4 Expresiones Fraccionarias 3t165k

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS. Definición. Se llama expresión algebraica fraccionaria o simplemente fracción algebraica, al cociente indicado de dos expresiones algebraicas enteras dadas en un cierto orden. También: Se denomina fracción algebraica a toda aquella expresión que tiene por lo menos una letra en el denominador. La primera expresión se llama numerador, la segunda denominador y ambas, términos de la fracción. Los siguientes ejemplos, son fracciones algebraicas:

Nota. El cociente indicado de que se hable en la definición anterior, es el valor numérico del dividendo por el valor numérico del divisor, para cada sistema de valores dados a sus letras, siempre que dichos valores no anulen al denominador, pues en tal caso ese cociente carecería de sentido. Siendo necesario para el estudio de las fracciones algebraicas daremos la siguiente: DEFINICIÓN. Se dice que dos fracciones algebraicas son iguales cuando lo son sus valores numéricos para cualquier sistema de valores dados a sus letras, siempre que dichos sistemas no anulen a sus denominadores. CAMBIOS DE SIGNO EN UNA FRACCIÓN 1) CUANDO NO HAY PRODUCTOS INDICADOS Se puede cambiar dos de sus tres signos y la fracción no se altera. Ejemplo:

2) CUANDO LA FRACCIÓN TIENE PRODUCTOS INDICADOS En toda fracción, si se cambia de signo a un número par de factores, la fracción no cambia de signo ; si se cambia de signo a un número impar de factores, la fracción sí cambia de signo.

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Ejemplo:

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS: Simplificar una fracción algebraica, significa encontrar otra fracción igual a la dada, cuyos términos sean de grado menor que los de la primera. Siendo las expresiones algebraicas números indeterminados, resulta que una fracción algebraica es una fracción numérica; luego se podrán dividir ambos términos de una fracción por una misma expresión entera, sin que por ello altere. Para simplificar una fracción algebraica bastará, pues, dividir ambos términos de la misma por un factor común, o lo que es lo mismo, suprimir dicho factor común.

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La observación de este ejemplo y la consideración de que en cualquier otro caso se procedería de la misma manera, nos permiten dar la siguiente:

REGLA. Para simplificar una fracción algebraica, se descomponen sus términos en sus factores primos y se suprimen los factores comunes al numerador y denominador.

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REDUCCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS A COMÚN DENOMINADOR. DEFINICIÓN: Reducir varias fracciones a común denominador, es encontrar otras fracciones que siendo respectivamente iguales a las dadas tengan el mismo denominador. Teniendo en cuenta que las fracciones algebraicas son fracciones numéricas , y que por lo tanto se puede multiplicar ambos términos de una de ellas por una misma expresión entera sin que altere, resulta que podrán reducirse las fracciones algebraicas a común denominador siguiendo el mismo procedimiento que para las fracciones numéricas, es decir, aplicando la siguiente: REGLA. Para reducir varias fracciones a común denominador se multiplican los términos de cada una de ellas por el producto de ¡os denominadores de todas las otras.

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APLICACIONES. 1) Reducir a común denominador las fracciones

RESTA DE EXPRESIONES FRACCIONARIAS. Distinguiremos como en la suma de fracciones algebraicas, dos casos, según que se trate de restar fracciones de igual o de distinto denominador:

ler. CASO. Las fracciones tienen igual denominador. Como con las fracciones algebraicas puede operarse de la misma manera que con las fracciones numéricas, por las razones antes mencionadas, resulta aplicable la regla de la resta de fracciones numéricas que se enunciará ahora así: REGLA. Para restar dos fracciones algebraicas del mismo denominador se forma otra fracción algebraica de igual denominador cuyo numerador sea la diferencia entre el numerador del minuendo y el del sustraendo. Aplicaciones: Ejemplo I) Hallar la diferencia entre

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2do. CASO. Las fracciones tienen distinto denominador. El mismo razonamiento hecho al tratar el primer caso nos permite enunciar la siguiente: REGLA. Para restar dos fracciones algebraicas de distinto denominador se las reduce a común denominador, y se procede como en el caso anterior. NOTA. Como para reducir fracciones a común denominador pueden emplearse dos métodos, resultan también dos procedimientos para restar fracciones algebraicas de distinto denominador, mediante los cuales se obtiene el mismo resultado en virtud de la propiedad uniforme de la sustracción. Se prefiere, sin embargo, reducir las fracciones a mínimo común denominador, para operar con expresiones de menor grado.

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SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES. En las combinaciones de sumas y restas de fracciones algebraicas se procede de acuerdo con las reglas dadas para la suma y resta de dichas fracciones.

y multiplicando ambos términos por 12 (*) para hacer desaparecer los números fraccionarios del numerador da

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(*) Como los coeficientes de los monomios que figuran en los denominadores de las fracciones dadas son números naturales, en la práctica se suele tomar como denominador común de las fracciones al producto 12 x, de su mínimo común denominador por el m.c.m. de estos coeficientes, para no operar con números fraccionarios. Multiplicación de expresiones fraccionarias. Teniendo en cuenta lo dicho sobre la validez de las reglas operativas de las fracciones numéricas para las fracciones algebraicas resulta justificada la siguiente: REGLA. Para hallar el producto de varías fracciones algebraicas; se forma otra fracción algebraica que tenga por numerador al producto de ¡os numeradores de las fracciones dadas, y por denominador al producto de los denominadores.

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El procedimiento seguido en el ejemplo anterior nos permite hacer la siguiente: OBSERVACIÓN.

Indicados los productos de los numeradores y denominadores se hacen todas las

simplificaciones posibles para la cual se descomponen ambos en sus factores primos. NOTA.

En la práctica para multiplicar fracciones se escriben los productos de los numeradores y

denominadores entre sí, previamente descompuestos en sus factores primos, para facilitar la simplificación. Aplicaciones: Ejemplo I) Hallar el producto de

DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

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Como la regla de la división de fracciones numéricas es aplicable a la de la división de fracciones algebraicas, podemos dar para estas últimas la siguiente: REGLA. El cociente de dos fracciones algebraicas se obtiene multiplicando la fracción dividendo por la fracción divisor invertida. Sean a/b y c/d dos números racionales; el cociente de estos dos números a/b: c/d es otro número racional que tiene por numerador el número a.d y por denominador el número b. c.

Recordemos que: Una fracción es exacta cuando en la división aparece un resto parcial nulo, como en las fracciones (a) y (b). Una fracción es periódica pura cuando las cifras del cociente se repiten en bloques

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iguales empezando después de la coma, como en las fracciones (c) y (d). Una fracción es periódica mixta cuando las cifras del cociente se repiten en bloques iguales, pero no desde la coma, como en las fracciones (e) y (f). Estas tres formas decimales son las únicas que aparecen al calcular la expresión decimal de un número racional. Además todo número decimal de una de estas tres formas es la expresión decimal de un número racional. 1/2 = 0,5000..; 1/4 0,25000..; 1/3 =0,33333 ..; 4/11 = 0,363636...; 1/6 =0,16666..; 45/22 =12,04545 ...

EJERCICIOS DE LAS CUATRO OPERACIONES COMBINADAS. EJEMPLO 1) Efectuar la siguiente operación:

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Reducir las fracciones siguientes a común y a mínimo común denominador

Suma y resta de fracciones Ejercicios con denominadores numéricos

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Multiplicación de fracciones. Hallar los productos siguientes:

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DIVISIÓN DE FRACCIONES Hallar los cocientes siguientes . Fracciones cuyos términos son monomios.

Fracciones cuyos términos son binomios o trinomios .

División de sumas o diferencias de fracciones.

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