Trigonometria Aplicada 2h2am

Tri´ angulos Angel Montesdeoca Viernes, 7 de Diciembre del 2012 1 Consideremos las tres c´onicas circunscritas a un tri´angulo ABC y con centros en cada punto medio de los lados. Cada tres tangentes, en los v´ertices del tri´angulo, a cada c´onica forman tri´angulos perspectivos con ABC. Los tres perspectores P, Q y R, que as´ı se obtienen, forman un tri´angulo P QR perspectivo con ABC, con perspector el ortocentro de ABC. Las tres c´onicas se cortan, adem´as de en los v´ertices A, B y C, en tres puntos que forman un tri´angulo perspectivo con ABC, con perspector el ortocentro del tri´angulo anticomplementario de lados paralelos a los de ABC y que pasa por sus v´ertices. / Applet CabriJava 2 Toda c´onica inscrita en un tri´angulo es la imagen de la circunferencia inscrita mediante una homograf´ıa que deja fijo los v´ertices del tri´angulo y aplica el punto de Gergonne en un punto arbitrario dado. (El punto de Gergonne, X8 de ETC, es el de intersecci´on de las rectas que unen cada v´ertice con el punto de tangencia de la circunferencia inscrita con el lado opuesto). / Applet CabriJava 3 A toda recta ` en el plano del tri´angulo ABC le corresponde un punto, el ortopolo de ` con respecto a ABC. Para definir este punto, primero se trazan las perpendiculares AL, BM y CN desde los v´ertices de ABC sobre `. Desde los tres puntos as´ı obtenidos se trazan las perpendiculares sobre los lados opuestos del tri´angulo: desde L sobre BC, desde M sobre AC, y desde N sobre AB. Estas tres u ´ltimas rectas son concurrentes, y el punto donde ellas se intersecan se conoce como el ortopolo de ` con respecto a ABC. El ortopolo de la recta de Euler es el centro (X125 de ETC) de la hip´erbola de Jerabek (circunscrita al tri´angulo y que pasa por el circuncentro y ortocentro). El centro de la elipse, lugar geometrico de los ortopolos de las rectas que pasan por el incentro, es el X946 de ETC, punto medio del incentro y ortocentro. El lugar geom´etrico de los ortopolos de las rectas que pasan por el baricentro es una elipse que pasa por el centro de la hip´erbola de Jerabek y tiene centro en el punto medio (X381 de ETC) del baricentro y el ortocentro. El lugar geom´etrico de los ortopolos de las rectas que pasan por el circuncentro es la circunferencia de los nueve puntos, que pasa por los puntos medios de los lados. El lugar geom´etrico de los ortopolos de las rectas que pasan por el ortocentro es una elipse de centro el ortocentro y que pasa por los pies de las alturas y por el centro de la hip´erbola de Jerabek. El lugar geom´etrico de las recta que pasa por el centro de la circunferencia de los nueve puntos es una elipse cuyo centro (X546 de ETC) es el punto medio del ortocentro y el centro de la circunferencia de nueve puntos. / Applet CabriJava 4 Dado un tri´angulo ABC y un punto P , se denomina tri´angulo ceviano de P al tri´angulo A0 B 0 C 0 , siendo A0 la intersecci´on de AP con BC, B 0 la intersecci´on de BP con AC y C 0 la intersecci´on de con AB. El tri´angulo anticeviano de ABC con respecto al punto P es un tri´angulo A0 B 0 C 0 , tal que — B 0 C 0 pasa por A, A0 C 0 pasa por B y A0 B 0 pasa por C. — AA0 , BB 0 , CC 0 pasan por P . — ABC es el triangulo ceviano de A0 B 0 C 0 respecto a P . Demostrar que, si P (p1 : p2 : p3 ) y Q(q1 : q2 : q3 ) est´an dados en coordenadas baric´entricas y A0 B 0 C 0 es el tri´angulo ceviano de ABC respecto a P y A0 B 0 C 0 es el tri´angulo anticeviano de ABC respecto a Q, entonces las rectas A0 A0 , B 0 B 0 y C 0 C 0 son concurrentes en el punto ¶ µ ¶ µ ¶¶ µ µ q2 q3 q1 q2 q3 q1 q2 q3 q1 + : q2 − + : q3 + − . q1 − + p1 p2 p3 p1 p2 p3 p1 p2 p3 / Applet CabriJava 5 Dado un tri´angulo ABC, se denota por a, b y c las longitudes de los lados opuestos a los v´ertices A, B y C, respectivamente. Encontrar gr´aficamente el punto P de coordenadas baric´entricas (a : b : c), respecto a ABC. Demostrar que se trata del incentro. / Applet CabriJava 6 Sean ABC un tri´angulo y P un punto de su plano. Denotemos por Pa , Pb y Pc , las proyecciones de P desde cada v´ertice sobre el lado opuesto. Consideremos las rectas sim´etricas, respecto a las bisectrices en cada v´ertice, de las rectas APa , BPb y c . Demostrar que tales rectas se cortan en un punto Q, denominado isogonal conjugado de P . / Applet CabriJava 1

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7 Se denomina transformaci´on isogonal respecto a un tri´angulo ABC, a la aplicaci´on que lleva un punto en su isogonal conjugado. (ª) Demostrar que para cada recta que pasa por los puntos medios de los lados de ABC, su transformada isogonal es una c´onica circunscrita al tri´angulo. Si la recta considera es la paralela a AB, dicha c´onica es tangente a la circunferencia circunscrita en C. An´alogamente con las otras dos. Cada par de estas tres c´onicas son tangentes entre s´ı, en cada v´ertice y en aquellos que no son tangentes a la circunferencia circunscrita, la tangente com´ un es la recta sim´etrica de la mediana (simediana), respecto a la bisectriz, que parten de tal v´ertice. Las rectas que unen cada v´ertice con el centro de la c´onica que es tangente a la circunferencia circunscrita, en tal v´ertice, son concurrentes. / Applet CabriJava 8 Dado un tri´angulo ABC y un punto P en su plano, cada paralela por P a los lados del tri´angulo cortan a ´estos en en ´ tres pares de puntos, que est´an en una c´onica. Esta es una circunferencia si P (a2 : b2 : c2 ), que es simediano o punto de Lemoine. / Applet CabriJava 9 Dado un tri´angulo ABC y un punto P en su plano, una recta r, que pasa por P , corta a sus lados o prolongaciones en los puntos X, Y y Z, Sean los puntos X 0 , Y 0 y Z 0 sim´etricos de los X, Y y Z, respecto a los puntos medios de los lados donde se encuentran. Los puntos X 0 , Y 0 y Z 0 est´an en una recta r0 , se pide la envolvente de las rectas r0 , cuando r var´ıa. / Applet CabriJava 10 Determinar los puntos D y E de los lados AB y AC de un tri´angulo ABC de modo que BD = DE = EC. / Applet CabriJava 11 Dado un tri´angulo ABC, tazamos paralelas a sus lados (en el semiplano que contiene al v´ertice opuesto) a distancias da , db , dc tales que a b c = = = k. da db dc Estas paralelas se cortan dos a dos sobre rectas que pasan por los v´ertices (cuando k var´ıa). Estas tres u ´ltimas rectas concurren en el simediano, X6 de ETC. / Applet CabriJava 12 Dada una elipse y un punto P en su plano, se llama hip´erbola (equil´atera) de Apolonio a la que pasa por los pies de las normales a la elipse trazadas desde P ; dicha hip´erbola es el lugar geom´etrico de los puntos de intersecci´on de un di´ametro variable de la elipse con la perpendicular a su di´ametro conjugado trazada desde P . Dado un tri´angulo ABC, la elipse inscrita de Steiner es la que es tangente a los lados en sus puntos medios; su centro es el baricentro del tri´angulo. Denotamos por A0 , B 0 y C 0 cada centro de la hip´erbola de Apolonio relativa a la elipse de Steiner y a cada v´ertices A, B y C de ABC, respectivamente. Entonces el tri´angulo A0 B 0 C 0 es perspectivo de ABC y su perspector es el punto de Tarry (X98 de ETC). / Applet CabriJava 13 Dado un tri´angulo ABC, se consideran la c´onica C inscrita con perspector el ortocentro H, un punto M en la circunferencia circunscrita y la hip´erbola de Apolonio H relativa a M y a la c´onica C. El lugar geom´etrico del centro de dicha hip´erbola, cuando M var´ıa, es una elipse cuyo centro coincide con el de la hip´erbola de Jerabek (X125 de ETC). / Applet CabriJava 14 Dado un tri´angulo ABC con baricentro G, sea Γa la circunferencia circunscrita a BCG y denotamos por Ba y Ca los otros puntos de intersecci´on de Γa con AC y AB, respectivamente. Consideremos las circunferencias Γ∗ab y Γ∗ac , circunscritas, respectivamente, a los tri´angulo ABBa y ACCa ; ´estas se cortan, adem´as de en A, en otro punto A0 . Similarmente, se construyen los las circunferencias Γb y Γc , los puntos Ab , Cb , Ac y Bc y las circunferencias Γ∗ba , Γ∗bc , Γ∗ca y Γcb . Y se terminan los puntos B 0 y C 0 . Se tiene entonces que los ejes radicales AA0 , BB 0 y CC 0 son paralelos, es decir que los tri´angulos ABC y A0 B 0 C 0 son perspectivos con centro de perspectividad en el infinito: X524 (de ETC), isogonal conjugado del punto de Parry (X111 ). 15 En un tri´angulo ABC, I(r) es la circunferencia inscrita y Ma , Ha son los pies de la altura y mediana desde el v´ertice A, respectivamente, sea T = IMa ∩ AHa . Probar que AT = r. / Applet CabriJava

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16 Dado un tri´angulo ABC, sea I el incentro y consideremos las tres semirrectas que unen I con los puntos X, Y, Z de o de la circunferencia inscrita con los lados. Sea A0 , B 0 y C 0 sobre IX, IY y IZ, respectivamente, tales que IA0 = IB 0 = OC 0 . Entonces las rectas AA0 , BB 0 y CC 0 son concurrentes. El punto de concurrencia (punto de Kariya) est´a sobre la la hip´erbola de Feuerbach (hip´erbola equil´atera circunscrita a ABC y que pasa por I). En particular, cuando A0 , B 0 y C 0 son los sim´etricos de I respecto a X, Y y Z, respectivamente, el punto de concurrencia en cuesti´on es el X79 de ETC. / Applet CabriJava 17 Dado un tri´angulo ABC y un punto P en su plano, el lugar geom´etrico de los tripolos de las rectas que pasan por P es una c´onica circunscrita a ABC y cuyas tangentes en los v´ertices son las rectas AA0 , BB 0 y CC 0 , siendo A0 , B 0 y C 0 los puntos de corte de la tripolar de P con los lados de ABC. / Applet CabriJava 18 Sean C la c´onica inscrita al triangulo ABC con perspector P (p : q : r) (los puntos de tangencia con los lados son los pies X(0 : q : r), Y (p : 0 : r) y Z(p : q : 0) de las cevianas de P ) y Q(u : u : w) un punto arbitrario. Demostrar que las coordenadas baric´entricas del segundo punto de intersecci´on A0 de C con XQ son à µ ¶2 µ ¶2 ! 4u2 u v w u v w :q + − :r − + . p p q r p q r Similarmente se definen B 0 y C 0 . Demostrar que el triangulo A0 B 0 C 0 es perspectivo don ABC y que el centro de perspectividad (perspector) es     p q r   µ ¶2 : µ ¶2 : µ ¶2  .  u v w v w u w u v  − + + − + + − + + p q r q r p r p q En particular, si P = G(1 : 1 : 1) es el baricentro y Q = I(a : b : c), el centro, C es la elipse de Steiner x2 + y 2 + x2 − 2yz − 2zx − 2xy = 0. El centro de perpectividad pedido es (X279 de ETC) µ ¶ 1 1 1 : : , (s − a)2 (s − b)2 (s − c)2 que es el cuadrado baric´entrico de X7 , punto de Gergonne: punto de intersecci´on de las rectas que unen los v´ertices de ABC con los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los lados opuestos. / Applet CabriJava 19 Dadas tres puntos A, B y C no alineados y una recta `, existe un u ´nico tri´angulo Ta con baricentro en A, con ˜ pasan por B y C, dos de sus v´ertices en la recta ` y tal que los lados que pasan por el otro v´ertice (denotado por A) respectivamente. Supongamos que la recta ` var´ıa, girando alrededor de uno de sus puntos P , entonces se tienen los siguientes hechos: (1) El lugar geom´etrico descrito por el v´ertice A˜ es una c´onica circunscrita a ABC. (2) La c´onica pasa por el punto homot´etico de P en la homotecia de centro A y raz´on −2. (3) La tangente a la c´onica en A pasa por el punto A¯ de corte con el lado BC con el eje de perspectividad de ABC y su tri´angulo ceviano respecto a P . (4) Si P est´a en las rectas AB ´o AC la c´onica degenera en el producto de dos rectas. / Applet CabriJava 20 Dado un tri´angulo ABC y un punto P en su plano, sea L el tripolo de una recta ` por P y C` la c´onica circunscrita a ABC y que pasa por P y L. Denotamos por la c´onica lugar geom´etrico de los centros de las c´onicas C` , cuando ` var´ıa. Entonces, la c´onica pasa por los puntos medios de los lados y por los pies de las cevianas de P y su centro es el complemento del complemento de P , respecto a ABC. / Applet CabriJava 21 Por los v´ertices, A, B, C de un tri´angulo ABC, se trazan tres rectas de igual direcci´on que reencuentran a la circunferencia circunscrita Γ en A0 , B 0 y C 0 . Sea P un punto de Γ; las rectas P A0 , P B 0 y P C 0 vuelven a encontrar a las rectas BC, CA y AB en A∗ , B ∗ y C ∗ . Demostrar que estos puntos pertenecen a una misma recta `. ¿Cu´al es la direcci´on de esta recta? / Applet CabriJava http://webpages.ull.es/s/amontes

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22 Tri´angulos ABC tales que desde el v´ertice A se ven los segmentos BMa , Ma Ha y Ha C bajo un mismo ´angulo, siendo Ma y Ha los pies de la mediana y altura desde A, respectivamente. 23 Dado un segmento BC y un punto Va sobre ´el, encontrar el lugar geom´etrico de los v´ertices A de los tri´angulos ABC tales que su bisectiz en A pase por Va . 24 Encontrar un punto P en el interior de un tri´angulo rect´angulo is´osceles ABC, con el ´angulo recto en B, tal que se \ verifique P A = AB = BC y P[ CA = P AB. ¿Cu´anto miden los ´angulos del tri´angulo AP C? / Applet CabriJava 25 Lugar geom´etrico del incentro y exincentro relativo a un v´ertice de un tri´angulo variable del que se conoce las longitudes de los lados que concurren en dicho v´ertice. / Applet CabriJava [ = 30o . Adem´as, sea Q un 26 En un triangulo ABC, AC = BC se toma un punto P sobre el lado AB tal que A o \ [ [ punto, fuera del tri´angulo, cumpliendo Q = A + AP Q = 78 . Si todos los ´angulos de los tri´angulos ABC y QP B, medido en grados, son enteros, determinar los ´angulos de los dos tri´angulos. 27 Establecer que en un tri´angulo ABC, la distancia d del centro de la circunferencia inscrita cuyo radio es r, al centro de la circunscrita cuyo radio es R, est´a dada por la relaci´on d2 = R(R − 2r). 28 Construir un tri´angulo ABC del que se conoce el lado BC = a = 4, los radios de las circunferencias inscrita r = 1 y de la circunscrita R = 7. / Applet CabriJava 29 Dado un tri´angulo ABC, sean Va , Vb y Vc los pies de las bisectrices internas en los v´ertices A, B y C, respectivamente. Sea Q un punto variable en la circunferencia circunscrita Γ a ABC, el lugar geom´etrico del punto de intersecci´on de la recta QVa con la recta sim´etrica de AQ, respecto a AVa , es una hip´erbola Ha , circunscrita a ABC. Similarmente, se obtienen las hip´erbolas Hb y Hc , relativas a los v´ertices B y C. Si A0 es el cuarto punto de intersecci´on de Hb y Hc (distinto de A, B, C), B 0 es el cuatro punto de intersecci´on de Hc y Ha y C 0 es el cuarto punto de intersecci´on de Ha y Hb , entonces las rectas AA0 , BB 0 y CC 0 concurren en un punto: X171 de ETC. Los centros de las tres hip´erbolas forman un tri´angulo perspectivo con ABC de centro de perspectividad el baricentro de ´este. / Applet CabriJava 30 Dado un tri´angulo ABC, sean Wa , Wb y Wc los pies de las bisectrices externas en los v´ertices A, B y C, respectivamente. Sea Q un punto variable en la circunferencia circunscrita Γ a ABC, el lugar geom´etrico del punto de intersecci´on de la recta QWa con la recta sim´etrica de AQ, respecto a AWa , es una elipse Ea , circunscrita a ABC. Similarmente, se obtienen las elipses Eb y Ec , relativas a los v´ertices B y C. Si A0 es el cuarto punto de intersecci´on de Eb y Ec (distinto de A, B, C), B 0 es el cuatro punto de intersecci´on de Ec y Ea y C 0 es el cuarto punto de intersecci´on de Ea y Eb , entonces las rectas AA0 , BB 0 y CC 0 concurren en un punto: dista 3.7004051153cm del lado de longitud 6cm del ti´angulo de lados 6cm, 9cm y 13cm considerado en ETC. Los centros de las tres elipses consideradas forman un tri´angulo perspectivo con ABC de centro de perpectividad el baricentro de ´este. / Applet CabriJava 31 El punto impropio de una par´abola circunscrita a un tri´angulo ABC, tiene cuadrado baric´entrico el perspector de la par´abola; es decir, el centro de perspectividad del tri´angulo ABC y del formado por las tangentes a la par´abola en los v´ertices de ABC. / Applet CabriJava 32 Se consideran las par´abolas con v´ertices en los de un tri´angulo ABC y foco F com´ un. Cada dos de estas par´abolas tienen dos puntos comunes; las tres rectas que estos determinan son cocurrentes en el incentro del tri´angulo determinando por las tres directrices de las par´abolas. / Applet CabriJava 33 Cada una de las tres par´abolas con foco en un v´ertice y directriz el lado opuesto de un tri´angulo ABC, corta a los lados (no a sus prologaciones) que pasan por su foco en sendos puntos. Las rectas que unen cada par de estos puntos forman un tri´angulo A0 B 0 C 0 perspectivo con ABC, con centro de perspectividad el punto X1123 de ETC, de coordenadas baric´entricas (ab + S)(ac + S) : (bc + S)(ba + S) : (ca + S)(cb + S) http://webpages.ull.es/s/amontes

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donde a, b y c son las longitudes de los lados opuestos a los v´ertices A, B y C, respectivamente, y S es el ´area del tri´angulo. / Applet CabriJava 34 Sean D y E las circunferencias de igual radio tangentes entre s´ı y al lado BC, siendo D tangente tambi´en a AB y E tangente tambi´en a CA, Ambas circunferencias se intersecan en un punto A0 que queda en el interior del tri´angulo ABC. Se definen B 0 y C 0 de forma similar. Entonces A0 B 0 C 0 es perspectivo con ABC, y el centro de perspectividad es el punto de Paasche, X1123 de ETC. / Applet CabriJava 35 Cada una de las tres par´abolas con foco en un v´ertice y directriz el lado opuesto de un tri´angulo ABC, corta a la prolongaci´on de los lados que pasan por su foco en sendos puntos (exteriores al tri´angulo). Las rectas que unen cada par de estos puntos forman un tri´angulo A0 B 0 C 0 perspectivo con ABC, con centro de perspectividad el punto X1336 de ETC, de coordenadas baric´entricas (ab − S)(ac − S) : (bc − S)(ba − S) : (ca − S)(cb − S) donde a, b y c son las longitudes de los lados opuestos a los v´ertices A, B y C, respectivamente, y S es el ´area del tri´angulo. / Applet CabriJava 36 Lugar geom´etrico de los puntos de intersecci´on del eje y la directriz de las par´abolas inscritas en un tri´angulo equil´atero. / Applet CabriJava 37 En todo tri´angulo no equil´atero el ortocentro H, el baricentro G y el circuncentro O est´an alineados, y, adem´as, se −−→ −−→ cumple la relaci´on m´etrica: HG= 2 GO. La recta que los contiene se conoce como recta de Euler (1707-1783). / Applet CabriJava 38 Una recta que pasa por el incentro de un tri´angulo ABC corta a los lados AB y AC en los puntos D y E, respectivamente. Sea P el punto de intersecci´on de BE y CD. Si X, Y y Z son los respectivos pies de las perpendiculares desde P a BC, CA y AB, demu´estrese que: 1 1 1 = + . PX PY PZ / Applet CabriJava 39 Dado un tri´angulo ABC, sean Γ la circunferencia circunscrita y H el ortocentro. El lugar geom´etrico de las mediatrices de los segmentos P H, cuando P var´ıa en Γ es una c´onica inscrita en ABC, conocida como la c´onica de MacBeath. El punto medio de P H describe la circunferencia de Euler o de los nueve puntos. / Applet CabriJava 40 Dado un tri´angulo ABC y un punto X sobre el lado BC. Sean Xb y Xc los puntos sim´etricos de X respecto a los lados AC y AB, respectivamente, Xb0 la proyecci´on de Xb desde B sobre el lado AC y Xc0 la proyecci´on de Xc desce C sobre el lado AB. Entonces, cuando X var´ıa, las rectas XXb0 pasan por un punto fijo B 0 y tambi´en las rectas XXc0 pasan por un punto fijo C 0 . Similarmente, al considerar un punto Y en el lado AC las rectas y las correspondientes rectas Y Ya0 pasan por un punto fijo A0 y las rectas Y Yc0 pasan por C 0 . Y al considerar un punto variable Z sobre el lado AB, las correspondientes rectas ZZa0 y ZZb0 pasan por A0 y B 0 . El tri´angulo A0 B 0 C 0 es perspectivo con ABC y el centro de perspectividad es el ortocentro H de ´este. / Applet CabriJava 41 Sean ABC un tri´angulo y Γ su circunferencia circunscrita. Consideremos las homolog´ıas involutivas σa de centro A y eje el lado BC, σb de centro B y eje el lado AC y σc de centro C y eje el lado AB. Sean las c´onicas im´agenes de Γ mediante estas homolog´ıas: Ca = σa (Γ), Cb = σb (Γ), Cc = σc (Γ). Entonces los centros de estas c´onicas forman un tri´angulo perspectivo con ABC con centro de perspectividad en el centro de homotecia de los tri´angulos ´ortico y tangencial de ABC (X25 de ETC). / Applet CabriJava 42 Dado un tri´angulo ABC, sean Γ su circunferencia circunscrita y A0 B 0 C 0 el tri´angulo tangencial, es decir, A0 es la intersecci´on de las tangentes en B y C a Γ, y similarmente B 0 y C 0 . Denotemos por A∗ el punto de tangencia de la circunferencia que pasa por B 0 y C 0 y es tangente a Γ. An´alogamente, denotamos por B ∗ y C ∗ los similares puntos de tangencia con Γ de la circunferencia que pasa por C 0 y A0 y de la que pasa por A0 y B 0 . Entonces, los tri´angulos ABC y A∗ B ∗ C ∗ son perspectivos, con centro de perspectividad (X25 de ETC) en el centro de homotecia de ABC y su tri´angulo ´ortico (con sus v´ertices en los pies de las alturas de ABC). / Applet CabriJava

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43 Dado un tri´angulo ABC, sea Γ su circunferencia circunscrita. Consideremos el punto de tangencia A0 con Γ de la circunferencia tangente a los lados AB y AC y a Γ, exteriormente. Similarmente, se consideran los puntos B 0 y C 0 . Entonces, los tri´angulos ABC y A0 B 0 C 0 son perspectivos con centro de perspectividad el centro de homotecia interno (X55 de ETC) de las circunferencias inscrita y circunscrita a ABC. / Applet CabriJava 44 Dado un tri´angulo ABC, sea Γ su circunferencia circunscrita. Consideremos el punto de tangencia A0 con Γ de la circunferencia tangente a los lados AB y AC y a Γ, interiormente. Similarmente, se consideran los puntos B 0 y C 0 . Entonces, los tri´angulos ABC y A0 B 0 C 0 son perspectivos con centro de perspectividad el centro de homotecia externo (X56 de ETC) de las circunferencias inscrita y circunscrita a ABC. / Applet CabriJava 45 Dado un tri´angulo ABC, existe una circunferencia Γa tangente interiormente a su circunferencia circunscrita Γ y a los lados AB y AC. Designamos, similarmente, por Γb y Γc , las correspondientes circunferencias, relativas a los v´ertices B y C, respectvamente. En la polaridad asociada a la circunferencia Γ, a Γa le corresponde una c´onica Ca ; y designamos por A∗ su centro. Similarmente, designamos por B ∗ y C ∗ los centros de las c´onicas Cb y Cc , correspondientes a Γb y Γc . Entonces, los tri´angulos ABC y A∗ B ∗ C ∗ son perspectivos, con centro de perspectividad el inverso (X(36) en ETC) del incentro de ABC, respecto a Γ. / Applet CabriJava 46 Sean un tri´angulo ABC y Γ su circunferencia circunscrita. Designamos por Γa la circunferencia tangente a los lados AB y AC y a Γ exteriormente, por Ca la c´onica polar de Γa respecto a Γ, y por A∗ su centro. Similarmente, consideramos las c´onicas Cb y Cc y sean B ∗ y C ∗ sus centros respectivos. Entonces, los tri´angulos ABC y A∗ B ∗ C ∗ son perspectivos y su centro de perspectividad es el X35 de ETC. / Applet CabriJava 47 Dado un tri´angulo ABC, sea Γ su circunferencia circunscrita y Γa la circunferencia tangente a los lados AB y AC y a Γ interiormente. Las tangentes a Γa desde B y C (distintas de BA y CA) se cortan en el punto A0 . Similarmente, se consideran las circunferencia Γb y Γc y los puntos B 0 y C 0 . Entonces, los tri´angulos ABC y A0 B 0 C 0 son perspectivos con centro de perspectividad el centro X57 de ETC. / Applet CabriJava 48 Dado un tri´angulo ABC, sea Γ su circunferencia circunscrita y Γa la circunferencia tangente a los lados AB y AC y a Γ, exteriormente. Denotamos por A0 el punto de corte de las tangentes (distintas de BA y CA) desde B y C a Γa . Similarmente, se consideran las circunferencia Γb y Γc y los puntos B 0 y C 0 . Entonces, los tri´angulos ABC y A0 B 0 C 0 son perspectivos con centro de perspectividad el MITTENPUNKT, centro X9 de ETC. / Applet CabriJava 49 Sea ABC un tri´angulo y denotemos por H su ortocentro, por Γ su circunferencia circunscrita y por Ca , Cb y Cc las circunferencias de di´ametros respectivos AH, BH y CH. Tomemos un punto P ∈ Γ y sea S(P ) la recta de Steiner relativa a P (determinada por los sim´etricos de P , respecto a los lados de ABC, y que pasa por H). S(P ) corta a las circunferencias Ca , Cb y Cc , adem´as de H, en los puntos A∗ , B ∗ y C ∗ , respectivamente. Sean Sa (P ) la recta perpendicular a S(P ) por el conjugado arm´onico de B ∗ y C ∗ respecto a A∗ , Sb (P ) la recta perpendicular a S(P ) por el conjugado arm´onico de A∗ y C ∗ respecto a B ∗ , y Sc (P ) la recta perpendicular a S(P ) por el conjugado arm´onico de A∗ y B ∗ respecto a C ∗ . Entonces la envolvente de las rectas Sa (P ), cuando P var´ıa en Γ, es una par´abola Pa , inscrita en ABC. An´alogamente, se tienen las par´abolas inscritas Pb y Pc . Los focos Fa , Fb y Fc de las par´abolas Pa , Pb y Pc , est´an en Γ y los tri´angulos ABC y Fa Fb Fc son perspectivos, con centro de perspectividad en el simediano de ABC. / Applet CabriJava 50 Sean ABC un tri´angulo no rect´angulo en A y V un punto situado sobre la recta BC, distinto de los v´ertices. La paralelas a AC y AB por por V cortan a AB y AC en D y E, respectivamente. La perpendicular a AB por V corta en G a AC. La perpendicular a AC por V corta en F a AB. Adem´as consideramos los puntos de intersecci´on J = GD ∩ V F y K = EF ∩ V G. a) Demostrar que cada uno de los siguientes enunciados es cierto si y s´olo si AV es una de las bisectrices del ´angulo A. DE es paralela a F G. F G es paralela a JK. DG, EF y AV son concurrentes. El tri´angulo V F G es is´osceles. http://webpages.ull.es/s/amontes

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b) V es el ortocentro de AF G. / Applet CabriJava 51 Sean ABC un tri´angulo y V un punto situado sobre la recta BC. La perpendicular a AB por V corta en Ab a AC. La perpendicular a AC por V corta en Ac a AB. Entonces el lugar geom´etrico del punto medio Ma de Ab Ac , cuando V var´ıa en el lado BC, es una recta `a . Si ahora el punto V se toma en la recta AC, la perpendicular a AB por V corta a BC en Ba y la perpendicular a BC por V corta a AB en Bc . Entonces el lugar geom´etrico del punto medio Mb de Ba Bc , cuando V var´ıa en el lado AC, es una recta `b . Finalmente, si el punto V est´a en la recta AB, la perpendicular a BC por V corta a AC en Cb y la perpendicular a AC por V corta a BC en Ca . Entonces el lugar geom´etrico del punto medio Mc de Ca Cb , cuando V var´ıa en el lado AB, es una recta `c . Ocurre entonces que las tres rectas `a , `b y `c determinan un tri´angulo A0 B 0 C 0 perspectivo con ABC con centro de perspectividad en el punto de coordenadas baric´entricas ¡ 4 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 4 4 4 4 4 2 2 SA SB + SA SC − SB SC − 2SA SB SC , SB SC + SB SA − SC SA − 2SB SC SA , ¢ 4 4 4 4 4 4 4 2 2 SC SA + SC SB − SA SB − 2SC SC SB . Se trata de un punto denominado ”triangle center” en ”The Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)” de Clark Kimberling1 / Applet CabriJava 52 Si D, E y F son los puntos medios de los lados BC, CA y AB de un tri´angulo ABC y, para un punto P , AP, BP y intersecan a los lados opuestos en L, M y N , respectivamente, probar que las rectas que unen D, E y F con los puntos medios de AL, BM y CN son concurrentes. / Applet CabriJava 53 Sea un punto P del plano del tri´angulo ABC, distinto de sus v´ertices, y los paralelogramos P BLC, P CM A y P AN B, probar que los segmentos AL, BM y CN concurren en un punto que divide a cada uno en dos partes iguales. / Applet CabriJava 54 Sean D, E y F puntos sobre los lados BC, CA y AC de un tri´angulo ABC tales que BD CE AF = = . DC EA FB Probar que los baricentros de ABC y DEF coinciden. Consideremos los paralelogramos EABL y F ASM , probar que F L y EM son paralelas a la mediana de ABC por A. Sean D0 , E 0 y F 0 los sim´etricos de D, E y F , respecto al punto medio de cada lado. Probar que el eje radical de las circunferencias circunscritas a los tri´angulos DEF y D0 E 0 F 0 es fijo, cuando D var´ıa en BC. / Applet CabriJava 55 Una recta que corta a los lados BC, CA y AB de un tri´angulo en los puntos D, E y F , respectivamente, se mueve de ED m tal forma que = , probar que la envolvente de dicha recta es una par´abola inscrita en ABC. / Applet CabriJava DF n 56 Se dan un tri´angulo ABC y un punto D tal que ABDC es un paralelogramo. Una circunferencia Γa pasando por A y con centro en un punto E de la circunferencia circunscrita a ABC, corta a los lados AC y AB en F y G, respectivamente. Encontrar las posiciones de E para que la recta F G pase por D. / Applet CabriJava \ vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita en V , corta a 57 En un tri´angulo ABC la bisectriz del ´angulo BCA la mediatriz de BC en P y a la mediatriz de AC en Q. El punto medio de BC es K y el punto medio de AC es L. Mostrar que los tri´angulos V P K y V QL tienen la misma ´area. / Applet CabriJava 58 En un tri´angulo ABC, sean AHa , BHb alturas y AVa , BVb bisectrices internas, I el incentro y O el circuncentro. Probar que Ha , Hb e I est´an alineados si y s´olo si Va , Vb y O est´an alineados. / Applet CabriJava 59 Sean D, E y F puntos sobre los lados BC, CA y AB de un tri´angulo ABC, tales que p BD = 0, DC p

CE q = 0, EA q

AF r = 0, FB r

1 http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/index.html,

http://webpages.ull.es/s/amontes

con p + p0 = q + q 0 = r + r0 = 1.

que no figura actualmente en ella, pero es el conjugado isogonal de X1498 .

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Tri´angulos

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Las rectas AD, BE y CF forman un tri´angulo P QR. Probar que las raz´on entre las ´areas de P QR y ABC es (p +

(pqr − p0 q 0 r0 )2 . + q 0 r0 )(r + r0 p0 )

p0 q 0 )(q

/ Applet CabriJava 60 Sean ABC un tri´angulo no rect´angulo y X un punto situado sobre la recta BC. La perpendicular a AB por X corta en Ab a AC. La perpendicular a AC por X corta en Ac a AB. Sea Y un punto de la recta AC, la perpendicular a AB por Y corta a BC en Ba y la perpendicular a BC por Y corta a AB en Bc . Finalmente, para un punto Z en la recta AB, la perpendicular a BC por Z corta a AC en Cb y la perpendicular a AC por Z corta a BC en Ca . Sean, ahora, Pa = AX ∩ Ab Ac , Pb = AY ∩ Ba Bc y Pc = AZ ∩ Ca Cb . Entonces, los puntos Pa , Pb y Pc , cuando X, Y y Z var´ıan en los lados BC, CA y AB, respectivamente, describen tres c´ ubicas Ca , Cb y Cc , que contienen a los tres v´ertices de ABC y tienen un punto doble en A, B y C, respectivamente. Las as´ıntotas ta , tb y tc de cada una de estas c´ ubicas determinan un tri´angulo A0 B 0 C 0 perspectivo con ABC, con centro de perspectividad en el punto X264 de coordenadas baric´entricas ³ ¢ b2 c2 (a2 + b2 − c2 )(a2 − b2 + c2 ), c2 a2 (b2 + c2 − a2 )(b2 − c2 + a2 ), a2 b2 (c2 + a2 − b2 )(c2 − a2 + b2 ) conjugado isot´omico del circuncentro de ABC. / Applet CabriJava 61 Sean un tri´angulo ABC y un punto P en su plano. El primer punto de la trisecci´on de la ceviana AP es el punto A0 que divide al segmento APa (Pa , pie de la ceviana) en la raz´on 1 : 2, es decir, AA0 : A0 PA = 1 : 2. Encontrar el lugar geom´etrico de P para que los tres primeros puntos de trisecci´on de las tres cevianas de P est´en alineados. ¿Para qu´e tales puntos P , la recta que pasa por los tres primeros puntos de trisecci´on pase adem´as por el baricentro de ABC? / Applet CabriJava 62 Dados un tri´angulo ABC y los puntos cualesquiera O, A0 , B 0 , C 0 en su plano, entonces, denotando por ∧ el producto exterior, se tiene: ~ paralelos a AA0 , BB 0 , CC 0 , AA0 , BB 0 , CC 0 son concurrentes si y s´olo si existen tres vectores (no todos nulos) ~u, ~v, w − → − − → − − → ~ = ~0 y OA ∧ ~u + OB ∧ ~v + OC ∧ w ~ = ~0. respectivamente, tales que ~u + ~v + w 63 Sean un tri´angulo ABC y un punto P en su plano. El punto A0 es el que divide al segmento APa (Pa , pie de la ceviana) en la raz´on 2 : 1, es decir, AA0 : A0 PA = 2 : 1. An´alogamente, B 0 es el que divide al segmento APb y C 0 es el que divide al segmento APc (Pb y Pc son los pies de las cevianas BP y ). Encontrar el lugar geom´etrico de P para que A0 , B 0 y C 0 est´en alineados. / Applet CabriJava 64 Las paralelas a los lados de un tri´angulo ABC por su simediano K, cortan a sus lados en seis puntos coc´ıclicos (primera circunferencia de Lemoine). Cada antiparalela por K a un lado, respecto a los otros dos, corta a estos en dos puntos. Los seis puntos as´ı determinados son coc´ıclicos (segunda circunferencia de Lemoine). / Applet CabriJava 65 La circunferencia inscrita a un tri´angulo ABC es tangente a los lados BC, CA y AB en los puntos D, E y F , respectivamente. Sean tres rectas paralelas entre s´ı que pasan por D, E y F , las cuales cortan a las rectas EF, F D y DE en los puntos A0 , B 0 y C 0 , respectivamente. Entonces las rectas AA0 , BB 0 y CC 0 son concurrentes. Hallar el lugar geom´etrico del punto de intersecci´on de estas rectas, cuando var´ıan las paralelas. / Applet CabriJava 66 Sea un circunferencia Γ de centro O. Sobre ella se toman dos puntos fijos A y B que son los dos v´ertices de la base de un tri´angulo ABC inscrito en Γ. Si un punto P recorre la circunferencia Γ, hallar el lugar geom´etrico 1) del ortocentro Hp del tri´angulo ABP . 2) del ortocentro Hp0 del tri´angulo A0 B 0 C 0 , siendo A0 , B 0 y C 0 las intersecciones de la circunferencia Γ con las bisectrices internas de los ´angulos en A, B y P , respectivamente. / Applet CabriJava 67 En cada lado de un tri´angulo ABC se toman puntos D, E y F , que son los primeros puntos de trisecci´on de los segmentos BC, CA y AB; las rectas AD, BE y CF determinan un tri´angulo P QR. Entonces la raz´on entre las ´areas de estos tri´angulos es 7. / Applet CabriJava 68 Sean `a , `b y `c las antiparalelas por un punto P a los lados BC, CA y AB de un tri´angulo ABC y Ca = `a ∩AB, Ba = `a ∩ AC, Ab = `b ∩ BC, Cb = `b ∩ BA, Ac = `c ∩ CB, Bc = `c ∩ CA. ¿Cu´al es el lugar geom´etrico de P para que las ´areas de los tri´angulos Ab Bc Ca y Ac Ba Cb sean iguales? / Applet CabriJava http://webpages.ull.es/s/amontes

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Tri´angulos

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69 Sea una circunferencia Γ de centro O. Sobre ella, se toman dos puntos fijos B y C que son los dos v´ertices de la base de un tri´angulo ABC inscrito en Γ. Sea un punto Q variable sobre Γ: 1.- Hallar el lugar geom´etrico del baricentro GQ del tri´angulo BCQ. 2.- Se trazan, en BCQ la altura desde el v´ertice B, que corta al lado CQ en el punto D, y la altura desde el v´ertice C que corta al lado QB en el punto E. Determinamos un punto P , en la recta DE, tal que P E/P D = k. Hallar el lugar geom´etrico de P . / Applet CabriJava 70 Sea ABC un tri´angulo y K su simediano (punto de Lemoine). Consid´erese la homotecia de centro en K y raz´on k y sean A0 , B 0 y C 0 los puntos homot´eticos de A, B y C, respectivamente. Entonces los puntos de corte de las rectas A0 B 0 , B 0 C 0 y C 0 A0 con los lados de ABC son coc´ıclicos (circunferencia de Tucker). / Applet CabriJava 71 Sea I el incentro de un tri´angulo no equil´atero ABC y X, Y, Z los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los lados BC, CA, AB, respectivamente. Probar que el ortocentro de XY Z est´a en la recta OI, donde O es el circuncentro de ABC. / Applet CabriJava 72 Demostrar que la hip´erbola de Kierpert (circunscrita al tri´angulo ABC y que pasa por el baricentro G y ortocentro H) es el lugar geom´etrico de los puntos cuyas polares trilineales son perpendiculares a la recta de Euler, GH. / Applet CabriJava 73 Sea ABC un tri´angulo. Sea A0 un punto que se mueve en la mediatriz L del lado BC. Sea B 0 el punto sobre la mediatriz del lado CA tal que el tri´angulo CB 0 A es semejante al BA0 C, y sea C 0 el punto sobre la mediatriz del lado AB tal que el tri´angulo AC 0 B es semejante al CB 0 A. Las tres rectas AA0 , BB 0 , CC 0 concurren en un punto, P . Cuando A0 recorre L, el punto P recorre la hip´erbola de Kiepert del tri´angulo ABC, circunscrita y que pasa por su baricentro y ortocentro. / Applet CabriJava 74 La circunferencia de los nueve puntos de un tri´angulo es el lugar geom´etrico de los centros de las hip´erbolas equil´ateras circunscritas. / Applet CabriJava 75 Probar que el lugar de los centros de las c´onicas circunscritas a un tri´angulo y que pasan por un punto P es la c´onica que pasa por los pies de las cevianas de P y por los puntos medios delos lados. / Applet CabriJava 76 Dado un tri´angulo, construir un punto P tal que las paralelas por ´el a los lados delimitan con ´estos, segmentos de la misma longitud. / Applet CabriJava 77 Sean un tri´angulo ABC, inscrito en una circunferencia Γ de centro O, y H su ortocentro. El lugar geom´etrico de los puntos medios de los lados de todos los tri´angulo inscritos en Γ, con ortocentro H, es la circunferencia de los nueve puntos de ABC. / Applet CabriJava 78 Sean H el ortocentro de un tri´angulo ABC y P un punto de la circunferencia circunscrita. La envolvente de las mediatrices de HP es un c´onica inscrita en ABC, con focos en H y O (circuncentro) y su centro coincide con el de la circunferencia de nueve puntos. / Applet CabriJava 79 En un tri´angulo acut´angulo ABC el ´angulo A vale 60o . Demostrar que una de las bisectrices del ´angulo formado por las dos alturas trazadas desde los v´ertices B y C pasa por el circuncentro del tri´angulo. / Applet CabriJava 80 Dado un tri´angulo ABC, prolongamos los lados AC hasta Ba y AB hasta Ca , tal que CBa = BCa = a. Similarmente, se definen los puntos Cb , Ab , Ac y Bc . Si A0 = BBa ∩ CCa , B 0 = CCb ∩ AAb y C 0 = AAc ∩ BBc , los tri´angulos ABC y A0 B 0 C 0 son perspectivos. / Applet CabriJava 81 Dado un tri´angulo ABC, denotamos, respectivamente, por O(R) y O0 (R0 ) sus circunferencias circunscrita y de Apolonio (tangente internamente a cada una de las circunferencias exinscritas); sean, adem´as, I el incentro, S el punto de Spieker (centro de la circunferencia inscrita al tri´angulo medial de ABC) y P el centro exterior de semejanza de PI R O(R) y O0 (R0 ). Demostrar que P, S e I son colineales y = . / Applet CabriJava PS R0 82 Si el lado a de un tri´angulo ABC es igual al cociente de la suma de los cuadrados de los otros dos lados por la suma de estos lados, es decir, b2 + c2 , a= b+c el segmento KI, que une el punto de Lemoine (simediano) al centro del c´ırculo inscrito (incentro), es paralelo a aquel lado e igual a abc(b − c) , 2s(b2 + c2 ) http://webpages.ull.es/s/amontes Angel M ontesdeoca. La Laguna, 2012

Tri´angulos

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siendo s el semiper´ımetro. / Applet CabriJava 83 En un tri´angulo ABC, sean I el centro de la circunferencia inscrita y D, E y F sus puntos de tangencia con los lados BC, AC y AB, respectivamente. Sea X el otro punto de intersecci´on de la recta AD con la circunferencia inscrita. Si M es el punto medio de EF , demostrar que los cuatro puntos X, I, M y D pertenecen a una misma circunferencia. Procediendo c´ıcliamente, sean Y el otro punto de intersecci´on de la recta BE con la circunferencia inscrita, Z el otro punto de intersecci´ on de la recta CF con la circunferencia inscrita, N es el punto medio de F D y L es el punto medio de DE, entonces las tres circunferencia IM D, IN E y ILF concurren (aparte de en I) en un punto, denominado punto de Fletcher (X1323 de ETC). / Applet CabriJava 84 Dado un tri´angulo ABC, denotamos por Ha , Hb y Hc los pies de las alturas desde los v´ertices A, B y C, respectivamente. Entonces, los pies Ba , Ca , Ya , Za de las perpendiculares desde Ha a AC, AB, BHb , CHc est´an alineados. Procediendo c´ıclicamente, ocurre que Cb , Ab , Zb , Xb , por una parte, y Ac , Bc , Xc , Yc , por otra, tambi´en est´an alineados. Las tres rectas as´ı obtenidas, determinan un tri´angulo perspectivo con ABC, con centro de perspectividad en el simediano de ´este. / Applet CabriJava 85 Sea un tri´angulo ABC y Γa , Γb y Γc las circunferencia de di´ametros BC, CA y AB, respectivamente. Los ejes radicales de Γa y cada circunferencia que pasa por A y tiene centro en AB, se cortan en un punto Pac , sobre la altura desde B. Los ejes radicales de Γa y cada circunferencia que pasa por A y tiene centro en AC, se cortan en un punto Pab , sobre la altura desde C. Similarmente obtenemos, de forma c´ıclica, los puntos Pba , Pbc , Pcb , Pca . Entonces, los puntos A0 = Pbc Pba ∩ Pca Pcb ,

B 0 = Pca Pcb ∩ Pab Pac ,

C 0 = Pab Pac ∩ Pbc Pba ,

forman un tri´angulo perspectivo con ABC, con centro de perspectividad en el perspector de Kiepert K( π2 − ω), (X262 de ETC). / Applet CabriJava 86 Consideramos un tri´angulo ABC y un punto cualquiera P . Sea Pa Pb Pc el tri´angulo ceviano de P y los baricentros Ba , Ca , Cb , Ab , Ac , Bc de los tri´angulos P BPa , P a , P b , P APb , P APc , P BPc . 1) Demostrar que los seis baricentros de estos tri´angulos est´an en una misma c´onica si el punto P est´a sobre una de las medianas. 2) Construir con regla y comp´as dos puntos sobre la mediana correspondiente al v´ertice A para los que la c´onica resulta ser una par´abola. / Applet CabriJava 87 Sea ABC un tri´angulo y A0 B 0 C 0 su tri´angulo medial; entonces, las tangentes desde los v´ertices de ´este a la circunferencia inscrita a ABC, cortan a sus lados opuestos en puntos alineados. / Applet CabriJava 88 Dado un tri´angulo ABC encontrar el punto X tal que minimiza la suma de distancias AX + BX + CX. / Applet CabriJava 89 Dado un punto m´ovil M sobre la base de un tri´angulo is´osceles ABC, se traza por M la paralela a AB que corta a AC en D, y la paralela a AC que corta a AB en E. Demostrar que las mediatrices del segmento DE pasan por un mismo punto, por el cual pasan las circunferencia circunscritas a los tri´angulo ADE. O lo que es lo mismo, hallar la envolvente de las mediatrices del segmento DE. / Applet CabriJava 90 Dado un tri´angulo ABC, por un punto A0 en el lado BC se trazan las paralelas a los lados AB y AC que los cortan en Ab y Ac , respectivamente. Entonces: Las mediatrices de Ab Ac , cuando A0 var´ıa, envuelven una par´abola, en la que la polar de A pasa por el circuncentro de ABC. La directriz de la par´abola es la mediana por A y el foco est´a en la simediana por A. / Applet CabriJava 91 ABC es un tri´angulo en el que BC = 2AB. Sean D el punto medio de BC, y E el punto medio de BD. Demostrar [ / Applet CabriJava que AD es la bisectriz del ´angulo CAE. 92 Sean un tri´angulo ABC y un punto P en el lado BC. La recta por P paralela a la sim´etrica de AB, respecto a BC, corta a AC en Ba . La recta por P paralela a la sim´etrica de AC, respecto a BC, corta a AB en Ca . http://webpages.ull.es/s/amontes

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La envolvente de las recta Ba Ca es una par´abola de eje BC; sea Va su v´ertice. Similarmente, cuando P var´ıa en los lados CA y AB, se obtienen par´abolas con ejes BC y AC; sean Vb y Vc sus v´ertices. Entonces, las rectas AVa , BVb y CVc forman un tri´angulo perspectivo con ABC, con centro de perspectividad en X393 de ETC. / Applet CabriJava 93 Sea P un punto en el lado BC de un triangulo ABC. La paralela por P a AB corta a AC en Pb . La sim´etrica de esta paralela, respecto a BC, corta a AC en Qb . La circunferencia circunscrita a P Pb Qb vuelve a cortar a BC en Ab El lugar geom´etrico del punto de intersecci´on de las recta P Qb y Ab Pb es una recta `c que pasa por C. La paralela por P a AC corta a AB en Pc . La sim´etrica de esta paralela, respecto a BC, corta a AB en Qc . La circunferencia circunscrita a P Pc Qc vuelve a cortar a BC en Ac . El lugar geom´etrico del punto de intersecci´on de las recta P Qc y Ac Pc es una recta `b que pasa por B. Sea A0 el punto de intersecci´on de las rectas `c y `b Similarmente se definen B 0 y C 0 , cuando P se toma en los otros lados de ABC. Entonces, los tri´angulos ABC y A0 B 0 C 0 son perspectivos, con centro de perspectividad en el punto X184 de ETC. / Applet CabriJava 94 En un tri´angulo acut´angulo ABC sean AE y BF dos alturas, y sea H el ortocentro. La recta sim´etrica de AE respecto de la bisectriz (interior) del ´angulo en A y la recta sim´etrica de BF respecto de la bisectriz (interior) del ´angulo en B se intersecan en un punto O. Las rectas AE y AO cortan por segunda vez a la circunferencia circunscrita al tri´angulo ABC en los puntos M y N , respectivamente. Sean: P , la intersecci´on de BC con HN ; R, la intersecci´on de BC con OM ; y S, la intersecci´on de HR con OP . Demostrar que AHSO es un paralelogramo. / Applet CabriJava 95 Sean ABC un tri´angulo e I su incentro. Construir la c´onica que pasa por A, B y C siendo tangente en B y C a las bisectrices BI y CI. Demostrar que esta c´onica es siempre una hip´erbola. Demostrar que la polar trilineal de cualquier punto P sobre ella pasa por el exincentro Ia correspondiente a A, y que si Pa Pb Pc es el tri´angulo ceviano de P entonces Pb , Pc e I siempre est´an alineados. / Applet CabriJava 96 Dado un tri´angulo ABC, encontrar las rectas DEF con D sobre la recta BC, E sobre la recta CA, y F sobre la recta AB tal que BD = CE = AF . 97 Dado un tri´angulo ABC y P un punto de su plano; llamamos AP a la proyecci´on ortogonal de P sobre BC, BP a la proyecci´on ortogonal de P sobre CA y a la proyecci´on ortogonal de P sobre AB. Sea D el lugar geom´etrico de los puntos P tales que las rectas AAP , BBP , C son concurrentes; se pide: 1. Caracterizar el lugar D como una curva algebraica de orden n y determinar n. 2. Demostrar que el lugar D tiene al circuncentro O como centro de simetr´ıa. 3. Demostrar que los v´ertices del tri´angulo ABC el incentro I, los ex-incentros Ia , Ib , Ic , el circuncentro O y el ortocentro H pertenecen al lugar D. 4. Hallar una ecuaci´on del lugar. 5. Demostrar que si P es un punto del lugar D, entonces P ∗ el conjugado isogonal de P tambi´en es de la curva. 6. Demostrar que si P es un punto del lugar D, todas las rectas P P ∗ pasan por un punto fijo que se determinar´a. 7. ¿C´omo cambia el lugar D en el caso de que ABC sea un tri´angulo is´osceles? 98 Sean un tri´angulo ABC, Ma Mb Mc su tri´angulo medial y Ma0 Mb0 Mc0 el tri´angulo medial de ´este. Si G es el baricentro de ABC, consideremos la homolog´ıa hA de centro en A, eje la paralela por G a BC y tal que Ma es el hom´ologo de Ma0 . An´alogamente se definen, c´ıclicamente, las homolog´ıas hB y hC . Tomemos un punto arbitrario X en el plano y definimos los puntos U = hA (X), Y = hB (U ), Z = hC (U ), X 0 el punto de intersecci´on de la recta GX con la paralela por U a BC, Y 0 el punto de intersecci´on de la recta GY con la paralela por U a CA y Z 0 el punto de intersecci´on de la recta GZ con la paralela por U a AB. Establecer que los siete puntos U, X, Y, Z, X 0 , Y 0 y Z 0 est´an en una misma c´onica Γa . Demostrar que para cualquier tri´angulo A0 B 0 C 0 tal que A0 divide BC en la misma proporci´on que B 0 a CA y C 0 a AB, es perspectivo con X 0 Y 0 Z 0 y su centro de perspectividad est´a en en la c´onica Γa . / Applet CabriJava

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99 Dado un tri´angulo ABC, la bisectriz exterior del ´angulo A corta a las perpendiculares a BC por B y C en los puntos Z y Y , respectivamente. Probar que las rectas BY, CZ y AO son concurrentes, donde O es el circuncentro de ABC. 100 El tri´angulo medial de ABC es perspectivo con el tri´angulo A0 B 0 C 0 , formados por los otros puntos en que los lados del tri´angulo anticomplementario del tri´angulo de o interior, vuelven a cortar a la circunferencia inscrita a ABC. / Applet CabriJava 101 Sea el tri´angulo ABC y AI , BI , CI los puntos de o de sus lados con su circunferencia inscrita, de centro I. La recta BC corta a la homot´etica de BI CI , mediante la homotecia de centro en el v´ertice A y raz´on 2, en el punto A0 . La recta AA0 corta a BI CI en A00 . Entonces la recta determinada por los puntos BA00 ∩ AC y CA00 ∩ AB es tangente a la circunferencia inscrita en el punto de Feuerbach (´ unico punto com´ un de ´esta con la circunferencia de los nueve puntos). (Lo mismo ocurre si procedemos c´ıclicamente). / Applet CabriJava 102 Consideremos los tri´angulos (de Kiepert) de ABC siguientes OYa Za , Xb OZb y Xc Yc O, donde O es el circuncentro de ABC; Ya y Za son tales que los tres tri´angulos OBC, Ya CA y Za AB son semejantes; Xb y Zb son tales que los tres tri´angulos OCA, Zb AB y Xb BC son semejantes; y, finalmente, Xc y Yc son tales que los tres tri´angulos OAB, Xc BC y Yc CA son semejantes. Entonces los seis puntos Ya , Za , Zb , Xb , Xc , Yc est´an en una hip´erbola equil´atera con centro en N (centro de la circunferencia de los nueve puntos); ademas, las rectas Ya Za , Zb Xb y Xc Yc son di´ametros de la hip´erbola. / Applet CabriJava 103 Sea P un punto en el plano del tri´angulo ABC. Se denota por A0 la intersecci´on de la recta AP con la mediatriz de BC y se definen B 0 y C 0 de forma similar. El lugar geom´etrico de los puntos P para los que los tres punto A0 , B 0 , C 0 est´an alineados es una c´ ubica (c´ ubica de Lemoine). / Applet CabriJava 104 Sea ABC un tri´angulo arbitrario, Ba y Ca dos puntos sobre CA y AB, tales que CBa = BCa = BC. Probar que OI ⊥ Ba Ca y Ba Ca = 2 · OI · sen A, donde O es el circuncentro y I el incentro de ABC. / Applet CabriJava 105 Sea ABC un tri´angulo, Xb y Xc los pies de las perpendiculares trazadas desde B y C a la bisectriz exterior en A; Yc e Ya los pies de las perpendiculares desde C y A a la bisectriz exterior en B; y, finalmente, Za y Zb los pies de las perpendiculares desde A y B a la bisectriz exterior en C. Entonces, los puntos Xb , Xc , Yc , Ya , Za , Zb est´an en una circunferencia de centro en el punto de Spieker (X10 en ETC). Consideremos los puntos Ba = Xc B ∩ AC, Ca = Xb C ∩ AB,

Ab = Yc A ∩ BC, Cb = Ya C ∩ BA,

Ac = Zb A ∩ CB, Bc = Za B ∩ CA.

Entonces, Ba , Ca , Ab , Cb , Ac , Bc est´an en una c´onica. Las rectas Ba Ca , Ab Cb y Ac Bc forman un tri´angulo perspectivo cona ABC, con centro de perspectividad en X37 en la Enciclipedia de Kimberling (ETC); ´este es tambi´en el punto de interseci´on de las rectas Ba Ab , Cb Bc y Ac Ca . Los puntos Ba Ac ∩ Ca Ab , Cb Ba ∩ Ab Bc y Ac Cb ∩ Bc Ca son los v´ertices de un tri´angulo perspectivo con ABC, con centro de pespectividad en el baricentro de ´este. 106 Sea un tri´angulo ABC, D un punto en BC y D0 el conjugado arm´onico de D respecto a B y C, L = AD ∩ O(R) y A0 = LD0 ∩ O(R), sindo O(R) la circunferencia circunscrita a ABC. Entonces, A0 est´a en la simediana por el v´ertice A. / Applet CabriJava 107 Dado un tri´angulo ABC, sea I el centro de la circunferencia inscrita, T un punto de ´esta y t su tangente en T . Las perpendiculares a IA, IB e IC por I cortan a t en A0 , B 0 y C 0 , respectivamente. Entonces, las rectas AA0 , BB 0 y CC 0 son concurrentes. / Applet CabriJava 108 Dados un tri´angulo ABC, un punto W y una recta ` en su plano, se consideran los puntos D = AW ∩`, E = BW ∩` y F = CW ∩ `. Entonces, para que los puntos PA = P D ∩ BC, PB = P E ∩ CA y PC = P F ∩ AB est´en alineados (en la (W, `)–recta de Simson-Wallace) es suficiente que P est´e en la c´onica circunscrita a ABC, que pasa por los puntos A0 = BF ∩ CE, B 0 = CD ∩ AF y C 0 = AE ∩ BD. Cuando W = H es el ortocentro y ` es la recta del infinito se obtiene al recta de Simson-Wallace. / Applet CabriJava 109 Si los puntos que dividen cada lado de un tri´angulo en tres partes iguales se unen al correspondiente v´ertice opuesto, se forma un hex´agono cuya ´area es la d´ecima parte del ´area del tri´angulo. http://webpages.ull.es/s/amontes

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Tri´angulos

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Las tres diagonales son segmentos de las medianas del tri´angulo original. El hex´agono da lugar a dos tri´angulos de lados paralelos al original. / Applet CabriJava 110 Sean ∆ el ´area de un tri´angulo, r y R los radios de sus circunferencias inscrita y circunscrita y ∆ el ´area del tri´angulo formado por los puntos de tangencia de su circunferencia inscrita, entonces r∆ = 2R∆. 111 Dado un tri´angulo ABC, desde un punto P se trazan tres rectas que forman con cada uno de sus lados el mismo ´angulo θ; sean Aθ , Bθ y Cθ los puntos de corte de cada una de estas rectas con los lados BC, CA y AB. Determinar el ´area de Aθ Bθ Cθ y su relaci´on con el ´area del tri´angulo pedal de P . / Applet CabriJava 112 Dado un tri´angulo ABC, sea D el pie de la altura desde A, P un punto arbitrario en AD, E el punto de intersecci´on del lado AC con la recta BP y F el punto de intersecci´on del lado AB con la recta , entonces las rectas DE y DF son sim´etricas respecto a AD. Sean los puntos G = P C ∩ ED y H = P B ∩ F D; y, construimos los puntos E 0 y F 0 donde cortan BG y CH a los lados AC y AB, respectivamente. Sean P 0 = CF 0 ∩ BE, P ∗ = EF 0 ∩ E 0 F . Probar que los puntos P 0 y P ∗ est´an sobre AD. ¿Es cierto para cualquier ceviana? / Applet CabriJava 113 Un punto P tiene coordenadas baric´entricas (u : v : w), respecto a un tri´angulo ABC; entonces, el punto que tienen estas mismas coordenadas homog´enea en la referencia {A, B, C; X}, cuando el punto unidad X recorre una recta d arbitraria que pasa por P , describe una recta d0 que pasa por un punto fijo P 0 , al variar d, y los puntos d ∩ d0 determinan una c´onica circunscrita a ABC que pasa por P y P 0 y con tangente en P la recta P G (G baricentro de ABC). ¿Cu´ales con las coordenadas baric´entricas de P 0 ? / Applet CabriJava 114 El conjugado arm´onico del baricentro G de un tri´angulo ABC, respecto a los puntos dobles de la involuci´on que las c´onicas del haz con puntos base en los v´ertices e incentro I del tri´angulo dado, induce sobre la recta de Euler, es el X28 de la ETC. / Applet CabriJava 115 Los circuncentros de los cuatro tri´angulos que construyen cuatro rectas son conc´ıclicos y los ortocentros est´an alineados. / Applet CabriJava 116 Dado un tri´angulo ABC, el tri´angulo formado por las polares de A, B y C, respecto a las hip´erbolas equil´ateras de ejes reales BC, BC y CA, respectivamente, es perspectivo con ABC. / Applet CabriJava 117 El lugar geom´etrico de los centros de las circunferencias tangentes a las circunferencias circunscrita e inscrita a un tri´angulo, est´a compuesto por dos elipses de focos en el circuncentro O y en el incentro I (su centro, punto medio de O e I, es el X1385 de ETC). Si en una circunferencia de centro en un punto P de la circunferencia circunscrita y de radio igual al de la circunferencia inscrita, se consideran los puntos D y E, diametralmente opuestos y alineados con O, los puntos de intersecci´on de las mediatrices DI y EI, est´an en una recta perpendicular a OI (dicha recta es la polar trilineal de X279 de ETC). La envolvente de tales mediatrices son las elipses anteriores. / Applet CabriJava 118 Sobre los lados de un tri´angulo ABC se construyen tri´angulos is´osceles BCA0 , CAB 0 y ABC 0 , con ´angulo en la base θ; sea K(θ) el punto de intersecci´on de las rectas AA0 , BB 0 y CC 0 (centro de perspectividad de Kiepert) y consideremos el punto K 0 (θ) que tiene las mismas coordenadas baric´entricas homog´eneas, respecto al tri´angulo de referencia ABC, que K(θ) respecto a A0 B 0 C 0 . Entonces, dos de los puntos comunes de la envolvente de las rectas K(θ)K 0 (θ) y la hip´erbola de Kiepert tiene por coordenadas baric´entricas: µ ¶ 1 1 1 : : . a2 ± bc sen A b2 ± ca sen B c2 ± ab sen C 119 Dado un tri´angulo ABC, se considera la aplicaci´on af´ın f que lleva A → B, B → C, C → A. Para todo punto X, sea el tri´angulo XY Z, donde Y = f (X) y Z = f (Y ). Demostrar que el baricentro G de XY Z es el mismo que el de ABC y que las elipses circunscritas a ambos tri´angulos, con centro en el baricentro, son homot´eticas, en una homotecia de centro en G; ¿cu´al es su raz´on? / Applet CabriJava 120 Dado un tri´angulo ABC, sea la homolog´ıa hA de centro en A y eje BC y que tiene como hom´ologo del baricentro G el punto del infinito de la recta AG. La c´onica hom´ologa de la circunferencia circunscrita a ABC es la hip´erbola circunscrita que contiene al simediano y es tangente en A a la circunferencia circunscrita. / Applet CabriJava 121 Sean un tri´angulo ABC y D el pie de la altura de este tri´angulo trazada desde el v´ertice A. Sea P un punto de la recta AD, la recta BP interseca a CA en un punto E y la recta corta al lado AB en F . Probar que AD es la \ . / Applet CabriJava bisectriz del ´angulo EDF http://webpages.ull.es/s/amontes

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Tri´angulos

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122 Dado un tri´angulo ABC, su tri´angulo tangencial y el tri´angulo ceviano del conjugado isogonal del punto de Clawson, son perspectivos. (Punto de Clawson: Centro de la homotecia entre los tri´angulos ´ortico y excentral). / Applet CabriJava 123 Sean ABC un tri´angulo, P un punto y p su polar trilineal que corta a los lados BC, CA y AB en A0 , B 0 y C 0 , respectivamente. Las circunferencias de di´ametros AA0 , BB 0 y CC 0 son coaxiales con eje e (pasando por el ortocentro). ¿Para qu´e puntos el eje e es la recta de Euler de ABC? / Applet CabriJava 124 Sean A0 B 0 C 0 y A00 B 00 C 00 dos tri´angulos inscritos en un tri´angulo ABC y `a la recta paralela por A a la recta que une los puntos medios de B 0 C 00 y B 00 C 0 . De forma an´aloga se trazan las rectas `b y `c ; entonces las rectas `a , `b y `c se cortan en un punto S, denominado centro areal. Se tiene que area SA0 A00 = area SB 0 B 00 = area SC 0 C 00 . / Applet CabriJava 125 Dado un tri´agulo ABC, designemos por Ab y Ac los v´ertices opuestos a los B y C, respectivamente, del cuadrado (de centro Ae ) levantado externamente sobre el lado BC y, de manera an´aloga, son designados los v´ertices Bc , Ba , Ca y Cb . Ocurre entonces que el tri´anguo A0 B 0 C 0 , con v´ertices A0 = Ab Cb ∩ Bc Ac ,

B 0 = Bc Ac ∩ Ca Ba ,

C 0 = C a B a ∩ Ab C b ,

tiene punto interior de Vecten coincidente con el punto exterior de Vecten de ABC (´este es el centro de perspectividad de los tri´angulos ABC y Ae Be Ce ). / Applet CabriJava 126 La circunferencia inscrita a un tri´angulo ABC toca a sus lados BC, CA y AB en AI , BI y CI . Sea F un punto del arco m´as peque˜ no determinado por AI y BI , y sea tc la tangente en F , que corta a BC y CA en Fa y Fb . Probar que AFa , BFb , F CI y AI BI son concurrentes. / Applet CabriJava \y 127 En un tri´angulo ABC sean B1 y C1 los puntos de intersecci´on de las bisectrices interiores de los ´angulos ABC \ con CA y AB, respectivamente. BCA \ Sean Va la intersecci´on de B1 C1 con BC y Wa la intersecci´on de las bisectrices de los ´angulos V\ a C1 B y Va B1 C, demostrar que A, Va y Wa est´an alineados. / Applet CabriJava 128 Dados un tri´angulo y un punto P , sean AP , BP y los pies de las perpendiculares por P a los lados BC, CA y AB, respectivamente. Determinar el lugar geom´etrico de P para que las paralelas por AP , BP y a las cevianas AP, BP y , sean concurrentes. / Applet CabriJava 129 Dado un tri´angulo ABC, se Γ la circunferencia circunscrita y ta su tangente en A; consideremos la circunferencia Γa (distinta de la circunferencia circunscrita Γ a ABC) que pasa por B y C y tangente a ta . Procediendo c´ıclicamente, se definen las circunferencias Γb y Γc . Entonces, el centro radical de Γa , Γb y Γb es el centro de la hip´erbola de Kiepert (hip´erbola equil´atera circunscrita que contiene al baricentro). / Applet CabriJava 130 Sea P un punto en la circunferencia circunscrita (de centro O) a un tri´angulo ABC. La perpendicular por P a OB corta en Aab y en Cab a los lados BC y BA, respectivamente. Establecer que existe una u ´nica posici´on A0 de P , tal que Aab es el punto medio de P Cab . Si la perpendicular por P a OC corta en Aac y en Bac a los lados CB y CA, se verifica tambi´en que cuando P = A0 , Aac es el punto medio de P Bac . A0 es el punto en que la recta AK (K el simediano) vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita. / Applet CabriJava 131 Supongamos dada una c´onica y un punto U sobre ella. Entonces todas las cuerdas que se ven desde U bajo un a´ngulo recto pasan por un punto. (Teorema de Fr´egier) / Applet CabriJava 132 Dado un tri´angulo ABC y un punto X sobre la recta BC, (a) Inscribir una par´abola en los lados del tri´angulo de manera que X sea el punto de tangencia con la recta BC. (b) Demostrar que si Y, Z son los puntos de tangencia con los lados CA, AB y X 0 , Y 0 , Z 0 son los sim´etricos de X, Y, Z respecto de los puntos medios de BC, CA, AB, entonces las rectas AX 0 , BY 0 , CZ 0 son paralelas al eje de la par´abola. (c) Las rectas isogonales de AX 0 , BY 0 , CZ 0 , es decir las rectas sim´etricas de estas rectas respecto de las bisectrices interiores AI, BI y CI, son concurrentes en el foco de la par´abola. / Applet CabriJava

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Tri´angulos

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133 Sean ABC un tri´angulo, P un punto y D, E y F los puntos en que las cevianas de P cortan a los lados BC, CA y AB, respectivamente. Sean los puntos D0 = AP ∩ EF, E 0 = BP ∩ F D y F 0 = ∩ DE, Ea = AE 0 ∩ BC, Fa = AF 0 ∩ BC. Probar que: CD BEa BD CFa − = − = 1. Fa D DB Ea D DC / Applet CabriJava 134 Sean ABC un tri´angulo e I su incentro, consideramos sus tri´angulos pedal AI BI CI (tri´angulo de o interior), ceviano Va Vb Vc (de v´ertices los pies de bisectrices) y circunsceviano Va0 Vb0 Vc0 (de v´ertices en los puntos donde las bisectrices vuelven a cortar a Γ). Coordenadas baric´entricas del centro radical de las circunferencias circunscritas a los tri´angulos AI Va Va0 , BI Vb Vb0 y CI Vc Vc0 . / Applet CabriJava 135 Sean ABC un tri´angulo, un punto P , Pa Pb Pc su tri´angulo ceviano, Pa0 Pb0 Pc0 su tri´angulo circunsceviano y AP BP su tri´angulo pedal. Sean A0 , B 0 y C 0 los otros puntos en que las circunferencias circunscritas a Pa Pa0 AP , Pb Pb0 BP y Pc Pc0 , cortan a la circunferencia circunscrita a ABC. Hallar el lugar geom´etrico que describe P para que las rectas AA0 , BB 0 y CC 0 sean concurrentes. / Applet CabriJava 136 Dado un tri´angulo ABC de lados a, b y c, se traza la circunferencia inscrita; a ´esta se le tira la tangente paralela al lado BC que determina un segundo tri´angulo AB1 C1 ; con ´este se reitera el trazado anterior, y as´ı sucesivamente. Hallar la suma de las ´areas de la sucesi´on infinita de los circunferencias inscritas. 137 Dados un tri´angulo ABC y un punto P de su plano, se consideran las c´onicas Ca , Cb y Cc circunscritas al tri´angulo anticomplememtario A0 B 0 C 0 de ABC (delimitado por las paralelas por los v´ertices de ´este a sus lados opuestos), tales que las tangentes en B 0 y C 0 a Ca son paralelas a A0 P , las tangentes en C 0 y A0 a Cb son paralelas a B 0 P , y las tangentes en A0 y B 0 a Cc son paralelas a C 0 P . Sean A∗ , B ∗ y C ∗ los puntos (distintos de A0 , B 0 y C 0 ) de intersecci´on de los pares de c´onicas, Cb ∩ Cc , Cc ∩ Ca y Ca ∩ Cb , respectivamente. Entonces, para cualquier P , las rectas A0 A∗ , B 0 B ∗ y C 0 C ∗ concurren en el anticomplemento de P (es decir, en el homot´etico de P en la homotecia de centro en el baricentro y raz´on −3/2). El lugar geom´etrico de los puntos P , para que A∗ , B ∗ y C ∗ est´en alineados, es una c´ ubica circunscrita a ABC, de ecuaci´on, en coordenadas baric´entricas: x(y 2 + z 2 ) + y(z 2 + x2 ) + z(x2 + y 2 ) + 4xyz = 0. / Applet CabriJava 138 Dado un tri´angulo ABC de circuncentro O, sean las dos circunferencias Γ1a y Γ2a que pasan por A y O y tienen su centro en la circunferencia circunscrita a ABC. La circunferencia Γ1a vuelve a cortar a los lados AC y AB en A1b y A1c , respectivamente; y Γ2a en los puntos A2b y A2c , resp. De forma similar, se toman las circunferencias Γ1b , Γ2b , Γ1c y Γ2c , as´ı como los puntos correspondientes Bc1 y Bc2 en AB, Ba1 , Ba2 , Ca1 y Ca2 sobre BC, y Cb1 y Cb2 en el lado CA. Entonces, las rectas AA0 , BB 0 y CC 0 son concurrentes, siendo: A0 = A1b A1c ∩ A2b A2c ,

B 0 = Bc1 Ba1 ∩ Bc2 Ba2 ,

C 0 = Ca1 Cb1 ∩ Ca2 Cb2 .

Adem´as, A1b A1c = A2b A2c = BC = a, Bc1 Ba1 = Bc2 Ba2 = CA = b y Ca1 Cb1 = Ca2 Cb2 = AB = c. Las rectas A1b A1c y A2b A2c forma con el lado BC un tri´angulo equil´atero; lo mismos ocurre con los pares de rectas Bc1 Ba1 y Bc2 Ba2 , Ca1 Cb1 y Ca2 Cb2 con los lados CA y AB, respectivamente. / Applet CabriJava 139 Dado un tri´angulo ABC y punto P en su plano, sean A0 , B 0 y C 0 los puntos donde las cevianas AP, BP y cortan a las mediatrices a BC, CA y AC, respectivamente. Si Ma , Mb y Mc son los puntos medios de los lados BC, CA y AB (resp.), se consideran los puntos X, Y y Z que dividen a los segmentos A0 Ma , B 0 Mc y C 0 Mc en una misma raz´on dada. Para que las rectas AX, BY y CZ sean concurrentes P a de estar en la hip´erbola de Kiepert; se tiene, adem´as, que el punto de concurrencia de tales rectas tambi´en est´a en dicha hip´erbola. / Applet CabriJava 140 Dada una circunferencia Γ y un punto A (exterior) hallar la polar rec´ıproca del lugar geom´etrico de los centros de los circunferencias circunscritas a los infinitos tri´angulos autopolares de v´ertice A, con respecto a la homol´ogica de la circunferencia Γ, en la homolog´ıa de centro A, eje la polar de A (resp. a Γ) y recta l´ımite de la primera figura la tangente paralela a la polar de A, no comprendida entre este punto y su polar. Polar del punto A respecto a la homol´ogica de la circunferencia. / Applet CabriJava http://webpages.ull.es/s/amontes

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Tri´angulos

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141 Sea ABC un tri´angulo rect´angulo en A. Tracemos sobre el interior de la hipotenusa BQ = BA y = CA. Demostrar que P Q2 = 2BP · QC. q 2 , donde F es la sucesi´ 142 Sea Vn = Fn2 + Fn+2 on de Fibonacci (F1 = F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn ). Demostrar que n Vn , Vn+1 , Vn+2 son los lados de un tri´angulo de ´area 1/2. 143 Dado un tri´angulo ABC, denotamos por Ma Mb Mc su tri´angulo medial y consideremos la c´onica (par´abola) Ca , tangente a AB y a AC en B y C, respectivamente, y adem´as pasa por el punto medio de Mb Mc ; denotamos su foco por Fa . Entonces, la recta AFa es la simediana por A. / Applet CabriJava 144 El tri´angulo ABC es acut´angulo. Sean AP y BQ bisectrices y AD y BE alturas; O e I son el circuncentro e incentro de ABC, respectivamente. Demostrar que P, O, Q est´an alineados si y solo si D, I, E est´an alineados. 145 Sea ABC un tri´angulo. Sea N el punto de o de la circunferencia inscrita con AC. Sea M N el di´ametro perpendicular a AC en la circunferencia inscrita. Sea L la intersecci´on de BM con AC. Demostrar que AN = LC. 146 Dado un tri´angulo ABC, encontrar el punto en el lado BC de forma que la recta que une los pies de las perpendiculares a los otros lados de desde ´el sea paralela a BC. / Applet CabriJava 147 Sobre los lados de un tri´angulo cualquiera se construyen sendos cuadrados y se unen los v´ertices libres formando tres tri´angulos m´as. El ´area de cada nuevo tri´angulo es igual a la del tri´angulo original. 148 Sea ABC un tri´angulo, entonces el cuadril´atero formado por las tres tangentes en sus v´ertices a su circunferencia circunscrita Γ y por la tangente a ´esta en el otro punto en el que la altura por A corta a Γ, est´a inscrito en una circunferencia Γa . An´alogamente, se consideran las circunferencias Γb y Γc , asociadas a los v´ertices B y C. El centro radical de Γa , Γb y Γc es el punto X25 en la Enciclopedia de los Centros de un Tri´angulo (ETC) de Clark Kimberling. Si `a , `b y `c son los ejes radicales de Γ y Γa , Γ y Γb , Γ y Γc , respectivamente, entonces el tri´angulo tangencial de ABC y el formado por las rectas `a , `b y `c , son perspectivos con centro de perspectividad en X25 . / Applet CabriJava 149 Dado un tri´angulo ABC, consideremos los tri´angulos is´osceles ABa Ca , BAb Cb , CBc Ac , con ABa = ACa = BCb = BAb = CAc = CBc , Ba en la semirrecta AC, Ca en la semirrecta AB, Cb en la semirrecta BA, Ab en la semirrecta BC, Ac en la semirrecta CB y Bc en la semirrecta CA. Cuando las rectas Ba Ca , Cb Ab y Ac Bc concurren, lo hacen en el punto intermedio (Mittenpunkt, Middlespoint). ˆ = 30◦ , sean D, E y F los puntos de trisecci´on cercanos a A, B 150 En un tri´angulo rect´angulo ABC con Aˆ = 60◦ y B y C sobre os lados AB, BC y CA, respectivamente. Extendemos CD, AE yBF hasta intersecar a la circunferencia circunscrita en P, Q y R. Demostrar que P QR es un tri´angulo equil´atero. 151 Sea un tri´angulo ABC, sobre el lado AB se toman el punto Ac en la semirrecta con origen en A que no contiene a B y tal que AAc = BC y sobre el lado AC el punto Ab en la semirrecta con origen en A que no contiene a C tal que CAb = BC; las rectas BAb y CAc se cortan en A0 . Similarmente, procediendo de forma c´ıclica se obtienen los puntos B 0 y C 0 , entonces A0 , B 0 y C 0 est´an alineados y las rectas AA0 , BB 0 y CC 0 concurren en el conjugado isot´omico (X86 ) del punto de Spieker (X10 ). Ahora tomamos puntos en el sentido contrario, es decir, sea A0c sobre el lado AB en la semirrecta con origen en A que contiene a B tal que BA0c = BC y sobre el lado AC el punto A0b en la semirrecta con origen en A que contiene a B tal que CA0b = BC; las rectas BA0b y CA0b se cortan en A00 . Similarmente, procediendo de forma c´ıclica se obtienen los puntos B 00 y C 00 , entonces A00 , B 00 y C 00 est´an alineados. Si A∗∗ es el tercer punto diagonal (distinto de A y A00 ) del cuadriv´ertice BCA0b A0c , B ∗∗ es el tercer punto diagonal de CABc0 Ba0 y C ∗∗ es el tercer punto diagonal de ABCa0 Cb0 , entonces las rectas AA∗∗ , BB ∗∗ y CC ∗∗ concurren en el punto X190 (”Yff parabolic point”). / Applet CabriJava 152 Si I y O son el incentro y circuncentro de un tri´angulo, las rectas sim´etricas de IO con respecto a los lados de los tri´angulos medial y de o interior pasan por el punto de Feuerbach. / Applet CabriJava 153 Sean ABC un tri´angulo orientado y P un punto, se construyen los tres tri´angulos equil´ateros directos P AA0 , P BB 0 y P CC 0 , luego los puntos medios U 0 , V 0 y W 0 de A0 B, B 0 C y C 0 A y los puntos medios X 0 , Y 0 y Z 0 de A0 C, B 0 A y C 0 B. Entonces, U 0 V 0 W 0 es un tri´angulo equil´atero directo y X 0 Y 0 Z 0 es un tri´angulo equil´atero inverso. Ahora, se construyen los tres tri´angulos equil´ateros inversos P AA00 , P BB 00 y P CC 00 , luego los puntos medios U 00 , V 00 y W 00 de A00 B, B 00 C y C 00 A y los puntos medios X 00 , Y 00 y Z 00 de A00 C, B 00 A y C 00 B. Entonces, U 00 V 00 W 00 es un tri´angulo equil´atero inverso y X 00 Y 00 Z 00 es un tri´angulo equil´atero directo. http://webpages.ull.es/s/amontes

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Tri´angulos

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El punto D, determinado por GD : DP = 1 : 3, es el centro de simetr´ıa de los pares de tri´angulos U 0 V 0 W 0 y X Y 00 Z 00 , U 00 V 00 W 00 y X 0 Y 0 Z 0 . / Applet CabriJava 00

154 Dado un tri´angulo ABC, el punto Ac es tomado en la semirrecta BA tal que los segmentos BAc y BC son iguales; el punto Ab es elegido en la semirrecta CA tal que los segmentos CAb y BC son iguales. Puntos Ba , Bc y Cb , Ca son elegidos de forma similar. Probar que las rectas Ab Ac , Bc Ba y Ca Cb son paralelas. / Applet CabriJava 155 (Hyacinthos, Message #18704) Dado un tri´angulo ABC, inscribir un rect´angulo Aa A0a Ab Ac en ABC, con Ab Ac /Ac Aa = ρ, estando Ab sobre AC, Ac sobre AB y Aa A0a queda en la recta BC. Uniendo el punto medio Da de Aa A0a con A, se obtiene la recta da . Repitiendo la construcci´on para los otros lados se obtienen las rectas db y dc . Demostrar que las rectas da , db y dc concurren en la hip´erbola de Kiepert (hip´erbola equil´atera circunscrita a ABC, que contiene al baricentro y ortocentro). / Applet CabriJava ˆ de su tri´angulo ceviano 156 Dado el tri´angulo ABC, hallar el lugar geom´etrico de los puntos P tales que el ´angulo X XY Z es recto. Comprobar que el conjugado isogonal de dicho lugar geom´etrico es una c´onica y construirla a partir del tri´angulo ABC. / Applet CabriJava 157 Sea ABC un tri´angulo rect´angulo con el ´angulo recto en el v´ertice A, y P sobre BC. Sean I y J los pies de las perpendiculares trazadas por P a AB y AC. ¿C´omo debemos elegir P para que IJ sea m´ınimo? / Applet CabriJava 158 Dado un tri´angulo ABC y un punto P , sean X, Y, Z los sim´etricos de los puntos P respecto a los lados del tri´angulo dado. Entonces las circunferencias circunscritas a XY C, Y ZA, ZXB y ABC, se cortan en un punto com´ un. / Applet CabriJava 159 Dado un tri´angulo ABC, un punto P y la homotecia de centro P y raz´on k, sean D, E y F los puntos en que la tripolar de P corta a los lados BC, CA y AB, respectivamente, Ak Bk Ck el tri´angulo homot´etico de ABC, Ap Bp el tri´angulo determinado por las rectas AD, BE, CF y Akp Bpk k el tri´angulo determinado por las rectas Ak D, Bk E, Ck F . Entonces, el centro de perspectividad de los tri´angulos Ap Bp y Akp Bpk k describe, cuando k var´ıa, una c´onica circunscrita a Ap Bp , que pasa por P . / Applet CabriJava 160 Si un punto P var´ıa en la circunferencia circunscrita a un tri´angulo ABC, su polar trilineal y la polar respecto a la elipse circunscrita de Steiner, se cortan en los puntos de una c´ ubica circunscrita a ABC, con su punto doble en el simediano. / Applet CabriJava 161 Sean y CQ dos c´onicas circunscritas a un tri´angulo ABC, de perspectores P y Q, respectivamente, y D el cuarto punto de intersecci´on de estas c´onicas. Supongamos que Q est´a en , entonces la recta P Q y la tangente en D a CQ se cortan en un punto Q0 sobre . / Applet CabriJava 162 Sean ABC un tri´angulo y un punto D sobre el lado BC. Por D trazamos paralelas a AC y a AB que cortan a AB y CA en los puntos Ca y Ba , respectivamente. Por Ba y Ca se trazan paralelas al lado BC, cortando ´estas a la ceviana AD, en los puntos Ba0 y Ca0 , respectivamente. Por Ba y Ca se trazan paralelas a la ceviana AD que cortan cada una al lado BC, en los puntos Dab y Dac , respectivamente. a) Probar que las rectas Ba Ca , Dab Ca0 y Dac Ba0 concurren en un punto X. b) Si Ya = DCa ∩ Dac Ba0 y Za = DBa ∩ Dab Ca0 , entonces los tri´angulos ABC y XYa Za son homot´eticos. Hallar el centro, X ∗ , y la raz´on de homotecia. c) Lugar geom´etrico descrito por cada uno de los puntos X, Ya y Za , cuando D var´ıa sobre BC. / Applet CabriJava 163 En un tri´angulo ABC cuyo ´angulo en C es de 30◦ , se construye sobre el lado AB un tri´angulo equil´atero hacia el exterior. Demostrar que con los segmentos CA, CB y CD se puede construir un tri´angulo rect´angulo. / Applet CabriJava 164 Si denominamos antisimediana al segmento conjugado isot´omico de la simediana, es decir, el segmento cuyo pie es sim´etrico del pie de la simediana respecto del punto medio del lado, probar o refutar la siguiente proposici´on: ”Existen tri´angulos no is´osceles con dos antisimedianas de la misma longitud ”.

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Tri´angulos

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165 Dado un tri´angulo ABC, se construyen sobre sus lados los siguientes rect´angulos: ABAb Ba con C sobre Ab Ba , BCBc Cb con A sobre Bc Cb y CACa Ac con B sobre Ca Ac . Entonces, las rectas Ab Ac , Bc Ba y Ca Cb determinan un tri´angulo perspectivo con ABC. / Applet CabriJava 166 Dados un tri´angulo ABC,un punto P y una recta `, que pasa por P , que corta en Ab a la paralela por B a AC y en Ac a la paralela por C a AB; sea A0 = BAc ∩ CAb . Similarmente, procediendo c´ıclicamente, se definen los puntos B 0 y C 0 . Entonces, el tri´angulo determinado por las rectas AA0 , BB 0 y CC 0 es perspectivo con ABC; el centro de perspectividad, L, queda en `. Cuando ` gira alrededor de P , L recorre una c´ ubica circunscrita a ABC, con punto doble en P . / Applet CabriJava 167 Dado un tri´angulo ABC, el circuncentro de un tri´angulo DEF variable inscrito en ABC y con el mismos baricentro que ABC, recorre una c´ ubica de punto doble en el circuncentro de ABC y cuya direcci´on de su as´ıntota es la del punto Biham (X1499 en ETC). Si en vez de tomar los circuncentros, tomamos los simedianos, el punto del infinito de la correspondiente c´ ubica es el X523 (conjugado isogonal del foco de la par´abola de Kiepert). \ sabiendo que 168 Las alturas de un tri´angulo ABC se cortan en un punto H. Determ´ınese el valor del ´angulo BCA AB = CH. 169 Sea ABC un tri´angulo escaleno en el que una altura, una bisectriz interior y una mediana (cada una de las cevianas anteriores parten de un v´ertice distinto) son iguales. Supongamos, sin p´erdida de generalidad, que ha = vb = mc . Demostrar que las longitudes de los lados del tri´angulo ABC cumplen la siguiente relaci´on: 3a4 + b4 + c4 − 3a2 c2 − 2b2 c2 = 0. 170 Construir sobre los lados BC, CA, AB de un tri´angulo ABC, exteriormente, los cuadrados BCDE, ACF G, BAHK, y construir los paralelogramos F CDQ, EBKP . Demostrar que AP Q es un tri´angulo rect´angulo is´osceles. / Applet CabriJava 171 Sean una circunferencia y una elipse conc´entricas, tal que el radio de la circunferencia es menor que la longitud de cada uno de los semiejes de la elipse. Por uno de los v´ertices de la elipse se trazan las tangentes a la circunferencia, que vuelven a cortar a aquella en puntos que determinan una recta tangente a la circunferencia. ¿Qu´e relaci´on existe entre los semiejes de la elipse? / Applet CabriJava 172 Sea ABC un tri´angulo no equil´atero y AD, BE y CF sus alturas. Sobre las rectas AD, BE, CF , respectivamente, AA0 BB 0 CC 0 sean A0 , B 0 , C 0 tales que = = = k. Encontrar todos los valores de k tales que A0 B 0 C 0 ∼ ABC para AD BE CF todo tri´angulo ABC. / Applet CabriJava 173 Dado un tri´angulo ABC y un punto P , los centros de las c´onicas circunscritas a ABC, conjugadas isogonales de las rectas que pasan por P , est´an en la c´onica que pasa por los puntos medios de los lados y por los pies de las cevianas de P ∗ , conjugado isogonal de P . / Applet CabriJava 174 Dado un tri´angulo ABC y un punto P , sobre la ceviana AP se toma un punto L y se consideran las circunferencias circunscritas a ABL y a ACL, que cortan a AC y a AB en Ba y Ca , respectivamente. Entonces, el punto de intersecci´on de las rectas BBa y CCa recorre una recta `a , cuando L var´ıa en AP . Similarmente, se obtienen las rectas `b y `c , al hacer variar un punto en las cevianas de P por B y C, respectivamente. Se tiene que las tres rectas `a , `b y `c son concurrentes. / Applet CabriJava 175 Sea P un punto en la circunferencia circunscrita a un tri´angulo ABC, consideremos los tri´angulos directamente semejantes CABa ∼ B , ABCb ∼ CAP y BCAc ∼ ABP . Entonces los puntos Ba , Cb y Ac est´an alineados y, si U (u : v : w) son las coordenadas baric´entricas del conjugado isogonal de P (u + v + w = 0), el punto del infinito de la recta que los contiene es: U 0 (a2 u + c2 v + b2 w : c2 u + b2 v + a2 w : b2 u + a2 v + c2 w). La transformaci´on U 7→ U 0 es la involuci´on que la hip´erbola de Kiepert induce en la recta del infinito. La transformaci´on P 7→ P 0 (P 0 conjugado isogonal de U 0 ) es la simetr´ıa respecto al eje de Brocard. / Applet CabriJava 176 Dado un tri´angulo ABC y un punto D, sean los puntos E y F tales que los tri´angulos BCD, CAE y ABF son directamente semejantes. Entonces, existe una u ´nica recta d pasando por A tal que las rectas d, e y f son concurrentes, siendo e y f las rectas que recorren respectivamente los puntos E y F , cuando D var´ıa sobre d. http://webpages.ull.es/s/amontes

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177 Una recta paralela al lado BC de un tri´angulo ABC, corta en E y F a AC y AB, respectivamente. Sean Oa el circuncentro de AEF , Ea el punto medio de EB, Fa el punto medio de F C y Ga el baricentro de Oa Ea Fa . Entonces Ga recorre una recta `a , cuando EF var´ıa. Procediendo c´ıclicamente sobre los lados de ABC, se obtienen las rectas `b y `c y las tres concurren en el punto de coordenadas baric´entricas: ¡

¢ 7a4 + 4(b2 − c2 )2 − 11a2 (b2 + c2 ) : 7b4 + 4(c2 − a2 )2 − 11b2 (c2 + a2 ) : 7c4 + 4(a2 − b2 )2 − 11c2 (a2 + b2 ) .

/ Applet CabriJava 178 Sean P y Q dos puntos conjugados isogonales, respecto a un tri´angulo ABC, Pa y Qa los pies de sus cevianas desde A, y `a la mediatriz de Pa Qa . Procediendo c´ıclicamente, se consideran de forma similar las mediatrices `b y `c de Pb Qb y Pc Qc . ¿Cu´al es el lugar geom´etrico de P para que el tri´angulo ABC y el formado por las rectas `a , `b y `c sean perspectivos? \ = 90◦ . 179 Para un tri´angulo ABC, sean las bisectrices AD, BE, CF (D ∈ BC, E ∈ CA, F ∈ AB), verific´andose EDF \ / Applet CabriJava Encontrar el valor del ´angulo BAC. 180 Dado un tri´angulo, determinar el lugar geom´etrico de los puntos cuyo tri´angulo ceviano tiene ´area constante. 181 En una c´onica circunscrita a un tri´angulo ABC, las tangentes en los segundos puntos de intersecci´on de las bisectrices con la c´onica, forman un tri´angulo perspectivo con ABC. / Applet CabriJava 182 Dados un tri´angulo ABC y un punto P , sea A0 B 0 C 0 el tri´angulo sim´etrico de ABC respecto a P . Los puntos de intersecci´on (no en el infinito) de los lados de estos tri´angulos forman un hex´agono inscrito y circunscrito a sendas c´onicas. / Applet CabriJava 183 Sean ABC un tri´angulo y P, Q dos puntos fijos. Las circunferencias circunscritas a ABC y a AP Q se intersecan en A0 , adem´as de en A. Similarmente, las circunferencias circunscritas a ABC y a BP Q se cortan en B 0 y las circunferencias circunscritas a ABC y a Q se cortan en C 0 (distintos de B y C). Entonces los tri´angulos ABC y A0 B 0 C 0 son perspectivos. Expresar el centro de perspectividad en t´erminos de las coordenadas baric´entricas de P y Q. / Applet CabriJava 184 Sean D, E, F los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita al tri´angulo ABC con los lados BC, AC, AB. Las rectas DE y DF cortan a la paralela por A a BC en Fa y Ea , respectivamente. Probar que la recta de Euler del tri´angulo DFa Ea pasa por el punto de Feuerbach de ABC (punto de tangencia de las circunferencias inscrita y de Euler). / Applet CabriJava 185 Sea ABC un tri´angulo y Γa , Γb , Γc sus circunferencias exinscritas. Sea α a circunferencia pasando por los puntos medios Mb y Mc de los lados AC y AB, respectivamente, y tocando internamente a Γa en el punto X. Similarmente se consideran las circunferencia β y γ tangentes internamente en los puntos Y y Z a las circunferencias Γb y Γc . Entonces, los tri´angulos ABC y XY Z son perspectivos, con centro de perspectividad en el punto de coordenadas baric´entricas ¡ ¢ (b + c − a)(b + c)2 : (a − b + c)(a + c)2 : (a + b − c)(a + b)2 . 186 La tripolar de un punto P respecto a un tri´angulo ABC, corta a sus lados BC, CA y AB en los puntos D, E y F ; las rectas paralelas a las cevianas AP, BP y por D, E y F , forman un tri´angulo perspectivo con ABC. 187 Sean P un punto en la circunferencia circunscrita Γ a un tri´angulo ABC, p su tripolar (pasa por el simediano K), L = AP ∩ p, M = BP ∩ p y N = ∩ p. Consideremos los centros A0 , B 0 , C 0 (sobre la circunferencia circunscrita a ABC) de las semejanzas directas definidas −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ por los pares de vectores hom´ologos BC y M N , CA y N L, AB y LM . Entonces, los tri´angulos ABC y A0 B 0 C 0 son perspectivos, con centro de perspectividad Q en p. Si P var´ıa en Γ, Q describe una cu´artica, con punto triple en K y tangente a Γ en los v´ertices de ABC. 188 Cuando dos tri´angulos son semejantes y hom´ologos a la vez y los pares de v´ertices hom´ologos en la semejanza lo son tambi´en en la homolog´ıa, los centros de semejanza y homolog´ıa son los puntos de intersecci´on de las circunferencias circunscritas a los dos tri´angulos. / Applet CabriJava

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189 Sea dado un tri´angulo ABC, denotamos respectivamente con O, I, H, G, K el circuncentro, el incentro, el ortocentro, el baricentro y el punto de Lemoine. Sean M el punto medio de AC y N el punto de intersecci´on de la recta AB con la mediatriz de AC y sea Γ la circunferencia circunscrita al tri´angulo BN C. Probar que: (1) el punto O pertenece a la circunferencia Γ (2) el punto I pertenece a la circunferencia Γ si y s´olo si: A = 60◦ (3) el punto H pertenece a la circunferencia Γ si y s´olo si: (A = 60◦ ) ´o (A = 120◦ ) ´o (B = 90◦ ) ´o (C = 90◦ ) (4) el punto G pertenece a la circunferencia Γ si y s´olo si: a4 − b4 − c4 + b2 c2 = 0 (5) el punto K pertenece a la circunferencia Γ si y s´olo si: 2a2 = b2 + c2 . 190 Sean D, E, F los pies de las cevianas de un punto P , respecto a un tri´angulo ABC; denotamos por A0 , B 0 , C 0 los simedianos de los tri´angulos AF E, BDF y CED, respectivamente. Entonces, las rectas AA0 , BB 0 y CC 0 son concurrentes, en el conjugado isogonal del producto baric´entrico de P y su complementario. / Applet CabriJava 191 Dado un tri´angulo ABC de circuncentro O y A0 B 0 C 0 su tri´angulo tangencial. Sean Oa , Ob y Oc los circuncentros de los tri´angulos AA0 O, BB 0 O y CC 0 O, respectivamente, y D = BC ∩ B 0 C 0 , E = CA ∩ C 0 A0 y F = AB ∩ A0 B 0 . Entonces, las rectas DOa , EOb y F Oc determinan un tri´angulo perspectivo con ABC. / Applet CabriJava 192 Dados un tri´angulo ABC y una recta d, sean los puntos D = d ∩ BC, E = d ∩ CA y F = d ∩ AB. Para un punto P sean los pies de sus cevianas Pa = AP ∩ BC, Pb = BP ∩ CA y Pc = ∩ AB y las razones dobles u0 = (B C D Pa ), v 0 = (C A E Pb ) y w0 = (A B F Pc ). El lugar geom´etrico que describe el punto P 0 de coordenadas baric´entricas (u0 : v 0 : w0 ), cuando P var´ıa sobre la recta d, es un c´ ubica circunscrita a ABC, que no depende de la recta d tomada. 193 Sean ABC, Γ su circunferencia circunscrita, de centro O, y AI BI CI el tri´angulo circunceviano del incentro I. La circunferencia que pasa por A y es tangente a la bisectriz BI en I, corta a AC en Ba 6= A y a Γ en Ba0 6= A, entonces los puntos BI , Ba y Ba0 est´an en una misma recta ba . As´ı mismo, la circunferencia que pasa por A y es tangente a la bisectriz CI en I, corta a AB en Ca 6= A y a Γ en Ca0 6= A, entonces los puntos CI , Ca y Ca0 est´an en una misma recta ca . Se verifica que el punto A0 de la intersecci´on de las recta ba y ca , est´a en la recta IO. Procediendo c´ıclicamente, se definen de forma similar los puntos B 0 y C 0 (que est´an en la recta OI) y se tiene que las rectas AA0 , BB 0 y CC 0 se cortan en Γ. 194 Sean ABC un tri´angulo no is´osceles, O su circuncentro, H su ortocentro, D, E, F los pies de las alturas y HA la intersecci´on de AD y la circunferencia circunscrita a ABC. Consideremos los puntos L de intersecci´on de OHA y BC, Ma el punto medio de BC, P el punto de intersecci´on de AMa y la perpendicular por L a BC, Q la intersecci´on de AD y la paralela por P a Ma H, Ca = EQ ∩ AB y Ba = F Q ∩ AC. Sea `a la recta Ba Ca y, similarmente, se construyen las rectas `b = Cb Ab y `c = Ac Bc , por permutaci´on c´ıclica sobre los v´ertices de ABC. Entonces las rectas `a , `b y `c determinan un tri´angulo A0 B 0 C 0 perspectivo con ABC. 195 ¿Ser´an necesariamente iguales dos tri´angulos acut´angulos e is´osceles, que tengan el mismo radio de la circunferencia inscrita y tambi´en iguales los dos pares de lados ”laterales”? / Applet CabriJava 196 El lugar geom´etrico de un centro del tri´angulo variable inscrito en un tri´angulo dado y semejante a ´este, es una recta. / Applet CabriJava 197 Sean tres rectas no concurrentes p, q y r de direcciones diferentes, y sean dos segmentos de longitudes respectivas m y n. Determinar la reta secante, `, que corte a las rectas p, q y r en los puntos D, E y F , respectivamente, de manera que DE = m y DF = n. / Applet CabriJava 198 Se tienen tres circunferencias, Γ1 , Γ2 y Γ3 ; trazar los ejes radicales de otras circunferencias C1 y C2 con cada uno de las otras tres primeras circunferencias y demostrar que de las intersecciones resultan dos tri´angulos homol´ogicos. Hallar el centro y el eje de homolog´ıa. / Applet CabriJava 199 Sea Γ la circunferencia circunscrita a un tri´angulo ABC; por el v´ertice A se traza una recta que corta al lado BC en M . Consideremos las circunferencias Γ1 y Γ2 con centros en Ω1 y Ω2 y radios ρ1 y ρ2 que son tangentes internamente \ cada una de ellas a Γ, al lado BC y a recta AM . Si 2θ el ´angulo AM C y r e I son el radio y centro de la circunferencia inscrita a ABC, probar que: (1) La recta que une a Ω1 y Ω2 contiene tambi´en a I. (2) El punto I divide al segmento en Ω1 Ω2 en la raz´on tag2 θ : 1. http://webpages.ull.es/s/amontes

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Tri´angulos

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(3) r = ρ1 cos2 θ + ρ2 sen2 θ. / Applet CabriJava 200 Sean un tri´angulo ABC y las par´abolas P+ y P− con el circuncentro como foco, la mediatriz de BC como eje y que pasan por B (tambi´en por C). Consideramos una circunferencia Γa tangente a BC en un punto D y a la circunferencia circunscrita, con centro sobre una de las par´abolas P+ o P− y tangente a la circunferencia circunscrita. Sea A0 el punto de corte de las tangentes trazadas desde B y C a Γa . El lugar geom´etrico de A0 , cuando D var´ıa sobre BC, es una c´ ubica que pasa por B y C, sim´etrica respecto a la mediatriz de BC. / Applet CabriJava 201 Sea ABC un tri´angulo. Denotaremos por K, L y M , respectivamente, los puntos de intersecci´on de las bisectrices interiores por A, B y C con los lados opuestos. Sea P un punto del per´ımetro del tri´angulo KLM y X, Y y Z, respectivamente, los pies de las perpendiculares trazadas por el punto P a los lados BC, CA y AB. Probar que una de las tres distancias, P X, P Y o P Z, es igual a la suma de las otras dos. / Applet CabriJava 202 Sean ABC un tri´angulo, P un punto y DEF el tri´angulo circunceviano de P ; las circunferencias circunscritas a los tri´angulos BP F y E se cortan en un punto A0 (distinto de P ). Similarmente se definen B 0 y C 0 . Si P describe la hiperbola de Stammler (hip´erbola de Feuerbach del tri´angulo tangencial) los tri´angulos ABC y A0 B 0 C 0 son perspectivos y el centro de perspectividad recorre la c´onica biceviana de los conjugados isogonales de los centros de las hip´erbolas de Kiepert y Jerabek. / Applet CabriJava 203 Dado un tri´angulo ABC y un punto P , sea Pa Pb Pc su tri´angulo ceviano. Se consideran los tri´angulos semejantes a ABC, APa Caa , APb Cab , ABaa Pa , ABac Pc y el punto A0 = Caa Cab ∩ Baa Bac ; se definen de forma similar los puntos B 0 y C 0 . Encontrar el lugar geom´etrico de P para que los tri´angulos ABC y A0 B 0 C 0 sean perspectivos. / Applet CabriJava 204 Dado un tri´angulo ABC, su c´onica de MacBeath es la c´onica inscrita con focos el circuncentro y el ortocentro. Los perspectores de la c´onica de MacBeath respecto a todos los tri´angulos que tienen la mismas circunferencias circunscritas y de Euler que ABC (todos tiene c´onica de MacBeath com´ un), est´an en una c´onica con dos v´ertices en los centros de homotecia interior y exterior de las circunferencias de los nueve puntos y la de di´ametro GH (circunferencia ortobaric´entrica). / Applet CabriJava 205 Sean ABC y Pa Pb Pc un tri´angulo y su tri´angulo ceviano de un punto P ; consideremos los puntos Abc sim´etrico de B respecto a C y Acb sim´etrico de C respecto a B. La recta perpendicular a AP por P corta a los lados AB y AC en Cap y Bap , respectivamente. La recta perpendicular a AAbc por Cap y la perpendicular a AAcb por Bap , se cortan en un punto AP . 1) Similarmente se definen BP y , procediendo c´ıclicamente. Entonces, si P est´a en la elipse circunscrita de Steiner o en la recta del infinito, las rectas AAP , BBP y C son concurrentes en un punto P 0 . En el primer caso, P 0 est´a en la recta que pasa por los centros de las hip´erbolas de Kiepert y Jerabek; en el segundo, P 0 describe la hip´erbola de Kiepert. 2) Si en vez de tomar la perpendicular a AP por P , la tomamos por un punto variable X de AP , ella corta a los lados AB y AC en los puntos Cax y Bax , respectivamente. Entonces, la recta perpendicular a AAbc por Cap y la perpendicular a AAcb por Bap , se cortan en el punto AX , que describe una recta `P que pasa por A y AP . 3) En particular, si el tri´angulo ABC es rect´angulo en A ´o is´osceles de base BC, cuando P = G (baricentro) la recta `G es la altura por A. / Applet CabriJava ˆ = 2Cˆ y Aˆ > 90◦ . Sean D el punto de la recta AB tal que CD es perpendicular a 206 Sea ABC un tri´angulo con B \ \ AC, y M el punto medio de BC. Demuestrar que AM B = DM C. / Applet CabriJava 207 Sean ABC un tri´angulo, H su ortocentro y A0 B 0 C 0 su tri´angulo anticomplementario (precevino del baricentro). La parelela por H a BC corta a AB en Ca , a AC en Ba , a A0 B 0 en Ca0 y a A0 C 0 en Ba0 ; la paralela por H a CA corta a BC en Ab , a BA en Cb , a B 0 C 0 en A0b y a B 0 A0 en Cb0 ; la paralela por H a AB corta a CA en Bc , a CA en Ac , a C 0 A0 en Bc0 y a C 0 B 0 en A0c . Entonces, los cuadril´ateros Bc Cb Bc0 Cb0 , Ca Ac Ca0 A0c y Ab Ba A0b Ba0 son conc´ıclicos. / Applet CabriJava 208 Sean ABC un tri´angulo, Γa la circunferencia que pasa por B y C y es tangente internamente a la circunferencia inscrita y similarmente, las circunferencias Γb y Γc . Designamos por Pa el punto de o de Γa y la circunferencia inscrita; similaramente, sean Pb y Pc . Sea Qa el punto de concurrencia de las tangentes a la circunferencia inscrita en http://webpages.ull.es/s/amontes

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Tri´angulos

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Pb y Pc ; y similarmente, Qb y Qc . Finalmente, sea Ta el punto de intersecci´on de las rectas BPc y a ; similarmente se definen Tb y Tc . Entonces, los cuatro tri´angulos ABC, Pa Pb Pc , Qa Qb Qc y Ta Tb Tc son perspectivos dos a dos. / Applet CabriJava \ (su valor num´erico) sabiendo que ABC es un tri´angulo is´osceles con AC = BC y que los 209 Hallar el ´angulo ACB segmentos AB, AD, DE, EF, F C son iguales, con D y F sobre BC, con el orden CF DB, y E sobre CA, con E interior. / Applet CabriJava 210 Dado un tri´angulo ABC, encontrar D sobre la recta BC, E sobre AC y F sobre AB, de manera que AC 2 + CD2 = AB 2 + BD2 ,

BA2 + AE 2 = BC 2 + CE 2 ,

CA2 + AF 2 = CB 2 + BF 2 .

Demostrar que las cevianas AD, BE y CF concurren. 211 Sean ABC un tri´angulo, D el punto de intersecci´on de la altura por A con la recta IMa , que pasa por el incentro I y el punto medio Ma del lado BC. Similarmente, E = BH ∩ IMb y F = CH ∩ IMc (H el ortocentro). Sean A0 el sim´etrico de E respecto a A, B 0 el sim´etrico de E respecto a B y C 0 el sim´etrico de F respecto de C. Entonces, el tri´angulo A0 B 0 C 0 y el tri´angulo de o interior (sus v´ertices son los puntos de o con los lados de ABC de la su circunferencia inscrita) son perspectivos. El centro de perspectividad es el punto de coordenadas baric´entricas: µ ¶ (b + c)(2a + b + c) (b + c)(2a + b + c) (b + c)(2a + b + c) : : . b+c−a b+c−a (b + c − a) / Applet CabriJava 212 Sean un tri´angulo ABC circunscrito a una c´onica C, t una tangente arbitraria a C y Pa el punto de o de BC con C. Consideremos las distancias db = d(B, t), dc = d(C, t), da = d(A, t) y d1 = d(Pa , t). Se cumple que: db dc da d1 es constante. / Applet CabriJava 213 Sean ABC un tri´angulo, P un punto en su plano, A0 , B 0 y C 0 los pies de las cevianas de P sobre los lados BC, CA y AB, respectivamente. Las mediatrices de los segmentos P B 0 y P C 0 se cortan en Oa ; las mediatrices de los segmentos P C 0 y P A0 se cortan en Ob ; y las mediatrices de los segmentos P A0 y P B 0 se cortan en Oc . Si el tri´angulo ABC es acut´angulo, el u ´nico punto P (distinto de A, B y C) sobre la circunferencia circunscrita a ABC para el cual los tri´angulos ABC y Oa Ob Oc son perspectivos es el centro X1300 de la Enciclopedia de Kimberling, y el centro de perspectividad de ambos tri´angulos es X254 . 214 Dado un tri´angulo ABC, hallar dos tri´angulos DEF y GHI tales que el sim´etrico de D respecto a E sea A, el sim´etrico de E respecto de F sea B y el sim´etrico de F respecto de D sea C y que el sim´etrico de G respecto a H sea A, el sim´etrico de H respecto de I sea C y el sim´etrico de I respecto de G sea B. Hallar los lados de los dos tri´angulos DEF y GHI en funci´on de a, b y c, lados de ABC. / Applet CabriJava 215 Dado un tri´angulo ABC y una recta paralela a BC que corta a las rectas AB y AC en D y E, respectivamente, colocar un P sobre DE y construir BE y P C. Ll´amese Q al punto de corte de estas dos rectas. Trazar AQ, que corta DE en R. Las razones en que dividen los puntos P y R al segmento DE verifican que DR : RE = 1 + DP : P E. / Applet CabriJava 216 Construir un tri´angulo conociendo el ortocentro y los pies de las bisectrices (interior y exterior) desde un v´ertice. / Applet CabriJava 217 Sea ABC un tri´angulo no equil´atero, a = BC, b = CA y c = AB. Hallar el lugar geom´etrico E de los puntos M tales que (b2 − c2 )M A2 + (c2 − a2 )M B 2 + (a2 − b2 )M C 2 = 0. Demostrar que E contiene al centro de la circunferencia circunscrita y al centro de gravedad de ABC. Deducir un tercer punto de este conjunto.

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