Texto Escolar 6gk2i

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estrictas

$ “mayor o igual que” NO # “menor o igual que” estrictas

• El símbolo 6 significa en términos matemáticos:

Si a > b / c < 0 & a 1 b c c

a b Si a < b / c ! R &

4. Ley de la división

• Los símbolos de las relaciones de orden son representados como:

6: para todo

a
ac < bc

• La siguiente gráfica es la recta de los números reales (R):

ac > bc

Números positivos - 3

Definiciones

A) Se define que UN NÚMERO ES MAYOR QUE OTRO si y solo sí su diferencia es un número positivo. De los números M, N donde:

Ejemplos: • 9 > 2 , 9 - 2 > 0 (9 - 2 = 7) , 7 > 0 • 3 > - 3 , 3 - (-3) > 0 (3 - (-3) = 6) , 6 > 0

M>N , M-N>0

B) Se define que UN NÚMERO ES MENOR QUE OTRO si y solo si su diferencia es un número negativo. De los números M, N donde:

Ejemplos: • 10 < 13 , 10 - 13 < 0 (10 - 13 = -3) , - 3 < 0 • -5 < -1 , -5 - (-1) < 0 (-5 - (-1) = -4) , -4 < 0

M
inTervalos Es aquel subconjunto de los números reales que define un conjunto de valores entre dos límites, inferior y superior. Existen dos tipos de intervalos:

-3 -4 -3

2

-1 0 1 1 4

+3

2,4

Números negativos

Donde: +3: más infinito -3: menos infinito • Aquel número mayor que el cero se denomina NÚMERO POSITIVO. a>0 • Aquel número menor que el cero se denomina NÚMERO NEGATIVO. b<0

Intervalo acotado

Es aquel cuyos extremos son números reales (límites finitos), se presentan como: I. Intervalo cerrado II. Intervalo abierto En este caso se consideran a los extremos finitos. En este caso no se consideran a los extremos finitos. -3

a

b

+3 -3

x ! [a; b] , a # x # b

a

Nota

b

+3

; a
III. Intervalo semiabierto por la derecha (cerrado en “a” y abierto en “b”)

• Cierto número M es MENOR O IGUAL QUE otro N si: M # N , (M < N 0 M = N)

IV. Intervalo semiabierto por la izquierda (abierto en “a” y cerrado en “b”)

• Cierto número M es MAYOR O IGUAL QUE otro N si: M $ N , (M > N 0 M = N)

-3

a

x ! [a; bH , a # x < b

b

; a

+3

-3

a

b

x ! Ga; b] , a < x # b ; a < b

+3

• A los intervalos que usan el símbolo H o G también se les representa como ] o [, respectivamente.

Álgebra - Teoría unidad 3

43

Intervalo no acotado

Es aquel en donde por lo menos, uno de sus extremos es el límite: +3 o -3. I. -3

a

II.

+3

a

-3

[a; +3H = {x ! R / x $ a}

Ga; +3H = {x ! R / x > a} III.

a

-3

IV.

+3

a

-3

G-3; aH = {x ! R / x < a} V.

Nota La propiedad 1 también verifica cuando se extrae una raíz de índice impar. 6c, d ! R y n (impar) c>d,

n

Así: -8 < 216 , , -2 < 6

c >n d 3

- 8 < 3 216

La propiedad 2 también se cumple cuando extraemos raíces de índices de números enteros positivos. 6c, d ! R+ y n ! Z+ c
Así: 9>4 ,

G-3; a] = {x ! R / x # a} G-3, +3H = {x ! R / -3 < x < +3}

-3

+3

propiedades de las desigualdades 1. Si elevamos los de una desigualdad a un exponente impar positivo; el sentido de esta no cambia. 6a; b ! R y n (impar) ! z+, se cumple: a < b , an < bn

6a; b ! R+ y n ! Z+, se cumple:

n

+3

Ejemplos: • 5 > -2 , 53 > (-2)3 , 125 > -8 • -8 < -3 , (-8)3 < (-3)3 , -512 < -27

2. Si los de una desigualdad son números positivos y estos los elevamos a un exponente entero y positivo el sentido de la desigualdad no cambia.

Nota

c

+3

9>

4 ,3>2

Atención Todo número diferente de cero, elevado al cuadrado es positivo: a ! 0 & a2 > 0

a > b , an > bn

3. Si los de una desigualdad son números negativos y estos los elevamos a un exponente PAR, el sentido de la desigualdad cambia. 6a; b ! R- y n (par), se cumple: a > b , an < bn

6a>0 & a+ 1 $2 a

•

6 a < 0 & a + 1 # -2 a

• 6 a / b ! R+ & a + b $ ab 2

Ejemplos: • -6 < -1 , (-6)2 > (-1)2 , 36 > 1 2

2

• - 2 < - 1 , c- 2 m > c- 1 m , 4 > 1 3 2 3 2 9 4

4. Es posible multiplicar desigualdades que tengan un mismo sentido si y solo sí los componentes de estas sean números positivos; el sentido de la desigualdad resultante en este caso será la misma. 6a,b,c,d ! R+ , se cumple: a>b & ac > bd c>d

a!0 & a>0 0 a<0 •

Ejemplos: • 3 > 1 , 32 > 12 , 9 > 1 • 9 > 3 , 94 > 34 , 6561 > 81 • 4 < 7 , 16 < 49

Ejemplos: •

9>2 & 9 . 10 > 2 . 7 & 90 > 14 10 > 7

•

5 < a < 10 1 <2

&

5 . 1 < a . b < 10 . 2 5 < ab < 20

5. Regla de los signos de la multiplicación. a . b > 0 , [(a > 0 / b > 0) 0 (a < 0 / b < 0)] Ejemplos: 1. 5 . 2 > 0 & 10 > 0 , 5 > 0 / 2 > 0 2. (-3)(-7) > 0 & 21 > 0 , -3 < 0 / -7 < 0

a . b < 0 , [(a < 0 / b > 0) 0 (a > 0 / b < 0)] Ejemplos: 1. 9(-7) < 0 & -63 < 0 , 9 > 0 / -7 < 0 2. (-8)5 < 0 & -40 < 0 , -8 < 0 / 5 > 0

6. 6a, b ! R, se verifican las relaciones: 0
• 0 < 2 < 4 , 0 < 1 < 1 , 0 < 0,25 < 0,5 4 2

44 Intelectum 1.°

a<0 , 1 < 1 <0 b a Ejemplo: • - 1 < - 1 < 0 , -3 < -2 < 0 3 2

X

7. Si a y b tienen el mismo signo, se cumple: Ejemplos:

a<x
1. 2 < c < 5 , 1 < 1 < 1 5 c 2 1 2. 5 < < 7 , 1 < a < 1 a 7 5

operaciones enTre inTervalos Si los conjuntos A y B representan un intervalo de números reales, se realizan entre ellos las siguientes operaciones: 1. Unión: A , B = {x / x ! A 0 x ! B} 2. Intersección: A + B = {x / x ! A / x ! B}

3. Diferencia: A - B = {x / x ! A / x " B} 4. Complemento: A' = {x / x ! R / x " A}

Los símbolos: 0 : significa “o”. / : significa “y”. " : no pertenece al conjunto.

Ejemplos: Sean los conjuntos: A = [-4; 5H; B = G0; 8] ; C = [-1; +3H Realiza las siguientes operaciones: 1. A , B 2. B + C 3. A - C 4. B' Resolución: 1. Graficamos los intervalos en la recta real: A = [-4; 5H; B = G0; 8] A -3

0

-4

5

B +C 8

+3

4. Graficamos: B = G0; 8] B'

A-C -1

8

& B + C = G0; 8] + [-1; +3H = G0; 8]

3. Graficamos: A = [-4; 5H ; C = [-1; +3H

-4

0

-1

-3

+3

& A , B = [-4; 5H , G0; 8] = [-4; 8]

-3

2. Graficamos: B = G0; 8] ; C = [-1; +3H

B

,

Observación

5

-3

+3

& A - C = [-4; 5H- [-1; +3H = [-4; -1H

B' 0

8

+3

& B' = G0; 8]' = G-3, 0] , G8; +3H

Recuerda • Si: a!0 & a rel="nofollow">0 0 a<0

inecuaciones de primer grado Son aquellas que se reducen a las formas generales: ax + b > 0

ax + b < 0

ax + b $ 0

ax + b # 0

; a!0

Despejando la variable x (teniendo en cuenta las propiedades de los números reales vistas al inicio del tema): Casos:

Si a > 0 Ley multiplicativa

0

Si a < 0 Ley multiplicativa

I.

ax + b > 0 & ax > -b &

x > - b , x ! - b ; +3 a a

0

x < - b , x ! - 3; - b a a

II.

ax + b < 0 & ax < -b &

x < - b , x ! - 3; - b a a

0

x > - b , x ! - b ; +3 a a

III. ax + b $ 0 & ax $ -b &

x $ - b , x ! <- b ; +3 a a

0

x # - b , x ! - 3; - b F a a

IV. ax + b # 0 & ax # -b &

x # - b , x ! - 3; - b F a a

0

x $ - b , x ! <- b ;+3 a a

Intervalos de solución Ejemplos: 1. Determina el conjunto solución de la inecuación: Resolución: • Sumando -x a cada uno de los :

• el conjunto solución (cs) de una inecuación serán aquellos números reales que verifican la inecuación. • Al conjunto solución se le denomina también intervalo solución. CS < > INTERVALO SOLUCIÓN < > Significa: “equivalente a”

Intervalos de solución 6x + 3 > x - 2 6x + 3 - x > x - 2 - x 5x + 3 > -2 Álgebra - Teoría unidad 3

45

Nota La solución gráfica de la inecuación del ejemplo 1 es:

-1

-3

+3

• Sumando -3 a cada uno de los : • Este es el caso I. Con a > 0: • Multiplicando por 1 a cada miembro de la inecuación: 5

5x + 3 - 3 > -2 - 3 5x > -5 1 5x c m > - 5 c 1 m 5 5

• Luego, el conjunto solución será:

x > -1 CS = G-1; +3H

CS = x ! G-1; +3H

2. Determina el conjunto solución de la inecuación: Resolución: • Multiplicamos a ambos de la inecuación por el

x+x+1 # x+5 6 6 2 3 6

6c x + x + 1 m # 6c x + 5 m 2 3 6 6 6

MCM de los denominadores (MCM(2; 3; 6) = 6):

3x + 2x + 1 # x + 5 • Reduciendo términos semejantes: 5x + 1 # x + 5 • Sumando -x a ambos de la inecuación:

5x - x + 1 # x - x + 5 4x + 1 # 5

• Sumando -1 a ambos de la inecuación:

4x + 1 - 1 # 5 - 1

• Este es el caso IV con a > 0:

Nota

4x # 4 x#1

Del ejemplo 2 • El mínimo común múltiplo (MCM) de : 2; - 3; - 6; - 6 y - 6 es: 2-3-6-6-6 2 1-3-3-3-3 3 1-1-1-1-1 MCM = 2 . 3 = 6

Es aquella agrupación de inecuaciones cuyas soluciones verifican simultáneamente a cada inecuación. Se presenta el siguiente caso:

• La representación gráfica del conjunto solución será:

Sistema expresado en función de una sola incógnita

• El conjunto o intervalo solución será: CS = G-3; 1]

sisTemas de inecuaciones de primer grado

1. er Caso: 6a; b; c; d ! R a < cx + d < b -3

1

+3

x ! G-3; 1]

Ejemplo: Determina el conjunto solución de: 3 # 7 - 2x < 13 Resolución: La solución se hará de dos maneras: A) Por separado:

B) En forma simultánea:

(II)

• Sumando -7 a cada miembro del sistema:

3 # 7 - 2x < 13

3 - 7 # 7 - 7 - 2x < 13 - 7 -4 # -2x < 6

(I) Recuerda • En el sistema de inecuaciones cuando no existen soluciones comunes el sistema será imposible de resolverse.

El conjunto solución estará dado por: (I) + (II) (I) 3 # 7 - 2x & 2x # 7 - 3 2x # 4 x#2

- 4 c- 1 m $ - 2x c- 1 m > 6 c- 1 m 2 2 2

(II) 7 - 2x < 13 & 7 - 13 < 2x -6 < 2x 2x > -6 x > -3

-3

CS = G-3; 2]

2 $ x > -3

(II)

(I)

46 Intelectum 1.°

Multiplicando por c- 1 m a los de la 2 inecuación:

-3

2

+3

También se puede escribir como: -3 < x # 2 CS = G-3; 2]

X 2.° Caso: 6a; b; c; d; e; f ! R ax + b < cx + d < ex + f Ejemplos: 1. Resuelve el siguiente sistema: Resolución:

Recuerda

3x - 4 # 5x + 2 #- x + 8

Si se multiplica a los de una inecuación por un número real negativo, el sentido de la inecuación cambia.

(II)

• Desarrollando la inecuación por separado, luego la solución estará dado por la intersección de (I) y (II):

3x + 4 # 5x + 2 #- x + 8 (I)

• En (I) sumando a la vez -5x y 4 a ambos de la inecuación:

3x - 4 # 5x + 2 3x - 5x - 4 + 4 # 5x - 5x + 2 + 4 -2x # 6

• Multiplicando por c- 1 m a los de la inecuación: 2

c- 1 m (-2x) $ 6 c- 1 m 2 2 x $ -3

• Sumando a la vez x y -2 a ambos de la inecuación (II):

5x + 2 # -x + 8 5x + x + 2 - 2 # -x + x + 8 - 2 6x # 6

(A)

c 1 m 6x # c 1 m 6 6 6 x#1

• Multiplicando por 1 a los de la inecuación: 6

Recuerda

(B)

(B)

(A)

• Intersectando los conjuntos (A) y (B): -3

• El conjunto solución estará dado por:

-3

1

Cuando hay fracciones se tienen que eliminar los denominadores, esto se logra multiplicando a los de la inecuación por el MCM de los denominadores.

+3

CS = [-3; 1]

2. Sabiendo que 2 # x # 5; determina el intervalo de la expresión

Atención

1 . x-1

Resolución: • Partimos de la condición, a partir de ella le damos forma hasta llegar a la expresión solicitada:

Si a y b tienen el mismo signo, se cumple:

2#x#5

a<x
• Sumando -1 a cada miembro del sistema:

2-1#x-1#5-1 1#x-1#4

• Como los extremos de la inecuación son positivos podemos invertirlos:

1 # 1 #1 4 x-1

• Por consiguiente, lo pedido pertenece al intervalo:

1 ! 1 ;1 F < 4 x-1

Efectuar 1. Interpreta con intervalos las siguientes gráficas. a)

2. Grafica las expresiones.

siguientes

desigualdades

a) -7 # x # 5 15

21

b) -1 1 x 1 1 c) 2 # x 1 13

b) -3 c) -3

3

25

+3

2

5

+3

d) x # -7 e) x $ 2 f) x ! R - {0; 1; 2}

Álgebra - Teoría unidad 3

47

y

Problemas resueltos 1

Si la intersección de los intervalos P y Q es: ]a + 5; b - 8[ y P = [-7; 10[; Q = ]2; 19[ Calcula: a.b

Resolución:

10

2

(x - 3)(x + 4) < (x - 5)(x - 1) x2 + x - 12 < x2 - 6x + 5 7x < 17 x < 17 …(I) 7

19

P + Q = ]2; 10[ = ]a + 5; b - 8[ &a+5=2 / b - 8 = 10 a = -3 b = 18 ` a . b = -54 2

(I) + (II): -1 < x < 17 7

Encuentra el menor número natural par que verifica: 5x - 2 - x > 3 _ x + 2 i 3 5 6

Resuelve: x+2 - x-2 > 5 - 1 b a a b Teniendo en cuenta que: b > a > 0

7

5x - 1 - 3x - 13 - 5x + 1 > 0 4 10 3

MCM(4; 10; 3) = 60

x(a - b) > 3a - 3b

75x - 15 - 18x + 78 - 100x - 20 > 0 60

x(a - b) > 3(a - b) Como a < b & a - b < 0 &x<3 ` CS = G-3; 3[

-43x + 43 > 0 43x < 43 x < 43 43

Resuelve: 7x + 9 < 6x + 3 < 5x + 1

x < 1 & x ! G-3; 1H 8

Resolución: 7x + 9 < 6x + 3 < 5x + 1 (I) De (I): 7x + 9 < 6x + 3 x < -6 …(1)

De (II): 6x + 3 < 5x + 1 x < -2 …(2)

-3

-6

Sean los conjuntos: A = {x = r/s / r, s ! Z con 1 < r < 3 y 0 < s < 3}; B = {x ! R/ 1 < x < 2} Calcula: A , B

Resolución:

(1) + (2):

` x ! G-3; -6H

48 Intelectum 1.°

Resuelve: 5x - 1 - 3x - 13 > 5x + 1 4 10 3

Resolución:

ax + 2a - bx + 2b > 5a - b ab ab x(a - b) + 2a + 2b > 5a - b

(II)

Si x ! ]-1; 4], halla el intervalo de -4x + 3.

-1 < x # 4 , 4 > -4x $ -16 7 > -4x + 3 $ -13 -13 # -4x + 3 < 7 ` -4x + 3 ! [-13; 7[

...(1)

Resolución

4

` x ! G-1; 2,43H

Resolución:

Por lo tanto, el menor entero par que verifica (1) es: 30 3

(x + 2)(x + 1) < (x + 1)(x + 3) x2 + 3x + 2 < x2 + 4x + 3 x > -1 …(II)

Piden, soluciones enteras: x = {0; 1; 2} S soluciones enteras = 3

Resolución

5 x - 2 - 3 x > 3x + 6 3 5 10x - 10 > 9x + 18 x > 28

Resuelve: (x - 3)(x + 4) < (x - 5)(x - 1) (x + 2)(x + 1) < (x + 1)(x + 3) e indica la suma de soluciones enteras comunes.

Resolución:

Q

P 7

5

-2

+3

Como r, s ! Z, se tiene: 1 < r < 3 & r = 2; 0 < s < 3 & s = 1; s = 2 Luego: A = {1; 2} Además: B = G1; 2H Unidendo: A , B = [1; 2]

unidad 4

VALOR ABSOLUTO CONCEPTO

El valor absoluto de un número real x, denotado por |x|, es un número real no negativo definido por: x =* Ejemplo:

Atención El valor absoluto de un número real cualquiera será siempre positivo o cero: Así:

x; x $ 0 - x; x < 0

1. f(x) = |x - 1| =

x - 1; x - 1 $ 0 -(x - 1); x - 1 < 0

& f(x) = |x - 1| =

x - 1; x $ 1 -x + 1; x < 1

2. g(x) = |x + 1| =

x + 1; x + 1 $ 0 -(x + 1), x + 1 < 0

& g(x) = |x + 1| =

x+1;x$-1 - x - 1; x < -1

|9| = 9 siendo 9 > 0 |0| = 0 siendo 0 = 0 |-9| = -(-9) siendo -9 < 0

Interpretación geométrica del valor absoluto

El valor absoluto del número real x indica gráficamente la longitud del origen al número x o del origen al número -x. (origen)

-3

-x

|-x|

0

|x|

x

+3

Ecuaciones con valor absoluto

Deberás tener presente las siguientes dos propiedades: |x| = b , (b $ 0) / (x = b 0 x = -b) Ejemplos: 1. Resuelve: |x - 9| = 7 Resolución: Aplicando la propiedad: x-9=7 0 x - 9 = -7 x=7+9 0 x = -7 + 9 x = 16 0 x=2 El conjunto solución (CS) es: CS = {2; 16} 2. Resuelve: |x - 7| = 2x - 1 Resolución: Aplicando la condición: 2x - 1 $ 0 & x $ 1 2 Aplicando la propiedad x - 7 = 2x - 1 0 x - 2x = -1 + 7 0 -x = 6 0

x - 7 = - (2x - 1) x + 2x = 1 + 7 3x = 8 x = -6 0 x= 8 3 Descartamos (x = -6) porque no satisface la condición: x $ 1 2 El conjunto solución es: CS = ' 8 1 3

|x| = |b| , x = b 0 x = -b

Recuerda

Ejemplos: 1. Resuelve: |10x - 1| = |7x + 5|

Las operaciones con valor absoluto:

Resolución: Aplicando la propiedad: 10x - 1 = - (7x + 5) 0 10x - 1 = 7x + 5 10x - 1 = -7x - 5 0 10x - 7x = 5 + 1 10x + 7x = -5 + 1 0 3x = 6 17x = -4 0 3x = 6 4 0 x=2 x=17 El conjunto solución (CS) será: CS = '- 4 ; 2 1 17 2. Resuelve: 5|x| = |3x - 4|

1. |x| = |-x|; 6x ! R 2. |xy| = |x||y|; 6x; y ! R 3. x = x ; y ! 0 y y 4. |x|2 = x2 = |x2|; 6x ! R Asimismo considera también: 1. |x| $ 0 ; 6x ! R 2. |x| = 0 , x = 0 3. x2 $ 0 4. x2 = |x|; 6x ! R 5. 2|b| = |2b| 6. |x - b| = |b - x|

Resolución: Aplicando la propiedad: 5x = - (3x - 4) 0 5x = 3x - 4 5x + 3x = 4 0 5x - 3x = -4 8x = 4 0 2x = -4 1 0 x = -2 x= 2 El conjunto solución (CS) será: CS = '- 2; 1 1 2 ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 4

49


Define: |x - a|; si a ! r.

6

Resolución:

Resolución: x-a ; x-a$0 |x - a| = -(x - a) ; x - a < 0

2

& |x - a| =

Por definición: |5x - 7| = 11 - x & 11 - x $ 0 / 5x - 7 = 11 - x 0 5x - 7 = x - 11 & x # 11 / x=3 0 x = -1 ` CS = {-1; 3}

x-a; x$a a-x; x

Resuelve: |x - 10| - |2x - 5| = 0

Resolución:

7

Por definición tenemos: |x - 10| = |2x - 5| x - 10 = 2x - 5 0 -5 = x

x - 10 = -2x + 5 3x = 15 x=5

Resuelve: 1 + 1 = 5 x

Reemplazando los valores, obtenemos: x.y = - 4.3 = - 12 = 12 -5 -5 5 z 8

Resolución:

4

Reemplazando los valores, obtenemos: - 4. - 5 x z = - 4.5 = - 20 = 3 3 3 y

0 x =- 1 4

` CS = (- 1 ; 1 2 4 4

9

Resuelve: |3x + 7| = |2x|

3x + 7 = -2x 5x = -7 x= -7 5

0

` CS = (- 7; - 7 2 5 5

-4 . -5 x . z = 4 . 5 = 20 = y 3 3 3

10 Si: x = -4; y = 3; z = -5, encuentra el valor de la expresión: x+y 2z - x

Resolución: -4 + 3 -1 x+y = = =1 - 10 + 4 6 2z - x 2^- 5h - ^- 4h

Resuelve: |5x - 1| = |x + 12|

Resolución:

|5x - 1| = |x + 12| + (5x - 1)2 = (x + 12)2 2

2

& (5x - 1) - (x + 12) = 0 (por diferencia de cuadrados) (6x + 11)(4x - 13) = 0 & x = - 11 0 x = 13 4 6 ` CS = (- 11 ; 13 2 6 4

50 Intelectum 1.°

Si: x = -4; y = 3; z = -5, encuentra el valor de la expresión: x . z y

Resolución:

Resolución: 3x + 7 = 2x x = -7

Siendo x = -4; y = 3; z = -5 determina el valor de la expresión: x. z y

Resolución:

Despejamos la variable en la ecuación: 1 = 5-1 & x = 1 4 x x= 1 4

Encuentra el valor de la expresión para: x.y ; si: x = -4; y = 3; z = -5 z

Resolución:

` CS = {-5; 5}

3

Resuelve: |5x - 7| = 11 - x

11

Encuentra el valor de la expresión que se da a continuación para x = -4, y = 3; z = -5. x-2 y 3 z - x

Resolución: -4 - 2 3 x-2 y = = - 4 - 6 = - 10 11 3 -5 - -4 15 - 4 3 z - x

X

LOGARITMOS DEFINICIÓN

El logaritmo de un número real y positivo N, en la base b, (b rel="nofollow"> 0 / b ! 1) es el exponente x al cual hay que elevar la base para obtener el número N, es decir: logbN = x , bx = N

Donde: x: resultado (logaritmo) b: base del logaritmo, b > 0 / b ! 1 N: número real y positivo

Se lee: logaritmo de N en base b. Ejemplo: Determina el valor de x en la expresión: log2(x2 + 7x) = 3

• Se obtienen dos factores: (x + 8)(x - 1) = 0

Resolución: • Aplicando la definición: x2 + 7x = 23

• Igualando cada factor a cero: x+8=0 0 x-1=0

• Calculamos los valores de x por el método del aspa simple: x2 + 7x - 8 = 23 x +8 x -1

Observación

• Obtenemos de esta manera las soluciones: x = -8 0 x = 1

Verifica que los valores hallados hacen que N sea positivo, de lo contrario se descarta aquel valor que no cumpla con dicha condición. Así: N>0 x2 + 7x > 0 x = -8: (-8)2 + 7(-8) = 8 > 0 x = 1: (1)2 + 7(1) = 8 > 0 En este caso se toman los dos valores, no descartamos ninguno de ellos.

` CS = {-8; 1}

IDENTIDAD FUNDAmENTAL De la definición se desprende que: Ejemplos: • 7log7 5 = 5

blogb N = N

• 37log37 9 = 9

;N/b>0/b!1 • bLogb11 = 11

• 3, 71log3, 71 7 = 7

PROPIEDADEs GENERALEs DE LOs LOGARITmOs

1. Siendo: b > 0 / b ! 1

logb 1 = 0 ; logb b = 1 Ejemplos: • log9 1 = 0 • log3, 71 1 = 0

• log9, 8 9, 8 = 1 • log9 3 2 = 1

2. Siendo: A > 0 / B > 0 / C > 0; b>0 / b!1 logb ABC = logb A + logc B + logc C Ejemplos: • log521 = log53 + log57 • log42 + log45 + log47 = log470 3. Siendo: A / B > 0 , b > 0 / b ! 1 logb c A m = logbA - logbB B Ejemplos: • log3 7 = log37 - log34 4 • log56 = log512 - log52 4. Regla del sombrero Siendo: A / b > 0 / b ! 1, 6 n ! R n

logbA = nlogbA

Ejemplos: • log5125 = log553 = 3log55 = 3 • log381 = log334 = 4log33 = 4

Nota +

1. Para n ! Z ; n > 1 lognb A = (logbA)n

5. Siendo: A / b > 0 / b ! 1 6n $ 2; n ! z+

logbAn ! lognbA

log A A = 1 logb A = b n n

logb n Ejemplo: • log7

De aquí se desprende que:

3

2. En la práctica son dos los sistemas de logaritmos más utilizados: el sistema de logaritmos cuya base es 10 que fue introducido por el matemático inglés Henry Briggs y el sistema de logaritmos naturales o neperianos introducido por el matemático escocés John Neper cuya base es el número irracional e. e = 2,7182...

7 = 1 log7 7 = 1 3 3

6. Regla de la cadena A; B; C y D ! R+ / A; B; C y D ! 1 logBA . logCB . logDC = logDA Ejemplo: • log75 log97. log39 = log35 logAB . logBC . logCD = logAD

3. Propiedad: 6 a; b; c ! R+/b ! 1

• log310 log108 . log817 = log317

alogbc = clogba

7. Cambio de base N > 0 , b ! R+ logN b =

1 logb N

Ejemplos: • log5 2 =

1 log 2 5

• log 9 =

1 log9 10 ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 4

51

ECUACIONEs LOGARÍTmICAs Atención

Siendo: b > 0 / b ! 1, la ecuación: logbA(x) = a Se resuelve por medio de las relaciones: A(x) > 0 / A(x) = ba

El conjunto de valores isibles (CVA) estará conformado por: CVA: A(x) > 0

Ejemplos: 1. Examen de isión UNI 2003-II (matemática) Determina las soluciones reales de la ecuación: log5(x2 - 20x) = 3 Resolución: Aplicando la propiedad propuesta: x2 - 20x > 0 / x2 - 20x = 53 Factorizando la desigualdad: x(x - 20) > 0 / x2 - 20x - 125 = 0 Factorizando la igualdad: x < 0 0 x > 20 / (x - 25)(x + 5) = 0

Igualando cada factor de la igualdad a cero: x < 0 0 x > 20 / x = 25 0 x = - 5 Como estos valores satisfacen el CVA, entonces son las soluciones reales: x1 = -5 ; x2 = 25

2. Examen de isión UNI 2011-II (matemática) Determina el valor de x en la siguiente ecuación: logxlogx - logx - 6 = 0 Da como respuesta la suma de las soluciones. Observaciones 1. Cuando se emplean logaritmos cuya base es 10 se acostumbra omitir el subíndice 10. Veamos: • 100 = 1; escribiremos: log1 = 0 + log101 = 0 • 101 = 10; escribiremos: log10 = 1 + log1010 = 1 • 102 = 100; escribiremos: log100 = 2 + log10100 = 2 • 103 = 1000, escribiremos: log1000 = 3 + log101000 = 3 • 104 = 10 000; escribiremos: log10 000 = 4 + log1010 000 = 4 2. Cuando se emplean logaritmos neperianos, la notación será la siguiente: lnN = logeN Veamos: • lne = logee = 1 • ln8 = loge8 • ln11 = loge11

Resolución: Aplicamos la regla del "sombrero": logxlogx - logx - 6 = 0 (logx)(logx) - logx - 6 = 0 Se forma una ecuación cuadrática: (logx)2 - logx - 6 = 0 logx -3 logx 2 Factorizamos por el aspa simple: (logx - 3)(logx + 2) = 0

Igualando cada factor a cero: logx - 3 = 0 0 logx + 2 = 0 Estos valores verifican la existencia del logaritmo: x = 103 0 x = 10-2 Luego, la suma de soluciones es: 103 + 10-2 = 1000 + 0,01 = 1000,01

3. Resuelve: log2x + log2x2 + log2x3 = 24 Resolución: log2x + log2x2 + log2x3 = 24 log2x + 2log2x + 3log2x = 24

6log2x = 24 & log2x = 4 ` x = 24 = 16

4. Calcula x: log 7 x7log xy A7log yz A7log z (x - 3) AA = log 5 Resolución: De la ecuación:

log 7 xlog x y logy z logz _x - 3iA = log 5 log _xlog x (x - 3) i = log 5

log(x - 3) = log5 x - 3 = 5 &x = 8

Efectuar Grupo I 1. Calcula el logaritmo de 16 en base 2.

Grupo II 1. Halla x: logx7log732 = 5

2. Calcula log1255.

2. Resuelve: logxa . logab . logb(x2 - 2) = logcc

3. Determina el valor de x en:

3. Resuelve: log5log4log3(4x + 1) = 0

2

4. Resuelve: log2x + log2(x - 6) = 4

log(x - 15x) = 2 4. Determina el valor de x en: 7

log7(2x-19)

=4+x

5. Resuelve: log16 + logx + log(x - 1) = log15 + log(x2 - 4)

52 Intelectum 1.°

5. Resuelve e indica la menor solución de: log2(x2 + 12) - log2x = 3 6. Halla el valor de a: loga0,5 = 0,2

X


Resuelve: 7

log7(x4 + 2x2 - 14)

=1

5

Resolución:

log 3 log 3 =& log3log9x = -log3log x 9 log 9 x x log 9 log3(log9 + logx) = -log3(logx - log9) log9 + logx = log9 - logx 2logx = 0 logx = 0 ` x = 100 = 1

Resolviendo la ecuación tenemos: (x2 + 5)(x2 - 3) = 0 x2 + 5 = 0 & x2 = -5; x g r x2 - 3 = 0 & x2 = 3; x = ! 3

2

6

Calcula x en: log(x + 1)81 = 2

3

Encuentra el valor de: A = log7 5log 5343 + log 2 9log 9128 - log5 13log 1325

Resolución: Por identidad fundamental: A = log7343 + log2128 - log525 A = log773 + log227 - log552 ` A=3+7-2=8

Resolución: Por definición sabemos: 81 = (x + 1)2 & x + 1 = !9 / x + 1 > 0 / x + 1 ! 1 & x > -1 / x ! 0 x + 1 = 9 0 x + 1 = -9 x=8 x = -10 La única solución posible será: x = 8

9

Resolución:

Por la identidad fundamental: x4 + 2x2 - 14 = 1 & x4 + 2x2 - 15 = 0

` CS = #! 3 -

Halla x: log x 3 + log9x3 = 0

7

Calcula el valor de: R = log3 5log5 81 + 9log3 5 + log

4

23

Resolución:

Simplifica: M = log d 75 n - 2 log d 5 n + log d 32 n 16 9 243

R = log3 81 + (3

Resolución:

1 ) + 2 log 23 23 1 2

log3 5 2

Aplicamos la regla del sombrero en el término central:

1

-2 M = log d 75 n + log d 5 n + log d 32 n 16 9 243

R = log3 3 4 + 5 2 + log 23 23 2 R = 4 + 25 + 1 2 ` R = 59 2

2 M = log f 75 . 92 . 32 p (Recuerda: logA + logB = logA.B) 16 . 5 . 243 4 5 M = log f 3 . 425 . 3 . 52 p 2 . 25 . 3

23

8

Calcula el valor de: P = 125log2 2 + 25

1 log 1 3 5

Resolución:

M = log 2

P = 125 + 25 log5-1 3

-1

log 3

4

P = 125 + 25 5 P = 125 + (5log5 3) 2 P = 125 + (3)2 = 125 + 9 ` P = 134

Halla x en: logx d 1 n = log8 d 1 n 81 16

Resolución:

logx(3-4) = log 3(2-4) 2

logx(3-4) = - 4 3 Sabemos que por definición se cumple: x

-4 3 1

= 3-4

x 3 = 3 & x = 27

9

Calcula el valor de m en: log m = log 3 - 2

Resolución: log m = log103 - 2 log1010

log m = log103 - log10100 log m = log10 d 3 n 100 log m = log 0,03 ` m = 0,03

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 4

53

FUNCIONES DEFINICIONEs PREvIAs Producto cartesiano A # B

Sean A = {2; 4; 6} y B = {1; 3; 5} dos conjuntos. Se define A # B ={(2; 1), (2; 3), (2; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (6; 1), (6; 3), (6; 5)} como el conjunto de pares ordenados de A en B.

Recuerda Par ordenado:

n(A # B): n.° de elementos de A # B n(A) : n.° de elementos del conjunto A n(B) : n.° de elementos del conjunto B

(a; b) primera componente

segunda componente

Propiedad

n(A # B) = n(A) . n(B)

A#B!B#A

Gráfica de un producto cartesiano: y

(6; 5)

5

(6; 3)

3

x: eje de abscisas y: eje de ordenadas

1 2

4

x

6

n(A # B) = n(A) . n(B) =3.3 ` n(A # B) = 9 elementos

Relación

Dados 2 conjuntos no vacíos A y B; llamaremos relación o relación binaria a todo subconjunto R del producto cartesiano A # B. R es una relación de A en B , R 1 A # B Atención Debes saber que; en una relación R: R

A

B

a

1

b

2

c

3

Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {3; -5} y B = {0; 1; -1} Determina si R1; R2; R3 son relaciones de A en B. R1 = {(3; 0), (-5; -1), (-5; 1)} R2 = {(3; 1), (3; -1), (-5; 0), (-5; -1)} R3 = {(3; 2), (-5; 0), (3; 1)}

Resolución: A # B = {(3; 0), (3; 1), (3; -1), (-5; 0), (-5; 1), (-5; -1)} Se observa que: R1 1 A # B R2 1 A # B R3 A # B ` R1 y R2 son relaciones de A en B, R3 no lo es.

También se puede representar a una relación en un diagrama sagital: - Dominio de R - Conjunto de partida

- Rango de R - Conjunto de llegada

R = {(a; 2), (b; 3)}

R1

R2

A

B 3 -5

0 1 -1

A

Donde A: conjunto de partida B: conjunto de llegada

B 3 -5

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

0 1 -1

Se conoce como función a toda correspondencia entre 2 magnitudes. Dado un subconjunto f de A # B, si a cada primera componente solo le corresponde una única segunda componente, entonces f es una función. Notación: f: A & B se lee: la función f de A en B. f A

54 Intelectum 1.°

B

X

Explícitamente: La función de A en B se denota así:

Nota

Conjunto de llegada

f = {(x; y) ! A # B / y = f(x)} Elementos de f

conjunto de partida

Regla de correspondencia Relaciona a la primera y segunda componente. y = f(x). Donde f(x) depende de los valores que toma x.

Donde: x: primera componente y: segunda componente

regla de correspondencia

Ejemplo: f(x) = 3x (nos indica que los valores que toma y y = 3x son el triple de los valores de x).

Propiedad: f es función de A en B si: i) f 1 A # B / ii) Si (a; b) ! f / (a; c) ! f & b = c De (ii) se infiere que a primeras componentes iguales le corresponde segundas componentes iguales. Ejemplo: Dados los conjuntos: M = {3; 4; 6}, N = {1; 5; 8; 13}; f1 = {(3; 1), (4; 8), (6; 13)}; f2 = {(1; 4), (5; 4), (8; 3), (13; 6)} y f3 = {(3; 8), (3; 1), (6; 13), (4; 5)} ¿Son f1; f2 y f3 funciones de M en N? Resolución: • Observamos que f1 está incluido en M # N y a cada primera componente le corresponde un único valor. ` f1 es función, ya que cumple i) y ii) de la definición. • f2 es función de N en M, ya que está incluido en N # M y a cada primera componente le corresponde una única segunda componente. ` f2 es función de N en M, cumple i) y ii). • f3 no es función M en N, ya que aunque pertenezca a M # N, a la primera componente 3 le corresponde distintas segundas componentes. f3 = {(3; 8), (3; 1), (6; 13), (4; 5) } ! Mediante diagramas: f1 M

3 4 6

f3

f2

1 5 8 13

N

N

f1 es función.

1 5 8 13

3

M

M

3

4

4

6

6

f2 es función.

1 5 8 13

N

Atención Toda función es una relación, pero no toda relación es una función. Si, g = {(7; 6), (3; 8), (6; 1), (m; n)} g(3) = 8 g(6) = 1 g(m) = n Si, f(x) = 4x - 1 f(2) = 4(2) - 1 = 8 - 1 = 7 f(0) = 4(0) - 1 = 0 - 1 = -1 f(n) = 4n - 1

f3 no es función, es relación.

(A una misma primera componente no le puede corresponder diferentes valores)

REPREsENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONEs

Ejemplo: Sea f = {(3; 3), (4; 1), (8; -1), (9; -2)} una función, realiza su gráfica: Resolución: Ubicamos los pares ordenados en el plano cartesiano. y

3 2 1 0 -1 -2

1 2 3 4

5 6 7

8 9

x

Donde: f(3) = 3 f(4) = 1 f(8) = -1 f(9) = -2


55

Observación f(x) = 2x

es equivalente a e indica que los

y = 2x valores de y son el doble que los de x. Si: x = -3 & y = 2x = -6

Gráfica de una función con regla de correspondencia Sea la función f(x) = 2x, realiza su gráfica.

y = f(x)

Resolución: Elaboramos un cuadro con algunos valores de x; y evaluamos en la regla de correspondencia f(x) = 2x. Tabulamos: y

x = 2 & y = 2x = 4

x

f(x) = 2x

h -3 -2 -1 0 1 2 3 h

h -6 -4 -2 0 2 4 6 h

f(x)

6

& Ubicamos los puntos en el plano cartesiano y unimos los puntos.

4 2 -3 -2 -1

1 2 3

x

-2 -4 -6

DOmINIO y RANGO DE UNA FUNCIÓN Atención

Dominio

Si: f1 = {(4; 2), (6; 3)}

• Sea f = {(3; 6), (7; 2), (5; 11), (9; 17)}; una función, el dominio se denota por Dom(f) o Df y representa a las primeras componentes de f. & Dom(f) = {3; 7; 5; 9}

Dom(f1) = {4; 6} Ran(f1) = {2; 3}

• Sea g(x) = x - 3, una función en R. El dominio son los valores que toma la variable x. & Dom(g) = R; es decir; x toma cualquier valor real.

Rango

El rango de una función f; se denota como Ran(f) o R(f) y representa a las segundas componentes de f. • Si; f = {(3; 6), (7, 2), (5; 11), (9; 17)} es una función: Ran(f) = {6; 2; 11; 17} • Si; g(x) = x - 3 es una función en R. & Ran(g) son los valores que toma x - 3, en este caso todos los reales Ran (g) = R.

Recuerda • Representación verbal de una función. El costo de un lapicero es de S/.1,5. • Representación tabular: Cantidad Costo

1

2

3

4

1,5

3

4,5

6

• Representación gráfica:

Ejemplos: 1. Sea M = {(3; 1), (1; 3), (7; 21), (5; 15)} y la función f(x) = {(x; y) ! M / y = 3x}, determina Dom(f) y Ran(f). Resolución: • Hallamos f(x), de acuerdo a su regla de correspondencia los valores de y o segunda componente son el triple de x o primera componente.

• Observamos que {(1; 3), (7; 21), (5; 15)} cumplen con la regla correspondencia o condición. f(x) = {(1; 3); (7; 21); (5; 15)}

M = {(3; 1), (1; 3), (7; 21), (5; 15)}

` Dom(f) = {1; 7; 5} y Ran(f) = {3; 21; 15}

2. Halla el rango de la función f(x) = 3x - 2; si x ! [2; 5].

6

Resolución: • Como tenemos de dato el dominio, formamos f(x) = 3x - 2, que son los valores que toma el rango.

4,5 3 1,5 1

2

3

4

Los puntos no se unen, ya que no podemos determinar el precio de 1,5 ; 2,5; ... lapiceros.

56 Intelectum 1.°

&2#x#5 6 # 3x # 15 4 # 3x - 2 # 13 4 # f(x) # 13

` Ran(f) = [4; 13]

X

FUNCIONEs EsPECIALEs A EsTUDIAR Función lineal (afin) Es una función polinomial de primer grado de la forma: Gráfica de una función lineal:

f(x) = ax + b

y

Para hallar los puntos de intersección con los ejes. Hacemos: 1.° f(x) = 0 & x = b / 2.° x = 0 & f(x) = b a

y

(0; b) = (0; f(0))

f(x)

x

x

f(x) es función.

• También podemos graficar la función tabulando valores. x -2 -1 0 1 2 h

f(x)

y=x+1 -1 0 1 2 3 h

(0; 1) (-1; 0)

Reconocimiento gráfico de una función. Una gráfica será función si toda recta vertical la interseca en un solo punto. y

( - b ; 0) a

Ejemplos: 1. Grafica la función: f(x) = x + 1 Resolución: • Para graficar la función debemos hallar los interceptos con los ejes: f(x) = 0 & 0 = x + 1 x = -1 punto (x; f(x)): (-1; 0) x = 0 & f(0) = 0 + 1 punto (x; f(x)): (0;1)

y = f(x) = ax + b

b

Entonces, los puntos de intersección con los ejes son: c- b ; 0 m y (0; b) a

Nota

cuya gráfica es una recta.

y

x

g(x) es función. y R(x)

x

1 2 -1 -2

-3 -2 -1

2. Grafica la función: f(x) = 2x - 3 Resolución: • Hallamos los interceptos con los ejes: f(x) = 0 & 2x - 3 = 0 x = 3/2 punto (x; f(x)); (3/2; 0) x = 0 & f(0) = 2(0) - 3 f(0) = -3 punto (x; f(x)); (0; -3) • Ubicamos los puntos en los ejes y unimos con una recta.

g(x)

f(x)

3 2 1

x

y

x

R(x) no es función.

y

f(x) y

(3/2; 0)

1

P(x)

x

-1 -2 (0; -3)

x

Función de proporcionalidad directa

Es una función lineal cuya regla de correspondencia es y = kx ; Su gráfica pasa por el origen de coordenadas; es decir, (0; 0) pertenece a la función. Constante de proporcionalidad. y Si k > 0 & la función es creciente. =k x y Si k < 0 & la función es decreciente. Ejemplos: 1. f(x) = 3x & y = 3x

6

Tabulamos: x y -2 -6 -1 -3 0 0 1 3 2 6

P(x) no es función.

f(x)

Observación

3

-6

-4 -2-1

1 2

4

6

x

Que una recta vertical corte en un punto a una gráfica representa una función porque cumple la condición “6 x ! Dom(f), 7! y” = f(x) (definición de función).

-3 -6


57

2. f(x) = -3x & y = -3x

y 6

Tabulamos x y -2 6 -1 3 0 0 1 -3 2 -6

3

-6

-4

4

x

6

-6

3. Arturo ahorra S/.7 cada semana, representa una función que indique cuánto tendrá en 2; 4; 6 y 10 semanas. Resolución:

& Si A aumenta; B aumenta en la misma proporción que A. • 2 números A y B están en proporción inversa si: A # B = k (constante) & Si A aumenta; B disminuye en la misma proporción que A y viceversa.

1 2

-3

Recuerda • 2 números A y B están en proporción directa si: A = k (constante) B

-2-1

x = semanas f(x) = 7x

La gráfica de la función 7x soles por semana sería: y (soles)

Función soles por x semanas

42

Tabulamos: x = semanas

1

2

4

6

10

y = 7(x) soles

7

14

28

42

70

28 14 7

& En x semanas tendrá S/.7x.

1 2

4

6

x (semanas)

Función de proporcionalidad inversa

Es aquella función que tiene por regla de correspondencia: f(x) = y = k x Ejemplos:

1. Realiza la gráfica de y = 2 x Resolución: Atención Aplicación de una función inversa Un automóvil va a 90 km/h y demora 3 horas en ir de una ciudad A a otra B. ¿Cuánto demorará si va a 60 km/h y a qué velocidad tendrá que ir, si quiere tardar solo 2 horas? Resolución: Deducimos que a mayor velocidad, menor tiempo, Entonces: es una función inversamente proporcional. x: t(tiempo) y= k x y: v(velocidad) yx = k .. v t

& 90 # 3 = k ... (1) 60 # t = k ... (2) (1) ' (2) t = 4,5

2. Realiza la grafica de y = - 2 x Resolución:

Tabulamos: x y -2 -1 -1 -2 0 b 1 2 2 1 3 2/3

Tabulamos: x y -3 2/3 -2 1 -1 2 0 b 2 -1 3 -2/3

y

-3 -2 -1

y

3

3

2

2

1

1 -1

1

2

3

x

-3 -2 -1 -1

-2

Demora 4,5 horas

& 90 # 3 = k ... (1) v # 2 = k ... (2) (1) ' (2) v = 135 Deberá ir a 135 km/h

58 Intelectum 1.°

Se observa que si x aumenta y disminuye en la misma proporción, y viceversa.

-2

1

2

3

x

X


Coloca una regla de correspondencia a cada una de las imágenes de las siguientes relaciones. R1

R2

A

B 1 3 5

R3

A

3 5 7

▪ Ubicamos los puntos en el plano cartesiano y unimos los puntos.

B 7

14

9

18

A m p s

7 4

¿Cuáles de los siguientes conjuntos representa una función? A = {(2; 3), (3; 3), (4; 3), (4; 5)} B = {(2; 3), (2; 3), (2; 3), (3; 3)} C = {(a; a2)/ a = -1; 0; 1; 2}

Resolución:

5

6

2 7

4

Resolución El valor de f(x) es el triple de x aumentado en 1. x -1 f(x) -2

0 1

1 4

2 7

4 13

Sean los conjuntos A = {11; 13; 16; 14} y B = {12; 15; 18} determina el dominio y rango de: f = {(x; y) ! A # B / y = x + 2}

11 13 16 14

Si f es función, a la primera componente le corresponde una única segunda componente.

1

Sea f(x) = x - 7 y g(x) = 7x - 5, dos funciones, determina f(g(1)).

A es el conjunto de partida, entonces posee los posibles valores del Dom(f). Veamos: x y = x + 2 (x; y)

Resolución:

0

x

Resolución:

Si f = {(3; 0), (7; 5), (7; m - 2), (5; 8)} es una función, determina: f(3) + f(m) + f(5)

Completa el recuadro y dibuja la gráfica de f(x) = 3x + 1

4

Primero hallamos: g(1) = 7(1) - 5 g(1) = 2 & f(g(1)) = f(2) = 2 - 7 = -5 ` f(g(1) = -5

` Solo B y C son funciones.

` f(3) + f(m) + f(5) = 0 + 5 + 8 = 13

2

Resolución:

El conjunto A no es función, ya que hay dos pares ordenados distintos que tienen el mismo primer elemento (4; 3) y (4; 5). El conjunto B = {(2; 3), (3; 3)} es una función. El conjunto C = {(-1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4)} es una función.

& (7; 5), (7; m - 2) ! f & 5 = m - 2 m=7 & f(3) = 0 & f(m) = f(7) = 5 & f(5) = 8

1 -2

• R3 = {(m; n), (p; q), (s; t)} La segunda componente es la letra consecutiva a la primera.

x f(x) -2

1

-1

• R2 = {(7; 14), (9; 18)} Las imágenes son el doble de las primeras componentes.

4

13

n q t

• R1 = {(1; 3), (1; 5), (1; 7)} Las imágenes de R1 siguen una progresión aritmética de razón 2.

3

f(x)

B

Resolución:

2

y

13 15 18 16

(11; 13) (13; 15) (16; 18) (14; 16)

" " " "

"A#B !A#B !A#B "A#B

Luego: f = {(13; 15), (16; 18)} ` Dom(f) = {13;16} / Ran(f) = {15; 18} 7

Determina el dominio y rango de la función: f(x) = -2x + 1 si x ! [-2; 2]; luego grafica la función.

Resolución: Dominio: x ! [-2; 2] & -2 # x # 2 Rango: -2 # x # 2 -4 # -2x # 4 -3 # -2x + 1 # 5 Como es una función lineal, hallamos los interceptos con los ejes. y Dato: ▪ Punto(0; f(0)) & en la función: f(0) = -2(0) + 1 = 1 Punto: (0; 1) (0; 1) ▪ Punto(x; 0) & en la función: (1/2; 0) 1 x -2 2 0 = -2x + 1 & x = 2 Punto: d 1 ; 0 n 2 ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 4

59

8

Para calcular el rango, despejamos x en términos de y:

Sean las funciones F y G: F = {(1; 3), (3; 2), (4; 5), (6; 1)} y 6

y = 2x + 7 x+2

G(x)

4 3 2 -2

0

4

6

8

Resolución: F(1) = 3; F(3) = 2; F(4) = 5; F(6) = 1 Del gráfico: G(-2) = 0; G(0) = 3; G(4) = 6; G(6) = 4; G(8) = 2 ` F(1) - G(-2) + F(3) - G(0) + F(4) - G(4) + F(6) - G(6) + G(8) =3-0+2-3+5-6+1-4+2=0

y(x + 2) = 2x + 7 yx + 2y = 2x + 7 x(y - 2) = 7 - 2y 7 - 2y x= ...(1) y-2

Se observa de (1) que y no puede tomar el valor 2, (y ! 2). Luego: Ran(f) = R - {2}

x

Calcula: F(1) - G(-2) + F(3) - G(0) + F(4) - G(4) + F(6) - G(6) + G(8)

&

11

Un jardinero demora en podar el césped de un campo 96 horas, trabajando 8 horas diarias. Completa la siguiente tabla y responde: n.° jardineros (x) n.° horas (y)

1 96

6 32

a) ¿Cuántos jardineros se necesitan para terminar dicho trabajo en 32 horas? b) ¿Cuántas horas se demorarán 6 jardineros?

Resolución: 9

La siguiente gráfica representa a la distancia recorrida por Eder en su moto con respecto al tiempo que se demora en recorrerlo. D (km) Universidad 250 km

Jardineros con horas son inversamente proporcionales: & y = k & 96 = k & k = 96 la función es y = 96 x 1 x a) y = 32 horas & 32 = 96 & x = 3 jardineros x

V

b) x = 6 jardineros & y = 96 & y = 16 horas 6

Grifo 200 km

2

3 3,8

x y

t (h)

Responde: I. ¿En qué tiempo hizo el recorrido de 200 km? II. ¿Cuánto tiempo estuvo estacionado en el grifo? III. Del grifo a la universidad qué tiempo emplea y qué distancia existe.

10 Calcula el dominio y el rango de la función: f(x) = 2x + 7 x+2

Resolución: Se observa que x no puede tomar el valor de -2, (x ! -2); luego: Dom(f) = R - {-2}

60 Intelectum 1.°

6 16

y 6

5

f(x)

I. Del gráfico: 200 km lo recorre en 2 horas.

III. Espacio entre el grifo y la universidad 50 km y demora 0,8 h.

3 32

12 De la gráfica, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x), así como su dominio y rango.

Resolución II. De la 2.a y 3.a hora no recorre distancia alguna, entonces estuvo en el grifo una hora.

1 96

-6

-2

2

Resolución: Observamos que la gráfica es decreciente en: [-6; -2] se cumple: Si x1 $ x2 & f(x1) # f(x2) La gráfica es creciente en: [-2; 2H se cumple: si: x1 # x2 & f(x1) # f(x2) Dom(f): [-6: 2H ; Ran(f): [0; 6H

x

X

progresiones IDEA DE PROGREsIÓN

En un cuartel el general manda a formar a su tropa de la siguiente manera: en la primera fila habrá 3 soldados en la segunda 5, en la tercera siete, es decir; van aumentando el número de soldados 2 por fila. Fila 1 2 3 ...

n.° soldados 3 5 7 ...

¿Puedes determinar el n.° de soldados que hay en la fila n.° 15? Veamos: Fila 1 & 3 = 3 # 1 Fila 2 & 5 = 3 # 2 - 1 Ley de formación Fila 3 & 7 = 3 # 3 - 2 Fila 4 & 9 = 3 # 4 - 3 h h Fila n & = 3n - (n - 1) ` Fila 15 = 3 # 15 - 14 = 31 soldados

DEFINICIONEs PREvIAs

Observación

Estos números siguen una regla: 1; 3; 9; 27 Cada número es el triple del anterior.

Sucesión

Es un conjunto de términos o números ordenados y que siguen una secuencia establecida. Ejemplo: 4; 9; 16; ... (n + 1)2; ... es una sucesión, (n + 1)2 es el término general.

Progresión

Es una sucesión de términos en la cual existe una ley o regla de formación.

Nota

PROGREsIÓN ARITméTICA (PA)

Los términos de esta progresión aumentan o disminuyen en una cantidad constante llamada razón (r). Ejemplo: 7; 10; 13; ... razón (13 - 10 = 3); la sucesión aumenta de tres en tres.

serie es una sumatoria y se expresa así: S (sigma) Ejemplo: S=

30

/ 2i = 2 + 4 + 6 + ... + 30

i=1

Series notables:

Forma general de una progresión aritmética

S = 1 + 2 + 3 + ... n=

: a1; a2, a3, ...; an / : a1; a1 + r; a1 + 2r; ...; a1 + (n - 1)r +r +r

Donde: a1: primer término an: término enésimo n: n.° de términos r: razón aritmética

n (n + 1) 2

S = 2 + 4 + 6 + ... 2n = (n)(n + 1)

Para hallar la razón se resta el término de lugar n con su antecedente, veamos: r = a2 - a1 = a3 - a2 = ... (Diferencia de términos consecutivos) En general: r = an - an - 1 r: razón de una PA

S = 1 + 3 + 5 + ... 2n - 1 = n2

El término de lugar n o término enésimo de una PA(an) Por inducción:

a1 = a1 a2 = a1 + r a3 = a1 + 2r h h an = a1 + (n - 1)r

Observación Término de lugar n

Primer Razón término

El n.° de términos de una PA (n) Despejamos n de an = a1 + (n - 1)r: a -a n = n 1 +1 r

En una PA de razón r: • Si: r > 0 :4; 9; 14; ... PA creciente. • Si: r < 0 :20; 17; 14; ... PA decreciente. • Si: r = 0 PA trivial.

an: último término


61

Ejemplo: Determina la razón; el término de lugar 6 y el número de términos de: : 5; 10; 15; ...; 45.

Atención Cuando una PA tiene un número impar de términos: :a1; a2; ...; an n (impar) Entonces el término central se determina así: Tc=

(a1 + an) 2

Resolución: Razón: r = 15 - 10, también r = 10 - 5 = 5 T6 = T1 + (n - 1)r reemplazamos valores: T6 = 5 + (6 - 1)5 & El término de lugar 6: T6 = 5 + (5)5 = 30 a +a El número de términos: n = 1 n + 1 r + 5 45 + 1 = 11 términos & n= 5

Corolario Sn = Tc # n Sea la PA: a; ... ; b m medios aritméticos

Suma de los n primeros términos de una PA (Sn) Sea la PA: a1; a2; a3; ...; an

a1: primer término an: último término n: n.° de términos Del ejemplo anterior la suma de términos es: Sn = d 5 + 45 n 11 = 275 2 a +a Sn = d 1 n n n 2

PROGREsIÓN GEOméTRICA (PG)

Es una sucesión de números en donde cada una de ellas se obtiene multiplicando su antecedente por una constante llamada razón geométrica (q).

Forma general de una PG

:: a1; a2; a3: ...; an / ::a1; a1q; a1q2; ...; a1qn - 1 #q

#q

Para hallar la razón (q) se divide uno de los términos con su antecedente. En general: a3 a2 a = =q q= n a 2 a1 an - 1

Donde: a1: primer término. an: término enésimo. q: razón geométrica Nota PG creciente: cuando (q > 1) :: 4; 12; 36; ... q = 12 = 36 = 3 4 12 PG decreciente: cuando (0 < q < 1) :: 81; 27, 9; ... q = 27 = 9 = 1 27 3 81 PG oscilante; (q < 0) :: 4; -8; 16 q = - 8 = 16 = -2 4 -8

Término de lugar general o término enésimo (an) an = a1qn-1 Fórmula para determinar cualquier término, conociendo otro término, y la razón.

Donde: an: término de lugar n a1: primer término n: término buscado

an = akqn - k ak: término k ésimo

Suma de los n primeros términos de una PG Sn = a1 + a1q + a1q2 + a1q3 + ... a1qn - 1

Observación El producto de dos extremos equidistantes de una PG es constante. a1; a2; a3; ... an - 2; an - 1; an & a1 # an = a2 # an - 1 = a3 # an - 2...

62 Intelectum 1.°

Sn = a1 f

Sn = a1(1 + q + q2 + q3 + ... qn - 1) cociente notable

qn - 1 p q-1

Producto de términos de una progresión geométrica (Pn) Sea la PG :: a1; a2; a3; ... ; an

Pn = _a1 # ani

n

a1: primer término. an: último término. n: n.° de términos.

X

Ejemplo: De la siguiente PG :: 2; 4; 8; ...; 1024 calcula: a9; S9; Pn Resolución: Observamos que la PG tiene la siguiente forma: :: 21; 22; 23; ...; 210

Observación

Suma de los 9 primeros términos:

2

& n.° de términos: n = 10; a1 = 2; q = 2 = 2; an = 210 2 Término noveno: a9 = a1 # 29 - 1 a9 = 2 # 28 = 29 = 512

S9 = a1 f

qn - 1 p 2 (29 - 1) = = 2 # (512 - 1) = 1022 q-1 2-1

Producto de términos: Pn Sabemos que: n = 10 _a1 # ani = n

& P10 =

55

` P10 = 2

En una PG de grado impar podemos hallar el término central, veamos: t1; t2; ... tc; ... tn - 1; tn tc = t1 tn

10 i10

_2 # 2

= (211)5 = 255

El término central es la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Suma límite

Es usada solo para sumar progresiones geométricas decrecientes (razón entre 0 y 1) e ilimitadas que presentan la siguiente forma: :: a1; a2; a3; ... 0 a1; a1q; a1q2; ... donde q = 1 / 0 < q < 1 k

SL =

a1 1-q

a1: primer término q: razón geométrica

Ejemplos: 1. Calcula: 4 + 1 + 1 + 1 + 1 ; ... 4 16 64 Resolución:

Es una suma ilimitada de razón: q = 1 ; a1 = 4 4 a1 = 4 = 16 & SL = 3 1-q 1- 1 4

Nota En una sucesión de números: a1; a2; a3; ...; an Media aritmética: (MA)

2. Determina la suma: 2n + 1n + n1+ 1 + ... 2 2 2

MA =

Resolución: Observamos que es una PG de razón q = 1 ; como 0 < q < 1; es una suma infinita. 2 1 2 1 Aplicamos Slim. donde a = n ; q = 2 2 2 2 n 2 & SL = = 2n = n1- 2 2 2 1- 1 2

a1 + a2 + ... + an n

Media geométrica: (MG) MG = n a1 # a2 # ... # an

Efectuar I. Halla el término 10 de:

II. Determina el n.° de términos de:

A) : 8; 11; 14; ...

A) 13; 15; 17; ...; 6

B) : 4; 6; 8; ...

B) 4; 8; 12; ...; 92 2

8

C) :: 6; 12; 24; ...

C) 6; 6 ;...; 6

D) :: 7; 1; 1 ; ... 7

D) 1/3; 1/9; ... ; 127 3

III. Calcula: A) S = 6 + 10 + 14 + ... + 54 B) S = 3 + 5 + 13 + ... + 78 C) S = 2 + 4 + 8 + ... + 1024 D) S = 7 + 72 + 73 + ... + 712 E) S = 1 + 1 + 1 + ... 2 4 1 F) S = 1 + + 1 + ... 3 9


63


De las siguientes sucesiones cuáles son PA. A) 12; 22; 32; ... C) 3m; 3(m - 1); 3(m - 2); ... B) 3; 5/2; 2; ... D) 1; 3/2; 3; ...

1452 =

121(q - 1) = qn - 1

Resolución:

Reemplazando q = 3 en (1): 34 .3 = 3n & 35 = 3n ` n = 5 6

¿Qué término de la PA es 89? -15; -13; -11; ...

an = a1 . qn - 1 donde: q = 2; a1 = 4

r = (-13) - (-15) = 2 a1 = -15 an = 89

256 = 4 . 2n - 1 & 64 = 26 = 2n - 1 n-1=6 n=7

Para determinar n empleamos: an = a1 + (n - 1)r 89 = (-15) + (n - 1)2 De donde: n = 53 ` El término buscado es el n.° 53.

& P7 = _a1 .a7i7 P7 = _2 2 .28i

7

P7 = 270 = 235

El tercer término de una PA es 18 y el séptimo término es 30. Calcula a17.

7

Piden: a17 a17 = 12 + 16(2) = 44

Determina a20 ' a10, en la siguiente progresión: :: 4; 8; 16; ...

Resolución: Es una PG: a1 = 4 / q = 2 & a20 = a1 . q19 = 4 . 219 = 221 & a10 = a1 . q9 = 4 . 29 = 211 ` a20 ' a10 = 221 / 211 = 210 = 1024 5

Halla la suma de los 8 primeros múltiplos de 4 que ! N.

Los números serán: 4; 8; 12; ... Es una PA de razón 4. Donde: n = 8 & a8 = a1 + (n - 1)r = 4 + (8 - 1)4 = 32 & a8 = 32 a + an Reemplazamos: en Sn = d 1 n n; donde n = 8 2 S8 = d 4 + 32 n 8 = 144 2

...(1) ...(2)

De (1) y (2): 4r = 12 & r = 3 De(1) a1 = 12 4

` P7 = 235

Resolución:

Resolución: a3 = a1 + 2r = 18 a7 = a1 + 6r = 30

Halla el producto de términos en la siguiente PG: :: 4; 8; ... ; 256

Resolución:

Resolución:

3

...(2)

Reemplazando (1) en (2): 121q - 121 = 81q - 1 40q = 120 q=3

En toda PA la razón constante, es la diferencia de 2 términos consecutivos. En cada caso tenemos: A) 32 - 22 = 22 - 12 = 10 es PA. B) 2 - 5/2 = 5/2 - 3 = -1/2 es PA. C) 3(m - 2) - 3(m - 1) = 3(m - 1) - 3m = 3 es PA. D) 3 - 3/2 ! 3/2 - 1 & no es PA. 2

12 _qn - 1i q-1

En una PG se conoce que: a1 = 12; an = 972; Sn = 1452 Halla n.

Resolución: a1 = 12 an = a1 . qn - 1 & 972 = 12 . qn - 1 81 = qn - 1 & 81q = qn ...(1) qn - 1 n Sn = a1 d q-1

64 Intelectum 1.°

8

La suma de los n términos de la PA : 2 ; 5 ; 8 ; ... es 950. ¿Cuánto vale n?

Resolución: a1 = 2 / r = 3 an = 2 + (n - 1)3 = 3n - 1 Sn = d

a1 + an nn 2

950 = d 2 + 3n - 1 n n = d 3n + 1 n n 2 2 1900 = n(3n + 1) = 3n2 + n 3n2 + n - 1900 = 0 +76 3n n -25 & n = 25

Geometría

Intelectum Geometría

Ig Indicadores

de logro

Unidad 1

Unidad 2

• Identifica las notaciones de una semirrecta, de un rayo y las representa gráficamente. • Define los diferentes elementos de un segmento. • Efectúa diversas operaciones utilizando segmentos y propiedades de rectas paralelas. • Identifica ángulos suplementarios y complementarios. • Formula las propiedades básicas de ángulos. • Calcula la medida de ángulos complementarios y suplementarios. • Identifica las principales líneas notables dentro de un triángulo. • Calcula la longitud de los lados de un triángulo aplicando la clasificación de estos por la medida de sus lados. • Resuelve problemas que implica la utilización de las líneas notables dentro de un triángulo. • Expresa gráficamente los principales triángulos pitagóricos. • Utiliza el teorema de Pitágoras para la resolución de problemas.

• Determina casos de congruencia de triángulos identificándolos gráficamente. • Representa gráficamente las propiedades de congruencia. • Calcula la medida de los ángulos y los lados de triángulos aplicando las clasificaciones de congruencia. • Demuestra el teorema del punto medio en un triángulo. • Clasifica los polígonos según su forma, medida de sus lados y ángulos. • Identifica las propiedades en los polígonos convexos. • Efectúa el cálculo de medidas de ángulos internos y externos, y cantidad de diagonales de polígonos utilizando sus diversas propiedades. • Clasifica los cuadriláteros entre trapezoides, trapecios y paralelogramos. • Demuestra las propiedades de los cuadriláteros según su clasificación. • Analiza y representa gráficamente una circunferencia, además reconoce sus principales elementos. • Calcula la medida de ángulos exteriores e interiores de una circunferencia, así como la medida de sus arcos aplicando propiedades.

GIZAH: PIRÁMIDE DE KEFRÉN En el desierto de Gizah, ubicado a unos kilómetros de El Cairo, se encuentra la gran Pirámide de Kefrén. La curiosidad que envuelve a esta pirámide es que fue la primera en ser construida bajo los dogmas del triángulo sagrado egipcio (triángulo rectángulo cuyos lados tienen la longitud o proporción de 3-4-5, probablemente se construyó de esta forma para lograr ángulos rectos en las construcciones. Las pirámides diseñadas con triángulos sagrados contienen 4 triángulos de este tipo en su estructura, siendo estos los que se forman con cada uno de las apotemas de las caras, la base y la altura de la pirámide, y que precisamente están orientados en la dirección de los cuatro puntos cardinales.

Contenido: Unidad 1

• Segementos.

Unidad 2

Unidad 3

Unidad 4

• Congruencia de triángulos.

• Proporcionalidad.

• Triángulos.

• Polígonos.

• Triángulos rectángulos notables.

• Relaciones métricas en el triángulo rectángulo.

• Circunferencia.

• Ángulos.

• Cuadriláteros.

• Semejanza de triángulos.

• Área de una superficie plana. • Geometría del espacio. • Tranformaciones geométricas en el plano cartesiano.

Unidad 3

Unidad 4

• Evalúa la aplicación del teorema de la cuaterna armónica en las proporciones y las relaciones asociadas a Descartes y Newton. • Interpreta los teoremas de Thales, de las bisectrices interior y exterior. • Determina longitudes de segmentos utilizando la proporción geométrica. • Aplica el teorema de Thales para obtener longitudes de segmento de rectas secantes intersecadas por rectas paralelas. • Identifica elementos del triángulo y los relaciona con los casos de semejanza. • Representa y describe las propiedades sobre semejanza de triángulos. • Calcula longitudes, interpretando gráficamente la semejanza de triángulos, añadiendo segmentos de recta paralelos a los lados. • Representa la proyección ortogonal de un punto y de un segmento sobre una recta. • Evalúa cada uno de los teoremas aplicados en las relaciones métricas de triángulos rectángulos. • Demuestra el teorema de Dostor relacionando las longitudes de los lados de dos triángulos rectángulos semejantes.

• Establece diferencias ente regiones semejantes, equivalentes y congruentes. • Identifica las relaciones de áreas de regiones triangulares y cuadrangulares. y calcula el área de regiones triangulares y circulares. • Determina el área de un trapecio, paralelogramo, rectángulo y de un rombo, utilizando diversas relaciones. • Define elementos geométricos en el espacio, identifica conceptos referentes al plano en el espacio y sus posiciones relativas. • Aplica el teorema de Thales para calcular la medida de segmentos entre planos paralelos. • Describe los diferentes tipos de poliedros (pirámide, prisma, esfera y cilindro), además de sus elementos y su clasificación. • Identifica los distintos casos de simetría puntual y axial en el plano cartesiano y define sus propiedades. • Establece la traslación de figuras tomando en cuenta la dirección de los ejes coordenados, utilizando las distintas propiedades estudiadas. • Calcula las coordenadas de rotacion de puntos en el plano.

α

h/2

altura (h)

apo

tem

a (A

h

Ap

p)

Triángulo sagrado

lado

(h)

Pirámide diseñada con triángulos sagrados

unidad 1

segmentos CONCEPTOS GEOMéTRICOS

Existen dos tipos de elementos idealizados y primordiales en el estudio y desarrollo de la geometría; la recta y el punto. 1. Un punto es la intersección de infinitas rectas en 2. Una recta es la sucesión de infinitos puntos en un solo lugar. una sola dirección. Ln

L1 L2 P

P P1 P2 3

LA

Pn

Observación Solo bastan dos puntos para definir una recta. L1 B A

L4

A!L1 y B!L1 & L1 <> AB

Entonces, la recta origina al punto y a su vez el punto origina a la recta.

lA RECTA

Es un elemento geométrico que se define como una sucesión de puntos que se extienden infinitamente en una sola dirección y en ambos sentidos. L1 B

Notación: AB : se lee, recta AB. L1 : se lee, recta L1.

A

Tipos de recta

a) Rectas secantes. Son aquellas rectas que tienen un punto en común.

b) Rectas paralelas. Son aquellas rectas que no se intersecan y pertenecen a un mismo plano.

L1 P

L2

L2

L1

L1 // L2: se lee, L1 paralelo a L2.

P: punto común de L1 y L2.

lA SEMIRRECTA

Es una recta que se extiende indefinidamente en un sentido y está limitada por un punto en el otro; además, dicho punto inicial no pertenece a la semirrecta. B

La mínima distancia entre dos puntos es la longitud del segmento de recta que los une.

Notación: AB : se lee, semirrecta AB.

A

Atención

El RAyO

Es una recta que se extiende ilimitadamente en un extremo y limitado por un punto en el otro; además, dicho punto inicial sí pertenece al rayo. B

Notación: AB : se lee, rayo AB.

A GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

5

El SEGMENTO

Es una porción de recta limitada por dos puntos fijos. La medida de la separación de estos dos puntos determina la longitud del segmento. Atención

A

B

A

,

Notación: AB = ,: se lee, longitud del segmento AB igual a ",".

Notación: AB: se lee, segmento AB.

B

La longitud del segmento siempre será un número real positivo.

,

Tipos de segmentos a) Segmentos congruentes. Son aquellos segmentos que tienen igual longitud. A

D

,

B

B

,

C

L1

D

C

B

Recuerda

B

Z

A

c) Punto medio de un segmento. Es aquel punto de un segmento que divide a este en dos segmentos congruentes.

Y

C

B

M

A

Si AM , MB & M es el punto medio de AB.

X

Ejemplo: Si M es punto medio del segmento AB, calcula la longitud de este si AM = 3. x

M

A

N

Ejemplo: Grafica los puntos colineales A, Z, B, Y, C y X de manera consecutiva. Graficamos:

{A, B, C, D} ! L1 & A, B, C y D son colineales.

Si graficamos los puntos colineales A, M y B en el mismo orden en el que están escritos, entonces estos puntos serán consecutivos.

5

Si AB , MN & AB = MN ` x = 5

b) Puntos colineales. Son aquellos puntos que pertenecen a una misma recta. B

M

x

A

Si AB = CD = , & AB , CD

A

Ejemplo: Si AB , MN y MN = 5, ¿cuánto mide el segmento AB?

M: punto medio & AM = MB Si AM = 3 & MB = 3 ` AB = 6

OPERACIONES CON SEGMENTOS

Para sumar o restar segmentos, tenemos que partir del principio fundamenta: La suma de las partes es igual al todo. A

B

a

b

C

Partes

Todo

& AB + BC = AC & a + b = ,

, Suma: a + b = , Ejemplos: Calcula x. A

1

Calcula x.

x B

3

C

AB + BC + CD = AD 1+3+2=x & x=6

6

Intelectum 1.°

Resta: , - b = a

2

D

A

1

5 B

x

C

AB + BC + CD = AD 1+x+1=5 & x=3

1

D


Si B y C son puntos medios de AC y AD respectivamente; además, BC mide 7; calcula AD.

Resolución: Sea el gráfico: y

Resolución: 7 A

F

L B

C

Análogamente, C es punto medio de AD, entonces: AC = CD & 14 = CD Por lo tanto, AD = 14 + 14 = 28

A

m m 13y 13y = = 6, 5 R= 2y (m + y) - (m - y)

D

Como B es punto medio de AC, entonces: AB = 7 & AC = 14

V

5

Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que M es punto medio de AD (M está entre B y C). Calcula: R = AB ; si AB + CD = 4 . CD BM - MC 3

Resolución: 2

Sea el gráfico:

En una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S, los cuales cumplen la siguiente relación: 3PQ = 2QR = 5RS = 180. Halla PS.

a

m-a

A

B

Sean los puntos consecutivos: Q

R

S

3a + 3b = 4b - 4a 7a = b a =1 b 7 Nos piden: R = AB = a & R = 1 CD b 7 6

Sea el gráfico: A

y

B

C

D

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que: AC = 5, BD = 7 y AD = 9; calcula BC.

Resolución:

y E

Del dato:

x + x + y + y = 100 2(x + y) = 100 x + y = 50 Según el gráfico: BD = x + y & BD = 50 4

a+b = 4 b-a 3

5RS = 180 RS = 36

Resolución: x

D m

a+b = 4 (m - a) - (m - b) 3

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E; B es punto medio de AC, y D de CE. Halla BD, si AE = 100.

x

C

AB + CD = 4 BM - MC 3

De la relación tenemos: 3PQ = 180 2QR = 180 PQ = 60 QR = 90 Del gráfico observamos: PQ + QR + RS = PS 60 + 90 + 36 = PS & PS = 186 3

M m

Resolución:

P

b

m-b

En una recta se toman los puntos consecutivos L, F, V y A, tal que F es punto medio de LA. 13 (FV) Halla: R = LV - VA

Graficamos y colocamos los datos: 5 A

2

B

C

7

D

Del gráfico observamos que: AB = 9 - 7 AB = 2 luego: AB + BC = AC Reemplazando tenemos: 2 + BC = 5 ` BC = 3

GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

7

ÁNGULOS ÁNGUlO PlANO

Nota Para medir un ángulo se utiliza un transportador, el cual está dividido en 180 partes, que se denominan grados sexagesimales. & 1 parte = 1° sexagesimal.

Es la figura geométrica plana determinada por dos rayos que tienen el mismo origen y la porción de plano contenido entre dichos rayos. A

• Los rayos OA y OB son los lados del ángulo. • El origen común O es el vértice del ángulo.

Lados α

O

Notación: +AOB: se lee, ángulo AOB.

B

Vértice

Medida angular Observación Las medidas de un ángulo pueden variar desde 0° hasta 180° (ángulo convexo) y también desde los 180° hasta 360° (ángulo cóncavo).

La medida angular es la magnitud de la separación que hay entre los lados del ángulo. Notación: A m+AOB: se lee, medida del ángulo AOB. m+AOB = a: donde a representa el valor del α O ángulo AOB. B

ClASIfICACIóN DE lOS ÁNGUlOS SEGúN SUS MEDIDAS

Dependiendo de su medida, un ángulo se clasifica en:

A) Ángulo agudo

B) Ángulo recto

Si: 0º 1 a 1 90º

C) Ángulo obtuso

Si: a = 90º

α

Si: 90º 1 a 1 180º

α

α

ClASIfICACIóN DE lOS ÁNGUlOS SEGúN SU POSICIóN

La posición de un ángulo con respecto a otro determina la siguiente clasificación: Recuerda Si a y b son dos ángulos opuestos por el vértice, se cumple que: a = b

A) Adyacentes

B) Consecutivos

Son aquellos ángulos separados por un rayo común a ellos, además, comparten el mismo vértice.

β

O

Son aquellos ángulos separados por un lado común y son tomados uno a continuación de otro.

θ

α

C) Opuestos por el vértice Son aquellos ángulos que comparten un mismo vértice y cuyos rayos son opuestos y colineales.

α

β α

O

β

O

ClASIfICACIóN DE lOS ÁNGUlOS SEGúN lA SUMA DE SUS MEDIDAS

El resultado de la suma de dos ángulos determina la siguiente clasificación:

A Ángulos complementarios Cuando dos ángulos suman 90º.

Atención La bisectriz es aquel rayo que divide a un ángulo en dos ángulos de igual medida.

8

Intelectum 1.°

a + b = 90º

β α

• a es el complemento de b y viceversa. Notación: Ca: se lee, complemento de a. ` Ca = 90º - a & Ca = b

B) Ángulos suplementarios Cuando dos ángulos suman 180º.

β

α

a + b = 180º

• a es el suplemento de b y viceversa. Notación: Sa: se lee, suplemento de a. ` Sa = 180º - a & Sa = b

G

PROPIEDADES bÁSICAS DE lOS ÁNGUlOS Estas propiedades se basan en dos ángulos muy especiales, los cuales son:

A) Ángulo llano

B) Ángulo de una vuelta

α

Si a = 180º &

Si a = 360º &

Ángulos sobre una recta Si se tiene el siguiente gráfico:

Ángulos al rededor de un punto Si se tiene el siguiente gráfico: α

β

α

α

θ

β

γ

Recuerda • Dos rectas son paralelas cuando no se intersecan y ambas pertenecen a un mismo plano. • Dos rectas son secantes cuando tienen un punto en común.

φ γ

θ

Entonces, se cumple:


a + b + q + g + f= 360º

a + b + q + g = 180º

DOS RECTAS PARAlElAS CORTADAS POR UNA RECTA SECANTE

Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una recta secante se originan ocho ángulos, los cuales tienen las siguientes propiedades. L3

b

a

d

c

e

f g

h

L1

Sea: L1 // L2 y L3 secante a L1 y L2 , la cual

L2

+a, +b, +c, +d, +e, +f, +g y +h

origina los siguientes ángulos:

A) Ángulos correspondientes

Cada par de ángulos correspondientes tienen la misma medida entre sí. b

a

L1

d

c

f

e

h

g

L2

Pares de ángulos correspondientes: +a con +e (a = e) +c con +g (c = g) +b con +f (b = f) +d con +h (d = h)

Nota Si se tienen dos rectas paralelas ( L1 // L2 ); se cumplen las siguientes propiedades:

L3

B) Ángulos alternos Alternos internos

Alternos externos

L3 c

I) L1

L3

L1

d e

f

+c y +f +d y +e

& &

a

x

b

L2

L1 g

c=f d=e

L2

II) L1

+a y +h

&

a=h

+b y +g

&

b=g

Conjugados internos

Conjugados externos

L3

L3 c

d e

f

+c y +e & c + e = 180° +d y +f & d + f = 180° Los conjugados internos suplementarios.

L2

son

a

ángulos

a

α

b

β

c L2

θ

d

& a + b + q = a + b + c + d

b

III) L1

L1 g

β

& x = a + b

L2

h

C)Ángulos conjugados

L1

α

h

+a y +g & a + g = 180° +b y +h & b + h = 180° Los conjugados externos suplementarios.

φ ω θ

L2

β

L2

α

& a + b + q + w + f = 180°

son

ángulos


9


Se tienen los ángulos consecutivos AOC y COB. Si OM es bisectriz del +AOB y la m+BOC - m+AOC = 42°, calcula la m+COM.

4

Del gráfico, calcula x si: x - a = 55°.

P x

Resolución: ▪ Graficamos los ángulos consecutivos:

C

A

β-α

O

α

M

β

▪ Del gráfico: x + a = 180° ▪ Del dato: x - a = 55°

B

R

5

Calcula el suplemento de x, si OD es bisectriz del ángulo AOC. B A

D

40° x

Un tercio de la mitad del complemento del suplemento de la medida de un ángulo excede en 8° a los tres quintos del complemento de la mitad de la medida del mismo ángulo. Halla la medida de dicho ángulo.

Sea x el ángulo, luego planteamos: c 1 mc 1 m CS x - 8° = c 3 m C x 5 2 3 2 1 790° - _180° - xiA - 8° = 3 90° - x a k 5 2 6 1 7 x - 90° A - 8° = 54° - 3x 10 6 x - 15° - 8° = 54° - 3x 6 10 7x = 77° 15 & x = 165°

(+)

▪ Sumamos las expresiones 2x = 235° & x = 117,5°

3x

O

C

Resolución:

Resolución:

3

a N

Resolución:

▪ Reemplazamos los ángulos en la siguiente ecuación: m+ BOC - m+ AOC = 42° (b + a) - (b - a) = 42° b + a - b + a = 42° 2a = 42° a = 21° ▪ Nos piden: m+COM m+COM = a = 21° & m+ COM = 21° 2

M

▪ Si OD es bisectriz del + AOC, entonces: 40° + x = 3x x = 20° ▪ Luego nos piden: S20° = 180° - 20° & S20° = 160°

6

Halla a, si L1 // L2 .

α

L1

β

Un ángulo menos su complemento es igual a la cuarta parte de su suplemento. Halla dicho ángulo.

100°

Resolución: Sea x el ángulo, luego planteamos: x - Cx = 1 Sx 4 1 x - (90° - x) = (180° - x) 4 4(2x - 90°) = 180° - x 8x - 360° = 180° - x 9x = 540° & x = 60°

10 Intelectum 1.°

L2

3β

Resolución: α

90°-β β

L1

100° 180°-3β 3β

L2

▪ Por propiedad sabemos: x = g + q

9

Halla a si L1 // L2 .

Si: x = 100° q=b g = 180° - 3b & (180° - 3b) + b = 100°

θ

x

γ

α

b = 40°

α α

Por ángulo llano sabemos: ▪ a + (90° - b) = 180° & a = 90° + b

Por propiedad sabemos: a + a + 90° + a + a = 180° 4a = 90° & a = 22,5°

En la figura PS // CM. Calcula q. θ

S M

T

10 En la figura, si L1 // L2 , calcula x.

30°

2α α

C

P

L2

Resolución:

a = 90° + 40° & a = 130° 7

L1

α

A

L1

B x

Resolución:

2θ

• Del gráfico tenemos:

S θ 60°

P

Resolución:

T

60°

▪ Por propiedad: x = 2a + 2q = 2(a + q) (I) ▪ Por ángulos conjugados internos: (2a + a) + (2q + q) = 180° 3(a + q) = 180° a + q = 60° ▪ En (I): x = 2(a + q) = 2(60º) & x = 120°

M C

Por ángulos internos: m+PST = m+TDC Entonces: m+ PST = 60° & q = 90° - 60° = 30° 8

11

Si L1 // L2 , halla x.

20° 40°

L1

x

Resolución: Por propiedad: 40° + 25° + 30° = x + 35° + 20° 95° = x + 55° & x = 40°

Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC, se traza la bisectriz OP del ángulo AOC. Si m+AOB - m+BOC = 70º, calcula m+POB.

Resolución: ▪ OP es la bisectriz del ángulo AOC.

35° 25° 30°

L2

C

O

30° D

θ

▪ Si m+POB = x

P

L2 A

B x α

C

α O

▪ Del dato: m+AOB - m+BOC = 70º, reemplazamos los ángulos: (a + x) - (a - x) = 70º a + x - a + x = 70º 2x = 70º & x = 35º


11

TRIÁNGULOS

DEfINICIóN

Observación

Es una figura geométrica que se origina al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.

Elementos del triángulo

B

• Tres lados: AB; BC y CA • Tres vértices: A; B y C • Tres ángulos internos: a; b y q • Tres ángulos externos: a; b y c

β

a

b

Notación: iABC Se lee: triángulo de vértices A, B y C.

α

A

iABC = AB , BC , AC θ

c

Atención Teorema de la existencia del triángulo Para que un triángulo pueda existir un lado debe ser mayor que la diferencia de los otros dos lados y menor que su suma.

C

ClASIfICACIóN DE lOS TRIÁNGUlOS A) Por la medida de sus lados

2. Triángulo isósceles Tiene dos lados congruentes.

1. Triángulo escaleno No tiene lados congruentes. B

B

β

C

c

a

A B

α

A

c

θ

b

C

c

α

a

α

α

A

C

b

A

α

a

a α

C

AB = BC = AC

AB = BC

AB < BC < AC

& b - a < c < a + b ; b $ a

B

β

c

b

a

3. Triángulo equilátero Sus tres lados son congruentes.

B) Por la medida de sus ángulos 1. Triángulo acutángulo Sus tres ángulos son agudos.

2. Triángulo rectángulo Tiene un ángulo recto.

B β

c

Recuerda Teorema de la correspondencia

Al lado de mayor longitud se opone un ángulo de mayor magnitud. C

A

α

b

3. Triángulo obtusángulo Tiene un ángulo obtuso. B

B

θ

β

c

a C

θ

α

A

b

c

a C

β

A

a

θ

α

C

b

a < 90°; b< 90°; q< 90°

a < 90°; b < 90°; q = 90°

a < 90°; b < 90°; q > 90°

Se cumple: c2 < a2 + b2

Se cumple: c2 = a2 + b2

Se cumple: c2 > a2 + b2

θ α

β

A

TEOREMAS B

Si: AB > BC > CA &

1. En el iABC

q > a > b

2. En el iABC

B

β

3. En el iABC

B

B

β

A

12 Intelectum 1.°

α

β θ

C

A

θ α

C

A

θ

α

C

a + b + q = 180°

a + b + q = 360°

a+b=q

Los ángulos internos de un triángulo suman 180°.

Los ángulos externos de un triángulo suman 360°.

La suma de dos ángulos internos es igual a la medida del ángulo externo opuesto.

G

lÍNEAS NOTAblES EN El TRIÁNGUlO

Todo triángulo tiene las siguientes líneas notables:

A) Ceviana

Se llama así a cualquier segmento que parte de un vértice y cae en cualquier punto del lado opuesto o en la prolongación del mismo. B

Nota baricentro: Es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo.

En el iABC: BI: ceviana interior BE: ceviana exterior A

E

C

I

B

B) Mediana

N

P

Es aquella ceviana que parte de un vértice y cae en el punto medio del lado opuesto.

G

B A

En el iABC: Si AM , MC & BM: mediana A

Si AN; BM y son medianas. & G: baricentro.

C

M

C

M

C)Altura

Además:

2GN = AG

2GM = BG

2PG = CG

Es aquella ceviana que parte de un vértice y cae perpendicularmente en el lado opuesto o en su prolongación. B

B

B

Nota

A

C

H

A

C

En un tríangulo rectángulo Lado BA: altura

En un tríangulo acutángulo BH: altura (dentro del tríangulo)

H

C

A

Ortocentro: Es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo. B

En un tríangulo obtusángulo BH: altura (fuera del tríangulo)

H1

H3 H

D)Bisectriz

Es aquel segmento que divide a un ángulo interno en dos ángulos congruentes (bisectriz interior) o aquel rayo que divide a un ángulo externo en dos ángulos congruentes (bisectriz exterior). C α α

A

E

C

θ

B

I

A

En el iABC; si +ACI , +BCI & CI: bisectriz interior.

A

C

H2

Si AH1; BH2 y CH3 son alturas. & H: ortocentro.

θ

B

Q

En el iABC; si +CBE , +QBE & BE : bisectriz exterior.

E)Mediatriz

Nota Incentro: Es el punto de intersección de las tres bisectrices interiores de un triángulo.

Es aquella recta que interseca a un segmento en su punto medio, formando además, con dicho segmento, un ángulo recto (90°); cada lado de un triángulo tiene por consecuencia una mediatriz.

B β β P3

L1

B

En el iABC: Si AM , MC y L1 9 AC & L1 : mediatriz de AC. A

M

α A

P1 α

θ θ

I P2

C

Si AP1; BP2 y 3 son bisectrices. & I: incentro.

C


13

PROPIEDADES ADICIONAlES

4. Si BD es bisectriz y a > q.

1. Si el punto I es el incentro del i ABC. Nota

C

Excentro: Es el punto de intersección de dos bisectrices exteriores. C θ θ

A

α

P1

A

E P2 β

α α

B

θ

θ & x = 90° + 2

I x

α

β β

x

B

α

A

β

θ

2. Si el punto E es el excentro del i ABC.

B

Si BP1 ; 2 son bisectrices exteriores. & E: excentro.

β

B

α-θ & x= 2

E

x

β

C

H D

5. Si L1 es mediatriz del lado AC y a > q. Nota

C

Circuncentro: Es el punto de intersección de tres mediatrices de los tres lados de un triángulo. B

L3

α

θ

A

β

θ & x = 90° 2 3. Si el punto E es el excentro del i ABC.

L2

C θ

x

O C

A L1

A

Si L1 ; L2 y L3 son mediatrices. & O: ortocentro.

β

α α

L1

B

α

A

β

α

θ

H x

E

β

P

B

&

C

x= θ 2

& x = α-θ 2

Efectuar Halla x en cada caso. 1.

3.

x

2.

2x

40°

75°

4.

2x

5.

100°

85°

5x

5x

60°

6.

x

10° x

60°

14 Intelectum 1.°

40°

38°

53°

62°

30°


Halla x + y.

4 40°

Si a < q, ¿cuántos valores enteros toma a para que el triángulo exista?

28° y

θ

7

x 50°

Por ángulo exterior, tanto para x como para y: x = 28° + 40° = 68° y = x + 50° = 68° + 50° & y = 118° Nos piden: x + y = 118° + 68° & x + y = 186° 2

Resolución: Sea el triángulo ABC. 7

2x

2x

C

Resolución: Por definición de triángulo equilátero: m+A = m+B = m+C

B 2x

3

2x

2x

α

a

5

Halla x.

2x

B

De la figura:

B

Por ángulo exterior: m + BDC = 4x También el iDBC: es isósceles. & m + C = 4x

A a

A

H M

B α

A

60° 80° H M

40°

2x

C

D 2x

Resolución:

40°

En el i ABC: 60° + 40° + m + ABC = 180° m + ABC = 80° Pero BM es bisectriz, entonces: m + MBC = 40° m + AMB = 80° C Por tanto, en el i HBM: a + 80° = 90° a = 10°

Otra forma: Como BM es bisectriz, entonces por propiedad: α = 60° - 40° = 10° 2

C

Resolución:

Halla a, si BM es bisectriz.

60°

C

A

Entonces: 2x + 2x + 2x = 180° 6x = 180° x = 30°

C

Por dato: a < q Entonces: AC > AB a>7

4

Además por teorema de existencia del triángulo: AB > BC & 7 - 4 < a < 7 + 4 3 < a < 11 Pero: a > 7 ` a toma 3 valores: 8; 9 y 10.

B

A

B θ

A

Halla x.

A

α

a

Resolución:

4

4x 4x

B

C

Por lo tanto: 2x + 4x + 90° = 180° x = 15°

i ABC: isósceles & m+A = m + ABD = 2x 6

Los ángulos interiores de un triángulo son tres números consecutivos, calcula la medida del mayor ángulo.

Resolución: a + 1°

α

a + 2°

Por suma de ángulos interiores: a + a + 1° + a + 2° = 180° 3a = 177° a = 59° El mayor es: a + 2° = 59° + 2° = 61°


15

7

Halla b si BM es mediana.

Resolución: B

B

BQ y BH son alturas del triángulo ABC y M es el cruce de las alturas. En el AQC: m+QAC = 20° En el AHM: m+AMH = 70°

α

4 α

A

M

b

C A

Resolución: De la figura:

El iBAM es isósceles: & AB = AM = 4

B

α

4

6

A

α

4

M

b

Q

x 20°

70°

M 70°

H

Por ángulos suplementarios: x + 70° = 180° & x = 110° 10 Halla el valor de x.

Como BM es mediana, entonces: AM = MC = b = 4

C

B

β

A 8

C

θ

β

C

Del gráfico, y es un ángulo formado por 2 bisectrices, entonces por propiedad: y = 90° & y = 45° 2 Por ángulos suplementarios: y + x = 180° 45° + x = 180° & x = 135°

α

β

θ

Resolución:

11

α

Halla el valor de n si G es el baricentro del i ABC. B

y x

z

C

Por teoría, el baricentro es el cruce de las medianas y forma segmentos proporcionales, entonces: AG = 2GM ` AG = 2(4) & AG = 8 = n 12 Si MN es mediatríz del lado AC y BM es bisectríz del + ABC. Calcula f.

θ + α + β + 180° = 1080° θ + α + β = 1080° - 180° θ + α + β = 900°

B

N

A B

60°

20°

φ

M

Resolución:

x

16 Intelectum 1.°

M

Resolución:

180°

A

4

A

_ θ + x = 360° b b α + y = 360°` + β + z = 360° b a θ + α + β + x + y + z = 3 _360°i

Halla x.

G

n

β

Por ángulos interiores: x + y + z = 180° Además:

9

θ

Resolución:

Calcula a + q + b.

θ

x

y

70°

C

Si MN es mediatríz y BM es bisectríz, se cumple: φ = 60° - 20° & φ = 20º 2

C

G

triángulos rectángulos notables TRIÁNGUlO RECTÁNGUlO

Nota

Es aquel triángulo que posee un ángulo interno recto, de esta manera los otros dos ángulos internos restantes suman 90°, es decir, son complementarios. Notación: ABC: se lee, triángulo rectángulo ABC. Elementos: AB = a catetos (lados adyacentes al ángulo recto) BC = b AC = c hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) a y b: ángulos agudos.

A Hipotenusa (c) c

α

a B

b Catetos (a y b)

β

C

En la notación de un triángulo rectángulo, la letra que representa al vértice asociado al ángulo recto va en medio de las otras dos: ABC 90°

TEOREMA DE PITÁGORAS

El sabio y matemático griego Pitágoras postula el siguiente teorema: “En todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de sus catetos es igual al cuadrado de su hipotenusa”. c2

Postulado: a2 + b2 = c2 c

a

a2

Atención

Demostración: Se construyen dos cuadrados sobre los lados a y b. Las áreas de estos cuadrados son respectivamente a 2 y b 2.

b

Todo triángulo rectángulo sin excepción cumple con el teorema de Pitágoras.

Sumamos las áreas: a 2 + b 2 = c 2 y vemos que la suma es igual al área del cuadrado construido sobre el lado c. b2

TRIÁNGUlOS PITAGóRICOS

Son aquellos triángulos rectángulos cuyos lados tienen medidas enteras, por ejemplo: a)

b)

5

3

5 4

Observación

c)

13

25

7

53°

12

d)

El triángulo pitagórico de 3; 4 y 5 también es un triángulo notable de ángulos: 37° y 53°.

e)

24

5a

3a 37°

f)

4a

a: constante de proporcionalidad.

8

17 9 15

41 40

20

29

21


17

PRINCIPAlES TRIÁNGUlOS RECTÁNGUlOS NOTAblES

Algunos ángulos internos de un triángulo rectángulo determinan ciertas relaciones entre sus catetos y su hipotenusa que, además, son fáciles de asociar con dichos ángulos. A estos triángulos “famosos” se les denomina triángulos rectángulos notables. Atención

A) Triángulo de 30° y 60°

Una aplicación de los triángulos rectángulos, se puede mostrar en la siguiente propiedad. En un triángulo rectángulo de 15° y 75°:

60°

2a

a 3

B

a 15°

a A

75°

2a 30°

H

B 30° 30°

2a

15° M

1 4 44 2 4 44 3 1 4 44 2 4 44 3

H

C

B) Triángulo de 45°

B

75°

15° H

45° C

a 2

a

BH = AC 4

45°

a

Demostración: • Se parte de un cuadrado de lado a. • Trazamos la diagonal AC = d. & d2 = a2 + a2 (T. Pitágoras) d= 2a

A

60°

a

C

C) Triángulo de 53°/2

53° 2 2a

a 5

Demostración: • Se parte del triángulo notable de 37° y 53°. • Trazamos la ceviana exterior CD, de tal manera que AD = AC. & 2a = 53 ` a = 53°/2 En el DBC (T. Pitágoras): x2 = (5b + 3b)2 + (4b)2 x = 4b 5 Pero: 4b = a & x = a 5

d

a

D) Triángulo de 37°/2 8°

7a

a: constante de proporcionalidad.

37° 2

a 10

3a

a

Demostración: • Se parte del triángulo notable de 37° y 53°. • Trazamos la ceviana exterior AE, de tal manera que, EC = AC. & 2a = 37° ` a = 37°/2 En el EBA (T. Pitágoras): x2 = (5b + 4b)2 + (3b)2 x = 3b 10 Pero: 3b = a & x = a 10

α

5b 2a A 3b

x 53° 5b α

B

4b a

37°

E α

5b 2a

x

C 4b B

37° 5b α

53° 3b a

18 Intelectum 1.°

45° 45°

a

También existe un triángulo notable de 82° y 8°. 5a 2

a

D

a

Nota

D

45° 45°

B

82°

a

2a

2a

a

2a

h

60° a

A


A

30°

Demostración: • Se parte de un triángulo equilátero de lado 2a. • Trazamos la mediatriz BH = h. & (2a)2 = a2 + h2 (T. Pitágoras) h=a 3

A

C

C


Halla x.

4 5

Halla x en la figura.

x+3

De la figura tenemos: B

A

L

45°

53° 18

En el AHB (53° y 37°): Si: AH = 3 # 6 = 18 & BH = 4 # 6 = 24 En el BHC (37° y 53°): Si: BH = 24 = 3 # 8 & HC = 4 # 8 = 32 ` x = 32

53°

37°

Calcula VG si LF = 6 .

24

H

37°

x

C

F 5

V

C

x

Resolución:

Por el teorema de Pitágoras: 52 + (x + 2)2 = (x + 3)2 25 + x2 + 4x + 4 = x2 + 6x + 9 20 = 2x & x = 10

60°

53° 18 H

A

Resolución:

2

B

x+2

En la figura, calcula AD si BC = 8. A B

G

Resolución: Sabemos que: G k

60°

2k

V

En el

k 3

LGF:

a

G

45°

A

F

30°

B

P 8

LVG:

En el

6 =a 2 a= 3

3

L

Resolución:

a 2

a

30°

2k = 3

` VG = 3 2

k= 3 2

C

6

Halla x.

60° 30° D

Del grafico: AP // CD. Por ángulos alternos internos: m+A = 30° En el APD, como: BC = 8 & PD = 8 En el APD(30° y 60°): Si: PD = 8 & AD = 16

B

16

L

Resolución: F 16 30°

D

Si el triángulo ABC es un triángulo pitagórico, halla a + b, además, ab = 60.

F

L

30°

C

L

7°

37° R x

8 A

7°

A

30° R

x

A

En el LAF(30°; 60°): FA = 8 En el RAF(37°; 53°): 8 = 3k 8 =k 3

13

& x = 4k = 4 c 8 m = 32 3 3

a C

b

Resolución: ABC es un triángulo rectángulo pitagórico. & a < 13 y b < 13; también ab = 60 {a; b} ! Z+ & 60 = a # b, Entonces, tenemos dos resultados: 60 = 6 # 10 & a = 6 y b = 10 60 = 5 # 12 & a = 5 y b = 12 Aplicamos el teorema de Pitágoras en ambos casos: 1) 62 + 102 = 132 136 = 169 (no cumple) & a ! 6 y b ! 10

2) 52 + 122 = 132 169 = 169 & a = 5 y b = 12 ` a + b = 5 + 12 = 17


19

unidad 2

congruencia de triángulos DEFINICIÓN Dos triángulos son congruentes si tienen sus ángulos interiores respectivamente iguales y sus lados correspondientes de igual longitud. Nota

F1

β c

,,

α

,

Donde , se lee congruente.

c

,

a θ

α

b

A

F1 , F2

β

a θ C

F2

Si: AB , SR, BC , ST y AC , RT y m+BAC , m+SRT, m+ABC , m+RST y m+BCA , m+STR. & Se dice que el triángulo ABC es congruente al triángulo RST.

S

B

En general, dos figuras planas son congruentes cuando ambas tienen la misma forma y tamaño.

T

b

R

Notación: TABC , TRST

Se puede determinar si dos triángulos son congruentes a tráves de tres casos distintos:

Caso I: Ángulo - Lado - Ángulo (ALA)

Dos triángulos serán congruentes si ambos poseen un lado y dos ángulos adyacentes a este que tienen la misma medida. B a

S

β

,

α

A

a

β

α

C R

T

En ambos casos: m+A = m+R = a (Ángulo) AB = RS = a (Lado) m+B = m+S = b (Ángulo)

Caso II: Lado - Ángulo - Lado (LAL)

Dos triángulos serán congruentes si ambos poseen dos lados y un ángulo formado por estos dos lados que tienen la misma medida. Atención

R

A

La congruencia de figuras (leáse en términos prácticos como igualdad), aparece en la vida cotidiana, en nuestro quehacer diario y también en nuestros juegos.

C

a

β

a

,

b

T β

B

b

S

En ambos casos: AB = RS = a (Lado) +B = +S = b (Ángulo) BC = ST = b (Lado)

Caso III: Lado - Lado - Lado (LLL)

Dos triángulos serán congruentes si ambos poseen tres lados que tienen la misma medida. A

R

c

B

a

b

C

a

En ambos casos: AC = RT = a (Lado) CB = TS = b (Lado) AB = RS = c (Lado)

N 7

b

b

T

B

θ

S

a

,

Ejemplo: halla x.

A

c

, C

b

x M

a

θ

P

Resolución: Vemos que: TABC , TMNP; pues AB = MP = a; m+A = m+P; AC = NP = b (caso LAL) & x = 7

20 Intelectum 1.°

G

PROPIEDADES DE LA CONGRUENCIA DE TRIáNGULOS A) Propiedad de la bisectriz

Si se toma un punto cualquiera de la bisectriz de un ángulo, entonces se cumple que dicho punto equidista de los lados de dicho ángulo. A

Q

• Si OM es bisectriz del +AOB. P

α α

O

&

M

OQ = OR

y

PQ = PR

Observación

• También se cumple que:

R

OQP ,

B

De la propiedad C. Cuando trazamos la mediana relativa a la hipotenusa se generan dos triángulos isósceles cuyos lados iguales miden igual que dicha mediana.

ORP

B) Propiedad de la mediatriz

Si se toma un punto cualquiera de la mediatriz de un segmento, entonces se cumple que dicho punto equidista de los extremos de dicho segmento. L

• Si L es mediatriz de AB.

P

& α

A

α


B

M

AP = PB AMP ,

BMP

Observación

C) Propiedad de la mediana relativa a la hipotenusa

Si en un triángulo rectángulo se traza la mediana relativa a la hipotenusa, entonces dicha mediana medirá la mitad de la hipotenusa. B

A

Si BM es mediana:

α

β

De la propiedad D. El segmento que se genera al unir los dos puntos medios de los lados de un triángulo mide la mitad del lado al cual es paralelo.

& BM = AC 2

β

α

M

C

& BM = AM = MC

D) Teorema de los puntos medios

Si se toma el punto medio de uno de los lados de un triángulo y por este punto se traza una recta paralela a un segundo lado, entonces dicha recta interseca al tercer lado en su punto medio. B

• Si L es paralela a AC.

L

N

&

M C A

BN = NC

Observación


De la propiedad E. La base de un triángulo isósceles será siempre aquel lado diferente de los otros dos lados iguales.

MN = AC 2

E) Propiedad del triángulo isósceles

Si se traza la altura relativa a la base de un triángulo isósceles, entonces dicha altura también será mediatriz, bisectriz y mediana. B αα

A

θ

H

θ

C

Si el TABC es isósceles (AB = BC), entonces: • BH es mediatriz de AC. • BH es mediana relativa a AC. • BH es bisectriz del +B. • BH es altura relativa a AC.


21


Calcula UR si HB = BE, HU = 9 y ER = 3.

4

H

Halla x. Si CE = 3 y AE = 9. B θ

E A U

B

2x − 4

R

Resolución: θ

2

Piden x = UR HUB , BRE (ALA) HU = BR / RE = UB 9 = BR 3 = UB Entonces, UR = 3 + 9 = 12

E

9

α

U

3

θ

B

x

3 R

9

Del gráfico, calcula CM.

Se deduce: m + BAC = 180° - (q + a) m + ADE = 180° - (q + a) 5

D

A

C

Entonces, el DBAC , DEDA (ALA) AD = AC & 2x - 4 = 12

En la figura mostrada, halla x. Si: AB = CD ( L mediatriz de AC )

4

B

L

80°

D

A

x

H

C

M

Resolución: Resolución:

B 80°

A P

C

4

n R n Q n S

2n

2n

A

M

6

En la siguiente figura, halla x sí AB = DC, AH = 6.

2x

x

D x

H

Por el teorema de la mediatriz: AD = CD Además: m+DAC = m+DCA = x

Si trazamos PQ paralela a AM, entonces PQ = 2 = n (teorema de los puntos medios). En el RPS, por propiedad de la mediana: PQ = RQ = QS = 2 = n Del dato CR = RS = SM = 2n = 4 ` CM = 12 3

C

Resolución:

H

α

α θ E

α

Halla q, si BC = BD.

C

Para el TADC, por ángulo exterior: m+ADB = 2x Luego: TBAD es isósceles: m +ADB = m +ABD & 2x = 80° ` x = 40°

B

B

x A

H

6

D

C

B

θ x 6

H

C

D

B

α

E

Resolución:

Resolución:

A

x

55° A θ

E

D

E α

22 Intelectum 1.°

θ

Del triángulo AHB y DEC observamos que se aplica el caso ALA, C luego: x = 6

55° 55°+ θ

55°

A θ

E

D

El TABE es isósceles & m+AEB = m+BAE = 55° EL TBAD , TBEC (caso LLL) & m+BEC = 55° + q C ` m+AEB + m+BEC = 180° 55°+ 55°+ q = 180° q = 70° 7

G

polígonos

DEFINICIÓN Es aquella figura geométrica cerrada que se forma al unir consecutivamente tres o más puntos no colineales y que pertenecen a un mismo plano, mediante segmentos de recta, de tal modo que esa figura limite una región del plano. D

E

δ

c P

Elementos del polígono

F

C θ

• Vértices: A; B; C; D; E; F; G; H; ... Q

b

• Lados: AB; BC; CD; DE; EF; FG; GH; ...

B β

• Ángulos internos o interiores: a; b; q; d; ...

G

a A

α

Observación

• Ángulos externos o exteriores: a; b; c; ...

R

• Diagonales: AC; AD; AE; ...

H

• Diagonales medias: PQ; PR; PS; ...

S

CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS SEGÚN SU FORMA A) Polígono convexo

B) Polígono cóncavo (no convexo)

Un polígono es convexo cuando todos sus ángulos internos son convexos, es decir, miden entre 0° y 180°. B

α3

B

A α1

G

α7

Un polígono es cóncavo cuando al menos uno de sus ángulos internos es cóncavo, es decir, mide más de 180°.

C

α2

C α4 α3

β

α4 D α5

α6

A

E

F

α2

α5 D

F α1

α6

G

E

Nota

b > 180°

a1; a2; a3 ; … ; a7 < 180°

& Es un polígono cóncavo.

& Es un polígono convexo.

CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS y áNGULOS A)Polígono equilátero

Es aquel que tiene todos sus lados congruentes. Puede ser convexo o cóncavo. B

B) Polígono equiángulo

Es aquel cuyos ángulos internos son congruentes; siempre es convexo. B

C

α

α

C)Polígono regular

Es aquel que tiene sus lados y ángulos internos congruentes. B

C

D E

AB = BC = CD = DE = EA

A α

α α

F

Otra manera de reconocer si un polígono es convexo o cóncavo es trazando una recta secante al polígono, si la recta lo interseca en dos puntos es un polígono convexo, si lo interseca en más de dos puntos, es un polígono cóncavo. Convexo 2

1

β

A

A

• La diagonal de un polígono es aquel segmento de recta que une dos vértices no consecutivos. • La diagonal media de un polígono es aquel segmento de recta que une los puntos medios de dos lados cualesquiera.

D

α

E

+A , +B , +C , +D , +E , +F

β

β

C

Cóncavo

1

β

2

3

D

AB = BC = CD = AD y +A , +B , +C , +D


23

CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS SEGÚN EL NÚMERO DE SUS LADOS Dependiendo del número de lados que poseen, los polígonos adquieren la siguiente denominación o nomenclatura: a) Triángulo

b) Cuadrilátero

c) Pentágono

d) Hexágono

e) Heptágono

Atención 3 lados

A los polígonos que tienen más de doce lados se les denomina de la siguiente manera: n.° lados

Denominación

13 14 15 16 17 18 19 20

Tridecágono Tetradecágono Pentadecágono Hexadecágono Heptadecágono Octodecágono Nonadecágono Icoságono

f) Octágono

4 lados

5 lados

g) Nonágono

h) Decágono

9 lados

10 lados

8 lados

6 lados

7 lados

i) Endecágono

j) Dodecágono

12 lados

11 lados

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS CONvExOS En un polígono de n lados, se cumple: A) Igualdad de sus elementos:

d

D

n.° ángulos internos = n.° vértices = n

C

B) Suma de sus ángulos externos:

c

E

e

φ

δ

F

Dm

θ

µ

f

b

a + b + c + d + e + f + ... = 360°

υ

B β

Sm + e = 360°

a

C) Suma de sus ángulos internos:

A

a + b + q + d + f + g + ... = 180°(n – 2)

G g

ω

α

Dn

H

h

Sm + i = 180°(n - 2) D) n.° de diagonales trazadas desde un solo vértice: D1 = (n - 3) E) n.° total de diagonales: Observación La suma de ángulos internos para polígonos convexos: Sm + i = 180°(n – 2)

Mn

n _n - 3i DT = 2

DM = (n - 1 )

G) n.° total de diagonales medias:

también se cumple para los polígonos cóncavos.

Dm =

M1

V2

F) n.° de diagonales medias trazadas del punto medio de un lado:

V3 V4

M(n − 1)

M2

V1

V5 M(n − 2)

n (n - 1) 2

M3

POLÍGONOS REGULARES Un polígono regular es aquel polígono que posee lados y ángulos de igual medida; además, todo polígono regular puede ser inscrito o circunscrito a una circunferencia. C l

B

α

D

l

α

α

R

α

Ángulo interno E

α

O

Q l/2

l

A

Elementos del polígono regular

l

β

R

θ

α

F

l/2

Polígono regular de n lados

24 Intelectum 1.°

a=

180° (n - 2) n

Ángulo central

Ángulo externo

b = 360° n

q = 360° n

G


¿Cuántos lados tiene un polígono, cuya suma de las medidas de sus ángulos internos y externos es 7200°?

Resolución:

Piden: n Según el dato: DT + n = 3n n (n - 3) + n = 3n 2

Resolución:

Sm + i = 180°(n - 2) / Sm+e = 360° Dato: 180°(n - 2) + 360° = 7200° 180°n - 360° + 360° = 7200° 180°n = 7200° & n = 40 lados 2

7

n (n - 3) = 2n 2 n - 3 = 4 & n = 7 lados

Si ABCDE es un pentágono regular, calcula x. B

Calcula el número de diagonales de un decágono.

2x

A

C

Resolución:

n (n - 3) ; n = 10 2 10 (10 - 3) & D = 10 . 7 = 35 diagonales DT = 2 2 DT =

3

D

E

Resolución: B α

Calcula el número de diagonales medias de un heptágono.

2x

A

2x

Del gráfico: a: ángulo int erior 180° (n - 2) a= n 180° (5 - 2) a= 5 a = 108°

C

Resolución:

n (n - 1) ; n=7 2 7 (7 - 1) & Dm = 7 . 6 = 21 diagonales medias Dm = 2 2 Dm =

4

Luego del iABC: B α

¿En qué polígono el número de diagonales medias es el doble del número total de diagonales de dicho polígono?

Resolución:

Dato: Dm = 2D Simplificamos: Reemplazamos: n-1 = n-3 2 n (n - 1) 2n (n - 3) = n - 1 = 2n - 6 & n = 5 2 2

D

E

2x

A

8

2x

4x + a = 180° 4x + 108° = 180° 4x = 72° x = 18°

C

Determina la medida del ángulo x, si ABCDEF es un polígono regular. C

B

D

x

Entonces, el polígono es un pentágono. A

5

En un polígono regular se cumple que el doble de un ángulo exterior excede en 90° a un ángulo interior. Calcula el número de lados. Dato: Ángulo exterior: 360° n Ángulo interior: 180° (n - 2) n

6

F

Resolución: C

Resolución:

2 d 360° n n

180°_n - 2i = 90° n

2 d 360° n - 180° + 360° = 90° n n 3_360°i = 270° & n = 4 lados n

La suma del número de diagonales más el número de vértices de un polígono es igual al triple del número de lados. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

E

B

x

30°

α

30°

D

30° A

α

α 30°

E

Sea la m+ BCD = a 180° (n - 2) Entonces: a = n 180° (6 - 2) a= 6 a = 120°

F

Del gráfico observamos que DBCD , DBAF, además son isósceles. Entonces: m+CBD = m+CDB = 30° m +ABF = m+AFB = 30° Como ABCDEF es un polígono regular, sus ángulos internos son iguales, luego: 30° + 30° + x = 120° 60° + x = 120° & x = 60°


25

CUADRILÁTEROS DEFINICIÓN Es la figura geométrica que resulta al unir, mediante sus extremos, cuatro segmentos de recta coplanares y no colineales. Un cuadrilátero puede ser, además, cóncavo o convexo. Cuadrilátero cóncavo

Atención Un cuadrilátero cóncavo solo puede tener un único ángulo cóncavo (mayor que 180°).

Nota • Propiedad adicional en un cuadrilátero cóncavo.

Cuadrilátero convexo

Elementos Vértices: A; B; C y D B B Lados opuestos: (AB y CD), (BC y AD). β β C Lados consecutivos: (AB y BC) , (BC y CD), (CD θ θ C α y DA), (DA y AB). A Ángulos opuestos: (+a y +q), (+b y +w). ω ω α Ángulos consecutivos: (+a y +b), (+ b y +q), D D A (+q y +w), (+w y +a). a; b; q y w son menores que q 2 180° (ángulo cóncavo). Diagonales: AC y BD. 180°. En ambos casos se cumple que: a + b + q + w = 360°

θ φ

Perímetro (2P): 2P = AB + BC + CD + AD

PROPIEDADES DEL CUADRILáTERO CÓNCAvO

a) Ángulo exterior al ángulo cóncavo o al ángulo mayor que 180°.

y

x

x+y=q+f

b) Menor ángulo formado por dos bisectrices internas de ángulos opuestos. α

β

• Propiedad adicional en un cuadrilátero convexo.

x

α

y x

β

θ

α

a+q+b=x

β

θ

α φ

x

θ

x=

x+y=a+b

c) Menor ángulo formado por una bisectriz interior y otra exterior que parten de vértices opuestos.

β

x

β β

α α

φ

θ+φ 2

θ-φ 2

x=

PROPIEDADES DEL CUADRILáTERO CONvExO

a) Ángulo formado por dos bisectrices de ángulos consecutivos.

Observación El trapezoide simétrico también se llama DELTOIDE:

αα

θ φ

B

A

α

α β

β

α C

b) Menor ángulo formado por dos c) Ángulo formado por dos bisectrices bisectrices de ángulos opuestos. exteriores de ángulos consecutivos.

β

x=

β

φ

θ+φ 2

β

x=

θ

x

x

x α

α α

θ

β

β

θ-φ 2

β

φ

x=

θ+φ 2

CLASIFICACIÓN DE CUADRILáTEROS CONvExOS D

• BD es mediatriz de AC. • TABC y TACD son isósceles • TABD es simétrico al DBCD con respecto a la diagonal BD.

Los cuadriláteros convexos pueden ser clasificados, de acuerdo al paralelismo de sus lados opuestos, en:

A) Trapezoides

Son aquellos cuadriláteros cuyos lados opuestos no son paralelos. Son de dos tipos: I. Trapezoide asimétrico: es aquel trapezoide cuyos elementos no tienen ninguna simetría. B

II. Trapezoide simétrico: es aquel cuyos lados consecutivos son simétricos a los otros dos, con respecto a una diagonal. B

φ θ

A C D

26 Intelectum 1.°

A

β β

α α φ θ

AC: eje de simetría.

D

C

G

Propiedades del trapezoide I.

II.

C

B

III.

B

C

x w

A

D

y

N

M

C

Recuerda P

G

z

Q

A

Elementos del trapecio B

D

A

D

Q

Si: M; N; P y Q son puntos medios. & MG = GP y NG = GQ

Si: 2P = AB + BC + CD + AD P < x + y + z + w < 3P

Si: 2P = AB + BC + CD + AD & P < AC + BD < 2P

B

B) Trapecios

Son aquellos cuadriláteros que poseen solamente un par de lados opuestos paralelos (BC // AD) y son: I. Trapecio escaleno: posee lados opuestos no paralelos de diferente medida. B

C

II. Trapecio rectángulo: posee un lado perpendicular a los lados paralelos del trapecio. C

B

A

D

III. Trapecio isósceles: posee lados opuestos no paralelos de igual medida. B

A

D

AB ! BC ! CD ! AD

A

M A

a

B

θ

θ

D

Nota Segmento que une los puntos medios de las bases:

M

A

P

N

&

C

x= a+b 2

&

A

b

α β

D

• AB , CD y BC , AD. • +A , +C y +B , +D; además: m+A + m+B = 180°. • AG , GC y BG , GD. Donde G es el punto de intersección de las diagonales AC y BD.

Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.

B

C

a

G b

D

Recuerda

I. Romboide: posee lados y ángulos consecutivos de II. Rombo: posee lados congruentes y ángulos consediferente medida. cutivos de diferente medida.

β α

α b

x= b-a 2

Son aquellos cuadriláteros que poseen lados opuestos paralelos y congruentes, y son:

a

β

D

C)Paralelogramos

B

C

Si: a + b = 90° & x = b - a 2

b

Si: PQ // AD // BC y AP = PC y BQ = QD

a x

A

Q

x

A

D

b

Si: MN // AD // BC y AM = MB y DN = NC

a

B

x

B

II. Segmento que une los puntos medios de las diagonales del trapecio.

C

D

H

AD: base mayor. BC: base menor. MN: mediana. BH: altura.

Propiedades de trapecio I. Base media o mediana, es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos.

N

C

m +A = m +D / AB = CD

m +A = m +B = 90°

C

a A

α α

β

β

a α α

G a

β

β

C

a

D

• AB , BC , CD , AD. • +A , +C y +B , +D; además: m+A + m+B = 180°. • AC es mediatriz de BD y viceversa. • AC es bisectriz del +A y el +C. • BD es bisectriz del +B y el +D.


27

III. Rectángulo: posee ángulos congruentes y lados consecutivos desiguales. B

α

β

a

Atención P

G D

β

β

b

D

A

• AB , CD y BC , AD

Q

En un paralelogramo se cumple que cualquier segmento trazado entre los lados opuestos y que pase por la intersección de las diagonales es bisecado por dicha intersección.

a

• A , B , C , D; (m+A = m+B = m+C = m+D = 90°) • AG , GB , GC , GD & AC , BD

45° 45°

P x

Si: {G} = AC + BD & PG = GQ = PQ 2

A

a

D

• A , B , C , D ; (m+A = m+B = m+C = m+D = 90°) • m+GAB = m+GBC = m+GCD = m+GDA = 45°

B

C

b

A a

D

b

45° 45°

• AB , BC , CD , AD

a α α

C

a

G

Propiedades del paralelogramo B

45° 45°

45° 45°

a

a α

α

A

C

α

B

C

G

β

B

A

b

IV. Cuadrado: posee lados y ángulos congruentes.

Si AP es bisectriz interior del +BAD. & x=b-a

C c x

dD

x= b+d = a+c = a+b+c+d 2 2 4

Paralelogramo de Varignon: en todo cuadrilátero cóncavo o convexo, los puntos medios de cada uno de los lados son los vértices de un paralelogramo al que se le denomina “paralelogramo de Varignon”. B

B

N M

C

C

A

P A

N

M

Q

P

Q

D

D

En ambos casos se cumple que MN // PQ y MQ // NP, además MN = QP y MQ = NP.

Efectuar 1. Calcula x.

3. Halla el valor de x. 70°

40°

140°

130°

100°

x

x

x

4. Del gráfico, calcula x.

2. Del gráfico, halla el valor de x. 80°

140°

30° 150° x

28 Intelectum 1.°

x

70°

60°

G


Según la figura, calcula x.

5

130°

80°

En un cuadrilátero convexo ABCD, halla la medida del menor ángulo que forman las bisectrices de los ángulos B y D, si m+C - m+A = 34°.

Resolución:

Con los datos del enunciado, construimos el gráfico:

x

B β

Resolución:

x α

α

D

Del gráfico observamos que x es el menor ángulo que forman las bisectrices de los ángulos B y D. En el BEDA: 180° - x = a + b + m+A ...(1) En el ABCD: 2a + 2b + m+A + m+C = 360°

130°

4x

& a + b = 180° - m+A + m+C 2

110°

...(2)

Reemplazando (2) en (1) y operamos: 180° - x = 180° - m+A + m+C + m+A 2 m + C m + A & x = 34° = 17° x= 2 2 Por lo tanto, el menor ángulo que forman las bisectrices de los ángulos B y D es 17°.

Resolución:

2x + 4x + 130° + 110° = 360° 6x = 120° & x = 20°

3

180° - x

A

Halla x. 2x

β

E

Sabemos que: 130° + x + 90° + 80° = 360° & x = 60°

2

C

De la figura, calcula x. 120° 2x α

x

α

θ

4

B

θ

De la figura: 120°

α

Sea ABCD un trapecio, halla el triple de m.

x 180° - x θ

α

θ

A

180° - x = 2x + 120° 2 360° - 2x = 2x + 120° 360° - 120° = 4x 240° = 4x & x = 60°

100°

x

D

23

Por propiedad del trapecio: m = 23 - 15 = 8 = 4 2 2 Nos piden: 3m = 3(4) = 12 7

En el siguiente trapecio, halla x.

40°

12 3x

30°

36

Resolución: 100° 40° 70°

C

Resolución:

Del gráfico, calcula x.

30°

15

m

Resolución: 2x

6

x

Luego: 100° + 70° + 90° + x = 360° 260° + x = 360° x = 100°

Resolución:

Observamos que 3x es la mediana del trapecio, entonces: 3x = 36 + 12 2 x = 48 & x = 8 6 GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2

29

8

En un rombo ABCD, m+A es menor que 90°, se trazan BH y CR perpendiculares a AD (H en AD y R en su prolongación). Halla HD, si AR = 17 y HR = 11.

11

En la figura BC // AD; si: AB = 6 y BC = 4. Calcula AD. B

C

6q

Resolución: Graficamos:

H

17 11 R

A

D

D B

Resolución:

C

3q

6

Del gráfico: TAHB , TDRC ` AH = RD Siendo: AH = 17 – 11 AH = 6 ` RD = 6 Luego: DH = 11 – RD & DH = 11 – 6 ` DH = 5

A

3q

6

3q

E

4

D

Trazamos BE tal que: BE // CD Se forma el EBCD: Romboide m +CBE = 3q Luego: DABE(Isósceles) AE = 6 ` AD = 10

Según la figura; halla x. x2 + 2x - 30

B

4

B 3q

C

9

3q

A

C

12 De la figura, halla: x + y. x A

7

D

2x - 5

5

Resolución:

y

Del gráfico: ABCD es rectángulo. Se cumple: BC = AD x2 + 2x - 30 = 2x - 5 x2 = 25 ` x=5

13

Resolución: x

10 Sea ABCD un romboide. Calcula m. B

A

2m

5m - 30°

D

7

C

13 14

5

15

5 y

Resolución:

Por propiedad: m+A = m +C 2m = 5m - 30

30 Intelectum 1.°

30 = 3 m

` 10 = m

13

Por propiedad de base media: x+5 = 7 & x = 9 2 Por propiedad de base media: 5 + 13 = y & y = 9 2 Entonces: ` x + y = 18

G

CIRCUNFERENCIA

DEFINICIÓN Es el conjunto de puntos pertenecientes a un mismo plano, los cuales tienen la misma distancia con respecto a un único punto denominado centro de la circunferencia (O), y a la distancia constante de estos puntos al centro, se le llama radio de circunferencia (r). • El punto “O” es el centro de la circunferencia, la misma que está conformada por la unión de todos los puntos P1; P2; P3; P4; P5; ...; Pn. • La distancia que hay entre O a cualquiera de los otros puntos (P1; P2; ...; Pn) es la misma e igual al radio: & OP1 = OP2 = OP3 = OP4 = ... = OPn = r

P4

O

r r

P3 P2

r P1

Importante El círculo: es una porción de plano conformado por una circunferencia y la región interna que esta limita.

r O

Pn

Circunferencia Región interna

ELEMENTOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA A) Radio

Es aquel segmento que une un punto de la circunferencia con el centro de la misma.

B) Cuerda

Es aquel segmento que une dos puntos distintos de una circunferencia.

O

Es aquella cuerda que contiene al centro de la circunferencia; además, el diámetro es el doble del radio.

B

P r

Q

A

O

P

OP: radio(r).

AB: cuerda.

D) Sagita (flecha)

Es aquella porción de un radio perpendicular a una cuerda que está comprendida entre la cuerda y la circunferencia.

Es aquella porción de un radio perpendicular a una cuerda que está comprendida entre la cuerda y el centro.

Es aquella porción de circunferencia limitada por dos puntos distintos de dicha circunferencia.

A

Atención

P

H

O

Un arco, dependiendo de sus extremos y de los puntos que contenga, adquiere las siguientes notaciones:

O

H

B

B

B

HP: Sagita. Es aquella recta que interseca a la circunferencia en dos puntos diferentes.

S

R

Ls : recta secante. Circunferencia + Ls = {R; S}

AB: Arco .

H) Recta tangente

Es aquella recta que interseca a la circunferencia solamente en un punto.

B

I) Recta exterior

Es aquella recta que no interseca, ni ella, ni sus prolongaciones a la circunferencia.

Lt

Ls

O

A P

!

OH: Apotema.

G) Recta secante

O

F) Arco

A P

O

PQ: diámetro, PQ = 2(OP).

E) Apotema

A

Circunferencia + Región interna Círculo

C) Diámetro (cuerda máxima)

!

AB

o

> ;; ? APB

Extremos del arco. Punto interior del arco.

Le O

P

Lt : recta tangente. Circunferencia + Lt = P

Le : recta exterior. Circunferencia + Le = Q


31

PROPIEDADES FUNDAMENTALES Nota Medida del arco: un arco es una porción de circunferencia, por lo tanto, posee dos maneras de ser medido, una longitudinalmente y otra angularmente.

I. Una recta tangente será perpendicular al radio que pase por el punto de tangencia.

II. En una circunferencia dos cuerdas congruentes determinan dos arcos congruentes. B

Lt O

B

O

P M

L L = 2πα.R

360°

α R

B

L: longitud de arco en m o cm. • Medida angular del arco Es una porción de los 360° (de la circunferencia) contenidos en un arco.

! !

Si: L 1 // L 2 & AM , BN

IV. Una recta tangente y otra secante paralelas, determinan en una circunferencia dos arcos congruentes.

V. Todo radio perpendicular a una cuerda biseca a esta y al arco que dicha cuerda determina.

VI. Dos segmentos tangentes trazados desde un mismo punto exterior son congruentes.

A

Lt

B

mAB = a°

H

O

P

B

P

P

a=q

R

! !

L2

Si: AB , MN & AB , MN

α !

θ

O

N

SI: OP = radio & OP = L t

A R

L1

M

A R

A

N

A

• Medida longitudinal del arco Es la longitud contenida en un arco.

III. Dos rectas secantes y paralelas determinan en una circunferencia dos arcos congruentes.

B

E

A

a: medida angular en "°" o " ". g

Q

! !

Si: OP = radio y OP = AB

Si P y Q son puntos de tangencia. & PE , QE

! !

Si: AB // Lt & BP , AP

& AH , HB y AP , PB

áNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA Los ángulos y los arcos presentes en una circunferencia se relacionan de la siguiente manera:

A) Ángulo central Observación Semicircunferencia Es aquel arco cuyos extremos son los extremos de un diámetro.

Es aquel que tiene como vértice al centro de la circunferencia y como lados a dos radios.

R

!

Cuadrante Es aquel arco determinado por dos radios perpendiculares entre sí. A

R

Es aquel cuyo vértice es el punto de intersección de dos cuerdas que no comparten alguno de sus extremos. A

θ O !

x

S

Si AB es un cuadrante. & m+ARB = m+ASB = q = 135°

N

32 Intelectum 1.°

α E

!

!

B

β

x

x = mAM + mNB 2

!

x = mPQ 2

Es aquel cuyo vértice es un punto externo a la circunferencia y cuyos lados pueden ser dos rectas secantes, dos rectas tangentes o una recta secante y otra tangente. Q

M

Lt

2x

Q

E) Ángulo exterior

B B

Q

!

D) Ángulo interior

θ

x

x = mRQ 2

x = mAB

Si AB es una semicircunferencia. & m+ARB = m+ATB = q = 90°

2x

x

P

!

B

O

Es aquel cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son una cuerda y una recta tangente.

P

B

T θ

A

R x

x

O

C)Ángulo semiinscrito

Es aquel cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas.

A

S θ

B) Ángulo inscrito

B β

P

x

α

β-α 2

x

P

α

M

E

E

x=

N A

A

β

x=

β-α 2

x=

β-α 2

G

PROPIEDADES ANGULARES I. Los arcos que conforman una circunferencia suman 360° correspondientes a una vuelta.

II. El arco que corresponde a infinitos ángulos inscritos se le denomina arco capaz.

φ

A

P

A D

O

α

B

θ

B

P

A

α

θ

Q

!

a + b = 180°

IV. La medida angular de un arco no depende del tamaño de la circunferencia a la que pertenece.

V. Un arco determinado por un ángulo semiinscrito tendrá la misma medida angular a pesar del tamaño de su circunferencia.

VI. Si dos circunferencias congruentes se intersecan, determinarán en ambos arcos congruentes.

!

N

R

O

P

Lt

β

A B θ C

β

α

α β

R2

θ B

a = b = q = mPQ 2

M

R

Por propiedad sabemos que: EA , EB y OA = OB = R. ` <EAOB es un trapezoide simétrico & EO = AB. además: m+EAB = m+EBA = q

a + b + q + f = 360°

R1 O

θ α α

E

β

Q

α

Dos rectas tangentes a una circunferencia originan un trapezoide simétrico.

β

C

A

Observación

α

C

β

III. Un ángulo exterior formado por dos tangentes y el menor arco que estas determinan, suman 180°.

R2

R1

P

Q

B

!

Si P es tangente común. & a=b=q

mMN = mAB o α = β

Si: R1 = R2 & a = b Atención

TEOREMAS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA A) Teorema de Poncelet

Cuando todos los lados de un triángulo o cuadrilátero son tangentes a una única circunferencia se denomina a estos como triángulo o cuadrilátero circunscrito.

B) Teorema de Pitot

En un triángulo rectángulo se cumple que la suma de sus catetos es igual a su hipotenusa más el doble de su inradio.

En un cuadrilátero circunscrito se cumple que la suma de sus lados opuestos es igual a la suma de los otros dos lados opuestos. a

b

a O

d O

r

b

c

c

a + b = c + 2r

a+c=b+d

Efectuar 1. Halla x. T

R

x -8 12 S

2. Halla x. 3

x

4

5


33

Problemas resueltos !

1

Halla a en la siguiente circunferencia. A

P

55°

2α -10° B

5

Resolución:

m+APB = mAP 2 Resolución: 84 x + 20° = ° Por propiedad de ángulo semiinscrito: 2 ! x + 20° = 42° mAP m+APB = 2 ` x = 22° 84 x + 20° = ° 2 x + 20° = 42° ` x = 22° Halla x.

Por propiedad de ángulo inscrito: !

m+APB = mAB 2 - 10° 2 a & 55° = 2

2

52°

2x

110° = 2a - 10° ` a = 60°

Resolución:

Halla b en la siguiente circunferencia. A

52°

C

32°

P 2β

B

!

Sabemos que mAB = 104° & 2x + 104° = 180°

A

68°

104°

2x

2x = 76° ` x = 38°

B

D

6

Calcula x, si BD = r y T es punto de tangencia.

Resolución:

Por propiedad de ángulo interior: !

!

m+D = mAB + mCD 2 + 32 68° ° 2b = 2 3

T

4b = 100° ` b = 25°

A

A 20°

100°

D B

Resolución:

Por ángulo exterior: !

7

!

m+APB = mAB - mCD 2 ° 100 20° i= 2 2q = 80° ` q = 40° 4

En la figura; calcula R, si AB = 12 y BC = 5. B

R

A

Resolución:

Halla x en la circunferencia.

A

x + 20° P

B

12

84°

34 Intelectum 1.°

D

Trazamos el radio OT, por propiedad OT = TD, entonces se forma el OTD. Por dato: BD = r, además T OB = OT = r, entonces: OD = 2r r x El OTD es notable D A O r B r de 30° y 60° r & x = 30°

C θ

x

Resolución:

Halla q.

P

r

B

O

B

A

R

O

5 C

O C

Reemplazando: 12 + 5 = AC + 2R 17 = AC + 2R ... (I)

Luego calculamos AC usando el teorema de Pitágoras: (AC)2 = (AB)2 + (BC)2

reemplazando AC = 12 2 + 5 2 & AC = 13, reemplazando en (I). 17 = 13 + 2R & R = 2

unidad 3

PROPORCIONALIDAD RAzóN GEOMéTRIcA Una razón geométrica viene a ser el resultado de la comparación de las longitudes de dos segmentos rectilíneos, mediante la división de la longitud de uno sobre la longitud del otro o viceversa. B

30

N

15 M

A

La razón geométrica entre AB y MN será: AB = 30 = 2 MN 15 ` AB es igual a 2 veces MN.

Atención Los valores de los segmentos de recta que se dividen para hallar una razón geométrica deben tener las mismas unidades de longitud. 35 mm A

25.4 mm

PROPORcIóN GEOMéTRIcA Una proporción geométrica es el conjunto de dos o más pares de segmentos rectilíneos que poseen una misma razón geométrica. A

M

C

10 cm

E Q

R

24 m

Razón entre EF y QR: EF = 15 m = 5 QR 24 m 8

Razón entre CD y OP: CD = 20 u = 5 OP 32 u 8

Razón entre AB y MN: AB = 10 cm = 5 MN 16 cm 8

F

15 m

P

32 u

O

N

D

20 u

B

16 cm

B

3.5 cm

M

N

1 pulg

Para hallar la razón geométrica entre AB y MN tendremos: AB = 35 mm mismas unidades( ) MN 25, 4 mm CORRECTO AB = 3, 5 cm MN 1 pulg

diferentes unidades(x) INCORRECTO

Observación Una proporción geométrica tal como a = c tiene las sib d guientes propiedades:

Vemos que AB = CD = EF = 8 & las razones AB = CD = EF son proporcionales. MN OP QR 5 MN OP QR

I. a + c = a / a - c = a b+d b b-d b

cUATERNA ARMóNIcA Cuando un segmento de recta AB es dividido interiormente por el punto C y en su prolongación por el punto D, determinando así cuatro segmentos, que forman la proporción geométrica: AC = AD ; entonces dichos CB BD segmentos constituyen una cuaterna armónica.

II. a - b = c - d / a + b = c + d d b d b

& AC, CB, BD y AD forman una cuaterna armónica.

A una cuaterna armónica también se le llama Proporción armónica.

´1

´3

´2

A

C

B

´4

, , Si: 1 = 4 ,2 ,3

D

Nota

` Se dice que los puntos C y D dividen “armónicamente” al segmento AB.

Relaciones asociadas a la cuaterna armónica Relación de Descartes Si dos puntos C y D dividen armónicamente a un segmento AB, se cumple que el doble de la inversa de AB es igual a la suma de los inversos de AC y AD.

Relación de Newton Si dos puntos C y D dividen armónicamente a un segmento AB, cuyo punto medio es O; se cumple que el producto de OC y OD es igual al cuadrado de OA.

A

A

C

B

Si: AC = AD & 2 = 1 + 1 BC BD AB AC AD

D

O C

B

D

Si: AC = AD / AO , OB & (OA)2 = (OC)(OD) BC BD

Ejemplo: Si los puntos M y N dividen al segmento PQ armónicamente, hallar PM si: PN = 5QN y MQ = 3. Resolución: x 3 Graficamos: & PM = PN ; Reemplazando: x = 5QN & x = 15 P M Q N MQ QN 3 QN

Atención Si dos puntos C y D dividen armónicamente a un segmento AB, entonces dichos puntos se denominaron conjugados armónicos de A y B. A

C

B

D

Si: AC = AD CB BD & C y D son los conjugados armónicos de A y B.


35

TEOREMAs DE PROPORcIONAlIDAD Observación

Teorema de Thales

El teorema de Thales también puede ser interpretado de las siguientes maneras:

El teorema de Thales dice que tres o más rectas paralelas determinan sobre dos rectas secantes, segmentos respectivamente proporcionales.

m

n C

R

L3

Si: AP//BQ//CR; entonces: I. a = m o II. a = b b n m n

Teorema de la bisectriz interior

En todo triángulo la bisectriz interior de cualquiera de sus ángulos divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes a dicha bisectriz.

Teorema de la bisectriz exterior

La bisectriz exterior de un triángulo divide externamente a la prolongación del lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes a dicha bisectriz. Existen tres casos:

B a b

A

M

m

B

C

n

A

β

α

C

P

n

m

Se cumple: AB = AP o a = m BC b n

Se cumple: AB = AM o a = m BC MC b n

b

a

θ

θ

b

a

θ θ

L3

Si: L1 // L2 // L3 & MA = MP AB PQ

θ θ

El teorema de la bisectriz interior también puede ser interpretado de la siguiente manera:

L2

a) Caso 1: Si a < b

B

Nota

P Q

Si: L1 // L2 // L3 & AO = PO OB OQ

Si: L1 // L2 // L3 & AB = PQ BC QR

L1

B

L3

B

Q

A

L2

O R

C

M

L1

P

A Q

B

L2

Q

B b

P

A

L1

P

A a

b) Caso 2: Si a > b A

m

C

n

M

Si: BM es bisectriz interior: I. a = m o II. a = b b n m n

Teorema de las bisectrices

En un triángulo la bisectriz de un ángulo interno y la bisectriz del ángulo externo adyacente a este dividen “armónicamente”, es decir, en una cuaterna armónica al lado opuesto a dicho ángulo.

Nota

B

Un haz armónico es el conjunto de cuatro rayos que tienen el mismo origen y que determinan sobre cualquier recta transversal a ellos, una cuaterna armónica.

M

N

P Q

A

B

C

φ

D

Si: { OA, OB, OC , OD} es un haz armónico. & MN = MQ y AB = AD PQ CD BC NP

36 Intelectum 1.°

a

M

b

φ

C d

P

m

b

β

A

n

a =m b n

o

c) Caso 3: Si a = b = q B

Si BM y BP son una bisectriz interior y una bisectriz exterior respectivamente y además: m+BAC ! m+BCA (AB ! BC). Se cumple: AM = AP o a = d b c MC

θ

α

Se cumple: AB = PA BC PC c

θ

a P

θ

A

O

θ

B

a

A

α

θ

P

θ

a β

C

Se cumple: BP // AC ` b proporción.

C

G


Calcula x, si BD // AE.

Resolución: 5x

3x + 2

12 D

B

8

A

E

5

Resolución: Por el teorema de Thales: 5x = 12 & 40x = 36x + 24 8 3x + 2 4x = 24 `x=6 2

Igualamos (I) y (II):

Por teorema de Thales: a = 3b b 6a a 2 1 a 2 ... (I) a k = & = b 2 b 2 x = 6a & x = a ... (II) 2 3b 4 b

C

x = 2 4 2 x=2 2

En la figura mostrada los puntos U, N, I, L forman una cuaterna armónica. Halla x. U

N

3

2

I

L

x

Resolución:

Por ser cuaterna armónica: 3 = 3 + 2 + x & 3x = 2x + 10 2 x x = 10

Calcula x, si L1 // L2 // L3. x

L1

4

9

6

L2

x

Si m // n // l // r , halla x.

3x + 2

2y + 1 y

6

Resolución:

m

2

x

L3

3

Resolución: Por el teorema de Thales: x = 2 & xy = 12 6 y x = 2 & 6x + 4 = 2xy + x 3x + 2 2 y + 1 5x + 4 = 2(12) `x=4

Halla x, si 5RL = 4LT. R θ

L θ

Q

4x

M

T

3x + 5

7

Si: AB = 5 y RS = 12. Calcula AR. BC 6 B

Resolución: Del dato: 5RL = 4LT & RL = 4 LT 5

4

β β

Del gráfico: 4x = RL = 4 3x + 5 LT 5

C

A R

& 20x = 12x + 20 8x = 20 x = 2,5

b

B

3b 6a

S

Resolución:

En la figura, L1 // L2 // L3, calcula x. a

l r

Si L1 // L2 // L3, entonces, por el teorema de Thales: x = 4 & x2 = 36 ` x = 6 9 x

n

2 x

β β

L1 L2 L3

A

5k x

R

6k 12

S

C

Por el teorema de Thales: x = 5k 12 6k x = 10


37

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

DEfINIcIóN Se dice que dos triángulos son semejantes cuando ambos poseen ángulos internos respectivamente congruentes, además de que sus lados correspondientes son proporcionales. M

constante de proporcionalidad (k): Es un factor numérico que indica la relación que existe entre los elementos longitudinales de dos figuras geométricas semejantes; en este caso, triángulos:

a C

N L

A

• Si k < 1 & Los elementos del segundo triángulo son mayores que los del primero:

Los lados homólogos de dos triángulos semejantes son aquellos que se oponen a los ángulos congruentes. Del gráfico: el lado AB es homólogo al lado LM, el lado BC es homólogo al lado MN y el lado AC es homólogo al lado LN.

S B 1°

Si: +A , +L; +B , +M; +C , +N y AB = BC = AC = K LM MN LN & El TABC y el TLMN son semejantes (a). Notación: TABC a TLMN Se lee: “El TABC es semejante al TLMN”.

B

Observación

Proporcionalidad de elementos homólogos 2°

T

C

A

Los elementos homólogos de dos triángulos semejantes, tales como sus alturas, su perímetro, su inradio o circunradio guardan la misma proporción que sus lados.

R

B

` AB = BC = AC = k < 1 ST RT SR • Si k > 1 & los elementos del segundo triángulo son menores que los del primero:

A

L

r H

B

i

S 1°

T

C

` AB = BC = AC = k > 1 ST RT SR

2°

MT: altura del TLMN. I: inradio del TLMN. 2q: perímetro del TLMN.

A) Primer caso: Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes.

R 1°

BH: altura del TABC. r: inradio del TABC. 2p: perímetro del TABC.

M

cAsOs DE sEMEjANzA DE TRIáNGUlOs

• Si k = 1 & los elementos de ambos triángulos son congruentes: B

N

C

2°

R

A

A

T

a

S

Si: +A , +R y +B , +S

B S

C

& TABC a TRST

T

` AB = BC = AC = k RS ST RT

` AB = BC = AC = k = 1 SR ST RT

C

Nota La interpretación de la notación de una semejanza entre dos triángulos es: (Si el TABC y el TRST son semejantes) 1. TABC a TRST & AB = k RS

T R

A

B) Segundo caso: Si un ángulo de un triángulo es congruente con el ángulo de otro triángulo y los lados que comprenden al ángulo en el primer triángulo son respectivamente proporcionales a los lados que comprenden al ángulo en el segundo triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes. B

2. TABC a TRST & BC = k ST

S

3. TABC a TRST & AC = k RT

`

Si: TABC a TNML, entonces sus lados homólogos son proporcionales. AB = BC = AC = k NM LM NL ` Sus elementos homólogos también son proporcionales: 2p & BH = r = =k MT i 2q k: constante de proporcionalidad.

AB = BC = AC = k RS ST RT

38 Intelectum 1.°

A


R C

Si: +A , +R y AB = AC RS RT & TABC a TRST

T

G

C) Tercer caso: Si los tres lados de un triángulo son respectivamente proporcionales a los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes. B

Si AB = BC = AC RS ST RT & TABC a TRST

S

A

Toda recta paralela al lado de un triángulo y secante a los otros dos lados o sus prolongaciones, determina un triángulo semejante al primero.


R

i. A

T

C

Atención

N C

Propiedades de semejanza

M

B)

A)

B

x

a x

a

x x

ii.

x

x

A

b x

x

M

b

C

En ambos casos (A y B) se cumple que: x = ab a+b C)

a

B N

En ambos casos se cumple:

D)

AB = AC = BC MN NC MC

x x

x a

b

E)

F)

A x

x

a

B

a

x

P

b

b

b

Observación

x

Q

• El punto de intersección de las diagonales de un trapecio biseca al segmento que pasa por dicho punto, es paralelo a las bases y esta comprendidos entre los lados del trapecio.

P

En los casos (C, D, E y F) se cumple que x = ab

B P

TEOREMAs DE sEMEjANzA I. Dos triángulos con un lado común, dos lados paralelos y dos lados secantes, cumplen la siguiente relación: B

II. Un triángulo cuyo lado forma un ángulo con una ceviana de tal manera que es congruente con el ángulo opuesto a dicho lado, cumple la siguiente relación: B θ

N

A

M

Si: AB // CD // MN &

D

x = ab a+b

A

D

Si PQ // AD // BC & PO , OQ

• La altura de un triángulo rectángulo divide al mismo en dos triángulos semejantes entre sí. B

x

b

x

Q

O

C a

C

θ

A

θ

a

Si: +BAC , +CBN &

N

C

b

x = ab

A En el

θ H

C

ABC se cumple: TAHB a TBHC


39


Calcula x, si los triángulos son semejantes:

Resolución: Por propiedad: x = (6 ) (4 , 5 ) & x = 3 3

α 2

3

5

θ

θ

α

x

6

Calcula. B

Resolución:

3

Por semejanza de triángulos: 3 = 5 & x = 10 3 2 x 2

α C x

α A α

Halla x.

Resolución: Del gráfico: m+ACB = m+ADC Luego: TABC a TACD

8

3

x

7

Entonces: x = 3 & x2 = 81 ` x = 9 27 x

En el triángulo, G baricentro y GE // AC. Calcula x. B

Resolución: Por propiedad: 1 = 1 + 1 & 1 = 11 ` x = 24 11 x 3 8 x 24 3

D

27

G A

Halla x.

E

4

C

x

Resolución: Trazamos la mediana BM: 2

θ

2a

θ

Por propiedad: x2 = 6(4) & x = 2 6

E

4 M

x 2

C

x 2

TBGE a TBMC G baricentro: BG = 2GM

Halla la altura del trapecio, sabiendo que AB = 3 y CD = 10. A

α

3

8

B

De la figura, PC = 14; AD = 21 y QR = 6. Halla el lado AB.

D

10

α

Resolución:

x-6

x

4,5

40 Intelectum 1.°

A

B

Halla x. x

C

7

C

Q

D

R

Resolución:

Veamos que: ADC a BAD Entonces: 10 = x & x2 = 30 ` x = 30 x 3

6

E P

B

H

x

5

G a

A

Resolución:

4

Luego: GE = BG CM BM 4 = 2a x 3a 2 8 =2 x 3 ` x = 12

B

6

x

14

E P

Q

C

6 A

R

21

Se observa: TBQP a TDQA AD = QR & 21 = 6 7 BP QE x-6

D

` x=8

G

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO PROyEccIóN ORTOGONAl DE UN PUNTO La proyección ortogonal de un punto respecto a una recta vendría a ser el pie de la altura o perpendicular trazada desde dicho punto a la recta. P'

Si proyectamos P sobre L1 y también sobre L2, obtenemos: • P': proyección de P sobre L1, por lo tanto PP'

L1

P

L1.

• P'': proyección de P sobre L2, por lo tanto PP''

L2.

Atención También existen otras clases de proyección, y son: I. Proyección oblicua A

• PP': proyectante de P respecto a L1 (P' ! L1).

L2

• PP'': proyectante de P respecto a L2 (P'' ! L2).

P''

B

α

• L1 y L2: ejes de proyección.

α

A'

L

B'

Proyectamos AB sobre L y tenemos:

PROyEccIóN ORTOGONAl DE UN sEGMENTO La proyección ortogonal de un segmento sobre una recta es la reunión de todas las proyecciones de los puntos que conforman a dicho segmento sobre una recta dada. Para determinar la proyección de un segmento sobre una recta solo basta con proyectar sus extremos, de esta manera el segmento contenido entre las proyecciones de sus extremos vendría a ser la proyección del segmento dado.

A'B': proyección oblicua de AB sobre L , además AA' // BB'. II. Proyección cónica F

N

A

D

C

P

B M L

B'

A'

A

E

P'

D' N'

H

Q'

C'

B

Q

F

A' L B'

Proyectamos AB, MN, CD, PQ y FE sobre la recta L, y obtenemos: • A'B': proyección ortogonal de AB sobre L , además: AA'

L y BB'

L.

• MN': proyección ortogonal de MN sobre L , además: M ! L y NN'

L.

Proyectamos AB sobre L y tenemos: A'B': proyección cónica de AB sobre L , además F se denomina punto focal.

• C'D': proyección ortogonal de CD sobre L , además: CD // L y CC' , DD'. • P'Q': proyección ortogonal de PQ sobre L , además: PP' • H: proyección ortogonal de FE sobre L , además: EF

L y Q'Q

L.

L.

RElAcIONEs MéTRIcAs EN UN TRIáNGUlO REcTáNGUlO En todo triángulo rectángulo, la altura relativa a su hipotenusa determina dos triángulos que son semejantes al triángulo rectángulo dado. En el

B β

ABC tenemos:

AB: cateto menor.

α

BC: cateto mayor. BH: altura relativa a la hipotenusa (AC).

A

α

β H

C

AC: hipotenusa. AH: proyección ortogonal de AB sobre AC. HC: proyección ortogonal de BC sobre AC.

Si BH AC (AC es la hipotenusa) & ABC a AHB a BHC; por lo tanto se cumplen los siguientes teoremas: GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

41

Teorema 1

Observación Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Demostración:

b

a

m

H

C

Teorema 1: a2 = mc Teorema 2: b2 = nc

+

a + b = (m + n)c 2

2

b

a m

H

C

c

A

a2 = cm

H

Teorema 3

Teorema 4

El cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

H

Se cumple: a + c = b + d 2

2

2

m

H

C

n

h2 = mn

Teorema 5

Teorema 6

Los cuadrados de las longitudes de los catetos son proporcionales a las longitudes de sus respectivas proyecciones sobre la hipotenusa.

A

Se cumple:

El cuadrado de la inversa de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las inversas de las longitudes de los catetos. B

a

C

A

Se cumple:

B

c 2

C

c

Donde: AH es la proyección de AB sobre AC y HC es la proyección de BC sobre AC.

b

D

h

Donde: BH es la altura relativa a AC.

B

d

b

ab = hc

Se cumple:

a

B

h

A

A

C

Donde: HC es la proyección de BC sobre AC.

a

Propiedad adicional: En todo trapezoide cuyas diagonales son perpendiculares.

n

Donde: AH es la proyección de AB sobre AC.

B

Nota

c

b2 = cn

Se cumple:

El producto de las longitudes de los catetos es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a esta.

c & Se cumple: a2 + b2 = c2

La longitud del cateto mayor al cuadrado es igual al producto de la longitud de la hipotenusa y la longitud de la proyección del cateto mayor sobre la hipotenusa. B

Se cumple:

n

c

Teorema 2

B

A

B

A

La longitud del cateto menor al cuadrado es igual al producto de la longitud de la hipotenusa y la longitud de la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa.

b

m

H

n

a

h

b

C A

2

a =m n b2

Donde: AH es la proyección de AB sobre AC y HC es la proyección de BC sobre AC.

Se cumple:

H

C

1 = 1 + 1 h2 a2 b2

Donde: BH es la altura relativa a AC.

Ejemplo: Halla la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus catetos miden 6 cm y 8 cm respectivamente. Solución: Del teorema N.° 6, tendríamos: 1 = 1 + 1 & x2 = (36) (64) & x = 4,8 cm 100 x2 62 82

42 Intelectum 1.°

G

TEOREMA ADIcIONAlEs Existen, además, varios teoremas que derivan de los antes mencionados y son:

Teorema 1

Teorema 2

En una semicircunferencia, el cuadrado de la longitud de una cuerda que parte del extremo del diámetro es igual al producto de las longitudes del diámetro y la proyección de dicha cuerda sobre al diámetro.

En una semicircunferencia, el cuadrado de la longitud de la altura trazada desde un punto en ella hacia su diámetro es igual al producto de las longitudes de los segmentos determinados por el pie de la altura en el diámetro.

P

P

Atención Relaciones métricas en la circunferencia I. Teorema de las cuerdas: A

b

D

h

A

c

P

B

n

H

b

a

A

m

B

n

H

Se cumple: b2 = cn

Se cumple: h2 = mn

Donde: AB es diámetro y HB es la proyección de PB sobre AB.

Donde: AB es diámetro y PH es perpendicular a AB.

c

d B

C

Se cumple:

ac = bd

II. Teorema de la tangente: T

Teorema 3

Teorema 4

La longitud del segmento de la tangente común a dos circunferencias tangentes exteriores es igual al doble de la raíz cuadrada del producto de los radios de dichas circunferencias. x

Q

P

O2 T

O1

La longitud del segmento de la tangente común a dos circunferencias ortogonales es igual a la raíz cuadrada del doble del producto de los radios de dichas circunferencias. x

P

B a

P

x2 = ab

Se cumple:

C

Q O2

O1 R

R

b

III.Teorema de las secantes:

M

r

x

A

n

r

D A

N

m

B a

P

b

Se cumple:

ab = mn

Se cumple: x = 2Rr Donde: P y Q son puntos de tangencia y m+O1NO2 = 90°.

Se cumple: x = 2 Rr Donde: P; Q y T son puntos de tangencia.

Teorema de Dostor

Dados dos triángulos rectángulos semejantes, el producto de las longitudes de sus hipotenusas es igual a la suma de los productos de las longitudes de sus catetos homólogos. B b

a A

α

Se cumple:

S

c

a β

C

R

an + bm = c,

m

n α

Donde: β

,

ABC a

RST

T

Ejemplo: Si de un punto parte dos rayos tangente y secante a una circunferencia. Halla la longitud de la cuerda si el segmento tangente mide 6 y el segmento secante mide 9. Solución: Del teorema de la tangente: Segmento tangente (T): 6 Segmento secante (S): 9 62 = 9(9 - x) & x = 5 Cuerda (C): x


43


Calcula x.

5 α

x

α

5

25

Resolución:

Resolución:

Del triángulo rectángulo calculamos el valor del cateto que falta. Aplicando el teorema de Pitágoras: 252 = 242 + a2 24 625 = 576 + a2 a x 49 = a2 &a=7 25 Luego:

2

Sabemos: x = ab En el problema: x2 = 4 (4 + 5 ) x2 = 36 x=6

x

2

b

Calcula x.

a(24) = x(25) & x = 6,72 6

12

Calcula x.

x

8

x

Resolución:

16

Sabemos: h2 = ab

En el gráfico del problema: 122 = 8x 144 = 8x x = 18

h a

3

b

x2 = 16(4) & x2 = 64

` x =8

Halla la hipotenusa.

x

6 23

4 2

4

Resolución:

7

Calcula x. 5

x+1

3x

Resolución:

Resolución:

Por la segunda relación: 62 = (x + 1)(3x) 36 = 3x2 + 3x 12 = x2 + x 0 = x2 + x - 12 x 4 x -3 0 = (x + 4)(x - 3)

Sabemos:

x 2 + (4 2 ) 2 = 5 2 + ( 23 ) 2 & x 2 + 32 = 25 + 23 x 2 = 48 - 32 `x=4 4

24

x

4

a

Calcula x.

Halla la altura relativa a la hipotenusa. 6

x

8

8

Para: x>0&x=3 Por lo tanto, la hipotenusa es: (x + 1) + (3x) = 4x + 1 = 4(3) + 1 = 13

Halla x. 8 x

Resolución:

15 10

Por la quinta relación: 1 = 1 + 1 & 1 = 82 + 62 x 2 _8 2i_6 2i x2 62 82 x2 =

^64h^36h

100 576 x2 = & x = 4, 8 25

44 Intelectum 1.°

Resolución: 15

8 17 x

10

Por el teorema de Pitágoras: x = 17 2 - 10 2 x = 3 21

unidad 4

ÁREA DE UNA SUPERFICIE PLANA SUpERfIcIE plANA y REGIóN plANA

Una superficie plana es aquel conjunto cuyos elementos son rectas dispuestas a lo largo y ancho de un espacio bidimensional. Luego, una región plana vendría a ser una superficie plana limitada por una línea cerrada. Notación: P: superficie plana compuesta por rectas longitudinales (La ) y transversales (Lb ). R: región plana perteneciente a la superficie P. C: línea cerrada, límite de R.

P R

C

Lb

Recuerda El área de una región plana es igual a la suma de las áreas de todas sus regiones parciales:

A1

La

A3 A2

Área de una región plana

El área de una región plana es la medida de la extensión de superficie la cual está limitada por una línea cerrada o contorno. Además, esta medida se expresa en unidades cuadradas (cm2; m2; inch2; etc.) P 1 1 1 1 1 1

A

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 B 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

Las regiones A y B pertenecen a la superficie plana P. I. El área de la región A es todo lo que está de color verde. II. El área de la región B está representada aproximadamente por 45 cuadrados de color amarillo, por lo tanto su área aproximada será: 45 unidades cuadradas.

1 1 1 1 1

=

+

+

AT = A1 + A2 + A3

cOMpARAcIóN DE REGIONES plANAS

Dos regiones planas, pueden relacionarse de la siguiente manera: I. Regiones semejantes Son aquellas regiones cuyos contornos o líneas cerradas que los delimitan tienen la misma forma aunque diferente tamaño y por lo tanto tienen áreas diferentes.

II. Regiones equivalentes Son aquellas regiones cuyos contornos tienen formas distintas; sin embargo ambas encierran o contienen una misma extensión de superficie o área.

III. Regiones congruentes Son aquellas regiones cuyos contornos tienen la misma forma; esto determina que ambas regiones contengan superficies con la misma extensión o área.

P

Q

Q

P A C1

A

B

a

C2

Se dice que las regiones P y Q son semejantes si: C1 a C2 y A ! B

C1

<>

Q

P A

B

C1

,

B C2

C2

Se dice que las regiones P y Q son equivalentes si: si A = B y C1 ! C2

Se dice que las regiones P y Q son congruentes si: C1 , C2 y A = B


45

ÁREAS DE REGIONES TRIANGUlARES

Una región es triangular cuando su contorno lo conforma un triángulo. Además, conociendo las dimensiones de dicho contorno podemos calcular el área de la región triangular en unidades cuadradas. En general, el área de una región triangular es igual al semiproducto de la longitud de uno de sus lados y la longitud de la altura relativa a dicho lado. Esta fórmula varía en función a la naturaleza del triángulo:

Atención Notación del área de una región triangular:

II. Área de un triángulo rectángulo III. Área de un triángulo obtusángulo

I. Área de un triángulo acutángulo

B

B

B a

S A

b

h

a

B a

b

b

C

A

Notación: AiABC = S Se lee: área de la región triangular ABC.

c

C

H

A

A TABC = 1 (AC)(BH) 2 1 A TABC = ch 2

A A

A

C

c

1 (AC)(BC) 2 1 cb = ABC 2

c

h H

C

A TABC = 1 (AC)(BH) 2 1 A TABC = ch 2

ABC =

Formulas alternativas para calcular el área de un tríangulo I. Fórmula del inradio El área de una región triangular es igual al producto de su semiperímetro con el inradio de dicha región triangular. B

II. Fórmula de Herón El área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto de su semiperímetro con la diferencia del semiperímetro y cada de sus lados. B

Nota Área de una región triangular equilátera: • En función de la longitud de cualquiera de sus lados.

a

A ,

60°

60°

A

AiABC = ,

4

b

C

c

Si P = 1 (a + b + c) 2

Si P = 1 (a + b + c) 2 &

A

C

c

AiABC = pr

&

AiABC = p (p - a) (p - b)(p - c)

C

, 2

a

r

B

,

b

I

3

• En función de la longitud de cualquiera de sus alturas. B

III. Fórmula del circunradio (a) El área de una región triangular es igual al producto de las longitudes de los tres lados divididos entre cuatro veces la longitud de su circunradio. B

h 60° A

a 60°

2 AiABC = h 3 3

B

b

O

C

A

c

R

46 Intelectum 1.°

AiABC = abc 4R

h1

F C

Si R es el circunradio del triángulo ABC. &

IV. Fórmula del circunradio (b) El área de una región triangular es igual a la raíz cuadrada del semiproducto del circunradio con las longitudes de las alturas relativas a cada lado de dicha región.

A

h2

H

G

R

O h 3

C

Si R es el circunradio del triángulo ABC. &

AiABC =

R h h h _ i 2 1 2 3

G

RElAcIONES ENTRE ÁREAS DE REGIONES TRIANGUlARES

Cuando comparamos las áreas de dos regiones triangulares mediante un cociente nos damos cuenta de que las áreas de ambas regiones son proporcionales a los elementos de dichas regiones. a) Si dos regiones triangulares poseen uno de sus lados de igual longitud; sus áreas serán proporcionales a las longitudes de las alturas relativas a dichos lados.

b) Si dos regiones triangulares tienen una de sus alturas de igual longitud; sus áreas serán proporcionales a las longitudes de los lados a las cuales son relativas a dichas alturas.

S

B

B h2

h1 A

R

C

b

A

T

A3 ABC h1 = A3 RST h 2

Si: AC = RT = b &

H

m

C

R

C

b

θ

R

Si: m+ACB = m+TRS = q &

n

n

α

T

C

b

F h

A

A3 ABC m = A3 RST n

C

b

Si: AC // EF y AC es base común. & A9ABC = A9AEC = A9AFC

S

m

a A

B

T

Q

B

m θ

E

d) Si dos regiones triangulares poseen, cada uno, un ángulo que es suplementario con el otro; entonces sus áreas son proporcionales al producto de las longitudes de los lados que determinan dichos ángulos.

S

B

A

h

Si: BH = SQ = h &

c) Si dos regiones triangulares poseen uno de sus ángulos de igual medida, sus áreas son proporcionales al producto de las longitudes de los lados que determinan dichos ángulos.

a

S

h

b

Observación Si dos o más regiones triangulares comparten la misma base y las longitudes de sus alturas son iguales, entonces son equivalentes.

R

β

T

n

A Si: m+BCA + m+TRS = 180° & 3 ABC = ab A3 RST mn a + b = 180°

A3 ABC = ab A3 RST mn

Propiedades adicionales I. Si en un triángulo cualquiera trazamos II. Si en un triángulo cualquiera trazamos las III. Si en un triángulo cualquiera trazamos las una ceviana interior, esta determinará dos tres bases medias relativas a cada lado se tres medianas, entonces se determinarán regiones triangulares proporcionales a las determinan cuatro regiones triangulares las seis regiones triangulares las cuales tienen longitudes de los segmentos que dicha cuales son equivalentes la misma área, pues son equivalentes. ceviana origina. B B

B

S G

N S1 A

S

S1

m

P

n

C

N

S M

C

S

C

S = ATABM = ATMBC,donde BM es mediana

A

S

G S M

L S C

M

S = ATANM = ATNBL = ATMLC = ATNLM B

B

B

A

S A

S = ATANG = ATBGN = ATBGC = ATCGL = ATCGM = ATAGM

S1 m = ; donde BP es ceviana. S2 n

S

S

M

S

N

L

S

S

A

S

S

S

M

L

L

3S A

C

S = ATABG = ATBGC = ATAGC; (G es baricentro)

C

S = A jAMLC = 3(ATMBL)


47

ÁREAS DE REGIONES cUADRANGUlARES

Atención Notación del área de una región cuadrangular: B

Una región es cuadrangular cuando su contorno lo conforma un cuadrilátero concavo o convexo y su área, en términos generales, es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales por el seno de la medida del menor ángulo determinado por dichos diagonales. II. Área de un cuadrilátero convexo

I. Área de un cuadrilátero cóncavo

C

B

C S

B

A

D

θ

d1

Notación: A: ABCD = S

d1

d2

C

A

Se lee: área de la región cuadrangular ABCD.

θ

d2

D

A

D

Si d1 = AC y d2 = BD & A: ABCD = 1 d1d2senq 2

Si d1 = BD y d2 = AC & A: ABCD = 1 d1d2senq 2

Áreas de regiones cuadrangulares específicas I. Área de un trapecio Es igual al producto de la semisuma de las longitudes de sus bases por la longitud de su altura o distancia entre sus bases.

Recuerda Área de un cuadrado: ,

B

B

a

II. Área de un paralelogramo Es igual al producto de longitud de uno de sus lados (base) por la longitud de la distancia hacia el otro lado paralelo al primero (altura).

C

a

B

C

C

h ,

A A

h

,

S

b

D

,

AdABCD = ,2 = S El área de un cuadrado es la medida de superficie básica dada su simplicidad visual y matemática.

D

H

b

III. Área de un rectángulo Es igual al producto de las longitudes de sus lados no congruentes.

IV. Área de un rombo Es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales. B

C

d2

a

Nota Si dos o más regiones limitadas por paralelogramos tienen una misma base y los lados opuestos a dicha base son colineales, entonces dichas regiones son equivalentes. D

C

F

E

A

b

En el rectángulo ABCD se cumple: A= ABCD = ab

H

D

Si ABCD es un paralelogramo y CH su altura. & AfABCD = bh

Si ABCD es un trapecio y CH su altura. & A: ABCD = 1 (a + b)h 2

B

A

D

A

d1

C

D

En el rombo ABCD se cumple: AoABCD = 1 d1 d2 2

h A

Relaciones entre áreas de regiones cuadrangulares B

Si AB // CD // EF y CD y EF son colineales. & A : ACDB = A : AEFB

48 Intelectum 1.°

Cuando en una región cuadrangular cóncava o convexa se trazan segmentos que determinan otras regiones cuadrangulares dentro o fuera de la primera, entonces se sabe que estas regiones se encuentran relacionadas de las siguientes maneras:

G a. Relaciones de áreas en regiones cuadrangulares B

B

N C

M

S

A

N S

K M

A

D

L

C

& AdABCD = 2(AdKLMN) = 2S

B

K

S1

R1

D L

R2

S2

C

A

D

& R1 R2 = S1S2

& AdABCD = 2(AdKLMN) = 2S

b. Relaciones de áreas de trapecios B

C

R1 S

B

C

S

S

M

D

A

2

D

A

& AdABCD = 2 S

& S = R1R2

C S

S

R2 A

M

B

D

N

& AdABMN = AdNMCD = S

c. Relaciones de áreas de paralelogramos P

B

B

C

S1 S A

A

D

& AdABCD = 2(ATAPD) = 2S

B

C I

S1

C

S2 E D

A

& S1 + S2 = 1 AdABCD 2

S2 D

& S1 + S2 = 1 AdABCD 2

ÁREAS DE REGIONES cIRcUlARES

Una región es circular cuando su contorno lo conforma una circunferencia y su área es igual al cuadrado de la longitud de su radio multiplicado por el número irracional pi (π); que aproximadamente es igual a 3,141592654... P

Si cortamos un círculo compuesto de cuerdas por el segmento PO, se origina el siguiente triángulo isósceles P1OP2 O

O R ,c

P1

h H

P2

` Sabemos que las regiones del círculo y el triángulo son equivalentes, por lo tanto sus áreas son iguales, entonces: A5 = A9 , pero A9 = 1 (base)(altura) ... (I) 2 Sabemos que la longitud de la circunferencia es igual a la longitud de la base de triángulo, así también la longitud del radio es igual a la longitud de la altura triángulo, entonces ,c = 2πR = P1P2 y h = R = OH; reemplazando en (I): A9 = 1 ,c h & A9 = 1 (2πR)(R) & A9 = πR2; pero área del círculo < > área del triángulo & A5 = πR2 2 2


49

Tipos de regiones circulares A) Círculo Una región circular o círculo es aquella región plana cuyo contorno es una circunferencia.

B) Sector circular Es aquella región plana comprendida entre dos radios distintos y el arco que estar determinar. A

Atención

R

Notación de las áreas de regiones circulares: a) Notación del área de un círculo: A5 = S; Se lee: área de la región circular.

O

f) Notación del área de una faja circular: A PQMN = S Se lee: área de la faja circular comprendida entre las cuerdas PQ y MN.

,AB

R B

& A5 = πR2 donde R es radio y O es centro.

A

C) Segmento circular Es aquella región plana limitada por un arco y la cuerda que une los extremos de dicho arco.

AOB =

1, R & 2 AB

A

AOB =

q πR2 d 360 o n

D) Corona circular Es aquella región plana contenida entre dos circunferencias concéntricas.

A R

d) Notación del área de una corona circular: AV = S Se lee: área de la corona circular. e) Notación del área de un trapecio circular: A MNPQ = S Se lee: área del trapecio circular comprendido entre los arcos MN y PQ.

R

R

b) Notación del área de un sector circular: A MON = S Se lee: área del sector circular con centro en O y arco MN. c) Notación del área de un segmento circular: A MN = S Se lee: área del segmento circular comprendido en el arco MN.

O θ

O θ R

R

O

,AB

r

R B

A = A - A 9 AOB & A = &

2 ,! AB R - R senq 2 2

A &

2 A AB = R d pqo - senq n 2 180

E) Trapecio circular Es aquella porción de corona circular limitada entre dos radios distintos.

=A R -A A

r

= πR2 - πr2

& A

= (R2 - r2)π

F) Faja circular Es aquella porción de círculo comprendida entre dos cuerdas paralelas.

A M r

O

R

q

2 3 4

A =A

AOB

A MNAB = qpo (R2 - r2) 360

A = A5 - (A

β

B

R O

R

N

AB

+A

MN );

2 2 βπR2 R2 senβ A =πR2- e απRo - R senα + o o

Entonces: A

50 Intelectum 1.°

α

B

- A MON q q A = πR2 d 360 o n - πr2 d 360 o n

&

R R

M N

1

A

ABMN

360

2

360

2

a+b 2 = πR2 d1 - 360 o n + R (sena + senb) 2

G


Calcula el área de la región sombreada. E

B

5

En la figura halla el área del cuadrilátero ABCD.

C

4

D

Resolución: Por relación de áreas: (ATABO) (ATCOD) = (ATBOC) (ATAOD); reemplazando: (8)(9) = (2)(ATAOD) 36 = ATAOD

Sea S el área de la región sombreada, entonces: S = SdABCD - S AED (4 ) (4 ) S = 42 2 ` S = 16 - 8 = 8

Por lo tanto : AABCD = 8 + 2 + 9 + 36 = 55 m2 6

La altura de un triángulo mide 12 cm y su base mide la mitad de la altura. Determina su área.

Calcula el área de un círculo si su diámetro es igual al lado de un cuadrado de área igual a 36 m2.

Resolución:

Ad = 36 m2 L2 = 36 m2 L=6m Dato: 2r = L & r = 3 m A5 = π(3 m)2 & A5 = 9π m2

Resolución: Si h = 12 cm & b = 12 cm 2 b = 6 cm

12 cm

Luego: AT = bh 2 6 (12) AT = 2 & AT = 36 cm2

6 cm

3

A

7

r

O

B

Halla el área del círculo mostrado, si: R = 6 m.

A

R

R B

Resolución: Usando la fórmula de Herón: p = 13 + 14 + 15 = 21 2

B 15 cm

A

14 cm

A

6 O

AT = 21 (21 - 13) (21 - 14) (21 - 15) C

30° 2r 30°

AT = 84 cm

b

a

5 cm

b

a

O

Del gráfico: 3r = 6 r=2 A5 = πr2 = π(2)2 A5 = 4π m2

r

6 B

8

Halla el área de la región sombreada: B

El perímetro de un rectángulo mide 14 cm. Si su diagonal mide 5 cm, calcula el área del rectángulo.

Resolución:

r

AT = 21 (8) (7) (6) 2

O

60°

O

Resolución:

4

r

Los lados de un triángulo miden 13 cm, 14 cm y 15 cm. Halla el área de la región triangular.

13 cm

9 m2

A

D

Resolución:

2

2 m2

8 m2 O

4 A

C

B

6m

C

6m A

Perímetro: 14 = 2a + 2b 7=a+b ...(I) Por el teorema de Pitágoras: a2 + b2 = 52 ...(II)

Resolución:

Resolviendo (I) y (II): a = 3 / b = 4 Por lo tanto, el área: A = (3)(4) = 12 cm2

A = 62 -

D

Por diferencia de áreas: A=

p (3) 2 = 36 - 9p = 9 (8 - p) m 2 2 2 2 GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4

51

GEOMETRÍA DEL ESPACIO DEfINIcIóN Como sabemos, la geometría plana estudia las figuras planas, las cuales son aquellas que tienen todos sus puntos en un mismo plano. Ahora bien, la geometría espacial tiene por objeto el estudio de las figuras sólidas o del espacio, es decir, de las figuras cuyos puntos no pertenecen todas a un mismo plano, sino al espacio tridimensional. Por ejemplo: Atención La geometría del espacio siempre nos rodea desde lo más pequeño (las moléculas), hasta lo más grande (las estrellas) Ejemplos: • El cristal iónico NaCl (sal común) tiene forma cúbica.

Prisma

Pirámide

Esfera

SólIDOS GEOMéTRIcOS Ejemplos NaCl

• El Sol tiene una forma esférica.

L

Un sólido geométrico es aquella porción del espacio separada del espacio inmediato, por un conjunto de puntos que forman la superficie del sólido. Los sólidos de acuerdo a su superficie pueden ser: poliedros, cuerpos de revolución y cuerpos irregulares. Poliedro irregular

Cuerpo de revolución

REcTAS y plANOS EN El ESpAcIO La recta

Es un ente geométrico definido, sobre las cuales se apoyan las definiciones de otras representaciones geométricas.

L

Axioma de la recta La recta es la unión de infinitos puntos colineales, sin un punto de origen.

B A

El segmento que une dos puntos en el espacio es parte de una recta. Notación: recta L o L recta AB o AB

El plano Si se piensa en una superficie llana, perfectamente lisa y sin espesor, que se extiende indefinidamente en todas las direcciones, se tendrá una buena idea de lo que se supone es una superficie plana o simplemente un plano. Por ejemplo: la superficie del tablero de una mesa perfectamente lisa nos da una idea aproximada de una parte de la superficie plana y si la imaginamos de extensión ilimitada, tendremos la idea de un plano.

52 Intelectum 1.°

G

Un plano en el espacio se representa por medio de Axioma del plano un paralelogramo. Tres puntos no colineales determinan un plano al cual pertenecen. A P

Notación:

C

B

plano P o 6 P

Atención

H

Los puntos que pertenecen a un mismo plano se llaman puntos coplanarios.

{A; B; C} ! 6 H

Un plano, se determina mediante los siguientes teoremas: er

H

do

er

1. teorema: una recta y un punto 2. teorema: dos rectas que se 3. teorema: dos rectas paralelas exterior a ella determinan un plano. intersecan (secantes) determinan determinan un plano. un plano. A

L

β

L

L

Q

P

A ! 6P / L16P

β

R

L 1 6R / b16R

L 1 6Q / b16Q

Nota

El espacio Axioma del espacio El espacio contiene al menos cuatro puntos no coplanarios ni colineales.

Dos puntos cualesquiera de un plano determinan una recta contenida en el plano.

c b

d

Esto nos indica que el espacio no es llano.

a; b; c; d están en diferentes caras del cubo.

B A H

L

a {A; B} ! 6H /

L 1 6H

Posiciones relativas en el espacio A) Posiciones relativas entre dos planos: Planos paralelos: dos planos son paralelos entre sí Planos secantes: son dos planos que tienen una cuando no tienen un punto en común, es decir, no se recta en común denominada arista o traza de un plano sobre otro. intersecan. Si: 6P + 6Q = Q & 6P // 6Q Q: vacío o nulo.

P Q

L

Si: 6P + 6Q = L & 6P / 6Q son secantes.

P

Observación Tres puntos no siempre forman un plano (puntos colineales).

A

B

L

C H

{A; B; C} ! 6H / L 1 6H

Q

B) Posiciones de una recta y un plano en el espacio: Una recta puede estar contenida Una recta puede ser secante a un Una recta puede ser paralela a un plano. en un plano. plano. L L L P

L 1 6P

P

O

L + 6P = {Q}; Q: punto.

P

L + 6P = Q; Q: vacío.


53

Proyecciones en el espacio a) Proyección de un punto sobre b) Proyección de una recta sobre c) Proyección de una figura un plano. un plano. cualquiera sobre un plano. L

A

Recuerda Una recta pertenece a un plano o está contenida en él, si tienen al menos dos puntos comunes. L

B

A

P

Notación: {A; B} ! 6P {A; B} ! L & L 1 6P El espacio contiene al menos cuatro puntos no coplanares, esto nos indica que el espacio no es llano.

β A'

H

H S H

A" H A’ ! H

Teorema de Thales

Si tres o más planos paralelos son intersecados por dos rectas, los segmentos entre los planos tienen longitudes proporcionales.

Si: fP//fQ//fR &

B A

A

P

D

P

S es el área proyectada del cubo sobre el plano H.

B es proyección de L sobre el plano H.

AC = BD CE DF

B D

C

Q

C

E

R

F

L1

L2

pOlIEDROS Un poliedro es un sólido geométrico formado por regiones poligonales contiguas, situadas en distintos planos que constituyen las caras. Para ser un poliedro debe tener un mínimo de 4 caras.

B

G

F C

B D

A

A

C E

H

D

Poliedro de 6 caras

Poliedro de 4 caras

Elementos

Atención La condición necesaria y suficiente para que dos planos coincidan es que tengan tres puntos comunes no colineales. B

A P

C

Cara: cada una de las regiones poligonales que las liDiagonal mitan. Vértice Arista: cada una de las intersecciones de sus caras. a Vértice: cada uno de los puntos en que concurren sus b c aristas. Ángulo diedro: ángulo formado por dos caras consecuα tivas. Ángulo poliedro: los anguloides de cada vértice. Diagonal: el segmento de recta que une dos vértices no a: ángulo diedro. a; b y c: ángulos del poliedro. situados en una misma cara.

Arista Cara

Clasificación Poliedros irregulares: sus caras son Poliedros regulares: sus caras son regiones poligonales regiones poligonales irregulares, desiguales regulares congruentes y todos sus diedros y anguloides y cuyos anguloides no son congruentes del también son congruentes. todo.

Tetraedro

54 Intelectum 1.°

Cubo

Octaedro

Dodecaedro Icosaedro

G Hexaedro regular o cubo: limitados por 6 regiones Paralelepípedo rectangular o rectoedro: es aquel cuadradas. poliedro cuyas caras son rectángulos. d

D

a

a

a

AT = 6a2

V = a3

D=a 3

d=a 2

AT = 2(ab + bc + ac) c

D b

a

d: diagonal de una de las caras del cubo. AT: área total de la superficie del cubo. V: volumen del cubo. D: diagonal del cubo.

a2 + b2 + c2

D=

V = abc

AT: área total del paralelepípedo. D: diagonal del paralelepípedo. V: volumen total del paralelepípedo

Atención

pIRÁMIDE

Sólido (poliedro), cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales son triángulos que tienen un vértice en común.

poliedros regulares hechos de roca

Elementos Vértice: es el vértice común de las caras triangulares. Caras laterales: son las caras triangulares. Base (S): es la cara no lateral que tiene la forma de un polígono. Altura (h): es la perpendicular trazada del vértice a la base.

Vértice

Arista lateral

Los 5 poliedros regulares son bien conocidos como sólidos platónicos. Es indeterminada la fecha de inicio de su estudio.

Cara lateral

h S

Arista de la base

Pirámide regular

Una pirámide es regular si la base es una región poligonal regular y sus aristas laterales son congruentes. Pirámide triangular

Pirámide cuadrangular

h

h Ap S

Base: triángulo equilátero.

AL: área lateral. AT: área total.

Ap

h

S

Ap

S

Base: cuadrado.

Base: hexágono regular. V = 1 Sh 3

AT = AL + S

AL = (semiperímetro de la base)Ap Donde:

Pirámide hexagonal

h: altura de la pirámide. Ap: apotema de la pirámide.

V: volumen. S: área de la base.

pRISMA

Se llama prisma a aquel poliedro limitado lateralmente por varias regiones paralelográmicas y dos regiones poligonales congruentes cuyos planos que las contienen son paralelos.

Elementos Bases: son las regiones poligonales congruentes y paralelas: ABC y DEF. Caras laterales: son regiones paralelográmicas cuya cantidad es igual al número de lados de la base y forman la superficie lateral del prisma: ABED, EBCF, CFDA. Aristas laterales: son las intersecciones de las caras laterales: AD; BE; CF. Altura (h): Es la distancia entre las bases.

Vértice

F

D Arista lateral

E

Cara lateral

h C

A Arista de la base

B


55

Prisma recto Cuando las aristas laterales son perpendiculares a las bases. En este caso, las caras laterales son regiones rectangulares y la altura coincide con las aristas laterales. Prisma cuadrangular

Prisma triangular

S

S

Recuerda El cubo está formado por 6 cuadrados iguales. a

h

h

h S

a

Desarrollo de un prisma recto: AL = c

S

Área lateral

S

V = Sh

Perímetro de la base

S

Perímetro mh de la base

AT = 2S + AL

h

h: altura S: área de la base.

a

a

Prisma hexagonal

AL: área lateral.

AT: área total.

V: volumen.

a

cIlINDRO

a a

a a

a

a

a

Es el sólido limitado por una superficie cilíndrica y por dos planos paralelos entre sí, secantes a todas las generatrices.

Elementos a

a

Un tetraedro regular está formado por 4 triángulos equiláteros.

Base (B): bases congruentes, contenidas en dos planos paralelos entre sí y secantes a todas las generatrices. Directriz: es una línea curva plana. Generatriz (g): recta que se desplaza paralelamente a sí misma a lo largo de la directriz. Superficie lateral: es la superficie generada por la generatriz y que es secante a las bases.

Generatriz (g)

P

Superficie lateral

Directriz (curva cerrada)

Cilindro circular recto a

Es aquel cilindro recto cuyas bases son círculos.

a a

a

a a

R

a

a a

Ab = πR2 Área lateral

hog

V = πR2h

a

a a a

AL = 2πRh o 2πRg

ATb = 2πR2

AT = 2πR(g + R)

2πR a

Donde: R: radio de la circunferencia. AL: área lateral del cilindro.

Ab: área de la base. AT: área total del cilindro.

ATb: área total de las bases. V: volumen del cilindro.

ESfERA

Sólido formado por infinitas superficies circulares congruentes con un mismo centro que se intersecan entre sí en una misma línea cuya medida es la diagonal de las circunferencias.

R D

R R

R

Circunferencia máxima

V = 4 πR3 3

56 Intelectum 1.°

Circunferencia menor

As = 4πR2

Elementos: R: radio de la esfera D: diámetro de la esfera V: volumen total de la esfera As: área de la superficie esférica

D = 2R

G


Con una región rectangular ABCD se construye la superficie lateral de un prisma hexagonal regular tal que AB sea una arista lateral; AB = 5 y BC = 24. Calcula el volumen del prisma correspondiente a dicha superficie.

4

Resolución: Sea el cilindro:

Resolución: B

24

B

5

a

a Aa

C

a

A

R

D

Dato: 6a = 24 & a = 4 Piden: V = Abase(h)

5

2 Abase = 4 3 # 6 = 24 3 4 V = 24 3 # 5 & V = 120 3

2

h = g = 10R

5

a a

Si el área total de un cilindro es 198π cm2 y su altura es 10 veces su longitud del radio del círculo de su base. Halla el radio.

Datos: h = g = 10R; AT = 198π cm2 Área total del cilindro es: AT = 2πR(g + R) Reemplazando: 198π = 2πR(10R + R) 198 = 22R2 & R = 3 cm

Una pirámide triangular regular tiene 15 cm de apotema. Si el lado de la base es 6 cm, halla su área total.

Resolución: Sea la pirámide regular triangular:

Calcula x, si AT = 54π. Ap = 15 cm x

S x

Nos piden: área total AT = AL + S La base es un triángulo equilátero de lado 6 cm, entonces:

Resolución: Sabemos: AT = 2πR(g + R) ...(1) Del dato: g = h = x; R = x y AT = 54π 2 Reemplazando datos en (1): 2 54π = 2π x ` x + x j & 54 = 3x 2 2 2

S = 1 ^3 3 h 6 2 S=9 3

36 = x

` x=6

9

6

C

B

3

A

D

Resolución:

O 6 A

9

C

B

3 6

D

Piden: S (h) V = base 3 Datos: Sbase = 6 # 3 = 18 h=6 Entonces: 18 (6) V= & V = 36 3

30° 3 3

6 60° 3

perímetro = 6 + 6 + 6 = 18 semiperímetro = 9 AL = (semiperímetro) Ap AL = 9 # 15 = 135 cm2 AT = 135 + 9 3 AT = 135 + 9(1,732) AT = 150,59 cm2

La figura muestra un rectoedro. Calcula el volumen de la pirámide O - ABCD. O

6

3

2

3

6

6

En una pirámide cuadrangular regular, el área total es 360 u2 y su apotema mide 13 u, calcula el volumen de la pirámide.

Resolución:

12 5 a = 10

13 5

10

AT = Abase + AL 360 = a2 + 4 c a13 m 2 360 = a2 + 26a a2 + 26a - 360 = 0 & a = 10 Piden V: V = 100 # 12 & V = 400 u3 3


57

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL PLANO CARTESIANO DEfINIcIóN

Las transformaciones geométricas son correspondencias que asocian a dos puntos en el plano cartesiano; es decir la modificación de la posición de un punto origina un segundo punto. Estas modificaciones de la posición pueden ser originadas por: • Simetría • Traslación • Rotación

Se representa como (Sim). Se representa como (Tras). Se representa como (Rot).

SIMETRÍA EN El plANO cARTESIANO Simetría puntual (de un punto)

En el plano cartesiano, un punto es simétrico de otro cuando ambos equidistan de un tercer punto fijo, el cual sería el punto de referencia simétrica. y

Observación

P'(x'1; y'1)

Si el punto de referencia simétrica Q coincide con el origen de coordenadas (0; 0), tendremos:

x

P'(x'1; y'1)

Si PO = OP' & P' es simétrico a P. ` P' = Sim P(O)

x

Simetría puntual (de una figura)

En el plano cartesiano una figura es simétrica de otra cuando todos los puntos contenidos en la primera figura equidistan de los puntos contenidos en la segunda con respecto de un punto fijo; el cual sería el punto de referencia simétrica. y

Además: Q(x0; y0) = O(0; 0) & coordenadas de P':

P(x1; y1)

O

P(x1; y1)

O(0; 0)

A'(x'1; y'1)

B'(x'2; y'2)

f'

C(x3; y3)

x1' = - x1 y1' = - y1

Q(x0; y0) f

C'(x'3; y'3)

B(x2; y2)

0

Si el punto de simetría Q(x0,y0) coincide con el origen de coordenadas O(0; 0); tendremos: A' = Sim A(0) Coordenadas de A': x1' = -x1 x1' = -y1 B' = Sim B(0) Coordenadas de B': x2' = -x2 x2' = -y2

x

f ' es simétrico a f con respecto de Q.

A' = Sim A(Q) Coordenadas de A':

B' = Sim A(Q) Coordenadas de B':

C' = Sim A(Q) Coordenadas de C':

x1' = 2x0 - x1

x2' = 2x0 - x2

x3' = 2x0 - x3

y1' = 2y0 - y1

y2' = 2y0 - y2

y3' = 2y0 - y3

Simetría axial (de un punto)

En el plano cartesiano, dos puntos son simétricos entre sí, respecto de una recta L, si la distancia de ambos puntos a dicha recta es la misma. y

C' = Sim C(0) Coordenadas de C':

P(x; y) d

x3' = -x3 x3' = -y3

d 0

58 Intelectum 1.°

Si: AQ = QA' f ' = Sim f(Q) es simétrica a la figura f. BQ = QB' & CQ = QC' Se representa: f ' = Sim f(Q) y se lee: La figura f contiene infinitos puntos pero elegimos tres de ellos (A; B y C). Hallamos sus respectivos puntos simétricos (A'; B' y C') de esa manera ubicamos la figura f '.

A(x1; y1)

Nota

Z ] x1' = 2x - x 0 1 ] Coordenadas de P': [ ] y ' = 2y - y ] 1 0 1 \

Q(x0; y0)

y

Si P'Q = QP & P' es simétrico a P. Se representa: P' = Sim P(Q). y se lee: P' es simétrico a P con respecto a Q.

L

Si PP' es perpendicular a L y además PH = HP'. & P' es simétrico a P con respecto a la recta L.

H

Se representa: P' = Sim P( L )

P'(x'; y') x

G Simetría axial: (de una figura)

Nota

En el plano cartesiano, una figura es simétrica de otra, con respecto de una recta fija L, si a todos los puntos contenidos en la primera figura le corresponden otros puntos contenidos en la segunda figura, de tal manera que L es mediatriz de las rectas formadas entre los puntos homólogos de ambas figuras. De esa manera L pasaría a ser el eje de simetría entre dichas figuras. y

La simetría también es conocida como reflexión.

B'(x'2; y'2) L

Observación

Si: AH1 = H1A' BH3 = H3B CH2 = H2C'

C'(x'3; y'3)

f'

H3 C(x3; y3)

H2

A'(x'1; y'1) H1

y AA'; BB' y CC' son perpendiculares a L. & la figura f ' = Sim f( L )

f

A(x1; y1)

En una transformación geométrica cuando todos los puntos homólogos coinciden con los puntos dados, la transformación se llama identidad o coincidente.

B(x2; y2)

0

x

De la figura f tomamos tres puntos cualesquiera (A; B y C) y hallamos sus puntos simétricos con respecto a la recta L, es decir, sus puntos homólogos (A'; B' y C') y de esa manera ubicamos f '. A' = Sim A(

B' = Sim B( L )

L)

C' = Sim C( L )

Propiedades: Si el eje de simetría coincide con alguno de los ejes de coordenadas (eje x; eje y). Simetría con el eje x (si L = x)

Simetría con el eje y (si L = y)

y

y P(x1; y1) P(x1; y1) x

O

De un punto

P'(x'1; y'1)

& P' = Sim P(y) ` Las coordenadas de P' son: x1' = -x1 y1' = y1

& P' = Sim P(x) ` Las coordenadas de P' son: x1' = x1 y1' = -y1

y

De una figura

A'(x'1; y'1)

C'(x'3; y'3) O

& f' = Sim f(x) ` Las coordenadas de tres puntos de f ' son: B'(x'2; y'2) x1' = x1 A': f' y1' = -y1 x

C(x3; y3)

B':

f A(x1; y1)

B(x2; y2)

x

O

P'(x'1; y'1)

C':

C(x3; y3)

f

y2' = -y2 y3' = -y3

C'(x'3; y'3)

A:

x2' = x2 x3' = x3

y

& f ' = Sim f(y) ` Las coordenadas de tres puntos de F' son:

f'

B:

B(x2; y2) A(x1; y1)

B'(x'2; y'2) O

A'(x'1; y'1) x

C:

x1' = -x1 y1' = y1 x2' = -x2

y2' = y2

x3' = -x3

y3' = y3


59

TRASlAcIóN EN El plANO cARTESIANO Traslación de un punto En el plano cartesiano, un punto P(x1; y1) varía su posición por traslación cuando se desplaza x0 unidades horizontalmente así como y0 unidades verticalmente; donde x0 e y0 son las coordenadas de la flecha V(x0; y0), de tal manera que V es paralela al segmento PP'; siendo P' la posición final de P. Recuerda El plano cartesiano esta dividido en cuatro regiones denominadas cuadrantes, las cuales estan limitados entre sí por los ejes de coordenadas:

y

Segundo cuadrante IIC Tercer cuadrante IIIC

Primer cuadrante IC Cuarto cuadrante IVC

Si PP' // V y PP' ≅ V; además, V(x0; y0) parte del origen de coordenadas.

y P(x1; y1)

y0

x

& P' es la traslación del punto P en dirección y sentido de V(x0; y0)

V P'(x'1; y'1) y0

d

x0 unidades horizontalmente e y0 unidades verticalmente.

x0 V (x0; y0)

d

O

` Se representa: P' = Tras P(V ) x

x0

Coordenadas de P':

x1' = x1 + x0 y1' = y1 + y0

El sentido de la traslación de un punto P está dado por los signos de las coordenadas de la flecha V(x0; y0). IIC -x0 +y0

y P'

P

P

P

P

V(-x0; y0) V(-x0; -y0) -x0 -y0

• Si x0 es positivo, el punto P se traslada a la derecha ".

IC

P'

+x0 P' +y0

• Si x0 es negativo, el punto P se traslada a la izquierda !.

V(x0; y0) x V(x0; -y0)

• Si y0 es positivo, el punto P se traslada hacia arriba -.

P' +x 0 -y0

IIIC

• Si y0 es negativo, el punto P se traslada hacia abajo ..

IVC

Traslación de una figura

Observación La distancia de traslación “d” de P a P' es igual a la longitud de la flecha V. & d=

En el plano cartesiano, una figura varía su posición por traslación cuando todos los puntos contenidos en dicha figura se desplazan x0 unidades horizontalmente, así como y0 unidades verticalmente, donde x0 e y0 son las coordenadas de la flecha V(x0; y0); además, la distancia que recorren los puntos de la figura es igual a la longitud de V. y

x02 + y02

C'(x'3; y'3)

V (x0; y0)

f'

C(x3; y3)

A'(x'1; y'1) f A(x1; y1)

B'(x'2; y'2) x

B(x2; y2)

Si AA'; BB' y CC' son paralelos a V(x0; y0) y AA' = BB' = CC' = d Entonces, f' es la traslación de f en la dirección y sentido de V(x0; y0); x0 unidades horizontalmente e y0 unidades verticalmente. Y representa como: f' = Tras f(V )

60 Intelectum 1.°

donde d es la distancia de traslación: d =

x02 + x02

G

De la figura f tomamos tres puntos A; B y C y los trasladamos siguiendo la dirección y sentido de V (x0 unidades horizontalmente e y0 unidades verticalmente); obtenemos así los puntos A'; B' y C' que a su vez pertenecen a la figura F'; de esta manera ubicamos F'. A' = Tras A(V ) Coordenadas de A':

B' = Tras B(V ) Coordenadas de B':

C' = Tras C(V ) Coordenadas de C':

x1' = x1 + x0

x2' = x2 + x0

x3' = x3 + x0

y1' = y1 + y0

y2' = y2 + y0

y3' = y3 + y0

Propiedades Cuando las traslaciones se hacen en dirección de los ejes de coordenadas (eje x; eje y). Traslación en el eje x (si V(x0; 0))

Traslación en el eje y (Si V(0; y0))

y

y

P(x1; y1) V

De un punto

O

V (0; y0)

P'(x'1; y'1)

V x

O

V (x0; 0)

P(x1; y1)

x

& P' = Tras P(V ) donde: V(0; y0). ` Las coordenadas de P' son:

& P' = Tras P(V ) donde: V(x0; 0). ` Las coordenadas de P' son: y1' = y1

x1' = x1 + x0

P'(x'1; y'1)

y1' = y1 + y0

x1' = x1 y

y

C'(x'3; y'3)

C(x3; y3)

C'(x'3; y'3)

f

A'(x'1; y'1)

B'

B(x2; y2)

V (x0; 0)

De una figura

V (0; y0)

f'

A(x1; y1)

x

A'(x'1; y'1)

& f' = Tras f(V ) ` Las coordenadas de los tres puntos de f ' son: Punto A':

Punto B':

Punto C':

x1' = x1 + x0

x2' = x2 + x0

x3' = x3 + x0

y1' = y1

y2' = y2

y3' = y3

C

A(x1; y1)

f'

B'(x'2; y'2) x

f

B(x2; y2)

& f' = Tras f(V ) ` Las coordenadas de tres puntos de f ' son: Punto A: x1' = x1 y1' = y1 + y0

Punto B: x2' = x2 y2' = y2 + y0

Punto C: x3' = x3 y3' = y3 + y0

Se dice que una transformación geométrica es unívoca cuando a cada elemento de una figura le corresponde un elemento y solamente un elemento de la figura transformada. Así mismo, se dice que una transformación es biunívoca cuando a cada elemento de una figura le corresponde un elemento y únicamente un elemento de la figura transformada y a este, le corresponde un elemento y solamente un elemento de la figura original. GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4

61

ROTAcIóN EN El plANO cARTESIANO Rotación de un punto

Nota Cuando el centro de giro C(x0; y0) coincide con el origen de coordenadas.

En el plano cartesiano un punto varía su posición por rotación cuando gira un ángulo a con respecto a un punto fijo C, de tal manera que = '; además, C sería el centro de giro. y

y

P'(x'1; y'1)

P'(x'1; y'1)

• Se representa:

r

r P(x1; y1)

α

α

r

O

x

Además: C(x0; y0) = O(0; 0) Coordenadas de P': x'1 = x1cosa - y1sena

C(x0; y0)

O

Si OP = OP' y O(0; 0) es el centro de giro & P' = Rot P(O; a)

• Coordenadas de P':

P(x1; y1)

r

P' = Rot P(C; a)

x1' = x0 + (x1 - x0)cosa - (y1 - y0)sena

x

y1' = y0 + (x1 - x0)sena + (y1 - y0)cosa

El sentido de giro del ángulo a tiene por referencia el giro de las manecillas del reloj. y Giro antihorario (+)

P'

y1' = x1sena + y1cosa

α

P

C α (x0; y0)

Giro horario (-)

P''

Atención La rotación es una transformación unívoca; en la rotación, el centro de giro es el único punto doble.

Si: = ' y C(x0; y0) es el centro de giro & P' es la rotación del punto P con respecto a C(x0; y0) con una magnitud de a.

O

x

Si C(x0; y0) es el centro de giro y = ' = '': • El punto P' es producto de una rotación positiva pues su giro es en sentido antihorario & P' = Rot P(C; a). • El punto P'' es producto de una rotación negativa pues su giro es en sentido horario & P' = Rot P(C; -a). • El signo negativo representa un giro opuesto (horario) al giro original a (antihorario).

Rotación de una figura

En el plano cartesiano una figura varía su posición por rotación cuando todos los puntos contenidos en dicha figura giran un ángulo a en un sentido dado (horario o antihorario) con respecto a un punto fijo C(x0; y0), el cual será llamado centro de giro o centro de rotación. Observación El radio vector de un punto P(x; y) es igual a la longitud del segmento que une el origen de coordenadas (0; 0) con dicho punto P(x; y).

y Q'(x'2; y'2)

R'(x'3; y'3)

f' P'(x'1; y'1)

y O

P(x; y)

α

V x

& Vp = x2 + y2 donde VP es el radio vector del punto P(x; y).

O

C(x0; y0)

Q(x2; y2)

P(x1; y1)

x

f R(x3; y3)

P' = Rot P(C; a) Coordenadas de P':

Q' = Rot Q(C; a) Coordenadas de Q':

R' = Rot R(C; a) Coordenadas de R':

62 Intelectum 1.°

Si: CR = CR', = ', CQ = CQ' y C(x0; y0) es el centro de giro. & f' es la rotación de f un ángulo de a y con respecto a C(x0; y0). Se representa: f' = Rot f(C; a) De la figura f tomamos tres puntos P; Q y R y los rotamos un ángulo a y con respecto al punto C(x0; y0) obtenemos así a P'; Q' y R' que a su vez pertenecen a la figura f ', que vendría a ser la rotación de f en las condiciones dadas.

x1' = x0 + (x1 - x0)cosa - (y1 - y0)sena y1' = y0 + (x1 - x0)sena + (y1 - y0)cosa x2' = x0 + (x2 - x0)cosa - (y2 - y0)sena y2' = y0 + (x2 - x0)sena + (y2 - y0)cosa x3' = x0 + (x3 - x0)cosa - (y3 - y0)sena y3' = y0 + (x3 - x0)sena + (y3 - y0)cosa

G Propiedades

Cuando el ángulo de rotación (a) es recto (90°) o llano (180°). Respecto a un punto cualquiera Centro de giro C(x0; y0)

Respecto al origen de coordenadas Centro de giro O(0; 0) y

y P'(x'1; y'1)

P'(x'1; y'1) P(x1; y1)

C(x0; y0)

O

P(x1; y1)

& P' = Rot P(C; 90°)

& P' = Rot P(C; 90°) ` Las coordenadas de P' son: De un punto

` Las coordenadas de P' son:

y1' = y0 + x1 - x0

x1' = x0 - y1 + y0

x

O

x

x'2 = - y1

y'1 = x1

y

y

P(x1; y1)

P(x1; y1)

P'(x'1; y'1)

P'(x'1; y'1)

x

O

& P' = Rot P(C; 180°) ` Las coordenadas de P' son:

& P' = Rot P(O; 180°) ` Las coordenadas de P' son:

y1' = 2y0 - y1

x1' = 2x0 - x1 Q'(x'2; y'2)

f

R'(x'3; y'3)

P(x1; y1)

P(x1; y1) x

O

x

& f' = Rot f(0; 90°) ` Las coordenadas de 3 puntos:

& f' = Rot f(C; 90°) ` Las coordenadas de 3 puntos:

De una figura

Q(x2; y2)

P'(x'1; y'1)

f O

R(x3; y3)

f'

Q(x2; y2)

P'(x'1; y'1) C(x0; y0)

y

Q'(x'2; y'2)

R(x3; y3)

R'(x'3; y'3)

y1' = - y1

x1' = - x1

y f'

x

O

C(x0; y0)

x1' = x0 - (y1 - y2)

x2' = x0 - (y2 - y0)

x3' = x0 - (y3 - y0)

x1' = - y1

x2' = - y2

x3' = - y3

y1' = y0 + (x1 - x0)

y2' = y0 + (x2 - x0)

y3' = y0 + (x3 - x0)

y1' = x1

y2' = x2

y3' = x3

& f' = Rot f(C; 180°) ` Las coordenadas de tres puntos: x1' = 2x0 - x1

y

P'(x'1; y'1)

Q'(x'2; y'2) f'

R'(x'3; y'3) O

& f ' = Rot f(C; 180°) ` Las coordenadas de tres puntos: y

y1' = 2y0 - y1 R(x3; y3) C(x0; y0)

f

P(x1; y1)

R(x3; y3)

x2' = 2x0 - x2

Q'(x'2; y'2)

y2' = 2y0 - y2

x

x3' = 2x0 - x3 y3' = 2y0 - y3

O

P'(x'1; y'1) f'

R'(x'3; y'3) Q'(x'2; y'2)

x1' = -x1

Q(x2; y2)

y1' = -y1

f P(x1; y1) x

x2' = -x2 y2' = -y2 x3' = -x3 y3' = -y3


63


Halla el punto simétrico a P(-5; -3) con respecto al punto (-2; -1). y

4

P'(x'; y')

Halla el radio vector del punto resultante de la traslación de A(-3; 2). Si este punto ha sido trasladado siguiendo la dirección de la flecha (0; -8).

Resolución: x

Q(-2; -1)

& Piden: A' = Tras A(V )

y

A(-3; 2)

x

P(-5; -3) r

Resolución: Piden: P' = Sim P(Q) P' = Sim(-5; -3)(Q)

& Q(-2; -1)

x0 = -2 y0 = -1

& P(-5; -3)

x = -5 y = -3

Hallamos las coordenadas de P'(x'; y'): x' = 2(-2) - (-5) & x = 1 y' = 2(-1) - (-3) & y = 1 ` P'(1; 1) 2

V A'(x'; y')

5

Halla el radio vector del punto simétrico a (-6; 8) con respecto al eje y.

A(-6; 8)

Radio vector A'(6; 8) & VA' =

3 (4) & y' = 2 + 2 3 2 Piden (x')(y') & x'y' = -2 - 2 3

y' = 2 +

6 V (1; 1) A'(x'; y') V

A(1; 2) x

62 + 82 & VA = 10

y

Piden: A' = Rot A(C'; 60°) A' = Rot(1; 2)(C; 60'); C(-3; 2) x=1 x0 = -3 y=2 y0 = 2

Coordenadas da A'(x'; y'): x' = (-3) + (1 - (-3))cos60° - (2 - 2)sen60° x' = -3 + 4 (1/2) & x' = -1 y' = (2) + (1 - (-3))sen60° + (2 - 2)cos60°

Hallar las coordenadas de la traslación del punto A(2; -1) en dirección de la flecha V(1; 1)

Resolución:

y

60° C (-3; 2)

x

O

Resolución:

y

P(-3; 5)

Piden: P' = Rot P(O; 45°) P' = Rot(-3; 5)(O; 60°); O(0; 0) x = -3 x0 = 0 y=5 y0 = 0

A(2; -1)

Piden A' = Tras A(V )

Coordenadas de A'(x'; y'): x' = (2) + (1) y' = (-1) + (1) & A'(3; 0) x' = 3 y' = 0

64 Intelectum 1.°

` A'(- 1; 2 + 2 3 )

Halla las coordenadas de la posición final de (-3; 5), si este punto ha rotado 45° con respecto al origen de coordenadas, en sentido antihorario.

x

A' = Tras(2; -1)(V ); donde V(1; 1) x=2 x0 = 1 y = -1 y0 = 1

(- 3) 2 + (- 6) 2 & VA' = 3 5

Resolución:

Piden: A' = Sim(-6; 8)(y) (x'; y') = Sim(-6; 8)(y) & x' = -(x) y' = y x' = -(-6) y' = 8 ` A'(6; 8)

A'(x'; y')

V(0; -8)

Halla el producto de las coordenadas de A', Si dicho punto es resultado de la rotación de 60° de A(1; 2) con respecto al punto (-3; 2), en sentido antihorario.

A'(x'; y') y

x' = -3 y0 = -6 & A'(-3; -6)

Radio vector A'(-3; -6) & VA' =

Resolución:

3

A' = Tras(-3; 2)(V ); V(0; -8) x = -3 x0 = 0 y=2 y0 = -8 Coordenadas de A'(x'; y'): x' = (-3) + 0 y0 = (2) + (-8)

P'(x'; y')

45°

-x

Coordenadas de P'(x'; y') x' = (-3)cos45° - (5)sen45° x' = - 3 2 - 5 2 2 2 x’ = - 4 2 ` P' = (- 4 2 ; 2 )

O

y' = (-3)sen45° + (5)cos45° y' = - 3 2 + 5 2 2 2 y' = 2

Tr i g o n o m e t r í a

Intelectum Trigonometría

It

Indicadores

de logro

Unidad 1

Unidad 2

• • • • •

• Denota e identifica correctamente un sector circular. • Analiza y comprende las relaciones usadas para el cálculo de sectores circulares. • Aplica las distintas relaciones estudiadas para calcular el área de un sector circular identificando correctamente sus elementos. • Determina el área de trapecios circulares utilizando las fórmulas dadas. • Evalúa y comprende las distintas razones trigonométricas. • Identifica las razones trigonométricas recíprocas y las de ángulos complementarios. • Utiliza las propiedades de las razones trigonométricas para la resolución de problemas. • Calcula el valor de cada una de las razones trigonométrica de un ángulo agudo. • Aplica las razones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos.

• • • • • •

Define cada uno de los elementos del ángulo trigonométrico. Identifica los ángulos negativos y positivos. Representa gráficamente un ángulo trigonométrico. Analiza las conversiones a otros sistemas angulares. Reconoce la equivalencia entre los distintos sistemas angulares (sexagesimal, centesimal y radial). Utiliza la fórmula de conversión para las conversiones de ángulos a otros sistemas. Utiliza correctamente las notaciones al realizar las conversiones. Analiza la longitud de arco de una circunferencia. Calcula la longitud del arco de una circunferencia. Representa gráficamente un arco dentro de una circunferencia. Demuestra las razones trigonométricas relacionándolas con un triángulo rectángulo.

LOS AVIONES El transporte aéreo de hoy en día exige un riguroso control de las aeronaves al momento del despegue y aterrizaje. Para ese tipo de controles es necesario conocer la ubicación exacta respecto al suelo terrestre. La ingeniería aeronáutica se ha valido de conceptos de ángulos de elevación y depresión para guiar a los pilotos en el momento del despegue y/o aterrizaje. Desde la torre de control de los aeropuertos se mantiene informado constantemente al piloto sobre la posición de la nave y el ángulo que debe adoptar para una correcta maniobra.

Contenido: Unidad 1

Unidad 2

• Ángulo trigonométrico.

• Área del sector circular.

• Sistemas de medición angular.

• Razones trigonométricas de ángulos agudos.

• Longitud de arco.

• Propiedades de las razones trigonométricas.

Unidad 3

• Triángulos rectángulos notables. • Razones trigonométricas de ángulos notables. • Resolución de triángulos rectángulos. • Ángulos verticales.

Unidad 4

• Sistema de coordenadas cartesianas. • Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. • Reducción al primer cuadrante. • Sistema métrico decimal.

Unidad 3

Unidad 4

• Identifica y distingue entre triángulos notables exactos, aproximados y pitagóricos. • Identifica gráficamente el tipo de triángulo notable y calcula el valor de sus lados. • Relaciona los lados del triángulo utilizando razones trigonométricas. • Analiza cada uno de los triángulos notables dados. • Utiliza las distintas razones trigonométricas para el cálculo de medidas y áreas en triángulos rectángulos. • Define las razones trigonométricas para triángulos exactos, aproximados y notables. • Aplica las razones trigonométricas en los ángulos exactos, aproximados y notables. • Discrimina entre ángulo de elevación y depresión. • Representa gráficamente ángulos verticales y emplea las razones trigonométricas para la resolución de problemas.

• Ubica, utilizando pares ordenados, rectas y figuras planas en el plano cartesiano. • Calcula el punto medio de segmentos dentro del plano cartesiano. • Calcula la distancia de dos puntos usando pares ordenados. • Define un radio vector y lo representa gráficamente. • Indica los elementos de un ángulo en posición normal y define ángulos cuadrantales y ángulos coterminales. • Aplica las razones trigonométricas para ángulos cuadrantales y coterminales. • Analiza los ángulos dados para luego realizar la reducción escogiendo uno de los casos más convenientes. • Realiza las reducciones al primer cuadrante según la magnitud del ángulo y su signo. • Identifica las equivalencias de las distintas unidades. • Diferencia múltiplo de submúltiplos al momento de realizar las conversiones entre unidades.

q

Ángulo de elevación

unidad 1

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO DEfINIcIÓN Es aquel ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen, desde una posición inicial (lado inicial), hasta una posición final (lado final) y en un sentido determinado. Por convención: • Si la rotación se realiza en sentido antihorario, el ángulo generado se considera positivo.

• Si la rotación se realiza en sentido horario, el ángulo se considera negativo. Vértice

Lado final

Vértice

a : giro antihorario. a es positivo

α

O

O

Lado inicial β

Recuerda Rayo es una recta limitada por un punto en un extremo e ilimitada en el otro extremo. Ilimitado Limitado

b : giro horario. b es negativo

Lado final

Lado inicial

Ángulo geométrico

Son magnitudes y no poseen sentido de rotación (siempre son positivos). Atención

Ángulo trigonométrico

Poseen un sentido de rotación (pueden ser positivos o negativos). Observaciones: 1. Para realizar la operación de adición entre ángulos trigonométricos, estos deben tener el mismo sentido de rotación. 2. Al cambiar el sentido de rotación de un ángulo trigonométrico, el signo de dicho ángulo también cambiará. Ejemplo: En la figura, indica la relación entre a y b.

Cambiamos el sentido de los ángulos a uno en común.

-β α

+

Giro Antihorario

-

Giro Horario

Nota

Finalmente, de la figura: a + (-b) = 90° ` a = 90° + b

90° β

El sentido de rotación determina el signo del ángulo trigonométrico.

Del gráfico: m+AOB = 90° Entonces: +AOB: ángulo recto.

α

B

Ejemplo: En el gráfico mostrado, ¿cuál es el valor de x? B

α O

B x - 90°

x

β

Resolución:

x

-θ

A

A C

θ

Efectuar

A

Luego: • b + a = 90°. • b y a son complementarios.

Del gráfico: -q + x - 90° = 360° ` x = 450° + q

C

1. Halla x en función de a y b. α x

2. Halla x en función de a, b y q.

β θ

β

α x

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

5


Halla x.

4

Calcula x en términos de a; b y q. x

3x + 20°

-71°

β

α θ

Resolución: 71°

Resolución:

3x + 20°

Colocando los ángulos en sentido antihorario (se observa que algunos ángulos cambian de signo).

& 3x + 20° = 71° 3x = 51° ` x = 17°

-β

x

& x = q + (-a) + (-b) ` x=q-a-b

-α θ

2

Halla x, si OB es bisectriz. 3x + 15°

O

C

5

Calcula x.

B

65° - 7x

10° - 2x

60°

A

Resolución:

Resolución:

Colocando los ángulos en un solo sentido (antihorario).

Por ser OB bisectriz, entonces: 3x + 15° = -(65° - 7x) (Sentido antihorario) 3x + 15° = -65° + 7x 3x - 7x = -80° -4x = -80°

-(10° - 2x)

x = 80° 4 ` x = 20° 6 3

60°

Entonces: 60° - (10° - 2x) = 180° 60° - 10° + 2x = 180° 50° + 2x = 180° & 2x = 130° ` x = 65°

Calcula x.

Calcula x. 18° - 8x -30° 10° - x

Resolución: Se observa que: 30° - 2x + [-(18° - 8x)] = 90° 30° - 2x - 18° + 8x = 90° 12° + 6x = 90° & x = 13°

x + 10°

Resolución: Colocando los ángulos en sentido antihorario. 7 30°

Del gráfico, determina q. θ + 10

x - 10° 30° - 2θ

x + 10°

Por lo tanto: (x + 10°) + (x - 10°) + 30° = 90° x + 10° + x - 10° + 30° = 90° 2x + 30° = 90° 2x = 60° ` x = 30°

6

Intelectum 1.°

30° - 2x

Resolución:

2θ - 20°

Se observa que: 2q - 20° + q + 10° - (30° - 2q) = 180° 2q - 20° + q + 10° - 30° + 2q = 180° 5q - 40° = 180° 5q = 220° & q = 44°

T

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Existen diferentes formas de medir los ángulos, cada uno basado en una unidad de medición destacando los siguientes:

SISTEMA SExAGESIMAL O INGLéS Tiene como unidad al grado sexagesimal (1°), que es el resultado de dividir el ángulo de una vuelta en 360 partes iguales. 3°

2° 1°

m + 1 vuelta = 1° & 360

360°

m+1 vuelta = 360°

359°

Recuerda Las subunidades se usan para expresar las medidas de ángulos menores a un grado (1° ó 1g) o menores a un minuto (1' ó 1m). Ejemplos: 0,5° = c 1 m° = 1 . (1°) = 1 . (60') 2 2 2 0,5° = 30'

El grado sexagesimal (1°), también se divide en subunidades: Se definen: 1' : Minuto sexagesimal.

1° <> 60' 1' <> 60"

1" : Segundo sexagesimal.

Ejemplos: 1. Expresa 1344' en grados sexagesimales. Resolución: 1344' = 1344 . 1' = 1344 . d 1 n° 60 = d 1344 n° = 22,4° 60 ` 1344' <> 22,4°

Se deducen.

1° <> 3600'' 1' <> d 1 n° 60

g 0,7g = c 7 m = 7 .1g = 7 .100m 10 10 10

0,7g = 70m

' 1'' <> d 1 n 60 2. Expresa 43' en segundos sexagesimales. Resolución: 43' = 43 . 1' = 43 . (60") = 2580" ` 43' <> 2580"

SISTEMA cENTESIMAL O fRANcéS

Es aquel que tiene como unidad al grado centesimal (1g), el cual es el resultado de dividir el ángulo de una vuelta en 400 partes iguales. 3g

2g 1g 400g

m+1 vuelta = 1 g & 400

m+1 vuelta = 400g

Atención Si expresamos un ángulo en grados, minutos y segundos, ten en cuenta: b < 60 a°b'c" ; c < 60 xgymzs ;

399g

y < 100 z < 100

Análogamente al sistema sexagesimal, el grado centesimal (1g) se subdivide en: Se definen: 1m: Minuto centesimal. 1s: Segundo centesimal. Ejemplos: 1. Expresa 21g en minutos centesimales. Resolución: 21g = 21 . (1g) = 21 . 100m = 2100m ` 21g <> 2100m

1g <> 100m 1m <> 100s

1g <> 10 000s Se deducen.

g 1m<> c 1 m 100

m 1s <> d 1 n 100

2. Expresa 15 259s en grados centesimales. Resolución:

m m 15 259s = 15 259 . 1s = 15 259 . d 1 n = d 15 259 n 100 100

g g = 15 259 . 1 m = 15 259 . d 1 n = 15 259 100 100 100 10000

` 15 259s <> 1,5259g TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

7

SISTEMA RADIAL O INTERNAcIONAL Nota Valores aproximados de p: p . 3,1416 p . 22 7

Es aquel que tiene como unidad de medida a “un radián” (1 rad), definido como la medida de un ángulo central donde la longitud de arco que subtiende es igual al radio de la circunferencia que la contiene. Donde: q: ángulo central. R: radio de circunferencia. L: longitud de arco AB.

A θ

R

L

Si: L = R, entonces: q = 1 rad

B

En general, sea un ángulo central "q" en el sistema radial, se calcula mediante la expresión: R θ

L

R

q= L R

... (1)

De la expresión (1), para el ángulo de una vuelta: m + 1vuelta = l R Observación De la equivalencia:

; l: perímetro de la circunferencia.

m + 1vuelta = 2pR ` m + 1vuelta = 2p rad R

cONvERSIÓN ENTRE SISTEMAS

180° = 200g 20 . 9° = 20 . 10g 9° = 10g

Para un ángulo trigonométrico, es la transformación de un ángulo de un sistema de medida angular a otro. Para tal propósito existen métodos de transformación tales como:

Entonces:

factor de conversión

9° ; 10g 10g 9°

Son factores de conversión.

Es una fracción donde el numerador y el denominador valen lo mismo (valores iguales o equivalentes expresados en unidades distintas), por lo que dicha fracción es igual a la unidad. De los sistemas sexagesimal, centesimal y radial tenemos que: m + 1vuelta = 360° = 400g = 2p rad Entonces:

Nota Sea un ángulo a en el sistema A, para transformar a a un sistema B, su factor de conversión será de la forma: b ; donde b, sistema B (final) a, sistema A (inicial) a Ejemplo: Un factor de conversión para transformar un ángulo del sistema sexagesimal al radial Por equivalencias: p rad = 180°, de sexagesimal (inicial), a radial (final). Sistema final 1 = p rad 180° Sistema inicial Factor de conversión

180° = 200g = p rad (Equivalencias)

Del recuadro de equivalencias, se pueden obtener factores de conversión para los tres sistemas. Ejemplo: Expresa 40g en el sistema sexagesimal. Sistema final 40g = 40g . 1 = 40g . 180°g 200 Sistema inicial ° 180 g 40 = d 40 . n 200 ` 40g = 36°

Fórmulas de conversión

Sea un ángulo a cuya representación en los sistemas sexagesimal, radial y centesimal son, respectivamente, S°, R rad, Cg.

α

S° g C R rad

S°: en el sistema sexagesimal. Cg: en el sistema centesimal. R rad: en el sistema radial o circular.

Por lo tanto: m + a = S° = Cg = R rad

Por factores de conversión: Transformemos S° al sistema centesimal. g g S° = S° . 1 = S° . 200 = d S . 200 n = Cg; de la expresión (A) donde: S° = Cg 180° 180

8

Intelectum 1.°

... (A)

Luego: S . 200 = C 180

T Finalmente:

S = C ... (1) 180 200

Análogamente, transformemos Cg a radianes. Cg = Cg . 1 = Cg . p radg = rad = R rad; de la expresión (A) donde: Cg = R rad. 200 200 Luego: = R Finalmente: C = R ... (2) 200 200 p De (1) y (2) se obtiene: S = C =R 180 200 p

También de: S = C & 180 200

Observación Sea un ángulo recto: S°

C

g

R rad

S = C 9 10

El cual es la cuarta parte de una vuelta, entonces: m + 1vuelta = 360° = 400g = 2p rad m +1vuelta = 90° = 100g 4 = p rad 2

(Fórmula o relación de conversión)

USO DE LA fÓRMULA DE cONvERSIÓN

Por lo tanto:

m + recto = 90° = 100g = p rad 2

Convierte de un sistema a otro. Ejemplos: 1. Convierte 54° al sistema centesimal. En este caso, tenemos: Dato: S = 54; incógnita: C De la fórmula: S = C " 54 = C " C = 54 . 10 9 10 9 10 9

2. Convierte 36° a radianes. Ahora tenemos: Dato: S = 36°; incógnita: R De la fórmula: S = R " 36 = R " R = 36 . p 180 p 180 p 180 p R= 5 ` 36° = p rad 5

C = 60 ` 54° = 60g

Donde:

S = 90; C = 100; R = p 2

Problemas condicionales Ejemplos: 1. Halla la medida de un ángulo en radianes si su número de grados centesimales y sexagesimales cumplen: C-S=4 Resolución: En el dato, procuramos colocar todo en función de la incógnita, para ello usamos la fórmula: S = C = R & C = 200R / S = 180R p p 180 200 π Reemplazando en el dato, tenemos: C-S=4 200R - 180R = 4 & 20R = 4 & R = p 5 π π π

` El ángulo mide p rad. 5

Nota Los ejercicios de transformación de un ángulo de un sistema de medida a otro, pueden resolverse usando el "factor de conversión" así como también la "fórmula de conversión". Del ejemplo (1). g 54º = 54º . 1 = 54º . 10 = 60g 9°

2. ¿Cuántos minutos centesimales hay en: q = 3g45m?

Factor de

Resolución: Convertimos todo a minutos: q = 3g45m = 3g + 45m; como: 1g = 100m & 3g = 300m Luego: q = 300m + 45m ` q = 345m

Efectuar

1. Halla x en función de q y b. β

x

conversión

2. Halla x en función de a, b y q.

3. Halla x del gráfico mostrado.

θ θ

β α

x

θ

x α

O


9


Convierte 50g a radianes.

b) 1g 5g

Resolución:

1m 20m

50 g . d π radg n = 50π rad 200 200 14243 Factor de conversión

` 50g = p rad 4 2

6

11p + 280 g p 11p + 14p d n d n 90 9 200 g 90 E= = 90 p + 7° p p + 7p a k 60 180° 60 180 25p 25p 90 E= = 90 = 25p.180 90.10p 10p 3p + 7p 180 180

Calcula:

` E=5

Resolución:

Sabemos: 1° = 60'; 1g = 100m y 9° = 10g Reemplazando: m

g

7

M = 60' + 100m + 10g 1' 1 5 & M = 60 + 100 + 2 ` M = 162

Transformando p rad a grados sexagesimales: 3 r rad = r rad 180° = 60° c m π rad 3 3 14 243

Resolución:

Factor de conversión

3,2141g = 3g + 0,2141 . 1g = 3g + 0,2141 . 100m = 3g + 21,41m 3,2141g = 3g + 21m + 0,41m = 3g + 21m + 0,41 . 100s 3,2141s = 3g + 21m + 41s ` 3,2141g = 3g21m41s Calcula: a) ¿Cuántos segundos sexagesimales tiene 4°30'? b) ¿Cuántos segundos centesimales tiene 5g 20m?

Resolución: 3600''

4º

x

1'

60''

30'

y

Un ángulo mide π rad y su suplemento (2x + 10°). ¿Cuál es el 3 valor de x?

Resolución:

Expresa 3,2141g en grados, minutos y segundos centesimales.

a) 1°

Calcula:

Resolución:

g M = 1° + 1m + 9°g 1' 1 5

5

y = 2000s

11p + 280 g d n 90 9 E= p + 7° 60

Expresa 5°36'45'' a segundos sexagesimales.

5° = 5 . 1° = 5 . 3600'' = 18 000'' 36' = 36 . 1' = 36 . 60'' = 2160'' Entonces: 5°36'45'' = 18 000'' + 2160'' + 45'' ` 5°36'45'' = 20 205''

4

100s y &

` 5g 20m tienen: x + y = 52 000s

Resolución:

3

10 000s x & x = 50 000s

Del dato: (2x + 10°) es el suplemento de 60°. Entonces: 2x + 10°= 120° 2x = 110° ` x = 55°

8

Calcula E, siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo. E=

18 $ S 5 C

Resolución:

&

x = 4° . 3600'' = 14 400'' 1°

&

y = 30' . 60'' = 1800'' 1'

` 4°30' tienen: x + y = 16 200''

10 Intelectum 1.°

Sabemos: S = C 9 10 Luego:

E= ` E= 9 5

&

S = 9 C 10

18 $ 9 = 5 10

81 25

T 9

Calcula M, siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo. M= S+C C

Resolución: Sabemos: Luego:

S = C 9 10

M=

& S = 9C = 0, 9C 10

0, 9C + C 1, 9 C = C C

` M = 1,9 10 Calcula x, siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo. Si: S = x y C = x + 3. Sabemos: S = C 9 10 Reemplazando: x = x + 3 & 10x = 9x + 27 9 10 ` x = 27

k = 261 = 9 580 20

& Nos piden: R = pk = p d 9 n = 9p rad 20 20 ` R = 9π rad 20 13 Los números que indican la medida de un ángulo en los sistemas conocidos satisfacen la siguiente igualdad: S + C + R = 380 + p p Calcula cuánto mide el ángulo en radianes.

Resolución:

Resolución:

11

580k = 261

Simplifica E, siendo S, C y R lo conocido para un ángulo no nulo. E = pC + pS + 20R 200R

Resolución:

Sabemos: C = 200 R y S = 180 R p p Entonces:

p d 200R n + p d 180 R n + 20R π p E= 200R E = 200R + 180R + 20R = 400R 200R 200R

`E=2 12 El número de grados sexagesimales de un ángulo, más el doble de su número de grados centesimales es 261. ¿Cuánto mide el ángulo en radianes?

Resolución: El número de grados sexagesimales: S El doble de su número de grados centesimales: 2C Del enunciado: S + 2C = 261 Aplicando la relación: S = C = R = k 180 200 p & S = 180k; C = 200k; R = pk Reemplazando: (180k) + 2(200k) = 261

Aplicando la relación: S = C = R = k 180 200 p & S = 180k; C = 200k; R = pk Reemplazando en el dato: 180k + 200k + pk = 380 + p p 380k + pk = 380 + p p (380 + p)k = 380 + p & k = 1 p p Luego, el número de radianes del ángulo es: R = pk = p d 1 n = 1 p ` El ángulo mide 1 rad. 14 Si se cumple: 5S - 2C = 50, siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo, ¿cuál es la medida del ángulo en radianes?

Resolución:

Aplicando la relación entre S y C: S = 9 $ k C 10 k & S = 9k / C = 10k Reemplazando en la expresión: 5(9k) - 2(10k) = 50 45k - 20k = 50 25k = 50 &k=2 & S = 9k = 9(2) = 18 Luego, el ángulo en grados sexagesimales es 18°. Piden en radianes. & R& = 18°. d p rad n = p rad 180° 10 14 24 3 Factor de conversión

` R = π rad 10


11

LONGITUD DE ARCO cIRcUNfERENcIA

Nota

Conjunto de puntos en un mismo plano que equidistan de un punto llamado centro. A dicha distancia se le denomina radio. d

O

c a

ARcO DE cIRcUNfERENcIA b

Es una porción de circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma.

Si O es centro de la circunferencia: a = b = c = d = R Donde: R: radio de la circunferencia.

LONGITUD DE ARcO DE cIRcUNfERENcIA Es la medida, en unidades de longitud, del arco correspondiente a un ángulo central. B R O

Observación A la región limitada por dos radios y su arco correspondiente se denomina: sector circular.

O

A

Cálculo de la longitud de arco

B θ rad

θ rad

R

AB: arco de circunferencia AB. L: longitud del arco AB. q: ángulo central correspondiente a AB. R: radio de la circunferencia.

L

L A

AOB: sector circular AOB.

Partimos de la definición (sistema de medidas angulares) que expresa la medida de un ángulo central en el sistema radial. q = L , entonces: L = qR R

R

R, L: están en el mismo sistema de unidades de medida longitudinal (m; cm; mm; etc.). q: indica el número de radianes del ángulo central.

O

θ rad

L

R

Ejemplo: Sean los sectores circulares AOB y COD, calcula el valor de q si a, b son longitudes de arco.

Observación Del ejemplo, en todo trapecio circular se cumple:

c

B

q = b - a c Donde: q: ángulo central en radianes. a, b: longitudes de arco. c: altura del trapecio circular.

O

D

Resolución: b

a

θ

A

C

Sean R1 y R2 radios de los sectores circulares AOB y COD, respectivamente. qR1 = a / qR2 = b

Entonces: R1 = a / R2 = b θ θ c = R2 - R1 c= b-a q

` q= b-a c

Efectuar 1. Calcula R.

2. Calcula L de la figura. 20 m

R π

3

rad R

12 Intelectum 1.°

3. Calcula q en el gráfico.

6m

π

5

8m L

rad

20 m

24 m

θ rad

8m

T


Halla la longitud del arco AB.

5

O π 3

6π cm A

L

Calcula el valor de c.

D A

6π cm B

π rad 3

O

B

Resolución: Sabemos: L = q . R ` L = p . 6p = 2p2 cm 3 2

5π cm c

9π cm

C

Resolución: En el trapecio ABCD se cumple la relación:

Halla la longitud del arco.

!

40 m

18°

!

q = mDC - mAB c Donde: q es el ángulo central en radianes.

L

p = 9p - 5p 3 c ` c = 12 cm

40 m

Resolución: El ángulo tiene que estar expresado en radianes. Entonces: 18° = 18° d p rad n = p rad 180° 10 p Luego: L = q . R = a k . 40 10 ` L = 4p m 3

6

Resolución: • Datos: R = 12 m / q = 22°30' Convertimos q a radianes:

Halla el radio del sector circular.

22°30' = 22° + 30' = 22° + 30' d 1° n = 22° + 1° 60' 2 ° 45 rad p p = $d rad n&q= 2 180° 8

R 20°

4π m

Usando la fórmula: L = qR & L = p $ _12i = 3p 8 2

R

Resolución:

` La longitud del arco mide 3p m. 2

Transformando 20° a radianes, entonces: 20° = 20° d π rad n = π rad 180° 9 Luego: L = q . R 4p = π .R & R = 4π . 9 π 9 ` R = 36 m 4

7

Halla el ángulo del sector circular en sexagesimales. 20 m 6π m

θ 20 m

Resolución: Sabemos: L = q . R & 6p = q . 20 6p = q ` q = 3p rad = 54° 10 20

Calcula la longitud del arco de un sector circular, sabiendo que su radio mide 12 m y su ángulo central 22°30'.

La longitud del arco de un sector circular mide 12 m, ¿cuál será la longitud del arco, si se disminuye el ángulo a la mitad y el radio se triplica?

Resolución:

1.er caso: • El ángulo central: q • El radio mide: R & L1 = q . R = 12 m

...(I)

2.° caso: • El ángulo central: q 2 • El radio mide: 3R & L2 = ` θ j^3Rh = 3 θR …(II) 2 2 Reemplazando (I) en (II): & L 2 = 3 _q . Ri = 3 _12i = 18 2 2 ` La nueva longitud medirá 18 m. TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

13

8

Un péndulo oscila describiendo un ángulo de 45° y un arco de 22 cm. Halla la longitud del péndulo. dconsiderar p . 22 n 7

10 Calcula el perímetro del sector circular. A 3m (x + 3) m

(x - 1) rad

O

Resolución:

B

45°

Resolución Hallamos x para calcular el perímetro (2p) de AOB, se sabe: (x + 3) = 3(x - 1) x + 3 = 3x - 3 2x = 6 x=3 El perímetro (2p) será igual a: 2p = 3 + x + 3 + 3 2p = 9 + 3 ` 2p = 12 m

22 cm

- El ángulo central: q = 45° - La longitud de arco: L = 22 cm Convertimos q a radianes. 45° $ d p rad n = p rad 180° 4 & Usando la fórmula: L = q . R 22 = a p k $ R & R = 88 4 p & R = 88 & R = 88.7 = 28 22 22 d n 7

11

Calcula el ángulo central en el sistema inglés. 8m

` La longitud del péndulo es 28 cm. En un reloj, cuyo minutero mide 63 cm, Halla la longitud que recorre su extremo cuando transcurren 20 minutos. 22 dconsiderar p . n 7

Resolución: Dado que tenemos el valor del radio, Calculamos el ángulo central.

8m

9

R

θ 6

L=q.R 24 = q . 8 3=q

m + AOB = 3 rad En el sistema inglés: m+AOB = 3 rad . 180° p rad ` m+AOB = d 540° n p

3

L

12 Calcula L del siguiente gráfico. 10 m

El minutero recorre una vuelta en 60 minutos, entonces: 360° $ 60' q $ 20'

O

& La longitud que recorre el extremo del minutero será: L=q.R L = d 2p n ._63i = 2 . d 22 n .63 = 132 3 3 7 & L = 132 cm

14 Intelectum 1.°

A L

40g 10 m

& q = 360°.20' = 120° 60' & q = 120°. d p rad n = 2p rad 180° 3

B

Resolución:

12 R

24 m

θ rad

O

9

A

Resolución: Transformando el ángulo AOB a radianes: 40g = 40g . π radg = π rad 5 200 Luego:

L = q . R = c π m . 10 5 ` L = 2p m

B

unidad 2

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR CÍRCUlO

Es el conjunto de puntos en el plano que se encuentran contenidos en el interior y sobre una circunferencia.

Sea el sector circular:

SECTOR CIRCUlAR

A

Es la región plana que se encuentra limitada por dos radios y su arco correspondiente. AOB:

B

O

sector circular AOB.

B

R: radio de la circunferencia.

R O

Notación: LAB: longitud del arco AB.

AB: arco AB.

R

Recuerda

A

S

AOB:

área del sector circular AOB.

Cálculo del área del sector circular

Podemos deducir el área del sector circular, ya que es proporcional al ángulo central asociada a dicho sector. Entonces: Si el área de un sector circular es proporcional al ángulo, entonces el área del círculo con el ángulo de una vuelta también lo serán, luego:

O

S = Área del círculo & S = pR 2 q 2p q 2p 2 ` S = q.R ...(1) 2

B

R

S L

θ rad

R

A

Donde: S: área del sector circular R: radio del círculo q: número de radianes del ángulo central L: longitud de arco AB

Además: qR = L ... (2) De (1) y (2) se deducen otras expresiones para el cálculo del aréa del sector circular: 2 S = qR 2

S = LR 2

A

S = pr2

2 S= L 2q

Donde S: área del círculo. r: radio del círculo.

2

π/6 rad B A

b)

r

Reconocemos los datos: q = p / R = 6 m 6

6m O

En el siguiente círculo:

S

Ejemplos: 1. En cada caso, halla el área del sector circular indicado: a)

Observación

6m 6p m O

Usamos la expresión: S = qR 2 p _ 6 i2 = 36p ` S = 3p m2 S= 6 2 12 Reconocemos los datos: L = 6p m / R = 6 m Usamos la expresión: S = LR 2 S=

B

(6p)_ 6 i 2

` S = 18p m2

Nota El uso de una u otra expresión dependerá exclusivamente de los datos con que cuenten en cada problema que se intente resolver. Además no se debe olvidar que el ángulo central debe tener su medida expresada en radianes.


15

A

c)

O

3π m

π/6 rad

Atención Para calcular el área de un sector circular ten en cuenta los datos que te proporcionan para usar cualquiera de las expresiones adecuadamente:

B

2. Calcula el área del trapecio circular ABCD en términos de L1; L2 y h.

R; L

R1

A L1

L2 S

θ

O

2 S= L 2q

L; q

Donde: R1: radio del sector circular COB. R2: radio del sector circular AOD. L1: longitud de arco BC. L2: longitud de arco AD. q: número de radianes del ángulo. S: área del trapecio circular.

B

S = 1 qR2 2 S = LR 2

R; q

Reconocemos los datos: L = 3p m / q = p rad 6 2 L Usamos la expresión: S = 2q 2 _ 3p i ` S = 27p m2 S= 2a p k 6

R2

D

C

h

Sean S1 y S2 las áreas de los sectores circulares BOC y AOD, respectivamente. Entonces el área de la región sombreada se puede expresar como: S = S1 - S2 ....(1) 2 Reemplazando la expresión qR (área de un sector circular) en (1): 2 S=

qR12 qR 22 q 2 = _R1 - R 22i 2 2 2

(qR1 + qR 2) h S = q (R1 + R2)(R1 - R2) = 2 2

De la expresión: L = qR

` S=

(L1 + L 2) h 2

3. Calcula el área de los trapecios circulares en función de S. Nota Análogo a las expresiones para calcular el área de un sector circular se puede deducir otras expresiones para el cálculo del área de un trapecio circular: S=

(L1 + L2) h 2

S

L1 R1 - L2 R2 2

Dejamos al demostración expresiones.

S2

S3

Del gráfico tenemos:

L2 - L22 S= 1 2q S=

S1

a θ S a

O

lector la de estas

• S + S1 + S 2 = S 3S

a

a

a

S1 a

Sabemos: 2 2 S = q.R = q.a 2 2 Además:

S2 a

S3

• S + S1 =

a

2 q _ 3a i = 9 d q.a n 2 2 2

S S

• S + S1 + S2 + S3 =

2 q _ 4a i = 16 d q.a n 2 2 2

S S

En general, se cumple: S 3S

16 Intelectum 1.°

& S2 = 5S

5S

7S

9S

& S3 = 7S

2 q. _ 2 a i = 4 d q.a n 2 2 2

S S

& S1 = 3S

T


Calcula el área del sector circular.

Del dato: L.R = 36p Pero: LR = 36p & S = 36p = 18p 2 2 2 ` El área del sector circular es 18p.

6m

π rad 3 6m

5

Resolución:

Resolución:

2 S = q.R 2 p ._ 6 i2 p .6 = 3 = 2p = p S= 3 2 2 2 ` El área del sector circular es p m2.

2

¿Cuánto debe medir el radio de un sector circular para que su área sea numéricamente igual al triple de su longitud de arco?

Del dato: S = 3L Entonces:

Calcula el área del sector circular. R

3π rad 10

3π

6

q.R 2 = 3_q.Ri 2 q . R2 = 6q . R R2 = 6R R . R = 6R & R = 6

Calcula el área de la región sombreada.

R

Resolución:

2

2 _ 3 pi = 3 p = 5p 3p 2 d 3p n 5 10 ` El área del sector circular es 5p.

S=

3

Calcula el área del sector circular.

O

45°

A

D O B

S

30° 3

C

B

16 cm

5

B

C

5

B

Del gráfico, se observa que el área de la región sombreada es igual al área del sector circular AOB menos el área del sector circular COD. Primero, transformamos el ángulo en radianes:

30° = 30° d p rad n = p rad 180° 6 Luego: S = SO A - SO D

16 cm

p _8 i p _ 3 i2 64p - 9p 55p 6 6 = 6 - 6 = 6 S= 2 2 2 2 ` El área de la región sombreada es 55p . 12

A

El área de un sector circular es: 2

S = q.R , donde el ángulo q tiene que estar expresado en 2 radianes. & 45° = 45° d p rad n = p rad 180° 4 p ._16i2 p .256 a k = 4 = 64p &S= 4 2 2 2 ` El área del sector circular es 32p cm2. En un sector circular, el producto de la longitud del radio y el arco es 36p. ¿Cuál es el área del sector circular?

Resolución: Sabemos que el área del sector circular es: S = L.R 2

C

2

Resolución:

4

30° 3

O

Resolución: 2 S= L 2q

A

D

7

Calcula el área de la región sombreada: 4m

5m

Resolución: Sea S el área de la región sombreada R1 = 5 m y R2 = 4 m. Del gráfico se observa: S = pR12 - pR 22 = p (R12 - R 22) Luego: ` S = 9p m2 S = p(52 - 42) = p(25 - 16) TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2

17

Razones trigonométricas de ángulos agudos CONCEpTOS pREvIOS Ángulo agudo

Es aquel ángulo cuya medida se encuentra entre 0° y 90°. Si: 0° < a < 90° & a es agudo.

Recuerda Al dibujar un triángulo rectángulo considera lo siguiente: Sea el ACB recto en C:

Triángulo rectángulo

Es aquel triángulo que posee un ángulo recto. B

B

C

a

c

C

b

Donde: a; b; c: longitudes de los lados AC; BC: catetos AB: hipotenusa

A

Las longitudes de los lados correspondientes a cada ángulo se denotan con letras minúsculas según corresponda, entonces:

A

Teorema de Pitágoras. En el triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. A

B a C

2

2

2

c

c =a +b

b

Teorema de Pitágoras

A

Donde: a; b; c: longitudes de los lados correspondientes a cada ángulo.

c

B

b C

a

Posición relativa de catetos. Los catetos de un triángulo rectángulo pueden denominarse tanto opuestos como adyacentes respecto a un ángulo dependiendo de su posición relativa. Para a: a: cateto opuesto b: cateto adyacente Para q: b: cateto opuesto a: cateto adyacente

C a

b A

α

θ

c

B

Razón

En términos generales, es la comparación de dos cantidades. Para las longitudes de los lados de un triángulo, esta comparación se determina mediante su cociente. Comparando los lados del triángulo ABC, obtenemos 6 razones:

B c

A

Efectuar

C

b

Halla x en cada caso. x

5 12

18 Intelectum 1.°

a, b, c, a, b, c b a a c c b

a

17

x 15

25

7 15

T

RAzóN TRIGONOMéTRICA (RT)

Una razón se llama trigonométrica, si comparamos por cociente las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos. Sea el ángulo q, en el triángulo rectángulo ACB. B

a: cateto opuesto a q b: cateto adyacente a q c: hipotenusa

c A

a

θ

Atención

C

b

En un triángulo, a mayor ángulo se le opone un mayor lado; para un triángulo rectángulo se concluye entonces:

Las razones trigonométricas para el ángulo q se definen en la siguiente tabla:

A

Razón trigonométrica

Definición

seno

Notación

Se lee

cateto opuesto hipotenusa

senq

seno de q

coseno

cateto adyacente hipotenusa

cosq

coseno de q

b c

tangente

cateto opuesto cateto adyacente

tanq

tangente de q

a b

cotangente

cateto adyacente cateto opuesto

cotq

cotangente q

b a

secante

hipotenusa cateto adyacente

secq

secante de q

c b

hipotenusa cateto opuesto

cscq

cosecante de q

c a

cosecante

En el

ABC a c

b C

a

c B

b>a / b>c

Ejemplo: 1. Calcula las razones trigonométricas del ángulo q: Por el T. Pitágoras: x2 + 92 = 412 x2 = 412 - 92 x2 = (41 + 9)(41 - 9) & x = 40

q x

41 9

Por lo tanto: senq = 9 41

cosq = 40 41

tanq = 9 40

cscq = 41 9

secq = 41 40

cotq = 40 9

Importante Si conocemos una razón trigonométrica para un ángulo, podemos calcular las demás.

ABC(C = 90°), se cumple: senA = 7 . Calcula el resto de las razones trigonométricas de A. 25 a = 7k Del dato: Sen A = 7 = a & ( 25 c c = 25k

2. En un

B 25k

A

b

7k C

Por el teorema de Pitágoras: b2 + (7k)2 = (25k)2 b2 + 49k2 = 625k2 b2 = 576k2 & b = 24k

Luego, las razones trigonométricas faltantes serán: cosA = b = 24 c 25

tanA = a = 7 b 24

secA = c = 25 b 24

cscA = c = 25 a 7

cotA = b = 24 a 7


19


Halla x.

4 17

1

En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto de uno de sus ángulos agudos es la mitad de la hipotenusa. Calcula la cotangente de dicho ángulo.

Resolución: x

Sea a el ángulo agudo, del enunciado:

Resolución:

c

Aplicamos el teorema de Pitágoras: _ 17 i = 1 2 + x 2 2

17 = 1 + x

2

2

&

b

x = 16 `x=4

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo: a2 + b2 = c2 ...(2)

ABC.

C

Reemplazamos (1) en (2): a2 + b2 = (2a)2 b2 = 4a2 - a2 b2 = 3a2 b= a 3 ... (3)

13

5

α

B

A

De (1) y (3):

Resolución: Aplicamos el teorema de Pitágoras en el 2

a

α 2

Calcula las razones trigonométricas de a en el

2

Por dato: a= c 2 c = 2a ... (1)

2

x + 5 = 13 x2 = 132 - 52 x2 = 169 - 25 x2 = 144 x = 12

C 5 B

cota = CA = 12 CO 5 H 13 seca = = CA 12 csca = H = 13 CO 5

a

` cota = 3

α

13

x = 12

Luego, las razones trigonométricas de a serán: sena = CO = 5 H 13 CA 12 cosa = = H 13 tana = CO = 5 CA 12

2a

ABC.

Nos piden cota: cota = CA = a 3 CO a

a 3 α

A

5

Halla: S = sena + cosa 3 α

13

Resolución: Hallamos primero b:

3

En un triángulo ABC (B = 90°) . Calcula: L = senAcscA + cosAsecA

α

Resolución:

13

Graficando tenemos:

Por el teorema de Pitágoras: 2 _ 13 i = b 2 + 3 2

A c B

b a

C

& L = a a kd b n + a c kd b n b a b c `L=2

20 Intelectum 1.°

3

b

13 = b 2 + 9 Luego:

&

b2 = 4

&

S = sena + cos a = 3 + 2 13 13 5 `S= 13

b=2

T

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS En cuanto a las razones trigonométricas de ángulos agudos, se pueden apreciar dos propiedades importantes:

RAzONES TRIGONOMéTRICAS RECÍpROCAS

Sea el triángulo rectángulo ABC:

B c

a

α

A

Para el ángulo A, se cumple: sena = a csca = c c a

C

b

cosa = b c

seca = c b

tana = a b

cota = b a

Observación A las razones recíprocas también se les conoce como “razones inversas”.

Se llaman razones trigonométricas recíprocas al par de razones cuyo producto es igual a la unidad. Luego, de las razones trigonométricas en el recuadro, se deduce: • seno y cosecante son recíprocas.

sena.csca = 1

• coseno y secante son recíprocas.

cosa.seca = 1

• tangente y cotangente son recíprocas.

tana.cota = 1

Ejemplos: Calcula el valor de x en cada caso: 1) sen2x.csc40° = 1; seno y cosecante son recíprocas & 2x = 40° = ` x = 20° 2) cos3x.sec(x + 40°) = 1; coseno y secante son recíprocas & 3x = x + 40° = 2x = 20° ` x = 10°

Nota sena.cscq = 1 & a = q tanx.coty = 1 & x = y cosb.secw = 1 & b = w Para todo: a; q; x; y; b; w agudos

RAzONES TRIGONOMéTRICAS DE áNGUlOS COMplEMENTARIOS

Sea el triángulo rectángulo ABC:

B c

A

α

b

θ

a C

Aplicando las definiciones de razones trigonométricas se tiene lo siguiente: csca = c = secq sena = a = cosq a c seca = c = cscq cosa = b = senq b c cota = b = tanq tana = a = cotq a b

Recuerda Razón

co-razón

seno

coseno

tangente

cotangente

secante

cosecante

Entonces, para dos ángulos complementarios a y q (a + q = 90°), se puede plantear: razón trigonométrica (a) = co-razón trigonométrica (q) Ejemplos: • sen40° = cos(90° - 40°) = cos50° • tan10° = cot(90° - 10°) = cot80° • sec20° = csc(90° - 20°) = csc70° • Si tan3x = sen(z + 50°) sec(40° - z), calcula: B = tan3x + 1 14 424 43 tan3x = cos[90° - (z + 50°)] sec(40° - z) tan3x = cos(40° - z) sec(40° - z) & tan3x = 1 1 444444 2 44444 43 1 & B = tan3x + 1 = 1 + 1 ` B = 2 TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2

21


Calcula x: sen50°. csc _ x - 10°i = 1

6

Resolución:

Resolución:

Si: senq. csc b = 1 & q = b Del dato: 50° = x - 10°

Como: sen40° = cos50° / tan35° = cot55° Entonces: M = sen40° + tan 35° sen40° tan 35° M = 1+1 & M=2

& 50° + 10° = x ` x = 60° 2

Calcula x: cos p = senx 5

7

Resolución: Si: cosa = senb & a + b = 90° & a + b = p rad 2 Del dato: p +x = p 5 2 p & x = - p = 5 p - 2p = 3 p 2 5 10 10 3 p `x= rad 10 3

Resuelve: tan _3x - 8°i . cot _2x + 4°i = 1

Como: cos10° = sen80°, y csc20° = sec70° Entonces: 3 M = < sen80° + sec70° F sen80° sec70°

M = 71 + 1 A3 & M = 23 = 8

8

Calcula: E = cosa. seca + 7 1 + tana. cota

Resolución:

Si: tana. cotb = 1 & a = b Entonces: 3x - 8° = 2x + 4° 3x - 2x = 4° + 8° ` x = 12°

como: cosa $ seca = 1 / tana. cota = 1 Luego: E = 1+7 = 8 & E = 4 1+1 2

Calcula x:

tan2x . cot( p - x) = 1 5

Resolución: Si: tana . cotb = 1 & a = b Del dato: 2x = p - x 5 & 3x = p ` x = p rad 5 15 5

Calcula: 3 M = < cos 10° + sec70° F sen80° csc20°

Resolución:

Resolución:

4

Calcula: M = sen40° + tan 35° cos 50° cot55°

Halla x. cos10° + 2x = sen80° + 20

Resolución: Si: cosa = senb & a + b = 90° Luego: cos10° + 2x = sen80° + 20 S & cos10° + 2x = cos10° + 20 2x = 20 & x = 10

22 Intelectum 1.°

9

Determina el valor de: E = tan1°tan2°tan3°...tan88°tan89°

Resolución: E = tan 1° tan 2° tan 3°... tan 88° tan 89° 1 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 44 3 Hay 89 tér min os

Además: tan89° = cot1° tan88° = cot2° tan87° .= cot3° .. tan46° = cot44° Reemplazando en E: E = tan1°tan2°... tan44°tan45°cot44°... cot2° cot1° Agrupando convenientemente: E = _tan 1° cot 1°i_tan 2° cot 2°i ..._tan 44° cot 44°i tan 45° 1 4 4 2 4 4 3 1 4 4 2 4 4 3 1 4 44 2 4 44 3 1 1 1 ` E = tan45° = 1

unidad 3

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Se les dice notables a los triángulos cuya proporción de lados y/o las medidas de sus ángulos interiores son conocidas.

TRIáNGUlOs ExAcTOs

La relación de proporción entre sus lados y la medida de sus ángulos se determinan a partir de polígonos regulares.

De 30° y 60° Por el teorema de Pitágoras: 30°

2L

60°

d

L

L

30°

d2 + L2 = (2L)2

2L

d=

60°

2L

3L

d2 = 3L2 3L

L

Observación Los triángulos rectángulos notables son una forma práctica para encontrar la relación de proporción de lados, conocido sus ángulos interiores o viceversa. Ejemplos: 1.

60° 2k

De 45°

60°

L

d

45°

60° k

2.

Por el teorema de Pitágoras:

45° L

3k

45°

d2 = L2 + L2

L

2

2

d=

2L

m

2L

d = 2L

45°

L

L

2m α

a = 30°

L

TRIáNGUlOs pITAGóRIcOs

Son aquellos triángulos rectángulos cuya medida de sus lados son valores enteros.

3k

5k

17k

15k

13k

5k

Atención

12k

Al conjunto de 3 números naturales que cumplen con el teorema de Pitágoras se conoce como terna pitagórica.

8k

4k

TRIáNGUlOs ApROxIMADOs

Son aquellos triángulos rectángulos que, además de la relación entre sus lados, sus ángulos agudos se aproximan a valores enteros.

Ejemplo: 32 + 42 = 52 3; 4; 5: terna pitagórica

De 37° y 53° α

3k

53° 5k

4k

a = 53°,13 . 53° q = 36°,87 . 37° θ

3k

5k

4k

37°


23

De 16° y 74° Recuerda

25k

β

7k

En la práctica, para mediciones o cálculos pequeños, a los ángulos aproximados se les considera como valores exactos.

b = 73°,74 . 74° w = 16°,26 . 16°

ω

24k

7k

74°

25k 16°

24k

OTROs TRIáNGUlOs NOTAblEs ApROxIMADOs

53°,13 a

c

.

53° a

36°,87 b

c

37° y 143° 2 2

37° b

k

143° 2

53° y 127° 2 2

k 10

k

127° 2

k 5

37°/2

3k

8° y 82°

2k

k

82°

5 2k

53°/2

8°

7k

Ejemplos: 1. Calcula a. Resolución: 30° y 60°

60°

a

2 3

Observación

Del gráfico: k 3 =2 3 &k=2 a = 2k = 2(2) ` a=4

2k

30° k 3

30°

2. Calcula m. Resolución: 37° y 53°

Estos triángulos se obtienen a partir de otros triángulos notables.

m

15

53°

Del gráfico: 3p = 15 & p = 5 m = 4p = 4(5) ` m = 20

5p

3p 37°

4p

37°

Efectuar 1. Halla x.

3. Halla x. 80

5. Halla x. x

8

x

30°

4. Halla x.

2. Halla x. 60°

30 x

24 Intelectum 1.°

30°

x

10

6. Halla x. 8 2

x x

45°

45°

6 x

37°

T


Halla x.

4

Calcula (b - a). b

6

x

30° x

a

3 3

Resolución: Del triángulo de 30° y 60° tenemos:

Resolución: De triángulo de 45° tenemos: &a 2 =

45°

a 2 =

a 2

a

6

2m

3$ 2

a=

30°

3

Luego: x = a a

2

45°

`x=

5 25

a

2

a

b

Resolución:

Resolución:

Del triángulo de 37° tenemos: 2

Del triángulo de 37° y 53° tenemos: & 5k = 25 k=5

53° 5k

3

Calcula (a2 +1).

37°/2

37°

37°

m 3

Luego: a = m = 3 / b = 2m = 2 . 3 = 6 Por lo tanto: b - a = 3

3

Calcula (a + b).

&m 3 =3 3 m=3

m

3k

m

Luego: b = 4k = 20 / a = 3k = 15

37°/2

Por lo tanto: a + b = 35

4k

Calcula x.

3m

Luego: a = 3m = 3 . 2 = 6 Entonces: a2 + 1 = 62 + 1 = 37 6

Calcula c x + 1 m . 3

8 2

45°

x

a

a

4

Resolución: 45°

45°

53°/2

x-2

Resolución:

a 2

&m=2

Del triángulo de 45° tenemos: a 2 =8 2 a=8 Luego: x-2=8 ` x = 10

Del triángulo de 53° tenemos: 2

m 53°/2

2m

& 2m = 4 m=2 Luego: x=m=2 Por lo tanto: x+1 = 2+1 = 1 3 3


25

7

Halla x.

53° 5k

6 8°

2x - 6

37°

3k

& 3k = 24 k=8 Luego: (2x - 6) = 5k & (2x - 6) = 5(8) 2x = 46 ` x = 23

4k

Resolución: Del triángulo de 8° y 82° tenemos: 82°

5 2k 8°

8

k=6 Luego: 2x - 6 = 7k 2x - 6 = 7 . 6 2x = 42 + 6 ` x = 24

k

7k

11

Halla (a + b), en:

37°

b

Calcula a. 3a - 7

Resolución:

16°

48

Del triángulo de 37° y 53° tenemos:

Del triángulo de 16° y 74° tenemos:

24k = 48 & k = 2 Luego: 3a - 7 = 7k 3a - 7 = 7 . 2 3a = 21 `a=7

25k

7k

& 3k = 7 & k = 7 3

53°

Resolución:

24k

9

a

7

16°

Halla a.

5k

3k

Luego: a = 5k b = 4k 37°

4k

Piden: (a + b) = 5k + 4k = 9k a + b = 9k = 9 c 7 m = 21 3 ` a + b = 21

(2a - 10)

12 Halla (x + y) en: 30° 8 3

Resolución:

3 2

Del triángulo de 30° y 60° tenemos: 60°

2k

k

30° k 3

&k 3 =8 3 k=8 Luego: (2a - 10) = 2k 2a - 10 = 2(8) 2a = 26 ` a = 13

45° x

Del triángulo de 45° tenemos:

10 Halla x.

37°

Resolución: Del triángulo de 37° y 53° tenemos:

26 Intelectum 1.°

37°

Resolución:

45° x

(2x - 6)

y

x 2 =3 2 x=3

x

Del triángulo de 37° y 53° tenemos: 24 5k

3k

4k

37°

& 3k = 2x 3k = 2(3) 3k = 6 k=2 & y = 4k = 4(2) = 8 &x+y=3+8 ` x + y = 11

T

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES Las razones trigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de triángulos rectángulos notables donde las medidas de sus lados están relacionadas en una determinada proporción. Así tenemos:

Triángulo rectángulo de 30° y 60°

2k

k

30° k 3

RT

sen

cos

tan

cot

sec

csc

30°

1 2

3 2

1 3

3

2 3

2

60°

3 2

1 2

3

1 3

2

2 3

sen

cos

tan

cot

sec

csc

1 2

1 2

1

1

2

2

m+

Triángulo rectángulo de 45° 45°

m+

k 2

k

45°

45°

k

RT

Recuerda Las razones trigonométricas son las razones entre los lados de un triángulo rectángulo.

áNGUlOs ApROxIMADOs

Anteriormente, definimos triángulos rectángulos notables aproximados cuyos ángulos no son enteros exactos.

Ejemplo: sen30° 2k

Triángulo rectángulo de 37° y 53°

k 30° k 3

37° 5k

4k

53°

3k

RT

sen

cos

tan

cot

sec

csc

37°

3 5

4 5

3 4

4 3

5 4

5 3

53°

4 5

3 5

4 3

3 4

5 3

5 4

m+

sen30° = k 2k sen30° = 1 2

Otros ángulos notables 8° y 82°

5 2k

82° k

8°

7k

RT

sen

cos

tan

cot

sec

csc

8°

1 5 2

7 5 2

1 7

7

5 2 7

5 2

82°

7 5 2

1 5 2

7

1 7

5 2

5 2 7

m+


27

37° y 143° 2 2 Recuerda Si se conoce el valor de una razón trigonométrica de un ángulo notable, es posible calcular dicho ángulo.

k

Ejemplo: Calcula q si es agudo donde: senq = 1/2 Resolución: Graficando observamos: notable de 30° y 60°. ` q = 30°

143° 2

k 10

3k

37°/2

cos

tan

cot

sec

csc

37° 2

1 10

3 10

1 3

3

10 3

10

143° 2

3 10

1 10

3

1 3

10

10 3

sen

cos

tan

cot

sec

csc

53° 2

1 5

2 5

1 2

2

5 2

5

127° 2

2 5

1 5

2

1 2

5

5 2

53° y 127° 2 2

2 1 θ

RT

sen

m+

k

m+

127° 2

5k

2k

53°/2

RT

Conclusión

En un triángulo rectángulo notable se pueden calcular las razones trigonométricas de sus ángulos interiores dado que la relación de proporción entre sus lados es conocida. Nota La razón de un ángulo es igual a su co-razón si estos suman 90°:

Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas de los ángulos en el triángulo rectángulo notable de 16° y 74°.

RT( a) = Co-RT(b) + a + b = 90°

m+

sen30° = cos60° sec53° = csc37° tan45° = cot45°

16° 25k

24k

Ejemplos: RT recíprocas: sena = 1 ; cosa = 1 sec α csc α tana = 1 cot α

74° 7k

RT

sen

cos

tan

cot

sec

16°

7k = 7 24k = 24 7k = 7 24k = 24 25k = 25 25k = 25 25k 25 25k 25 24k 24 7k 7 24k 24 7k 7

74°

24k = 24 7k = 7 24k = 24 7k = 7 25k = 25 25k = 25 25k 25 25k 25 7k 7 24k 24 7k 7 24k 24

Efectuar 1. Calcula: A = sen30° + tan53° 2. Calcula: M = 5sen53° + 3 sen60° 3. Halla: T = sen245° + sen30° 4. Halla: M = sen37° . cos45° . tan60° 5. Halla: A = sec60° + csc53°

28 Intelectum 1.°

csc

6. Halla:

M = 5 c sen53° + cos 53° + 1 m 5

7. Halla: T = 10sen30° + 6sen45°cos45° 8. Calcula: A=

sen37° + cos 37° + 3 5

9. Calcula: T = csc37° + sec45°

T


Calcula M. M = 7tan8° + 2

Resolución:

B= 6. 1 +2- 7 3 7 B=2+2-1 ` B=3

Resolución:

M= 7. 1 +2 7 M=1+2

2

7

Q=

Halla el valor de A. A = sen30° + tan53°

Resolución:

A = 1/2 + 4/3 ` A = 11/6 8

Calcula: 2

2

M = 4c 3 m 4 ` M=3

9

Efectúa: 3 csc 60c +

Resolución:

3. 2 3

+

2. 1 -3 2

10 Calcula: R=

6 8

Calcula B. B = 6tan 37° + cot 53° - tan 82° 2 2 7

8 sec 60° . tan 45° + 3 tan2 60°

Resolución: 8 . 2 . 1+ 3 . ( 3 )2

R=

R = 16 + 9 `R=5

L = sen30°.sen45°.sen60° L = c 1 mc 2 mc 3 m 2 2 2

Calcula: H = 4sen30° + 3sec 60° 1

Resolución:

6

Efectúa: P = 6 tan 60c . sec 45c@2 + 18 tan 53c

H = 4 2 + 32 H= 2+9 ` H = 11

Si a = 15º, calcula: L = sen2α.sen3α.sen4α

`L=

7 - 6 25 25

Resolución:

2 sen45c - 3

K=2+1-3 ` K=0 5

Q=

2 P = 6 3 . 2 @ + 18 . 4 3 P=3.2+6.4 ` P = 30

M = ^ 2 h ^ 2 hc 3 m 4

K=

7 - 2.3 25 5 5

Resolución:

Resolución:

K=

Q=

` Q = 1/5

M = csc 45°. sec 60°. tan 37°

4

sen16° - 2 sen37° 5

` M=3

Resolución:

3

Halla el valor de Q.

11

Calcula: M=

8 tan 37° + 3 tan 30° + sec2 45°

Resolución: 8 . 3 + 3 . 1 + ( 2 )2 4 3 M= 6+1+2 M=

`M=3


29

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Es el procedimiento mediante el cual se calculan los lados desconocidos de un triángulo rectángulo, en función de un lado conocido y de un ángulo agudo, también conocido. El criterio a emplear es el siguiente: Lado desconocido = RT (ángulo conocido) Lado conocido Se tienen los siguientes casos: Conocidos el ángulo agudo y la hipotenusa del triángulo.

Atención Resolver un triángulo rectángulo es calcular sus lados, si se conocen un lado y un ángulo agudo.

H

θ Cateto adyacente aθ

A

Hsenθ

H

L

Resolución:

Cateto opuesto a θ

Resuelve:

C

α

Aplicando: x = sena & x = Lsena L y = cosa & y = Lcosa L

x

B

y

Conocidos el ángulo agudo y el cateto opuesto a dicho ángulo.

θ Hcosθ

C

Aplicando: x = cota & x = Lcota L y = csca & y = Lcsca L

sa θ b

ac

a

θ acotθ

A

α

L

B

x

btanθ

ec

θ

Conocidos el ángulo agudo y el cateto adyacente a dicho ángulo. bs

Cateto opuesto a θ

Hip

ote

nu

sa

θ Cateto adyacente aθ

scθ

nu ote Hip

a

y

C

θ b

y

A

x

α

B

L

Aplicando: x = tana & x = Ltana L y = seca & y = Lseca L

Ejemplos: Resuelve los siguientes triángulos rectángulos. 1.er caso

10 45°

30 Intelectum 1.°

x

x = 10sen45° = 10 c 2 m = 5 2 2

y = 10cos45° = 10 c 2 m = 5 2 y

2

T 53° 8

x = 8sen53° = 8 # 4 = 32 5 5

y

Observación

y = 8cos53° = 8 # 3 = 24 5 5

x

De los ejemplos mostrados es notorio que cuando se nos da un triángulo rectángulo, por lo menos uno de los datos resulta ser un lado.

2.° caso 60°

y

x = 6cot60° = 6 #

x

y = 6csc60° = 6 # 2 3 = 4 3 3

6

y

37°

3 =2 3 3

x = 5cot37° = 5 # 4 = 20 3 3

5

Atención

y = 5csc37° = 5 # 5 = 25 3 3

x

En un triángulo isósceles se cumple:

3.er caso

a

a

q

4 30°

x = 14tan53° = 14 # 4 = 56 3 3

14 y

q

y = 4sec30° = 4 # 2 3 = 8 3 3 3

y

x

3 = 4 3 3 3

x = 4tan30° = 4 #

x

x

x = 2a cosq

y = 14sec53° = 14 # 5 = 70 3 3

53°

Efectuar 1. Halla x.

3. Halla x. 20

5. Halla x. 2x

x

30°

x

a

θ

2. Halla x.

10

6. Halla x.

4. Halla x. 37°

x

2a θ

x

45°

12 n

2x

45°


31


Halla el área del siguiente triángulo:

En el ACD (conocidos el ángulo agudo y la hipotenusa): AC = msena En el ABC (conocidos el ángulo agudo y la hipotenusa (msena)): ` x = msenacosa

k α

4

Siendo ABCD un cuadrado, halla: tana + tanq B

Resolución: Del gráfico:

B

BC = ksena AC = kcosa

k A

α

C

D

Resolución: B

2

En la figura, halla x:

C Ltanα

Ltanθ

B

5

β

x

θ

A

n

m α

L

α

AC.BC = kcosα . ksen α & k sen α . cos α 2 2 2

A

θ

A

Área de un triángulo:

2

C

α

Sea el cuadrado de lado L:

L = L tan α + L tan θ ` tan α + tan θ = 1

D

L

Halla x en función de a y a.

C x

Resolución: Del gráfico: Trazamos la altura BH. Se conocen el ángulo agudo y la hipotenusa, entonces: AH = mcosa HC = ncosb Piden x: x = AH + HC x = mcosa + ncosb

B n

m A

3

α

β

H

x

C

α

a

Resolución: asenα

x = cos α asen α

α

x

` x = asen α. cos α α

a

Halla x en función de a y m. 6

Del gráfico adjunto, halla cotq, si: tana = 1/4

x m

α α

Resolución: En el gráfico: B

C

x

msenα α

A

90° - α

32 Intelectum 1.°

θ

Resolución: cot α = atanθ m

α

D

α

a

θ

a

2a = 2 a tan θ tan θ

1 = 2 cot θ & cot θ = 1 tan α 2c 1 m 4 ` cotq = 2

T

ÁNGULOS VERTICALES

cONcEpTOs básIcOs

Línea vertical: es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada. Línea horizontal: es toda aquella línea perpendicular a la vertical. Plano vertical: es aquel que contiene a toda línea vertical. Línea de mira: llamada también línea visual, es aquella línea recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto observado.

Atención • El ángulo es de elevación, cuando el objeto observado está por encima de la línea horizontal. Objeto observado

α Observador

• Cuando no se menciona la altura del observador se considera un punto.

áNGUlOs vERTIcAlEs

Son aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados por la línea de mira o visual y la línea horizontal que parten de la vista del observador. Los ángulos verticales pueden ser:

• El ángulo es de depresión, cuando el objeto observado está por debajo de la línea horizontal. Observador

Ángulo de elevación

Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal.

β

Ángulo de depresión

Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.

a: ángulo de elevación.

b: ángulo de depresión.

0° < a < 90°

0° < b < 90°

Ejemplo: Desde un punto situado a 40 m de la base de una torre, se observa la parte más alta de esta con un ángulo de elevación de 37°. Calcula la altura de la torre.

Ejemplo: Desde lo alto de un edificio de 48 m de altura se ve un objeto en tierra con un ángulo de depresión de 53°. ¿A qué distancia de la base del edificio se encuentra el objeto?

Resolución: Sea “H” la altura de la torre:

Resolución: Sea “d” la distancia:

Ángulo de elevación Línea horizontal

Línea horizontal Ángulo de depresión

Objeto observado

Nota El ángulo formado por dos líneas de mira se denomina ángulo de observación:

q: ángulo de observación.

• Del gráfico: tan37° = H/40 & H = 40tan37° H = 40(3/4) H = 30 m

• Del gráfico: cot53° = d/48 & d = 48cot53° d = 48(3/4) d = 36 m TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

33


Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación a, si el punto de observación está a una distancia d de la base del poste, ¿cuál es la altura del poste?

5

A 20 m del pie de un poste, el ángulo de elevación para lo alto del mismo es de 37°. ¿Cuál es la altura del poste?

Resolución:

Resolución:

Sea "h" la altura del poste:

Sea "h" la altura del poste:

h = 20 tan37° h = 20( 3 ) 4 ` h = 15 m

Del gráfico: h = tana d & h = dtana 6 2

La línea de mira y el ángulo de elevación desde un punto en tierra hacia la parte más alta de una torre son 20 m y 30°, respectivamente. Calcula la altura de la torre.

Desde lo alto de un edificio de 20 pisos cada uno de 2,5 m de altura; se divisa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión “a” (tana = 1,25). ¿A qué distancia del edificio se halla el objeto?

Resolución:

Sea "x" la distancia:

Resolución:

Sea "h" la altura de la torre: h = 20sen30° h = 20 c 1 m 2 ` h = 10 m Del gráfico tana = 50 & 125 = 50 & x = 40 m x 100 x

3

Una persona observa un avión, que vuela a 600 m de altura, con un ángulo de elevación de 37°. ¿Qué distancia hay en ese momento entre el avión y la persona?

7

Resolución:

Desde la parte superior de una colina se divisa con ángulo de depresión de 53° a un punto del suelo. Si la línea visual mide 100 m. Calcula la altura a la que se encuentra el observador.

Resolución:

Sea "x" la distancia entre el avión y la persona:

Sea "h" la altura: h = 100 sen53° h = 100 . 4 5 ` h = 80 m

x = 600csc37° x = 600 c 5 m 3 ` x = 1000 m

4

Desde el punto A situado a 300 m de la base de una torre se observa la parte más alta de esta con un ángulo de elevación de 30°. Calcula la altura de la torre.

8

Desde un punto en tierra ubicado a 16 m de una torre de 12 m de altura, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación “q”. ¿Cuál es el valor de q?

Resolución:

Resolución:

Sea "h" la altura de la torre: h = tan30° 300 h = 300 c 3 m 3 ` h = 100 3 m

34 Intelectum 1.°

Del gráfico: tanq = 12 = 3 & q = 37° 16 4

unidad 4

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Es un sistema que utiliza pares de números llamados coordenadas para ubicar un punto en un plano cartesiano.

PlANO cARTEsIANO

El plano cartesiano se forma al cortarse de manera perpendicular dos rectas; la recta horizontal se llama eje de las abscisas y la recta vertical se llama eje de las ordenadas. Además, el punto de intersección se denomina origen.

Nota El plano cartesiano a su vez se divide en 4 regiones o cuatro cuadrantes. y

y

O

x

A todo punto P del plano cartesiano se le puede asociar un par ordenado. Dado el punto (a; b), su ubicación en el plano cartesiano será: a

P(a; b)

b

Donde: a y b son las componentes de P. a: abscisa de P. b: ordenado de P.

b

O

a

a

IC x

IIIC

IC : IIC : IIIC : IVC :

UbIcAcIóN DE UN PUNTO EN El PlANO cARTEsIANO

b

IIC

Donde: x: eje de las abscisas. y: eje de las ordenadas. O: origen.

IVC

primer cuadrante. segundo cuadrante. tercer cuadrante. cuarto cuadrante.

Observación Dados S(3; 0) y R(0; -2), su ubicación en el plano cartesiano será: y 3 2

Ejemplo: Ubica en el plano cartesiano los siguientes puntos: A(2; -7); B(5; 3); C(-2; -5) y D(-4; 6). D(-4; 6)

y 6 5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 C(-2; -5) -5 -6 -7

1 -3 -2 -1 0 -1

S(3; 0) 1

2

3

x

-2 R(0; -2) -3

B(5; 3)

1 2 3 4 5

x

A(2; -7)

DIsTANcIA ENTRE DOs PUNTOs

Dados los puntos A y B, podemos calcular la distancia entre ellos, de la siguiente forma: y y2 A(x1; y1)

x1

d y1

O

Atención

B (x2; y2)

d= x2

(x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2

A cada punto del plano le corresponde uno y solo un par ordenado de números, donde existe primera componente y segunda componente.

x


35

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos N(3; 5) y M(8; -7) Resolución:

y

Nota

N(3; 5)

5 4 3 2 1

La distancia entre dos puntos A y B la podemos denotar así: d(A; B)

-5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

1 2 3 4 5 6 7 8 d

x

d=

(3 - 8) 2 + (5 - (- 7)) 2

d=

(5) 2 + (12) 2

d = 169 d = 13 M(8; -7)

PUNTO MEDIO DE UN sEGMENTO

Dado el segmento AB, que tiene como extremos a los puntos A(x1; y1) y B(x2, y2), hallaremos el punto medio de dicho segmento utilizando la siguiente fórmula: y A(x1; y1)

y1

Las coordenadas del punto medio M serán:

M(x; y) y2

Ten en cuenta

d(A; M) = d(M; B)

B(x2; y2) x2

x1

O

Dado M punto medio del segmento AB, se cumple:

x=

x1 + x2 2

y=

y1 + y2 2

Luego, el punto medio es: M(x; y)

x

Ejemplo: Halla las coordenadas del punto medio del segmento que tiene por extremos a los puntos R(3; 4) y S(-5; 2). Resolución:

y

M(-1; 3)

S(-5; 2)

5 4

R(3; 4)

x=

3 2 1

3 + (- 5) - 2 = =- 1 2 2

y = 4+2 = 6 = 3 2 2

-5 -4 -3 -2 -1 O

1 2 3 4 5

x

Luego, el punto medio de SR es: M(-1; 3)

Observación El radio vector se obtiene calculando la distancia del origen O que tiene como coordenadas (0, 0) y al punto P(a; b). Es decir: d(O; P) =

(a - 0) 2 + (b - 0) 2

d(O; P) =

a2 + b2

RADIO vEcTOR

Es la distancia desde cualquier punto al origen del plano cartesiano. El radio vector de un punto P(a; b) está dado por: y P(a; b)

b

d(O; P) = r

Ejemplo: Calcula el radio vector del punto J(4; 3). y

J(4; 3)

3

r

2

a

O

r=

36 Intelectum 1.°

2

a +b

2

x

r

1 O

1

2

3

4

x

r=

42 + 32

r=

16 + 9 = 25

r=5

T


¿A qué cuadrante pertenece el punto P(-5; -2)?

5

Resolución:

Si los vértices opuestos de un cuadrado son (-3; -2) y (4; 3), calcula el área de esta región cuadrangular.

Resolución:

Graficamos y observamos:

-5

-4

-3

-1

-2

d

x

O

d: diagonal

(4; 3)

y

-1 (-3; -2)

-2

P(-5; -2)

2

Si dos vértices seguidos de un triángulo equilátero son A(1; 1) y B(5; 4). Calcula el perímetro del triángulo.

6

Primero hallamos la distancia entre los puntos dados:

d

A(1; 1)

3

49 + 25

74 2

centro

2

= 37

y

M(-2; 1)

( 5 - 1 ) 2 + (4 - 1 ) 2

d=

d=

Halla el área del círculo:

Resolución: B(5; 4)

(4 - (- 3)) 2 + (3 - (- 2)) 2

d = 74

2 ` Área del cuadrado = d = 2

` El punto P ! IIIC.

d=

r

0

x P(1; -1)

d = 16 + 9 = 25

d

d=5

d

Resolución: (- 2 - 1) 2 + (1 - (- 1)) 2 (- 3) 2 + (2) 2 = 9 + 4

En un triángulo equilátero los tres lados miden igual. ` Perímetro del triángulo = 3 # 5 = 15

r= r=

Halla la distancia entre los puntos P(2; 3) y Q(-1; -3).

Hallamos el área: AC = área del círculo = pr2 = p( 13 ) 2 ` AC = 13p

Resolución: Ubicamos los puntos en el plano cartesiano: y

7

P(2; 3)

3

Q(-1; -3)

Los puntos extremos de la altura de un triángulo equilátero son M(-1; 2) y N(2; -2). Calcula el área del triángulo.

Resolución:

d -1 O

& r = 13

2

x

Graficamos los puntos dados: M(-1; 2) L

-3

Hallamos la distancia: d = (2 - (- 1)) 2 + (3 - (- 3)) 2 =

h

32 + 62 = 45

N(2; -2)

` d=3 5 4

Halla k si la distancia entre los puntos M(k; 1) y N(2; -5) es 10.

Resolución: d(M; N) =

(k - 2) 2 + (1 - (- 5)) 2 = 10

102 = (k - 2)2 + 62 & (k - 2)2 = 100 - 36 = 64 k-2=!8 ` k = 10 0 k = -6

Determinamos h: h = (- 1 - 2) 2 + (2 - (- 2)) 2 h=

32 + 42 = 25

Área del triángulo equilátero en función a su altura: S9 = h2 3 3

` S9 = 25 3 3


37

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL ÁNGUlO EN POsIcIóN NORMAl

Es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano, su lado inicial coincide con el semieje positivo de abscisas y su lado final se ubica en cualquier región del plano o cuadrante. Nota

y

Un ángulo en posición normal es también llamado ángulo en posición canónica o estándar.

Vértice

θ

Lado inicial x

O

q: representa un ángulo en posición normal

Lado final del ángulo θ

RAzONEs TRIGONOMéTRIcAs DE ÁNGUlOs EN POsIcIóN NORMAl

Para calcular las razones trigonométricas se necesita un punto perteneciente a su lado final. Dado el siguiente gráfico, se definen las razones trigonométricas en la tabla mostrada:

Importante • El radio vector es la distancia de un punto del plano hacia el origen de coordenadas.

P(x; y)

y

r θ

(x; y) r

r=

O x

y

x

O

Donde: x: abscisa y: ordenada r: radio vector; r > 0

y

x

x2 + y2

senq = y/r

cscq = r/y

cosq = x/r

secq = r/x

tanq = y/x

cotq = x/y

Además, tomando en cuenta los signos que las coordenadas toman en el plano cartesiano podemos deducir los signos de las razones trigonométricas. Sean x1; y1 > 0 y

y

• El lado final, de todo ángulo en posición normal, determina el cuadrante de dicho ángulo.

(x1; y1)

(-x1; y1) II C

y1 I C a

a

x

x1

a

x

y

y

x

x

a

III C

IV C

(-x1; -y1)

(x1; -y1)

Luego, en cada uno de los cuadrantes, las razones trigonométricas tendrán los siguientes signos: y IC II C (+) seno Todas son (+) cosecante positivas III C IV C (+) tangente coseno (+) (+) cotangente secante (+)

38 Intelectum 1.°

x

T

ÁNGUlOs cUADRANTAlEs

Son aquellos ángulos en posición normal, cuyo lado final coincide con cualquiera de los semiejes cartesianos. En el siguiente gráfico mostramos los ángulos cuadrantales: y

y

y

180°

90°

Ángulo mayor a una vuelta:

y

x

360°

270°

x

Nota

x

x

x

α a = 360ºn + x ; x 1 360º Donde: n es el n.° de vueltas.

RAzONEs TRIGONOMéTRIcAs DE ÁNGUlOs cUADRANTAlEs

En el siguiente cuadro se presenta el valor de cada una de las razones trigonométricas de los principales ángulos cuadrantales: mB

sen

cos

tan

cot

sec

csc

0°

0

1

0

ND

1

ND

ND

0

0

ND

90°

1

0

180°

0

-1

270°

-1

0

ND

360°

0

1

0

ND

Un ángulo cuadrantal no pertenece a cuadrante alguno, además, su medida siempre es múltiplo de 90°.

1

-1

ND

0

ND

-1

ND

1

Importante

Si: a es un ángulo cuadrantal &

a = 90°n , n ! Z

ND

ND: no determinado

ÁNGUlOs cOTERMINAlEs

Son aquellos ángulos trigonométricos, que tienen mismo lado inicial, vértice y lado final. y

& Los ángulos a y b son ángulos coterminales.

β α

x

Observación

Los ángulos coterminales cumplen las siguientes propiedades: a) Dados a y b ángulos coterminales & a - b = n(360°) ; n ! Z - {0} b) Las razones trigonométricas de dos ángulos coterminales son respectivamente iguales. Es decir, siendo a y b ángulos coterminales: sena = senb tana = tanb

cosa = cosb cota = cotb

Ejemplo: Dado el siguiente par de ángulos, determina si son ángulos coterminales. a) 1380° y 300° y b) 1230° y 260° Resolución: a) 1380° y 300° 1380° - 300° = 1080° Calculamos el número de vueltas: 1080° 360° - 3 división exacta

Sean los ángulos 792° y 72°, tenemos: 792° - 72° = 720° = 2(360°) & 792° y 72° son coterminales Luego, se cumple: sen792° = sen72° cos792° = cos72° tan792° = tan72° cot792° = cot72° sec792° = sec72° csc792° = csc72°

csca = cscb seca = secb

b) 1230° y 260° 1230° - 260° = 970° Calculamos el número de vueltas: 970° 250°

360° 2 & 970° = 2(360°) + 250°

residuo

& 1080° = 3(360°) = 3 vueltas 1 vuelta

Observamos que 970° representa un número inexacto de vueltas, por lo tanto, 1230° y 260° no son coterminales.

Entonces 1380° y 300° son ángulos coterminales.


39


¿A qué cuadrante pertenecen los ángulos 2595° y 3840°? Grafica.

4

Resolución: Dividimos cada ángulo por 360° para determinar el número de vueltas. 2595° 360° 2520° 7 75° n.º de vueltas Indica el cuadrante Graficamos:

y

Resolución:

3840° 360° 3600° 10 240° n.º de vueltas Indica el cuadrante

5

Resolución: Sabemos: y sena = = - 2 r 2

y

x

& y=- 2 / r=2

r

Aplicamos el teorema de Pitágoras: x2 + y2 = r2 & x2 + (- 2 ) 2 = (2) 2 & x = - 2 (x ! IIC) & tana = y/x

Dos ángulos coterminales son entre sí como 2 es a 7. Halla la medida del mayor de dichos ángulos, si el menor se encuentra comprendido entre 200° y 300°.

Por lo tanto, el valor del ángulo mayor es: q = 7(144°) = 1008°

P(x; y)

6

Sea P(-2; -3) un punto del lado final de un ángulo a en posición normal, halla csca.

Resolución:

` tana = - 2 = 1 - 2 3

Si: a ! IVC; b ! IIC y q ! IC; calcula el signo de: k = cos3atanbsen3q

-2

y

Analizamos cada uno de los ángulos según el cuadrante en donde se encuentran: ▪ Si: a ! IVC: cosa > 0 & cos3a = (+) ▪ Si: b ! IIC: tanb < 0 & tanb = (-) ▪ Si: q ! IC: senq > 0 & sen3q = (+) Reemplazamos los signos en k: k = cos3atanbsen3q k = (+) . (-) . (+) k = (-) . (+) = (-) ` k es negativo.

x =- 2 y =- 3

α

x

r=

^- 2h2 + ^- 3h2

r = 13

Resolución:

40 Intelectum 1.°

r = 13

Si: n = 1 & k = 72° & b = 2(72) = 144° n = 2 & k = 144° & b = 2(144) = 288° n = 3 & k = 216° & b = 2(216) = 432° & k = 144° n = 1 / 3 se descartan (no están en el rango del valor que puedan tomar).

Graficamos el ángulo “a” en el IIIC:

α

4+9

Sabemos que en los ángulos coterminales se cumple: q - b = 360°n 7k - 2k = 360°n & 5k = 360°n & k = 72°n

Si: sena = - 2 , a ! IIIC. Calcula tana. 2

x

r=

Sean b y q los ángulos (b < q). β = 2k β 2 β θ & & = = θ = 7k θ 7 2 7

& 3840° ! IIIC.

y

^- 2h2 + ^- 3h2

Resolución:

3840°

2

-2

(-3; -2)

x

x

& 2595° ! IC.

x

r=

` Q = - 2 - c - 3 m = 13 13 13 13 240°

75°

y = - 2 / x = - 3 (β ! IIIC)

y β

-3

y

2595°

Si tan β = 2 y b ! IIIC, calcula: 3 Q = senb - cosb

P(-2; -3)

7

-3

` cscα = - 13 3

Verifica si los ángulos 130° y 1210° son coterminales.

Resolución: Si dos ángulos son coterminales, se cumple: b - a = 360°(n) Entonces: 1210° - 130° = 360°(n) & 1080° = 360°(n) n = 3 ! Z. ` Los ángulos 130° y 1210° son ángulos coterminales.

T

REDUC CIÓN A L PRIMER CUADRANTE

REDUccIóN Al PRIMER cUADRANTE

Reducir un ángulo al primer cuadrante consiste en relacionar a las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud con las razones trigonométricas de un ángulo agudo (ángulo del primer cuadrante), obteniéndose una equivalencia. Se presentan los siguientes casos:

Primer caso

Para ángulos positivos menores a una vuelta Para reducir estos ángulos al primer cuadrante, se les debe descomponer en función al ángulo cuadrantal más cercano. Primera forma RT(180° ! a) = ! RT(a) RT(360° - a) = ! RT(a)

Donde: !: es el signo que tendrá la razón, el cual depende del cuadrante en el que se ubica el ángulo a reducir.

Observación Para determinar si un ángulo pertenece a un cierto cuadrante del plano cartesiano, el primer sumando tiene que ser un ángulo cuadrantal, tales como; 90°; 180°; 270° y 360°.

Ejemplos: Reduce al primer cuadrante las siguientes RT(razones trigonométricas). 1. tan217°. Resolución: tan217° = tan(180° + 37°) = tan37° = 3/4 Como 217° ! IIIC, entonces la tangente es positiva, su equivalente tan37° también es positivo. 2. sec300°. Resolución: sec300° = sec(360° - 60°) = sec60° =2 Como 300° ! IVC, la secante es positiva, entonces su equivalente sec60° también es positivo. Segunda forma RT(90° ! a) = ! CO-RT(a) RT(270° ! a) = ! CO-RT(a) Ejemplos: Reduce al primer cuadrante las siguientes RT. 1. sen150°. Resolución: sen150° = sen(90° + 60°) = cos60° = 1/2 Como 150° ! IIC, y allí el seno es positivo, entonces su equivalente cos60° también es positivo. 2. csc330°. Resolución: csc330° = csc(270° + 60°) = -sec60° = -2 Como 330° ! IVC, y allí la cosecante es negativa, entonces su equivalente será -sec60°.

3. cos150°. Resolución: cos150° = cos(180° - 30°) = -cos30° =- 3 2 Como 150° ! IIC, su coseno es negativo, entonces su equivalente es -cos30°. 4. cot315°.

Observación Ten en cuenta que si a 1 90º: • 180° - a ! IIC • 180° + a ! IIIC • 360° - a ! IVC

Resolución: cot315° = cot(360° - 45°) = - cot45° = -1 Como 315° ! IVC, la cotangente es negativa, entonces su equivalente es -cot45°. Donde: !: es el signo que tendrá la razón el cual depende del cuadrante en la que se ubique el ángulo a reducir.

3. sec143°.

Recuerda

Resolución: sec143° = sec(90° + 53°) = - csc53° = - 5/4 Como 143° ! IIC, y allí la secante es negativa, entonces su equivalente será negativo -csc53°.

Co-razón(sena) = cosa Co-razón(tana) = cota Co-razón(seca) = csca

4. tan225°. Resolución: tan225° = tan(270° - 45°) = cot45° =1 Como 225° ! IIIC, y allí la tangente es positiva, entonces su equivalente cot45° también es positivo. TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4

41

Segundo caso

Para ángulos positivos mayores a una vuelta Para reducir estos ángulos al primer cuadrante, se le debe descomponer en función al número de vueltas que contenga este ángulo. RT(n # 360º + a) = RT(a) Observación Nota que: a se considera un ángulo agudo, entonces: • 90° + a ! IIC • 270° - a ! IIIC • 270° + a ! IVC

Ejemplos: Reduce al primer cuadrante. 1. tan750°.

3. cos1117°.

Resolución: tan750° = tan(2 # 360° + 30°) = tan30° = 3 3 Se observa que 750° contiene 2 veces la medida del ángulo de 1 vuelta (360°), luego se trabaja con el ángulo de 30°.

Debemos familiarizarnos con los múltiplos de 360°, a menudo trabajaremos con estos valores. n # 360°: múltiplos de 360° ° 360 = {360°; 720°; 1080°; 1440°; ...}

Resolución: cos1117° = cos(3 # 360° + 37°) = cos37° = 4/5 Se observa que 1117° contiene 3 veces la medida del ángulo de 1 vuelta (360°), luego se trabaja con el ángulo de 37°. 4. cot1830°.

2. sec1485°.

Importante

n: número de vueltas.

Resolución: sec1485° = sec(4 # 360° + 45°) = sec45° = 2 Se observa que 1485° contiene 4 veces la medida del ángulo de 1 vuelta (360°), luego se trabaja con el ángulo de 45°.

Resolución: cot1830° = cot(5 # 360° + 30°) = cot30° = 3 Se observa que 1830° contiene 5 veces la medida del ángulo de 1 vuelta (360°), luego se trabaja con el ángulo de 30°.

Tercer caso

Para ángulos negativos Las funciones coseno y secante cuyos ángulos son negativos, van a ser igual a los ángulos positivos; en las demás razones trigonométricas el signo sale fuera del ángulo y afecta a toda la razón trigonométrica. sen(-a) = -sena cos(-a) = cosa tan(-a) = -tana cot(-a) = -cota sec(-a) = seca csc(-a) = -csca Ejemplos: Halla el valor de las siguientes razones trigonométricas.

Importante Ten en cuenta que las razones coseno y secante son las únicas donde el signo se puede obviar, para las demás razones trigonométricas el signo se coloca delante de la razón trigonométrica.

42 Intelectum 1.°

1. cos(-45°) = cos45° = 2 2

2. tan(-30°) = - tan30° =- 3 3

3. sec(-127°) = sec127° = sec(90° + 37°) = - csc37° = - 5/3

4. sen(-150°) = -sen150° = -sen(180° - 30°) = -sen30° = - 1/2

T


Reduce al primer cuadrante sen323°.

9

Resolución:

Resolución:

sen323° = sen(360° - 37°); 323° ! IVC (-) = -sen37° = - 3/5 2

1575° 360° 1440° 4 135°

Reduce al primer cuadrante tan150°.

tan150° = tan(180° - 30°); 150° ! IIC (-) = -tan30° =- 3 3

Resolución: 2017° 360° 1800° 5 217°

Reduce al primer cuadrante csc225°.

Resolución:

11

csc225° = csc(180° + 45°); 225° ! IIIC (-) = -csc45° =- 2 4

Resolución:

Resolución:

sen143° = sen(90° + 53°); 143° ! IIC (+) = cos53° = 3/5

M = -tan53° - cos30° - csc45° M =- 4 - 3 - 2 3 2 8 3 3 -6 2 `M= 6

Calcula el valor de cot(-30°).

13 Convierte a su equivalente la siguiente expresión: sen(90° - x) + cos(180° - y)

Resolución:

Calcula el valor de cos(-135°).

Resolución: cos(-135°) = cos135° = cos(90° + 45°); 135° ! IIC (-) ` cos(- 135°) = -sen(45°) = Calcula el valor de csc(-53°).

Resolución: csc(-53°) = -csc53° ` csc(-53°) = - 5/4

3 2

12 Calcula: M = tan(-53°) - cos(-30°) + csc(-45°)

Reduce al primer cuadrante sen143°.

cot(-30°) = -cot30° =- 3

8

cos2850° = cos330°; 330° ! IVC (+) = cos(360° - 30°) = cos30° ` cos2850° =

Resolución:

7

Reduce al primer cuadrante cos2850°.

2850° 360° 2520° 7 330°

Reduce al primer cuadrante cos300°.

cos300° = cos(360° - 60°); 300° ! IVC (+) = cos60° = 1/2

6

sec2017° = sec217° = sec(180° + 37°) = - sec37° ` sec2017° = - 5/4

Resolución:

Resolución:

5

tan1575° = tan135° = tan(180 - 45°); 135° ! IIC(-) = -tan45° = -1 ` tan1575° = -1

10 Reduce al primer cuadrante sec2017°.

Resolución:

3

Reduce al primer cuadrante tan1575°.

2 2

sen(90° - x) = cosx cos(180° - y) = -cosy ` sen(90° - x) + cos(180° - y) = cosx - cosy 14 Si x es un ángulo agudo, halla el valor de: M = sen2(90° + x) + cos2(270° - x)

Resolución: sen(90° + x) = cosx cos(270° - x) = -senx Luego: M = (cosx)2 + (-senx)2 = cos2x + sen2x = 1 ` M=1


43

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

DEfINIcIóN

El sistema métrico decimal es el sistema de medida universalmente aceptado, cuyas unidades están relacionadas mediante potencias de 10.

Importante La notación científica nos permite expresar de forma sencilla cantidades numéricas demasiadas grandes o demasiadas pequeñas. Ejemplo: 0,0033 = 3,3 # 10-3 900 000 000 = 9 # 108

MAGNITUD

Una magnitud es todo aquello que se puede medir. Las magnitudes más conocidas son: • La longitud • La temperatura

• La superficie • La masa

A su vez, las magnitudes se expresan en unidades de medida. kilómetros metros centímetros milímetros

Ejemplos: Longitud

Nota Algunos instrumentos de medición de masa son:

• El volumen • El tiempo

toneladas kilogramos gramos

Masa

Para poder trabajar en el sistema métrico decimal debemos tener en cuenta las siguientes observaciones: 1. Para multiplicar un número decimal por 10; 100; 1000; ... ; se desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad. Ejemplos: • 0,32 # 102 = 32

Balanza de cocina

• 1,27 # 10 = 12,7

2. Para dividir un número decimal entre 10; 100; 1000; ... ; se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad. Ejemplos: • 1,54 ' 10 = 0,154

• 0,028 ' 103 = 0,000028

Balanza de Roberval

UNIDADEs DE MAsA

Las unidades de masa (peso) se emplean para calcular la cantidad de materia de un cuerpo. El kilogramo (kg) es la principal unidad de masa en el Sistema Internacional de unidades, aunque la más usada sea el gramo (g). En el siguiente cuadro se muestran los principales múltiplos y submúltiplos del gramo. Múltiplos #10

Atención Observa las siguientes equivalencias: 1 kilogramo 1 kilogramo 1 kilogramo 1 tonelada 1 quintal 1 miriagramo

= 10 hg = 100 dag = 1000 g = 1000 kg = 100 kg = 10 kg

#10

#10

#10

#10

hectogramo

decagramo

gramo

decigramo

centigramo

miligramo

kg

hg

dag

g

dg

cg

mg

'10

'10 3

'10

'10

2

'10 -1

'10

Observa que: 1 kg = 10 g; 1 hg = 10 g; 1 dag = 10 g ; 1d g = 10 g; 1 cg = 10 g; 1 mg = 10-3 g Además, debemos tener en cuenta los siguientes múltiplos del kilogramo (kg). #10

#10

-2

#10

tonelada

quintal

miriagramo

kilogramo

t

q

mg

kg

'10

44 Intelectum 1.°

#10

kilogramo

Nota Para realizar la conversión de una unidad a otra situada a la izquierda de la unidad dada, se debe dividir entre tantos ceros como posiciones hay entre las dos unidades.

Submúltiplos

'10

'10

T Ejemplos: b) ¿A cuántos hectogramos equivalen 3000 dg?

a) ¿A cuántos gramos equivalen 20 hectogramos?

Resolución: Los hectogramos se encuentran a la izquierda de los decigramos, es decir, debemos dividir; luego: 300 dg = 300 ' 103 hg = 300 # 10-3 hg = 0,3 hg & 300 dg = 0,3 hg

Resolución: Notamos en el cuadro que los gramos se encuentran a la derecha de hectogramos, por lo tanto debemos multiplicar; siguiendo las flechas tenemos: 20 hectogramos = 20 # 102 g = 2000 g & 20 hectogramos = 2000 g

Atención Observa las siguientes equivalencias:

UNIDADEs DE lONGITUD

Las unidades de longitud son utilizadas para medir distancias entre dos puntos dados. El metro (m) es la unidad fundamental de la longitud en el Sistema Internacional de unidades. En el siguiente cuadro se muestran los principales múltiplos y submúltiplos del metro. Múltiplos #10

Submúltiplos

#10

#10

#10

#10

Nota

#10

Algunos instrumentos de medida de longitud:

kilómetro

hectómetro

decámetro

metro

decímetro

centímetro

milímetro

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

'10

1 metro = 10 dm 1 metro = 100 cm 1 metro = 1000 mm 1 decámetro = 10 m 1 hectómetro = 100 m 1 kilómetro = 1000 m

'10

'10

'10

'10

Cinta métrica

'10

Regla

Ejemplos: a) Realiza la conversión de 8 hm a centímetros.

b) ¿A cuántos decámetros equivalen 25 milímetros?

Resolución: Del cuadro, vemos que cm se encuentra a la derecha de hm, es decir la operación a realizar es la multiplicación, luego: 8 hm = 8 # 104 cm = 80 000 cm & 8 hm = 80 000 cm

Resolución: Del cuadro anterior, el decámetro está a la izquierda del milímetro, luego la operación a utilizar es la división, tenemos: 25 mm = 25 ' 10-4 dam = 25 # 10-4 dam = 0,0025 dam & 25 mm = 0,0025 dam

Las unidades de volumen son utilizadas para conocer la cantidad de líquido, que hay en un recipiente o depósito. El litro (l) es la unidad de volumen en el sistema internacional de unidades. En el siguiente cuadro se muestran los múltiplos y submúltiplos más utilizados del litro (l). Múltiplos

= 10 dl = 100 cl = 1000 ml = 10 l = 100 l = 1000 l

#10

#10

#10

#10

Nota Debes tener en cuenta lo siguiente:

#10

hectolitro

decalitro

litro

decilitro

centilitro

mililitro

kl

hl

dal

l

dl

cl

ml

Ejemplo:

1 litro 1 litro 1 litro 1 decalitro 1 hectolitro 1 kilolitro

Submúltiplos

kilolitro

'10

Atención Estas son las equivalencias más utilizadas:

UNIDADEs DE vOlUMEN

#10

Flexómetro

'10

'10

a) ¿A cuántos decalitros equivalen 21,6 centilitros? Resolución: Observamos el cuadro y realizamos la conversión correspondiente:

'10

'10

'10

1 litro = 2 medios litros (también son 4 vasos)

21,6 cl = 21,6 ' 103 dal = 21,6 # 10-3 dal = 0,0216 dal & 21,6 cl = 0,0216 dal 1 litro = 2 medios litros (son 4 vasos)


45


¿A cuántos hectogramos equivalen 142 # 105 decigramos?

Entonces, tenemos: 1 cm 10-3 dam 10 706 cm x

Resolución: Según la tabla de conversiones dada, analizamos las equivalencias: 1 dg = 10-1 g = 10-1(10-1 dag) = 10-1 # 10-1(10-1 hg) & 1 dg = 10-3 hg Luego, aplicamos una regla de tres simple para realizar la conversión: 10-3 hg 1 dg 5 142 # 10 dg x

-3 & x = 10 706 cm # 10 dam 1 cm

x = 10,706 dam 5

Resolución: Tenemos, por equivalencias lo siguiente: 1 dal = 10 l = 10(10 dl) 1 dal = 102 dl Luego, aplicamos la regla de tres simple para la resolución: 1 dal 102 dl 233 dal x

(142 # 105 dg) (10-3 hg) & x = 1 dg x = 142 # 105 # 10-3 hg x = 142 # 102 hg 2

¿A cuántos centigramos equivalen 2,5 decagramos?

2 & x = 233 dal # 10 dl 1 dal

Resolución: Observamos la tabla y tenemos: 1 dag = 10 g = 10(10 dg) = 10 # 10 # 10 cg = 103 cg 1 dag = 103 cg Hallamos la equivalencia: 1 dag 103 cg 2,5 dag x & x=

x = 23 300 dl 6

Analizamos cada una de las equivalencias: 1 hl = 10 dal = 10(10 l) = 10 # 10 (10 dl) = 10 # 10 # 10 # (10 cl) & 1 hl = 104 cl Luego: 4 1 hl 104 cl & x = 12 hl # 10 cl 1 hl 12 hl x x = 120 000 cl

2, 5 dag # 103 cg 1 dag

Realiza la conversión de 0,089 dam a milímetros.

Resolución: Analizamos las equivalencias: 1 dam = 10 m = 10(10 dm) = 10 # 10(10 cm) = 10 # 10 # 10 (10 mm) 1 dam = 104 mm Luego: 1 dam 104 mm 0,089 dam x & x=

7

Sabemos que cuatro cuartos de litro equivalen a un litro. Javier tiene 16 botellas de un cuarto de litro, entonces tiene 4 litros en total. Luego; convertimos 1 l a mililitros: 1 l = 10 dl = 10 (10 cl) = 10 # 10 (10 ml) 1 l = 1000 ml

0, 089 dam # 104 mm 1 dam

Entonces: 1000 ml 1l 4l x

Convierte 10 706 cm a decámetros.

x = 4 l # 1000 ml & x = 4000 ml 1l

Resolución: De las equivalencias tenemos: 1 cm = 10-1 dm = 10-1(10-1 m) = 10-1 # 10-1(10-1 dam) & 1 cm = 10-3 dam

46 Intelectum 1.°

Javier tiene 16 botellas de un cuarto de litro, ¿cuántos mililitros tiene en total?

Resolución:

x = 890 mm 4

¿Cuánto equivale 12 hectolitros en centilitros?

Resolución:

x = 2,5 # 103 cg x = 2500 cg 3

¿A cuántos decilitros equivalen 233 decalitros?

8

Julio tiene 17 decagramos de arroz y Carmela tiene 312 decigramos de azúcar. Si deciden pesar todo junto, ¿cuántos gramos tendrán en total?

T Resolución: Necesitamos convertir todas las unidades en gramos para poder contabilizarlas. Arroz: 17 dag = 17 # 10 g = 170 g Azúcar: 312 dg = 312 ' 10-1 g = 31,2 g Luego, el total en gramos es: 170 g + 31,2 g = 201,2 g 9

Si Carlos compra 9 botellas que contienen 250 mililitros de agua, cada una, ¿cuántos litros tiene en total?

Resolución: Hacemos primero la conversión de mililitros a litros: 250 ml = 250 ' 103 l = 0,25 l Como Carlos tenía 9 botellas, entonces en total tiene: 0,25 l # 9 = 2,25 l Por lo tanto, Carlos tiene 2,25 l en total. 10 Un tanque de agua abastece a 20 departamentos de un edificio. Si diariamente cada departamento consume 6,5 litros, ¿cuántos decalitros debe tener como mínimo el tanque para abastecer a los departamentos por un día?

Resolución: Realizamos, primero la conversión de litros a decalitros: 6,5 l = 6,5 ' 10 dal = 0,65 dal Al día cada departamento consume 0,65 dal, en 20 departamentos se consumirá: 0,65 dal # 20 = 13 dal Por lo tanto, el tanque como mínimo deberá tener 13 decalitros. 11

Nélida confecciona toallas para vender. Si en cada toalla utiliza 125 cm y en total confecciona 34 toallas, ¿cuántos metros de tela utiliza en total?

Resolución: Al confeccionar las toallas utiliza 125 cm, entonces en 34 toallas utilizará: 125 cm # 34 = 4250 cm Nos piden calcular el total de tela utilizado, pero en metros; realizamos la conversión: 4250 cm = 4250 ' 102 m = 42,5 m Luego, en total utiliza 42,5 m. 12 Una panadería produce 675 kg de pan diariamente. ¿A cuántas personas podrá alimentar, si cada persona consume 225 g de pan en un día?

Resolución: Convertimos los 675 kg a gramos (g): 675 kg # 1000 g 1000 g & x = 1 kg 1 kg 675 kg x & 675 kg = 675 # 103 g

Aplicamos nuevamente la regla de tres simple: 1 hombre 225 g h hombres 675 # 103 g 675 # 103 g # 1hombre 225 g h = 3000 hombres ` Podrá alimentar a 3000 hombres. & h=

13 Una piscina tiene capacidad de 2000 kl cuando está vacía. ¿Cuántas cisternas serán necesarias para poder llenar el 75% de la piscina si cada cisterna posee una capacidad de 125 l?

Resolución: Hallamos el 75% de la capacidad de la piscina. 75%2000 kl = 75 . 2000 kl 100 Volumen a llenar: 1500 kl Hallamos la cantidad de litros necesarios para llenar el 75% de la piscina: 103 l 1 kl 1500 kl x 3 & x = 1500 kl # 10 l 1 kl

x = 15 # 105 l Calculamos el n.° de cisternas necesarias: 125 l 1 cisterna k cisternas 15 # 105 l 5 k = 15 # 10 l # 1 cisterna = 120 # 102 cisternas 125 l

` Son necesarias 12 000 cisternas. 14 Un auto recorre 90 km utilizando 20 l de petróleo. Si necesita realizar un recorrido de 9 # 105m, ¿cuánto dinero (en S/.) necesitará, si 1 dal de petróleo cuesta S/. 30?

Resolución:

Pasamos 90 km a metros: 90 km = 90 . 103 m Hallamos cuántos decalitros (dal) se necesitan para recorrer 9 # 105 m: 90 # 103 m 20 l 9 # 105 m x 5 & x = 9 # 10 m 3# 20 l 90 # 10 m

x = 200 l = 20 dal Luego: 1 dal S/.30 20 dal x & x = 20 dal # S/.30 1 dal

` x = S/.600


47

Este libro se terminó de imprimir en los talleres gráficos de Editorial San Marcos situados en Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, S.J.L. Lima, Perú RUC 10090984344

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