3 - Bahan Ajar Matriks 5z694p

BAHAN AJAR MATEMATIKA Satuan Pendidikan

: SMA Negeri 36 Jakarta

Mata Pelajaran

: Matematika

Kelas/Semester

: XI (Sepuluh)/1 (Ganjil)

Materi Pokok

: Determinan dan Invers Matriks

Alokasi Waktu

: 2 x 45 menit

KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR Kompetensi Dasar 2.1 Memiliki

motivasi

kemampuan konsisten,

Indikator Pencapaian Kompetensi internal, 2.1.1

bekerja sikap

sama,

disiplin,

Menunjukkan

sikap

disiplin

dalam

melaksanakan tugas atau menyelesaikan

rasa

masalah yang diberikan oleh guru

percaya diri, dan sikap toleransi 2.1.2 Menunjukkan sikap bertanggung jawab dalam perbedaan strategi berpikir

dalam

dalam memilih dan menerapkan

menyelesaikan masalah yang diberikan

strategi menyelesaikan masalah.

oleh guru

3.6 Menganalisis sifat-sifat determinan 3.6.1

dan invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3

melaksanakan

tugas

atau

Menyatakan determinan matriks ordo 2 x 2 dan 3 x 3.

3.6.2

Menyatakan Invers matriks ordo 2 x 2 dan 3 x 3.

4.6 Menyelesaikan

masalah

yang 4.6.1 Menyajikan model matematika dari suatu

berkaitan dengan determinan dan

masalah nyata yang berkaitan dengan

invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 ×

determinan matriks.

3.

4.6.2 Menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata yang berkaitan dengan invers matriks.

Bahan Ajar Matematika - Determinan dan Invers Matriks.

1

Determinan, Ad dan Invers Matriks a. Determinan Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang disebut determinan. Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A) atau |A| Yang diartikan dengan sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari suatu matriks A adalah sebuah hasil perkalian elementer pada suatu kolom dengan +1 atau -1. Untuk mengetahui tanda +1 atau -1dalam menentukan determinan suatu matriks yaitu dengan menggunakan permutasi sesuai besar peringkat matriks tersebut dan ada atau tidaknya invers pada hasil permutasi peringkat matriks tersebut. Invers terjadi pada suatu permutasi jika terdapat bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil pada kolom. Jika banyak invers genap dan nol maka tanda +1 dan jika banyak invers ganjil maka tanda -1.

1. Determinan untuk ordo 2x2 maka bentuk matriks seperti ini :

[

𝑎11 𝑎12 ] permutasi dari bilangan bulat 1 dan 2 diambil bersama adalah 2! = 2 yaitu 1 2 𝑎21 𝑎22

dan 2 1 (untuk kolom) sedangkan baris menjadi patokan dan selalu berurut. Sehingga determinan dari matriks berordo 2x2 adalah +1(a11.a22)-1(a12.a21) = a11.a22 – a12.a21. jika matriks dalam bentuk [

𝑎 𝑐

𝑏 ] 𝑑

maka untuk mencari determinannya lebih dikenal dengan

bentuk ad – bc. Contoh: 2 Jika matriks A = [ 4

1 ] maka det (A) = |A| = (2x3) – (1x4) = 6 – 4 = 2 3

2. Determinan untuk ordo 3x3 𝑎11 Maka bentuk matriks seperti [𝑎21 𝑎31

𝑎12 𝑎13 𝑎22 𝑎23], permutasi dari bilangan bulat 1, 2 dan 𝑎32 𝑎33

3 diambil bersama adalah 3! = 6 yaitu 123, 132, 213, 231, 312, dan 321 (untuk kolom) sedangkan baris menjadi patokan dan selalu berurut. Sehingga determinan dari matriks berordo 3x3 adalah +1(a11.a22.a33)-1(a11.a23.a32)-1(a12.a21.a31)+1(a12.a23.a31)+1(a13.a21.a32)1(a13.a22.a31).

Bahan Ajar Matematika - Determinan dan Invers Matriks.

2

Untuk mempermudah dalam mencari determinan maka berlaku :

a) Metode Sarrus 𝑎 Misal matriks A = [𝑑 𝑔 -

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑎 𝑓] 𝑑 𝑖 𝑔

𝑏 𝑒 ℎ

+

+

- -

+

Maka |A| = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi. Cara ini hanya berlaku pada matriks berordo 3x3. 1 2 Contoh: D = [3 1 1 2

2 2] 3

1 Maka det (D) = |D| adalah [3 1

2 2 1 2 1 2] 3 1 2 3 1 2

|D| = (1x1x3) + (2x2x1) + (2x3x2) – (2x1x1) – (1x2x2) – (2x3x3) = 3 + 4 + 12 – 2 – 4 – 12 = 0

b) Metode Minor dan Kofaktor Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-j. Contoh: 1 2 1 A= [0 2 1] maka : 2 0 2 1 2 1 2 M11 = [0 2 1] =[ 0 2 0 2 1 2 1 0 M12 = [0 2 1] = [ 2 2 0 2 1 2 1 0 M13 = [0 2 1] = [ 2 2 0 2

1 ] 2 1 ] 2 2 ] 0

M11, M12 dan M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks A. Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan dengan α ij = (-1)i+j |Mij|, dari matriks A tersebut kofaktor a11 dilambangkan dengan α11 yaitu (-1)i+j |Mij|

Bahan Ajar Matematika - Determinan dan Invers Matriks.

3

Untuk mencari det(A) dengan metode minor dan kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke-1atau kolom ke-1. Sehingga Contoh : 1 2 1 H = [0 2 1 ], untuk mencari |H| dengan metode minor dan kofaktor adalah harus 2 0 2 mencari determinan minornya terlebih dahulu yang diperoleh dari ekspansi baris ke-1, yaitu det(M11), det(M12), det(M13), maka, |M11| = (2x2)-(1x0) = 4 |M12| = (0x2)-(1x2) = -2 |M13| = (0x0)-(2x2) = -4 |H| = h11α11 + h12α12 + h13α13 = h11.(-1)1+1|M11| + h12.(-1)1+2|M12| + h13.(-1)1+3|M13| = (1.4) + (2.(-1.-2)) + (1.-4) =4+4–4=4

b. Ad matriks Adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj A = (αij)T Contoh 1 2 1 H = [0 2 1 ] kita telah mengetahui sebelumnya α11= 4, α12= 2, 2 0 2 α13= -4, 2 α21= (-1)2+1 | 0 1 α23= (-1)2+3| 2 1 α32= (-1)3+2 | 0

1 1 | = -4, α22= (-1)2+2 | 2 2 2 2 | = 4 , α31= (-1)3+1 | 0 2 1 1 | = -1, α33= (-1)3+3 | 1 0 𝛼11 𝛼21 𝛼31 4 maka adj H = [𝛼12 𝛼22 𝛼32] = [ 2 𝛼13 𝛼23 𝛼33 −4

1 | =0 2 1 |=0 1 2 |=2 2 −4 0 0 −1] 4 2

Bahan Ajar Matematika - Determinan dan Invers Matriks.

4

c. Invers Matriks Jika A dan B matriks persegi nxn sedemikian hingga AB=BA=I, B disebut invers A (B=A -1) dan A disebut invers B (A=B-1) sehingga berlaku A A-1= A-1A=I, I adalah identitas. 1

Invers matriks A dirumuskan A-1 = |A|. Adj(A) Pembuktian : Misal matriks 2x2, matriks A= [

𝑥 𝑏 ] dan misalkan invers matriks A adalah A-1= [ 𝑢 𝑑

𝑎 𝑐

𝑦 ]. 𝑣

Berdasarkan pengertian invers matriks, maka berlaku AA-1=I, dengan I matriks identitas. 1 0 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 ][ ]= [ ] 0 1 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑎𝑥 + 𝑏𝑢 𝑎𝑦 + 𝑏𝑣 1 [ ]= [ 𝑐𝑥 + 𝑑𝑢 𝑐𝑦 + 𝑑𝑣 0 [

0 ] 1

Berdasarkan kesamaan matriks maka diperoleh: ax + bu = 1

(1)

cx + du = 0

(2)

ay + bv = 0

(3)

cy + dv = 1

(4)

dari persamaan-persamaan dilakukan eleminasi untuk menentukan nilai x, y, u, dan v. ax + bu = 1 xd

adx + bdu = d

cx + du = 0 xb

bcx + bdu = 0 adx – bcx = d x(ad-bc) = d 𝑑

x = 𝑎𝑑−𝑏𝑐 −𝑐

substitusikan x pada persamaan (2), sehingga diperoleh u =𝑎𝑑−𝑏𝑐, dengan cara yang sama seperti diatas, akan diperoleh juga y = 𝑑

−𝑏

[𝑎𝑑−𝑏𝑐 −𝑐

𝑎𝑑−𝑏𝑐 𝑎 ]

𝑎𝑑−𝑏𝑐

𝑎𝑑−𝑏𝑐

−𝑏 𝑎𝑑−𝑏𝑐

, dan v=

−𝑏 ], dengan ad-bc≠0 𝑎 1 𝑎 𝑏 𝑑 Maka invers matriks A=[ ]adalah A-1= 𝑎𝑑−𝑏𝑐 [ 𝑐 𝑑 −𝑐

𝑎 𝑎𝑑−𝑏𝑐

. Dengan demikian A-1=

1 𝑑 = 𝑎𝑑−𝑏𝑐 [ −𝑐

−𝑏 ] 𝑎

1

Sehingga rumus invers matriks adalah A-1 = |A|. Adj(A)

Bahan Ajar Matematika - Determinan dan Invers Matriks.

5

SOAL MATRIKS 1. Diketahui matriks A dan B berordo 3x3  6 2 3  x xy yz     A1 1 0  dan B  a b b 2 c z  1 0 1  x e ef    d y 

Jika A = B, tentukan nilai a,b,c,d,e,f,x,y dan z. 2. Diketahui matriks P dan Q yang berordo 2x2 2 x  y 3 x   7 4 3 3 t    P   dan Q x  2y  Jika P  Q , tentukan x  y .  2 y x  y 1     12 43          dan B  3. Ditentukan matriks-matriks A , carilah matriks     34 21     a.

2A

b. -2B

c.

2 (A+B) 5

d. (5A-2B)t

4. Jika H adalah matriks berordo 3x3, tentukan matriks H dari persamaan berikut: 35  3 815 2         10 4  5 H   11   4 20      6 78 1 2 12    

5. Tentukan hasil perkalian matriks berikut: a.

2 1 3   25 4  

 3 4  

4 8 9 2 3     b. 1 6 49 7 3 6 44 3    6 3   2 3  c.  3 6    2 1 4 5  

1 2  4 1 3 0 6. Ditentukan matriks-matriks P  3 5 , Q 5 6   dan R  5 3 . Carilah       t t t ( QR ), ( PQ ) R , ( PQ ) dan P Q matriks P

7. Selesaikan setiap persamaan berikut:

Bahan Ajar Matematika - Determinan dan Invers Matriks.

6

9 2 5 x          a.  6       7 5  y   

x y   12 0 51     2  1    b.      3 14 126      z 4  

1 2 2 3 4 A 8. Ditentukan matriks A . 0 1 . Carilah matriks A , A,dan  

1 9. Jika A = [ 2

3 ] dan I, matriks satuan ordo dua, maka A2 - 2A + I adalah 4 1 2 10. Diketahui matriks A = [ ] dan matriks Identitas. Tentukan nilai x supaya matriks A - xI 4 3 merupakan matriks singular! 𝑥+𝑦 11. Diket A = [ 𝑦

𝑥 1 𝑥 − 𝑦] B = [−2𝑦

1

−2 𝑥 ] , jika At =B. tentukan nilai x? 3

12. Tentukan determinan dari : 16 A=[ 16

−5 ] −5

2 B=[0 24

9 16 0 0] 16 8

Bahan Ajar Matematika - Determinan dan Invers Matriks.

7