Unidad 3. Analisis De Error Y Solucion De Ecuaciones a504v

Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020

Unidad

3

Análisis del error y solución de ecuaciones

Competencia específica a desarrollar: Resolver numéricamente ecuaciones no lineales de una variable. Resolver numéricamente sistemas de ecuaciones no lineales simultáneas. Contenido 3.1. Análisis del error. 3.1.1. Cifras significativas 3.1.2. Exactitud y precisión 3.1.3. Definición de error y tipos de error. 3.1.4. Propagación del error 3.1.5. Error de truncamiento y serie de Taylor 3.2. Raíces de ecuaciones 3.2.1. Método gráfico 3.2.2. Métodos cerrados. Bisección. Regla Falsa. Otros métodos 3.2.3. Métodos abiertos. Iteración de punto fijo. Método de la secante. Newton- Raphson 3.2.4. Raíces múltiples 3.2.5. Raíces de polinomios. Método de Müller. Método de Bairstow 3.3. Solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. 3.3.1. Métodos para solución de ecuaciones lineales. Jacobi. Gauss- Seidel. Gauss-Jordan . Otros métodos 3.3.2. Métodos de solución de sistemas de ecuaciones no lineales. Iterativo secuencial. Newton.

MTI. Ulises Girón Jiménez

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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 3.1 Análisis del error 3.1.1. Cifras significativas La noción intuitiva de cifras significativas de un número está directamente relacionada con la precisión de los instrumentos o procesos que lo generan. El número de cifras significativas de un número x corresponde al número de cifras en la mantisa de su representación en notación científica.

Ya que 0.00123 = 1.23 x103 , decimos que 0.00123 tiene tres Cifras significativas. El número 3210 = 3.210 x103 posee cuatro cifras significativas. Note que en el ejemplo anterior, hemos mantenido el 0 de las unidades. Si el origen del número no garantizara el valor de sus unidades, entonces deberíamos escribir directamente

3.210 x103 lo que indicaría que contamos con sólo tres cifras significativas.

Sean xv y xc los valores verdadero y calculado de una cierta cantidad, con xv  xc . Decimos que xc aproxima a xv con t cifras significativas si t es el mayor entero no negativo para el cual

xv  xc  5 x10t xv Para el caso xv = xc , xc aproxima xv con las cifras significativas propias.

Ejemplo El número 3.1416 aproxima a 3.1415926 en 6 cifras significativas, ya que:

3.1415926  3.1416 3.1415926  2.3554932 x106  5 x106 Como se observa, no es necesario que coincidan los dígitos de las cifras significativas.


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Ejercicio 1 Calcular el número de cifras significativas con que 9.99 aproxima a 10.

Ejercicio 2 Calcular el número de cifras significativas con que 1005 aproxima a 1000

El concepto de cifras o dígitos significativos se han desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. El número de cifras significativas es el número de dígitos más un digito estimado que se pueda usar con confianza. Estas cifras proporcionan información real relativa a la magnitud y precisión de las mediciones de una cantidad. El aumento de la cantidad de cifras significativas incrementa la precisión de una medición. Los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar el punto decimal. Los números: 0.000 018 45 0.000 184 5 0.001 845 Tienen cuatro cifras significativas. La incertidumbre (duda) se puede desechar usando la notación científica en donde: 4.53 x 104 4.530 x 104 4.5300 x 104 Muestran que el número tiene tres, cuatro y cinco cifras significativas. 3.1.2. Exactitud y precisión Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su precisión y exactitud. La precisión es el grado de concordancia dentro de un grupo de mediciones o instrumentos. Ya que el número de cifras significativas que representa una cantidad o la extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. La precisión se


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 compone de dos características: conformidad y el número de cifras significativas con las cuales se puede realizar la medición. La exactitud se refiere al grado de aproximación o conformidad al valor real de la cantidad medida.

Estos conceptos se pueden ilustrar gráficamente usando una analogía con un buen tirador al blanco. Los agujeros en el centro del tiro al blanco de cada esquema de la figura siguiente se pueden imaginar como las predicciones en una técnica numérica, mientras que el centro del blanco de cada esquema representa la verdad. La inexactitud (conocida también como sesgo) se define como un alejamiento sistemático de la verdad. Por lo tanto, aunque las balas en la figura c están más juntas que las de la figura a, los dos casos son igualmente inexactos ya que ambos se centran en la esquina superior izquierda del blanco. La precisión, por el otro lado se refiere a la magnitud del esparcimiento de las balas. Por lo tanto, aunque las figuras b y d son igualmente exactas (esto es, igualmente centradas respecto al blanco), la última es más precisa ya que las balas están en un grupo más compacto.


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 Figura: Un ejemplo de un buen tirador ilustra el concepto de exactitud y precisión. a) Inexacto e impreciso; b) exacto e impreciso; e) inexacto y preciso; d) exacto y preciso.

Llamamos incertidumbre o imprecisión a la falta de precisión, y sesgo o inexactitud, a la falta sistemática de exactitud, ya sea por debajo o bien por arriba de la cantidad exacta. El manejo de la incertidumbre o imprecisión puede realizarse mediante distribuciones de probabilidad, en tanto que el manejo de la inexactitud, mediante rangos o intervalos.

Ejemplo. Si especificamos que el valor de una resistencia eléctrica es de 100 ± 5% Ω, estamos indicando que su valor real debe estar en el intervalo [95, 105].

Ejemplo Supongamos que un profesor debe iniciar siempre sus clases a las 7:00 am. Si existe incertidumbre, podría iniciar con una distribución normal con media de 7:05 y desviación estándar de 1 minuto, lo cual indica que el 99.7% de las veces iniciaría en el intervalo [7:02, 7:08]. Por otro lado, si existe (solamente) sesgo, entonces empezaría sistemáticamente (por ejemplo) a las 7:07. 3.1.3. Definición de error y tipos de error. Error. Es la discrepancia que existe entre la magnitud verdadera y la magnitud obtenida. Si p * es una aproximación a p , el error se define como

E  p  p*

Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como

EA  p  p *

y el error relativo como ER 

p  p* p

,

si p  0

y cómo por ciento de error a


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 ERP  (ER)100

Error aproximado

a 

aproximacionactual  aproximacionanterior x100 aproximacionactual

Problema: Suponga que el valor para un cálculo debería ser

p  0.10 x10 2 Pero se obtuvo el resultado p*  0.08x10 2 , entonces EA  0.10 x102  0.08 x102  2

ER 

0.10 x102  0.08 x102 0.10 x102

 0.2

ERP  ERx100  20% Error por redondeo. Este error es el resultado de representar aproximadamente números exactos. Es decir, se debe a la omisión de algunas de las cifras significativas de algún valor específico. Un ejemplo de donde sucede se da en las computadoras o calculadoras, que solo guardan un número finito de cifras significativas, cuyo máximo de dígitos o de cifras significativas son de 8 a 14 lo cual obliga a redondear el valor real.

Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes. Por ejemplo, si solo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede almacenar y usar  como  = 3.141592, omitiendo los términos restantes y generando un error de redondeo.

Ya que la mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del porque pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos: Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre sí. Estos es, los cálculos posteriores son


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo. El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia. En el redondeo se conservan las cifras significativas y el resto se descarta.

El último dígito retenido se aumenta en uno si el primer dígito descartado es

 5 , si no fuera

así, el dígito conserva su valor. La importancia de las cifras significativas de los cálculos algebraicos. Determínese la diferencia de dos números grandes: 32981108.1234

y 32981107.9989.

Enseguida, repítase los cálculos pero incrementándose el minuendo en in 0.001%. Solución:

La diferencia de los números es:

32981108.1234  32981107.9989 0.1245 Ahora incrementando el minuendo en un 0.001 % se obtiene el número 32 981 437.934 5 y la diferencia es:


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 32981437.9345  32981107.9989 329.3356 Que es considerable diferente de la primera. De aquí que una modificación en el minuendo, aparentemente insignificante, provoca una gran diferencia en el resultado.

Problema: Ilustraciones de las reglas de redondeo Los siguientes ejemplos tienen por objeto ilustrar las reglas de redondeo analizados. 1. Errores de redondeo 5.6723

5.67

3 cifras significativas

10.406

10.41


7.3500

7.4


88.21650 88.217 5 cifras significativas 1.25001

1.3


2. suma y resta 2.2 – 1.768 = 0.432 = 0.4 0.00468 x 10 -7 + 8.3 x 10 -4 –228 x 10-6 =6.02468 x 10 –4 = 6.0 x 10 -4 se redondea hasta el 3 porque nos indica que es el valor para redondeo 3. multiplicación y división Evalúese 0.0642 x 4.8 = 0.30816 = 0.31 945/0.3185 = 2967.032967= 2967 Las siguientes reglas pueden aplicarse al redondear números, cuando se realizan cálculos a mano. 

Primera: En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El último dígito que se conserva se aumenta en uno, si el primer dígito descartado es mayor de “5”; de otra manera se deja igual, pero si el primer dígito descartado es “5” ó “5” seguido de ceros, entonces el último dígito retenido se incrementa en uno, sólo si es par.


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 

Segunda: En la suma y la resta, el redondeo se lleva a cabo de forma tal que, el último dígito retenido en la respuesta corresponda al último dígito más significativo de los números que están sumando o restando. Nótese que un dígito en la columna de las centésimas es más significativo que uno de la columna de las milésimas.



Tercera: Para la multiplicación y para la división, el redondeo es tal que, la cantidad de cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras significativas que contiene la cantidad en la operación.



Cuarta: Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos generales. Se puede sumar o restar el resultado de las multiplicaciones o de las divisiones.

Error numérico total. El error numérico total es la suma de los errores de truncamiento y de redondeo. Éste es el medio para poder lograr minimizar los errores debido a redondeo y esto se logra incrementando el número de cifras significativas. Los errores por truncamiento pueden ser disminuidos cuando los errores por redondeo se incrementan.

Para poder disminuir un componente del error numérico total, se debe

incrementar otro valor. Errores humanos 

Errores por equivocación. Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de modelación matemática y puede contribuir con todas las otras componentes del error. Se puede evitar únicamente con el conocimiento de los principios fundamentales y con el cuidado sobre la aproximación y diseño de la solución a un problema.



Errores de formulación. Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en lo que se podrían considerar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo de un error de formulación imperceptible es el hecho de que la segunda ley de newton no explica los efectos relativistas.



Incertidumbre en los datos. Algunas veces se introducen errores en un análisis debido a la incertidumbre de los datos físicos sobre los que se basa el modelo.


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 3.1.4. Propagación del error Causas de errores graves en computación Existen muchas causas de errores en la ejecución de un programa de cómputo. Para esto, vamos a pensar en una computadora imaginaria que trabaja con números en el sistema decimal, en forma tal que tiene una mantisa de cuatro dígitos decimales, y una característica de dos dígitos decimales, el primero de los cuales es usado para el signo. Sumados estos seis al bit empleado para el signo del número, se tendrá una palabra de siete bits. Los números que se van a guardar deben normalizarse primero en la siguiente forma

3.0  0.3000 x101 7956000  0.7956 x107 0.0000025211  0.2521x105 Empleando esta computadora imaginaria, podemos estudiar algunos de los errores más serios que se cometen en su empleo. Suma de números muy distintos en magnitud. Vamos a suponer que se trata de sumar 0.002 a 600 en la computadora decimal imaginaria.

0.002  0.2000 x102 600  0.6000 x103 Estos números normalizados no pueden sumarse directamente y, por tanto, la computadora debe normalizarlos antes de efectuar la suma

0.000002 x103  0.600000 x103 0.600002x103 Como sólo puede manejar solo cuatro dígitos, los últimos dos son eliminados y la respuesta es:

0.6000 x103 o bien 600 Por el resultado, la suma nunca se realizó. Resta de números casi iguales Supóngase que la computadora decimal va a restar 0.2144 de 0.2145


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 0.2145 x100 - 0.2144 x100 0.0001x100 Como la mantisa de la respuesta esta desnormalizada, la computadora automáticamente la normaliza y el resultado se almacena como 0.1000 x103 . Por lo tanto hasta aquí no hay error pero en la respuesta solo hay un solo digito significativo, por el cual se sugiere no confiar en su exactitud. La propagación de errores. Una vez que se sabe cómo se produce los errores en un programa de cómputo, podría pensarse en tratar de determinar el error cometido en cada paso, y conocer de esa manera el error total en la respuesta final. Sin embargo, esto no es práctico. Resulta más adecuado analizar las operaciones individuales realizadas por la computadora para ver cómo se propagan los errores de dichas operaciones. Suma Se espera que al sumar a y b, se obtenga el valor correcto de c = a + b ; no obstante, se tiene en general un valor de c incorrecto debido a la longitud finita de palabra que se emplea. Puede considerarse que este error fue causado por una operación incorrecta de la computadora. Entonces el error es:

Error  (a  b)  (a  b)

La magnitud de este error depende de las magnitudes relativas, de los signos de a y b, y de la forma binaria en que a y b son almacenados en la computadora. Esto último varía dependiendo de la computadora, y por tanto es un error muy difícil de analizar.

Si por otro lado a y b de entrada son inexactos, hay un segundo error posible. Por ejemplo, considérese que en lugar del valor verdadero de a, la computadora tiene el valor a * , el cual presenta un error a

a*  a a b*  b b MTI. Ulises Girón Jiménez

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Como consecuencia se tendría, aun si no se cometiera error en la adición, un error en el resultado:

Error  (a * b*)  (a  b) Error  (a  a b b )  (a  b)  a  a b b a  b Error a  b c o sea c*  c c El error absoluto es : (a * b*)  (a  b)  a  b  a  b o bien c  a  b Se dice que los errores

a y b se han extendido a c, y c se conoce como error de

propagación, lo cual causa un error en el resultado final. Resta El error de propagación ocasionado por valores inexactos iniciales a* y b* pueden darse de manera similar que en la adición, con un simple cambio de signo. Multiplicación Si se multiplica los números a* y b* se obtiene

(a * x b*)  (aa ) x(bb )  (a x b)  (a x b )  (b x a )  (a x b )

Si

a y b son suficientemente pequeños, puede considerarse que su producto es muy

pequeño en comparación con otros términos, y por tanto, eliminar el ultimo termino. Se obtiene entonces el error del resultado final

(a * x b*)  (a x b)  (a x b )  (b x a ) Esto hace posible encontrar el valor absoluto del error relativo del resultado dividiendo ambos lados entre a x b.


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 (a * x b*)  (a x b) b a b a     axb b a b a El error de propagación relativo en valor absoluto en la multiplicación es aproximadamente igual o menor a la suma de los errores relativos de a y b en valor absoluto. División Puede considerarse la división de a* y b* como sigue

a * /b*  (a  a ) / (b b )  (a a )

1 (b b )

Multiplicando numerador y denominador por

(b b )

(a a )(b b ) ab  a b  a b a b  (b b )(b b ) b 2  b2

a * / b* 

Si, como en la multiplicación, se considera el producto

b2

razones, a

a * / b* 

a b muy pequeño y por las mismas

y se desprecian, se tiene:

ab a b a b a a a b  2  2    2 2 b b b b b b

El error es entonces:

a*/b*

a a a b   2 b b b

Dividiendo entre a/b se obtiene el error relativo. Al tomar el valor absoluto del error relativo, se tiene

a a b a  2 b  b b  a  b  a  b a/b a/b b b a a

a*/b*

Se concluye que el error de propagación relativo del cociente en valor absoluto es aproximadamente igual o menor a la suma de los errores relativos en valor absoluto de a y b.


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 3.1.5. Error de truncamiento y serie de Taylor Errores de truncamiento. Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una sucesión finita o infinita de pasos en el cual se realizan cálculos para producir un resultado exacto, se trunca prematuramente después de un cierto número de pasos.

Truncar la siguiente cifra hasta centésimos, o hasta que sean dos las cifras significativas:

7  2 . 645751311

7

 2.64

Como podemos ver, en este tipo de error, lo que se hace es omitir algunas de las cifras de una cantidad, debido a que esta contiene muchos decimales, entonces se trunca o corta el número, por lo que también cae en un error. Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Estos errores se regresan a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar funciones en forma polinomial. La serie de Taylor La serie de Taylor da una formulación para predecir el valor de la función en de la función y de sus derivadas en una vecindad al punto

xi 1 en términos

xi .

Por ejemplo: el primer término de la serie es conocida como aproximación de orden cero.

f ( xi 1 )  f ( xi ) Aproximación de primer orden.

f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )h Donde h  ( xi 1  xi ) Aproximación de segundo orden.

f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )h 

f ( xi ) 2 h h  ( xi 1  xi ) 2! Donde

De esta manera se puede agregar términos adicionales para desarrollar la expansión completa de la serie de Taylor.


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )h 

f ( xi ) 2 f ( n) ( xi ) n h  h  Rn 2! n!

Se incluye un término residual para considerar todos los términos desde n + 1 hasta el infinito:

Rn 

f ( n1) ( ) n1 h (n  1)!

Donde el subíndice n indica que el residuo es de la aproximación a n-ésimo orden y  es un valor cualquiera de x que se encuentra en

xi y xi 1

Ejemplo: Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor. Enunciado del problema: úsense términos en la serie de Taylor de cero a cuarto orden para aproximar la función:

f ( x)  0.1x4  0.15x3  0.5x2  0.25x  1.2 Desde el punto xi  0 y con h = 1. Esto es, predecir el valor de la función en

xi 1  1.

Solución: Ya que se trata de una función conocida se puede calcular valores f(x) 0 y 1

Los resultados indican que la función empieza en f(0)=1.2 y continua hacia abajo hasta f(1)=0.2. Por lo tanto el valor que se trata de predecir es 0.2.

Orden

Derivada

Aproximaciones

0

-

1.2

1

-0.25

0.95

2

-1

0.45

3

-0.9

0.3

4

-2.4

0.2

Ejemplo:


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 Uso de la serie de Taylor para aproximar una función que tiene un número infinito de derivadas. Úsense los términos de la serie de Taylor con n = 0 hasta 6 para aproximar:

f ( x)  cos x En x   / 3 (60) con base al valor de f(x) y de sus derivadas alrededor del punto x   / 4

(45) .Nótese que esto significa que

h

 3



 4



 12

Solución: El valor exacto

f ( x)  cos ( x) f ( x)  0.5

x 

 3 Orden

Derivada

Aproximaciones

0

-

0.707106781

1

-Sen(x)

0.521986659

2

-cos(x)

0.497754491

3

Sen(x)

0.499869147

4

Cos(x)

0.500007551

5

-Sen(x)

0.500000304

6

-Cos(x)

0.499999988

Serie de Maclaurin Los métodos iterativos obtienen la solución como resultado de una serie de aproximaciones generadas sucesivamente a partir de una “aproximación inicial a la solución”.

Problema La función exponencial se puede calcular usando:

x 2 x3 x 4 e  1 x     ... 2! 3! 4! x

Mientras más términos se le agreguen a la serie, la aproximación se acercara más y más al valor de x . La ecuación anterior se le llama serie de Maclaurin.


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 Empezando con el primer término, e x = 1, y agregando un término a la vez, estímese el valor de e 0.5 . Después que se agregue cada terminó, calcúlense los ERP y a . Nótese que el valor real de

e 0.5  1.648721271 , agréguense términos hasta que

a s

contempla tres cifras

significativas. Solución  s = (0.5 x 10 2 – 3 ) % = 0.05 % Por lo tanto, se agregaran términos a la serie hasta que  a se menos que este nivel.

ER 

a 

p  p* p

,

si p  0

ERP  (ER)100

aproximacionactual  aproximacionanterior x100 aproximacionactual

Ejemplo: La expansión en serie de Maclaurin para el cos x es:

x2 x4 x6 x8 Cosx        2! 4! 6! 8! Iniciando con el primer término Cos x = 1 , agréguense los términos uno a uno para

Estimar

cos

 3 . Después que se agregue cada uno de los términos, calcúlense los errores

porcentuales relativos, exactos y aproximados .Úsense una calculadora para determinar el valor exacto. Agréguense términos hasta el valor absoluto del error aproximado falle bajo cierto criterio de error, considerando dos cifras significativas. Solución:


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020     0.5   3

cos 

 s = (0.5 x 10 2 – 2 ) % = 0.5 %

3.2 Raíces de ecuaciones 3.2.1. Método gráfico Es método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x) = 0, consiste en graficar y observar en donde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor de x para el cual f(x) = 0, proporciona una aproximación inicial de la raíz. Ejemplo: Empléese gráficas para obtener una raíz aproximada de la siguiente función:

f ( x)  e x  x

x  0.2 a 1.1

Solución. Usando matlab >> x=-0.2:0.1:1.1; >> y=(exp(-x))-x; >> plot(x,y) >> grid on 1.5

1

0.5

0

-0.5

-1 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Ejemplo: Grafíquese el siguiente vector


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Ejemplo: Grafíquese el siguiente vector


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 Títulos, etiquetas. plot(x,y) title(‘Experimento de laboratorio 1’) xlabel(‘Tiempo, seg’) ylabel(‘Distancia, pies’) grid on

ejemplo: Grafiquese la siguiente función f ( x)  x2 con x = -5 hasta x = 5

Ejemplo: Grafíquese los vectores


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Ejemplo: Grafiquese las siguientes funciones sobre los mismos ejes. f ( x)  x2 ;

g ( x)  x3 con

x = -10 hasta x = 10, con h = 0.1 Usando MatLab: >> clear >> x=-10:0.1:10; >> y=x.^2; >> z=x.^3; >> plot(x,y,x,z) >> xlabel('Eje x') >> ylabel('Eje y') >> title('Grafica de dos funciones')

Grafica de dos funciones 1000 800 600 400

Eje y

200 0 -200 -400 -600 -800 -1000 -10

-8

-6

-4


-2

0 Eje x

2

4

6

8

10

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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 Ejemplo: Graficar las dos funciones trigonometricas. y  sin(t );

y  cos(t ) con valor de x =0

hasta x = 2*pi, con h = pi/100

Usando MatLab: >> t=0:pi/100:2*pi; %intervalo >> y1=sin(t); %primera funcion >> plot(t,y1,'g') % Grafica de la primera funcion, color verde >> y2=cos(t); %segunda funcion >> hold on %mantiene fija la grafica >> plot(t,y2,'r') %grafica de la segunda funcion, color rojo >> xlabel('Tiempo') % Etiqueta del eje x >> ylabel('Magnitud') %etiqueta eje Y >> title('Grafica de dos funciones trigonometricas') Grafica de dos funciones trigonometricas 1 0.8 0.6 0.4

Magnitud

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

Tiempo

Ejemplo: Empléese gráficas para obtener una raíz aproximada de la siguiente función:

f ( x)  Sin(10 x)  Cos(3x) x    5, 4.9..5


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Ejemplo. Para determinar el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg. Tenga una velocidad de 40 m/s después de una caída libre de t = 10 s. Nota la aceleración de la gravedad es 9.8 m/s 2 . Determine su gráfica.   t  gm  vt   1 e  m   c   c

Solución: Este problema se resuelve determinando la raíz de la ecuación usando los parámetros: t = 10, g = 9.8, v = 40 y m = 68.1   t  gm  f c   1 e  m   v  c   c

 c   10  9.8(68.1)  f (c)  1  e  68.1    40   c  

3.2.2. Métodos cerrados. Bisección. Regla Falsa. Otros métodos Método del intervalo Cuando para encontrar la solución a una ecuación, digamos f(x) = 0 partimos de un intervalo

a, b dentro del cual sabemos que se encuentra la solución, y paso a paso reducimos dicho intervalo hasta obtener  an , bn  tal que bn  an  para  0 como la tolerancia, decimos que hemos utilizado un método de intervalo o método cerrado.

A estas técnicas se les llama métodos que usan intervalos porque se necesitan de dos valores iníciales para la raíz. Como su nombre lo indica, estos valores deben encerrar o estar uno de cada lado de la raíz. Los métodos particulares descritos sobre este punto emplean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así converger a la respuesta correcta. Además de la utilidad de los métodos gráficos para determinar valores iníciales, también son útiles para visualizar las propiedades de las funciones y el comportamiento de los métodos numéricos.


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 Bisección Es un método de búsqueda incremental se aprovechan de esta característica para localizar un intervalo donde la función cambie de signo. Por lo tanto, la localización del cambio de signo, se logra más exactamente dividiendo el intervalo en una cantidad definida de subintervalos. El método de bisección conocido también como de corte binario, de partición en dos intervalos iguales o método Bolzano, es un método de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre en dos. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalos dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación. Criterio de convergencia. Si el intervalo original es de tamaño a y el criterio de convergencia aplicado al valor absoluto de la diferencia de dos xr consecutivas es  , entonces se requerirán n iteraciones, donde n se calcula con la igualdad de la expresión

a  2n

Despejando el valor de n

a  ln  2n ln a  ln 2n  ln  ln a  ln   n ln 2 ln

n

ln a  ln  ln  xu  x1   ln   ln 2 ln 2

Nos resulta:

n

ln a   ln   ln 2

Por esto se dice que se puede saber de antemano cuantas iteraciones se requieren. O bien se puede utilizar el siguiente criterio de convergencia Ea  

EA  aproxactual  aproxanterior MTI. Ulises Girón Jiménez

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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 Algoritmo Paso 1: Elija los valores iníciales inferior x1 y xu de forma tal que la función cambie de signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que:

f x1  f xu   0 Entonces hay al menos una raíz entre x1 y xu , ir al paso 2.

f  x1  f  xu   0 Entonces, no tiene raíz entre x1 y xu , cambiar el intervalo o pase al paso 4. Paso 2: La primera aproximación a la raíz X, se determinan como:

xr 

x1  xu 2

Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalos cae la raíz

a ) f x1  f xr   0 ; Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalos inferior o izquierdo. Por lo tanto, tome xu  xr y continué en el paso 2.

b ) f x1  f xr   0 ; Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalos superior o derecho. Por lo tanto, tome x1  xr y continué en el paso 2.

c) f x1  f xr   0 ; La raíz es igual a xr ; termina el cálculo. Pase al paso 4 Paso 4: Fin del calculo

Problema Utilice el método de bisección para encontrar la raíz real de la siguiente función: x f( x)  e  x

error 

0.001

x1 

0

xu 

1

Solución: Usando excel

Problema:


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 Utilice el método de bisección para encontrar la raíz real de la siguiente función: f( x)  cos( x)  ln( x)

error  0.001

x1  1

xu  2

Solución:

Usando matlab %Metodo de Biseccion %Elaboro: MTI. Ulises Girón Jiménez %Fecha: Marzo 18, 2014 clc; %Borrar fprintf('\nCalculo de la raiz de una ecuacion por el metodo de Biseccion\n\n'); Fx=input('Ingrese la funcion: ','s'); %función inicial f(x) x1=input('Ingrese x1: '); %valor inicial X1 xu=input('Ingrese xu: '); %valor final Xu e=input('Ingrese el error: '); %el valor del error x=x1; Fx1=eval(Fx); %funcion f(x1) x=xu; Fxu=eval(Fx); %funcion f(xu) while abs(xu-x1)>e %criterio de paro xr=(x1+xu)/2; %formula de bisección x=xr; %raiz aproximada Fxr=eval(Fx); %función f(xr) if Fx1*Fxr<0 xu=xr; %subintervalo izquierdo Fxu=Fxr; else x1=xr; Fx1=Fxr; end end fprintf('\n La raiz real por el metodo de biseccion sera %.8f\n',xr); ezplot(Fx);%graficamos la funcion grid on;


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Regla Falsa Aunque el método de bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces, su enfoque es relativamente ineficiente. Una alternativa mejorada es la de del método de la regla falsa (falsa posición) está basada en una idea para aproximarse en forma más eficiente a la raíz. Un defecto del método de bisección es que al dividir el intervalo x1 a xu en mitades iguales, no se toma en consideración la magnitud de f ( x1 ) y de f ( xu ) .

Por ejemplo, si f ( x1 ) está mucho más cerca de cero que f ( xu ) , es lógico que la raíz se encuentra más cerca de x1 que de xu . Este método alternativo aprovecha la idea de unir los puntos con una línea recta. La intersección de la línea con el eje de las x proporciona una mejor estimación de la raíz. El reemplazamiento de la curva por una línea recta da una “ posición falsa ” de la raíz , de aquí el nombre de método de la regla falsa o en latín , regula falsi. También se le conoce como método de interpolación lineal. Con el uso de triángulos semejantes, la intersección de la línea recta y el eje de las x se puede calcular de la siguiente manera:

f x1  f xu   xr  x1 xr  xu

Figura: esquema grafico del método de la regla falsa. La fórmula se deriva de los triángulos semejantes (áreas sombreadas)

Multiplicando en cruz la ecuación se obtiene

f ( x1 )xr  xu   f xu xr  x1  Agrupando término y reordenando


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 xr  f x1   f xu   xu f x1   x1 f xu  Dividiendo entre f  x1   f  xu 

xr 

xu f x1   x1 f xu  f x1   f xu 

Se puede ordenar de una manera alternativa:

xr 

f x1 xu f xu x1  f x1   f xu  f x1   f xu 

Sumando y restando xu del lado derecho

xr  xu 

f x1 xu f xu x1  xu  f x1   f xu  f x1   f xu 

Agrupando términos se obtiene

xr  xu 

f xu xu f xu x1  f x1   f xu  f x1   f xu 

xr  xu 

f xu x1  xu  f x1   f xu 

Esta es la fórmula de la regla falsa. El algoritmo es idéntico al de la bisección con la excepción de que la ecuación se usa en los pasos 2. Además se usan los mismos criterios de paro para detener los cálculos. Algoritmo Paso 1: Elija los valores iníciales inferior x1 y xu de forma tal que la función cambie de signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que:

f x1  f xu   0 Entonces hay al menos una raíz entre x1 y xu , ir al paso 2.

f  x1  f  xu   0 Entonces, no tiene raíz entre x1 y xu , cambiar el intervalo o pase al paso 4. Paso 2: La primera aproximación a la raíz X, se determinan como:


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 xr  xu 

f xu x1  xu  f x1   f xu 

Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalos cae la raíz

a ) f x1  f xr   0 ; Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalos inferior o izquierdo. Por lo tanto, tome xu  xr y continué en el paso 2.

b ) f x1  f xr   0 ; Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalos superior o derecho. Por lo tanto, tome x1  xr y continué en el paso 2.

c) f x1  f xr   0 ; La raíz es igual a xr ; termina el cálculo. Pase al paso 4 Paso 4: Fin del calculo Ejemplo: Utilice el método de falsa posición para encontrar la raíz real de la siguiente función: x f( x)  e  x

error 

0.01

x1 

0

xu 

1

Solución:

Ejemplo: Utilice el método de falsa posición para encontrar la raíz real de la siguiente función: f( x)  cos( x)  ln( x)

error  0.001

x1  1

xu  2

Solución:

Usando matlab %Metodo de Falsa posición %Elaboro: MTI. Ulises Girón Jiménez clc; fprintf('\nCalculo de la raiz de una ecuacion por el metodo de falsa posición\n\n'); Fx=input('Ingrese la funcion: ','s'); %Función f(x) x1=input('Ingrese x1 : '); %valor inicial x1 xu=input('Ingrese xu : '); %valor final xu e=input('Ingrese el error : ');%Error


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 x=x1; Fx1=eval(Fx); x=xu; Fxu=eval(Fx); while abs(xu-x1)>e %Criterio de paro xr=xu-((Fxu*x1-Fxu*xu)/(Fx1-Fxu)); %formula de falsa posicion x=xr; %raiz aproximada Fxr=eval(Fx); if Fx1*Fxr<0 xu=xr; %subintervalo izquierdo Fxu=Fxr; else x1=xr; Fx1=Fxr; end end fprintf('\nEl resultado del metodo de falsa posicion sera %.8f\n',xr); ezplot(Fx);%graficamos la funcion grid on;

Otros métodos Condición de Lipschitz Definición. Condición de Lipschitz. Una función f(x) definida en el intervalo [a,b] se dice que satisface una condición de Lipschitz, si existe una constante L > 0 tal que

f  x1   f  x2   L x1  x2 Para cualquier par de números x1 , x2  a, b .

Observamos que cualquier función f(x) donde la expresión

f  x1   f  x2  x1  x2 Se puede simplificar a

k g  x1 , x2  Donde K es una constante y el valor de g  x1 , x2  se pueda hacer arbitrariamente pequeño para x1 , x2  a, b , no puede satisfacer una condición de Lipschitz.


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 Si f ( x)  C1  a, b (es decir, si f ( x) existe y es continua) entonces f(x) satisface también una condición de Lipschitz. Esto se cumple ya que, por el teorema de valor medio para derivadas una c entre x1 y x2 tal que:

f (c) 

f ( x1 )  f ( x2 ) x1  x2

Y entonces

f  x1   f  x2   f (c)( x1  x2 )  L x1  x2 Para cualesquiera

x1 , x2 a, b 3.2.3. Métodos abiertos. Iteración de punto fijo. Método de la secante. NewtonRaphson Iteración de punto fijo El método de aproximaciones sucesivas, método iterativo y también conocido como método de punto fijo, es uno de los métodos más sencillos e ilustra (a diferencia del método de bisección) el caso cuando no se tiene garantía de obtener la solución. Por tal motivo, el tema central aquí es el concepto de convergencia de una sucesión de aproximaciones.

Definición. (Velocidad de convergencia). Sea

xn n1 

una sucesión de aproximaciones que

convergen a s, de forma que lim xn  s . Si la sucesión de errores n n 1 (donde n  xn  s ) 

n

satisface.

lim n 

n1 n



 k, k  0

Para alguno números fijos, K, entonces  es el orden de convergencia para xn  , y K es la constante asintótica o factor de convergencia. En base a la definición anterior, destacamos los casos para cuándo   1 y   2 que corresponden a convergencia lineal, y convergencia cuadrática respectivamente.


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Método de la Secante Un problema fuerte en la implementación del método de newton Raphson es la evaluación de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios y para muchas otras funciones, existen algunas cuyas derivadas pueden ser extremadamente difíciles de evaluar. En estos casos la derivada se puede aproximar mediante una diferencia dividida, como la figura

Esquema gráfico del método de la secante. Esta técnica es similar a la del método de Newton Raphson en el sentido de que una aproximación a la raíz se calcula extrapolando una tangente de la función hasta el eje x. Sin embargo, el método de la secante usa una diferencia en vez de la derivada para aproximar la pendiente. Por lo tanto el método de la secante

xi 1  xi 

xi  xi1  f xi  f xi   f xi 1 

xi 1  xi  

Ejemplo. Utilice el método de la secante para obtener la raíz real de la función

f ( x)  x 3  2x 2  10 x  20

xi 1  xi    103 xi 1  0 xi  1 Solución:


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Usando matlab %Método de la secante %MTI. Ulises Girón Jiménez clear all; clc; fprintf('\nCalculo de la raiz de una ecuacion por el metodo de la Secante\n\n'); f=input('Dame la funcion f(x) : ','s'); x0=input('Dame el valor del intervalo inferior de x : '); x1=input('Dame el valor del intervalo superior de x : '); e=input('Dame el porciento del error : '); ea=1000; c=1; while ea>e x=x0; g=eval(f); x=x1; gg=eval(f); xi=x1-((gg*(x0-x1))/(g-gg)); ea=abs((xi-x1)/xi)*100; x0=x1; x1=xi; c=c+1; end fprintf('\n\n\n\nLa raiz exacta es: %d',xi) fprintf('\n\nNumero de iteraciones: %d\n',c);

Newton Raphson Es una de las fórmulas más ampliamente usadas para localizar raíces, si el valor inicial de la raíz es Xi, entonces se puede extender una tangente desde el punto [Xi, f (Xi) ]. El punto donde esta tangente cruza el eje X, representa una aproximación mejorada de la raíz. El método de Newton-Raphson se puede obtener sobre la base de una interpretación geométrica, la primera derivada en X es equivalente a la pendiente


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f  xi  

f  xi   0 xi  xi 1

Que se puede ordenar para obtener

xi 1  xi 

f  xi  f  xi 

La cual es conocida como fórmula de Newton - Raphson.

Ejemplo. Utilice el método de Newton Raphson para obtener la raíz real de la función

f ( x)  x 3  2x 2  10 x  20 xi 1  xi    103

xi  0 i  0

Solución:

Ejemplo. Use

el

f ( x) 

método

de

Newton

Raphson

para

encontrar

la

raíz

de

la

ecuación

3x 2  18 x  15 , con un punto inicial de 8, con un error de aproximación Ea  0.01 . 5

Solución:


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 3.2.4. Raíces múltiples Una raíz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangencial al eje x. Por ejemplo, una raíz doble resulta de f ( x)  ( x  3)( x  1)( x  1) O, multiplicando términos,

f ( x)  x3  5x2  7 x  3 La ecuación tiene una raíz doble porque un valor de x hace que dos términos de la ecuación Sean igual a cero. Gráficamente, esto significa que la curva toca en forma tangencial al eje x en la raíz doble.

Figura: Ejemplos de raíces múltiples que son tangentes al eje x. obsérvese que la función no cruza el eje en casos de raíces múltiples pares a) y c), mientras que para multiplicidad impar si lo hace b)

Véase la figura a en x = 1. Observe que la función toca al eje pero no la cruza en la raíz.

Una raíz triple corresponde al caso en que un valor x hace que tres términos en una ecuación sea igual a cero, como en f ( x)  ( x  3)( x  1)( x  1)( x  1)

O, multiplicando los términos

f ( x)  x4  6x3 12x2 10x  3 Advierta que el esquema grafico ( véase la figura b) indica otra vez que la función es tangente al eje la raíz, pero que en este caso si cruza el eje. En general la multiplicidad impar de raíces cruza el


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 eje, mientras que la multiplicidad par no la cruza. Por ejemplo, la raíz cuádruple en la figura c no cruza el eje. Las raíces múltiples ofrecen ciertas dificultades a los métodos numéricos expuestos en la parte dos: 1. El hecho de que la función no cambia de signo en raíces múltiples pares impide el uso de los Metodos confiables que usan intervalos. De esta manera, de los métodos incluidos en este texto, los abiertos tiene la limitación de que pueden ser divergentes. 2. Otro posible se relaciona con el hecho de que no solo f(x), sino también f ´(x) se aproxima a cero. Estos problemas afectan a los métodos de Newton – Raphson y al de la secante, los cuales contienen derivadas en el denominador de sus respectivas formulas. Esto provocaría una división entre cero cuando la solución converge muy cercana a la raíz. 3. Se puede demostrar que el método de Newton – Raphson y el método de la secante convergen en forma lineal en vez de cuadrática, cuando hay raíces múltiples:.

El Método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de la ecuación f(x) = 0, ya que converge rápidamente, la contra es que uno debe conocer la derivada de f(x) y se necesita una aproximación inicial a la raíz.

Permite aproximar las primeras N iteraciones en el método de Newton-Raphson modificado aplicado a la función f tomando como aproximación inicial x0. Observe que no requiere construir la función M definida en el método de Newton-Raphson modificado

xi 1  xi 

f ( xi ) f ( xi )

 f ( xi )2  f ( xi ) f ( xi )

Algoritmo Para calcular el punto xi+1, calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 m  f ( xi ) Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

y  f ( xi )  f ( xi )( x  xi ) Hacemos y=0:

 f ( xi )  f ( xi )( x  xi ) Y despejamos x:

x  xi 

f ( xi ) f ( xi )

Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:

xi 1  xi 

f ( xi ) si f ( xi )  0 f ( xi )

Se puede derivar la ecuación.

xi 1  xi 

f ( xi ) f ( xi )

 f ( xi )2  f ( xi ) f ( xi )

Ejemplo: Método de Newton Raphson modificado para el cálculo de raíces múltiples. Enunciado del problema. Use los dos métodos, el estándar y el modificado, de Newton Raphson para evaluar la raíz múltiple de la ecuación con valor inicial de x0  0 con . E = 0.001, la función es f ( x)  x3  5 x 2  7 x  3 Solución La derivada es:

f ( xi )  3x 2  10 x  7

Y por lo tanto, el método de Newton Raphson para este problema es


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 xi3  5 xi2  7 xi  3 xi 1  xi  3xi2  10 xi  7 Que se puede resolver iterativamente para obtener:

Como ya se había anticipado, el método converge en forma lineal hasta el valor verdadero de 1.0. Para el caso del método modificado, la segunda derivada es f ( xi )  6x 10 y la relación iterativa es:

xi 1  xi 

( xi3  5 xi2  7 xi  3)(3xi2  10 xi  7) (3xi2  10 xi  7)2  ( xi3  5 xi2  7 xi  3)(6 xi  10)

Que se puede resolver para obtener :

3.2.5. Raíces de polinomios. Método de Müller. Método de Bairstow Método de Müller. Un método deducido por Müller, se ha puesto en práctica en las computadoras con éxito sorprendente. Se puede usar para encontrar cualquier tipo de raíz, real o compleja, de una función arbitraria. Converge casi cuadráticamente en un intervalo cercano a la raíz y a diferencia del método de Newton – Raphson, no requiere la evaluación de la primera derivada de la función y obtiene raíces reales y complejas aun cuando estas raíces sean repetidas.


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 La aplicación del método requiere valores iniciales y es una extensión del método de la secante, el cual aproxima la gráfica de la función f(x) por una línea recta que pasa por los puntos

( xi 1, f ( xi 1 )) y ( xi , f ( xi )). El método de la secante obtiene raíces de una función estimando una proyección de una línea recta en el eje de las x, a través de los valores de la función. El método de Müller, trabaja de manera similar, pero en lugar de hacer la proyección de una recta utilizando dos puntos, requiere de tres puntos para calcular una parábola.

Para esto necesitaremos de tres puntos

[X0, f(X0)], [X1, f(X1)] y [X2, f(X2)]. La aproximación la

podemos escribir como: f2(x) = A(x – x2)2 + B(x – x2) + C Los coeficientes de la parábola los calculamos resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones. f2(x0) = A(x0 – x2)2 + B(x0 – x2) + C f2(x1) = A(x1 – x2)2 + B(x1 – x2) + C f2(x2) = A(x2 – x2)2 + B(x2 – x2) + C

De la última ecuación podemos ver que el calor de C = f2(x2). Sustituyendo los valores de C en las otras dos ecuaciones tenemos: f2(x0)- f2(x2) = A(x0 – x2)2 + B(x0 – x2) f2(x1) - f2(x2) = A(x1 – x2)2 + B(x1 – x2)

Si definimos h0 = x1 - x0 h1 = x2 – x1 d0 = [f(x1) – f(x0)]/[x1 – x0] d1 = [f(x2) – f(x1)]/[x2 –x1] Sustituyendo en las ecuaciones tenemos -(d0* h0 + d1* h1)= A(h1 + h0 )2 - B(h1 + h0 ) -d1* h1 = A(h1)2 - Bh1


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 La solución de este sistema de ecuaciones es:

A = (d1 – d0)/(h1 + h0) B = Ah1 + d1 C = f(x2)

Ahora para calcular la raíz del polinomio de segundo grado, podemos aplicar la formula general. Sin embargo, debido al error potencial de redondeo, usaremos una formulación alternativa.

Ejemplo. Use el método de Müller con los valores iniciales de 4.5, 5.5 y 5 para determinar la raíz de la ecuación f(x) = x3 – 13x – 12. x0

x1

x2

f(x0)

f(x1)

f(x2)

x3

4.50000 5.50000 5.00000 20.62500 82.87500 48.00000 3.97649 5.50000 5.00000 3.97649 82.87500 48.00000 -0.81633 4.00105 5.00000 3.97649 4.00105 48.00000 -0.81633 0.03678

4.00000

3.97649 4.00105 4.00000 -0.81633 0.03678

4.00000

0.00002

Método de Bairstow El método de Bairstow es un método iterativo, basado en el método de Müller y de Newton Raphson. Dado un polinonio fn(x) se encuentran dos factores, un polinomio cuadrático f2(x) = x2 – rx – s y fn-2(x). El procedimiento general para el método de Bairstow es: 

Dado fn(x) y r0 y s0



Utilizando el método de NR calculamos f2(x) = x2 – r0x – s0 y fn-2(x), tal que, el residuo de fn(x)/ f2(x) sea igual a cero.



Se determinan la raíces f2(x), utilizando la formula general.



Se calcula fn-2(x)= fn(x)/ f2(x).



Hacemos fn(x)= fn-2(x)



Si el grado del polinomio es mayor que tres regresamos al paso 2


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 

Si no terminamos

La principal diferencia de este método, respecto a otros, es que permite calcular todas las raíces de un polinomio (reales e imaginarias).

Para calcular la división de polinomios, hacemos uso de la división sintética. Así dado fn(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 Al dividir entre f2(x) = x2 – rx – s, tenemos como resultado el siguiente polinomio fn-2(x) = bnxn-2 + bn-1xn-3 + … + b3x + b2

con un residuo R = b1(x-r) + b0, el residuo será cero solo si b1 y b0 lo son.

Los términos b, los calculamos utilizamos división sintética, la cual puede resolverse utilizando la siguiente relación de recurrencia bn = an bn-1 = an-1 + rbn bi = ai + rbi+1 + sbi+2

Una manera de determinar los valores de r y s que hacen cero el residuo es utilizar el Método de Newton-Raphson. Para ello necesitamos una aproximación lineal de b1 y b0 respecto a r y s la cual calculamos utilizando la serie de Taylor

donde los valores de r y s están dados y calculamos los incrementos dr y ds que hacen a b1(r+dr, s+ds) y b0(r+dr, s+dr) igual a cero. El sistema de ecuaciones que tenemos que resolver es:


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Bairtow muestra que las derivadas parciales pueden obtener haciendo un procedimiento similar a la división sintética, así cn = bn cn-1 = bn-1 + rcn ci = bi + rci+1 + sci+2

donde

Sustituyendo término

Ejemplo 1 Dado el polinomio f5(x) = x5 - 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 - 3.875x + 1.25, determinar los valores de r y s que hacen el resido igual a cero. Considere r0 = -1 ys0 = 2. Solución. Iteración 1. La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -x + 2.0 da como resultado f3(x) = x3 - 4.5x2 + 9.25x - 16.125

Residuo = {30.75, -61.75}

Aplicando el método de Newton tenemos

-43.875

16.75

dr

-30.75

108.125

-43.875

ds

61.75

de donde r1 = -1.0 + 2.7636812508572213 =1.7636812508572213 s1 = 2.0 + 5.403374022767796 =7.403374022767796


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Iteración 2. La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -1.7636812508572213x - 7.403374022767796 da como resultado f3(x) = x3 - 1.7363187491427787x2 + 7.091061199392814x - 1.776754563401905 Residuo = {51.75640698828836, 105.68578319650365}


27.628006

14.542693

dr

-51.75640

208.148405

27.62800

ds

-105.68578

de donde r2 = 1.7636812508572213 - 0.04728019113442016 = 1.7164010597228012 s2 = 7.403374022767796 - 3.469106187802152 = 3.934267834965644

Iteración 3. La división sintética con el polinomio f2(x)= x2 - 1.7164010597228012x - 3.934267834965644 da como resultado f3(x) = x3 - 1.7835989402771988x2 + 3.622896723753395x + 1.3261878347051992 Residuo = {12.654716254544885, 28.1881465309956}


13.83497

7.44182

dr

-12.65471

65.679212

13.83497

ds

-28.18814

de donde

r3 = 1.7164010597228012 - 0.11666951305731528 = 1.599731546665486 s3 = 3.934267834965644 - 1.4835870659929915 = 2.4506807689726524


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 En resumen k

r

s

Residuo

0

-1

2

30.75

-61.75

1

1.76368

7.403374

51.756406

105.68578

2

1.71640

3.93426

12.65471

28.18814

3

1.599731

2.450680

2.89958

8.15467

4

1.33354

2.18666

0.760122

2.522228

5

1.11826

2.11302

0.271940

0.607688

6

1.02705

2.02317

0.04313

0.11185

7

1.00165

2.00153

0.00277

0.00634

8

1.00000

2.00000

1.13930E-5

2.67534E-5

La solución es: f3(x) = x3 - 2.53x2 + 2.25x - 0.625 y f2(x) = x2 - x - 2 Las raíces de f2(x) = x2 - x - 2, son x1 = 2 x2 = -1 Si repetimos el ejemplo pero ahora considerando el polinomio f3(x) = x3 - 2.53x2 + 2.25x - 0.625 , podemos calcular el total de las raíces del polinomio original.

3.3 Solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. 3.3.1. Métodos para solución de ecuaciones lineales. Jacobi. Gauss- Seidel. GaussJordán. Otros métodos Jacobi

El método de Jacobi es un proceso simple de iteraciones de punto fijo en la solución de raíces de una ecuación. La iteración de punto fijo tiene dos problemas fundamentales: 

Algunas veces no converge



Cuando lo hace, es a menudo, muy lento.


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 El método Jacobi también puede tener esas fallas. Esquema grafico que muestra el método de iteración de Jacobi, en la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultaneas.

 a,i 

xik  xik 1 *100   s xik

Ejemplo: resuelva el siguiente sistema por el método de Jacobi

4 x1  x2  1  x1  4 x2  x3  1  x 2  4 x3  x 4  1  x3  4 x 4  1 Con

 s  0.01

 a,i 

xik  xik 1 *100   s xik

Despejando las ecuaciones

x1 

x2  1 4

x2 

x k 1  x k   d1

x1  x3  1 4

d1 

x3 

x

k 1 1

 x1k

x2  x4  1 4

  x 2


k 1 2

 x2k

x4 



2

x3  1 4



 ...  xnk 1  xnk



2

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Problema: Un ingeniero necesita 4800 m3 de NaCl, 5810 m3 de KCl y 5960 m3 de NaOH, existen tres depósitos donde el ingeniero puede conseguir estos materiales. La composición de estos depósitos viene dada en la siguiente tabla. ¿ Cuantas m3 debe tomar de cada depósito para cumplir con las necesidades requeridas?. Use el método de Jacobi con E = 0.01 Solución:

Solo se muestran una parte de la tabla de donde se realizaron los cálculos, el motivo es porque es muy extensa la tabla, por lo tanto, los datos que necesitábamos, son los siguientes: 3 Depósito 1: 3744.76489 m


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 3 Depósito 2: 7071.74137 m 3 Depósito 3: 5753.48.485772 m

Problemas Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de Jacobi con   10 2

 x1  3x2  5x3  2 x4  10 x1  9 x2  8x3  4 x4  15 x2  x4  2 2 x1  x2  x3  x4  3

Gauss Seidel

Los métodos iterativos o aproximados proveen una alternativa en los métodos de eliminación. El método de Gauss-Seidel es el método iterativo más comúnmente usado. Suponga que se da un conjunto de n ecuaciones:

 Ax  B  a,i 

xik  xik 1 *100   s xik

Para toda la i, donde j y j-1 son las iteraciones actuales y previas.

Como cada nuevo valor de x se calcula con el método de Gauss-Seidel, este se usa inmediatamente en la siguiente ecuación para determinar otro valor de x. De esta manera, si la solución es convergente, se empleara la mejor estimación posible.


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Ejemplo: resuelva el siguiente sistema por el método de Gauss Seidel

4 x1  x2  1  x1  4 x2  x3  1  x 2  4 x3  x 4  1  x3  4 x 4  1 Con

 s  0.01

 a,i 

xik  xik 1 *100   s xik

Despejando las ecuaciones

x1 

x2  1 4

x2 

x k 1  x k   d1

x1  x3  1 4

d1 

x3 

x2  x4  1 4

x

 x1k

k 1 1

  x 2

k 1 2

x4 

 x2k



2

x3  1 4



 ...  xnk 1  xnk



2

Problema: Un ingeniero necesita 4800 m3 de NaCl, 5810 m3 de KCl y 5960 m3 de NaOH, existen tres depósitos donde el ingeniero puede conseguir estos materiales. La composición de estos


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 depósitos viene dada en la siguiente tabla. ¿ Cuantas m3 debe tomar de cada depósito para cumplir con las necesidades requeridas ? . Use el método de gauss Seidel con E = 0.01 Solución:

0.52 x1  0.20 x2  0.25x3  4800 0.30 x1  0.50 x2  0.20 x3  5810 0.18x1  0.30 x2  0.55x3  5960

Gauss Jordán

Problema: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de Gauss Jordán.

2 x1  3x2  x3  0 2 x2  x3  1 x1  x3  0

Solución.


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Donde los valores de x1 , x2 , x3 son:

x1  

3 5

x2 

1 5

x3 

3 5

En mathcad

2 3 1 0 A   0 2 1 1    1 0 1 0

 1 0 0 0.6  rref( A)   0 1 0 0.2     0 0 1 0.6 

En matlab

Problema: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de Gauss Jordán.

4 x1  9 x2  2 x3  5 2 x1  4 x2  6 x3  3 x1  x2  3x3  4


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3.3.2. Métodos de solución de sistemas de ecuaciones no lineales. Iterativo secuencial. Newton. Método iterativo secuencial A continuación se dan ejemplos:

a)

b)

f1 x1 , x2   x12  x22  4  0 f 2 ( x1 , x2 )  x2  x12  0 f1 ( x1, x2 )  10( x2  x12 )  0 f 2 ( x1 , x2 )  1  x1  0 f ( x1 , x2, x3 )  x1 x2 x3  10 x13  x2  0

c) f ( x1 , x2, x3 )  x1  2 x2 x3  sen( x2 )  15  0

f ( x1 , x2, x3 )  x22  5 x1 x3  3x33  3  0

Ejemplo: Encuentre una solución del sistema de ecuaciones no lineales

f1(x , y )  x 2  10x  y 2  8  0 f 2 (x , y )  xy 2  x  10y  8  0

Solución: Despejar x

x 

Despejar y

x2 y2 8 10

y 

xy 2  x  8 10

Con la notación de la ecuación:


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 x

k 1

(x k )2  (y k )2  8  10

con los valores iniciales

y

k 1



x k (y k )2  (y k )2  8 10

x 0  0, y 0  0, se inicia el proceso iterativo

Primera iteración

x1 

02  02  8  0.8 10

y1 

0(0)2  0  8  0.8 10

Segunda iteración

x2 

(0.8) 2  (0.8) 2  8  0.928 10

y2 

0.8(0.8)2  0.8  8  0.9312 10

Al continuar el proceso iterativo, se muestra la siguiente sucesión de vectores:

k

xk

yk

0

0.00000

0.00000

1

0.80000

0.80000

2

0.92800

0.93120

3

0.97283

0.97327

4

0.98937

0.98944

5

0.99578

0.99579

6

0.99832

0.99832

7

0.99933

0.99933

8

0.99973

0.99973

9

0.99989

0.99989

10

0.99996

0.99996

11

0.99998

0.99998


Página | 159

Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 12

0.99999

0.99999

13

1.00000

1.00000

Para observar la convergencia del proceso iterativo, se pudieron usar los criterios, como distancia entre dos vectores consecutivos, o bien las distancias componente a componente de dos vectores consecutivos.

Una condición suficiente aunque no necesaria, para asegurar la convergencia es que

g1 g 2 g g   M  1; 1  2  M  1 x x y y

Por otro lado, si M es muy pequeña en una región de interés, la iteración converge rápidamente; si M es cercana a 1 en magnitud, entonces la iteración puede converger lentamente.

  g x

x k 1  g1 x k , y k y

k 1

2

k 1



, yk



Sistemas de ecuaciones de Newton El método iterativo para sistemas de ecuaciones converge linealmente. Como en el método de una incógnita, puede crearse un método de convergencia cuadrática, es decir, el método de Newton – Raphson multivariable, a continuación se obtendrá este procedimiento para dos variables; la extensión a tres o más variables es viable generalizando los resultados. Supóngase que se está resolviendo el sistema.

f 1  x, y   0 f 2  x, y   0


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 Donde ambas funciones son continuas y diferenciables, de modo que puedan expandirse en serie de Taylor. Esto es:

f ( x, y)  f (a, b) 

f f 1 2 f 2 f 2 f ( x  a)  ( y  b)  [ ( x  a) 2  2 ( x  a)( y  b)  ( y  b) 2 x x 2! xx xy xy

  ...

Donde f(x, y) se ha expandido alrededor del punto (a, b) y todas las derivadas parciales están evaluadas en (a, b).

Para simplificar aún más se cambia la notación con

x k 1  x k  h y k 1  y k  j

y así queda la ( k + 1) – ésima iteración en términos de la k – ésima , como se ve a continuación:

x k 1  x k  h y k 1  y k  j

la sustitución de la ecuación :

f1 f h  1 j   f1 ( x k , y k ) x y f 2 f h  2 j   f 2 (xk , y k ) x y El cual es un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas h y j. Este sistema de ecuaciones lineales resultante tiene solución única, siempre que el determinante de la matriz de coeficiente o matriz j no sea cero; es decir, si


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 f1 x J  f 2 x

f1 y 0 f 2 y

Interpretación geométrica del método de Newton – Raphson. Desarrollemos en etapas esta interpretación para un sistema de dos ecuaciones. Sea el sistema

f1 ( x, y)  x 2  y 2  1 f 2 ( x, y)  x 2  y 2  1 La grafica de f1 ( x, y)  x  y  1 se muestra en la figura 4.4. 2

2

Use el método de Newton – Raphson para encontrar una solución aproximada del sistema:

f1(x , y )  x 2  10x  y 2  8  0 f 2 (x , y )  xy 2  x  10y  8  0 f1  f1   2y   x  2 x  10 y    f  f 2  2  y2 1  2 xy  10  x  y que aumentada en el vector de funciones resulta en:


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 f1  f1   2y 2 2  x  2 x  10  x  10 x  y  8 y   2  f 2  y 2  1 f 2  2 xy  10  xy  x  10 y  8  x  y Primera iteración



al evaluar la matriz en x 0 , y 0



T

se obtiene :

 10 0  8 1  10  8    que al resolverse por eliminación de Gauss da h = 0.8, j = 0.88 al sustituir en la ecuación se obtiene

x1  x 0  h  0  0.8  0.8 y1  y 0  j  0  0.88  0.88 Calculo de la distancia entre x 0 y x 1

x (1)  x (0)  (0.8  0) 2  (0.88  0) 2  1.18929

Segunda iteración



al evaluar la matriz en x 1 , y 1



T

se obtiene :

 8.400 1.7600  1.41440  1.7744  8.592  0.61952    Que al resolverse por eliminación de Gauss da h = 0.19179, j = 0.11171

al sustituir en la ecuación se obtiene

x 2  x1  h  0.8  0.19179  0.99179 y 2  y 2  j  0.88  0.11171  0.99171 Calculo de la distancia entre x 1 y x 2

x (1)  x (0)  (0.99179  0.8) 2  (0.99171  0.88) 2  0.22190 MTI. Ulises Girón Jiménez

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Con la continuación de este proceso iterativo se obtienen los resultados siguientes:

k

xk

yk

0

0.00000

0.00000

------

1

0.80000

0.88000

1.18929

2

0.99179

0.99171

0.22195

3

0.99998

0.99997

0.01163

4

1.00000

1.00000

0.00004

x k 1  x k

Problemas propuestos

Problema: En una columna de cinco platos, se requiere absorber benceno contenido en una corriente de gas V, con un aceite L que circula a contracorriente del gas. Considérese que el benceno transferido no altera sustancialmente el número de moles de V y L, fluyendo a contracorriente, que la relación de equilibrio está dada por la ley de henry (y = mx) y que la columna opera a régimen permanente. Calcule la composición del benceno en cada plato. Datos: V = 100 moles / min; L = 500 moles / min,

y0  0.09 Fracción molar de benceno en V.

x0  0.0 Fracción molar del benceno en L (el aceite entra por el domo sin benceno). m = 0.12.


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 Solución: los balances de materia para el benceno en cada plato son Plato

Balance de benceno

5 4 3 2 1

L x 0  x5   V  y 4  y 5   0 L x5  x 4   V  y 3  y 4   0 L x 4  x3   V  y 2  y 3   0 Lx3  x2   V  y1  y 2   0 Lx2  x1   V  y 0  y1   0

Al sustituir la información que se tiene, las consideraciones hechas y rearreglando las ecuaciones, se llega a: 512 x1 - 500 x2 = 9 12 x1 - 512 x2 + 500 x3 = 0 12 x2 - 512 x3 + 500 x4 = 0 12 x3 - 512 x4 + 500 x5 = 0 - 12 x4 + 512 x5 = 0 Un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas, que se resuelve con mathcad como sigue: 0 0 9  512 500 0  12 512 500  0 0 0   A   0 12 512 500 0 0  0 0 12 512 500 0    0 0 12 512 0   0

1  0  rref( A)   0  0  0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

  4.32  10  5 1.037 10  7 2.487 10  9 5.829 10  0.018

4

Problema: Con los datos del diagrama siguiente 8 donde los porcentajes están dados en peso) , encuentre posibles valores de la corriente M1 , M 2 , M 3 , si M 4  100kg

Solución: Mediante balance de materia por componentes y global, se tiene:


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 Componente

Balance de materia

Etanol

0.83M 1  0M 2  0.55M 3  0.58M 4  0 0M 1  0.61M 2  0.24M 3  0.21M 4  0 0.17 M 1  0.39 M 2  0.21M 3  0.21M 4  0 M1  M 2  M 3  M 4  0

Metanol Agua Global

0.83M 1  0M 2  0.55M 3  58 0M 1  0.61M 2  0.24M 3  21 0.17 M 1  0.39M 2  0.21M 3  21 M1  M 2  M 3  M 4  0

 0.83 0 0.55 58  A   0 0.61 0.24 21     0.17 0.39 0.21 21 

 1 0 0 19.014 rref( A)   0 1 0 4.225     0 0 1 76.761

Por lo tanto M1  19.014kg, M 2  4.225kg, M 3  76.761kg Problema: Un granjero desea preparar una formula alimenticia para engordar ganado, dispone maíz, desperdicios, alfalfa y cebada, cada uno con ciertas unidades de ingredientes nutritivos, de acuerdo con la tabla siguiente:

Alimento Maíz

Desperdicios

Alfalfa

Cebada

Requerimientos unidades / Kg.

Carbohidratos

80

15

35

60

230

Proteínas

28

72

57

25

180

Vitaminas

20

20

12

20

80

Celulosa

50

10

20

60

160

Costo $

18

5

7

20


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 a) Determine los kilogramos necesarios de cada material para satisfacer el requerimiento diario ( Presentado en la última columna) b) Determine el costo de la mezcla. ( a)

 80 28 A    20  50 

15 35 60 230



 1 0 rref( A)   0 0 

72 57 25 180

  10 20 60 160 20 12 20 80

0 0 0 1.852



1 0 0 1.032 0 1 0 0.618



0 0 1 0.745

 1.852 1.032 kilogramos    0.618  0.745  

( b) Costo  ( 18 5 7 20)

Total  Costo kilogramos

Total  ( 57.722)

Problema. (Manufactura). R. S. C. L. S y Asociados fabrica tres tipos de computadora personal: Ciclón, Cíclope y Cicloide. Para armar una Ciclón se necesitan 10 horas, otras 2 para probar sus componentes y 2 horas más para instalar sus programas. El tiempo requerido para la Cíclope es 12 horas en su ensamblado, 2.5 para probarla y 2 horas para instalarla. La Cicloide, la más sencilla de la línea, necesita 6 horas de armado, 1.5 horas de prueba y 1.5 horas de instalación. Si la fábrica de esta empresa dispone de 1560 horas de trabajo por mes para armar, 340 horas para probar y 320 horas para instalar, ¿ cuántas PC de cada tipo puede producir en un mes ? Solución: Marcas

Ensamblado Pruebas Instalación

Ciclón

10

2

2

Cíclope

12

2.5

2

Cicloide

6

1.5

1.5

1560

340

320

10 x  12 y  6 z  1560 2 x  2.5 y  1.5z  340 2 x  2 y  1.5z  320 MTI. Ulises Girón Jiménez

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Resuelta por el método de Gauss Jordán

 10 12 6 1560 A   2 2.5 1.5 340     2 2 1.5 320 

 1 0 0 60  rref( A)   0 1 0 40     0 0 1 80 

Por consiguiente cada mes se pueden fabricar 60 Ciclones, 40 Cíclopes y 80 Cicloides.

Problema. (Cambio de moneda extranjera).Una empresaria internacional necesita, en promedio, cantidades fijas de yenes japoneses, libras inglesas y marcos alemanes durante cada viaje de negocios. Este año viajo 3 veces. La primera vez cambio un total de $ 2550 dólar con las siguientes tasas: 100 yenes por dólar, 0.6 libras por dólar y 1.6 marcos por dólar. La segunda vez cambio $ 2840 dólar en total con las tasas de 125 yenes, 0.5 libras y 1.2 marcos por dólar. La tercera vez, cambio un total de $ 2800 dólar a 100 yenes, 0.6 libras y 1.2 marcos por dólar. ¿Cuantos yenes, libras y marcos compro cada vez?

Solución:

1 1 1 x y z  2550 100 0.6 1.6 1 1 1 x y z  2840 125 0.5 1.2 1 1 1 x y z  2800 100 0.6 1.2 Resuelta por el método de Gauss Jordán

 1  100  1 A    125  1   100

1 1 2550 0.6 1.6



1 1 2840 0.5 1.2 

 1 1 2800 0.6 1.2 

 1 0 0 80000 rref( A)   0 1 0 600     0 0 1 1200 

En consecuencia, cada vez compro 80 000 yenes, 600 libras y 1200 marcos para viajar.


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 Problema: (Cálculo de una función demanda). Bikey, Inc., quiere fabricar un nuevo tipo de zapato deportivo, poco costoso, e investiga el mercado de la demanda. Encuentra que si un par de zapatos nuevo cuesta $ 20 en un área de ingreso familiar promedio de $ 20000, y que si un competidor Tríceps, Inc., vende cada par de zapatos a $ 20, vendería 660 pares. Por otro lado, si el precio fuera igual y Tríceps bajara su precio a $10 el par, entonces, vendería 1130 pares en un área de $ 30000 de ingreso. Por último, si el precio de los zapatos fuera $ 15 el par, y la competencia se queda en $ 20 el par, se vendería 1010 pares en un área de $25000 de ingreso. Determine la función demanda, suponiendo que depende linealmente de sus variables. Solución: Sea D = a P + b I + c C . Deseamos conocer a, b y c.

20a  20000 b  20c  660 20a  30000 b  10c  1130 15a  25000 b  20c  1010 Resuelta por el método de Gauss Jordán

 20 20000 20 660  A   20 30000 10 1130    15 25000 20 1010

 1 0 0 20  rref( A)   0 1 0 0.05   0 0 1 3 

Por consiguiente, la función demanda esta expresada por D  20 P  0.05I  3C

Problema: (Soluciones químicas). Se necesitan tres ingredientes distintos, A, B y C, para producir determinada sustancia. pero deben disolverse primero en agua, antes de ponerlos a reaccionar para producir la sustancia. La solución que contiene A con 1.5 gramos por centímetros cúbicos ( g / cm3 ), combinada con la solución B cuya concentración es de 3.6 g / cm3 y con la solución C con 5.3 g / cm3 forma 25.07 g de la sustancia. si las proporciones de A, B y C en esas soluciones se cambian a 2.5, 4.3 y 2.4 g / cm3 , respectivamente ( permaneciendo iguales los volúmenes ), se obtienen 22.36 g de la sustancia. Por último, si las proporciones se cambian a 2.7, 5.5 y 3.2 g / cm 3 , respectivamente, se producen 28.14 g de la sustancia. ¿Cuáles son los volúmenes, en centímetros cúbicos, de las soluciones que contienen A, B y C? Solución:


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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020 1.5x  3.6 y  5.3z  25.07 2.5x  4.3 y  2.4 z  22.36 2.7 x  5.5 y  3.2 z  28.14

Resuelta por el método de Gauss Jordán

 1.5 3.6 5.3 25.07 A   2.5 4.3 2.4 22.36    2.7 5.5 3.2 28.14

 1 0 0 1.5  rref( A)   0 1 0 3.1     0 0 1 2.2 

Por consiguiente, los volúmenes correspondientes de las soluciones que contienen A, B y C son 1.5 cm3 , 3.1 cm3 y 2.2 cm3.

Problema. Un ingeniero industrial supervisa la producción de cuatro tipos de computadoras. Se requiere cuatro clases de recursos – horas-hombre, metales, plásticos y componentes electrónicos – en la producción. En el cuadro siguiente se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de computadora. Si se dispone diariamente de 504 horashombre, 1970 Kg. de metal , 970 Kg. de plástico y 601 componentes electrónicos, ¿Cuántas computadoras de cada tipo se puede construir por día?

Solución:

 3 20 A    10  10 

4

7 20 504 

 25 40 50 1970 15 20 22 970   8 10 15 601 

 1 0 rref( A)   0 0 


0 0 0 10 



1 0 0 12  0 1 0 18 



0 0 1 15 

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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020  3 20 M    10  10 

4

7 20 

 25 40 50  15 20 22   8 10 15 

soln  lsolve ( M  v)

 504  1970 v    970   601     10  12 soln     18   15   

Problema: Determine las concentraciones molares de una mezcla de cinco componentes en solución a partir de los siguientes datos espectrofotométricos

Asúmase que la longitud de la trayectoria óptica es unitaria y que el solvente no absorbe a estas longitudes de onda. Utilice el método de Gauss – Seidel. Utilizando como criterio de paro

  0.002 ; C j  es la concentración molar del componente j en la mezcla.


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Unidad 3. Analisis De Error Y Solucion De Ecuaciones a504v

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