Tugas Diagonalisasi Ortogonal 285n6l

DIAGONALISASI ORTOGONAL

Masalah Diagonalisasi :

Pada pembahasan kali ini adalah mengenai penentuan matriks diagonal D dan matriks pendiagonal P yang berkaitan dengan basis ruang eigen yang telah dipelajari pada bahasan sebelumnya. Jika A adalah matriks bujur sangkar berukuran n, dan terdapat matriks diagonal D sedemikian hingga D =

P 1 AP

sehingga dikatakan matriks A dapat didiagonalisasi. P

merupakan matriks n x n yang kolom-kolomnya merupakan vektor-vektor kolom dari basis ruang eigen A. P disebut matriks yang mendiagonalisasi A, sedangkan D merupakan matriks diagonal yang elemen diagonalnya merupakan semua nilai eigen dari A. Tidak semua matriks bujur sangkar dapat didiagonalisasi tergantung dari jumlah basis ruang eigen yang dimiliki. Jika matriks bujur sangkar berukuran n dan basis ruang eigen yang bebas linier berjumlah n juga, maka matriks tersebut dapat didiagonalisasi, jika jumlahnya kurang dari n maka tidak dapat didiagonalisasi. Pada saat matriks memiliki nilai eigen sejumlah n, maka basis ruang eigennya juga akan berjumlah n, sedangkan pada saat jumlah nilai eigennya kurang dari n, masih ada dua kemungkinan yaitu jumlah nilai eigennya sama dengan n atau jumlah nilai eigennya kurang dari n. Jadi pada saat jumlah nilai eigen sama dengan n maka matriks dapat didiagonalisasi, sedangkan pada saat jumlah nilai eigen kurang dari n belum bisa ditentukan apakah matriks bisa didiagonalisasi atau tidak. Contoh :  2 1  1 0 1 1    0 2 0 

Diketahui B = Apakah B dapat didiagonalisasi ? jika dapat tentukan matriks yang mendiagonalisasi B beserta matriks diagonalnya! Jawab : 

Persamaan karakteristik : det(λI - B) =

0

Det

1    2 1  0   1  1     2  2    2      2    1   2    0  2  

=0

Jadi nilai eigen : -1, 2 Karena hanya ada dua nilai eigen, maka belum bisa ditentukan apakah B dapat didiagonalisasi ataukah tidak. Untuk itu harus dicari banyaknya basis ruang eigen.

Untuk λ = 2 terdapat dua basis eigen :

basis eigen, yaitu

 1     1  2  

 1  0      0  dan 1   0  1    

, sedangkan untuk λ = -1terdapat satu

.

Jadi B dapat didiagonalisasi dengan matriks yang mendiagonalisasi P =

Dengan matriks diagonal D =

 1 0 1    0 1  1  0 1 2  

 2 0 0    0 2 0  0 0 1  

Definisi. Matriks kuadrat A dinamakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga

P 1 AP

= D, D adalah diagonal; matriks P dikatakan mendiagonalisasi

A. Teorema 2 : Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan – pernyataan berikut ekivalen satu sama lain. a) A dapat didiagonalisasi b) A mempunyai n vektor eigen bebas linear

Bukti :

 a    b

. Karena A dianggap dapat didiagonalisasi, maka terdapat matriks P yang dapat

dibalik

 P11  P  21  .   .  Pn1

P12 P22 . . Pn 2

. .

. .

.

.

P1n  P2 n  .   .  Pnn 

P=

Sehingga

P 1 AP

diagonal, katakanlah  1  0   . 

D=

 .  .   0

0

.

.

.

2 0 . . 0

.

.

.

P 1 AP

=D, dimana

0 0  .  

.

.

.

.  .    n 

0 2

. .

Maka, AP = PD; yakni  P11  P  21

AP =

 .   .  Pn1

P12 P22 . . Pn 2

. .

.

. .

.

P1n   1 P2 n   0 .   .   .   . Pnn   0

. . 0

.

. .

.

 1 P11 P  1 21

0 0 

.   .   n 



.  .  1 Pn1 

=

 2 P12 2 P22 . .  2 Pn 2

. .

.

n P1n   n P2 n  .   .  . n Pnn  . .

( 6.4)

Jika sekarang kita misalkan P1, P2,...,Pn menyatakan vektor-vektor kolom P, maka bentuk

1 P1 ,  2 P2 ,....,  n Pn diatas kolom-kolom AP yang berurutan adalah

. Akan tetapi, dari contoh AP1, AP2 ,...., APn .

18 bagian 1.4 kolom-kolom AP yang berurutan adalah

Jadi, kita harus

AP1,  1 P1 , AP2   2 P2 ,...., APn  n Pn .

memperoleh :

(6.5)

1 , 2 ,....,  n Karena P dapat dibalik, maka vektor-vektor kolomnya semuanya tak nol;jadi P1 , P2 ,...., Pn adalah nilai-nilai eigen A, dan

adalah vektor-vektor eigen yang

bersesuaian.Karena P dapat dibalik, maka dari teorema 15 bagian 4.6 diperoleh bahwa P1 , P2 ,...., Pn bebas linear. Jadi, A mempunyai n vektor eigen bebas linear.

 b   a 

P1 , P2 ,...., Pn . Anggaplah bahwa A mempunyai n vektor eigen bebas linear, maka

1 ,  2 ,....,  n dengan nilai eigen yang bersesuaian  P11  P  21  . 

P=

 .  .   Pn1

, dan misalkan

P12

.

.

.

P22 .

.

.

.

P2 n  .  

. . Pn 2

P1n 

.

.

.

.  .   Pnn  P1 , P2 ,...., Pn

Adalah matriks yang vektor-vektor kolomnya adalah hasil kali AP adalah n.

dan kolom-kolom dari

AP1  1 P1 , AP2   2 P2 ,...., APn   n Pn Tetapi Sehingga

AP =

 1 P11 2 P12 P  1 21 2 P22  . .  .  .  1 Pn1 2 Pn 2

. .

.

 n P1n   P11   P n P2 n   21  .   .   .   .  Pn1 .  n Pnn  . .

P12 P22 . . Pn 2

. .

. .

.

.

P1n  P2 n  .   .  Pnn 

 1  0   .   .  0

0 2 . . 0

. .

. .

.

.

0 0  .   .   n 

(6.6)

1 , 2 ,....,  n Dimana D adalah matriks ortogonal yang mempunyai nilai-nilai eigen

pada

diagonal utama. Karena vektor-vektor kolom dari P bebas linear, maka P dapat dibalik, jadi ( 6.6) dapat dituliskan kembali sebagai

P 1 AP  D

, yakni A terdiagonalisasi.

Contoh 1 : Carilah matriks P yang mendiagonalkan

 3  2 0   A    2 3 0  0 0 5  

Jawab : 

Persamaan karakteristik dari A adalah det (λI - A) =

Det

0

2 0    3  2  3 0      5  2  6  5     5   1   5   0 0   5

=0

Jadi nilai eigen : 1, 5 Karena hanya ada dua nilai eigen, maka belum bisa ditentukan apakah A dapat didiagonalisasi ataukah tidak. Untuk itu harus dicari banyaknya basis ruang eigen.

Untuk λ = 5, terdapat dua basis eigen :

  1  0      1  dan 0   0  1    

, sedangkan untuk λ = 1 terdapat satu

 1    1 basis eigen, yaitu

 0  

.

Jadi A dapat didiagonalisasi dengan matriks yang mendiagonalisasi P =

 1 0 1    1 0 1  0 1 0  

Dengan matriks diagonal D =

Contoh 2 : Diketahui C =

 5 0 0    0 5 0  0 0 1  

 1 0  2    0 1 0   0 1 2   

Apakah matriks C dapat didiagonalisasi ? Pemecahan : 

Persamaan karakteristik : det (λI - C) = 0   1  0  1  

1

0

2  0 

   1 2    2

  2

Det

0

=

=0

Jadi nilai eigennya = 1, 2 Karena hanya ada dua nilai eigen maka belum bisa ditentukan apakah C dapat didiagonalisasi ataukah tidak. Untuk itu akan diperiksa banyaknya basis ruang eigen. 

Untuk λ = 1, substitusikan nilai λ = 1 ke persamaan det (λI - C) 0 0 

0 0

2 0 



 0  1  1 x 0 0 



=

0

2  0 1 0  0 0    0 0 1  0  1  1  0 0 0 0

x



=

0

 s  0    0



x

=

Ruang eigen

 1  0  

  1, Jadi untuk

ada satu basis ruang eigen yaitu :

  2,



  2, substitusi nilai

Untuk

 0

 1 0 2  0 1 0 x    0  1 0

ke persamaan det (λI - C)

x



=

0



o

= 1 0 

0 1

2

0 

 0  1 0

 1 0 2   0 1 0  0  1 0   2s   0   





x

Ruang eigennya :

s 

=

  1, Jadi untuk

ada satu basis ruang eigen, yaitu :

  2  0     1 

Karena hanya ada dua basis ruang eigen yang bebas linier, maka C tidak dapat didiagonalisasi.

v1 , v 2 ,..., v n Teorema 3. Jika

adalah vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai-

1 ,  2 ,...,  k nilai eigen yang berbeda

v1 , v 2 ,..., v n , maka {

} adalah himpunan bebas linear.

v1 , v 2 ,..., v k Bukti : Misalkan

adalah vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai

1 ,  2 ,...,  k nilai-nilai eigen yang berbeda

v1 , v 2 ,..., v k . Kita akan menganggap bahwa

tak

bebas linear dan mendapatkan sebuah kontradiksi. Dengan demikian, kita dapat v1 , v 2 ,..., v k menyimpulkan bahwa

bebas linear.

Karena menurut definisi, vektor eigen akan tak nol, maka {v1}bebas linear. Misalkan r

adalah bilangan bulat terbesar sehingga {

v1 , v 2 ,..., v r

}bebas linear. Karena kita anggap

v1 , v 2 ,..., v k bahwa {

} tak bebas linear, maka r memenuhi

dari r, maka {

v1 , v 2 ,..., v r 1

1 r  k

.Lagi pula, menurut definisi

} tak bebas linear. Jadi terdapat skalar-skalar

c1 , c 2 ,..., c r 1

yang

tidak semuanya nol, seperti

c1v1  c 2 v 2  ...  c r 1v1  0

( 6.7)

Dengan mengalikan kedua ruas ( 6.7) dengan A dan dengan menggunakan

Av1  1v1 , Av 2   2 v 2 ,...., Av r 1  r 1v r 1 c11v1  c 2  2 v 2  ...  c r 1 r 1v r 1  0

, maka kita dapatkan

( 6.8 )

 r 1

Dengan mengalikan kedua ruas (6.7) dengan dan dengan mengurangkan persamaan yang dihasilkan dari ( 6.8 ) maka akan menghasilkan

c1 (1  r 1 )v1  c 2 ( 2   r 1 )v 2  ...  c r (r   r 1 )v r  0

 Karena

v1 , v 2 ,..., v r

 bebas linear, maka persamaan ini menyatakan bahwa

c1 (1   r 1 )  c 2 ( 2   r 1 )  ...  c r ( r  r 1 )  0

dan karena

1 , 2 ,...,  r 1 berbeda

satu sama lain, maka diperoleh bahwa

c1  c 2  ...  c r  0

( 6.9 )

Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini dalam ( 6.7 ) maka akan menghasilkan

c r 1v r 1  0

, karena vektor eigen

v r 1

tak nol maka diperoleh bahwa

c r 1  0

( 6.10 )

Persamaan-persamaan ( 6.9 ) dan ( 6.10 ) bertentangan dengan kenyataan bahwa

c1 , c 2 ,...., c r 1

tidak semuanya nol; ini melengkapi bukti tersebut.

Teorema 4. Jika matriks A yang berukuran n x n mempunyai n nilai eigen yang berbeda, maka A dapat didiagonalisasi.

v1 , v 2 ,...., v n Bukti. Jika

adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen

1 , 2 ,...., n yang berbeda

v1 , v 2 ,...., v n , maka menurut teorema 3,

bebas linear. Jadi, A dapat

didiagonalisasi, oleh teorema 2.

Contoh : Diketahui :

1 0  0  A 0 0 1  4  17 8



Pemecahan : dengan persamaan karakteristik A, yaitu : det (λI - A) = 3 eigen yang berbeda, yaitu : λ = 4, λ = 2 + didiagonalisasi.

0

didapatkan 3 nilai

3 , dan λ = 2 -

. Maka A dapat

0 0  4  P AP  D   0 2  3 0   0 0 2  3  1

DIAGONALISASI ORTOGONAL Masalah Diagonalisasi Ortogonal Matriks Bujur sangkar P disebut matriks ortogonal jika berlaku

P t  P 1

didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat P ortogonal sehingga

. Matriks A dapat

P 1 AP  D

( D adalah

matriks diagonal). DEFINISI : Matriks A kuadrat dinamakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matriks P yang ortogonal sehingga P -1 AP = PtAP= D dengan D adalah matriks diagonal; matriks P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal. Ada dua pertanyaan yang akan ditinjau : 1. Matriks-matriks manakah yang dapat didiagonalisasi secara ortogonal ? 2. Bagaimana kita mencari matriks ortogonal untuk melaksanakan diagonalisasi ? Untuk membantu kita menjawab pertanyaan pertama kita akan memerlukan definisi berikut : Definisi . Matriks A kuadrat kita namakan simetrik jika A = At Contoh :

Jika A =

 1 4 5  4  3 0    5 0 7 

maka A t =

 1 4 5  4  3 0    5 0 7 

=A

Ternyata A simetrik. Adalah mudah mengetahui matriks simetrik dengan pemeriksaan : entri-entri pada diagonal utama adalah sebarang, namun “ bayangan cermin” dari entri yang melintasi diagonal utama adalah sama. Teorema 5 . Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan berikut ekivalen satu sama lain. a) A dapat didiagonalisasi secara ortogonal. b) A mempunyai himpunan ortonormal dari n vektor eigen c) A adalah simetrik

Bukti :  (a) (b). Karena A dapat didiagonalisasi secara ortogonal, maka terdapat matriks P yang ortogonal sehingga

P 1 AP

= D, D adalahdiagonal. Seperti yang diperlihatkan dalam

bukti teorema 2, maka vektor kolom ke n dari Padalah vektor eigen A. Karena P ortogonal, maka vektor – vektor kolom ini ortonormal ( lihatteorema 33 dari bagian 4.10) sehingga A mempunyai n vektor eigen ortonormal.  (b) (a). Anggaplah bahwa A mempunyai himpunan ortonormal dari n vektor eigen

 p1 , p 2 , p3 ,... p n  . Seperti yang diperlihatkan dalam bukti teorema 2, maka matriks P dengan vektor-vektor eigen ini sebagai kolom-kolom akan mendiagonalisasi A. Karena vektor-vektor eigen ini ortonormal, maka P ortogonal sehingga akan mendiagonalisasi A secara ortogonal.   (a) (c). Dalam bukti (a) (b) kita menunjukkan bahwa matriks A yang berukuran n x n dapat didiagonalisasi oleh matriks P yang berukuran n x n secara ortogonal yang kolom-kolomnya membentuk himpunan ortonormal dari vektor-vektor eigen yang berukuran A. Misalkan D adalahmatriks diagonal D  P  AP A  P DP 1

Jadi, Sehingga ,



A t  PDP t



t

atau, karena P ortogonal, maka

A  P DP t

 PD t P t  PDP t  A

Yang menunjukkan bahwa A simetrik. Teorema 6 . Jika A adalah matriks simetris, maka vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda akan ortogonal.

Bukti.Misalkan

1

dan

2

adalah dua nilai eigen yang berbeda dari matriks A simetrik yang

berukuran n x n, dan misalkan

 v1  v   2 v1   .     .  v n 

 v1 '  

dan

'



 v2  v1   .     .   v '  n

adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian. Kita ingin

memperlihatkan bahwa '

'

'

v1 .v 2  v1v1  v 2 v 2  ...  v n v n  0 t

Karena

v1 v 2

adalah matriks 1 x 1 yang mempunyai

v1 .v 2

sebagai satu-satunya entrinya, maka t

kita dapat melengkapi bukti tersebut dengan memperlihatkan bahwa

v1 v 2

Karena v1 dan v2 merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai

= 0.

1

dan

2

, kita

mempunyai

Av1 = A v2 =

1

v1

2

( 6.11 )

v2

( 6.12 )

Dari ( 6.11 )

 Av1  t   1v1  t Atau v1 A t  1v1 t

t

Juga, karena A adalah simetrik, v1 A  1v1 t

t

Dengan mengalikan kedua ruas dari persamaan ini pada bagian kanan menggunakan v2 akan menghasilkan

v1 Av 2  1v1 v 2 t

t

Dan dengan mengalikan kedua ruas ( 6.12 ) pada bagian kiri menggunakan v1 Av 2   2 v1 v 2 t

1v1 v 2  2 v1 v 2 t

t

Atau

 1  2  v1t v 2

Namun demikian

v1

t

menghasilkan

t

Jadi, dari ( 6.13 )dan ( 6.14 )

1   2

( 6.13 )

0

t

, sehingga

v1 v 2  0

,

( 6.14 )