Variables Aleatorias Discretas Y Sus Distribuciones De Probabilidad Jhon Clase vn13

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y SUS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Una variable estadística es una característica (cualitativa o cuantitativa) que se mide u observa en una población. Si la población es aleatoria y la característica es cuantitativa la variable estadística es denominada variable aleatoria. Variable Aleatoria.- Es un variable estadística cuantitativa definida en un espacio muestral. (Ω) Una variable aleatoria X es una función definida en un (Ω) tal que a cada elemento w Є Ω se le

asocie el numero real x = X(w).

El dominio de la variable aleatoria X es el Ω y el rango es un subconjunto de los números

reales que denotaremos por Rx, siendo: Rx = {x Є R / x = X(w), w Є Ω} Ejemplo: Sea Ω que se obtiene al lanzar al aire una moneda 3 veces consecutivas como,

Ω ={SSS, SSC, SCS, CSS, SCC, CSC,CCS, CCC} Si X se define en un Ω como “el número de caras obtenidas”, entonces, X es una variables aleatoria cuyo rango es el conjunto: Rx = {0, 1, 2, 3} tal que k = 0, 1, 2, 3. X = 0, corresponde al evento elemental SSS X = 1, corresponde al evento elemental SSS, SCS, CSS X = 2, corresponde al evento elemental SCC, CSC,CCS X = 3, corresponde al evento elemental CCC

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Es aquella cuyo rango es un conjunto finito o infinito numerable de valores como el ejemplo anterior. Si la variable aleatoria X es discreta, su rango se expresará generalmente de la siguiente manera:

Rx = {x1, x2,… xn … } En general las variables aleatorias discretas representan datos que provienen del conteo del número de elementos, mientras que, las variable aleatorias continuas representan mediciones, como, tiempo, peso, longitud, etc. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA PROBABILIDAD EN EL RANGO Rx

Una variable aleatoria discreta asume cada uno de sus valores con cierta probabilidad que denotaremos por Px (probabilidad inducida por X). En efecto, si el rango de la variable aleatoria x es el conjunto finito de números Rx = {1, 2,… xn} y si B = {xi} es un evento en Rx, entonces. Px ({xi}) = P({w Є Ω / X(w) = xi}). o Px ({xi}) = P(A), donde, A = {w Є Ω / X(w) = B} con frecuencia, se utiliza la expresión P(X = xi ) para denotar la probabilidad Px ({xi}), como P(X = x ) = P({w Є Ω / X(w) = xi}). FUNCION DE PROBABILIDAD Sea X una variable aleatoria discreta. Se denomina función (distribución o modelo o ley) de probabilidad de X a la función f(x) definida por f(x) = P(X = x) para todo x número real y que satisface las siguientes condiciones: 1. f(x) ≥ 0 para todo x є R, y 2. ∑f(xi) = 1 La condición 2 1. Es: ∑f(xi) = 1, si Rx = {x1, x2,… xn } es finito. 2. Es: ∑f(xi) = 1, si Rx = {x1, x2,… xn } es infinito.

NOTA: 1. Si A c Rx, entonces, la probabilidad de A es el número: P(A) = ∑P(X = xi) =∑f(xi) La función de probabilidad de una variable aleatoria X se puede expresar: por una ecuación: f(x) = P(X = x) = expresión de x, o por el conjunto de pares {(xi, pi) / pi = f(x), x є Rx} o por una tabla, como:

Ejemplo: Sea X la variable aleatoria definida como el número de caras que ocurren al lanzar una moneda 4 veces. a) Determinar la distribución de probabilidad de X. graficarla b) Calcular la probabilidad P*0<X≤2+ c) Determinar la distribución de probabilidades de X si la moneda se lanza n veces (n≥2). Solución a) El rango de la variable aleatoria X, es el conjunto Rx = {0, 1, 2, 3, 4}. Suponiendo que los 16 sucesos elementales del Ω son equiprobables, la función de probabilidad, es descrita por: f(0) = P(X = 0) = P(SSSS) = 1/16 f(1) = P(X = 1) = P(SSSC o SSCS o SCSS o CSSS ) = 4/16 f(2) = P(X = 2) = P(SSCC o SCSC o SCCS o CSSC o CSCS o CSSS) = 6/16 f(3) = P(X = 3) = P(SCCC o CCSC o CSCC o CCCS) = 4/16 f(4) = P(X = 4) = P(CCCC) = 1/16 Observe que si k є Rx entonces, X = k, si y solo si, en las 4 tiradas de la moneda aparecen k caras y 4 – k sellos. Esto ocurre de formas. Cada una de esas formas tiene probabilidad: (1/2)k (1/2)4-k = (1/2)4 = 1/16

Siendo k = 0, 1, 2, 3, 4. Luego la función de probabilidad del numero de caras se puede describir como la tabla o como la ecuación: F(k) =

, k = 0, 1, 2, 3, 4.

x

f(x) 0 1 2 3 4

1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

b) Si P*0 < X ≤ 2+ = c) F(x =

(1/2)x (1/2)n-x =

= f (1) + f(2) = , x = 0, 1, 2, …., n

FUNCION DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA DE LA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA La función de distribución acumulada de probabilidad o simplemente función de distribución, F(x), de la variable aleatoria discreta X, cuya función de probabilidad es f(x), se define por: F(x) = P(X ≤ x) =

=

, para -∞ < x < ∞.

Ejemplo Sea X la variable aleatoria definida como el número de caras que resultan al lanzar una moneda 4 veces. a) Hallar la distribución de probabilidad de F(x) de la variable aleatoria X. graficarla b) Usando F(x), calcular P*0<X≤2+ Solución a) La función de probabilidad f(x) de la variable aleatoria X esta descrita en el ejemplo anterior por:

f(0) =1/16, f(1) = 4/16, f(2) = 6/16, f(3) = 4/16, f(4) = 1/16 Entonces, F(0) = f(0) =1/16 F(1) = f(0) + f(1) = 1/16 + 4/16 = 5/16 F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 1/16 + 4/16 + 6/16 = 11/16 F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 1/16 + 4/16 + 6/16 + 4/16 = 15/16 F(4) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1/16 + 4/16 + 6/16 + 4/16 + 1/16 = 1 Por lo tanto,

Y la grafica es

Observen que F(x) da SALTOS en los valores de x = 0, 1, 2, 3, 4. Por ejemplo F(2) = 11/16 = F(2.99), F(3) = 15/16 = F(3.99), etc. b) Si P[0 < X ≤ 2] = P[X ≤ 2] - P[ X < 0] = F(2) - F(0) =

NOTA: En general si X tiene rango finito Rx = {x1, x2,… xn }, y la función de probabilidad f(xi ), entonces la función de distribución acumulada de X es:

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA O UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA LA MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA La media deuna v. a. X o media de la distribucion de probabilidad X es un numero real que se denotan ux o por u. la media es denominada también como esperanza matematica o valor esperado de X, y se denota también por E(X). Definicion 1. La media de una v. a. discreta X con funcion de probabilidad f(x) es la expresión:

Si el rango de X es el conjunto finito Rx = {x1, x2,… xn }, entonces:

Si el rango de X es el conjunto infinito numerable Rx = {x1, x2,… xn….. }, entonces:

En este caso, si la suma indicada no es igual a un número real, se dice que la esperanza de X no existe. Ejemplo Calcular la media de la distribución de probabilidad de la v. a. X que se define como el numero de caras cuando se lanza 4 monedas. Solución La distribución de probabilidad de x se da en la siguiente tabla x 0 1 2 3 4

f(x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

La media de X es el número = 0(1/16) + 1(4/16) + 2(6/16) + 3(4/16) + 4(1/16) = 2

Esto dignifica que si una persona lanza 4 monedas, muchas veces, en promedio obtendrá 2 caras por lanzamiento. Interpretación de la esperanza: Para el ejemplo anterior, supongamos que repetimos n veces el lanzamiento de las 4 monedas y que se obtiene las frecuencias absolutas n0, n1, n2, n3 y n4 de las veces que ocurren; 0, 1, 2, 3 y 4 caras respectivamente. Lo que resulta es una distribución de frecuencias cuyo promedio de caras por lanzamiento es igual a:

+1

= 0*

=

+2

+3

+4

En el calculo de E(X) se usan probabilidades o proporciones teóricas, mientras que en el calculo de se usan frecuencias relativas o proporciones empíricas obtenidas a partir de un muestra de tamaños n. a medida que n vaya creciendo es de esperar que las frecuencias relativas empíricas

,

,

,

y

, se vayan aproximando a las

correspondientes (1/16), (4/16), (6/16), (4/16), y 4(1/16). Por lo tanto, es de esperar que se vaya aproximando a E(X) a medida que n crece indefinidamente. Entonces, E(X) es la

media que se obtiene a LARGO PLAZO, en otras palabras es la media que se espera obtener. NOTA LA MEDIANA. De una v. a. X es el número Me tal que: F(Me) = P*X ≤ Me+ = 0.5 o ½ Por ejemplo, acumulando las probabilidades del ejemplo anterior, resulta, F(x) = 5/16, para 1 ≤ x < 2, y F(x) = 11/16, para 2 ≤ x < 3. Luego si x = 2 puede ocurrir cualquier valor entre 5/16 y 11/16. En particular F(2)= 0.5. por lo tanto, la median es igual a 2. LA MODA. De una v. a. X es el valor de la variable con mayor probabilidad para el caso discreto. Es decir, la moda es igual a 2. LA MEDIA DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Sea X una v. a. discreta con rango Rx y función de probabilidad f(x) = P[X = x]. entonces, la función Y = H(X), es una variable aleatoria con rango Ry = {y / H(y = y)}, y con función de probabilidad g(y) dada por:

Por ejemplo, si X es una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad esta dad por la tabla siguiente y si Y = H(X) = 2X – 3, entonces: x f(x)

0 1/8

1 3/8

2 3/8

3 1/8

Además Y es una variable aleatoria, cuya distribución de probabilidades esta dad por la siguiente tabla, donde g(y) = P[Y = H(X)] = P[X = x] = f(x) H(x) = 2x - 3 g(x) = f(x)

El valor esperado de H(x) es

-3 1/8

-1 3/8

1 3/8

3 1/8

DEFINICION. Si X es una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x), la media o valor esperado de la v. a. H(X) esta dada por la expresión.

Ejemplo Suponga que un juego consiste en lanzar un dado y que si se obtiene al menos 5 puntos se gana S/. 2, en caso contrario se pierde el número obtenido en soles: a) Defina la función utilidad en el juego b) Calcular la utilidad esperada en el juego Solución Sea X la variable aleatoria definida como “el puntaje obtenido al lanzar el dado”, entonces X toma los valores 1,2,3,4,5,6. La distribución de probabilidad de X esta dada por la siguiente tabla, k f(k)

1

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

1/6

a) La función de utilidad del juego , esta definida por:

b)la esperanza de la función de utilidad es igual a:

en consecuencia, si el juego se repite indefinidamente, puede esperarse que el jugador pierda en promedio S/. 1

VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA La varianza de una v. a. X se denota por cualquiera de las formas:

,

, Var (X), V(X).

DEFINICIÓN. Sea una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x) y con media igual a u. la varianza de X es la expresión:

DEFINICION. L desviación estándar de la v. a. X es la raíz positiva de su varianza. Esto es, . Ejemplo Calcular la varianza y la desviación estándar de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que se define como el numero de caras al lanzar 4 monedas. Solución La distribución de probabilidad de X es la siguiente tabla: x f(x)

0 1/16

1 4/16

2 6/16

3 4/16

En el ejemplo anterior se ha calculado la E(X) = 2. Además,

4 1/16

PROPIEDADES DE LA MEDIA Y VARIANZA

BERNOULLI DISTRIBUTION Una variable aleatoria bernoulli toma solo dos valores: 0 y 1, con probabilidades 1-p y p, respectivamente. Su función de frecuencia is entonces: p(1) = p p(0) = 1 - p p(x) = 0, si x ≠ 0 y x ≠ 1 una alternativa y a veces para la representación de estas funciones es:

Si A es un evento, entonces el INDICADOR DE LA VARIABLE ALEATORIA, IA toma el valor 1 si A ocurre y el valor 0 si A no acurre:

Donde ω representa cada elemento del evento. IA es una variable aleatoria bernoulli. En aplicaciones, la variable aleatoria bernouilli frecuentemente ocurre como un indicador. Una variable aleatoria bernoulli podría tomar el valor 1 o 0 de acuerdo a que si suponemos fuera éxito o fracaso. TEOREMA Si X tiene distribución de bernoulli de parámetro p, entonces: a) E(X) = p b) Var (X) = p(1 – p) BINOMIAL DISTRIBUTION Supongamos que n experimentos independientes, o ensayos, son realizadas, donde n es un numero fijo, y que cada resultado del experimento es un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad 1 – p. el numero total de éxitos, X, es una variable binomial con parámetros n y p. por ejemplo, una moneda es lanzada 10 veces y el numero total de caras son contadas (“caras” es identificado como “éxitos”).

La probabilidad que X = k, o p(k), puede ser encontrada de la siguiente manera: cualquier secuencia particular de k éxitos ocurre con probabilidad pk (1 - p)n – k, por el principio de multiplicación. El número total de cada secuencia es , ya que existen maneras para asignar, k éxitos para n ensayos. P(X=k) is por lo tanto la probabilidad de cualquier secuencia particular el número de momentos de cada secuencia es:

Dos funciones de frecuencia binomial son mostradas en la siguiente figura, note que la figura varia como una función de p.

THE GEOMETRIC AND NEGATIVE BINOMIAL DISTRIBUTIONS La distribución geométrica es también construida por experimento o ensayo independientes bernoulli, pero para una secuencia infinita. En cada ensayo, un éxito ocurre con probabilidad p, y X es el numero total de caras hasta obtener el primer éxito. En el orden que X = k, que debe haber k – 1 fracasos seguido por un éxito. Para la independencia del ensayo, este ocurre con probabilidad:

Note que esta probabilidad suma 1:

LA DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA surge como una generalización de la distribución geométrica. Supongamos que una secuencia de un ensayo independiente cada uno con probabilidad de éxito p es realizada hasta que haya r éxitos en todos; sea X denota el numero total de ensayos. Para encontrar P(X=k), podemos argumentar en la siguiente manera: cualquier secuencia tan particular tiene una probabilidad pr (1 – p)k – r, para el supuesto independiente. El ultimo ensayo es un éxito, y los restantes r – 1 éxitos pueden ser asignados para el resto k – 1 ensayos en

manera, por lo tanto:

Esto es a veces es útil en el análisis de propiedades de la distribución negativa binomial para notar que una variable aleatoria binomial negativa puede ser expresada como la suma de r variables aleatoria geométricas independientes: el numero de caras hasta obtener el primer éxito mas el numero de caras después de el primer éxito hasta obtener el segundo éxito, … mas el numero de caras para el (r - 1)st éxitos hasta obtener el rth éxito. THE HYPERGEOMETRIC DISTRIBUTION Supongamos que un Urn contiene n baolas, de el cual r son negros y n – r son blancos. Sea X denota el numero de bolas negras establecidos entonces tomando m bolas sin reemplazo. Tenemos:

X es un variable aleatoria hipergeometrica con parámetros r, n y m

THE POISSON DISTRIBUTION La función de frecuencia de poisson con parámetros λ(λ > 0) is P(X=x) =

е-, k = 0, 1, 2, …

Donde е- λ =

se sigue que la función de frecuencia suma n 1. La figura siguiente

muestra 4 funciones de frecuencia de poisson. Note que la figura varia como una función λ. La distribución de posison puede ser derivada como el limite de una distribución binomial como el numero de ensayos, n, tiende al infinito y la probabilidad de éxitos en cada ensayo, p, tiende a cero de tal manera que np = λ. La función de frecuencia binomial es:

Establecido np = λ esta expresión se convierte:

El cual es la función de frecuencia de poisson. Función de frecuencia de poisson, (a) λ =0. 1, (b) = 1, (c) = λ = 5, (d) λ = 10