1 Laboratorio Mediciones E Incertidumbre 454b2j

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MEDICIONES E INCERTIDUMBRES 1. OBJETIVOS:  Utilizar adecuadamente la balanza, cronómetro, cinta métrica, vernier y el micrómetro.  Efectuar mediciones directas y mediciones indirectas.  Aplicar el cálculo de errores a mediciones directas e indirectas. 2. FUNDAMENTO TEÓRICO: 2.1. Medición: La medida de una magnitud física desconocida exige compararla con cierto valor unitario de la misma magnitud física, la cual será nuestra unidad estándar o referencia. Así, al medir la magnitud M, obtenemos el número X que satisface la relación:

donde u es la unidad de medida arbitraria, fijada convencionalmente y de la misma naturaleza que la magnitud M. 2.1.1. Expresión general de la medición: Cuando se mide una sola vez, el resultado de la medición se expresa como:

: Valor leído en el instrumento. : Error absoluto o incertidumbre. Cuando se miden varias veces, hasta

, el resultado de la medición se expresa como: ̅

̅

̅ : Valor probable (media aritmética). ̅ : Error absoluto de las mediciones (desviación media absoluta). Cuando se miden varias veces, hasta

, el resultado de la medición se expresa como: ̅

̅

̅ : Valor probable (media aritmética). ̅ : Error absoluto de las mediciones (incertidumbre estándar).

2.1.2. Clases de Mediciones: Medición directa: Es aquella que se obtiene directamente por observación al hacer uso del instrumento de medida. Por ejemplo: La determinación de la altura de una persona utilizando una cinta métrica. La medida de la temperatura ambiente usando un termómetro.

Medición indirecta: Es aquella que se obtiene como resultado de utilizar fórmulas matemáticas y magnitudes físicas derivadas que son función de una serie de medidas directas, por ejemplo: para hallar el área de ) obtenemos su un triángulo medimos su base y su altura, luego, usando la formula ( área, con lo que hemos realizado una medición indirecta, entonces:

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(

)

2.1.3. Exactitud y precisión de una medida: Precisión: Es el grado de concordancia entre valores de la cantidad obtenida por mediciones repetidas de una cantidad, en condiciones específicas. Exactitud: Es el grado de concordancia entre un valor de cantidad obtenida por la medida y el valor verdadero del medido. Si los errores estadísticos son pequeños se dice que el experimento o cálculo es de alta precisión.

2.2. Teoría de Errores: Se llama error absoluto a la diferencia entre el valor de una medición y el valor esperado (verdadero o ideal cualitativamente). Si es el valor verdadero de la magnitud y ̃ es el valor de una medición, el error absoluto será: |

̃|

Cuantitativamente, la denominamos incertidumbre, la cual se puede expresar de diversas maneras, siendo las más usuales la desviación estándar, la desviación promedio, etc. 2.2.1. Clases de error: A. Error Sistemático: Son aquellos que se repiten constantemente en cada medición realizada. Los errores sistemáticos son evitables, se puede disminuir con la mejora de los instrumentos o cambios de métodos y procedimientos. Errores asociados a la calibración del instrumento:  Instrumentos mal graduados  Instrumentos descalibrados.  Instrumentos deteriorados Errores asociados a la imperfección del método de medida:  Utilizar un método o procedimiento no adecuado. B. Error Accidental o aleatorio Son variaciones de valor y signo que se presentan cuando se realizan mediciones de la misma magnitud y en las mismas condiciones. Errores asociados a la persona:    

Falta de experiencia en el manejo de instrumentos. Mala posición en la lectura o paralaje. Fatiga Posición inadecuada del instrumento.

Estos errores son inevitables, podemos disminuir repitiendo la medición el mayor número posible de veces.

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2.3. Cálculo de error en una sola medida: Cuando se realiza una sola medición, ¿cómo evaluamos el error cuando se realiza una sola medición? En este caso, el error absoluto se puede considerar de la siguiente manera: a) Si el instrumento es analógico: ± mitad de la mínima división de la escala del instrumento. Medición de la Fuerza Aproximación: 2 N F = 1 N b) Si el instrumento es digital: ± la mínima división de la escala del instrumento. Medición de la Corriente Eléctrica

154,89

Aproximación: 0,01 mA

mA

I = 0,01 mA 2.4. Tratamiento estadístico de las muestras: Sabemos que la expresión general de la medición es: ̅

̅

De donde tenemos: 2.4.1. Valor Medio o Promedio ( ̅ ): Dado un conjunto de n mediciones experimentales, el valor medio o promedio se define de la siguiente manera: ∑

̅

( )

∑

( )

: Cada una de las mediciones realizadas (i = 1, 2, 3,…, n).

2.4.2. Desviación (

): Diferencia entre un valor cualquiera y su valor medio, en valor absoluto. ̅|

|

( )

2.4.3. Desviación Media Absoluta ( ̅ ): Es el promedio de todas las desviaciones de las mediciones, para . ̅

|

̅|

̅|

|

̅|

|

∑

2.4.4. Desviación Típica o Desviación Estándar ( limitado. ( √

̅)

(

̅)

(

̅)

3

|

̅|

∑

( )

): Para una muestra de datos de tamaño

∑ √

(

̅)

∑ √

(

)

( )

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2.4.5. Incertidumbre Estándar ( ̅ ): Representa el error total de la medición. ̅

∑ √

√

̅)

( (

( )

)

2.4.6. Error relativo (ER): Representa el error por cada unidad de medición. ̅ ̅

̅ ̅

( )

2.4.7. Error relativo porcentual (ERP): Representa el error por cada 100 unidades. (

)

( )

2.5. Exactitud y precisión: La exactitud está relacionada con el error sistemático y la precisión con el error aleatorio. Los resultados de las mediciones se expresan mediante un valor promedio seguido de ± un factor de precisión. Por ejemplo, si el largo del texto de Física Experimental se expresa como: (

)

Significa que el valor medio de las mediciones es 29,2 cm y que la dispersión de las mediciones están entre los valores (29,2 – 0,1) cm = 29,1 cm y (29,2 + 0,1) cm = 29,3 cm. 2.6. Estadística de errores en medidas indirectas: La medida indirecta también está afectada de error debido a la propagación de los errores de las magnitudes directas que están relacionadas con la magnitud a medir. A fin de demostrar como dichas incertidumbres afectan al resultado de un análisis, suponemos que un resultado depende de las variables cada una de las cuales fluctúa de forma aleatoria e independiente. Esto es, es una función de de tal manera que se puede escribir. (

)

( )

La incertidumbre (desviación respecto de la media) de la i-ésima medida de dependerá del tamaño y signo de las correspondientes incertidumbres y puede escribirse: (

)

(

)

La variación de en función de las incertidumbres de puede deducirse teniendo en cuenta la derivada parcial de con respecto a cada una de las variables es decir. |

|

|

|

|

(

|

)

Para un caso particular, sea M una cantidad que se mide indirectamente, cuyo valor promedio se obtiene usando la fórmula genérica: (

)

( ), siendo k, a, b, c constantes de la fórmula Es decir promedios de las cantidades x, y, z que se miden directamente. 4

,

,

son los

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El error absoluto

se obtiene usando diferenciales:

( Donde

,

,y

)

(

)

son los errores absolutos de las mediciones directas de x, y, y z.

El error relativo se determina con la fórmula usual: (

)

Y combinando la fórmula anterior con las expresiones obtenidas en (12) y (13), se obtiene (

)

Aplicación.- Si y son los valores medios del diámetro y altura,el volumen promedio de un cilindro, se obtiene aplicando la fórmula: (

)

Los errores absoluto y porcentual, por medio de las fórmulas: (

)

( (

(

)

)

)

El calibrador Vernier o pie de rey: Es un instrumento apropiado para medir pequeñas longitudes, especialmente diámetros internos, externos o profundidades. Consta de una regla fija donde va grabada la escala principal y una regla móvil que es el cursor o vernier. Supongamos que, con un vernier cuya escala principal está graduada en mm, se desea medir la longitud de un objeto.

Figura 1: Lectura del Vernier correcta.

El micrómetro o calibre Palmer: Instrumento de medición que se utiliza para valorar el tamaño de un objeto con gran precisión, en un rango del orden de 0,01 mm ó 0,001 mm (micra). En la figura 2-b, la medida está en la parte superior de 5 mm, y en la parte inferior 0,5 mm. A su vez, en el tambor móvil, la división 28 coincide con la línea central longitudinal. Así, la medida es:

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(a)

(b)

Figura 2:(a) Partes del micrómetro; (b) Micrómetro indicando una medida aprox. de 5,78 mm.

3. MATERIALES E INSTRUMENTOS:  01 cilindro con cancho  01 Cronómetro  01 Pabilo

 01 Regla de metal graduada en mm  01 Vernier o pie de rey  01 Soporte universal con unión de nuez

Figura 3: Cilindro con gancho.

Figura 4: Cronómetro.

4. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL: 4.1. Datos Experimentales: a) Medición Directa: Periodo del Péndulo Simple  Disponer del péndulo simple (Figura 3).  Haga oscilar el péndulo con una amplitud pequeña (no mayor de 15º) y mida el tiempo de 10 oscilaciones con el cronómetro.  Registra el valor de los tiempos ( ) en la tabla 1.  Calcula el periodo ( ) de las oscilaciones. Para esto, divida el tiempo ( ) de las oscilaciones entre 10 para obtener .

 Registra el valor de los periodos en la tabla 1.  Repita esta operación 10 veces.

Figura 3: Sistema de péndulo simple.

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Tabla 1: Valores del periodo del péndulo

N

1

2

3

4

5

6

7

8

t (s) T (s)

b) Medición Indirecta: Volumen de un paralelepípedo  Utilizar el bloque de madera que le proporcionara el docente del curso.  Mida con el vernier el largo ( ), el ancho ( ) y la altura ( ) del bloque.  Registra los datos en la tabla 2.  Registra el valor de error absoluto para cada variable en la tabla 2. Tabla 2: Dimensiones del paralelepípedo. (cm)

(cm)

(cm)

(cm)

(cm)

(cm)

4.2. Procesamiento de Datos: a) Medición Directa: Periodo del Péndulo Simple  Con los datos de la Tabla 1, completar la Tabla 3: Tabla 3: Tabla Estadística para medidas directas. N

(s)

(s)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑ Prom.

 Considera como medidas directas y calcula los siguientes valores: a) Periodo Promedio b) Error absoluto del periodo: c) Error relativo: d) Error relativo porcentual:

7

9

10

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e) Resultado de la medición: b) Medición Indirecta: Volumen de un cilindro  Con los datos de la tabla 2, calcula los siguientes valores: a) Volumen Promedio b) Error absoluto del Volumen: c) Error relativo: d) Error relativo porcentual: e) Resultado de la medición: 5. RESULTADOS: a) Medición Directa del periodo del péndulo: (s)

Resultado de la medición

(s)

b) Medición Indirecta del volumen del cilindro: (cm3)

(cm3)

Resultado de la medición

6. CONCLUSIONES DEL LABORATORIO: a) ¿Se puede disminuir el error de una medición poniendo más interés y predisposición? ¿Por qué? b) ¿Qué objetivo de la práctica se está cumpliendo al hacer esto? ¿Por qué? c) ¿Qué hubiera hacho para hallar el Error relativo en el periodo si hubieran sido 40 datos? d) ¿Por qué no es posible obtener el valor verdadero en la medición de una magnitud física? e) ¿Cuál es la ventaja y desventaja entre el calibrador vernier y el calibrador palmer? f) ¿Cuál es el significado del signo que se coloca en el resultado de una medición? Un ejemplo. 7. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA: [1] Raymond A. Serway; Física Tomo I; Editorial McGraw–Hill. [2] Tipler Mosca; Física para la ciencia y la tecnología Vol. I; Editorial Reverte. [3] Semyon G. Rabinovich; Medida de errores e incertidumbre; Editorial Springer. [4] BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML; Vocabulario internacional de términos básicos y generales de metrología; Organización Internacional para la estandarización. [5] D. A. Skoog, F. J. Holler, T. A. Nieman; Principios de Análisis Instrumental; Editorial McGraw– Hill.

[6] Miguel Ángel Hidalgo Moreno; Laboratorio de Física; Editorial PEARSON EDUCACIÓN.

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