7. Porcentajes 193j5z

75

Razonamiento Lógico

Tema: Porcentajes

EL TANTO POR CUANTO Si tuviéramos una cantidad dividida en “n” partes iguales y tomamos “m” de sus partes; estaríamos tomando el “m” por “n” de dicha cantidad: El m por n < >

m n

EL TANTO POR CIENTO (%) Se denomina así a un caso particular del tanto por cuanto y se da cuanto el total se divide en 100 partes iguales y tomamos cierto número m de esas partes. Las m partes equivalen al m por 100 del total o al m por ciento del

DU = A + B -

AB 100

Au = A + B +

AB 100

VARIACIÓN PORCENTUAL Se trata del aumento o disminución que experimenta una expresión una figura o un sólido con respecto a sus dimensiones o valores iniciales este aumento o disminución esta expresado en porcentaje. 2� � �p � Aumento = � 2p + � �� % 10 �� � � � �

APLICACIONES COMERCIALES

Para resolver problemas de porcentajes relativos a las ventas; debemos tener m m por ciento < > m % < > presente lo 100 siguiente: m

total, es decir 100 del total.

AUMENTOS Y DESCUENTOS SUCESIVOS Se trata de varios aumentos o varios descuentos pero que se realizan de manera consecutiva, estos pueden ser reemplazados por un aumento único o por un descuento único.

PRIMERO:

Pv = Pc +G Donde: Pv = Precio de venta Pc = Precio de costo G = Ganancia SEGUNDO:

Pv = Pc - P

Donde: Pv = Precio de venta Pc = Precio de compra P= Pérdida

Ejercicios Desarrollados Porcentajes 1. Hallar el 20% del 30% del 75% del 4 por 8 de 2000. a) 45 b) 35 c) 40 d) 8

e) 25

Resolución Sea “x” la cantidad buscada: 20 30 75 x= . . 100 100 100 450 x= x = 45 10 Rpta. 2. ¿0,06 % de qué número es 24? a) 40 000 b) 4000 c) 400 d) 40 e) 4

Resolución

0,06 % de N = 24 0,06 N = 24 100

0,06N = 2400

6 N = 2400 100 N = 40000

Rpta. 3. De un grupo de alumnos se expulsó el 40% de los que no se expulsaron y después de los que fueron expulsados regresaron el 80% de los que no regresaron. Si ahora y no pertenecen al grupo 20 alumnos. ¿Cuántos alumnos tenía al inicio dicho grupo? 4 . . 2000 a)126 b)90 8 c)144 d)88 e)112 Resolución a) Del total (al inicio):

Expulsó = 40% no ex expulsados 2 = no expulsados 5 

total 7 = expulsados 2 … (1) b) De los expulsados:

Razonamiento Lógico

76

30 Regresaron = 80% no 75 regresaron . .N = 18 regresaron 4 100 100 = N =2  no regresaron 5 40



expulsados 9 = no regresaron 5

N = 80

Rpta.

5. Tenía S/. 640, con el 20% … (2) compré un regalo, con el Multiplicando 30% un juego de (1) y (2), collar y con el miembro a 10% una mesa. miembro: ¿Cuánto dinero total 63 me queda? = no regresaron 10 a) S/. 296 b) S/. 192 c) S/. 240 d) S/. 256 e) S/. Dato: 288 no regresaron: 20 Total de Resolución personas al inicio: Llevo gastados: 63(2) = 126 R pta. 4. En un salón de clase el 70% son hombres. Si faltan el 25% de las mujeres y sólo asisten 18 mujeres. ¿Cuál es el total de alumnos del salón? a) 90 b) 75 c) 80 d) 150 e) 120 Resolución

75%(30%N) = 18

d) 70 100

e)

Resolución Del dato:

25 140 (280) = N 100 100 25(2) = N N = 50 Rpta.

Luego: 40 (640) = 100 S/. 256 Rpta.

d) 25

e) 38

Resolución

B%(30) = 27 �

6. El 25% del 35 por 140 de 48 es: a) 12 b) 24 c) 3 d) 18

e) 22

Resolución

temperatura es 15 ºC y al mediodía la temperatura es 18 ºC. ¿En qué tanto por ciento aumenta la temperatura? a) 25% b) 20% c) 15% d) 30% e) 16,6% Resolución Del enunciado: Variación

8. Si el A% de 300 es B y el B % de 30 es 27. ¿Cuál es el 20% + 30% + 10% = 60% valor de A? a) 90 b) 70 Entonces me c) 30 queda: 40%

 Hombres: 70%N Total de  25 25%(30%N) 35 :N  Faltan: . .48 = Alumnos  Mujeres: 30%N = 75%(30%N) 100 140  Asisten:  3 Rpta.

Por dato:

7. ¿El 25% de 280 es el 40% más de qué número? a) 20 b) 150 c) 50

B (30) = 27 100 B = 90

Reemplazando en: A%(300) = B A (300) = 90 100 �

A = 30

Rpta. 9. Si en la mañana cuando sale el sol la

Inicio

Aumenta en 3 ºC Final

15 ºC Valor inicial

18 ºC

Variación porcentual Variación = �100% Valor inicial 3 �100% = 15 20% Rpta. 10. En una reunión el 20% de los hombres y el 25% de las mujeres son peruanos. Si el número de mujeres representa el 40% del total de personas. ¿Qué tanto por ciento de las personas presentes en dicha reunión no son peruanos? a) 78% b) 22% c) 88%

77

d) 12% 68%

e)

Resolución Asumiendo el total de personas: 100 Nº de mujeres: 40%(100) = 40

Nº 40 Nº 60

mujeres: varones: Total: 100

Varones: 50  40  20 T= T = 20%T  100  100  100

Luego: 20%T + 18%T = 38% Rpta. 12. ¿Qué porcentaje del Peruanos 20% del 60% de 25%(40) = 10 es el 0,2% 8000 de los 3/4 de 20%(60) = 12 16000? a) 2% b) 20% c) 2,5% Total: 100 78 d) 25% e) 4%

Luego nos piden: no peruanos 78 Resolución �100% = �100% = 78% total 100 Sea “m” el porcentaje 78% no son buscado: peruanos Rpta. 11. Del total de conferencistas, el 60% son mujeres. De ellas el 30% disertan por primera vez; mientras que de los varones, el 50% lo hace por primera. El porcentaje de los conferencistas que disertan por primera vez es: a) 38% b) 42% c) 30% d) 45% e) 35% Resolución Mujeres: 30  60  18 T = T = 18%T  100  100  100

Razonamiento Lógico a) 150% b) 180% c) 200% d) 220% e) 240%

4+1= 5 Rpta. 15. Tú tienes 25% menos de lo que yo tengo. Si yo tuviera 20% SOLUCION más de lo que tengo y tú Según el tuvieras 20% enunciado: menos de lo que tienes, lo que tú 1 Mi dinero 1 sería (Mi dinero) = (Tu dinero)tendrías � = 12 4 Tu dinero soles menos4 de 80 Tu dinero que = 4 yo (Tu dinero) = (De él) lo � 100 De 5 tendría.él¿Cuánto tengo? Luego: a) 10 soles b) 15 mi dinero tu dinero de élsoles soles K 4K c) 5K 20 d) 25 soles

Para que mi dinero sea, e) 30 soles 60%(5K) = 3K , se debe Resolución m 20 60 0,2 aumentar 3 en . . .8000 = . .16000 100 100 100 1002K, 4 que Yo tengo: x representa el Tú tienes: 25% 1 1 1 doble de K, es menos de x: m = . .(10) 5 5 4 decir: 75 3 x= x 5 200% Rpta. 100 4 ; m = = 2,5 2 Suposición: 2,5% Rpta. 14. ¿Cuál es la suma entre el Yo tuviera: 5% del 20% 13. Si mi 120 6 de 400 y el dinero es la x= x 0.5% del 10% 100 5 cuarta parte de 2000? Tú tuvieras: del tuyo y a la a) 1 vez tu dinero 80 3 3 . x= x b) 2 es el 80% del 100 4 5 c) 3 dinero de él, ¿en qué Del enunciado: d) 4 porcentaje 6 3 x - x = 12 ; e) 5 debe 5 5 aumentar mi x = 20 soles Rpt Resolución dinero para a. que sea el 5 20 0,5 10 60% del � �400 + � �2000 dinero de él? 100 100 100 100

Razonamiento Lógico

78

16. El 5 % 6

3 % del 5

de

qué

número es 0,02: a) 2 �10-1 b) 13 -2 �10 c) 25 0,2 d) 800 e) 400 Resolución 3 5 2 � �N = 500 600 100

18.Que porcentaje del 20% del 30% del 10% de 40/3 es el 8% de 0,2% de 10. a) 2 % b) 6 % c) 12 % d) 23 % e) 12,5 % Resolución Utilizaremos:

a) 10% 40% 35% d) 50% 25%

b) c)

800, podemos suponer que en dinero tenemos:

e)

Resolución

Yo tengo: 1800 - x Tú tienes: x

Aplicaremos la siguiente formula:

“Si tú hubieras recibido el 40% menos, entonces (es...) recibiste el 60% Porcentaje = �100% de (respecto de... ) que tú tienes”. Es decir: Lo anterior se 60% x traduciría como:

“Si yo recibiera (Nro. de chinos) �100% (es...) Porcentaje = 25% (Nro. de gringos) + (Nro. de menos, mestizos) Porcentaje = �100% Rpta. (de...) entonces 10 Porcentaje = � 100% recibiría 75% de Del enunciado: 15 + 25 lo que yo tengo”. 1 En consecuencia, = .� 100% 8% . 0,2% 10 Porcentaje = � 100% 4 podemos 3 40 17.¿Qué 3a es a 20% . 30% . 10% . escribir: 3 \ Porcentaje= porcentaje de 75% (1800 - x) 8 0,2 ? 25% Rpta. . . 10 100 100 2 100a = �100% 10 a % Del enunciado, 20 30 10 40 3 a % a) % . . . 20.Entre tu 3 planteamos: 3 b) 100 100 100 3 dinero y el mío c) tendríamos 60% x = 75% (1800 - x) Operando se S/. 1800, pero si obtiene: 2 3 hubieras recibido 10a ) d) 100a % e) ( % 60 75 el 40% menos x= (1800 - x) 3 3 Porcentaje = 100 100 tendrías lo que Resolución 2 % Rpta. yo tendría si Aplicaremos: � recibiera 25% (es...) 4x = 5(1800 - x) menos, ¿cuánto 19.En una Porcentaje = �100% dinero tienes tú? (de...) reunión hay Simplificando: a) S/.1 000 10 chinos, 15 b) S/.1 600 gringos y 25 Del enunciado: 4x = 9000 - 5x mestizos. 3 2 a 100a � 9x = 9000 c) S/. 2 000 Porcentaje = �100% =¿Qué % 3a 3 d) S/.1 500 porcentaje � x = 1 000 e) S/. 900 representan Luego, tú los chinos \ Porcentaje = tienes: Resolución respecto a los 2 S/. 1 000 (10a) % gringos y Rpta. 3 Rpta Como ámbos mestizos? . tenemos S/. 1 N=

400

Razonamiento Lógico

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21.Se tienen dos clases distintas de naranjas con igual número de naranjas, las naranjas de primera clase se venden a dos por un sol y las de segunda clase a tres por un sol. ¿Si se vendieran todas las naranjas a 5 por dos soles, se ganaría o se perdería y en qué porcentaje? a) perdería el 5% b) perdería el 4% c) ganaría el 4 % d) ganaría el 8% e) perdería el 9% Resolución Sea “x” el número de naranjas que se tiene tanto de la primera como de la segunda clase. Por la venta de las naranjas obtendríamos, de la:

x 2

Primera clase:soles

x soles 3

Segunda clase:

\ perdería el 4%

Rpta.

Por la venta de ambas clases de naranjas, obtendríamos: x x + = 2 3

5x 6

…( I ) Por otro lado, si se venden todas las naranjas a 5 por dos soles, obtendríamos:

22.Calcular el 0,75% del 0,8% de 24 000 a) 1,22 b) 1,33 c) 1,44 d) 1,55 e) 2,33 Resolución Planteamos según el enunciado:

3

3

a +b

Porcentaje =

2

a - ab + b

por productos notables tenemos: =

2

2

(a + b)(a - ab + b ) 2

2

a - ab + b

Simplificando: Porcentaje = 100(a + b)%

Rpta.

24.En un aula el 20% de las es 0,75 mujeres 0,8 0,75% �0,8% �24000 = � �24000 igual al 30% 100 100 (2x) 4x de los 2 = 5 5 hombres. … ¿Qué 75 � 1 �8 � 1 � ( II ) = . .� � .24000porcentaje son � � 100 � 100 �10 � 100 � hombres? De (I) y (II), a) 30% b) por la venta Simplificando, 40% c) de ambas 1,44 55% resulta: clases de d) 75% e) Rpta. naranjas, 60% perdería: 23.¿Qué Resolución porcentaje de 5x 4x 25x - 24x x 2 2 = = (a - ab + b ) es 6 5 30 30 Sean “M” el 3 3 número de (a + b ) ? Para calcular mujeres y el porcentaje, a) (a - b)% “H” el utilizaremos la b) número de siguiente 2 2 (a ab + b )% hombres. fórmula: c) (a + b)% Según las d) 100(a - b)% Lo que perdería Porcentaje = � 100% condiciones + b)% Lo que tenía principio e)al100(a del problema: Calculando: 20% M = 30% H Resolución x Porcentaje = 30 �100% =Aplicaremos: 4% Desarrollando 5x y (es...) 6 Porcentaje = �100% simplificando (de...) Operando tenemos: obtenemos: Del enunciado:

M 3 = H 2

�

Razonamiento Lógico

80

2M = 3H

�

Podemos suponer que: M=3k

y

De lo anterior, podemos suponer que: a=5k

H=2k

b=2k

Se pide: Porcentaje =

a 5 = b 2

y …(*)

Del enunciado, podemos plantear una regla de tres. Monto Porcentaje

30 x

� �

57% 100% (total)

Nos piden: Nro. hombres �100% (a - b) 30 �100 x= � Total personas Porcentaje = �100% 57

(a + b)

Por lo tanto, reemplazando:

52,63

Rpta.

a) 8,25 16,5 16,3 d) 18,5 18,3

b) c) e)

Resolución Un año bisiesto tiene 366 días. Nos piden el 5% de 366: 5 ( 366) = 100

18,3 Rpta. Reemplazando 27.Los 3/5 del (*) x% del 60% de 29.La sala de (5k - 2k) 2k 2 Porcentaje = � 100% los 2/7 de 35 Porcentaje = �100% = �100% = 40% una casa (5k + 2k) 2k+3k 5 000 es 144. ocupa el 20%, Hallar “x”. la cocina es el El porcentaje a) 3 25% de la sala de los 3k b) 4 y el baño es el = �100% hombres es: 7k c) 7 40% de la 40% Rpta. Simplificando: d) 5 cocina. ¿Qué e) 6 Porcentaje = porcentaje de 25. Si el 20% Resolución la casa es el 300 % de “a” es igual Del enunciado, baño? 7 Rpta. al 50% de “b”, planteamos: a) 1 % ¿qué b) 4% 26.Timo le dio a porcentaje de c) 3. 2 un mendigo x% . 60% . . 35 000 = 144 ( a + b) será 0,4% 5 7 S/.30 que d) 2 % ( a - b) ? representa el e) 0,2% 57% de sus 3 x 60 2 300 . . . . 35 000 = 144 ahorros. ¿Cuánto a) 42% b) 45 5 100 100 7 Resolución 7 era la cantidad % c) % total de los Para resolver Despejando ahorros de Timo? d) 43 % e) 157 este problema “x”: 3 a) S/. 50,60 % vamos a b) S/. utilizar el 144 . 5 . 100 . 100 . 7 53,36 c) S/. x= método de las 3 . 60 . 2 . 35000 52,63 Resolución equivalencias d) S/. 53,25 (Regla � x= 4 e) S/. Del enunciado: conjunta). Rpta. 49,10 20% a = 50% b Resolución 28.Calcular el Simplificando y 5% del total Sea “x” el Monto operando de días de un total de sus tenemos: año bisiesto. ahorros. 2a = 5b

Razonamiento Lógico

81

Sala �20% Casa

20 . 30% . N = 100

6% N

Hombres: 10 % del 70 % de N x % = 20% . 25% . 40% 10 . 70% . N = 100 Resolviendo: 6% N + 7% N = 20 25 x % = . . 40 % 3% Rpta. 100 100

7% N

Cocina �25% Sala Baño �40% Cocina x% Casa �Baño

� x= 2 luego,el porcentaje es: 2%

Rpta.

30.En un colegio el 30% son mujeres; salen de paseo el 20% de las mujeres y el 10% de los hombres. ¿Qué porcentaje del colegio fue al paseo? a) 11% b) 12% c) 13% d) 14% e) 15%

Variaciones Porcentuales 1. Si el área de un cuadrado aumenta en 69%. ¿En qué porcentaje aumentó su diagonal? a)20% b)10% c)60% d)40% e)30% Resolución Sabemos que: 2

A inicial = di = 100% +69%

Resolución Sea “N” el número total de personas. Mujeres: 30% N Hombres: 70% N Salen de paseo: Mujeres: 20 % del 30 % de N

A final = df 2 = df =

169 100

13 (100%) = 130% 10

Luego, la diagonal aumentó en: 130% - 100% = 30% Rpta.

2. Si cancha

a

la del

estadio Garcilaso se le disminuyó 20% de su ancho y 10% de su largo. ¿En qué porcentaje ha variado su área? a) 36% b) 28% c) 64% d) 4% e) 72% Resolución Área inicial = L � A = 100% �

Reso luci ón Llevando a porcentajes tenemos que:

1 (100%) = 5 1 Altura disminuye: (100%) 5 B�H Luego: A inicialD = = 10 2 Base aumento:

�

Área final =

c) disminuyó 4% d) disminuyó 8% e) no varía nada

90 80 � = 72% 100 100

\ Su área ha variado en: 100% - 72% = 28% Rpta.

3. Si la base de un triangulo aumentó en su quinta parte y su altura disminuyó en su quinta parte. ¿Aumenta o disminuye su área y en cuánto? a) aumentó en 2% b) aumentó en 16%

� A final D =

El área disminuyo en Rpta.

120 �80% = 100 4%

4. Si el 14% del área de un círculo es igual al 70% de la longitud de su circunferencia. ¿Cuál es su diámetro? a) 24 b) 16 c) 20 d) 12

e) 10

Resolución

Razonamiento Lógico

82

Para una circunferencia de radio “ r ” 2

Area d = r Longitud d = 2r Del dato:

14% ( r 2 ) = 70% ( 2r ) 14 70 .  . r .r = .2  r 100 100

14r = 140  r=10 Nos piden: Diámetro = 2(10) = 20 Rpta.

5. Si el área de un cuadrado ha disminuido 36%. ¿En qué porcentaje ha disminuido su lado? a) 30% b) 20% c) 10% d) 90% e) 80% Resolución A inicial A final

Lf =

2

= Li = 100% = Lf 2 =

64 100

8 (10 0 %) = 80% 10

A disminuido en 20% Rpta. 6. Si la base de un triángulo aumenta en 40% y su altura disminuye en 30% entonces su área:

a)Aumenta en 10% b)Aumenta en 4% c)Disminuye en 2% d)Disminuye en 4% e)Auemnto en 6%

Previamente convertimos a %: Largo aumenta: 2 (100 %) = 40% 5

d) 80% 82.5% Resolución

4 3 R 3 � � R R

V0 =

Ancho disminuye: 1 (100 %) = 20% 5

e)

R

�20% �20% �20% V

120 120 120 � � �V 100 100 100 A inicial = Largo(Ancho) = 100% Vfinal = 172,8% 140 Resolución A final = x80% = 112% � Aumento = 172,8% - 10 bh 100 Area inicial D = = 100% 72,8% Rpta. El (-) área 2 aumenta en 140 Area final D = x70% = 98% 12% 10. Si el área de Rpta. 100 un cuadrado Luego: aumenta en un 8. Si el área Ha disminuido: 44% ¿En qué de un círculo 2% Rpta. porcentaje disminuye en aumento su 19%. ¿En qué 7. Un diagonal? porcentaje ha ingeniero a) 10% b) disminuido su quiere renovar 40% c) 30% radio? la Plaza de d) 20% e) a) 10% b) Armas; para lo 15% 5% c) cual desea 20% aumentar su Resolución d) 30% e) largo en sus 2 90% d dos quintas Area Inicial= = 100% Resolución 2 partes y

disminuir su anchura en su quinta parte, ¿en qué porcentaje variará su área? a) 14% b) 12% c) 20% d) 10% e) 18% Resolución

Disminuye: Vi - Vf �100% Vi 10 - 9 �100% = 10 10%

Rpta.

9. Si el radio de una esfera aumenta en 20%. ¿En qué tanto por ciento aumentara su volumen? a) 70% b) 72.8% c) 78%

=

Area Final=df2 =

df =

144 100

12 (100%) = 120% 10

Luego aumento en 20% Rpta.

Razonamiento Lógico

83

11. Si el lado de un cuadrado se ____________ _ entonces su área se ____________ __. a) aumenta – mantiene b)

duplica – cuadruplica duplica – duplica

Para un círculo de radio “r” Se sabe:

o

Área = r

2

o

Longitud = 2r Del enunciado tenemos:

la variación porcentual no se considera. Por lo tanto, se puede pensar que la fórmula del área del triángulo es:

AV=l 60% Área = 80% Longitud

o

2

o

Resolución En la fórmula del área de un triángulo AV=

b �h 2

, el número “2” del denominador es constante, por lo tanto para efectos del cálculo de la variación porcentual no se considera.

Reemplazando El valores para el : nuevo: Lado: 120% h 60 80 2 .(r ) = .(2  r) 100 100 El cálculo para la 8 d) duplica – � r= 3 nueva área es: triplica Por lo2 tanto, se 2 Rpta. e) triplica – AV=(120%.l) =120%.120%.l puede pensar mantiene que la fórmula 13.En qué Utilizando el del área del porcentaje Resolución artificio: triángulo es: aumenta el 120 2 2 2 área de un � AV= .120 % l = 144% .lAV=b �h �A1 = L 1 ó L 2 = 2L 1 � � 100 triángulo 2 2 �A 2 = (2L 1) = 4L 1 equilátero, si Luego: A 2 = 4A1 Así, la variación su lado AV= 100% b �h Podemos del área del aumenta en afirmar que: triángulo 20%. Los valores para Si el lado de equilátero es: a) 41,2% b) la nueva: un cuadrado 71,6% se duplica Altura: 70% h c) Aumenta: entonces su Base: 130% b 36% 144% - 100% = área se d) 40% e) 44% Rpta. cuadruplica. El cálculo para la 62% nueva área es: 14. En qué 12. Si el 60% AV=130%b �70%h =130 Resolución porcentaje varía del área de un el área de un círculo es igual Utilizando el El área de un triángulo, si se al 80% de la artificio: triángulo conoce que su longitud de su 130 equilátero base se circunferencia. AV= .70% b �h = 2 100 incrementa en Hallar el radio. l 3 AV= 4 30% y su altura 8 4 Así, la 7 , disminuye en a) 3 b) variación del 30% 9 3 área del el número a) 1% b) c) 2 4 triángulo es: es constante, 2% c) d) 2 Disminuye en por lo tanto 3% e) 3 d) 8% e) para efectos 9% Resolución del cálculo de c)

Razonamiento Lógico

84

100% - 91% = 9%

Rpta.

Aumentos 1. ¿A qué descuento equivale los descuentos sucesivos del 20% ; 20% y 20% respectivamen te? a) 80,2% b) 48,8% c) 52,2% d) 62,8% e) 64,4% Resolución Al hacer un descuento del 20% de un total que es el 100% nos quedaría 80% esto se repite tres veces:

a) 68% 58% 60% d) 65% 55%

b) c) e)

Resolución Al hacer un aumento del 10% , 20% y 25% entonces las cantidades parciales se incrementaría n en 110% ; 120% y 125%

Queda:

aumentos sucesivos del 85 90 20% y 50%? � �(428 0 )=3274,2 14 2 43 100 1 0 0 b) Precio a) 72% 20 final 70% c) 30% d) 0% e) � Descuento = 28% Precio Inicial – Precio Final = 4280 - 3274,2 Resolución = 100 - 20 100 - 50 10 1 005,8 Rpta. � � . . 17

4. Luego de hacerle dos descuentos sucesivos del 110 120 20% 125 y 10%, un Incremento = . . . 100% 100 100 televisor 100 cuesta S/. 288. ¿Cuál 11(12)(125) era su precio Incremento = % = 165% 100 original? a) S/. 300 b) S/. A.U. = 165% - 100% = 320 c) S/. 400 d) S/. 350 e) S/. 65% Rpta. 450

3. Si un objeto cuesta S/. 4 280 y me hacen dos 80 80 80 descuentos Queda= . . . 100% 100 100 100 sucesivos del Queda=51,2% 15% y 10%, entonces, finalmente me Finalmente : descontarán: (en D.U. = 100% - 51,2% = soles) a) 1 008,5 b) 1 48,8% Rpta. 000,8 c)1 005,8 d) 1 322,4 e) 1 2. ¿A qué 233,5 aumento total equivalen los Resolución aumentos sucesivos del Descuento: 10% ; 20% y �15% �10% (4280) 123 25%?

Cantidad inicial

� � 100 100 1 80 50 120 150 ��� . 100 100 100 100

� 72% DU = 100% - 72% = 28%

Rpta.

6. A cierta cantidad se le disminuye el 13% y se obtiene 957. Resolución Hallar la cantidad Sea “x” el precio original original: a) 1 000 b) 1 20 �10 � 050 � c) 1 DU = � 20 + 10 % = 28% � 100 � 100 � d) 1 150 e) 1 Por dato: 200 (100% - 28%)x = 288 Resolución 72 x = 288 Si se 100 disminuye en x = S/. 400 Rpta. 13%, entonces queda: 5. ¿A qué aumento o 100% - 13% = descuento único 87% equivalen dos descuentos luego, el 87% sucesivos del de N es 957 20% y 50% seguido de dos

Razonamiento Lógico

85

87  N = 957 100 957  100 N= 87

N = 1 100 Rpta. 7. Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me queda, perdería 156 soles. ¿Cuántos soles tengo? a)2500 b)1500 c) 1300 d)3000 e)2400 Resolución Sea “C” cantidad inicial:

la

aumentos sucesivos del 10%, 10% y 10%. Si su sueldo inicialmente fue de S/.1 000, ¿cuál será su sueldo después de efectuarse los tres aumentos? a) S/. 1 331 b) S/. 1 002 c) S/. 1200 d) S/. 1 230 e) S/. 1300 Resolución Aumentos sucesivos: 10%, 10% y 10% Al hacer estos aumentos, implicaría obtener sucesiva y respectivamente los siguientes porcentajes:

133,1% - 100%= 33,1%

Se pide, cuanto es el sueldo actual (después de efectuar los aumentos sucesivos) Sueldo actual es el 133,1% del sueldo inicial Es decir:

c)se ganó 200 pesetas d)se perdió 200 000 pesetas e)se perdió 400 000 pesetas Resolución Cuando gana: 25% P

C2 133,1 (1 000) PV = PC 2 + Ganancia 100 125 3000000 = PC Sueldo actual: 100 1

133,1 % (1 000)=

S/. 1 331

Rpta.

PC1 = 2400000

Ganancia: 600000

Cuando pierde: Aplicaciones Comerciales

1. Dos televisores fueron �30% �28%C vendidos en 3 000 000 de Le queda: 110%, 110% y pesetas cada 70 128 � � C = 89,6%C 110% uno. Si en el 100 100 primero se Expresándolo ganó el 25% y Luego perdió: convenientemen en el segundo te: 10,4%C se perdió el Del dato: 25%, 110 110 10,4 . . 110% 110%.110%.110% = determinar si C = 156 100 100 100 hubo o no C = 1500 Rpta ganancia y Obtendría: . cuánto: 8. El sueldo de 133,1% a)no se ganó un empleado ni se perdió eficiente se ve b)se ganó 400 Por lo tanto: incrementado en 000 pesetas El aumento tres periodos único: mediante

25% PC2

PV = PC2 - Perdida 3000000 =

75 PC 100 2

PC 2 = 4000000 Pérdida:

1000000 Finalmente se perdió: 1000000 - 600000 = 400000 pts.

Rpt

a. 2.Un campesino vendió sus dos burros a S/. 910 cada uno. Si en el

86

primero gano el 30% y en el segundo perdió el 30%. ¿Gano o perdió y cuanto? a) Ganó S/. 150 b) Ganó S/. 180 c) Perdió S/. 180 d) Perdió S/. 160 e) No perdió ni ganó Resolución Por R3–Simple 1er burro: P.V : 910  130% G : x  30%

G : x = 210

2do burro: P.V : 910  70% P : y  30%

P : y = 390

Observa que: PG Luego perdió: 390 - 210 = 180 R pta. 3. Un artículo se vendió en 120 soles. Se ganó el 20% del costo, más el 15% de venta. ¿Cuántos soles costó

producir artículo? a) S/. 85 75 c) S/. d) S/. 80 100

dicho b) S/. 90 e) S/.

Resolución Se sabe que: Pv = Pc + Ganancia 120 = Pc + 20%Pc + 18

120 = 120%Pc + 18 102 =

120 Pc 100

Pc = S/. 85



Rpta.

4. Un comerciante vendió un objeto ganando el 15% del precio de venta siendo su costo de S/. 340. ¿En cuánto lo vendió? a) S/. 400 b) S/. 360 c) S/. 500 d) S/. 200 e) S/. 300 Resolución Se sabe PC = PV + Ganancia PV = 340 + 15%PV

85%PV = 340 PV = S /.400

Rpta. 5. Se vendió un artículo en 7840 dólares ganando el 12% del costo más el 15% del precio de venta. ¿Cuánto costó el artículo?

Razonamiento Lógico a)$ 500 b)$ 5500 c)$ 5950 d)$ 6500 e)$ 5800

Precio de venta del pantalón: S/. 27.50

Resolución Recordar que: PV = PC + Ganancia

Aplicando una regla de tres:

27,50 � 100% � x Ganancia 644 4 7 4 4 48 2,50 2,5 �100% PV = PC + 12%PC + 15%PV x= � 27,50 85%PV = 112%PC 85 9,10 % PC = PV 112 85 PC = (7840) Le 112 descontaron: PC = $ 5950 Rpt 9,1 % Rpta. a. 7.Un artículo que costó 600 6. A una ama soles se vendió de casa le haciendo un hacen un descuento del descuento S/. 20% y aún así se 2,50 por la ganó el 30%. compra de un Hallar el precio pantalón, si fijado. pagó S/. 25, a) S/. 7 750 ¿qué b) S/. 7 porcentaje le 760 descontaron c) S/. 7 780 aproximadame d) S/. 7 790 nte? e) S/. 900 a) 5,6 % b) 8 % c) Resolución 7,5 % d) 15,5 % P Costo = 600 e) 9,1 % Descuento = 2%( 600) = 12 Resolución Datos: Ganó = 30%( 600) = 180 Precio de compra: S/. 25 Precio de lista ó Descuento: S/. Precio fijado 2,50 Precio Costo

Ganancia

Descuento

PrecioVenta = PrecioCompra + Descuento

De lo anterior: PrecioVenta = 25 + 2,50 Pfijado = Pcosto + Ganancia

Razonamiento Lógico

87

Pfijado = 600 + 160 + 120 =

S/. 900

Rpta.

�

8.Jhon vendió un televisor en 8600 soles, ganando el 25% del 30% del precio de costo más el 15% del 20% del precio de venta. ¿Cuál fue el costo del artículo? a) S/. 7 750 b) S/. 7 760 c) S/. 7 780 d) S/. 7 790 e) S/. 900 Resolución G: Ganancia

PC = 7 760

El precio de costo del artículo:

9.Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría, perdería 156 soles ¿Cuánto tengo? a) S/. 1 600 b) S/. 1 500

Resolución …

Sea “x” lo que tengo inicialmente Si Gásto: 30% Reemplazando: x 1 3 3 �1 � 8600 = PC + � � �PC + � Me ( 8600) � � 4 10 20 5 � � quedaría 70% 3 8600 = PC + PC + 3( 86) x 40 43 Gano: 8600 = PC + 3( 86 ) 40 28%.70%.x (I)

� 1 PC + 6 40 PC = 194(40) 200 =

Tengo: S/. 1500

Rpta.

Reemplazando:

100%Pv - 30%Pv = 2 1 �

70%Pv = 2 100

70 Pv = 2 100 100 Pv = 3 000

�

El precio de venta del artículo:

Rpta.

c) S/. 1 800 d) S/. 1 400 G = 25% �30%(PC ) + 15% �20%(8600) e) S/. 1 700 PV = PC + G

�

S/. 7 760

Datos: PV = 8600

Utilizando:

10,4%.x = 156 104 x = 156 � 1000 x = 1500

10. Un artículo cuyo precio de costo es S/. 2 100 se vende ganando el 30% del precio de venta. ¿A qué precio se vendió? a) S/. 3 000 b) S/. 1 900 c) S/. 2 000 d) S/. 2 500 e) S/. 1 600 Resolución Como el problema nos habla de ganancia, reemplazaremos a través de la siguiente fórmula:

P v = Pc + G

Pierdo = Gasto - Gano P v = 2 100 + 30%P v

S/.3000

Rpta.

11.Cuál es el precio de lista de un artículo, si el costo del artículo es S/. 5 000 y la ganancia es el 20% del precio de costo, además el descuento fue el 40% del precio de lista. a) S/. 5 000 b) S/. 1 300 c) S/. 3 000 d) S/. 1 500 e) S/. 1 000 Resolución Datos: P c = S/. 5 000

G = 20%Pc (Ganancia) 20 G= (5000) 100 �

G = 1000

P v - 30%P v = 2 100 . 70%.x 15600 = 30%.x - 28%Como:

(Descuento)

P �100%P v 15600 = 30%.x - 19,6%.xv

Sabemos que:

D = 40%P L

88

G = 14%Pc + 5%Pv

Razonamiento Lógico

articuloconsiguie ndo un descuento del Luego: Reemplazamos: 30% del precio P L = 5000 + 1000 + 40%P L 4200 = 14%Pc + 5% �4200 de lista ¿Cuál es 95%de4200 = 114%Pc el porcentaje del 1 4 4 2 4 4 3 P L - 40%P L = 6 000 precio de venta, 95% � 4200 = 114%P con respecto al ( ) c Como: precio de lista si Pc = 3500 el comerciante P v �100%P v Rpta. gana el 20% del 13.Una precio de costo. persona a) 48 b) 80 100%P L - 40%P L = 6 000 pregunta en c) 84 � una tienda d) 94 e) 64 60%P L = 6 000 que descuento le pueden 60 Resolución: P L = 6000 hacer sobre el 100 precio de un PL = Preciodelista articulo y le � Pc = Precioaloquelocompróel responden que P L = 10 000 comerciante. 20% va a otra tienda y Pv = Precioaloquelo vendióel compra el El precio de comerciante. mismo articulo lista del con un artículo: Luego del descuento del S/. 10 000 enunciado: 15% Rpta. ahorrándose Pc = PL - 30%PL así 3500 soles 12. Se vendió Pc = 70%PL ............. ¿Cuánto un articulo en costaba el (1) 4200 soles, articulo? ganando el Pv = Pc + 20%Pc a) 70000 b) 14% del precio 40000 c) Pv = 120%Pc.............. de compra 50000 mas el 5% del (2) d) 30000 e) precio de N.A venta ¿Cuánto Reemplazando costo el (1) en (2) Resolución: articulo? Pv = 120% ( 70%PL ) a) 4500 b) v = 84%PL Ahorro = PINICIAL - PFINAL = P 3500 3500 Rpta. c) 2500 Ahorro = 80%Pc - 75%Pc = 3500 d) 3600 e) 5%Pc = 3500 PL = Pc + G + D

N.A

Resolución: Sabemos: Pv = Pc + G

Pv = 4200

Pc = 70000 Rpta. 14. Un comerciante compra un