Transformasi 4e1d3h

BAHAN AJAR Nama sekolah Mata Pelajaran Kelas/ Semester Waktu Pertemuan Materi

: SMP N : Matematika : VII/ satu : 2 X 45 menit : 5 dari 5 pertemuan : Transformasi

A. KOMPETENSI DASAR 3.9 Memahami konsep tranformasi (translasi,refleksi,rotasi dan dilatasi) menggunakan obyek-obyek geometri. 4.6 Menerapkan prinsip-prinsip transformasi(translasi,refleksi,rotasi dan dilatasi) dalam memecahkan permasalahan nyata. B. TUJUAN PEMBELAJARAN A. Peserta didik dapat menjelaskan apa itu Transformasi ( transilasi,refleksi,rotasi dan dilatasi) B. Peserta didik dapat menyelesaikan tugas yang bersangkutan materi rotasi C. URAIAN MATERI a. URAIAN MATERI + ILUSTRASI Transformasi adalah suatu operasi yang memetakan setiap titik pada bidang cartesius ke titik lainnya di bidang tersebut. a. Jenis – jenis transformasi : Ada empat jenis transformasi titik pada bidang, yaitu :  Translasi  Refleksi  Rotasi  Dilatasi

a.

Translasi Adalah merupakan suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah yang tetap. Dalam bentuk persamaa, suatu translasi dapat dituliskan sebagai berikut : x'= x + a y' = y + b persamaan diatas mengilustrasikan bahwa setiap absis bergeser sejauh a satuan sejajar sumbu X dan setiap ordinat bergeser sejauh b satuan sejajar umbu Y Persamaan translasi diatas dapat ditulis kedalam bentuk persamaan matriks: ( ) =( ) +( ) ( )=(

)

Bayangan titik P (x,y) oleh translasi T = ( ) adalah titik P' (x',y') yang ditentukan oleh persamaan vektor translasi ( ) = ( ) + ( ) b. Refleksi Adalah transformasi linier, sehingga setiap titik yang dicerminkan terhadap suatu garis lurus. Garis lurus tersubut dapat dianggap sebagai cermin yang disebut sumbu cermin 1. Pencerminan terhadap sumbu x ( garis y = 0) Untuk mnetukan matrika transformasi pencerminan terhadap sumbu x, gambar titik (1,0) dan (0,1) yang merupakan komponen Matriks identitas I = ( diperoleh (1,0) transformasi. My=0 = (

) pada bidang kartesius . dari pencerminan tersebut,

(1,0) dan (0,1) )

(0,-1) sehingga diperoleh matriks

2. Pencerminan terhadap sumbu Y ( garis X=0) Pencerminan terhadap sumbu Y, titik (1,0) berpindah menjadi (-1,0) dan titik (0,1) tidak berpindah sebagai mana gambar (5.14) sehingga diperoleh matriks. )

Mx=0 =(

3. Pencerminan terhadap sumbu X=Y Pencerminan terhadap garis y=x, diperoleh. (1,0) (0,1) (0,1) (1,0) Seperti terlihat pada gambar 5.15 sehingga diperoleh matriks transformasi My=x = (

)

4. Pencerminan terhadap y=-x Pencerminan terhadap garis y=-x diperoleh. (1,0) (0,-1) (0,1) (-1,0) Seperti terlihat pada gambar 5.16 sehingga diperoleh matriks My=-x = (

)

c. Rotasi Rotasi adalah suatu transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang ke titik lainnya dengan cara memutar dengan pusat titik tertentu. Rotasi dengan arah berlawanan arah jarum jam disebut rotasi positif dan searah perputaran jarum jam disebut rotasi negatif. Jadi, dalam transformasi rotasi perlu diperhatikan hal-hal berikut : 1. Titik pusat rotasi 2. Besarnya sudut rotasi, dan 3. Arah rotasi. Dinyatakan dalam persamaan matriks, diperoleh: ( )=(

)( )

= Rθ ( ) dengan Rθ = ( rotasi sebesar θ.

) menyatakan matriks transformasi rotasi dengan susut

Catatan: Rotasi khusus 1. R90° = (

)

2. R180° = (

)

3. R270° = (

)

4. R-90 = (

)

Bayangan titik P (x,y) oleh rotasi berpusat di titik asal O (0,0) dan sudut rotasi sebesar θ adalah titik P (x',y') yang ditentukan oleh persamaan matriks. ( ) =(

)( )

d. Dilatasi 2.1

Definisi dilatasi Sebelum kita membahas definisi dilatasi ada baiknya kita melihat definisi

transformasi terlebih dahulu. Transformasi adalah aturan secara geometris yang dapat menunjukkan bagaimana suatu titik atau bangun dapat berubah kedudukan dan ukurannya berdasarkan rumus tertentu. Dilatasi pada umumnya merupakan transformasi yang dapat mengubah ukuran suatu bangun. Secara lengkapnya dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya. Pada dilatasi juga dikenal faktor skala dan titik pusat yang akan di bahas secara lebih rinci pada pembahasan di bawah ini.

2.2

Contoh dilatasi dalam kehidupan sehari – hari Penerapan dilatasi banyak dijumpai dalam kehidupan sehari – hari . dalam

makalah ini kami menyajikan beberapa contoh penerapan dilatasi dalam kehidupan sehari – hari yaitu : 

Penerapan pertama adalah pada mikroskop atau alat pembesar. Gambar di bawah menunjukkan alat pembesar yang merupakan alat penting di laboratorium foto. Alat ini digunakan untuk memperbesar foto dari negatifnya (klisenya). Dengan

menggerakkan film di depan lensa, memungkinkan untuk mengubah ukuran foto yang dihasilkan.



Penerapan kedua, Skala pada peta. Pada umumnya skala peta bertuliskan 1 : 1000000 cm yang artinya jika skala pada peta 1 cm maka pada kenyataannya berjarak 1000000 cm

2.3

Tafsiran geometri dari dilatasi

1. Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) Bayangan akibat dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor skala (faktor perkalian). Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k (k ≠0) , dirumuskan dengan [O,k]. Jika titik P(x,y) didilatasi terhadap pusat O(0,0) dan faktor skala k didapat bayangan P’(x’,y’) maka x’ = kx dan y’ = ky. 2. Matriks yang bersesuaian dengan terhadap titik pusat O(0,0) Dilatasi pada umumnya berhubungan dengan matriks, ada matriks yang bisa digunakan untuk menyelesaikan masalah – masalah dalam dilatasi. Kali ini akan dibahas matriks yang bersesuaian dengan dilatasi pada titik pusat O(0,0). Dilatasi pada titik pusat O(0,0) dan faktor skala k mempunyai hitungan maktriks sebagai berikut : * +

*

+ * + atau[ ]

* +

Dilatasi terhadap titik pusat P(a,b) Jika P(x,y) didilatasikan terhadap titik pusat A(a,b) dengan faktor skala k, maka bayangannya adalah P`(x`,y`) dengan (

)

dengan persamaan matriks, hubungan di atas dapat ditulis:

(

)

( )

(

)(

)

( )

D. CONTOH SOAL

 p 1. Tentukan hasil Translasi jika diketahui T1    memetakan titik q A(1,2) ke titik A'(4,6) adalah Jawab :  p T1   q

A1,2  A' 1  p, 2  q   A1 4,6 Diperoleh 1+p = 4 sehingga p = 3 2+q = 6 sehingga q = 4  3 Jadi translasi tersebut adalah T1     4

2. Tentukan bayangan garis x + 2y = 4 jika dirotasikan dengan pusat o (0,0) dan sudut rotasi -90 °. Jawab: Matriks transformasi R-90 =( ( ) = R-90 ( ) = ( ( )=(

) dengan demikian diperoleh persamaan :

)( )

)

x' = y y = x' y'=-x x = -y' substitusikan nilai tersebut ke persamaan garis x + 2y=4 diperoleh -y'+2x= 4 2x'-y' =4 Jadi bayangan garis x + 2y = 4 oleh rotasi tersebut adalah 2x-y=4 3. Tentukan bayangan titik A(3,-4) , jika dicerminkan terhadap sumbu x Jawab: Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu X adalah M y=0 = ( ( )=(

) bayangan titik A (3,-4) dapat ditentukan oleh )(

)

( )=( ) Jadi, A ( 3,-4)

A' (3,4)

4. Tentukan bayangan titik A (2,-4) oleh dilatasi dengan pusat o (0,0) dan faktor skala K = 3. Jawab : Matriks transformasi yang bersesuaian dengan dilatasi tersebut adalah D3=(

). Bayangan titik A (2,-4) dapat ditentukan sebagai berikut.

( ) = D3 ( ) =(

)(

=(

)

)

Jadi, bayangan titik A (2,-4) oleh dilatasi tersebut adalah A' (6,-12) E. LATIHAN SOAL A. Translasi 1. Karena translasi T =( ) bayangan titik A (-3,4) adalah A' (1,-2), tentukan translasi T tersebut. 2. Tentukan bayangan segitiga ABC dengan titik A (0,6)B(-1,1)dan C(3,2) oleh translasi T=(

) dan sketsakansegitiga asala dan segitiga

bayangan 3. Tentukan persamaan kurva y = x2 oleh translasi T=( ) B. Rotasi 1. Tentukan bayangan titik A (2,-5) oleh rotasi terhadap titik o (0,0) sebesar 900 2. Tentukan bayangan titik A ( 2,-2) oleh rotasi terhadap titik asal o (0,0) sebesar 450 3. Tentukan bayangan garis x + 4y = 8 jika dirotasikan dengan pusat o (0,0) dengan sudut rotasi -90 c. Refleksi 1. Tentukan bayangan titik A(3,-4) jika dicerminkan terhadap sumbu Y 2. Tentukan bayangan titik A (2,-4) jika dicerminkan terhadap garis x=3 3. Tentukan persamaan bayangan kurva y =x2, jika dicerminkan terhadap sumbu x

d. Dilatasi 1. Tentukan bayangan titik A (3,-5) oleh dilatasi dengan pusat o (0,0) dan faktor skala K=3 2. tentukan bayangan titik A(-2,5) oleh dilatasi dengan pusat P (1,-1) dan faktor skala K = 2 3. tentukan persamaan kurva y=x2 oleh dilatsi dengan pusat o (0,0) dengan faktor skala K=-2 F. UMPAN BALIK G. KUNCI JAWABAN + SKOR

A. Translasi 1. Jadi translasi tersebut T = (

) “ Skor 5”

2. Jadi titik A(0,6) A' (5,4), B (-1,1) C(3,2) c'(8,0) . “ Skor 5 “

B'(4,-1),

3. jadi translasi kurva y =x² oleh translasi T =( ) adalah kurva y= x²-6x+11. “Skor 10” B. Rotasi Jawaban: 1. Jadi oleh rotasi tersebut bayangan titik A (2,-5) adalah A'=(5,2) “ skor 5 “ 2. Jadioleh rotasi tersebut bayangan titik A (2,-2) adalah A' (2√ ,0) “ skor 10” 3. Jadi bayangan garis x + 4y = 8 oleh rotasi tersebut adalah 4x-y=8 “ skor 15” C. Refleksi Jawaban : 1. Jadi A(3,-4) A' (-3,-4). “ Skor 5” 2. Jadi bayangan titik A (2,-4) adalah A'(4,-4) “ skor 5” 3. Jadi x'=y'² atau y = ±√ . “Skor 10” D. Dilatasi Jawaban : 1. Jadi, bayangan titik A (3,-5) oleh dilatasi tersebut adalah A' (9,-15) “ skor 5” 2. Jadi bayangan titik A(-2,5) adalah A (-5,11) “ skor 10” 3. jadi bayangan kurva y=x2 oleh dilatasi tersebut berubah menjadi y' = “Skor 10 “

x2

H. TINGKAT KEBERHASILAN = soal 1.Translasi : A B C

X 100 Nilai 5 5 10

2. rotasi : A B C

5 10 15 3. Releksi

A B C

5 5 10 4. Dilatasi

A B C

I.

5 10 10

DAFTAR PUSTAKA Johanes,kastolan,sulasim, kompetensi MATEMATIKA 3A. jakarta yudhistira