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Universidad Nacional de Salta Facultad de Ciencias Exactas Página web:moodlexa.unsa.edu.ar

Departamento de Matemática Análisis Matemático II. Año 2013 Trabajo Práctico No 2 Límite y Continuidad

1. Calcule los siguientes límites aplicando propiedades y veri…que aplicando la de…nición (a)

lim

(x;y)!(1;1)

x2 + y 2

(b)

lim

(x;y)!(1;1)

(y

1) cos (x + y)

(c)

lim

(x;y)!(2;3)

sin (xy

6)

2. En los siguientes casos halle, si existe, el límite indicado aplicando propiedades: (a)

(c)

lim

(x;y)!(1; 2)

lim

(x;y)!(0;0)

xy;

y p 2 ; x + y2 x+1

y cos

1 x

;

sin (3x) ;x 2x

(b)

y

(d)

xy

lim

(x;y)!(1;1)

lim

(x;y)!(0;0)

x+y x+y

y sin x1 + x cos y1

3. Sean f : Rn ! R y l1 y l2 los límites iterados de f en x0 : Determine si las siguientes a…rmaciones son verdaderas o falsa, justi…cando sus respuestas. (a) Si existen l1 y l2 y además l1 6= l2 ; f no tiene límite en x0

(b) Si lim f (x; y) = l entonces l1 = l2 = l x!x0

(c) Si existen l1 y l2 y l1 = l2 entonces lim f (x; y) = l1 x!x0

(d) Si no existe l1 ; f no tiene límite en x0 4. Dada la función

8 <

x4 f (x; y) = x3 + y 2 : 0

; y 2 6=

; y2 =

x3 x3

justi…que la verdad o falsedad de las siguientes a…rmaciones (a) f tiene límite 0 en (0; 0) pues el límite de f según cualquier semirrecta que pasa por el orgien es 0 (b) f tiene límite 1 en (0; 0) ; pues el límite de f según la curva y 2 = x4

x3 es 1

(c) f no tiene límite en (0; 0) ; pues no existe el límite de f según la curva y 2 = x5

x3

5. Las siguientes funciones presentan indeterminaciones para los límites buscados. Represente el dominio de estas funciones y decida si el límite indicado existe: 8 xy + 1 < x2 y 2 ; (x; y) 6= (0; 1) (a) lim (b) lim x2 + y 2 1 (x;y)!(0;1) : (x;y)!(0;0) x2 + y 2 0 ; (x; y) = (0; 1) 8 < x + y ; y 6= x2 xy (c) lim (d) lim x2 y 2 : (x;y)!(0;0) (x;y)!(0;0) x + y 2 0 ; y = x2 xy 2 + y4 < x2 y y (g) lim x4 (x;y)!(0;0) : 0 (e)

(f)

lim

x2 (x;y)!(0;0) 8

; 0 < y < x2 ; en c.o.c.

(h)

(x;y)!(0;0) x2

lim

(x;y)!(0;0)

6. Estudie la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados 8 < x y ; (x; y) 6= (0; 0) en (1; 0) (a) f (x; y) = (b) f (x; y) = x2 + y 2 y (0; 0) : 0, (x; y) = (0; 0) (c) f (x; y) =

1; xy 6= 0 0; xy = 0

en (1; 0) y ( 1; 2)

(d) f (x; y) =

1

3x2 y + y2

lim

x2 + y 2

p

x2 + y 2 + 1

1

x + y; x 6= 0 e y 6= 0 1; en c.o.c x2 + y 2 ; y x p x2 + y 2 ; y > x

en (0; 0) y (1; 0)

en (0; 0) ; (1; 1) y (0; 1)

7. Estudie la continuidad de las siguientes funciones en todo su dominio. 1; x y > 0 (a) f (x; y) = 0; x y 0 8 p < 1 + xy ; xy 0 (c) f (x; y) = x2 1 : ; xy < 0 2 2

(e)

ln 1 + x y x+y

f (x; y) =

8 sin (xy) > > > < x 0 (g) f (x; y) = > 2 > x y > : x (i)

2

f (x; y) = x ; e

8. Sea

2

2

2

; x y x2 < y 2

; x>0 ; x=0 ; x<0

x

(b)

f (x; y) =

8 r <

(d)

f (x; y) =

x2 y2

:

xy ; x 6= 0 + y2 0; x=0

x2

; jxj jyj ; jxj > jyj

8 > < y sin x (f) f (x; y) = 0 > : 1 8 x4 < ; 3 (h) lim x + y2 (x;y)!(0;0) : 0; (j)

8 2 < x + ky 2 f (x; y) = x 3y : g (x; y)

f (x; y) =

; xy 6= 0 ; x=0 ; y=0 y 2 6=

y2 = 2

x3 x3 2

sin x2 + y 2 ex +y 1 ; 2 2 2 2 x +y x +y

!

si x 6= 3y si x = 3y

(a) Halle, si existe, el límite en el punto (1; 2) a través de la recta y = 2x y de la parábola y = x2 + 1 (b) El resultado obtenido en a), ¿le permite a…rmar la existencia del límite doble en dicho punto? ¿por qué? (c) Determine un valor de k y una expresión para g (x; y) de tal manera que f sea continua en todo el plano 9. Considere la función f (x; y) = xy sin

1 x

sin

1 y

(a) Calcule el dominio de f (b) Determine si es posible extenderla a R2 de modo que resulte continua 10. Sea f : R2 ! R y (a; b) 2 R2 ; sean g y h funciones de R en R tal que g (x) = f (x; b) y h (y) = f (a; y) (a) Estudie las relaciones de los grá…cos de g y h con el grá…co de f (b) Si f es continua en (a; b) ¿Es g continua en a ? ¿Es h continua en b? Justi…que (c) Si f (x; y) = x2 + y 3 y (a; b) = (1; 2) halle g y h (d) Ejempli…que el hecho de que g puede ser continua en a; h continua en b; y sin embargo f no ser continua en (a; b) : S.P.

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