20 d) 19

b) 1 e) 5

c) 27

a) 6 d) 9

b) 125 e) 100

c) 3

a) 6 d) 9

c) 115

b) 11 500 e) 12 500

-

c) 4 800

b) 1 870 e) 1 800

c) 2

b) 7 e) 10

c) 8

4 puntos cada pregunta correcta -2 puntos cada pregunta incorrecta 0 puntos cada pregunta no contestada

Si un alumno contestó las 80 preguntas y obtuvo un puntaje de 162 puntos, ¿cuántas preguntas contestó de manera incorrecta?

8. ¿Cuánto me costó lo que al vender en S/.1 580 me deja una pérdida de S/.390? a) S/.1 970 d) 1 790

b) 7 e) 5

4. En un examen de 80 preguntas se ofrece el siguiente puntaje:

7. Al vender mi auto en $6 900, estoy perdiendo $2 500, ¿en cuanto debería venderlo para ganar $2 100? a) $11 400 d) 4 500

c) 22

3. Se embotellaron 234 onzas de alcohol en botellitas de 10 y 12 onzas. Si el total de botellitas de uno y otro tamaño es 21. ¿Cuántas botellitas de 10 onzas tienen alcohol?

6. Al vender mi bicicleta en $150, estoy perdiendo $435. ¿Cuánto me costó la bicicleta? a) $185 d) 105

b) 21 e) 18

2. Se desea envasar 184 litros de vino en toneles de 14 y 20 litros. ¿Cuántos toneles de 20 litros se necesitaron si el total de toneles empleados fue 11?

5. Pedro nació en 1971, Jorge en 1962 y Fiorella en 1989. ¿En cuanto excedía en 1999 la edad de Pedro a la diferencia de las edades de Jorge y Fiorella? a) 2 años d) 4

c) 400

1. En un patio grande hay vacas y gallos. Si se cuentan 28 cabezas y 68 patas, ¿cuántos gallos hay en el patio?

c) 12

4. Dentro de siete años tendré el doble de la edad que tuve hace ocho años. ¿Qué edad tendré dentro de 10 años? a) 23 d) 30

b) 300 e) 800

Bloque II

3. Dentro de 24 años tendré el triple de la edad que tuve hace dos años. ¿Cuántos años tengo? a) 10 d) 13

c) 834

10.Compré una lavadora en $200. ¿A cómo debo venderla si deseo ganar el doble de lo que me costó?

2. Si hace 18 años tuve la cuarta parte de la edad que tengo, ¿qué edad tengo? a) 6 d) 24

b) 620 e) 784

a) 52 d) 30

c) 1 980

33

b) 50 e) 28

c) 40

Colegio TRILCE

Repaso 5. Una computadora cuesta $400 más 2/3 de su valor, ¿cuánto se deberá pagar por dos computadoras? a) $1 200 d) 2 000

b) 800 e) 2 400

8. Fiorella al salir de su casa observa su garage, donde hay autos y motos y cuenta en total 24 llantas. ¿Cuántos de los nueve vehículos son autos?

c) 1 600

a) 2 d) 5

6. Se desea vaciar 40 litros de vino en toneles de 2 y 10 litros. ¿Cuántos toneles son de 10, si el total de toneles es ocho? a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

b) 7 e) 4

c) 4

9. Debo pagar S/.560 con billetes de S/.10 y S/.50. Si en total tengo 24 billetes, ¿cuántos son de S/.10?

c) 4

a) 12 d) 15

7. Se embotellaron 72 litros de alcohol en envases de tres y nueve litros. Si el total de botellas es 10, ¿cuántas botellas son de nueve litros? a) 6 d) 9

b) 3 e) 6

b) 13 e) 16

c) 14

10.Al vender mi televisor en $ 900, estoy ganando el doble de lo que me costó. ¿Cuánto ganaría si lo vendo en $ 700?

c) 8

a) $ 200 d) 400

b) 250 e) 150

c) 300

Las Mujeres y las Matemáticas Aunque son muchas las mujeres que a lo largo de la historia han contribuido al desarrollo de las Matemáticas, sus vidas, sus estudios y sus aportaciones, por lo general, no aparecen en los libros de historia de las Matemáticas. Pensamos que es muy importante que los estudiantes conozcan este hecho y proponemos una actividad para que se familiaricen con los nombres de algunas matemáticas mujeres. A continuación, damos una lista (ordenada cronológicamente) de 25 mujeres matemáticas famosas. 1. Teano (s. VI a.C.) 2. Damo (s. VI a.C.) 3. Myia (s. VI a.C.) 4. Fintis (s. VI a.C.) 5. Melisa (s. VI a.C.) 6. Tymicha (s. VI a.C.) 7. Aglaonice de Tesalia (s. V a.C.) 8. Hipatia (370 - 415) 9. Ana Comnena (1083 - 1148) 10.Hildegarda de Bingen (1098 - 1179) 11.María di Novella (s. XIII) 12.Navojka (s. XV) 13.Emilie Bruteuil (1706 -1749)

14.Laura Bassi (1711 - 1778) 15.María Agnesi (1718 - 1799) 16.Caroline Hershel (1750 - 1848) 17. Sophie Germain (1776 - 1831) 18.Mary Somerville (1780 - 1872) 19.Ada Byron (1815 - 1852) 20.Sofía Kovalevskaya (1850 - 1891) 21.Charlotte Angas Scott (1858 - 1931) 22.Grace Chisholm Young (1868 - 1944) 23.Emmy Noether (1882 - 1935) 24.Nina Karlovna (1901 - 1961) 25.Grace Murray (1906 - 1992)

En tus vacaciones, investiga la vida o biografía de al menos tres de ellas.

34


Repaso

C A G N U O Y M L O H S I H C E C A R G J

A G L A O N I C E D E T E S A L I A A A U

R N A T R L M A R I A A G N E S I Y Y U A

O E C A Y A K S V E L A V O K A I F O S N

L S E L P G R A C E M U R R A Y L E S S N

R E H T E O N Y M M E C S J H L E R M G E

E I S S A B A R U A L C A A I U O M U O G

E S E I N U I O A E I H E V L C N A J E N

U O L S I T N I F S S A A I B A A T E D I

E P L D C I A T U U A R I E E P R O R N B

R H S E A N L N E M N L Y R R A D D E I E

L I O S B I T A N A C O M N E N A O S N D

I E M C C E U E T R A T N O R Y B A D A A

U G E A H U D L E I R T S Y T C O S E K D

E E R R I C A L D A O E P N A V O J K A R

T R V T P L M I E D L A F U A R D E O R A

E M T E A N O V S I I N E M H I A U R L G

R A U S T I S R A N N G C A C O V L I O E

B I A P I D D E B O E A I N I L I E N V D

E N N I A E E M E V H S A U M I N R T N L

I S G T D S O O R E E S L E Y L C S O A I

L O A A I E R S Y L R C S L T E I I Y E H

I F U G O L I Y V L S O A T C A N T O R R

M I S O N E O R I A H T N E A N Y U O L I

E A S R I M N A D N E T T O N D M V S S K

H R A A S A S M A A L O I S T R O O P I Y

Las partidas de ajedrez Tres personas jugaron todos contra todos doce partidas de ajedrez. ¿Cuántas partidas jugó cada uno? Rpta:________ (La respuesta no es cuatro)

35


ÍNDICE Aritmética

Capítulo

Pág.

I. Divisibilidad I ..................................................................................................................... 3 II. Divisibilidad II .................................................................................................................... 7 III. Divisibilidad III ................................................................................................................. 11 IV. Números primos y compuestos .......................................................................................... 15 V. Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo I .............................................................. 19 VI. Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo II ............................................................. 23 VII. Repaso ........................................................................................................................... 27


TRILCE

COSI1SLIAR3B-04.p65

Divisibilidad I

COLEGIO

TRILCE

Capítulo I La divisibilidad es una parte de la teoría de los números que analiza las condiciones que debe tener un número para que sea divisible por otro. ¿Y cuándo un número es divisible por otro? se dice que "A" es divisible por "B", si al dividir "A" entre "B" la división resulta EXACTA (cociente entero y residuo cero).

"A" es divisible por "B"

B A q 0

d) 7 :

____________________________________

e) 13 :

____________________________________

2. DIVISOR DE UN NÚMERO Un número "B" es divisor de "A", si "B" está contenido en "A" un número exacto de veces. Los divisores también reciben el nombre de FACTORES.

Cociente entero

Ejemplos:

Residuo cero

a. 13 es divisor de 39 b. 5 es divisor de 20

Ejemplos: a. 91 es divisible por 7; pues:

* Ejercicios: Hallar todos los divisores de:

91 7 0 13

a) 12 : ____________________________________ b) 18 : ____________________________________

b. 143 es divisible por 11; pues:

143 11 33 13

c) 20 : ____________________________________ d) 24 : ____________________________________

0

e) 72 : ____________________________________

Dos conceptos fundamentales en DIVISIBILIDAD son: 1. MÚLTIPLO DE UN NÚMERO

Observaciones:

"Un número "A" es múltiplo de otro "B", si "A" contiene a "B" un número exacto y entero de veces".

1. Todo número tiene INFINITOS MÚLTIPLOS. 2. Todo número tiene una cantidad FINITA DE DIVISORES o FACTORES.

Ejemplos: a. 91 es múltiplo de 7, pues: 91 = 13 (7) b. 111 es múltiplo de 37, pues: 111 = 3(37)

3. El número UNO es DIVISOR o FACTOR de todos los números.

· Notación:

4. El CERO es múltiplo de todos los números. o

A =B

En resumen:

Se lee: "A" es múltiplo de "B" Nótese que: "A" es divisible por "B"

o

A =B

* Ejercicios: Escribe los primeros 10 múltiplos de: a) 3 :

____________________________________

b) 2 :

____________________________________

c) 5 :

____________________________________

Se lee:

3

"A" es múltiplo de "B" "A" es divisible por "B" "B" es divisor de "A" "B" es factor de "A"

Colegio TRILCE

Divisibilidad I Problemas para la clase Nivel I

o

8. Del 1 al 100, ¿cuántos números son 5 ?


a) 18 d) 21

o

a) 35 = 5 ................................(W)

b) 19 e) N.A.

c) 20

o

o

b) 5 = 15 ................................ (W)

9. Del 1 al 80, ¿cuántos números son 3 ?

o

c) 48 = 4 ............................... (W)

a) 24 d) 27

o

d) 111 = 3 .............................. (W)

b) 25 e) N.A.

c) 26

o

o

e) 48 = 9 ............................... (W)

10.Del 1 al 500, ¿cuántos números son 23 ?

o

f) 10 = 1000 .......................... (W)

a) 25 d) 22

2. ¿Cuántos números de una cifra son divisibles por 3? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

b) 10 e) 7

Ejemplos:

c) 9

a) 24 no es múltiplo de 5, pues:

24 5 4 4

4. El mayor número de dos cifras es un múltiplo de: a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 23

Observación Si un número no es divisible por otro, entonces se podrá encontrar su residuo.

c) 3

3. ¿Cuántos números de dos cifras son divisibles por 11? a) 11 d) 8

b) 24 e) 21

c) 4

residuo o

se puede escribir: 24 = 5 + 4

5. Relaciona correctamente:

o

o

o

o

b) 28 = 9 + 1 ó 28 = 9 − 8

0 091

• Es un múltiplo de 8

1 154


Nivel II

2 000


1. Escribir verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

1 941


c) 35 = 8 + 3 ó 35 = 8 − 5

o

a) 25 = 7 + 3 ...................(W)

o

6. Indicar la suma de cifras del mayor número que sea 8 I. 648 III. 2 008 a) 18 d) 20

o

II. 1 000 IV. 7 580 b) 1 e) 19

b) 32 = 9 + 5 ...................(W) o

c) 51 = 5 − 4 ....................(W)

c) 10

o

d) 90 = 7 − 1 ....................(W)

7. Si el siguiente número 453 x es divisible por 7, calcular el valor de "x". a) 7 d) 4

b) 6 e) 3

o

e) 87 = 10 + 7 ..................(W)

c) 5

o

f) 101 = 9 + 3 ..................(W)

4


Divisibilidad I 2. Hallar un valor de "x", si:

6. Si el siguiente número 743b es divisible por 9, calcular el valor de "b".

o

128 = 11 + x

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

a) 4 d) 3

c) 6

b) 5 e) 2

c) 6

o

7. ¿Cuántos números desde el 1 hasta el 32 son 4 + 1 ?

3. Si el número 92 a es múltiplo de 13 más 5, calcular "a". a) 8 d) 9

b) 7 e) 11

a) 5 d) 8

c) 6

b) 6 e) 9

c) 7

o

8. ¿Cuántos números del 1 al 100 son 9 + 3 ?

4. Si el siguiente número 162 a es divisible por 8, ¿cuál es el valor de "a"? a) 5 d) 6

b) 4 e) 7

a) 9 d) 6

c) 3

o

III. 878 IV. 753

a) Sólo I d) I y III

b) Sólo II e) N.A.

c) 7

9. Calcular la suma de los 8 primeros múltiplos de 3. a) 84 d) 96

5. Indicar cuál de los siguientes números son 7 + 3 I. 87 II. 714

b) 8 e) 10

b) 24 e) N.A.

c) 108

o

10.Del 100 al 3 600, determine cuántos son 40 c) Sólo III

a) 88 d) 120

b) 68 e) 100

c) 90

Autoevaluación o

1. Expresar 198 como un múltiplo de 4 o

a) 4 o

d) 4 + 3

o

b) 4 +1

4. Si el numeral 58101 x es 7 , hallar "x" o

c) 4 - 1

a) 0 d) 3

o

e) 4 + 2

b) 1 e) 4

c) 2 o

5. ¿Cuántos números de dos cifras son 5 ?

2. ¿Cuál de los siguientes números no es divisible entre 7? a) 71 407 d) 49 147

b) 43 456 e) 50 561

a) 17 d) 20

c) 51 103

b) 18 e) 21

c) 19

o

3. Del 1 al 200, ¿cuántos números son 12 ? a) 17 d) 14

b) 18 e) 16

c) 15

5


COLEGIO

TRILCE

Divisibilidad II Capítulo II Problemas para la clase Nivel I

a) 65 d) 60

1. Hallar el valor del dígito "a" en la siguiente ecuación: o

b) 30 e) 25

c) 35

2. Un avión se dirige de Lima al Cusco con 200 pasajeros

8a + 1 = 7

entre nacionales y extranjeros. De los extranjeros, se 2 4 1 sabe que los son europeos, los usan lentes y 7 5 3 hablan español. ¿Cuántos extranjeros viajan?

2. Si "a" representa a una cifra, hallar su valor en: o

7a + 5 = 9

3. Si: a < 10, hallar la suma de valores que puede tomar en:

a) 100 d) 115

o

3a + 1 = 7

4. Si:

b) 95 e) 90

c) 105

3. En el problema anterior, ¿cuántos extranjeros no hablan español?

o

(5 + a) × 7 − 3 = 5

a) 35 d) 90

hallar el menor valor que puede tomar "a" (a ∈ lN). 5. Hallar el menor dígito "p" que cumpla:

b) 60 e) 50

c) 70

4. En el aula del 1er año "C" son 45 alumnos y se sabe que 4 de las mujeres estudiaron su primaria en TRILCE y a 7 los 2 les gusta la aritmética. ¿Cuántos hombres hay en 3 dicho salón?

o

3p + 19 = 4 6. Hallar el menor dígito "a" que cumpla: o

118a + 271 = 11

a) 21 d) 42

7. Hallar "a", sabiendo que es menor que 10, en: o

83a + 40 = 13

b) 23 e) 24

c) 35

5. Con las siguientes pistas, descubre ¿cuántas canicas tiene Luis?

8. Hallar "n", si se cumple: o

- Tiene menos de 100 pero más de 5 decenas. - Si los cuenta de 5 en 5 no sobra ninguno. - Si hace grupos de 11 le sobran 3.

o

a) 25 d) 80

127n = 17 9. Hallar "p", si se cumple:

35p9 = 13 10.Calcular "a", si se cumple que:

b) 70 e) 90

c) 60

6. En el aula del 1er año de Trilce San Isidro, hay más de 20 pero menos de 50 alumnos. El profesor de aritmética observó que si hace grupos de 2 sobra 1, si los agrupa de 3 en 3 también sobra 1; lo mismo sucede si hace grupos de 4 ó de 6, siempre sobra 1. Pero si hace grupos de 7 no sobraría ningún alumno. ¿Cuántos alumnos hay en dicha aula?

o

1a + 2a + 3a + 4 a = 7

Nivel II 1. A una fiesta acudieron 100 personas y se sabe que los 3 de los hombres son casados, además la quinta parte 13 de los hombres usan lentes. ¿Cuántas mujeres asistieron

a) 25 d) 42

a dicha reunión?

7

b) 37 e) 49

c) 41

Colegio TRILCE

Divisibilidad II 7. En el último examen de isión a la UNMSM ingresaron

3. Hallar "a", si se cumple: o

350 alumnos a la facultad de derecho. De ellos se sabe 2 que los de los varones postulaban por tercera vez; 7 4 5 de los varones son menores de edad y los de los 5 6 varones se prepararon en TRILCE. ¿Cuántos varones

2a42 = 17

a) 0 d) 3

b) 140 e) N.A.

c) 2

4. Hallar "a", si:

ingresaron a esa facultad? a) 105 d) 210

b) 1 e) 4

o

1a12 + 40 = 13

c) 175 a) 1 d) 4

8. En el problema anterior, ¿cuántos de los varones que

b) 2 e) 5

c) 3

5. Hallar "p" si:

ingresaron no se prepararon en TRILCE?

o

a) 15 d) 40

b) 25 e) 45

17p1 + 777 = 7

c) 35 a) 5 d) 9

9. A una fiesta acudieron más de 100 personas pero menos 3 de 200. Se sabe además que los fueron con jean, 5 2 3 los con zapatillas y los se retiraron antes de la 7 4 media noche. ¿Cuántas personas asistieron? a) 100 d) 140

b) 105 e) N.A.

o

1a + 2a + 3a + 4 a + 5a = 37

a) 1 d) 7

c) 135

b) 3 e) 9

c) 5

7. Calcular "a", si se cumple: o

1a + 2a + 3a + ... + 9a = 13

zapatillas? b) 40 e) 90

c) 7

6. Hallar "a" si:

10.En el problema anterior, ¿cuántas personas fueron con

a) 20 d) 80

b) 4 e) 3

a) 3 d) 7

c) 60

b) 4 e) N.A.

c) 5

8. Calcular "a", si se cumple:

Nivel III

o

1a + 2a + 3a + ... + 9a = 7

1. Un buen hombre llevaba 198 canicas para ser repartidos

a) 3 d) 9

entre sus nueve sobrinos, pero antes de llegar a casa de ellos se encontró con un niño pobre al que le regaló al niño exactamente, si lo que le quedó alcanzó para

o

275 a + 448 = 9

repartirlo exactamente entre sus sobrinos? b) 34

d) 36

e) 38

c) 8

9. Halla a<10, si se cumple:

más de 30 pero menos de 40 canicas. ¿Cuántas le regaló

a) 32

b) 4 e) N.A.

a) 1 d) 5

c) 35

b) 2 e) N.A.

c) 3

10.Hallar la suma de los valores ab que cumplan:

2. Cierto día el profesor Lucho llevaba 741 caramelos para

o

45 ab = 19 + 3

repartirlos entre sus 13 mejores alumnos. Antes del a) 148 d) 98

reparto retiró más de 80 pero menos de 100 caramelos y los que quedaron alcanzaron para todos en partes

b) 236 e) N.A.

c) 168

iguales. ¿Cuántos caramelos retiró el profesor? a) 81

b) 83

d) 91

e) 99

c) 89

8


Divisibilidad II Autoevaluación 1. Sabiendo que "a" es una cifra, ¿cuántos valores puede tomar en la siguiente igualdad?

4. En un aula de 42 alumnos se sabe que de los hombres,

2 son hinchas del Alianza 13 Atlético. ¿Cuántas mujeres hay en dicha aula? la mitad usan lentes y los

o

13a + 1 = 3

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

a) 26 d) 30 o

b) 14 e) 16

c) 24

5. Hallar el menor valor de "a" que cumpla:

2. Hallar la suma de los valores de "a" en: 13a + 1 = 3

o

a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

1 001 a + 298 = 9

c) 13

a) 0 d) 3

o

3. Calcular "m", si se cumple: 20m1 = 13 a) 0 d) 9

b) 3 e) 4

b) 1 e) 4

c) 2

c) 6

9


COLEGIO

TRILCE

Divisibilidad III Capítulo III CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

 Problema resuelto

Para saber en forma inmediata si un número es divisible entre otro, en algunos casos no es necesario efectuar la división correspondiente, porque bastará conocer algunas características de tal situación de divisibilidad; a estas características las conocemos como criterios de divisibilidad y son los siguientes:

1. Hallar el valor de "x", sabiendo que 4x327 es divisible por 9. Solución: o

o

Si: 4x327 = 9 ⇒ 4 + x + 3 + 2 + 7 = 9

 DIVISIBILIDAD POR 2 Un número es divisible por 2 cuando su última cifra es CERO o PAR.

o

x + 16 = 9 Y como "x" es una cifra: x = 2, pues: 2 + 16 = 18 (que o

es un 9 ) o

abcd = 2 ⇔ d = 0; 2; 4; 6 u 8

 DIVISIBILIDAD POR 5 Un número es divisible por 5, cuando su última cifra es 0 ó 5.

 DIVISIBILIDAD POR 4 Un número es divisible por cuatro, cuando las dos últimas cifras del numeral forman un múltiplo de cuatro o

o

abcd = 5 ⇔ d = 0 ó d = 5

 DIVISIBILIDAD POR 25 Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras o forman un 25 o terminan en dos ceros.

o

abcde = 4 ⇔ de = 4  DIVISIBILIDAD POR 8 Un número es divisible por ocho, cuando sus tres últimas cifras del numeral forman un múltiplo de ocho. o

o

abcd = 25 ⇔ cd = 00; 25; 50 ó 75

o

 Problema resuelto

abcde = 8 ⇔ cde = 8

1. Hallar la suma de valores de "x", si 351x5 es divisible por 25.

 DIVISIBILIDAD POR 3 ó 9 Un número es divisible entre 3 ó 9, si y sólo si la suma de sus cifras es divisible entre 3 ó 9 respectivamente.

Solución: o

o

Si: 351x5 = 25 ⇒ x5 = 25 de donde: x = 2 ó x = 7 o

o

o

o

abcd = 3 ⇔ a + b + c + d = 3

∴ La suma de valores: 2 + 7 = 9

abcd = 9 ⇔ a + b + c + d = 9

 DIVISIBILIDAD POR 6 Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y 3 a la vez.

Ejemplos: o

o

a) ¿35 184 es 3 ? ¿y 9 ?

o

o

De "3": sí, porque: 3 + 5 + 1 + 8 + 4 = 21 y 21 = 3

Ejemplo:

o

De "9": no, porque: 21 ≠ 9 o

o

abcd = 6 ⇔ d = 0; 2; 4; 6 u 8 y además: a + b + c + d = 3

o

a) ¿51 372 es 6 ? Veamos:

o

b) ¿35 874 es 3 ? ¿y 9 ?

o

¿Es 2 ? Sí, pues termina en cifra par

o

De "3": sí, pues: 3 + 5 + 8 + 7 + 4 = 27 = 3

o

o

¿Es 3 ? Sí, pues: 5 + 1 + 3 + 7 + 2 = 18 = 3

o

De "9": sí, pues: 27 = 9 11

Colegio TRILCE

Divisibilidad III  DIVISIBILIDAD POR 7 Un número será divisible por 7 si cumple con la siguiente regla:

Ojo: si luego de restar obtenemos aún un número grande, repetimos el procedimiento. Ejemplo: ¿Es 626934 divisible por 7?

* Multiplicamos cada una de las cifras del número dado de derecha a izquierda por los siguientes factores:

Veamos:

1; 3; 2; - 1; - 3; - 2; 1; 3; 2; - 1; - 3; - 2; ... etc. * Sumamos los números enteros obtenidos. Si el resultado final es CERO o múltiplo de 7, el número dado será entonces divisible por 7. Ejemplo: ¿Es 626 934 divisible por 7?

62693 4 8 6268 5 10 625 8 16 60 9 18 42 = 7

Luego, 626934 es divisible por 7.

Veamos:

6

2

6

9

3

4

-2

-3

-1

2

3

1

-12

-6

-6 +18 +9 +4

 DIVISIBILIDAD POR 11 Un número será divisible por 11 si la suma de sus cifras de orden impar (empezando por la derecha) menos la suma de las cifras de orden par, resulta ser cero o múltiplo de 11. Ejemplo: ¿Es 9 873 226 divisible por 11?

Sumando los enteros obtenidos:

* Sumemos primero las cifras de orden impar a partir de la cifra de las unidades:

- 12 - 6 - 6 + 18 + 9 + 4 = 7

6+2+7+9 = 24 ... (1)

Luego, 626 934 es divisible por 7.

* Sumemos luego las cifras de orden par a partir de la cifra de las decenas: 2+3+8 = 13 ... (2)

* Otro método: Un número es divisible por 7, si cuando al número de decenas del número le restamos el doble de su cifra de unidades resulta un número multiplo de 7.

* Restemos ahora (1) - (2): 24 - 13 = 11 * Luego, 9 873 226 es divisible por 11.

Problemas para la clase Nivel I 3. Si se tienen los números: 48; 64; 1 200 y 5 600, ¿cuántos

1. Si se tienen los siguientes números: 12; 24; 38 y 41, decir cuál o cuáles son divisibles por 2. a) 12 y 24 c) 24 y 38 e) Ninguno

o

son 4 ?

b) 24 y 41 d) 12; 24 y 38

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

4. Si se tienen los números:

2. Si se tiene los números 124; 233; 666 y 429, ¿cuántos son divisibles por 3? a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

a0; c5; d00; bmn0 ¿cuántos son divisibles por 5?.

c) 2

a) 0 d) 3

12

b) 1 e) 4

c) 2


Divisibilidad III 5. Si se tienen los números:

a) 6 d) 9

I. 12 345 II. 43 927 III. 78 900 991

o

2nnmx = 2

b) Sólo II e) Ninguno

a) 10 d) 18

c) Sólo III

b) 12 e) 6

a) 1 000 c) 2 410 e) Ninguno

o

29 a2 = 4

a) 25 d) 20

b) 1 000 y 2 410 d) 2 420

o

a) 00 d) 85

c) 6

a) 6 d) 3

2a00 a

c) 4

a) 0 d) 6

b) 4 e) 9

c) 5

8. Calcular la suma del mayor valor más el menor valor

b) 0 e) 6

que puede tomar “a” en:

c) 4

o

4 a21 = 3

a) 10 d) 7

10. Hallar el menor valor de “a”, si: º

aa682 = 3

b) 2 e) 6

b) 5 e) 2

7. Calcular "a + b", si: 54 a2ab = 125

12383 x

a) 1 d) 5

c) 50

o

c) 5

9. ¿Cuánto debe de valer “x” para que el numeral sea divisible por 4?

a) 2 ó 4 d) 2 ó 6

b) 25 e) 75

6. Calcular el valor de “a”, si: 2a45 a es divisible por 8.

8. Calcular cuánto debe de valer “a” para que el numeral sea divisible por 5.

b) 0 e) 8

c) 23

272mab = 25

2345 a

b) 0 e) 4

b) 24 e) 18

5. Hallar el mayor valor que puede tomar ab , si:

7. Calcular cuánto debe de valer “a” para que el numeral sea divisible por 9.

a) 0 ó 5 d) 2

c) 20

4. Hallar la suma de valores de “a”, si:

6. Se tiene los números: 1 000, 2 410 y 2 420. ¿Cuál de los números es divisible por 8?.

a) 5 d) 9

c) 8

3. Hallar la suma de valores de “x”, si:

¿cuál o cuáles son divisibles por 9?. a) Sólo I d) I y II

b) 7 e) 2

b) 3 e) 13

c) 15

9. Calcular “A + B”, si:

c) 3

o

A = Suma de valores de “a” en: 5a2 = 9 o

Nivel II

B = Suma de valores de “b” en: ba4 = 3

1. Hallar el valor de “a” para que el numeral sea divisible por 11

a) 12 d) 18

234 a

a) 2 d) 4

b) 3 e) 6

b) 15 e) 20

c) 16

10.Determine el valor de “a” en: c) 0

o

5a2a3 = 11

a) 2 d) 4

2. Calcular el valor de “a” para que el numeral sea divisible por 7

b) 9 e) 5

c) 3

7439a

13


Divisibilidad III Nivel III

7. Hallar la suma de valores de “a”, en: o

2aa6 = 8

1. Determinar el valor de “m”, si: m2(m + 2)34 es divisible por 11. a) 6 d) 5

b) 9 e) 4

a) 5 d) 8

c) 7

o

o

b) 36 e) 0

a) 2 d) 5

o

c) 28

c) 3

o

a) 2 d) 8

o

b) 2 e) 6

b) 1 e) 6

o

9. Dar el valor de "a + b", si: 6a(a  3)3  9 , 2a3bbb  11

3. Calcular “a”, si: 3a5a243 = 9 a) 3 d) 5

c) 7

8. Hallar “n”, si: 9923n = 11

2. Calcular: a2 - b2, si: a892  9 y 4b97  11 a) 40 d) 12

b) 10 e) 4

c) 4

b) 5 e) N.A.

c) 4 o

10. Calcular “a”, si: 2a543  9

4. Calcular el residuo de dividir:

a) 3 d) 7

222 ... 22   entre 9

b) 4 e) 9

c) 6

40 cifras

a) 6 d) 9

b) 8 e) 0

11.Calcular el resto de dividir: 2323 ... 23  entre 9

c) 1

12 cifras

a) 2 d) 7

o

5. Hallar el valor de “n”, si: nn2n3n = 8 a) 2 d) 4

b) 1 e) 8

b) 4 e) N.A.

c) 5

o

c) 5

12. Si: 8a43b8 es igual a 9 , y además se sabe que: a - b = 5, hallar “a”.

6. Hallar “A - B”, si:

a) 3 d) 8

o

A = Suma de valores de “a” en: a2 = 4

b) 4 e) 9

c) 7

o

B = Suma de valores de “b” en: ba2b = 5 a) 20 d) 28

b) 15 e) 30

c) 25

Autoevaluación o

3. Hallar el valor de "m" para que el numeral m235 sea 11

1. Hallar la suma de los valores que puede tomar "a", si: o

12aaa = 9

a) 15 d) 18

b) 16 e) 19

a) 2 d) 5

c) 17

a) 0 d) 3

o

x28 = 8

b) 25 e) N.A.

c) 4

4. Calcular el resto de dividir 24 999 876 543 entre 9

2. Hallar la suma de valores que puede tomar "x", en:

a) 20 d) 24

b) 3 e) 7

b) 1 e) 4

c) 2

5. Calcular el resto de dividir 249 837 242 entre 4

c) 22

a) 0 d) 3 14

b) 1 e) 6

c) 2


COLEGIO

Números primos y compuestos

TRILCE

Capítulo IV

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

Teniendo en cuenta su cantidad de divisores, los números enteros positivos se clasifican en:

EL UNO Tiene un sólo divisor

ZZ+

LOS NÚMEROS PRIMOS Tienen sólo dos divisores

Cualquier número compuesto puede ser expresado como la multiplicación indicada de sus factores primos elevados a exponentes enteros y positivos (Descomposición canónica).

Números simples

Ejemplo: Descomponer canónicamente 1 800

LOS NÚMEROS COMPUESTOS Tienen más de dos divisores

1 800 900 450 225 75 25 5 1

1. Números Primos Son aquellos números que tienen sólo dos divisores. Ejemplos:

Número Primo

Divisores

2 3 5 7 11 13 . . .

1; 2 1; 3 1; 5 1; 7 1; 11 1; 13 . . .

4 12 30 25 40

Un método práctico para determinar la cantidad de divisores de un número, es utilizando su descomposición canónica. Veamos un ejemplo: a) Hallar la cantidad de divisores de 120

120 60 30 15 5 1

Divisores 1; 2; 1; 2; 1; 2; 1; 5; 1; 2;

4 3; 4; 6; 12 3; 5; 6; 10; 15; 30 25 4; 5; 8; 10; 20; 40

2 3 1 1 2 120 = 2 x 3 x 5 2 Luego: +1 +1 +1 3 C.D. (120) = 4 x 2 x 2= 16 5 ... 120 tiene 16 divisores 0

b) Hallar C.D. (1800) Sabemos que: 3

2

1800 = 2 x 3 x 5

2

Luego:

* Observación: La unidad no es primo ni compuesto, es simplemente un divisor.

C.D. (1800) = 4 x 3 x 3 = 36 divisores ¿Cuántos divisores tiene 1800? _________

3. Números Primos entre sí (PESI) Es aquel conjunto de dos o más números, cuyo único divisor común es la unidad. Ejemplo:

Número 6 15 20

Factores o divisores primos de 1 800 1 800 = 23 x 32 x 52

 Cantidad de divisores de un número (C.D.)

2. Números Compuestos Son todos aquellos números que tienen más de dos divisores. Ejemplo:

Número Compuesto

2 2 2 3 3 5 5

¿Cuántos divisores primos tiene 1800? _________ ¿Cuántos divisores compuestos tiene 1800? _________

Divisores

¿Cuántos divisores simples tiene 1800? _________

1; 2; 3; 6 1; 3; 5; 15 1; 2; 4; 5; 10; 20

* Nota:

· 6; 15 y 20 son PESI · 6 y 20 no son PESI · 15 y 20 no son PESI

Total de divisores Total de Total de de un número = divisores + divisores + Unidad (C.D) primos compuestos 15

Colegio TRILCE

Números primos y compuestos Problemas para la clase Nivel I

Nivel II

1. Marca con un aspa (x) si el número dado es primo o compuesto.

1. Indicar la suma de la cantidad de divisores de 24 y de 60.

Número

Primo

a) 16 d) 24

Compuesto

57 91 153

a) 20 d) 36

509 Primo

Compuesto

519

a) 2 d) 4

123 179

a) 1 d) 4

2. ¿Qué grupo de números son PESI? a) 12; 15; 16 c) 7; 13; 39 e) 1001; 13; 17

b) 21; 70; 105 d) 20; 27; 49

b) 3 e) 1

c) 8

b) 512 e) 720

a) 18 d) 16

c) 3 600

a) 15 d) 13

III. 128

b) 19 e) 21

c) 20

b) 10 e) 14

c) 12

7. Sea:

5. Indicar cuál de los siguientes números tiene la menor cantidad de divisores. II. 36

c) 3

6. ¿Cuántos divisores más tiene el número 360 que el número 100?.

4. Indicar cuál de los siguientes números tiene mayor cantidad de divisores: II. 72

b) 2 e) 5

5. Del problema n° 2, ¿cuántos divisores compuestos tiene "N"?.

3. Descomponer canónicamente los siguientes números:

I. 28

c) 24

4. Del problema nº 2, ¿cuántos divisores primos tiene "N"?.

599

I. 240

b) 22 e) 30

3. Del problema anterior, ¿cuántos divisores simples tiene "N"?.

413

a) 120 d) 1 620

c) 20

2. Dado el número: N = 22 x 33 x 51 ¿Cuántos divisores tiene?.

1 001

Número

b) 18 e) 12

A = Cantidad de divisores de 20 B = Cantidad de divisores de 42

III. 48

Calcular "A + B"

6. ¿Cuántos divisores tiene el producto de 24 por 36?

a) 18 d) 14

7. De los siguientes números: 12; 18; 28; 33; 40 y 9, calcular la suma de todos aquellos números que tengan 6 divisores.

b) 16 e) 10

c) 12

8. Calcular la suma de divisores compuestos de 36. a) 80 d) 79

8. ¿Cuántos divisores tiene el número 248? 9. ¿Cuántos divisores tiene el número 3 600?

b) 85 e) 84

c) 81

9. Indicar la suma de los números compuestos:

10.Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. 24 tiene 8 divisores ......................... (W) II. 137 es un número primo absoluto .... (W) III. 42 tiene 4 divisores compuestos ....... (W) 16

I. 91 IV. 63

II. 29 V. 89

III. 37

a) 63 d) 164

b) 91 e) 192

c) 154


Números primos y compuestos 19.Si: A = 2n x 54 x 32 tiene 26 divisores compuestos, calcular “n”.

10. La edad de Débora es la suma de los cuatro menores números primos menos 4. ¿Cuál es la edad de Débora?. a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

c) 13

a) 1 d) 4

b) 1 e) 4

a) 1 d) 4

c) 2

b) 20 e) 28

c) 26

a) 10 d) 16

a) 20 d) 25

b) 129 e) 130

a) 4 d) 7

a) 3 d) 12

a) 18 d) 27

c) C

b) 6 e) 2

a) 3 d) 6

c) 8

b) 2 e) 5

a) 11 d) 14

c) 3

b) 2 e) 5

b) 10 e) 13

c) 11

b) 15 e) 21

c) 9

b) 4 e) 8

c) 5

b) 12 e) 15

c) 13

8. Si: N = 42.3n tiene tres divisores menos que 900, hallar dicho número y dar como respuesta la suma de sus cifras.

18.Si: M = 23 x 71 x 114n tiene 40 divisores, hallar “n”. a) 1 d) 4

c) 6

7. Hallar el valor de "n" sabiendo que 15 n.75 tiene (7n + 174) divisores.

17. Si: N = 23 x 3n x 51 x 71 tiene 48 divisores, calcular el valor de “n”. a) 1 d) 4

b) 5 e) 8

6. Si: N = 15.30n tiene 294 divisores, hallar el valor de “n”.

16. Si: A = 2n x 33 x 54 tiene 100 divisores, calcular “n”. a) 4 d) 9

c) 15

5. Hallar un número N=12 n.15n sabiendo que tiene 75 divisores. Dar como respuesta la suma de las cifras de "N".

A = 22 x 33 x 51 B = 24 x 32 x 72 C = 2 400 b) B e) A y C

b) 10 e) 30

4. Si: 4k+2 - 4k tiene 92 divisores, hallar el valor de “k - 1”.

c) 131

15. ¿Qué número tiene mayor cantidad de divisores?.

a) A d) A y B

c) 14

3. Hallar el valor de "n" para que el número N = 9.12n tenga 150 divisores.

c) 4

14. Juan tiene una cantidad de dinero igual a la suma de todos los números primos menores que 30. ¿Cuánto tiene Juan?. a) 128 d) 162

b) 12 e) 18

2. Si: 42n tiene 81 divisores, hallar el valor de “n”.

Calcular la cantidad de divisores de “A + B”. b) 2 e) 6

c) 3

1. Hallar el número total de divisores que tiene el producto de los tres primeros números capicúas de dos cifras.

13. Sea: A = Cantidad de divisores de 36 B = Cantidad de divisores de 30

a) 3 d) 5

b) 2 e) 6

Nivel III

12. La edad del profesor de aritmética es la suma de todos los divisores de 12. ¿Qué edad tiene el profesor?. a) 24 d) 27

c) 3

20.Si: P = 74 x 16 x 9n tiene 171 divisores compuestos, calcular “n”.

11.Indicar cuántos de los siguientes números son números simples: 24; 36; 17; 12; 1; 9; 7 a) 0 d) 3

b) 2 e) 5

c) 3

a) 27 d) 18

17

b) 24 e) 9

c) 21


Divisibilidad III 9. Si: M = 12.20n tiene 24 divisores más que 672 280, hallar el valor de “n”. a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

10. Si: A =12.30n tiene el doble de la cantidad de divisores que B = 12n.30; hallar el valor de “n”.

c) 4

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

Autoevaluación

1. En las siguientes alternativas existe un número que es primo absoluto, ¿cuál es? a) 39 d) 103

b) 51 e) 1 001

3. Al descomponer canónicamente el número 7 200, obtenemos: a) 24.32.52 d) 23.35.52

c) 91

2. En las siguientes alternativas existe un número que junto con 24 y 48 formarían tres números PESI. ¿Cuál es ese número? a) 39 d) 72

b) 54 e) 12

b) 25.3.52 e) N.A.

c) 25.32.52

4. Calcular la cantidad de divisores de 144. a) 8 d) 15

c) 11

b) 12 e) 18

c) 10

5. La edad del Profesor Manuelito es igual a la suma de todos los divisores de 12. ¿Qué edad tiene el profesor? a) 28 años d) 32

18

b) 26 e) 18

c) 30


COLEGIO

Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo I

TRILCE

Capítulo V "TÍPICO"

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)

Un matemático pasea por el campo, sin nada que hacer, aburrido. Encuentra a un pastor que cuida un numeroso rebaño de ovejas, y decide divertirse un poco a costa de él.

Es el mayor de todos los divisores comunes de un grupo de números.

-

Ejemplo: Dados los números 8; 12 y 20, ¿cuál es su máximo común divisor?

Buenos días, buen pastor. Buenos días tenga usted. Solitario oficio, el de pastor, ¿no? Usted es la primera persona que veo en seis días. Estará usted muy aburrido. Daría cualquier cosa por un buen entretenimiento. Mire, le propongo un juego. Yo le adivino el número exacto de ovejas que hay en su rebaño, y si acierto, me regala usted una. ¿Qué le parece? Trato hecho.

Divisores de 8

-

-

Divisores de 12 →

1 ;

2 ; 3; 4 ; 6; 12

Divisores de 20 →

1 ;

2 ; 4 ; 5; 10; 20

Ojo: El MCD debe ser entero positivo. Propiedades 1. El MCD nunca es mayor que el menor de los números.

Espere un momento, señor. ¿Me permitirá una oportunidad de revancha? Hombre, naturalmente. Pues ¿qué le parece, que si yo le acierto su profesión, me devuelva usted la oveja? De acuerdo.

2. Si uno de los números es divisor de los otros, entonces es el MCD de todos ellos. 3. Si los números son PESI entonces el MCD de todos ellos es la unidad. Ejercicios:

El pastor sonríe, porque sabe que ha ganado, y sentencia: -

2 ; 4 ;8

M.C.D.(8; 12; 20) = 4

586 ovejas.

El pastor, irado, confirma que ése es el número preciso de ovejas del rebaño. Se cumple en efecto el trato acordado, y el matemático comienza a alejarse con la oveja escogida por él mismo. -

1 ;

Como ves, los divisores comunes de 8; 12 y 20 son: 1; 2 y 4, y de ellos, el mayor de todos es 4, por eso decimos que 4 es el Máximo Común Divisor de 8; 12 y 20. Esto se representa así:

El matemático pasa su vista por encima de las cabezas del ganado, murmurando cosas, y en unos segundos anuncia: -

→

1. Completa el siguiente cuadro:

Usted es matemático. ¡Caramba! Ha acertado. Pero no acierto a comprender cómo, cualquiera con buen ojo para los números podría haber contado sus ovejas. Sí, sí, pero sólo un matemático hubiera sido capaz, entre 586 ovejas, de llevarse el perro.

NÚMERO

DIVISORES

72 38 45 36 40 32

¿No nos pasa a veces algo parecido que al matemático? En el examen, resolvemos la parte más difícil del problema, y por distraídos, por apurados, o por no haber leído bien, nos equivocamos en lo más fácil. ¡A poner más atención!

27 18 30

19

Colegio TRILCE

M.C.D. y m.c.m. I Ahora, halla el MCD de los números pedidos usando lo que hemos aprendido.

NÚMEROS 36 40 38 72 45 72

DIVISORES COMUNES

24

2

12 2 6 2 3 3

MCD

y 27 y 18 y 30 y 40 y 30 y 32

24 = 23 x 3

1

2. Calcular el MCD de los siguientes números mentalmente. ¡Tú puedes!

NÚMEROS 5 y 3 6 y 3 12 y 4 7 y 8 18 y 3 MCD

-

NÚMEROS 18 y 6 24 y 5 16 y 12 20 y 12 9 y 11 MCD

36

2

18 9

2 3

3 1

3

36 = 22 x 32

Ahora tomemos los factores primos que aparezcan a la vez en todos los números, y pondremos el menor exponente que tengan. 2

2 x 3 x 5

NÚMEROS 12 y 25 13 y 14 32 y 12 30 y 18 45 y 20

3

MCD

2

2 x 3

2

2 x 3 = 12

2 x 3 2

Éste es el MCD(60; 24; 36)

Métodos para hallar el MCD Existen varios métodos, pero ahora vamos a trabajar con el método de DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA y su forma abreviada. Veámoslo con un ejemplo: •

-

Halle el MCD de 60; 24 y 36 -

60 - 24 - 36 2 30 - 12 - 18 2 15 - 6 - 9 3 5 - 2 - 3

Primero hagamos la descomposición canónica de los números mencionados:

60

2

30

2

15 5 1

3 5

Podemos hacer lo mismo en forma abreviada, si descomponemos todos los números a la vez, pero solo tomando los factores que sean comunes a todos; así:

2

2 x 3 = 12 MCD(60; 24; 36)

60 = 22 x 3 x 5

Problemas para la clase * Calcula el MCD de los siguientes números por ambos métodos: a) 60 y 90

c) 54; 80 y 64

b) 32; 40 y 50

d) 35; 70 y 80

e) 18; 60 y 54

* Actividad sugerida: Existen por lo menos dos formas más de hallar el M.C.D. de dos números (Ojo, sólo dos números) ¿Podrías averiguar cómo se hace alguna de ellas?

20


M.C.D. y m.c.m. I Ahora, halla el mcm de los números pedidos, aplicando lo que hemos aprendido.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) Es el menor de todos los múltiplos comunes de un grupo de números.

Múltiplos de 3 → 3; 6; 9; 12 ; 15; 18; 21; 24 ; ...

•

Múltiplos de 4 → 4; 8; 12 ; 16; 20; 24 ; 28; ...

•

Múltiplos de 6 → 6; 12 ; 18; 24 ; 30; 36; 42; ...

mcm

6y8

Ejemplo: Dados los números 3; 4 y 6, ¿cuál es su mínimo común múltiplo? •

MÚLTIPLOS COMUNES

NÚMEROS 15 y 16 16 y 8 18 y 32 15 y 20 24 y 16

2. Calcula mentalmente el mcm de los siguientes números, ¡es fácil!

Múltiplos comunes de 3; 4 y 6 → 12 ; 24; 36; ...

NÚMEROS

∴ 12 es el mínimo común múltiplo de 3; 4 y 6

5y3

6y2

12 y 4

7y8

3y4

3y9

6y7

10 y 5

mcm

Se representa de la siguiente manera: mcm(3; 4; 6) = 12

NÚMEROS 18 y 3 18 y 6 mcm

Ojo: El mcm debe ser entero positivo.

NÚMEROS 17 y 3 6 y 8 2 y 11 4 y 10 6 y 3 9 y 10

Propiedades

mcm

1. El mcm de un grupo de números nunca es menor que el mayor de los números.

Métodos para hallar el mcm

2. Si uno de los números es múltiplo de todos los otros, entonces es mcm de todos ellos.

Tal como en el MCD, trabajaremos con el método de DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA y su forma abreviada. Ejemplo: Halle el mcm de 12; 20 y 30

3. Si los números son PESI dos a dos, entonces el mcm de todos ellos es su producto.

- Descomposición canónica:

Actividades para la clase

12 2 6 2 3 3 1

1. Completa el siguiente cuadro:

NÚMERO

MÚLTIPLOS (diez primeros)

6

20 2 10 2 5 5 1

8 12 15 18 16

12 = 22 x 3

20 = 22 x 5

30 2

20

15 3

24 32

5 5 1

36 -

21

30 = 2 x 3 x 5

Ahora pondremos todos los factores primos que aparezcan aunque sea sólo una vez, y les pondremos el mayor exponente que tengan. Primer año de secundaria

M.C.D. y m.c.m. I 2

Ejercicios

2 x 3

2

2 x 3 x 5 = 60

2

2 x 5 2 x 3 x 5

* Calcula el mcm de los siguientes números por ambos métodos.

Éste es el mcm(12; 20; 30)

a) 60 y 90 -

Podemos hacer lo mismo en forma abreviada, esta vez tomando todos los factores, así:

12 - 20 6 - 10 3 - 5 1 - 5 1 1

30 2 15 2 15 3 5 5 1

b) 32; 40 y 50 c) 54; 80 y 64 d) 18; 64 y 72 e) 35; 70 y 80

2

2 x 3 x 5 = 60 mcm(12; 20; 30)

Autoevaluación 1. Señala las afirmaciones falsas:

3. Halla el M.C.D. de 204; 192 y 108.

I. El M.C.D. de un grupo de números puede ser mayor que el mayor de los números. II. El m.c.m. de dos números siempre es igual al producto de los números. III. Si dos números son PESI, su M.C.D. es uno. a) Sólo III d) I y III

b) I y II e) Todas

a) 6 d) 3

a) 3 528 d) 2 538

c) Sólo I

b) 3 582 e) 2 358

c) 5 832

5. Halla "A + B" (Sugerencia: ¡Usa las propiedades!) A = M.C.D.(90; 30; 32; 8) B = m.c.m.(80; 4; 16; 3)

I. Si un número de un grupo de números es divisor de todos ellos, entonces será el M.C.D. de dicho grupo de números. II. Si un número de un grupo de números es múltiplo de todos ellos, entonces será el m.c.m. de dicho grupo de números. III. Si dos números son PESI, su m.c.m. es su producto. b) I y II e) Todas

c) 4

4. Halla el m.c.m. de 49; 63 y 72.

2. Señala las afirmaciones verdaderas:

a) Sólo III d) I y III

b) 12 e) 2

a) 244 d) 82

b) 242 e) 241

c) 84

c) Sólo I

22


Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo II Capítulo VI

Dos aeronautas viajan en globo. Un fuerte viento les arrastra durante muchas horas, y se encuentran perdidos. Hacen descender su aerostato en un prado, y, sin apearse del mismo, le preguntan a la única persona que encuentran por allí:

1. ¿Cuál es el menor número tal que al dividirlo por 4; 5 y 6 no deja residuo? Para que un número, al dividirse por otro, no deje residuo, la división debe ser exacta; por lo tanto, el número que buscamos, al ser dividido por 4, por ejemplo, dará una división exacta, lo que quiere decir que el número debe ser múltiplo de 4; lo mismo para 5 y 6, por lo que el número debe ser múltiplo a la vez de 4; 5 y 6, y como piden el menor, ese será el m.c.m., por tanto:

Perdone, buen hombre, ¿dónde nos encontramos?

El lugareño lo piensa un rato y responde: -

En un globo.

Entonces uno de los aeronautas le dice al otro: -

TRILCE

 Problemas resueltos

"PERDIDOS EN GLOBO"

-

COLEGIO

m.c.m.( 4; 5; 6) = 60, que es el número pedido

Vámonos de aquí a preguntarle a otro, porque este sujeto quiere burlarse de nosotros. ¡No, hombre, no es eso! Lo que pasa es que es matemático. ¿Qué es qué? ¿De dónde has sacado semejante conclusión? Muy simple: porque le hemos hecho una pregunta tan sencilla que cualquier persona normal podría haberla respondido inmediata y eficazmente, pero él la ha pensado largamente, y al final nos ha dicho algo totalmente cierto, absolutamente exacto, pero que ya sabíamos, y que además no nos sirve para nada.

2. ¿Cuál es el m.c.m. de dos números, cuyo producto es 40 y cuyo M.C.D. es 2? No olvides que el producto de dos números es igual al de su M.C.D. por su m.c.m.; de acuerdo a los datos que tenemos, el m.c.m. es un número que multiplicado por 2 (el M.C.D.) debe dar 40 (el producto de los dos números), y ese número es: 40 ÷ 2 = 20, que es el m.c.m. buscado.

Es clásico entre los alumnos escuchar frases como éstas:”Pero, ¿y eso de qué me va a servir más adelante?”, “Eso sólo sirve para el examen”, etc.

3. En una bolsa hay 30 galletas de soda, 36 de vainilla y 42 de chocolate. Si las reparto entre mis amigos de tal manera que a cada uno le toque la misma cantidad de galletas de cada clase, ¿a cuántos amigos como máximo les podré repartir las galletas, sin que sobren ni falten galletas?

APLICACIONES DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m) Para aplicar M.C.D. y m.c.m. a problemas sólo debes recordar qué es m.c.m. y M.C.D., y sus principales propiedades. Conviene añadir una propiedad muy importante:

Fíjate que debo repartir las 30 galletas de soda (por ejemplo) entre mis amigos, y para que a todos les toque la misma cantidad, sin sobrar ni faltar, debo tener tantos amigos que pueda dividir las 30 galletas exactamente, es decir, el número de amigos que tengo es DIVISOR de 30; lo mismo se aplica para las 36 de vainilla y las 42 de chocolate. Conclusión: el número de amigos que tengo es divisor común de 30; 36 y 42, y como quiero la máxima cantidad, será el M.C.D., por ello:

Tomemos dos números cualesquiera, por ejemplo 6 y 10. Hallemos su m.c.m. y su M.C.D. M.C.D. (6; 10) = 2 m.c.m. (6; 10) = 30 Observa que: 2 x 30 = 6 x 10; esto siempre se cumple para dos números (haz la prueba), así que podremos decir lo siguiente:

M.C.D.(30; 36; 42) = 6 son los amigos que tengo

Para dos números enteros y positivos A y B se cumple que: M.C.D. (A, B) x m.c.m. (A, B) = A x B 23

Colegio TRILCE

M.C.D. y m.c.m. II Problemas para la clase Nivel I

9. En el problema anterior, ¿cuántos pedazos se obtienen en total?

1. ¿Cuál es el mayor número posible, tal que al dividir a 36; 45 y 60 nos da siempre resto igual a cero? a) 6 d) 5

b) 2 e) 4

a) 21 d) 24

c) 3

b) 2 e) No hay

c) 4

a) 2 d) 5

3. Para llenar una tina, se extrae el agua de un estanque; Julio puede llenar la tina sacando agua con un balde de 3 litros, siempre lleno, sin que le sobre ni le falte agua; María puede hacer lo mismo, pero con un balde de 4 litros. ¿Cuántos litros de agua tiene la tina, si es lo más pequeña posible? a) 2 litros d) 12

b) 3 e) 18

b) 70 e) 360

b) 2 e) 7

a) 80 d) 40

c) 6

b) 8 e) 2

a) 10 d) 210

b) 11 e) 1

b) 4 e) 12

b) 35 e) 420

c) 70

a) 0 c) 390 e) No tienen MCD

c) 5

b) 65 d) 195

4. ¿Cuál es el producto del mcm y el MCD de los números 28 y 96? a) 1 344 d) 336

c) 6

b) 2 688 e) 118

c) 672

5. El producto de dos números es 127 400, y su MCD es 14. ¿Cuál es su mcm? a) 9 100 d) 27 300

c) 2

b) 18 200 e) 13 650

c) 4 550

6. Un alumno observador nota que cada 3 días pasa frente al colegio un vendedor de fruta, cada 6 días pasa un vendedor de helado, y cada 8 días pasa un vendedor de gaseosas. Si hoy pasaron todos juntos, ¿dentro de cuántos días como mínimo volverán a pasar otra vez los tres juntos?

8. Si tengo dos tablas, cuyas longitudes son 96 cm y 104 cm, y quiero partirlas en pedazos iguales, sin que sobre nada, y de tal forma que los pedazos sean lo más grandes posibles, ¿cuánto medirá cada pedazo? a) 2 cm d) 8

c) 160

3. ¿Cuál es el producto del mcm y el MCD de los números 15; 65; 5 y 3?

c) 120

7. ¿Cuál es el mayor número que divide en forma exacta a 88 y 154? a) 22 d) 4

b) 320 e) 20

2. ¿Cuál es el mayor divisor común de 25 x 42, y de 35 x 54?

6. ¿Cuál es el mayor divisor posible de 80 y 96, a la vez? a) 4 d) 16

c) 4

1. ¿Cuál es el mayor divisor común de 16 x 80, y de 20 x 48?

5. En el problema anterior, ¿en qué tiempo llenará el tanque el primer caño? a) 4 minutos d) 8

b) 3 e) 6

Nivel II

4. ¿Cuál es la menor capacidad posible de un tanque de agua, si un caño lo llena a 45 litros por minuto, y otro, por separado, a 36 litros por minuto, y en cada caso lo hace en un número exacto de minutos? a) 90 litros d) 180

c) 23

10. En una caja hay 36 caramelos de menta, 90 caramelos de limón, y 60 caramelos de fresa. Si los reparto a mis amigos, de tal manera que a cada uno le toque el mismo número de caramelos de cada clase, ¿a cuántos amigos como máximo le podré repartir?

2. ¿Cuál es el menor número posible que al dividir a 20; 35 y 42, resulta que siempre la división es exacta? a) 1 d) 5

b) 22 e) 25

c) 6

a) 12 d) 24

24

b) 8 e) 48

c) 16


M.C.D. y m.c.m. II 7. ¿Cuál es el menor número que al dividirlo entre 7; 5 y 4, siempre da residuo 2?. Da como respuesta la suma de sus cifras. a) Menos de 6 b) 6 d) 8 e) Más de 8

4. Un profesor observó que si junta a los alumnos del salón en grupos de 6, sobran 4; si los agrupa de a 9, sobran 7; y si los junta de a 4, le sobran 2 ¿Cuántos alumnos hay en dicho salón, si no pasan de 40?

c) 7 a) 32 d) 35

8. Si el número de naranjas que tiene un vendedor se cuenta de 15 en 15, de 18 en 18, y de 24 en 24 siempre sobra 11. Hallar el número de naranjas, si es el menor posible. a) 360 d) 391

b) 351 e) 350

b) 36 e) 60

a) 1 d) 4

c) 371

b) 13 e) 16

a) 324 m2 d) 36

c) 18

c) 14

a) 1 720 cm2 d) 1 212

1. El producto de dos números primos entre sí es 4 290, ¿cuál es su mcm? b) 429 c) 1 430 e) Faltan datos

b) 257 e) 243

a) 80 d) 60

b) 11 e) 14

c) 289

b) 2 610 e) 9 600

c) 2 010

b) 56 e) 96

c) 72

9. Según el problema 7, ¿cuántas fichas más usó Manolito que Luchito?

c) 247

a) 25 d) 15

3. ¿Qué número es tal que al dividirlo entre 6; 14; 15 y 4, siempre da como residuo 3, si es que el número está entre 3 000 y 3 500?. Da como respuesta la suma de sus tres últimas cifras. a) 10 d) 13

b) 400 e) 18

8. En el problema anterior, ¿cuántas fichas usó Pepito?

2. ¿Qué número es tal que al dividirlo entre 4; 5 y 12, siempre da como residuo 3, si es que el número está entre 200 y 300? a) 223 d) 263

c) 3

7. Con fichas rectangulares Pepito, Manolito y Luchito formaron rectángulos iguales y de la menor área posible. Si Pepito usó fichas de 6 cm x 20 cm; Manolito, de 10 cm x 16 cm y Luchito de 12 cm x 32 cm (la primera medida representa el ancho y la segunda representa el largo), ¿cuál fue el área del rectángulo?

Nivel III

a) 2 145 d) 4 290

b) 2 e) 5

6. Al dividir un terreno rectangular en cuadrados iguales, se hizo de tal manera que el lado de cada cuadrado sea de la mayor longitud posible, y sin que sobre terreno. Si el largo del terreno es de 810 m, y su ancho es de 684 m, ¿cuál es el área de cada uno de los cuadrados?

10.En el problema anterior, ¿cuántos recipientes debe usar? a) 12 d) 15

c) 34

5. ¿Cuántos números, mayores que 500 y menores que 900, son divisibles por 9; 12; 15 y 18?

9. Un comerciante tiene tres barriles de vino de 144; 180 y 216 litros, y se le ocurre repartir este vino en recipientes iguales, de la mayor cantidad posible cada uno, y que esté contenidos exactamente en los tres barriles. ¿Cuántos litros debe contener cada recipiente? a) 72 litros d) 24

b) 33 e) 36

b) 35 e) 5

c) 45

10.Elena visita a Samuel cada 5 días, a José cada 3 días, y a Alberto cada 4 días. La primera vez que le tocó visitar a todos ellos fue el 1 de abril. ¿Qué fecha caerá la segunda vez que volverá a visitar a todos?

c) 12

a) 1 de junio c) 30 de mayo e) 31 de mayo 25

b) 2 de junio d) 29 de junio


M.C.D. y m.c.m. I Autoevaluación 1. El producto de dos números es 231 200, y su M.C.D. es 17. ¿Cuál es su m.c.m.? a) 13 600 d) 20 400

b) 16 300 e) 8 600

4. Si tengo tres tablas, cuyas longitudes son 195 cm, 165 cm y 210 cm, y quiero partirlas en pedazos iguales, sin que sobre nada, y de tal forma que los pedazos sean lo más grandes posible, ¿cuántos pedazos se obtienen en total?

c) 6 800

2. ¿Cuál es el mayor divisor común de 12 x 36, y de 48 x 60? a) 30 d) 120

b) 60 e) 6

a) 35 d) 38

c) 144

b) 223 e) 233

c) 37

5. Al dividir un terreno rectangular en cuadrados iguales, se hizo de tal manera que el lado de cada cuadrado sea de la mayor longitud posible, y sin que sobre terreno. Si el largo del terreno es de 320 m, y su ancho es de 520 m, ¿cuántos cuadrados se obtuvieron?

3. ¿Qué número es tal que al dividirlo entre 6; 10 y 70, siempre da como residuo 3, si es el menor posible? a) 213 d) 253

b) 36 e) 39

c) 243

a) 160 d) 104

26

b) 80 e) 40

c) 96


COLEGIO

Repaso

TRILCE

Capítulo VII Problemas para la clase 1. Indicar cuántos de los siguientes números son divisibles por 3. I. 348 III. 3 331 a) 1 d) 4

o

8. Si el número: a3ba = 45 , hallar "a + b"

II. 1 254 IV. 313 131 b) 2 e) Ninguno

a) 10 d) 11

c) 3

a) 8 d) 5

o

b) 5 014 e) 4 872

II. 130 080 IV. 191 000 b) 27 e) 11

a) 598 d) 546

c) 548

11.En el problema anterior, ¿cuántos de los asistentes se quedaron dormidos? o

b) 12 805 e) 214 801

a) 78 d) 146

c) 15 237 051

5. Si el siguiente número 4575 a es múltiplo de 4 + 2. Calcular el mayor valor de "a". b) 6 e) 9

b) 77 e) 156

c) 144

12.En el 3er año de secundaria hay 208 alumnos en total. Se sabe además que de las mujeres, los 3/5 adoran la aritmética, 4/7 viven en San Isidro y 1/3 usan lentes. ¿Cuántos hombres hay en 3er año?

o

a) 8 d) 2

b) 498 e) 564

c) 14

4. Indica cuál de los siguientes números es 4 + 3. a) 10 249 d) 184 821

c) 6

10.Al partido U - CRISTAL, fueron al estadio entre 500 y 600 personas. Se observó que 2/7 de los asistentes se quedaron dormidos, 1/3 entraron gratis y 2/13 eran niños. ¿Cuántos asistieron exactamente?

o

a) 16 d) 12

b) 7 e) 4

c) 5 320

3. Indicar la suma de cifras del mayor número que sea 8 . I. 134 800 III. 495 180

c) 13

9. Calcular el residuo al dividir 14 832 156 203 entre 9.

2. Indica el mayor número que sea 11 : a) 5 126 d) 4 950

b) 5 e) 15

c) 4

a) 105 d) 102

6. Hallar el valor de "m" para que el numeral 43m91

b) 104 e) 101

c) 103

13.Hallar la suma de los valores de una cifra que puede tomar "a":

o

sea 11 .

o

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

3a + 1 = 4

c) 6 a) 10 d) 16

o

b) 6 e) 28

c) 15

7. Calcular "p + q", si: p 4 qp = 55 a) 5 d) 9

b) 4 e) 10

14.¿Cuántos divisores tiene el número 32?

c) 8

a) 1 d) 6

27

b) 3 e) 7

c) 5

Colegio TRILCE

Repaso 15.Hallar la suma de los divisores primos de 80. a) 2 d) 7

b) 3 e) 8

7. Hallar la cantidad de divisores del mayor número de tres cifras.

c) 5

a) 8 d) 6

Bloque II

a) Tienen igual b) 1 d) 3 e) 4

a) 60 d) 4

c) 2

I. 37 IV. 597

II. 93 V. 101

III. 1 001

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

a) 216 d) 211

a) 2 d) 240

¿Cuántos divisores tiene “N”? c) 30

b) 1 728 e) 48

c) 120

b) ¿Es el número obtenido el producto de 5; 6 y 7?

c) 32

Rpta.: _______ c) ¿Por qué el mcm de los números 5; 6 y 7 es igual a su producto? Rpta.: ___________________________________ _________________________________________

c) 6

12.Si el MCD de 24A y 64B es 720 y el MCD de 64A y 24B es 480, hallar el MCD de A y B.

6. Calcular el producto de los cuatro primeros números compuestos. a) 192 d) 0

b) 4 e) 60

Rpta.: _______

Hallar la cantidad de divisores de: M x N b) 24 e) N.A.

c) 207

a) ¿Cuál es el menor número entero positivo tal que al dividirlo entre 5; 6 y 7 dá como residuo cero?

5. Si: M = Cantidad de divisores de 60 N = Cantidad de divisores de 36

a) 12 d) 8

b) 225 e) 206

11.Responde:

4. En el problema anterior, ¿cuántos divisores compuestos tiene “N”? b) 33 e) 20

c) 50

10.¿Cuál es el menor número entero positivo tal que al dividirlo entre 24; 40 y 30 se obtiene siempre una división exacta?

3. Se tiene el número: N = 25 x 3 x 72

b) 10 e) 24

b) 12 e) 25

9. ¿Cuál es la diferencia entre el mcm y MCD de 72 y 27?

2. ¿Cuántos de los siguientes números son primos?

a) 3 d) 34

c) 5

8. Un divisor común de 120 y 200 es:

1. ¿Cuántos divisores más tiene el número 280 que el número 150?

a) 18 d) 36

b) 3 e) 9

a) 10 d) 30

b) 36 e) 15

c) 20

c) 384

28


ÍNDICE Aritmética

Capítulo

Pág.

I. Fracciones ........................................................................................................................ 3 II. Operaciones con números fraccionarios ............................................................................... 9 III. Aplicación de los números fraccionarios ............................................................................. 17 IV. Complemento de fracciones .............................................................................................. 21 V. Expresión decimal de una fracción ..................................................................................... 25 VI. Operaciones con números decimales ................................................................................. 29 VII. Aplicación de números decimales a la resolución de problemas ............................................ 33 VIII. Repaso ........................................................................................................................... 37


TRILCE

COSI1SLIAR4B-04.p65

Fracciones

COLEGIO

TRILCE

Capítulo I Cuando estudiamos el conjunto de los números naturales ( IN), vimos que era necesario extender dicho conjunto a otro más amplio que nos permita efectuar la resta o sustracción para todos los casos, apareciendo entonces el conjunto de los NÚMEROS ENTEROS (ZZ).

El denominador 6, representa la cantidad de partes iguales en que se ha dividido la UNIDAD. El numerador 5, representa la cantidad de partes que se ha tomado de la unidad.

Pero ahora se nos presenta otra dificultad, al tratar de efectuar ciertas divisiones de números enteros, como por ejemplo:

l

La fracción como cociente Queremos repartir dos tortas entre tres niños en partes iguales, a cada uno le corresponde 2/3 de la torta, esto significa que la fracción 2/3 es el cociente de dividir dos entre tres; es decir:

¿Cómo divido una deuda de S/.150 en 18 cuotas? ............................... 150 ÷ 18 ¿Cómo divido una cuerda de cinco metros en dos partes iguales? ................ 5 ÷ 2

2÷3=

2 para cada niño 3

¿Cómo divido una torta en dos partes iguales? ....................................... 1 ÷ 2 En todos estos casos anteriores no encontramos solución en el conjunto de los números enteros, ante esta situación surge la necesidad de ampliar dicho conjunto a otro que en adelante llamaremos el CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES que lo reconoceremos por la letra Q I .

l

“La mitad”, “la tercera parte”, “la cuarta parte”, etc., son nombres de operadores que fraccionan. Así:

¿Qué es una fracción? Una fracción es una división indicada de dos números enteros. En tal división, el divisor es diferente de cero.

Es decir:

a , donde: b ≠ 0 b

Además “a” y “b” son los términos de la fracción y reciben el nombre de NUMERADOR y DENOMINADOR respectivamente.

*

1 1× 8 8 de 8 = = =4 2 2 2

*

1 1 × 15 de 15 = = 3 3

*

3 3 × 20 de 20 = = 5 5

a es un operador que b multiplica por “a” y divide entre “b”.

Observación: La fracción

Algunos significados de fracción l

La fracción como operador

Comparación de una fracción con la unidad

La fracción como parte de la unidad Si dividimos un papel en seis partes iguales y pintamos cinco de dichas partes, entonces toda la parte pintada del papel la representamos por 5/6

l

Fracción propia Se llama así cuando el numerador es menor que el denominador, estas fracciones son menores que la unidad. Ejemplo: De un pastel tomamos las 3/4 partes.

5 6

3

Colegio TRILCE

Fracciones l

Fracción impropia Se llama así cuando el numerador es mayor que el denominador, estas fracciones son mayores que la unidad.

Cociente = 5, es la parte entera Residuo = 2, es el numerador de la parte fraccionaria Divisor = 3, es el denominador de la parte fraccionaria

Ejemplo: De un pastel no podemos servirnos las 5/4 partes, entonces tomamos dos pasteles así:

Luego: 17 = 3

¿Cómo transformamos un mixto a una fracción impropia?

Observación: Si el numerador es igual al denominador, la fracción es igual a la unidad. Ejemplo: -

2 3

Para efectuar esta transformación, multiplicamos el denominador de la parte fraccionaria por la parte entera y a este producto le sumamos el numerador obteniendo así el numerador de la fracción buscada. El denominador es el mismo.

De un pastel tomemos las 4/4 partes.

Del ejemplo anterior: 2 a fracción impropia: 3

* Transformar Transformación a mixtos

+

Llamamos números mixtos a una forma de representar las fracciones mayores que la unidad. Así:

2 3 × 5 + 2 17 = 3 = 3 3

1 es un número MIXTO, 2

Fracciones equivalentes donde: la PARTE ENTERA es la PARTE FRACCIONARIA es

Dos fracciones: 1 2

a c y b d

Este MIXTO puede ser desdoblado también así: 1 + 2

son equivalentes, si se cumple que:

ad = bc Ejemplo:

Entonces, también es cierto que: 1 1 + = 2 2

3 9 y son equivalentes 5 15 3 9 = porque: 3 × 15 = 9 × 5 5 15 45 = 45

¿Cómo transformamos una fracción impropia a número mixto? Veámoslo en un ejemplo:

Fracción irreductible

* Transformar 17/3 a mixto.

Si los términos de una fracción tienen como único divisor común a la unidad, dicha fracción es irreductible o irreducible.

Dividimos el numerador entre el denominador

17 3 15 5 2

Ejemplo: 3 5

4


Fracciones Simplificación de fracciones

n

Significa transformarla en otra equivalente y a la vez irreductible. Para lograrlo dividimos sucesivamente los términos de la fracción entre divisores comunes hasta lograr una fracción irreductible. Ejemplo: Simplificar

=

* Ordenar las siguientes fracciones de menor a mayor: 5 2 7 ; y 9 5 12

24 180

2

24 180

Transformando las fracciones a denominador común

Paso 1: Hallamos el m.c.m. de los denominadores: 2

12 90

2

=

3

6 45

2

=

á m.c.m. (9, 5, 12) = 180

2 15

Paso 2:

3

5 100 = 9 180

Relación de orden n

2 72 = 5 180

7 105 = 12 180

Regla de productos cruzados * ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?

Paso 3: Ordenando de acuerdo a los numeradores:

7 3 ; 9 5

Hacemos: 35 =

7 9

3 5

72 100 105 < < 180 180 180

= 27

2 5 7 < < 5 9 12

y como: 35 > 27 entonces:

7 3 > 9 5

Problemas para la clase Bloque I e)

1. En las siguientes figuras colorea la parte correspondiente a la fracción referida:

......

3. Calcular: 3 a) 4

c)

5 b) 8

3 8

2. Escribe la fracción que representa la parte sombreada en cada caso: a)

c)

......

......

b)

d)

a) los

5 de 32 8

b) los

2 de 12 3

c) la tercera parte de 51

.......

......

5

d) los

4 de 63 9

e) los

2 de 35 5


Fracciones 4. Escribe como mixto las siguientes fracciones:

a)

8 5

b)

11 7

c)

13 2

d)

15 7

17 e) 5 141 11

h)

i)

78 25

51 j) 5

12 18

10 15

f)

20 23

7 5

g)

1 9

13 117

h)

13 9

9 7

8. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:

137 f) 3

g)

e)

103 4

5. Escribe como fracciones los siguientes mixtos:

a)

14 9 7 ; y 17 13 10

b)

3 3 3 ; y 5 7 10

c)

4 3 3 ; y 9 8 10

d)

3 4 3 4 ; ; y 4 5 5 7

e)

2 3 4 5 ; ; y 3 4 5 6

a) 3

1 7

b) 7

2 3

Bloque II

c) 4

1 5

d) 2

2 7

1. Calcular

e) 5

1 9

f) 13

1 2

g) 21

2 3

h) 18

2 7

i) 19

1 3

j) 37

2 3

a) 744 d) 250

4 40

b)

75 100

c)

36 180

d)

16 64

72 e) 96 24 180

h)

253 69

i)

18 300

j)

768 512

a) 107 d) 213

3 5

c)

11 24

5 8 10 13

= 46

b) 207 e) 111

c) 117

3. ¿Cuál es el número que deberíamos escribir en el casillero para que la igualdad sea cierta?

11 a) 1 d) 2

7. Escribe el signo “<”; “>” o “=” según corresponda:

a)

c) 644

2 de 9

64 f) 360

g)

b) 720 e) 764

2. ¿Cuál es el número que deberíamos escribir en el casillero para que la igualdad sea cierta?

6. Simplificar las siguientes fracciones:

a)

2 de 2 604 7

b)

3 51

2 33

d)

10 17

11 13

de 143 = 26

b) 5 e) 4

c) 3

4. Señalar la fracción menor:

6

a)

5 3

b)

2 7

d)

2 11

e) −

c)

1 4

11 2


Fracciones 5. Si simplificamos una fracción, obtendremos 1/3. Si la suma de sus términos es 28, calcular su diferencia. a) 10 d) 16

b) 14 e) 18

7. ¿Cuál de las siguientes fracciones es menor que 1/6?

c) 15

6. Al simplificar una fracción obtendremos 2/5. Si la diferencia de sus términos es 12, encontrar la suma de ellos. a) 28 d) 25

b) 17 e) 26

a)

5 7

b)

3 19

d)

2 3

e)

5 29

c)

42 43

8. Los 4/7 de la propina de Luis equivalen a S/.52. ¿Cuánto es la propina de Luis?

c) 22

a) S/.103 d) 91

b) 83 e) 102

c) 97

Autoevaluación 1. Señala las afirmaciones verdaderas: I. II.

III.

3. ¿Cuál de los siguientes números racionales es el mayor?

4 2 es equivalente a . 15 7

a) 1

3 indica que hemos tomado 3 de 7 partes iguales 7 en que se divide la unidad.

d) − 5

24 es lo mismo que 4 4 . 5 5


b) II y III e) Todas

1 2

c) Sólo II

e) −

c) 4

1 3

6 5

3 3 > 5 5 II. 0 es mayor que cualquier número racional negativo.

I.

9 18 es propia, y es equivalente a . 8 16 II. Al simplificar una fracción hasta que ya no se puede

−

III. 75

I.

3 5 > 75 4 6

a) FVF d) FVV

simplificar más, lo que queda es una fracción irreductible.

b) VFF e) FFF

c) VFV

5. Hallar el valor de “x” en la siguiente igualdad:

III. Sólo una fracción impropia se puede transformar a

4 12 = 5 x

número mixto. b) II y III e) Todas

1 3

11 12

4. Clasifica como verdadera o falsa cada una de las afirmaciones siguientes:

2. Señala las afirmaciones falsas:


b)

c) Sólo I

a) 10 d) 15

7

b) 4 e) 28

c) 1


COLEGIO

Operaciones con números fraccionarios

TRILCE

Capítulo II ADICIÓN EN NÚMEROS FRACCIONARIOS

b.1. Método del mínimo común múltiplo (m.c.m.) 1 3 7 + + 4 8 20

a. De igual denominador Para efectuar la suma o adición de dos o más fracciones con igual denominador, se suman los numeradores y se escribe el mismo denominador.

Hallamos el m.c.m. de los denominadores y lo escribimos como DENOMINADOR del resultado. 4 - 8 - 20 | 2 - 4 - 10 | 1-2-5 | 1-1-5 | 1-1-1 |

Veamos en forma gráfica: + 3 6

= 2 6

+

5 6

=

2 2 2 5

m.c.m. = 2 x 2 x 2 x 5 = 40

Entonces: 1 3 7 + + = 4 8 20 40

Ejemplo:

Dividimos el m.c.m. por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el respectivo numerador.

3 5 2 10 + + = 17 17 17 17

Luego:

b. De diferente denominador:

1 3 7 10 + 15 + 14 39 + + = = 4 8 20 40 40

Para efectuar la suma o adición de fracciones de diferente denominador, buscamos transformar las fracciones a otras equivalentes, de tal forma que todas tengan ahora el mismo denominador.

b.2. Regla de productos cruzados a c ad + cb + = b d bd

Veamos un ejemplo gráfico:

+

+

Ejemplo: 3 7 33 + 28 61 + = = = 4 11 44 44

1 2

+

1 4

1 8

+

SUSTRACCIÓN EN NÚMEROS FRACCIONARIOS

Reducción a común denominador:

+

+

4 8

+

2 8

+

Efectuar la SUSTRACCIÓN de números racionales equivale a efectuar la ADICIÓN de uno de ellos con el opuesto del otro.

=

1 8

17 44

=

Ejemplo:

7 8

l

2 3 − 5 11

Esta sustracción también se puede escribir así: 2 −3 + 5 11

9

Colegio TRILCE

Operaciones con números fraccionarios l

Ahora aplicamos la REGLA DE LOS PRODUCTOS CRUZADOS

Ejemplo: 36 9 36 8 32 ÷ = × = 5 8 5 9 5

2 −3 22 + ( −15) 22 − 15 + = = 5 11 55 55

POTENCIACIÓN EN NÚMEROS FRACCIONARIOS . 2 3 = 7 .. − 5 11 55

La potencia de una fracción es el resultado de multiplicar “n” veces una misma fracción. Así:

MULTIPLICACIÓN EN NÚMEROS FRACCIONARIOS

a a a a × × × ... × = Potencia " n"−ésima b b b  b   

El numerador final es el resultado de multiplicar los numeradores, el denominador final es el resultado de multiplicar los denominadores.

"n" veces

a b

n

a   = P b

Es decir:

a b

c a = d b

c d

Donde: “n” es exponente natural

l

Ejemplo:

a es base racional o fracción b “P” es la potencia o resultado de la operación POTENCIACIÓN

l

3 2 2 3×2×2 12 × × = = 5 7 5 5 × 7 × 5 175

l

Ejemplo: 3

3 3   significa que la base racional debe ser multi4 4   plicada por sí misma tres veces.

DIVISIÓN EN NÚMEROS FRACCIONARIOS Observa el dibujo y reflexiona sobre la pregunta: ¿Cuántas veces cabe 1/8 en 1/2? Se trata de dividir 1/2 entre 1/8?

Es decir: 3

3 3 3 3 × 3 × 3 33 27 3 = =   = × × = 4 4 4 4 × 4 × 4 4 3 64 4

Luego podemos afirmar de modo general que:

1 2

1 = 8

1 2

n

an a   = n b b

8 8 = = 4 1 2

Es decir, que 1/8 cabe cuatro veces en 1/2

Signos de una potencia de base racional

Dividir una fracción a/b por otra NO NULA c/d equivale a multiplicar la primera fracción a/b por la inversa de la segunda c/d.

2

(+2) × (+2) + 4  + 2 =   = 3 3×3 9  

Es decir:

a c a d a×d ÷ = × = b d b c b×c

3

(+2) × (+2) × (+2) + 8  + 2 =  3  = 3×3×3 27  

10

Una potencia de base POSITIVA y exponente PAR o IMPAR, siempre es positiva.


Operaciones con números fraccionarios 4

RADICACIÓN EN NÚMEROS FRACCIONARIOS

(−2) × (−2) × (−2) × (−2) + 16  − 2 =  5  = 5×5×5×5 625  

Una potencia de base NEGATIVA puede ser: POSITIVA, si el exponente es PAR NEGATIVA, si el exponente es IMPAR

3

(−2) × (−2) × (−2) − 8  − 2 =   = 5×5×5 125  5 

Hemos estudiado que dada la siguiente expresión: n

a    P b  

Propiedades

La operación que permite el cálculo de la base

a   b  

m

n

a    a b b    

mn

dados "P" y "n", se llama RADICACIÓN.



Es decir:

Ejemplo:

2   3  

2

3

2    2 3 3    

23

2   3  

 m  a    b     

n

5

Donde:

a   b  

 2  5    9      

5   9  

2 3

5   9  

n

3

6

n



a c     b  d    

n

impar

2

2 1      5 6    

a   b  

27 125

=

b

impar 2

+a

−a

=

b

2

+a

par

=

b

:

Raíz

:

Operador radical 3

3



porque

5

3    27 5 125  

+c d −c d +c

Ejemplo:

3

Ejemplo:

5

Ejemplo:

d

+8

27 −1

32 +9

25

=

=

=

+2

3 −1

2 +3

5

m

a   b  

n

a   b  

m n

−a

par

= ∃ en Q

b

Propiedades

•

Ejemplo:

 5     11   

Índice (n  2)

Signos de radicación en Q

Ejemplo:

 5     11   

n:

Ejemplo:

a c    b d  

2 1    5 6  

Radicando

b

Ejemplo: 3

P:

a

m n

n

a     P b b   a

nP



"a"

n

a

n

b

Ejemplo:

3

n

a b



6

4

 5     11   

64

 5     11   

2

11

27 8



3

27

3

8



3 2


b

Operaciones con números fraccionarios

•

a n  b  

m

a   b  

m n

•

2 Ejemplo: 2   5

•

n

a b



c d

Ejemplo:

a

n

7



b 1 8

4



4

 22  2     5 5    

= mnp

b

2

Ejemplo:

25 4

a b 2 9

= 2 ×5 × 4

2 9

=

40

2 9

d 7

5

a

c

n

3

mnp

1 8



7

3 5

Problemas para la clase ADICIÓN

3. Hallar el valor de “x + y”

1. Efectuar las siguientes adiciones:

3 4

+

1 x 1 = + 5 5 5

2 7

a) 61 d) 89

2 5 1 5

1 y = 5 5

b) 75 e) 41

c) 40

4. Efectúe:

1 + 2

2 3

Indicar el mayor resultado. 19 a) 29

23 b) 20

17 d) 35

c)

1 5

a) 20

24 35

d) 1

e) N.A.

3 5

b) 23

1 6

c)

30 31

e) N.A.

5. Completar con los signos “>” o “<” según corresponda:

2. Calcular “A + B”: 2 5 + 3 6 3 4 B= + 5 11 A=

a) 10 d) 3

1 2

4 5

b) 8 e) 9

49 51

I.

c) 7

51 110

11 50

12

3 7

3 1 + 8 5

II.

2 7

III.

3 11 + 5 12

IV.

2 3 + 5 10

5 6

11 13 3 2 + 4 7


Operaciones con números fraccionarios SUSTRACCIÓN

MULTIPLICACIÓN

6. Efectuar las siguientes sustracciones:

11.Completa el siguiente cuadro simplificando el resultado de la operación indicada.

2 7

5 21

7 2

3 5

7. Efectuar la siguiente operación: 1 3 5 4 a)

9 20

b)

3 16

d)

3 17

e)

5 21

12.Calcular “ A × B ” A=

c)

1 15

B=

9. Restar 5

b)

45 8

b) 5 e) 8

1 4 × × 27 4 9

c) 6

13.Simplificar:

3 8

3 4 c)

52 6

a)

21 25

b)

12 19

d)

13 14

e)

1 7

c)

5 11

c)

11 28

14.Si se sabe que:

A=

3 e) 5 8

B=

5 1 de 7 8 3

4 5

3 8

1 2

13 5 6 × × 15 26 7

calcular “ A × B ”

a)

7 19

b)

13 15

d)

37 51

e)

20 21

c)

41 24

1 1 1 10.De  −  restar 6 2 3

a) 2 d) 5

B=

 2  5   3   3  ×   × 1   7   23   10 

A=

54 d) 8

2 10 × 5 3

a) 4 d) 7

8. Calcular “A - B”

40 7

1 2

4 5 2 7

3

a)

14 15

b) 1 e) 0

a)

5 19

b)

7 20

d)

13 17

e)

11 30

15.Simplificar: −6 36 −12 −3 × × × 90 15 8 12

c) 4

13

a)

32 35

b)

10 21

d)

−7 15

e)

−3 5

c)

−3 50


Operaciones con números fraccionarios DIVISIÓN

11 12

3 8

3−

a) 2

2 3

b) 3

1 2

d) 4

1 3

e) 3

1 3

17. Escribir la expresión más simple equivalente a:

2 13 5 26

d)

4 5

b)

1 2

e)

7 12

17 d) 25

b)

c)

8 19

a b

c)

21 22

1 1 1 + + 4 8 16 5 8

b)

11 25

d)

5 21

e)

1 3

c) 2

al cuadrado

 1 A =  −   3

19.Simplificar:

13 17

1 4 1 2

a la cuarta

al cubo

22.Calcular “A x B”, si:

23 e) 50

a)

1−

1 3 3 5 1 4

1 4

11 13

1

21.Escribe en los casilleros en blanco las potencias indicadas.

2 1 + 3 4 13 12 7 11

2−

POTENCIACIÓN

18.Simplificar:

a)

1

9

9 4 14 21

a)

1

4−

16.Complete el siguiente cuadro efectuando todas las divisiones señaladas.

2

a)

5 99

b)

3 125

d)

5 48

e)

20 51

3 B =   5

c)

3

3 25

23.Calcular el valor de “x” si:  13     15 

c)

a) 9 d) 12

7 10

2

 13     15 

7

3

 13   13    =    15   15 

b) 15 e) 20

x

c) 7

24.Calcular el valor del recuadro: 4

3  2  − 5   − 5      =     7     7     

20.Reducir:

14


Operaciones con números fraccionarios a) 24 d) 27

b) 25 e) 28

c) 26

121 = 144

e)

25.Efectuar:

 3  2  27  −1    ×     5   25  

a) d)

1 13

b)

1 27

e)

1 9

c)

−

1 = 216

16

8

c)

1 81

1 5

a)

1 2

b)

1 4

d)

1 16

e)

1 5

1   2

c)

1 8

28.Simplificar:

26.Halle el resultado de:

1

81 = 100 5

3

27. Calcular:

4

RADICACIÓN

a)

f)

1 = 32

b)

3

−1 = 64

d)

3

1 000 = 27

81  2 4 1  9 × 16 × 100   

a)

3 7

b)

2 5

d)

5 16

e)

11 13

a)

1 2

b)

4 5

d)

5 8

e)

13 15

c)

3 20

c)

3 7

Autoevaluación Realiza las siguientes operaciones:

1.

2 3 1 + + 5 2 3

a) 1 d) 7

3 5

b) 3

1 9

e) 2

4 13

c) 5

2 3

4. Simplificar: 2

1  2  −  ÷ 3 27  

7 30

a) 11 d) 14

3  1 × 3  2. 5  2 

a) 13 d) 3

4 7

b) 12

c) 2

5. Restar

1 10

e) N.A.

 1  1 3.  3  ÷  4   3  6

15

b) 12 e) 15

c) 13

1 1  2 de  +  5 3 4

a)

19 20

b)

31 35

d)

11 60

e)

13 15

c)

3 5


COLEGIO

Aplicación de los números fraccionarios

TRILCE

Capítulo III EL DESCENDIENTE DE CONSTANTINO I EL GRANDE

Veamos un ejemplo: En un salón de clases hay 50 alumnos; de ellos, 15 estudian inglés en un instituto. ¿Qué fracción de los alumnos del salón estudia en dicho instituto?

Se cuenta que un presuntuoso iba diciéndole a todo el mundo que era descendiente directo de Constantino I El Grande.

Observa que del total de alumnos del salón (son 50), sólo una parte estudia en el instituto (que son 15), por eso la fracción pedida es:

Hasta que un día se lo contó a un matemático. Éste, después de escuchar atentamente las historias del supuesto descendiente del gran emperador, le dijo:

Parte 15 3 = = Todo 50 10

«Usted tiene dos padres, y cada uno de ellos, otros dos, y así sucesivamente. Teniendo en cuenta que nos separan unas sesenta generaciones de su ilustrísimo pariente, resulta que usted ha tenido, desde entonces, más de dos trillones de antepasados. Uno de ellos es Constantino I El Grande. Me parece a mí que poco le toca de tan importante señor».

Fracción de fracción Observa el siguiente gráfico:

Claro que en sentido figurado, pero podríamos decir que el mencionado fanfarrón tenía sólo 1 trillonésimo de Constantino... así que volvemos a fracciones. Claro que la fracción representada es 2/3, ¿cierto? (¿Porqué?)

FRACCIONES II

¿Qué pasaría si ahora esa parte que está sombreada la sacamos un momento, y la dividimos en 5 partes iguales?

En este capítulo vamos a aplicar el concepto de fracciones a diferentes tipos de problemas, pero antes veremos algunas ideas más que son sumamente útiles. Relación Parte - Todo

Ahora, de esas 5 partes (olvida por un momento la línea punteada), ¿qué pasaría si sólo quisiese tomar 2? Tendría algo así:

¿Recuerdas la representación gráfica de una fracción, cierto?

3 partes 7 partes

Que viene a ser 2/5, ¿no es así? Ahora regresemos lo obtenido al gráfico del principio y completemos las líneas:

Aquí tenemos la fracción 3/7; recuerda que eso significa que de los 7 pedazos en que se ha dividido el rectángulo, hemos tomado sólo 3. Observa que en realidad los 7 pedazos son el total, y que los 3 pedazos que hemos tomado son sólo una parte del total.

Observa que la parte más oscura representa la parte que tomamos al final: 2/5. Pero esa es una parte, no del de una parte del total (¿Recuerdas? Al principio eran 2/3).

Quiere decir entonces que una fracción es una relación de parte a todo, donde:

Parte = Fracción Todo

t

Numerador Denominador

o

t

a

l ,

s

i n

o

Quieres decir que hemos tomado 2/5 de 2/3 del total. Y si analizas bien, en realidad la parte más oscura son 4 17

Colegio TRILCE

Aplicación de los números fraccionarios  Problemas resueltos

pedazos de un total de 15, lo que significa 4/15. Coloquemos estos resultados así:

1. Si de los 36 alumnos de un salón, 20 se van de paseo, ¿qué parte de los alumnos del salón no van de paseo?

2 2 4 de es igual que 5 3 15

Los que no van son: 36 – 20 = 16

Ya habrás notado que para que se cumpla, esta preposición “de” debe reemplazarse con un “x” (por), quedando: 2 2 4 x = 5 3 15

Por lo tanto: Parte 16 = Todo 36

Veamos un ejemplo:

que simplificado es 4/9

2. Gonzalo se comió la mitad de las galletas de una lata, y luego María 1/3 de las galletas que han quedado. ¿Qué fracción de las galletas que había al principio habrá al final?

En un salón de clases, 2/5 de los alumnos son mujeres; de ellas, 1/4 vienen a pie al colegio. ¿Qué fracción del salón son las mujeres que vienen a pie al colegio?

Notarás que si Gonzalo come la mitad (1/2), queda una mitad (1/2); por otro lado, María come 1/3 de lo que quedaba, por eso queda 2/3 de lo que quedaba.

Observa que lo que se pide es 1/4 de los 2/5 del salón, por eso:

Luego queda:

1 1 2 1 x = 4 5 10 2

1 1 2 1 x = 2 3 3 1

Problemas para la clase Bloque I

8. Si los 3/7 de un terreno perteneciente a un hermano, está valorizada esta parte en 24 mil dólares. ¿En cuánto está valorizada la parte que pertenece al otro hermano?

1. Calcula lo siguiente:

a) $36 000 d) 32 000

a) Los 2/5 de los 10/3 de 1 200 b) Los 3/7 de los 4/5 de 840

b) 28 000 e) 35 000

c) 30 000

9. En un salón de clases de 40 alumnos, cierto examen es aprobado por 15 alumnos.

c) Los 5/12 de los 3/25 de 600

a) ¿Qué fracción del total del salón han aprobado?

d) La mitad de la tercera parte de los 2/5 de 3 34

b) ¿Qué fracción del total del salón han desaprobado?

e) La quinta parte de los 10/9 de los 6/7 de 21/16

10. En una bolsa hay canicas: cinco verdes, tres blancas y siete rojas.

2. A los 3/5 de 100, agrégale los 4/7 de 84. 3. ¿Qué resulta de quitarle a los 4/5 de 75, la tercera parte de los 3/4 de 84?

a) ¿Qué fracción del total son verdes?

4. ¿Qué se obtiene de agregar 2/3 de 1/4 de 96 a los 4/3 de los 7/8 de 72?

c) ¿Qué fracción del total son blancas?

b) ¿Qué fracción del total son rojas?

Bloque II

5. Diga qué número es tal que sus 3/5 es 24.

1. ¿Cuánto le falta a los 2/5 de los 7/13 de 585 para ser igual a los 3/4 de los 2/9 de 762?

6. Los 5/7 de mi edad equivalen a 35. ¿Cuál es mi edad?

a) 0 d) 3

7. ¿Qué número es tal que sus 4/9 equivalen a 72?

18

b) 1 e) 4

c) 2


Aplicación de los números fraccionarios 2. ¿Por cuánto exceden los 4/5 de los 7/12 de 1 200 a los 5/3 de los 2/13 de 780? a) 200 d) 400

b) 150 e) 560

c) 360

a)

15 20

b)

2 3

d)

25 30

e)

1 2

c)

1 3

3. ¿De qué número es 45 los 9/13? a) 54 d) 38

b) 60 e) 65

Bloque III

c) 72

1. Luis hace una obra en 12 días y Julio su hermano hace la misma obra en 9 días. Si unieron fuerzas, ¿en cuánto tiempo harán la obra?

4. ¿De qué número es 32 los 8/11? a) 110 d) 64

b) 88 e) 40

c) 44 a) 5 días

5. Un ladrillo pesa 2 kg más medio ladrillo. ¿Cuánto pesa un ladrillo? a) 2 kg d) 1

b) 3 e) 4

c) 6

b) 60 e) 56

d)

1 10

1 b) 4

9 40

b)

21 35

d)

31 40

e)

21 40

1 4

d) 1

1 3

e) 1

2 3

c) 1

3 4

b) 96 e) 108

c) 100

4. ¿Cuánto le falta a 4/11 para ser igual a los 2/3 de los 5/7 de los 4/9 de los 6/11 de 7?

c) 11

c)

a)

3 8

b)

4 11

d)

1 9

e)

4 9

c)

3 11

5. En una reunión de ingenieros especializados hay 10 mecánicos, 15 de sistemas y 25 electrónicos. ¿Qué fracción del total es la diferencia entre el número de ingenieros de sistemas y el número de ingenieros electrónicos?

9. Si en una caja hay 40 pelotitas, de las cuales 21 son rojas, 3 son azules, 7 son verdes y el resto blancas, ¿qué fracción del total son blancas? a)

b) 1

a) 90 d) 104

1 c) 8

e) N.A.

b) 12 e) 9

1 2

3. ¿De qué número es 72 los 3/5 de los 10/9?

8. “A” y “B” pueden hacer una obra en 4 días. “A” trabajando sólo, lo haría en 6 días. ¿En qué tiempo podrá hacer toda la obra “B” sólo? a) 10 h d) 14

1 4

e) 6

a) 1

c) 84

7. Un albañil puede levantar una pared en 10 días. ¿Qué parte habrá hecho en un día?

1 a) 2

c) 5

2. Una botella de gaseosa de dos litros y cuarto está llena hasta sus 2/3. ¿Cuántos litros de gaseosa hay en la botella?

6. Una persona pesa 44 kg más 3/7 de su peso. ¿Cuánto pesa dicha persona? a) 77 kg d) 63

2 3

d) 5

1 7

b) 5

3 7

a)

1 10

b)

2 5

d)

3 10

e)

1 20

c)

1 5

6. De un total de 40 personas se sabe que sólo 12 son varones; además de las mujeres, la cuarta parte son menores de edad. ¿Qué parte del total son las mujeres mayores de edad?

10. En una bolsa hay 30 caramelos; de ellos, tres son de menta, 12 de limón y el resto de fresa. ¿Qué fracción del total son de fresa?

19


Operaciones con números fraccionarios 21 a) 40 d)

3 4

19 b) 40 e)

9. Un chofer acostumbra llenar su tanque de gasolina con 20 litros de gasolina de 90 octanos y cuatro litros de gasolina de 84 octanos. ¿Cuántos litros de gasolina de 84 octanos habrá consumido, si gasta seis litros de gasolina?

1 c) 4

17 40

7. ¿Qué parte de los 4/11 de los 21/8 de 22, es los 3/7 de los 2/5 de 70? a)

3 7

b)

1 9

d)

4 7

e) N.A.

c)

13 70

b) 38 e) 70

b)

d) 1

e) 1

c)

1 3

1 2

10. Una ternera pesa 171 kg más los 2/3 de los 5/7 de los 6/11 de su peso total. ¿Cuánto pesa la cabeza de la ternera si es los 4/21 de su peso total?

8. La edad de Enrique es los 5/6 de la edad de Juan, y 4/5 de la edad de Juan equivalen a 24 años. Halle las edades de Enrique y de Juan, y dé como respuesta la suma de ambas (en años). a) 29 d) 61

1 2

a) 2

a) 40 kg d) 44

b) 42 e) 49

c) 41

c) 55

Autoevaluación 1. Señala las afirmaciones verdaderas:

4. De una botella de gaseosa, primero me tomé 1/3, luego 2/5 de lo que quedaba; al final 1/6 de lo que quedaba. ¿Qué parte de la botella aún queda?

I. 2/3 de 1/4 es 1/6 II. Una fracción es una relación de todo a parte. III. 1/5 de 1/3 de 3 es 1/5. a) Sólo III d) I y III

b) I y II e) Todas

c) Sólo I

a)

1 3

b)

1 6

d)

1 4

e) No se puede hacer eso

c)

2 3

2. ¿Qué parte de la mitad de 1/3 de 30 es la mitad de 6? a)

2 3

b)

5 3

d)

3 5

e)

3 10

c)

5. En una bolsa hay caramelos, 35 en total; 10 son de menta y 5 son de fresa. Si el resto es de limón, ¿qué parte del total son los caramelos de limón?

6 5

3. En una reunión hay 60 personas, de las cuales la tercera parte son mujeres; de los varones, 2/5 están casados. ¿Cuántos son los varones que no están casados? a) 8 d) 20

b) 16 e) 18

a)

3 7

b)

10 35

d)

4 7

e)

3 5

c)

2 5

c) 24

20


Complemento de fracciones Capítulo IV

COLEGIO

TRILCE

Problemas para la clase Bloque I

6. Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones: 2 5 7 ; ; 3 6 9

1. Transformar a número mixto la fracción 38/3 e indicar la suma de cifras de la parte entera. a) 4 d) 6

b) 3 e) 2

c) 5

2. Convertir a número mixto las siguientes fracciones e indicar la suma de las partes enteras: 31 37 45 ; ; 10 23 11

a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

a)

2 5 7 ; ; 3 6 9

b)

7 5 2 ; ; 9 6 3

d)

5 2 7 ; ; 6 3 9

e)

5 7 2 ; ; 6 9 3

c)

2 7 5 ; ; 3 9 6

7. Indicar cuál de las siguientes fracciones es mayor: c) 8

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 24 3 = ...............................(W) 80 20

a)

1 9

b)

2 11

d)

1 2

e)

4 5

c)

3 4

8. ¿Qué parte del total representa la región sombreada?

64 16 = ..............................(W) 100 25 3 4 = .................................(W) 21 8

a) FVV d) VFV

b) FVF e) VVF

c) FFF

4. Simplificar la siguiente fracción: 284 1 024

a)

1 2

b)

1 4

d)

1 8

e)

1 6

e indicar la suma de cifras del denominador. a) 13 d) 8

b) 12 e) 9

c)

1 3

c)

13 4

9. Efectuar:

c) 7

2 1 3 4 + + + 3 2 4 3

5. Simplificar la fracción: 2 480 1 800

e indicar la suma del numerador y el denominador de la fracción irreductible. a) 92 d) 67

b) 87 e) 107

a)

15 2

b)

2 3

d)

17 12

e)

23 12

10.Efectuar:

c) 105

3 1 1  −  + 8 4 7

21

Colegio TRILCE

Complemento de fracciones a)

15 56

b)

17 28

d)

12 18

e) 1

c)

13 56

6. Calcular los a) 80 d) 40

Bloque II 1. Efectuar:

2 a) 9 3

d) 9

1 3

a) 36 d) 56

2 1 1 +1 + 3 3 2 6

1 b) 8 4

e) 10

1 3

24 7 30 × × 15 8 14

b) 4 e) 1

c) 2

31 40

b) 2

21 40

d) 2

31 40

e) 3

31 40

a) 2 d)

55 28

e)

c) 5

a) 16 d) 177

b)

9 26

a) 1

d)

2 3

e)

4 7

c)

b) 2 400 e) 1 500

c) 1 800

b) 160 e) 200

c) 176

1. Un caño llena un tanque en dos horas y otro lo puede llenar en 45 minutos. ¿En cuánto tiempo llenarán el tanque ambos caños juntos?

33 c) 28

5. En una granja donde habían gallinas, patos y conejos, se sabe que los 3/8 son gallinas, y los patos representan la tercera parte. ¿Qué fracción representan los conejos? 3 26

5 , queda: 9

Bloque III

8 7

a)

21 40

3 del costo de un artefacto es S/.48, ¿cuánto 11 cuesta el artefacto?

3 3 23 de . Luego sumar el resultado con . 7 4 28

b) 1

c) 1

10.Si los

indicar el numerador del resultado.

4. Restar

c) 60

a) 1

a) 2 000 d) 1 600

 36   9   81    ×   ÷    20   14   21 

b) 3 e) 7

b) 54 e) 48

9. Disminuir 3 600 en sus

3. Efectuar:

a) 4 d) 6

c) 30

3 2 5 3 de 1 , agregarle los de 3 8 5 8 5

8. A los

4 c) 9 5

2. Efectuar:

a) 9 d) 3

b) 20 e) 50

4 3 de 54, agregarle los de 28. 9 7

7. A los

5

2 35 de los de 123. 7 41

43 min 90

d) 32

8 min 11

b) 35

1 min c) 1 hora 20

e) 22

8 11

2. Un caño llena un balde en 30 segundos, otro en 40 segundos y un tercero en 12 segundos. Si se abren los tres caños, estando vacío el balde, ¿en cuánto tiempo llenan el balde?

1 3

22


Complemento de fracciones a) 7 s d) 7

1 17

b) 7

2 7

e) 1

7 17

c) 7

1 7

6. Fortunato ha leído los 17/25 de un libro de 300 páginas. ¿Cuántas páginas le falta leer? a) 196 d) 204

1 del trabajo 5

a) 30 000 lts d) 22 000

II. En 3 horas, “B” hace

1 del trabajo 3

III. En 2 horas, “B” hace

1 del trabajo. 4

a) VVV d) VFV

b) FVF e) VFF

c) FFF

a) 9 7 d) 60

1  1 1 +  4  5 1  1 1 −  4  5

3 b) 4

1 3

e)

1 37

d)

5 17

b)

d) 60

5 17

e) 64

a) 18 h d) 15

c)

56

5 14

c) 61

5 14

5 14

b) 2 000 e) 4 100

c) 2 100

10.Estando el desagüe de una piscina cerrado, un caño demora seis horas en llenarla y estando abierto el desagüe, el caño se demora nueve horas. Si llenamos las piscina y cerramos el caño, ¿en cuántas horas se vaciará completamente?

3 4 + 4 7 × 3 3 111 ÷7 4 37 3

a) 61

a) 2 030 lt d) 3 100

1 c) 60

5. Efectuar:

b)

c) 24 000

9. Una piscina está llena hasta sus 2/7. Si le añadimos 1.080 litros de agua, el nivel de agua sube hasta los 4/5 de su capacidad total. ¿Cuál es su capacidad total?

e) 15

a) 37

b) 12 000 e) 60 000

8. Octavio tiene 20 1/3 años, Alonso tiene 2 1/4 años más que Octavio. Si Héctor tiene 1 1/7 años menos que Alonso, ¿cuál es la suma de las tres edades?

4. Simplificar:

1  1   1 + 1 + 1 + 2 3    1  1   1 − 1 − 1 − 2 3   

c) 96

7. Se extraen 4 000 litros de una piscina, llena en sus 2/3, quedando llena hasta sus 3/5. ¿Cuántos litros faltan para llenar la piscina?

3. Si “A” hace un trabajo en cinco horas y “B” en ocho horas, entonces responda si es verdadero o falso según corresponda: I. En 1 hora, “A” hace

b) 198 e) 100

b) 12 e) 16

c) 20

1 111

23


COLEGIO

Expresión decimal de una fracción

TRILCE

Capítulo V FRACCIÓN ORDINARIA Y FRACCIÓN DECIMAL

2. Número decimal inexacto

Se denomina fracción decimal a aquellos que tienen como denominador a una potencia de 10.

Son aquellos que tienen un número ilimitado de cifras en su parte decimal. Estos números a su vez pueden ser:

Se denomina fracción ordinaria a aquellas que tienen su denominador diferente a una potencia de 10.

n

Ejemplos:

1 ; 3 ; 5 son fracciones decimales. 10 100 1 000

Decimal periódico puro Es aquel en cuya parte decimal aparece una o un grupo de cifras que se repite indefinidamente a partir de la coma decimal. Ejemplos:

1 2 7 5 ; ; ; son fracciones ordinarias. 3 5 9 11

Fracción 2 3

Número decimal

13 99

Es la expresión lineal de una fracción (ordinaria o decimal) que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador.

19 27

Decimal (periódico puro) 0,666... 0,6 0,1313 ... 0,13 0,703703 ... 0,703

Ejemplo:

1 = 0,2 (resulta de dividir 2 ÷ 5) 5

n

2 = 0,6666... (resulta de dividir 2 ÷ 3) 3

Decimal periódico mixto Es aquel cuyo período empieza luego de una cifra o un grupo de cifras después de la coma decimal; a esta cifra o grupo de cifras la llamamos PARTE NO PERIÓDICA. Ejemplo:

7 = 0,466... (resulta de dividir 7 ÷ 15) 15

Fracción CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES

5 6

1. Número decimal exacto

7 30

Son aquellos que tienen un número limitado de cifras.

1727 9900

Ejemplos:

0,25

2 5

0,4

111 200

0,555

0,23 0,174040... 0,1740

Recuerda: Todas las fracciones tienen representación decimal; pero existen números decimales donde su parte decimal tiene infinitas cifras sin presentar período alguno, estos no pueden expresarse como fracciones. Ejemplos:

Fracción Decimal exacto 1 4

0,83333... 0,83 0,2333...

2

1,414213562...

proviene de

-2,20606797...

proviene de − 5

3,141592653589799323846... el famoso π Estos números son IRRACIONALES. 25

Colegio TRILCE

Expresión decimal de una fracción FRACCIÓN GENERATRIZ

Ejemplo: parte entera

Es la fracción que dio origen a un determinado número decimal.

0,545454... = 0,54 =

54 - 0 54 6 = = 99 99 11

1. Generatriz de un decimal exacto

2 nueves porque hay dos cifras en el período

a) Se escribe en el numerador todo el número decimal, pero sin la coma decimal, como si fuera un número entero. b) Se escribe en el denominador la UNIDAD seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. c) Si se puede se SIMPLIFICA.

parte entera

6,18 =

Ejemplos:

3. Generatriz de un decimal periódico mixto

75 3 = 0,75 = 100 4

a) Se escribe en el numerador todo el número decimal como si fuera un número entero y restamos el número que se forma sin considerar el período. b) En el denominador escribimos primero tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal NO Periódica.

2 ceros porque hay dos cifras en la parte decimal

3,125 =

618 - 6 612 68 = = 99 99 11

3 125 25 = 1 000 8

Ejemplo:

3 ceros porque hay tres cifras en la parte decimal

parte entera

0,159090... = 0,1590 =

1 590 - 15 1 575 7 = = 9 900 9 900 44

2. Generatriz de un decimal periódico puro

2 ceros porque hay 2 cifras decimales no periódicas

a) En el numerador se escribe todo el número decimal (sin la coma decimal) y se resta la parte entera. b) En el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el PERÍODO. c) Se SIMPLIFICA, si se puede.

7,623 =

7 623 - 76 7 547 = 990 990

2 nueves porque hay 2 cifras en el periodo

Problemas para la clase Bloque I 1. Marca con un aspa según creas conveniente. Número racional Número

Decimal Decimal inexacto

Número racional

Número

Número

Periódico Periódico Irracional exacto mixto puro

0,725

8,6478478478

5,2333...

65,723444...

7,52

618,5654656

58,58765

1,4142135...

6,3218756...

3,555555

3,14159...

4,121212...

7,6424242...

1,7320508...

0,55555...

99,998998...

478,05

4,4565656...

7,6185743...

2,989898...

6, 35563556...

0,1212333...

26

Decimal Decimal inexacto

Número

Periódico Periódico Irracional exacto mixto puro


Expresión decimal de una fracción Bloque II

2. Transforma la fracción a decimal y luego señala con un aspa en el recuadro correspondiente.

Fracción

Número decimal equivalente

Exacto

1. Halle la fracción generatriz de los siguientes números decimales:

Periódico Periódico mixto puro

a) 0,32 d) 3,15

3 8 7 10

b) 0,175 e) 1,2

c) 2,75 f) 0,8

2. Halle la fracción generatriz de cada uno de los siguientes decimales periódicos puros:

1 30 11 21

a) 0,1

b) 3,2

c) 5,09

d) 17,36

e) 0,13

f) 3,15

3. De los siguientes decimales periódicos mixtos, halle su respectiva fracción generatriz.

5 13 1 6

a) 0,23

b) 5,76

c) 8,634

d) 1,815

e) 0,125

f) 8,511

13 14

4. Halle el valor de “a - b”, si:

29 40

0,ab =

521 80

a) -2 d) 1

114 18

19 25

b) -1 e) 2

c) 0

5. Halle el valor de “a x b”, si:

51 153

0,ab =

91 66

a) 0 d) 10

3 7

5 33

b) 12 e) 6

c) 5

6. Halle “a”, si:

4 5

a,8a =

39 880

a) 1 d) 3

19 231

9 2 − 2 3

b) 2 e) 4

c) 5

7. Halle “a + b + c”, si:

3 221

1, abc =

a) 7 d) 8

1 54

137 111

b) 6 e) 10

c) 9

8. Halle “ab”, si:

1 375

a, ab =

20 36

a) 8 d) 18

27

b) 4 e) 12

7 1 − 3 11

c) 3


Complemento de fracciones 9. Halle “a + b”, si:

11.Calcular el valor de “p” si se cumple que: a,0b =

a) 8 d) 13

101 33

b) 12 e) 9

0,5m =

c) 4

a) 1 d) 4

10.Calcule “a + b + c”, si: a, bca =

a) 7 d) 14

p 9

b) 2 e) 5

c) 3

12.Hallar “d” si se sabe que: 21 28 − 10 33

b) 12 e) 13

0,2c =

c) 8

a) 1 d) 3

d 11

b) 5 e) 7

c) 9

Autoevaluación 3. La fracción:

1. Señala la opción que sólo contenga números decimales periódicos mixtos:

genera un:

I. 0,3234234234...; 12,12131313...; 1,0345345345...

a) decimal exacto c) decimal periódico puro e) entero

II. 3,89998999...; 8,7876876876...; 45,175454545... III. 3,3344344344...; 2,25353535...; 21,2121313131... a) Sólo III d) I y III

b) I y II e) Todas

1 111 9

b)

1 111 90

d)

111 99

e)

11 999

c)

b) decimal periódico mixto d) decimal irracional

4. Indique cuántas cifras tiene el periodo del decimal equivalente a 5/7.

c) Sólo I

a) 6 d) 2

2. ¿Cuál será la fracción generatriz de 12,3444...?

a)

405 185

111 9

5. Si:

b) 5 c) 3 e) No es periódico 0, aba =

a8 111

calcule “ab” a) 7 d) 24

28

b) 25 e) 10

c) 52


COLEGIO

Operaciones con números decimales

TRILCE

Capítulo VI Problemas para la clase Bloque I

3. Efectúa las siguientes operaciones de división y radicación:

1. Efectúa las siguientes adiciones y sustracciones: a) 5,8 - 3,1

a) 7,2 ÷ 3,1

b) 6,5 + 2,93 - 2,21

b) (5,7) ÷ (0,2)

c) 8,27 + 3,637 - 7,3

c) (6,5) ÷ (1,7)

d) 3,27 + 2,5

d) (48,5) ÷ (3,63)

e) 8,3 - 5,27

e) 27,36 ÷ 2,42

f) 16,35 - 9,658

f)

11,56

g) 176,3 - 98,56

g)

h) 6,13 - (5,08 + 0,12)

h)

i) 7,6 + 5,7 - 0,6

i)

56,25  0,694  0,217

j)

j)

1,36111...

7,13 − 5,08 + 6,2

k) 3,52 + 3,67 − 1,1 4. Efectuar las siguientes operaciones combinadas:

l) 6,2+[3,7 - 2,8 + 5,6]

2

m) 3,7 - [5,1 - (6,3 + 3,6)]

a)

n) 6,9 + {5,2 - [3,1 - (6,3 - 8,2)]}

b) 8,2 - {6,1 - (2,5 + 5,2) - (1,1)2}

7

,

2

+

2

,

1

+

(

2

,

3

)

- 6,3 x 5,1

c) 7,4 + {2,5 + (7,2 - 8,3)}2

2. Efectúa las siguientes multiplicaciones y potencias:

d) (5,4)(-2,3) + {(3,1)2 - (6,2 ÷ 3,1 + 5,2)}

a) (-3,5)(2,7) 5. Empleando potencias de diez, efectuar las siguientes operaciones combinadas:

b) (-5,13)(-6,05) c) (2,5)(3,3)(6,7) d) (4,3)2(1,2)2 e)

a)

(-3,1)2(1,7)2

  f) (0,6)(−2,2)   g) (6,3)(2,5)   h) (−2,7)(0,6)(−2,2)

b)

c)

i) (-6,8)2(3,7)   j) (2,34)(5,3)

d)

e)

29

(0,3)(0,002) (0,9)(0,0016) (0,00004 ) 3 (0,001) 7 (0,0000002) 2 (0,81) 5 (0,01) 8 (0,2) 2 (0,006) 3 (0,04) 2 (0,0000001) (0,2) 3 (0,01) 2 (0,03) 2 (0,00005) 4 (0,15) 2 (0,01) 9

Colegio TRILCE

Operaciones con números decimales f)

8. Efectuar:

(0,05) 3 (0,008) 8 (0,5) 2 (0,2) 2

 3,12 − 5,121212...    4  

Bloque II

a) -0,25 d) -4

1. Hallar: 0, ba ; si “a” excede en 4 a “b”..

b) 0,25 e) 4

−2

c) -2

9. Halle la fracción generatriz de:

Además: 0, ab + 0 , ba = 0 ,6

3,6666... + 0,12 a) 0 ,15

b) 0,51

d) 0,62

e) 0 ,04

c) 0 ,26

2. Hallar: 0, ab ; si se cumple que: 0, ba = 0,49 − 0,13 a) 0,36

b) 0 ,63

d) 0,36

e) 0 ,60

a)

284 75

b)

283 75

d)

569 150

e)

379 100

2,555... + 3,888...

a)

67 90

b)

58 9

d)

61 90

e)

29 45

0, ab = 0,55 − 0 ,14

37 99

7 d) 18

b)

37 90

c)

35 99

 d) 8,8 5. Efectuar: a) 9 d) 8,99

b) 9

 e) 9 ,1

a) 1 d) 4

c) 5

(12,567567567...) - (3,567567...) b) 11 e) 9,0001

c) 8

c) 3

a) 0,5

b) 0,56

d) 0,056

e) 0,6

c) 0,56

13.¿Cuántos veinteavos es 0,45?

b) 2

 e) 0 ,5

a) 8 d) 11

c) 1,5

b) 121 e) 136,4

b) 9 e) 12

c) 10

14.¿En cuántos treintavos es mayor 0,56 que 0,4? a) 3 d) 4

7. Hallar el cuadrado de “E”, si:    E = 3,2 + 1,3 + 6,4 a) 144 d) 144,1

b) 2 e) ninguna

0,32111...

3,6666... + 5,3333... 4,8888... + 13,1111...

d) 0,5

59 90

12.Calcular:

6. Efectuar:

a) 1

c)

11.Cuántas cifras tiene el periodo del decimal que resulta de operar:   3,8 + 1,01010101... − 2,4

14 e) 99

4. ¿A qué es igual: 9,8888... - 0,8888...? a) 8

1137 300

10.Halle la fracción generatriz de:

c) 0,63

3. Hallar la fracción generatriz de 0, ab ; si se cumple que:

a)

c)

b) 8 e) 5

c) 7

15.¿Cuántas veces 0,015 es 13,5?

c) 100

a) 87 d) 870 30

b) 90 e) 900

c) 9 000


Operaciones con números decimales Autoevaluación 1. Calcule:

4. Halle el periodo de:

3,75 ÷ 1,25 (5,7 − 3,5)

a) 1,63

b) 1,36

d) 1,36

e) 1,3

 12,367676767 ... − 5,367676767 ...    2,33333... + 0,66666...  

c) 1,63

a) 428 571 d) 42 893

2. Halle la fracción generatriz de:

d)

41 1 000

41 b) 10

e)

3. Si: 0, ab + 0, ba =

c) 418 577

5. Cierto número dividido por el cuadrado de su inverso, da 0,296296296... . Halle el número.

(4,35 - 3,12)÷(0,3) 41 a) 100

b) 428 472 e) 42 845

−1

a) 0,444... d) 0,666...

43 c) 10

b) 0,1111... e) 0,999...

c) 0,333...

43 100

33 50

halle “ (a + b) x 0, (b + a)1 ” a) 36,1 d) 3,61

b) 0,361 e) 36,6

c) 3,66

31


Aplicación de números decimales a la resolución de problemas Capítulo VII

El planteo de este tipo de problemas es muy similar a lo que ya habíamos hecho con números enteros, así que presta atención a los ejemplos, de seguro que con un poco de cuidado podrás resolver la gran mayoría, si no todos los problemas planteados. q Problemas Resueltos

l

Costo de la libreta: S/.3,25

l

Costo de los tres lapiceros: 1,25 x 3 = S/.3,75

l

Costo de los dos cuadernos: 4,30 x 2 = S/.8,60

l

Costo total: 3,25 + 3,75 + 8,60 = S/.15,60

l

Vuelto: 20 - 15,60 = S/.4,40

3. Un kilo de peras cuesta S/.1,60, y un kilo de carne S/.6,08. ¿Cuántos kilos de peras se puede comprar con lo que cuesta un kilo de carne?

1. Julia y Andrea tienen juntas cierta cantidad de soles: Julia tiene S/.8,95 y Andrea tiene S/.13,23 más que Julia. ¿Cuánto dinero tiene Diana, si tiene S/.3,22 más que Julia y Andrea juntas?

Solución: l

Solución: Por el dato, Julia tiene S/.8,95

l

Andrea tiene: 8,95 + 13,23 = S/.22,18

l

Juntas tienen: 8,95 + 22,18 = S/.31,13

l

Diana tiene: 31,13 + 3,22 = S/.34,35

TRILCE

Solución:

En este capítulo lo único que vamos a realizar es aplicar lo que hemos practicado sobre operaciones con números decimales a distintos tipos de problemas donde pudieran aparecer cantidades no enteras.

l

COLEGIO

Simplemente: 6,08 ÷ 1,60 = 3,8 kilos.

4. Cuando compré una docena de lápices a S/.0,39 la unidad me regalaron uno. ¿Cuánto costó en realidad cada uno de los lápices que compré? Solución: l

l

2. Compré una libreta de S/.3,25; tres lapiceros de S/.1,25 cada uno y dos cuadernos de S/.4,30. Pagué con un billete de S/.20, ¿cuál fue el vuelto que me dieron?

En total pagué: 12 x 0,39 = S/.4,68 Pero en realidad me dieron 13 lápices, así que cada uno de ellos costó: 4,68 ÷ 13 = S/.0,36

Ahora es tu turno, lee con atención y resuelve con calma ¡Tú puedes!

Problemas para la clase Bloque I 3. Nina va al mercado y hace cinco compras que le cuestan S/.23,80, S/.11, S/.46,50, S/.29,60 y S/.27,30. ¿Cuánto dinero ha gastado en total?

1. En el kiosko de Trilce Miami, Katia gasta $ 4,75 y para pagar entrega un billete de $ 5, ¿Cuál es su vuelto? a) $ 0,30 d) 0,15

b) 0,25 e) 0,35

c) 0,20

a) S/.139,10 d) 132,80

2. Un ciclista ha recorrido tres etapas de una carrera. En la primera etapa recorrió 283,2 km; en la segunda, 222,6.km y en la tercera 197,5 km. ¿Qué distancia total ha recorrido? a) 703,03 km d) 730,3

b) 702,3 e) 720,3

b) 138,20 e) 138,30

c) 138

4. Un sastre, para poder confeccionar cuatro ternos distintos, necesita 2,73 m de tela para el primero; 1,87.m para el segundo; 3,26 m para el tercero y 2,56 m para el cuarto. ¿Cuántos metros de tela necesita en total?

c) 703,3

a) 10,24 m d) 11,04 33

b) 10,42 e) 10,04

c) 11,42

Colegio TRILCE

Aplicación de números decimales a la resolución de problemas 5. Las tres hermanas García tienen juntas cierta cantidad de soles: Adela tiene S/.6,75, Tania tiene S/.3,48 más que Adela, y Jimena tiene S/.2,40 más que Tania. ¿Cuánto dinero tienen las hermanas García? a) S/.29,61 d) 29,50

b) 26,51 e) 26,61

a) 8 962 litros d) 8 682

c) 29,60

a) 1,715 d) 1 ,25

b) 2,5 e) 3,5

c) 432

b) 10,50 e) 10

a) S/.1 393,90 c) 1 933,80 e) 1 339,90

c) 2

b) 11 e) 14,40

c) 10,20

a) S/.854,70 d) 854,80

b) 26,25 e) 26,10

c) 14,80

a) $ 0,28 d) 0,32

c) 26,35

b) 2,10 e) 2,60

c) 2,30

a) 913,9 kg d) 913,8

12. Julio ha comprado 32 m de tela por S/.846,40. ¿Cuánto le costaría comprar 20 m de la misma tela? a) S/.530 d) 528

b) 529 e) 532

c) 854,60

b) 0,30 e) 0,35

c) 0,27

4. Al Mercado Central llegan tres camiones trayendo frutas, y sus cargas son: 639,4 kg, 527,6 kg y 721,2 kg. Parte de la carga se reparte a seis vendedores, que llevan 253,1 kg, 125,4 kg, 257,5 kg, 84,3 kg, 164,6 kg y 89,4 kg, respectivamente. ¿Cuántos kilogramos de fruta quedaron?

11.Al comprar una docena de lapiceros, cuyo precio por unidad es S/.2,60, te regalan uno, por lo que en realidad cada lapicero termina costando: a) S/.1 ,20 d) 2,40

b) 845,70 e) 855,70

3. En este momento tengo $ 1,70, y necesito $ 4,90 más para comprar un libro. Le pedí a mamá $ 2,80, pero ella sólo pudo darme $ 0,80 menos de lo que le pedí; luego le pedí a papá $ 0,50 y él me dio $ 0,40 más de lo que le pedí. ¿Cuánto me falta para poder comprar el libro?

10.Si 2 400 kg de sal cuestan S/.750, ¿cuánto costarán 84.kg de sal? a) S/.26,15 d) 26,20

b) 1 399,80 d) 1 339,80

2. Este es el resumen de las operaciones de una empresa durante cierta semana: el lunes hubo ingresos de S/.253,60; el martes ingresos de S/.279, el miércoles ingresos de S/.108,10, el jueves hubo egresos de S/.617,80 y el viernes ingresos de S/.831,80. ¿Cuánto dinero tendrá dicha empresa al finalizar la semana?

9. Fico sale de su casa con S/.8,50; compró un libro de S/.7,20, luego le pagaron una deuda de S/.23, y finalmente compró en S/.9,90 otro libro. ¿Cuánto dinero tiene al final? a) S/.12,80 d) 15,40

c) 1,35

1. Pedro realizó tres compras en el mercado. En la primera gastó S/.398,60; en la segunda S/. 235,10 y en la tercera S/.706,20. ¿Cuánto gastó en total?

8. Isabel va a la librería y compra una libreta a S/.8,50 y un lápiz corrector a S/.6,50. Ella tenía S/.25, ¿cuánto le quedará? a) S/.11 d) 10,40

b) 1,175 e) 1,125

Bloque II

7. Si un litro de leche costara S/.17,50, y un litro de vino S/.43,75, ¿cuántos litros de leche se podría comprar con lo que costaría un litro de vino? a) 2,25 d) 3

c) 8 692

14.¿Qué número sumado con su triple da como resultado 4,70?

6. Un barril lleno de vinagre pesa 503,54 kg. Si cada litro de vinagre pesa 0,97 kg, y el barril vacío pesa 84,5 kg, ¿cuántos litros de vinagre contiene el barril? a) 423,1 litros b) 423 d) 413,2 e) 432,1

b) 8 862 e) 8 882

b) 813,9 e) 912,9

c) 923,9

5. Un fabricante hace un pedido de 650 kg de materiales, y se lo envían en cuatro partes. En la primera le envían 82,54 kg; en el segundo envío le traen 51 kg más que en el primero; en el tercer envío le traen tanto como en los dos primeros juntos, y en el último lo que resta. ¿Cuántos kilogramos le enviaron en el último envío?

c) 539

13.En cierta bodega se han almacenado cierta cantidad de litros de vino, que tiene un peso total de 8 431,24 kg. Si cada litro de vino pesa 0,97 kg, ¿cuántos litros de vino hay en la bodega?

a) 217,84 kg d) 217,48

34

b) 218,84 e) 219,84

c) 218,48


Aplicación de números decimales a la resolución de problemas 6. Un camión lleva cinco paquetes de mercadería. El primero de los paquetes pesa 83,786 kg, el segundo 9 kg menos que el primero; el tercero pesa 8,206 kg más que los dos primeros juntos, y el cuarto tanto como los tres anteriores juntos. Si en total el camión lleva 843,25 kg, ¿cuánto pesa el quinto paquete? a) 192,55 kg d) 192,65

b) 192,45 e) 190,55

11. Juan gana mensualmente S/.450 y ahorra cierta cantidad cada mes. Después de ganar S/.2 250, ha conseguido ahorrar S/.112,50. ¿Cuánto ahorra mensualmente? a) S/.22,40 d) 22,50

c) 190,25

b) 52,10 e) 52

a) S/.999,50 d) 998,50

b) 11,50 e) 12,40

c) 51,10

a) S/.5,35 d) 5,25

b) 17,4 e) 18,5

c) 11,60

b) 6,25 e) 6,30

b) 4,25 e) 6,25

a) S/.0,75 y S/.1,25 c) 0,85 y 1,35 e) 0,60 y 1,10

c) 17,6

c) 6,35

b) 0,70 y 1,20 d) 0,65 y 1,15

15.Un vendedor quería comprar cierto número de paquetes de café que costaban S/.3,60 cada uno, pero como no tenía dinero entregó como pago 72 paquetes de maíz, que costaban S/.6,50 cada uno. ¿Cuántos paquetes de café compró?

10.Un comerciante tiene 32 Kg de arroz y pide S/.37,50 por cada kilo. Al no llegar a un acuerdo, vende todo el arroz por un total de S/.1 000. ¿Cuánto perdió en cada kilo? a) S/.6,35 d) 6,20

c) 999

14.En el circo, cuando compramos cuatro entradas de adulto y seis entradas de niño tenemos que pagar S/. 9,50; en cambio, si hubiéramos comprado tres entradas de adulto y 1 entrada de niño habríamos tenido que pagar S/.4,50 ¿Cuánto cuestan 1 entrada de niño y 1 de adulto, si la entrada de adulto cuesta S/.0,50 más que la de un niño?

9. Trilcito “El Caminante” sale de cierta ciudad “P” y recorre 28,9 km en línea recta para llegar a la ciudad “Q”; luego continúa su trayecto en la misma dirección y llega a la ciudad “R” después de caminar 22,3 km. Finalmente, decide regresar y camina 33,7 km. ¿A qué distancia se encontrará de la ciudad “P”? a) 17,5 Km d) 18,4

b) 1 000 e) 1 000,50

13.Un granjero compró 5 patos y 4 gallinas por S/.24,40. Más tarde compró 10 patos y 11 gallinas por S/.54,35 al mismo precio ¿Cuánto gastaría al comprar sólo un pato y una gallina?

8. Carlos compra una casaca por $ 13,40, una corbata por $ 4,80 menos que la casaca, y un sombrero por la mitad de lo que cuestan la casaca y la corbata juntas. Como tenía $ 44,50, al final le quedarán: a) $ 12,50 d) 12,60

c) 22,10

12.Si el mes de noviembre yo ganara S/.60 más, podría gastar diariamente S/.32,50 y ahorrar S/.84,50. ¿Cuál es mi sueldo mensual?

7. Jaime compró unos pantalones, una camisa, unos guantes y unos calcetines. Los calcetines le costaron S/.4,85; los guantes el doble que los calcetines; la camisa S/.2,85 más que los guantes, y los pantalones el doble que la camisa. ¿Cuánto dinero gastó en toda la compra? a) S/.51,20 d) 52,20

b) 22,30 e) 22,60

a) 125 d) 136

c) 6,10

35

b) 132 e) 130

c) 128


Aplicación de números decimales a la resolución de problemas

Autoevaluación 1. Pedro compró un libro, dos lápices, y tres lapiceros. Cada lapicero costó el triple que cada lápiz, y el libro costó el doble de lo que costaron los lápices y los lapiceros juntos. Si cuatro lápices cuestan S/.3,80, ¿cuánto gasté en total? a) S/.31,40 d) 31,35

b) 32,35 e) 32,25

4. Si mi sueldo mensual fuera S/.32,25 más de lo que es, podría gastar S/.27,54 cada uno de los días del mes de julio y aún así ahorrar S/.23,27 en dicho mes. ¿Cuál es mi sueldo mensual? a) S/.844,76 d) 844,67

c) 31,25

b) 2,42 e) 2,36

c) 843,67

5. Pablo compró siete papayas y cinco melones, gastando S/.32,35; pero si hubiera comprado 12 melones y 10 papayas habría gastado S/.55,54. ¿Cuánto cuestan una papaya y un melón, si un melón cuesta S/.1,33 menos que una papaya?

2. En el quiosco de “Trilce”, Filiberto compra dos caramelos por S/.0,25 cada uno, tres paquetes de galletas por S/. 0,60 cada uno y cuatro gaseosas por S/.1,32 cada uno. Si para pagar entrega un billete de S/.10, ¿cuál es su vuelto? a) S/.2,38 d) 2,68

b) 834,76 e) 845,67

a) S/.3,25 y S/.1,92 c) 3,24 y 1,93 e) 3,22 y 1,95

c) 2,46

b) 3,23 y 1,94 d) 3,26 y 1,91

3. Perlita sale de su casa con S/.13,55; compró un libro de S/.9,23, luego le pagaron una deuda de S/.13,24, y finalmente compró en S/.15,97 otro libro. ¿Cuánto dinero tiene al final? a) S/.1,39 d) 1,58

b) 1,45 e) 1,59

c) 1,69

36


COLEGIO

Repaso

TRILCE

Capítulo VIII Problemas para la clase Bloque I

8. Si agrupamos a los alumnos de un salón de dos en dos, de tres en tres o de cinco en cinco, siempre sobra uno. Si un salón no puede pasar de 40 alumnos, ¿cuántos alumnos hay en el salón?

1. Halla el MCD del mayor número de dos cifras y del mayor número de tres cifras. Da como respuesta la suma de sus cifras. a) 9 d) 18

b) 8 e) 16

a) 27 d) 41

c) 12

b) 60 e) 38

a) $. 15 000 d) 6 000

c) 12

1 6

b)

2 3

d)

1 3

e)

5 6

c)

1 2

4. Yo peso 30 kg más los 4/7 de mi peso, ¿cuántos kg peso? a) 74 d) 63

b) 80 e) 60

b) 12 000 e) 3 000

a)

3 9

b)

8 15

d)

1 5

e)

3 4

0,abc =

a) 10 d) 13

c) -0,68

b) 8 e) 6

c) 4

7. El producto de dos números es 39 325 y su MCD es 11. ¿Cuál es su mcm? Dé como respuesta la suma de sus cifras. a) 10 d) 20

b) 14 e) 23

277 333

b) 11 e) 14

c) 12

12. Juan hace un trabajo en ocho días y Ronald hace el mismo trabajo en 10 días. Si trabajan juntos cuatro días, ¿qué parte de la obra faltará hacer?

6. ¿En cuánto tiempo se llena un tanque de agua, si un caño solo lo llena en 10 horas y otro en 40 horas, y ambos se abren al mismo tiempo estando vacío el tanque? a) 2 horas d) 5

3 10

halle el valor de “a + b - c”.

A = (1,5 - 3,12) x (2,3 + 1,6) B = 3,8 + {5,3 - [2,9 - (3,1 - 2,3)]} b) 0,52 e) -0,688

c)

11. Si:

c) 70

5. ¿Cuál es el valor de “A + B”?

a) 0,7 d) 0,682

c) 9 000

10. En una reunión 1/4 de los asistentes son varones, y tres quintos de las mujeres son mayores de edad. ¿Qué parte del total de asistentes son las mujeres menores de edad?

3. ¿Qué parte del día ya pasó, si son las 4 p.m.? a)

c) 33

9. Un terreno cuesta $. 27 000, y la tercera parte pertenece a mi hermano; del resto la mitad pertenece a mi hermana. ¿Cuánto vale mi parte, si el terreno sólo se repartió entre mis hermanos y yo?

2. ¿En cuántos cuadrados iguales como mínimo se puede dividir un terreno rectangular de 420 m de largo y 300 m de ancho? a) 35 d) 65

b) 31 e) 45

a)

1 20

b)

1 5

d)

1 10

e)

1 25

c)

2 5

13. Halle el mayor divisor común a: 35 x 18; 42 x 27 y 81 x 56

c) 17

a) 9 d) 63 37

b) 21 e) 42

c) 126

Colegio TRILCE

Repaso 14.Halle el área del menor cuadrado que puedo formar con fichas rectangulares de 15 cm de ancho y 25 cm de largo. a) 5 265 cm d) 5 562

b) 5 625 e) 5 256

21.Calcule “A x B”

A =1+

c) 5 652

15.En una bolsa hay caramelos de los cuales 22 son de fresa, 37 de limón y el resto de los 73 caramelos son de naranja. ¿Qué fracción del total son los caramelos de naranja? a)

10 73

b)

12 71

d)

18 77

e)

11 72

c)

B =2+

14 73

b) 11 e) 14

a) 24 d) 28

b) 7 e) 10

c) 12

a) 12 d) 9

II . 0,21

8 579 9 999

b)

8 759 9 900

d)

8 579 9 900

e) N.A.

b) 21 e) 18

8 578 9 900

b) El 12 e) El 30

1 3

b) 26 e) 25

c) 27

b) 20 e) 10

c) 14

a) 16,43

b) 15,3

d) 17,43

e) 15,4

c) 17,23

a)

1 14

b)

1 7

d)

1 21

e) N.A.

c)

3 14

25.El asta de una bandera está pintada 1/3 de negro, 1/4 de blanco, 1/5 de azul y 65 cm restantes de verde. ¿Cuál es la longitud total del asta?

c) 23

a) 3,5 m d) 3

20.Si cada tres días hay examen de física, cada cuatro días de álgebra y cada dos días de aritmética. ¿Cuál será la última vez que coincidan lo tres exámenes en el mes de abril, si coincidieron por primera vez el 4 de abril? a) El 24 d) El 28

2+

24.Un tanque es llenado por un caño en siete horas; por otro en 14 horas y por un tercero en 21 horas. Si al abrir los tres caños a la vez se llena en tres horas, halle qué fracción del tanque estaba lleno al inicio.

19.Se divide tres barras de acero de longitudes 540; 480 y 360 mm, en trozos de igual longitud, siendo ésta la mayor posible. ¿Cuántos trozos se han obtenido? a) 15 d) 25

1

B = 4,8 - ( 4,9 - 4,7 )

III . 0,3

c)

2+

1

1 2

A = 3,5 + 3,6 + 3,7

c) 8

dé la suma de los tres resultados. a)

1+

1 2+

1

23.Halle “A + B”

18.Halle las fracciones equivalentes a: I . 0,32

1+

1

22.De los 2/5 de los 10/3 de los 3/7 de un salón de 35 alumnos, solo los 3/4 de los 2/3 pudieron resolver este problema. ¿Cuántos fueron?

17. “A” hace un trabajo en 40 días, y si trabaja junto con “C”, puede hacerlo en 8 días. ¿En cuántos días puede hacerlo “C” solo? a) 6 d) 9

1+

Dé como respuesta la suma de cifras del denominador y del numerador juntos.

16.En un vaso de 300 ml de capacidad hay 180 ml de leche pura y el resto es agua; si en un sorbo he tomado 25 ml de la mezcla, ¿cuántos ml de agua tomé? a) 10 d) 13

1

b) 4,2 e) 4

c) 2,8

c) El 18

38


Repaso Bloque II

2. Goleador Carlos anotó un gol. Para averiguar en qué portería, comienza en el círculo de salida y avanza sumando los números decimales hasta completar un entero. Sólo puedes avanzar de manera horizontal y vertical.

1. Juego con decimales Acomoda los números de las chapitas de menor a mayor valor.

A B C D

¿Qué letra representa la portería en que anotó Carlos? 3. Balones Para averiguar cuál es el balón de Luis, comienza en el hexágono de salida y avanza sumando las fracciones hasta completar exactamente un entero. Sólo puedes avanzar de manera horizontal y vertical. (A) (B)

a. _________________

(C)

b. _________________ (D)

c. _________________ d. _________________

(E)

e. _________________

¿Qué letra representa el balón de Luis?

f. _________________

4. Las partes de un todo Observa cuidadosamente las figuras y colorea lo que se te indica.

g. _________________ h. _________________ i. _________________

a) Cuatro séptimos de esta figura

j. _________________ k. _________________ l. _________________ m. _________________

b) Cinco novenos de ésta figura

n. _________________ ñ. _________________

39


Aplicación de números decimales a la resolución de problemas 5. Panal fraccionario Observa cuidadosamente la figura y anota los números que faltan en los hexágonos vacíos.

7. Tejido Para completar el dibujo, une con una línea los números del menor al mayor.

¿Cómo suspiste qué números faltaban en los hexágonos vacíos? 6. ¿Qué animal es? Une con una línea los números decimales, del menor al mayor.

8. Cubos Une con una línea los números, del menor al mayor. Utiliza tu regla.

Una vez que hayas terminado de unir con una línea todos los puntos, mira durante cierto tiempo la figura, te parecerá que sobresalen ya sea dos cubos hacia arriba o dos cubos hacia abajo. Haciendo un esfuerzo podrás provocar una u otra imagen a voluntad.

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