Aramduras-espaciales 234p5r
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INTRODUCCION El principio fundamental de las armaduras es unir elementos rectos para formar triángulos, los elementos trabajan a esfuerzos axiales en puntos que se llaman nodos, y entre si conforman una geometría tal que el sistema se comporta establemente cuando recibe cargas aplicadas directamente en estos nodos. Esto permite soportar cargas transversales, entre dos apoyos, usando una menor cantidad de material que el usado en una viga, pero con el inconveniente de que los elementos ocupan una altura vertical considerable.
Dado que las armaduras poseen las características tienen una gran versatilidad en su uso y le permiten al ingeniero una gran flexibilidad para adaptarse a las necesidades de un problema particular. Las armaduras se han venido utilizando desde tiempos antiguos para la construcción de grandes edificaciones, por tal razón en el presente trabajo se detallara los métodos tanto de nodos como el de secciones para poder calcular las fuerzas que resisten cada barra de una armadura espacial.
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
1
ARMADURAS La armadura es uno de los principales tipos de estructuras que se usan en la ingeniería. Ésta proporciona una solución práctica y económica para muchas situaciones de ingeniería, en especial para el diseño de puentes y edificios. La armadura es una estructura compuesta por , usualmente rectos, unidos por sus extremos y cargada solamente en estos puntos de unión llamado nudos. Los elementos de una armadura, por lo general, son delgados y sólo pueden soportar cargas laterales pequeñas; por eso todas las cargas deben estar aplicadas en los nodos y no sobre los elementos. Cuando se va a aplicar una carga con centrada entre dos nodos o cuando la armadura debe soportar una carga distribuida, como en el caso de la armadura de un puente, debe proporcionarse un sistema de piso, el cual, mediante el uso de travesaños y largueros, transmite la carga a los nodos. La estructura ligera de una armadura proporciona, para grandes luces, una resistencia mayor que la que proporcionan muchos tipos de estructura recios. Estas estructuras compuestas totalmente por de dos fuerzas. Las armaduras constan generalmente de subelementos triangulares y están apoyadas de tal manera que impidan el todo tipo movimiento de dicho elemento. Su estructura ligera puede soportar una fuerte carga con un peso estructural relativamente pequeño.
ARMADURAS ESPACIALES. ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
2
Son aquellas armaduras que se obtienen cuando varios elementos rectos se unen en sus extremos para formar una configuración tridimensional. Podemos construir la estructura tridimensional más sencilla conectando seis barras por sus extremos para obtener un tetraedro (figura 1). Agregando más barras podemos obtener estructuras más elaboradas (figuras 2). Las estructuras tridimensionales como estas se denomina “armaduras espaciales” si tienen juntas que no
ejercen pares sobre las barras (es decir, son articuladas en las tres direcciones, comportándose como soportes de bola y cuenca) y si están cargadas y soportadas solo en sus juntas o nodos.
Figura 2 Figura
Las armaduras espaciales se analizan con los mismos métodos descritos para las armaduras bidimensionales, la única diferencia es que se requiere tratar con relaciones geométricas más complicadas. Recordemos que la armadura bidimensional más elemental consistía en tres barras unidas por sus extremos formando los lados de un triángulo; añadiendo cada vez dos barras a esta configuración básica, y uniéndolas en un nuevo nudo, era posible obtener una armadura más grande que se definía como armadura simple. Igualmente, la armadura tridimensional más elemental está formada por seis barras unidas por sus extremos formando las aristas de un tetraedro tal como hemos visto (figura 1). Añadiendo más barras a esta configuración básica y aplicándolas a nudos separados ya existentes y uniéndolos en un nuevo nudo, podemos obtener una armadura espacial más grande que se define como armadura tridimensional simple (figura
2).
Observando que el tetraedro básico tiene seis barras y cuatro nudos, y que cada vez que se añaden tres barras se aumenta en uno el número de nudos, concluimos que en una armadura tridimensional simple el número total de barras es
N=2 J −6
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
3
Siendo: J: número total de nodos. N: número de barras Si una armadura espacial tienen que estar completamente ligada y si las reacciones en los apoyos han de ser estáticamente determinadas, los apoyos deben consistir en una combinación de esferas, rodillos y rotulas que proporcionen seis reacciones desconocidas (figura 3).
Figura 3
Estas pueden determinarse fácilmente resolviendo las seis ecuaciones que expresan que la armadura tridimensional
como
sólido
libre
está
en
equilibrio.
Aunque en la práctica las barras de una armadura de este tipo se suelen mantener unidas por medio de conexiones soldadas se supone para su calculo que cada nudo está constituido por una articulación de rotula. Por tanto, no se aplicara ningún para a las barras de la armadura y cada barra puede tratarse como un elemento
sometido
exclusivamente
a
dos
fuerzas
opuestas.
Las ecuaciones para cada nodo se expresa con las tres ecuaciones:
∑ F x =0 ∑ F y =0 ∑ F z=0
La formulación de las ecuaciones en equilibrio en cada uno de los J nudos proporcionara tres ecuaciones. Como N=3J-6, estas 3J ecuaciones basta para determinar todas las fuerzas desconocidas (fuerzas en N barras y 6 reacciones en los apoyos) que son en total N+6=3J-6+6=3J, que es el número de ecuaciones que disponemos. Sin embargo, para evitar la necesidad de resolver ecuaciones simultáneas, se debe tener cuidado en seleccionar nodos en un orden tal que ninguno involucre más de tres fuerzas desconocidas.
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
4
I.
ANALISIS DE ARMADURAS POR EL METODO DE NODOS
Generalmente si todos los de una armadura deben ser determinados las fuerzas, el método de los nodos es el más adecuado para efectuar el análisis. Este método se basa en que si toda la armadura está en equilibrio entonces cada uno de sus nodos también está en equilibrio. Al usar este método, es necesario resolver las tres ecuaciones escalares de equilibrio:
∑ F x =0
∑ F y =0
∑ F z =0
Cuando se usa este método de los nodos, siempre se debe comenzar en un nodo que tenga por lo menos una fuerza conocida y cuando mucho tres fuerzas desconocidas. Si la geometría tridimensional existente en el nudo es difícil de visualizar se recomienda utilizar un análisis vectorial cartesiano para encontrar la solución. Al aplicar esas ecuaciones, el sentido correcto de una fuerza de elemento desconocida puede determinarse con uno de dos posibles métodos:
Por inspección: Suponiendo que en el nodo A es parte de una armadura espacial y que se apoya sobre una rotula esférica. Rx Y Z Ry Rz
30N 70N A 40N
X
en este caso se puede determinar la dirección de las reacciones por simple inspección pero en casos más el sentido de la fuerza desconocida de un elemento puede suponerse, luego después de aplicar las ecuaciones de equilibrio, el sentido supuesto puede verificarse a partir de los resultados numéricos. Una respuesta positiva indica que el sentido adoptado es correcto, mientras que una respuesta negativa indica que el sentido adoptado en el diagrama se debe invertir.
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
5
Suponer que las fuerzas desconocidas de los elementos están en tensión: es decir las fuerzas jalan el pasador. Si se hace así, entonces la solución de las ecuaciones escalares darán positivas para elemento en tensión y negativas para los elementos en compresión. Una vez se encuentre la fuerza desconocida de un elemento aplicar el sentido correcto en los nodos siguientes a trabajar.
PROCEDIMIENTO PARA EL ANALISIS DE ARMADURAS POR EL METODO DE NODOS 1. Trace el diagrama de cuerpo libre de un nodo que tenga por lo menos una fuerza conocida y cuando mucho tres fuerzas desconocidas.(si este nodo está en uno de los soportes, entonces puede ser necesario calcular las reacciones externas en los soportes de la armadura) 2. Use uno de los dos métodos antes descritos para establecer el sentido de una fuerza desconocida. 3. Oriente los ejes de manera que las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre puedan descomponerse fácilmente en sus componentes luego aplica las 3 ecuaciones de equilibrio:
∑ F x =0
∑ F y =0
∑ F z =0
despeje las componentes de las 3 fuerzas desconocidas y verifique su sentido correcto. 4. Con los resultados obtenidos, continue con el análisis de cada uno de los otros nodos.
II.
ANALISIS DE ARMADURAS POR EL METODO DE SECCIONES
Cuando necesitamos encontrar la fuerza en solo unos cuantos elementos de una armadura, esta puede analizarse mediante el método de secciones. El método se basa en el principio de que si la armadura esta en equilibrio, entonces cualquier segmento de la armadura esta también en equilibrio. El método de secciones se puede aplicar para cortar o seccionar el elemento de toda una armadura. Si la sección pasa por la armadura y se traza el diagrama de cuerpo libre de cualquiera de sus dos partes entonces podemos aplicar las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas del elemento en la sección cortada. Como solo se puede aplicar seis ecuaciones independientes:
∑ F x =0 ∑ F y =0 ∑ F z=0
∑ M x =0 ∑ M y=0 ∑ M z =0
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
6
al diagrama de cuerpo libre de cualquier segmento debemos tratar de seleccionar que, en general, pase por no más de seis elementos en que las fuerzas sean desconocidas. Al igual que el método de nodos, hay dos maneras de que se puede determinar el sentido correcto de una fuerza de elemento desconocida:
Por inspección Suponer que las fuerzas de las barras están en tensión: al hacer esto, la solución numérica de las ecuaciones de equilibrio dará escalares positivos para elementos en tensión y escalares positivos par elementos en compresión
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS DE ARMADURAS POR EL MÉTODO DE SECCIONES 1. Escoger la manera como se debe cortar o seccionar la armadura a través de los elementos cuyas fuerzas deben determinarse. 2. Antes de separar la sección apropiada, puede requerirse determinar primero las reacciones externas de la armadura. Una vez hecho esto, entonces estarán disponibles las tres ecuaciones de equilibrio para encontrar las fuerzas de los elementos en la sección. 3. Trace el diagrama del cuerpo libre del segmento de la armadura seccionada sobre la que actúe la menor cantidad de fuerzas. 4. Use uno de los métodos descritos antes para establecer el sentido de las fuerzas de elemento desconocido 5. En cuanto a las ecuaciones de equilibrio: El momento deben sumarse con respecto a un punto que se encuentre en la intersección de las líneas de acción del mayor número de fuerzas desconocidas que se pueda, así ayudara a que las fuerzas desconocidas restantes se encuentren de un modo más directo.
EJERCICIOS RESUELTOS PROBLEMA Nº1: Determina las fuerzas que actúan en el nudo A, de la armadura espacial mostrada en la siguiente figura.
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
7
Expresemos primero las fuerzas en notación vectorial.
equilibrio nodo A ; ;
, esta fuerza esta en traccion o tension
;
PROBLEMA Nº2: Determine la fuerza desarrollada en la barra CD, CA, CD de la armadura espacial y establezca si los elementos están en tensión o en compresión.
FCD
La caja tiene un peso de 150 lb
W FCA FCD
X
Y Z
SOLUCION
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
8
FCA =F CA
[
−1i+2 j+sin 60 k √8
]
FCA =−0.354 F CA i+0.707 F CA j+0.612 F CA k FCB =0.354 F CB i+0.707 FCB j+0.612 F CB k FCD =−F CD j W =−150 k
∑ F X =0 ;−0.354 F CA +0.354 F CB=0 ∑ F y =0 ; 0.707 F CA + 0.707 F CB−FCD=0
∑ F z =0 ; 0.612 F CA +0.612 F CB−150=0 Desarrollando: FCA =F CB =122.5 lb ⟨ C ⟩
FCD =173 lb ⟨ T ⟩
PROBLEMA Nº 3: Determine las fuerzas que actúan en los elementos de la armadura espacial que se muestra en la figura . Indique si los elementos están en tensión o en compresión.
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
9
SOLUCION: Como hay una fuerza conocida y tres desconocidas que actúan en el nodo A, el análisis de fuerzas de esta armadura comenzara en este nodo.
NUDO A : Si expresamos cada fuerza que actúa en el diagrama de cuerpo libre del nodo A como un vector cartesiano, tenemos P = {-4j} kN
FAB = FAB j
FAC = -FAC k
r AE FAE = FAE ( r AE ¿ = FAE (0.577 i + 0.577j - 0.577k) Por equilibrio: ∑F=0
P + FAB + FAC + FAE = 0
-4 j + FAB j - FAC k + 0.577 FAE i + 0.577 FAE j - 0.577 FAE k = 0
∑Fx=0
0.577 FAE = 0
∑Fy=0
-4 + FAB + 0.577 FAE = 0
∑Fz=0
- FAC - 0.577 FAE = 0
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
10
FAC = FAE = 0 FAB = 4 kN (T)
Resp.
Resp.
Como FAB es conocida, a continuación se puede analizar el nodo B. NUDO B ∑Fx=0
-RB cos 45º + 0.707FBE = 0
∑Fy=0
-4 + RB sen 45º = 0
∑Fz=0
2 + FBD – 0.707FBE = 0
RB = FBE =5.66 kN
(T).
FBD = 2 kN
(C)
Resp.
Las ecuaciones escalares de equilibrio también pueden aplicarse directamente a sistemas de fuerzas que actúan en los diagramas de cuerpo libre de los nodos D y C, ya que las componentes de fuerzas se determinan con facilidad. Demuestre que FDE = FDC = FCE = 0
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
Resp.
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PROBLEMA Nº 4: determine la fuerza en cada elemento de la armadura espacial y establesca si los elementos estan en tension o en compresion. La armadura esta soportada por rotulas esfericas en A,B y E. considere
F=-200i + 400j (N) sugerencia la reaccion en el soporte actua a lo largo del elemento EC.
SOLUCION : NODO “D” 1 5 1 ∑ F x =0;− 3 F AD + √31,25 F BD + √ 7,25 F CD−200=0 2
1,5
1,5
2
5
2
∑ F y=0 ;− 3 F AD + √ 31,25 F BD − √ 7,25 F CD + 400=0 ∑ F z =0 ;− 3 F AD − √ 31,25 F BD + √ 7,25 FCD=0 Z
F AD =343 [ N ]⟨ T ⟩ F BD=186 [ N ] ⟨ T ⟩
FCD =397 [ N ] ⟨ C ⟩
Z FBD
FAC FEC
200 397
NODO “C”
FAD
Y
1
∑ F x =0; F BCx− √ 7,25 ( 397 )=0 Y F FBD
X
400 CD
F BC =148 [ N ]⟨ T ⟩ 2
∑ F z =0 ; F EC− √7,25 ( 397 )=0 F EC =295 [ N ] ⟨ C ⟩ 1,5
∑ F y=0 ;−F AC + √ 7,25 ( 397 )=0 F A C =221 [ N ]⟨ T ⟩
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
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NODO D C
BARRA AD BD CD BC EC AC
FUERZA 343 186 397 148 295 221
MODO T T C T C T
PROBLEMA Nº5: Determine la fuerza en cada miembro de la armadura espacial de tres que soporta la carga de 1,000 libras y el estado si los están en tensión o compresión.
SOLUCION: NUDO D: FAD=FAD (
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
−10 5 10 i+ j+ k ¿ 15 15 15
13
11.358 10 FCD=FCD ( −2 i− 5 j+ ¿ ¿ k) 11.358 11.358 10 5 10 FBD=FBD ( 15 i+ 15 j+ 15 k ¿ P=-1000 K 100 lb
FBD
FCD FCD
−10 −2 ¿ ) + F ( CD 15 11.358
10 + FBD( 15 ) = 0
∑Fx=0
FAD(
∑Fy=0
5 FAD ( 15 ¿+¿
−5 5 FCD ( 11.358 ¿+¿ FBD ( 15 ¿ = 0
∑Fz=0
10 FAD ( 15 ¿+¿
10 10 FCD ( 11.358 ¿+¿ FBD ( 15 ¿
NODO D
FAD = 300 lb (C)
Resp.
FCD = 450 lb (C)
Resp.
FBD = 564 lb (C)
Resp.
BARRA AD BD CD
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
FUERZA 300 564 450
- 1000= 0
MODO C C C
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ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
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Dado que las armaduras poseen las características tienen una gran versatilidad en su uso y le permiten al ingeniero una gran flexibilidad para adaptarse a las necesidades de un problema particular. Las armaduras se han venido utilizando desde tiempos antiguos para la construcción de grandes edificaciones, por tal razón en el presente trabajo se detallara los métodos tanto de nodos como el de secciones para poder calcular las fuerzas que resisten cada barra de una armadura espacial.
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
1
ARMADURAS La armadura es uno de los principales tipos de estructuras que se usan en la ingeniería. Ésta proporciona una solución práctica y económica para muchas situaciones de ingeniería, en especial para el diseño de puentes y edificios. La armadura es una estructura compuesta por , usualmente rectos, unidos por sus extremos y cargada solamente en estos puntos de unión llamado nudos. Los elementos de una armadura, por lo general, son delgados y sólo pueden soportar cargas laterales pequeñas; por eso todas las cargas deben estar aplicadas en los nodos y no sobre los elementos. Cuando se va a aplicar una carga con centrada entre dos nodos o cuando la armadura debe soportar una carga distribuida, como en el caso de la armadura de un puente, debe proporcionarse un sistema de piso, el cual, mediante el uso de travesaños y largueros, transmite la carga a los nodos. La estructura ligera de una armadura proporciona, para grandes luces, una resistencia mayor que la que proporcionan muchos tipos de estructura recios. Estas estructuras compuestas totalmente por de dos fuerzas. Las armaduras constan generalmente de subelementos triangulares y están apoyadas de tal manera que impidan el todo tipo movimiento de dicho elemento. Su estructura ligera puede soportar una fuerte carga con un peso estructural relativamente pequeño.
ARMADURAS ESPACIALES. ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
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Son aquellas armaduras que se obtienen cuando varios elementos rectos se unen en sus extremos para formar una configuración tridimensional. Podemos construir la estructura tridimensional más sencilla conectando seis barras por sus extremos para obtener un tetraedro (figura 1). Agregando más barras podemos obtener estructuras más elaboradas (figuras 2). Las estructuras tridimensionales como estas se denomina “armaduras espaciales” si tienen juntas que no
ejercen pares sobre las barras (es decir, son articuladas en las tres direcciones, comportándose como soportes de bola y cuenca) y si están cargadas y soportadas solo en sus juntas o nodos.
Figura 2 Figura
Las armaduras espaciales se analizan con los mismos métodos descritos para las armaduras bidimensionales, la única diferencia es que se requiere tratar con relaciones geométricas más complicadas. Recordemos que la armadura bidimensional más elemental consistía en tres barras unidas por sus extremos formando los lados de un triángulo; añadiendo cada vez dos barras a esta configuración básica, y uniéndolas en un nuevo nudo, era posible obtener una armadura más grande que se definía como armadura simple. Igualmente, la armadura tridimensional más elemental está formada por seis barras unidas por sus extremos formando las aristas de un tetraedro tal como hemos visto (figura 1). Añadiendo más barras a esta configuración básica y aplicándolas a nudos separados ya existentes y uniéndolos en un nuevo nudo, podemos obtener una armadura espacial más grande que se define como armadura tridimensional simple (figura
2).
Observando que el tetraedro básico tiene seis barras y cuatro nudos, y que cada vez que se añaden tres barras se aumenta en uno el número de nudos, concluimos que en una armadura tridimensional simple el número total de barras es
N=2 J −6
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
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Siendo: J: número total de nodos. N: número de barras Si una armadura espacial tienen que estar completamente ligada y si las reacciones en los apoyos han de ser estáticamente determinadas, los apoyos deben consistir en una combinación de esferas, rodillos y rotulas que proporcionen seis reacciones desconocidas (figura 3).
Figura 3
Estas pueden determinarse fácilmente resolviendo las seis ecuaciones que expresan que la armadura tridimensional
como
sólido
libre
está
en
equilibrio.
Aunque en la práctica las barras de una armadura de este tipo se suelen mantener unidas por medio de conexiones soldadas se supone para su calculo que cada nudo está constituido por una articulación de rotula. Por tanto, no se aplicara ningún para a las barras de la armadura y cada barra puede tratarse como un elemento
sometido
exclusivamente
a
dos
fuerzas
opuestas.
Las ecuaciones para cada nodo se expresa con las tres ecuaciones:
∑ F x =0 ∑ F y =0 ∑ F z=0
La formulación de las ecuaciones en equilibrio en cada uno de los J nudos proporcionara tres ecuaciones. Como N=3J-6, estas 3J ecuaciones basta para determinar todas las fuerzas desconocidas (fuerzas en N barras y 6 reacciones en los apoyos) que son en total N+6=3J-6+6=3J, que es el número de ecuaciones que disponemos. Sin embargo, para evitar la necesidad de resolver ecuaciones simultáneas, se debe tener cuidado en seleccionar nodos en un orden tal que ninguno involucre más de tres fuerzas desconocidas.
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
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I.
ANALISIS DE ARMADURAS POR EL METODO DE NODOS
Generalmente si todos los de una armadura deben ser determinados las fuerzas, el método de los nodos es el más adecuado para efectuar el análisis. Este método se basa en que si toda la armadura está en equilibrio entonces cada uno de sus nodos también está en equilibrio. Al usar este método, es necesario resolver las tres ecuaciones escalares de equilibrio:
∑ F x =0
∑ F y =0
∑ F z =0
Cuando se usa este método de los nodos, siempre se debe comenzar en un nodo que tenga por lo menos una fuerza conocida y cuando mucho tres fuerzas desconocidas. Si la geometría tridimensional existente en el nudo es difícil de visualizar se recomienda utilizar un análisis vectorial cartesiano para encontrar la solución. Al aplicar esas ecuaciones, el sentido correcto de una fuerza de elemento desconocida puede determinarse con uno de dos posibles métodos:
Por inspección: Suponiendo que en el nodo A es parte de una armadura espacial y que se apoya sobre una rotula esférica. Rx Y Z Ry Rz
30N 70N A 40N
X
en este caso se puede determinar la dirección de las reacciones por simple inspección pero en casos más el sentido de la fuerza desconocida de un elemento puede suponerse, luego después de aplicar las ecuaciones de equilibrio, el sentido supuesto puede verificarse a partir de los resultados numéricos. Una respuesta positiva indica que el sentido adoptado es correcto, mientras que una respuesta negativa indica que el sentido adoptado en el diagrama se debe invertir.
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
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Suponer que las fuerzas desconocidas de los elementos están en tensión: es decir las fuerzas jalan el pasador. Si se hace así, entonces la solución de las ecuaciones escalares darán positivas para elemento en tensión y negativas para los elementos en compresión. Una vez se encuentre la fuerza desconocida de un elemento aplicar el sentido correcto en los nodos siguientes a trabajar.
PROCEDIMIENTO PARA EL ANALISIS DE ARMADURAS POR EL METODO DE NODOS 1. Trace el diagrama de cuerpo libre de un nodo que tenga por lo menos una fuerza conocida y cuando mucho tres fuerzas desconocidas.(si este nodo está en uno de los soportes, entonces puede ser necesario calcular las reacciones externas en los soportes de la armadura) 2. Use uno de los dos métodos antes descritos para establecer el sentido de una fuerza desconocida. 3. Oriente los ejes de manera que las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre puedan descomponerse fácilmente en sus componentes luego aplica las 3 ecuaciones de equilibrio:
∑ F x =0
∑ F y =0
∑ F z =0
despeje las componentes de las 3 fuerzas desconocidas y verifique su sentido correcto. 4. Con los resultados obtenidos, continue con el análisis de cada uno de los otros nodos.
II.
ANALISIS DE ARMADURAS POR EL METODO DE SECCIONES
Cuando necesitamos encontrar la fuerza en solo unos cuantos elementos de una armadura, esta puede analizarse mediante el método de secciones. El método se basa en el principio de que si la armadura esta en equilibrio, entonces cualquier segmento de la armadura esta también en equilibrio. El método de secciones se puede aplicar para cortar o seccionar el elemento de toda una armadura. Si la sección pasa por la armadura y se traza el diagrama de cuerpo libre de cualquiera de sus dos partes entonces podemos aplicar las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas del elemento en la sección cortada. Como solo se puede aplicar seis ecuaciones independientes:
∑ F x =0 ∑ F y =0 ∑ F z=0
∑ M x =0 ∑ M y=0 ∑ M z =0
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al diagrama de cuerpo libre de cualquier segmento debemos tratar de seleccionar que, en general, pase por no más de seis elementos en que las fuerzas sean desconocidas. Al igual que el método de nodos, hay dos maneras de que se puede determinar el sentido correcto de una fuerza de elemento desconocida:
Por inspección Suponer que las fuerzas de las barras están en tensión: al hacer esto, la solución numérica de las ecuaciones de equilibrio dará escalares positivos para elementos en tensión y escalares positivos par elementos en compresión
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS DE ARMADURAS POR EL MÉTODO DE SECCIONES 1. Escoger la manera como se debe cortar o seccionar la armadura a través de los elementos cuyas fuerzas deben determinarse. 2. Antes de separar la sección apropiada, puede requerirse determinar primero las reacciones externas de la armadura. Una vez hecho esto, entonces estarán disponibles las tres ecuaciones de equilibrio para encontrar las fuerzas de los elementos en la sección. 3. Trace el diagrama del cuerpo libre del segmento de la armadura seccionada sobre la que actúe la menor cantidad de fuerzas. 4. Use uno de los métodos descritos antes para establecer el sentido de las fuerzas de elemento desconocido 5. En cuanto a las ecuaciones de equilibrio: El momento deben sumarse con respecto a un punto que se encuentre en la intersección de las líneas de acción del mayor número de fuerzas desconocidas que se pueda, así ayudara a que las fuerzas desconocidas restantes se encuentren de un modo más directo.
EJERCICIOS RESUELTOS PROBLEMA Nº1: Determina las fuerzas que actúan en el nudo A, de la armadura espacial mostrada en la siguiente figura.
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
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Expresemos primero las fuerzas en notación vectorial.
equilibrio nodo A ; ;
, esta fuerza esta en traccion o tension
;
PROBLEMA Nº2: Determine la fuerza desarrollada en la barra CD, CA, CD de la armadura espacial y establezca si los elementos están en tensión o en compresión.
FCD
La caja tiene un peso de 150 lb
W FCA FCD
X
Y Z
SOLUCION
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8
FCA =F CA
[
−1i+2 j+sin 60 k √8
]
FCA =−0.354 F CA i+0.707 F CA j+0.612 F CA k FCB =0.354 F CB i+0.707 FCB j+0.612 F CB k FCD =−F CD j W =−150 k
∑ F X =0 ;−0.354 F CA +0.354 F CB=0 ∑ F y =0 ; 0.707 F CA + 0.707 F CB−FCD=0
∑ F z =0 ; 0.612 F CA +0.612 F CB−150=0 Desarrollando: FCA =F CB =122.5 lb ⟨ C ⟩
FCD =173 lb ⟨ T ⟩
PROBLEMA Nº 3: Determine las fuerzas que actúan en los elementos de la armadura espacial que se muestra en la figura . Indique si los elementos están en tensión o en compresión.
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
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SOLUCION: Como hay una fuerza conocida y tres desconocidas que actúan en el nodo A, el análisis de fuerzas de esta armadura comenzara en este nodo.
NUDO A : Si expresamos cada fuerza que actúa en el diagrama de cuerpo libre del nodo A como un vector cartesiano, tenemos P = {-4j} kN
FAB = FAB j
FAC = -FAC k
r AE FAE = FAE ( r AE ¿ = FAE (0.577 i + 0.577j - 0.577k) Por equilibrio: ∑F=0
P + FAB + FAC + FAE = 0
-4 j + FAB j - FAC k + 0.577 FAE i + 0.577 FAE j - 0.577 FAE k = 0
∑Fx=0
0.577 FAE = 0
∑Fy=0
-4 + FAB + 0.577 FAE = 0
∑Fz=0
- FAC - 0.577 FAE = 0
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
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FAC = FAE = 0 FAB = 4 kN (T)
Resp.
Resp.
Como FAB es conocida, a continuación se puede analizar el nodo B. NUDO B ∑Fx=0
-RB cos 45º + 0.707FBE = 0
∑Fy=0
-4 + RB sen 45º = 0
∑Fz=0
2 + FBD – 0.707FBE = 0
RB = FBE =5.66 kN
(T).
FBD = 2 kN
(C)
Resp.
Las ecuaciones escalares de equilibrio también pueden aplicarse directamente a sistemas de fuerzas que actúan en los diagramas de cuerpo libre de los nodos D y C, ya que las componentes de fuerzas se determinan con facilidad. Demuestre que FDE = FDC = FCE = 0
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
Resp.
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PROBLEMA Nº 4: determine la fuerza en cada elemento de la armadura espacial y establesca si los elementos estan en tension o en compresion. La armadura esta soportada por rotulas esfericas en A,B y E. considere
F=-200i + 400j (N) sugerencia la reaccion en el soporte actua a lo largo del elemento EC.
SOLUCION : NODO “D” 1 5 1 ∑ F x =0;− 3 F AD + √31,25 F BD + √ 7,25 F CD−200=0 2
1,5
1,5
2
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∑ F y=0 ;− 3 F AD + √ 31,25 F BD − √ 7,25 F CD + 400=0 ∑ F z =0 ;− 3 F AD − √ 31,25 F BD + √ 7,25 FCD=0 Z
F AD =343 [ N ]⟨ T ⟩ F BD=186 [ N ] ⟨ T ⟩
FCD =397 [ N ] ⟨ C ⟩
Z FBD
FAC FEC
200 397
NODO “C”
FAD
Y
1
∑ F x =0; F BCx− √ 7,25 ( 397 )=0 Y F FBD
X
400 CD
F BC =148 [ N ]⟨ T ⟩ 2
∑ F z =0 ; F EC− √7,25 ( 397 )=0 F EC =295 [ N ] ⟨ C ⟩ 1,5
∑ F y=0 ;−F AC + √ 7,25 ( 397 )=0 F A C =221 [ N ]⟨ T ⟩
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
12
NODO D C
BARRA AD BD CD BC EC AC
FUERZA 343 186 397 148 295 221
MODO T T C T C T
PROBLEMA Nº5: Determine la fuerza en cada miembro de la armadura espacial de tres que soporta la carga de 1,000 libras y el estado si los están en tensión o compresión.
SOLUCION: NUDO D: FAD=FAD (
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
−10 5 10 i+ j+ k ¿ 15 15 15
13
11.358 10 FCD=FCD ( −2 i− 5 j+ ¿ ¿ k) 11.358 11.358 10 5 10 FBD=FBD ( 15 i+ 15 j+ 15 k ¿ P=-1000 K 100 lb
FBD
FCD FCD
−10 −2 ¿ ) + F ( CD 15 11.358
10 + FBD( 15 ) = 0
∑Fx=0
FAD(
∑Fy=0
5 FAD ( 15 ¿+¿
−5 5 FCD ( 11.358 ¿+¿ FBD ( 15 ¿ = 0
∑Fz=0
10 FAD ( 15 ¿+¿
10 10 FCD ( 11.358 ¿+¿ FBD ( 15 ¿
NODO D
FAD = 300 lb (C)
Resp.
FCD = 450 lb (C)
Resp.
FBD = 564 lb (C)
Resp.
BARRA AD BD CD
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
FUERZA 300 564 450
- 1000= 0
MODO C C C
14
ESTATICA : ARMADURAS ESPACIALES
15
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