19 - Areas De Regiones Circulares 495c3u

GEOMETRÍA

ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES

CÍRCULO Definición.- Se denomina círculo a la unión de una circunferencia con el interior.

C C C  Int(C )

O C

CÍRCULO Teorema.- El área de una círculo de longitud de radio R es igual a R2.

C O

S R

S  R2

SECTOR CIRCULAR Definición.- Se denomina sector circular a la parte de un circulo determinado por un ángulo central de la circunferencia y el arco correspondiente.

A C O B

SECTOR CIRCULAR Teorema.- El área de una sector circular de longitud de radio R y cuyo arco correspondiente mide  es igual a    2   R .  360  A

R O

S

B



   2 S  R  360 

CORONA CIRCULAR Definición.- Se denomina corona circular a la región plana determinada por dos circunferencias concéntricas.

C1 O

C2

CORONA CIRCULAR Teorema.- El área de una corona circular determinado por dos circunferencias de longitudes de radios R y r es igual a (R2r2).

R O r

S

S   R2  r 2 

TRAPECIO CIRCULAR Definición.- Se denomina trapecio circular a la parte de una corona circular determinado por un ángulo central y los arcos correspondientes.

A

C1

D O

C2

C B

TRAPECIO CIRCULAR Teorema.- El área de un trapecio circular cuyo ángulo central mide  y longitudes de radio R y r es igual a     R2  r 2 .    360 

A D r R

O

S

C B

    2 2 S  R r  360 

SEGMENTO CIRCULAR Definición.- Se denomina segmento circular a la parte de un circulo determinado por una cuerda de la circunferencia correspondiente.

A

C O

B

SEGMENTO CIRCULAR Teorema.- El área de un segmento circular menor cuyo arco correspondiente mide  y longitud de radio R es igual a    2 1 2   R  R sen. 2  360 

A R O

S  B

   2 1 2 S  R  R sen 2  360 

FAJA CIRCULAR Definición.- Se denomina faja circular a la parte de un círculo determinado por dos cuerdas paralelas

C B

A O D

C

FAJA CIRCULAR Teorema.- El área de una faja circular que contiene al centro de la circunferencia determinado por dos cuerdas paralelas cuyos arcos menores correspondientes miden  y , y de longitud de radio R es igual a  1      R2  1 R 2  sen  sen  360  2 

 B

A S R

  2 1 2 S  1  R  R sen  sen  360  2 

O D

C 

LÚNULAS Y HOJAS CIRCULARES

LÚNULAS Definición.- Se denomina lúnulas a las regiones planas no convexas determinadas por dos circunferencias secantes.

C1

C2

HOJA CIRCULAR Definición.- Se denomina hoja circular a la región plana convexa determinada por dos circunferencias congruentes secantes entre si.

C1

C2

LÚNULAS DE HIPOCRATES Teorema.- El área de una región triangular determinado por un triángulo rectángulo es igual a la suma de las lúnulas determinadas por las semicircunferencias que tiene como diámetro a los lados del triángulo.

S1

B S2

A

C

S ABC  S1  S2

PROBLEMAS

PROBLEMA 1 Dos circunferencias C1 y C2 son exteriores, se traza la recta tangente común exterior a C1 y C2 en los puntos A y C, las rectas tangentes a C2 y C1 trazados por A y C se intersecan en el punto B. Si los radios de las circunferencias C1 y C2 miden 3u y 6u, entonces el área del círculo inscrito en el triángulo ABC es A)  D) 4

B) 2

C) 3 E) 6

PROBLEMA 2 Dada dos circunferencias concéntricas, se traza una cuerda en la circunferencia mayor de 12u de longitud tal que la circunferencia menor triseca a dicha cuerda. Calcule el área (en u²) de la corona circular determinada. A) 16 D) 36

B) 26

C) 32 E) 46

PROBLEMA 3 En una semicircunferencia de diámetro AB se ubican los puntos consecutivos P, Q y T tal que AP=QT y PQ=TB. Si AB=2R y mAP=2mPQ, entonces el área de la región limitada por PB, QT y los arcos PQ y TB es R2 A) 3 2  R D) 2

R2 B) 4

R2 C) 6 2  R E) 5

PROBLEMA 4 En una circunferencia de longitud de radio R, se trazan los diámetros perpendiculares AB y CD, con centro en D se traza el arco AB. Calcule el área de la región limitada entre los arcos ACB y AB. A) R2

3R2 D) 2

R2 B) 8

R2 C) 4 R2 E) 5

PROBLEMA 5 Un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia y tiene dos ángulos opuestos congruentes, se trazan semicircunferencias con diámetros en los lados del cuadrilátero tal que la suma de las áreas de las lúnulas determinadas es igual a 100 u2. ¿Cuál es el área (en u2) de la región cuadrangular ABCD? A) 50 D) 150

B) 75

C) 100 E) 200